Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s (a) (A (B A)) är en formel.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel."

Transkript

1 Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel (2) (3) B och A är formler (*(1) och (2)*) (B A) är en formel (3) (4) A och (B A) är formler (*(1) och (3)*) (A (B A)) är en formel (3) Konstruktionsträd: (1) B A A (1) (2) Lösningsdel (1) A (B A) (3) (A (B A)) (3) (( A B) (A C)) är en formel. (1) A, B, C är formler (1) (2) (1) A, C är formler (2) (3) (1) + (2) ( A B) är en formel (3) (4) (1) + (2) (A C) är en formel (3) (5) (3) + (4) (( A B) (A C)) är en formel (3) (6) (5) (( A B) (A C)) är en formel (2) Konstruktionsträd: (1) A C (1) (2) A B A C (2) (3) ( A B) (A C) (3) (( A B) (A C)) (( A B) (A C) (3) (3) (i) Identifier de tomär stsern: K: Det finns 2 krmeller. D: Det finns 3 som sk del på dem. : All kn få en krmell. Ersätt tomär stser med sts-prmetrr: (1) Om K och D, så inte (iii) ts (1) är en villkorssts: (2) K och D inte (iv) Antecedenten i (2) är en konjunktion: (3) K D inte (v) Konsekventen är en negtion: (4) K D K D (i) Identifier de tomär stsern: : Det är fredg idg. L: Det är lördg idg. : Det är söndg idg. Ersätt tomär stser med sts-prmetrr: (1) eller L men inte (* definitivt är förstärknde och sknr logiskt betydelse*) (iii) Använd top down på (1): men är huvudopertor och är ett konjunktions tecken: (2) eller L inte eller nger disjunktion, inte negtion: (3) ( L) ( L) (i) Identifier de tomär stsern: M: Gummn är inne. B: Gubben är inne. ätt in sts prmetrr: (1) När M så inte B. B endst om inte M. Jg hr ntgit tt en person är ute hn inte är inne. Då kn Gummn/gubben är ute uppftts som negtionen v Gummn/gubben är inne. Ett lterntiv är tt h 4 olik tomär stser. (iii) Använd top down : (1) är en konjunktion. Punkt nger här konjunktion. (2) När M så inte B B endst om inte M. När -- så -- är ett impliktionskonnektiv: (3) (M inte B) (B endst om inte M) -- endst om -- nger impliktion (se minileikonet, s ): (4) (M inte B) (B inte M) Vi ersätter inte med : (5) (M B) (B M) (M B) (B M) O: Det blir ordning på ekonomi. : Vi börjr spr. ätt in stsprmetrrn: (1) sk enligt 3.9 (5) formlisers: O eller O O eller O (i) Identifier de tomär stsern: : Vi kn förverklig ffärsidén. K: Vi hr tillräckligt stort eget kpitl. L: Vi kn lån i bnken. ätt in sts prmetrrn: (1) Inte, om inte ntingen K eller L (1) är en impliktion: (2) Inte ntingen K eller L inte Efterledet är en negtion, liksom förledet: (3) (ntingen K eller L) lutligen ersätts eller med : (4) (K L) (K L) (i) De tomär stsern: P: Du hr pengr tt betl med. C: Du hr check tt betl med. K: Du hr kontokort tt betl med. : Vi kn sälj vrn till Dig. ätt in prmetrrn: (1) Om vrken P eller C eller K, så inte (1) är en impliktion: (2) Vrken P eller C eller K inte örledet kn formlisers: (3) (P C K) inte Eferledet är en negtion: (4) (P C K) (P C K) Alterntiv: P C K (i) I stället för stsprmetrr nvänder vi vnlig mtemtisk symboler: b > 0: b är större än 0. > 0: större än 0. b > 0: b större än 0. < 0: mindre än 0. b < 0: b mindre än 0. kriv om stsen 3 4

2 (f) (1) b > 0 om och endst om > 0 och b > 0, eller < 0 och b < 0. ts (1) är en ekvivlens: (2) b > 0 > 0 och b > 0, eller < 0 och b < 0 Andr ekvivlensledet är en disjunktion: (3) b > 0 ( > 0 och b > 0) ( < 0 och b < 0) Ersätt och med : (4) b > 0 ( > 0 b > 0) ( < 0 b < 0) b > 0 ( > 0 b > 0) ( < 0 b < 0) (i) De tomär stsern: E: Mn kn eliminer prentespret kring en konjunktion. N: Konjunktion är negerd. D: Konjunktion ingår som led i en disjunktion. ätt in prmetrrn: (1) E så vid inte ntingen N eller D ts (1) är en impliktion: (2) Inte ntingen N eller D E Antecedenten är negtion v en disjunktion: (3) (N D) E (N D) E (i) tsprmetrr: : örst symbolen är en stsprmeter. N: örst symbolen är. V: örst symbolen är (. P: ist symbolen är en stsprmeter. H: ist symbolen är ). ätt in prmetrrn: (1) eller N eller V, och P eller H ts (1) är en konjunktion: (2) eller N eller V P eller H Båd konjunktionsleden är disjunktioner: (3) ( N V) (P H) ( N V) (P H) (i) tsprmetrr: : Bnken stänger kl. 17. : Jg får ledigt från jobbet ½ timme. V: Bnkärendet blir uträttt. A: Någon nnn uträttr ärendet åt mig. ätt in stsprmetrrn: (1) Om och inte, så inte U förutstt tt inte A (iii) tsen är en impliktion: (2) och inte inte U förutstt tt inte A Antecedenten är en konjunktion: (3) inte inte U förutstt tt inte A Konsekventen är en impliktion: (4) inte (inte A inte U) Ersätt inte med : (5) ( A U) ( A U) Alterntiv: A ( U) Det är också möjligt tt uppftt ingen nnn gör det åt mig som en tomär sts: I: Ingen nnn gör det åt mig. Ersätt A i de tre formliseringrn med I, t. e. (I U) (i) Identifier de tomär stsern. Välj stsprmetrr. V: Vkten får nvänd våld. I: Vkten ingriper. R: Risk för skdegörelse föreligger. A: Vkten är ngripen. M: Vkten hr först givit muntlig vrning. tsen kn nu skrivs: Ett nödvändigt villkor för V är R om inte I, och förutstt tt inte A, så V endst om M; A är en tillräcklig förutsättning för V. (iii) tsen är en konjunktion med 3 led: (1) Ett nödvändigt villkor för V är R om inte I. (2) örutstt tt inte A, så V endst om M. (3) A är en tillräcklig förutsättning för V. (iv) Anlys v (1): (1) är en impliktion: V (R om inte I) Efterledet är en impliktion med negert förled: (1 ) V ( I R) Ett lterntivt sätt tt tolk (1) är: I (R är ett nödvändigt villkor för V), som formlisers: (1 ) I (V R) (1 ) och (1 ) kn m h snningstbeller viss vr stslogiskt ekvivlent. (v) Anlys v (2): (2) är en impliktion med negert förled: A (V endst om M) Efterledet är en impliktion: (2 ) A (V M) (vi) Anlys v (3): (3) är en impliktion: (3 ) A V (vii) Konjuger (1 ), (2 ), (3 ) ger lösningen: (V ( I R)) ( A (V M)) (A V) ((A B)) ( A B)) Det yttre prntespret kn eliminers enligt Regel 1: (A B) ( A B) Prntesen kring A B kn inte eliminers: (1) A B ( A B) eftersom (1) är tvetydig melln (1 ) (A B) ( A B) och (1 ) A ( B ( A B)) Av smm nledning kn prntesen kring A B inte eliminers. (A B) ( A B) (((A B) C) ((A B) C)) Yttre prntespret ts bort enligt Regel 1: (1) (A B) C) ((A B) C) Prntesen kring förledet eliminers (Regel 3): (2) (A B) C ((A B) C) Prntesen kring efterledet slops (Regel 3): (3) (A B) C (A B) C) Prntesen i (A B) kn eliminers enligt Regel 2: (4) A B C (A B) C Prntesen i (A B kn inte eliminers till (5) A B C A B C eftersom det blir oklrt om det är först eller ndr förekomsten v som är huvudopertor. A B C (A B) C ((((A B) (B C)) C) B) Yttre prntespret ts bort (Regel 1) (1) (((A B) (B C)) C) B Prnteser kring förledet ts bort (Regel 3): (2) ((A B) (B C)) C B I ((A B) (B C)) kn yttre prntespret slops (Regel 2): (2) (A B) (B C) C B vr: (A B) (B C) C B (A B) B A B (A B) B (A B) ( A B) A B (A B) ( A B) ((B A) B) (A B) A B ((B A) B) (A B) (A B) (A B) B (A B) (A B) ( A B) A ((B A) B) (A B) Vi sätter upp en gemensm snningstbell för A B, (A B) och A A B A B (A B) A Vi ser tt snningstbellern överensstämmer med tbellern för förmlern i (A B) C A (B C) A B C (A B) C A (B C) nningstbellern överensstämmer rd för rd. (A B) C A (B C) Även (A B) C och A (B C) hr smm snningstbell: 7 8

3 A B C (A B) C A (B C) A eller 2 B (A B) (A B) A B A eller 2 B (A B) (A B) A B (A B) (B A) A B A B (A B) (B A) Kpitel 3: Lösningr till övningrn på s ,, : Vi upprättr gemensm snningstbell för,, : A A A A A A (A A) A,, (g): ormlern hr enbrt i snningstbellern: A B A (A B) B (A B) (A B B) A (f), (h): ormlern (f) och (h) hr enbrt i tbellern: A B C (A B) (B C) (A (B C)) (A B C) 3-7.2, Av tbellen frmgår tt är kontingent; är tutolog A B C A B B C A B B C kontingent tutolog Av tbellen ser vi tt är en kontrdiktion A B (A B A) (A B) kontrdiktion Vi nvänder snningstbell metoden: A B A B B A * Rd 4 är den end där både A B och B är snn. Där får även A värdet. A B, B A A B C A (B C) (A B) (A C) nningstbellern är rd för rd identisk. A B, B C A C Vi nvänder snbbmetoden: A B, B C A C A B A C B C nningstbell metoden: A B C A B A C B C * * * * I de rder där A B hr, dvs rdern 1, 2, 7, 8, får även A C B C värdet. (A B) (C D) A C B D nbbmetoden: (A B) (C D) A C B D Det är omöjligt tt h premissen snn smtidigt med tt konklusionen är flsk. (A B) A B nningstbell metoden: A B (A B) A B (A B) A B A B (A B) A B (A B) C A (B C) Dett är ett fll där det är lättere tt nvänd snningstbeller än snbbmetoden. A B C (A B) C A (B C) ormlern hr smm snningstbell. (* visr tt är ssocitiv. *) A (B C) (A B) (A C) nningstbell: A B C (A C) (B C) nbbmetoden: : A B C (A C) (B C) 11 12

4 3-7.5 (* De tre rdern bestäms v de tre olik sätten tt ge (A C) och (B C) snningvärden givet tt (A C) (B C) :s värde är. *) A B C (A C) (B C) : (A C) (B C) A B C (A C) (B C) A B C (A B) (A B) nbbmetoden: (A B) (A B) (A B) (A B) (A B) C (A C) C nningstbell: A B C (A B) C (A C) C * Vi ser tt gäller. (A C) C (A B) C Rd 2 i snningstbellen under visr tt gäller inte. Moteempel: V 2 (A) = V 2 (B) =, V 2 (C) = A (B C) (A B) (A C) nnings tbel: A B C A (B C) (A B) (A C) Premiss och konklusion är ekvivlent. gäller (A B) (A C) A (B C) Tbellen för visr tt premiss och slutsts är ekvivlent. gäller (f) A B, B C, C A A C nbmetoden: A B, B C, C A A C Moteempel: V = V(C) =, V(B) = (f) gäller inte (g) ( A B) ( B C) (A C) ( A B C) nbbmetoden: : ( A B) ( B C) (A C) ( A B C) I vrje rd finns en delformel som får två olik snningsvärden ( A B) ( B C) (A C) ( A B C) : (A C) ( A B C) ( A B) ( B C) Rdern 1 och 3 är omöjlig värderingr; men rd 2 ger ett moteempel V 2 (A) = V 2 (B) = V 2 (C) = (A C) ( A B C) ( A B) ( B C) (g) gäller inte (* Märk tt det räcker tt ekvivlensen inte gäller i en v de två riktningrn för tt ekvivlensen sk vr ogiltig. Märk tt blnd de se rder vi hr studert är det br en som ger moteempel. Det räcker med ett end moteempel för tt en konsekvensreltion inte sk gäll. *) (h) A B C (A B) (A C) Vi tillämpr snbb metoden: : A B C (A B) (A C) A B C (A B) (A C) : (A B) (A C) A B C Rd 1 ger moteempel: V 1 (A) = V 1 (B) =, V 1 (C) = Även rd 3 ger moteempel: V 3 (A) = V 3 (C) =, V 3 (B) = (A B) (A C) A B C (h) gäller inte. (i) A B C (A C) (B C) nningstbell: A B C A B C (A C) (B C) Vi ser tt A B C (A C) (B C) medn (A C) (B C) A B C Moteempel: V 4 (A) =, V 4 (B) = V 4 (C) = V 5 (A) = V 5 (C) =, V 5 (B) = (i) gäller inte (j) A B C (A C) (B C) Av snningstbellen som följer frmgår tt (j) gäller. nningstbell: A B C A B C (A C) (B C) (k) A B C (A C) (B C) nningstbell: A B C A B C (A C) (B C) (k) gäller. Om inte förekommer i formeln A, så hr A minst ett i sin snningstbell. Då A är uppbyggd enbrt v tomär stser, prnteser och konnektiven,,,. Låt V vr den värdering s.. för ll tomär stser (stsprmetrr) B, V(B) =. Vi visr med induktion över A:s längd tt V(A) =. A tomär: Då V(A) = enligt definitionen v V. A = (B C), = (B C), = (B C) eller = ( B C): Enligt induktionshypotesen hr vi V(B) = V(C) =. örst rden i snningstbellen för,,, resp. ger V(A) =. B C B C B C B C B C Hr A lltid minst ett i sin snningstbell? vr: Nej. Låt t.e. A = B B 15 16

5 3-7.7 B B B ormlisering: (P ) (I T) (P T) (I ) (*) Vi nvänder snbbmetoden: (P ) (I T) (P T) (I ) ormeln (*) kn inte vr flsk. ormeln (*) är en tutologi Tolk i (*) som om-så. Då är (P ) ock (I T) snn, medn (P T) och (I ) är flsk. Därför blir förledet i (*) snt medn efterledet är flskt. Alltså är (*) i denn tolkning och därmed den ursprunglig utsgn flsk. Dett visr enligt vår åsikt: (1) överensstämmer inte till 100% med vnligt om-så. (2) Det finns ett fundmentlt fel i den formell logikens grundvlr. Dett sk inte tolks så tt den formell logiken är värdelös v följnde skäl: (i) Mn kn i den formell logiken ldrig gå från snn premisser till en flsk konklusion. (e 5.4 i Kpitel 4, 6.4 i Kpitel 10 och Appendi 1.) får de flest v om-så:s egenskper och speciellt den grundläggnde modus ponens-egenskpen A B, A B (iii) öljnde reltion melln och om-så kn beviss: A B är snn om A är snn, så är B snn. åledes finns det en mycket när reltion melln och om-så. Denn och motsvrnde reltioner för de övrig logisk opertorern gör tt den formell logiken blir en nvändbr modell för logisk slutledningr. ormeln (*) är en version v den mteriell impliktionens prdoer. Problem relterde till dess prdoer diskuters på följnde ställen i Grundläggnde logik: Kp. 2, 4.8; Kp. 3, 1.6, 2.19, övning 3-7.7, övning ; Kp. 4, ; Kp. 8, 4.5 och 4.9; Appendi 3, övning 1-88 och övning (A B B C) (A B ) (B C) (E 19) (A B) ( B C) De Morgn; (E 10) (A B) (C D) (E 19) Alterntiv: ((A B) (C D)) (A B) (C D) (E 25) (A B) ( C D) De Morgn, (E 10) (A B) ( C D) Dubbl negtionen (E 1) kriv på DN och på KN (A B) (B A) (1) nningstbell: A B (A B) (B A) Rd 1: A B; Rd 2: A B; Rd 3: A B; Rd 4: A B (2) DN: (A B) (A B) ( A B) ( A B) (3) KN: ormeln är en tutologi. Då (A B) (B A) A A vr: A A kriv på DN och på KN (A B A) A B (1) nningstbell: A B (A B A) A B (2) DN: ormeln är en kontrdiktion: (A B A) A B B B vr: B B (3) KN: Vi nvänder Metod 1 ( 4. 15). örmeln hr i följnde rder: Rd 1: A B; Rd 2: A B; Rd 3: A B; Rd 4: A B vr: ( A B) ( A B) (A B) (A B) ((A B) (C D)) (A B) (C D) (E 24) kriv på DN och på KN: A (B C) (1) nningstbell: A B C A (B C) (A (B C)) (2) DN: A (B C) hr i: Rd 1: A B C; Rd 4: A B C; Rd 6: A B C; Rd 7: A B C (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (3) KN (Metod 1): A (B C) hr i: Rd 2: A B C; Rd 3: A B C; Rd 5: A B C; Rd 8: A B C ( A B C) ( A B C) (A B C) (A B C) (4) KN (Metod 2): kriv först (A (B C)) på DN: (A (B C)) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) Då: (A (B C)) [(A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (* De Morgn, (E 11) *) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) (* De Morgn, (E 10) *) ( A B C) ( A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) (A B C) kriv på DN och på KN: (A B) ( A B C) (1) nningstbell: A B C (A B) ( A B C) (2) DN: ormeln hr i: Rd 1: A B C; Rd 2: A B C; Rd 5: A B C; Rd 6: A B C; Rd 7: A B C (3) KN (Metod 1): ormeln hr i: Rd 3: A B C; Rd 4: A B C; Rd 8: A B C : {, } är fullständig Enligt teorem 5.5, är {,, } fullständig. Låt f vr en snningsfunktion och A en formel som representerr f och utn ndr konnektiv än,,. M h ekvivlensen (E 8): A B ( A B) (De Morgn), kn ll förekomster v i A elliminers. Vi hr hittt en representtion v f enbrt termer v och. 5.9: {, } är fullständig Låt A vr en representtion v f s A br innehåller konnektiven och (e Korollrium 5.8).M h ekvivlensen (E 13): A B A B, kn ll förekomster v elliminers så tt endst konnektiven och förekommer Definier,,, i termer v heffers streckfunktion /. A B A/B A A/A A B (A/B)/(A/B) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) 19 20

6 A/B ( A B) (från (2)) ((A A)/(B B)) (från (3)) [(A A) (B B)] [(A A) (B B)] (från (3) A B A B (A/A)/(B/B) A B A/(B/B) Vi ser tt A A/A A B (A/B)/(A/B) A B (A/A)/(B/B) A B A/(B/B) Idéer: A/B (A B) A (A A) A/A A B (A/B) (A/B)/(A/B) A B ( A B) A/ B (A/A)/(B/B) A B (A B) A/ B A/(B/B) Definier / och i termer v vrndr. Vi jämför tbellern för / och : A B A/B A B Vi ser tt: A B ( A/ B) (1) A/B ( A B) (2) A B (A B) Därför: A (A A) A A (3) Vi får nu: A B ( A/ B) (från (1)) ((A/A)/(B/B)) (7.12) [(A/A)/(B/B)]/[(A/A)/(B/B)] (7.12) Objektspråket. nn. Metspråket. lsk. (Längd mäts i ntl bokstäver.) Metspråket. nn. Metspråket. lsk. Metspråket. nn. (f) Objektspråket. nn. (g) Metspråket. lsk. (h) Metspråket. lsk. (i) Objektspråket. nn. (j) Metspråket. lsk. (k) Öppen formel, inte sts. Vrken snn eller flsk. (l) Metspråket. nn. (m) Metspråket. Att bestämm snningsvärdet är en knepig filosofisk fråg. (* tsen kn i prediktlogiken formlisers: (P T). Den kn uppftts som en oändlig konjunktion v stser som fås genom tt i (P T) sätt in nmn på stser. *) (1) Vi måste skilj på 3 nivåer: Metspråk: Nmn på nmn på rtionell tl 1/4, 2/4, Objektspråk: Beteckningr på rtionell tl (bråk) 1/4, 2/4, Objekt: De rtionll tlen 0 1 (2) Bråk är beteckningr på rtionell tl och tillhör objektspråket. MGN('', 'y') (* d v s minst gemensmm nämnren för och y *) är lltså en funktion som vbildr ett pr v beteckningr (objektspråksnivå) på ett positivt hel tl (objektnivå), dvs MGN ( p/q, r/s ) = µ (q s ) unktionsuttrycket µ ( ) betecknr det minst positiv heltl som stisfierr villkoret ( ). 'q ' uttrycker tt är jämnt delbr med q. (3) Omformulering v resonemnget: Definition: MGN ( p/q, r/s ) = µ (q s ) = det minst positiv heltl som är delbrt med både q och s. MGN ( 1/2, 1/3 ) = 6 (c 1 ) 1/2 = 2/4 eller (c 2 ) 1/2 = 2/4 MGN ( 2/4, 1/3 ) = MGN ( 1/2, 1/4 ) = (4) Kritik: (i) Resonemnget (c 1 ) är fel därför tt substitutionen är glen. tsen MGN ( 1/2, 1/3 ) = 6 tillhör metspråket. ör tt utför substitutionen behöver vi ett metspråkligt identitetspåstående 1/2 = 2/4. Det hr vi inte. ubstitutionen under - tecknet är fel. I resonemnget (c 2 ) är substitutionen korrekt, men premissen (c 2 ) är flsk e Kpitel 2 Conditionls nd the oundtions of Logic i KB Hnsen: Applied Logic. Act Universittis Upsliensis: Almqvist & Wiksell, tockholm Kpitel 4. Lösningr till övningr på s A B - B C (1) A B P (2) B 1, ( E) (3) A B 2, ( I) A B, B C, A - C (1) A B P (2) B C P (3) A P (4) B 1, 3, ( E) (5) C 2, 4, ( E) (f) A B C, A D - C (1) A B C P (2) A D P (3) A 2, ( E) (4) A B 3, ( I) (5) C 1, 4, ( E) A B, B C, C - A (1) A B P (2) B C P (3) C P (4) B 2, 3, MTT (5) A 1, 4, Disj. yll. A (B C), A B - C (1) A (B C) P (2) A B P (3) A 1, ( E) (4) B A 2, ( E) (5) B 3, 4, MTT (6) B C 1, ( E) (7) C 5, 6, Disj. yll. A B, A C, B C - C (1) A B P (2) A C P 23 24

7 (g) (h) (i) (3) B C P (4) C 1, 2, 3, ( E) A B C, B D C, B D - A D (1) A B C P (2) B D C P (3) B D P (4) C 2, 3, ( E) (5) C A B 1, ( E) (6) A B 4, 5, ( E) (7) A 6, ( E) (8) D 3, ( E) (9) A D 7, 8, ( I) A B, B C D, A C E - E (1) A B P (2) B C D P (3) A C E P (4) A HP (5) A C 4, ( I) (6) E 3, 5 ( E) (7) A E 4-6, ( I) (8) B HP (9) C D 2, 8, ( E) (10) C 9, ( E) (11) A C 10, ( I) (12) E 3, 11 ( E) (13) B E 8-12 ( E) (14) E 1, 7, 13, ( E) A B C, A D, D (A B) - C (1) A B C P (2) A D P (3) D (A B) P (4) D 3, ( E) (5) A B 3, ( E) (*Vi härleder A.*) (6) A HP (7) D 2, 6, ( E) (8) 4, 7, ( I) (9) A 6-8, ( I) (10) B 5, 9, Disj. yll. (11) A B 9, 10, ( I) (12) C 1, 11, ( E) A (B C) - B (A C) (1) A (B C) P (2) B HP (3) A HP (4) B C 1, 3, ( E) (5) C 2, 4, ( E) (6) A C 3-5 ( I) (7) B (A C) 2-6, ( I) A B C - A (B C) (1) A B C P (2) A HP (3) B HP (4) A B 2, 3, ( I) (5) C 1, 4, ( E) (6) B C 3-5, ( I) (7) A (B C) 2-6, ( I) A (B C) - A B C (1) A (B C) P (2) A B HP (3) A 2, ( E) (4) B 2, ( E) (5) B C 1, 3, ( E) (6) C 4, 5, ( E) (7) A B C 2-6, ( I) A B C- - (A C) (B C) A B C - (A C) (B C) (1) A B C P (2) A HP (3) A B 2, ( I) (4) C 1, 3, ( E) (5) A C 2-4, ( I) (6) B HP (7) A B 6, ( I) (8) C 1, 7, ( E) (9) B C 6-8, ( I) (10) (A C) (B C) 5, 9, ( I) (A C) (B C) - A B C (f) (g) (1) (A C) (B C) P (2) A B HP (3) A C 1, ( E) (4) B C 1, ( E) (5) C 2, 3, 4, ( E) (6) A B C 2-5, ( I) A B, B C - A C (1) A B P (2) B C P (3) A HP (4) A B 1, ( E) (5) B C 2, ( E) (6) B 3, 4, ( E) (7) C 5, 6, ( E) (8) A C 3-7, ( I) (9) C HP (10) C B 2, ( E) (11) B A 1, ( E) (12) B 9, 10, ( E) (13) A 11, 12, ( E) (14) C A 9-13, ( E) (15) A C 8, 14, ( I) B - A B (1) B P (2) A HP (3) A B 1, 2, ( I) (4) B 3, ( E) (5) A B 2-4, ( I) A B - A B (1) A B P (2) A HP (3) A 2, Dubbl. Neg. (4) B 1, 3, Disj. yll. (5) A B 2-4, ( I) A B, B C, C - A (1) A B P (2) B C P (3) C P (4) A HP (5) B 1, 4, ( E) (6) C 2, 5, ( E) (7) 3, 6, ( I) (8) A 4-7, ( I) (A B), A - B (1) (A B) P (2) A P (3) B HP (4) A B 2, 3, ( I) (5) 1, 4, ( I) (6) B 3-5, ( I) A A - A (1) A A P (2) A HP (3) A 1, 2, ( E) (4) 2, 3, ( I) (5) A 2-4, ( I) (i) A A - A (1) A A P (2) A HP (3) A 1, 2, ( E) (4) 2, 3, ( I) (5) A 2-4, ( E) A - A B (1) A P (2) A HP (3) B HP (4) 1, 2, ( I) (5) B 3-4, ( I) (6) A B 2-5, ( I) A B- - B A A B - B A (1) A B P (2) B HP (3) A HP (4) B 1, 3, ( E) (5) 2, 4, ( I) 27 28

8 (6) A 3-5, ( I) (7) B A 2-6, ( I) B A - A B (1) B A P (2) A HP (3) B HP (4) A ( E) (5) 2, 4, ( I) (6) B 3-5, ( E) (7) A B 2-6, ( I) (g) A B - (A B) (1) A B P (2) A B HP (3) A 1, ( E) (4) B 2, 3, Disj. Dyll. (5) B 1, ( E) (6) 4, 5, ( I) (7) (A B) 2-6, ( I) (h) A B - A B (1) A B P (2) ( A B) HP (3) A B 2, De Morgn (4) A 3, ( E) (5) A 4, Dubbl. Neg. (6) B 1, 5, ( E) (7) B 3, ( E) (8) 6, 7, ( I) (9) A B 2-8, ( E) (i) (A B) - - A B (A B) - A B (1) (A B) P (*Vi sk härled A. Vi ntr A som etr premiss och härleder.*) (2) A HP (3) A B 2, övn. 8.3 (4) 1, 3, ( I) (5) A 2-4, ( E) (*Vi sk härled B. Vi ntr B som etr premiss och härleder.*) (6) B HP (7) A B 6, övn. 8.2 (f) (8) 1, 7, ( I) (j) (9) B 6-8, ( I) (10) A B 5, 9, ( I) A B - (A B) (1) A B P (2) A B HP (3) A 1, ( I) (4) B 2, 3, ( E) (5) B 1, ( E) (6) 4, 5, ( I) (7) (A B) 2-6, ( I) (A B) - - A B (A B) - A B (1) (A B) P (*Vi härleder först A B. Vi ntr A och B som etr premisser och härleder.*) (2) A HP (3) B HP (4) A B 3, övn. 8.2 (f) (5) B A 2, övn. 8.2 ((f) (6) A B 4, 5, ( I) (7) 1, 6, ( I) (8) B 3-7, ( I) (9) A B 2-8, ( I) (* Nu härleder vi B A. Vi ntr B och A som tillfällig premisser och härleder.*). (10) B HP (11) A HP (12) A B 11, övn. 8.3 (13) B A 10, övn. *.3 (14) A B 12, 13, ( I0 (15) 1, 14, ( I) (16) A 11-15, ( E) (17) B A 10-16, ( I) (18) A B 9, 17, ( I) A B - (A B) (1) A B P (2) A B HP (*Vi sk härled. Vi tr B som riktmärke. ör tt komm åt B och B måste vi eliminer i (1) och (2).*) (3) A B 1, ( E) (4) B A 1, ( E) (k) (5) A B 2, ( E) (6) B A 2, ( E) (*ör tt nå B i (3) måste vi eliminer. ör det behöver vi A. Vi ntr A och ser vd som händer.*) (7) A HP (8) B 3, 7, ( E) (9) B 5, 7, ( E) (10) 8, 9, ( I) (11) A 7-10, ( I) (12) B 6, 11, MTT (13) B 4, 11, MTT (14) 12, 13, ( I) (15) (A B) 2-14, ( I) (*Dett är ett eempel på en deduktion där det behövs en liten gnutt innovtion utöver de heuristisk reglern *) (A B) - - A B (A B) - A B (1) (A B) P (2) ( A B) HP (*Vi ntr negtionen v konklusionen som tillfällig premiss för indirekt härledning. Vi härleder och nvänder ( E).*) (3) A B 3, E 4.8 (4) A 3, ( E) (5) A 3, E. 3.9 (6) B 3, ( E) (7) B E. 3.9 (8) A B 5, 7, ( I) (9) 1, 8, ( I) (10) A B 2-9, ( E) A B - (A B) (1) A B P (2) A B HP (*Vi ntr A B för indirekt härledning.*) (3) A 2, ( E) (4) A 3, E. 3.7 (5) B 1, 4, Disj. yll. (6) B 2, ( E) (7) 5, 6, ( I) (8) (A B) 2-7, ( I) (A A) (1) A A HP (2) A 1, ( E) (3) A 1, ( E) (4) 2, 3, ( I) (5) (A A) 1-4, ( I) - (A A) (1) (A A) HP (*Vi gräver oss in till A genom tt eliminer först och sedn.*) (2) A A 1, ( E) (3) A A 1, ( E) (4) A HP (5) A 2, 4, ( E) (6) 4, 5, ( I) (7) A 4-6, ( I) (8) A 3, 7, ( E) (9) 7, 8, ( I) (10) (A A) 1-9, ( A) - (A A) A (1) A A HP (2) A HP (3) A 1, 2, ( E) (4) 2, 3, ( I) (5) A 2-4, ( I) (6) (A A) A 1-5, ( I) - (A B) (B C) (1) ((A B) (B C)) HP (2) (A B) (B C) 1, De Morgn (3) (A B) 2, ( E) (4) (B C) 2, ( E) (5) A B 3, övn. 8.3 (i) (6) B C 4, övn. 8.3 (i) (7) B 5, ( E) (8) B 6, ( E) (9) 7, 8, ( I) (10) (A B) (B C) 1-9, ( E) - (A B) (A B) (1) ((A B) (A B)) HP (2) (A B) (A B) 1, De Morgn 31 32

9 (f) (g) (3) (A B) 2, ( E) (4) (A B) 2, ( E) (5) (A B) 3, övn. 8.3 (j) (6) 4, 5, ( I) (7) (A B) (A B) 1-6, ( E) - ((A A) B) B (1) ((A A) B) HP (2) A A Eempel (3) B 1, 2, ( E) (4) ((A A) B) B 1-3, ( I) - ((A B) A) A (1) (A B) A) HP (2) A HP (3) (A B) 1, 2, MTT (4) A B 3, övn. 8.3 (5) A 4, ( E) (6) 2, 5, ( I) (7) A 2-6, ( E) (8) ((A B) A) A 1-7, ( I) (A B) (A C) - A (B C) (1) (A B) (A C) P (2) A HP (3) B HP (4) A B 3, övn. 8.2 (f) (5) A C 1, 4, ( E) (6) C 2, 5, ( E) (7) B C 3-6, ( I) (8) A (B C) 2-7, ( I) A B - A C B C (1) A B P (2) A C HP (*Vi sk härled B C. Vi tillämpr den direkt metoden i Vi utför ( E) på A C.*) (3) A HP (4) A B 1, ( E) (5) B 3, 4, ( E) (6) B C 5, ( I) (7) A B C 3-6, ( I) (8) C HP (9) B C 8, ( I) (10) C B C 8-9, ( I) (11) B C 8, ( I) (12) A C B C 2-11, ( I) (13) B C HP (*Vi sk härled A C. Vi nvänder nu för vritionens skull den indirekt metoden i *) (14) (A C) HP (15) A C 14, De Morgn (16) C 15, ( E) (17) B 13, 16, Disj.yll. (18) B A 1, ( E) (19) A 17, 18, ( E) (20) A 15, ( E) (21) 19, 20, ( I) (22) A C 14-21, ( E) (23) B C A C 13-22, ( I) (24) A C B C 12, 23, ( I) A B- - (A B) ( A B) A B - (A B) ( A B) (1) A B P (*Vi nvänder den indirekt metoden i *) (2) ((A B) ( A B)) HP (3) (A B) ( A B) 2, De Morgn (4) (A B) 3, ( E) (5) ( A B) 3, ( E) (*Vi härleder A B och nvänder sedn 8.3 (j). örst härleder vi A B och sedn B A.*) (6) A HP (7) B HP (8) A B 6, 7, ( I) (9) 4, 8, ( I) (10) B 7-9, ( I) (11) A B 6-10, ( I) (12) B HP (13) A HP (14) A B 12, 13, ( I) (15) 5, 14, ( I) (16) A 13-15, ( E) (17) B A 12-16, ( E) (18) A B 11, 17, ( I) (19) (A B) 18, övn. 8.3 (j) (20) 1, 19, ( I) (21) (A B) ( A B) 2-20, ( E) (A B) ( A B) - A B (1) (A B) ( A B) P (* Vi härleder A B. Antg A som etr premiss.*) (2) A HP (3) A B HP (4) A 3, ( E) (5) 2, 4, ( I0 (6) ( A B) 3-5, ( I) (7) A B 1, 6, Dysj. yll. (8) B 7, ( E) (9) A B 2-8, ( I) (* Vi härleder B A. *) (10) B HP (11) A B HP (12) B 11, ( E) (13) 10, 12, ( I) (14) ( A B) 11-13, ( I) (15) A B 1, 14, Disj. yll. (16) A 15, ( E) (17) B A 10-16, ( I) (18) A B 9, 17, ( I) A B C- - (A C) (B C) A B C - (A C) (B C) (1) A B C P (2) ((A C) (B C)) HP (3) (A C) (B C) 2, De Morgn (4) (A C) 3, ( E) (5) A C 4, övn. 8.3 (i) (6) (B C) 3, ( E) (7) B C 6, övn. 8.3 (i) (8) A 5, ( E) (9) B 7, ( E) (10) A B 8, 9, ( I) (11) C 1, 10, ( E) (12) C 5, ( E) (13) 11, 12, ( I) (14) (A C) (B C) 2-13, ( E) (A C) (B C) - A B C (1) (A C) (B C) P (2) A B HP (f) (g) (*Vi nvänder direkt härledning och ( E). Ett lterntiv är indirekt härledning: Antg C och nvänd övning 8.3 (i).*) (3) A C HP (4) A 2, ( E) (5) C 3, 4, ( E) (6) (A C) C 3-5, ( I) (7) B C HP (8) B 2, ( E) (9) C 7, 8, ( E) (10) (B C) C 7-9, ( I) (11) C 1, 6, 10 ( E) (12) A B C 2-11, ( I) A B, A C, B C D - D (1) A B P (2) A C P (3) B C D P (4) D HP (5) (B C) 3, 4, MTT (6) B C 5, De Morgn (7) B 6, ( E) (8) C 6, ( E) (9) A 1, 7, MTT (10) A 2, 8, MTT (11) 9, 10, ( I) (12) D 4-11, ( E) A ((B C) E), B C A, D E - A D (1) A (B C) E P (2) B C A P (3) D E P (4) A HP (5) D HP (6) (B C) E 1, 4, ( E) (7) E 3, 5, ( E) (8) B C 6, 7, Disj. yll. (9) A 2, 8, ( E) (10) 4, 9, ( I) (11) D 5-10, ( E) (12) A D 4-11, ( I) A (B C), A C, B A - C (1) A (B C) P (2) A C P 35 36

10 4-8.6 (3) B A P (4) C HP (5) A 2, 4, Disj. yll. (6) B C 1, 5, ( E) (7) B 4, 6, MTT (8) A 3, 7, ( E) (9) 5, 8, ( I) (10) C 4-9, ( E) (A B) A- - A B nningstbell: A B (A B) A A B Vi ser tt (A B) A = = A B. Av ullständighetsteoremet 5.3 följer (A B) A- - A B. (A B) A - A B (1) (A B) A P (2) (A B) HP (3) A B 2, De Morgn (4) A 3, ( E) (5) (A B) 1, 4, MTT (6) (A B) ( A B) 3, ( I) (7) A B 6, övn. 8,5 (8) 5, 7, ( I) (9) A B 2-8, ( E) A B - (A B) A (1) A B P (2) A B HP (3) A HP (4) B 1, 3, Disj.yll (5) B A 2, ( E) (6) A 4, 5, ( E) (7) 3, 6, ( I) (8) A 3-7, ( E) (9) (A B) A 2-8, ( I) A ( B C) - B A C nningstbbell: Av snningstbellen frmgår tt A ( B C) = B A C Av teorem 5.3 får vi då A ( B C) - B A C. A B C A ( B C) B A C Moteempel: V 7 (A) = V 7 (B) =, V 7 (C) = V 8 (A) = V 8 (B) = V 8 (C) = * * B A C - A ( B C) nningstbell: Av snningstbellen för övning 8.6 frmgår tt B A C - A ( B C). B A C - A ( B C) (1) B A C P (2) A HP (3) B HP (4) B A C 1, 3, ( E) (5) A C 3, 4, ( E) (6) C 5, ( E) (7) B C 3-6, ( I) (8) C HP (9) A C B 1, ( E) (10) A C 2, 8, ( I) (11) B 9, 10, ( E) (12) C B 8-11, ( I) (13) B C 7, 12, ( I) (14) A ( B C) 2-13, ( I) A (A B) - - A B nbbmetoden för riktningen -: A (A B) = A B A (A B) - A B A (A B) - A B (1) A (A B) P (2) A HP (3) A B 1, 2, ( E) (4) A B 3, ( E) (5) B 2, 4, ( E) (6) A B 2-5, ( I) nbbmetoden för - : A B = A (A B) A B - A (A B) A B - A (A B) (1) A B P (2) A HP (3) B A 2, övn. 8.2 (f) (4) A B 1, 3, ( I) (5) A (A B) 2-4, ( I) (A C) B- - (A B) (B C) nningstbell: A B C (A C) B (A B) (B C) Av tbellen frmgår tt (A C) B- - (A B) (B C). (A C) B - (A B) (B C) (1) (A C) B P (*Vi härleder (A B) för sig och (B C) för sig. I båd fllen nvänder viden indirekt metoden i *) (2) (A B) HP (3) A B 2, De Morgn (f) (4) A 3, ( E) (5) B 3, ( E) (6) (A C) 1, 5, MTT (7) A C 6, övn. 8.3 (i) (8) A 7, ( E) (9) 4, 8, ( I) (10) A B 2-9, ( E) (11) (B C) HP (12) B C 11, De Morgn (13) B 12, ( E) (14) (A C) 1, 13, MTT (15) A C 14, övn. 8.3 (i) (16) C 12, ( E) (17) C 15, ( E) (18) 16, 17, ( I) (19) B C 11-18, ( E) (20) (A B) (B C) 10, 19, ( I) (A B) (B C) - (A C) B (1) (A B) (B C) P (2) A C HP (3) B HP (4) A B 1, ( E) (5) B C 1, ( E) (6) A 3, 4, Disj. yll. (7) C 3, 5, Disj. yll. (8) C 2, 6, ( E) (9) 7, 8, ( I) (10) B 3-9, ( E) (11) (A C) B 2-10, ( I) A (B C) - (A B) C nbbmetoden: nbbmetoden ger två moteempel (jfr med Eempel 2.15 i Kp. 3): A (B C) = (A B) C V 2 (A) = V 2 (C) =, V 2 (B) = V 3 (A) = V 3 (B) =V 3 (C) = A (B C) - (A B) C (g) (A B) C - A (B C) nbbmetoden: 39 40

11 (h) (i) (A B) C = A (B C) (A B) C - A (B C) (A B) C - A (B C) (1) (A B) C P (2) A HP (3) B HP (4) A B 3, övn. 8.2 (f) (5) C 1, 4, ( E) (6) B C 3-5, ( I) (7) A (B C) 2-6, ( I) A (A B) - - A En snningstbell visr tt (h) gäller. A (A B) - A (1) A (A B) P (2) A HP (3) A A 2-2 ( I) (4) A B HP (5) A 4, ( E) (6) A B A 4-5, ( I) (*På rdern (1) (6) hr vi vd som behövs för ( E) på (1). *) (7) A 1, 3, 6, ( E) A - A (A B) (1) A P (2) A (A B) 1, ( I) A (A B) - - A En snningstbell visr tt (i) gäller. A (A B) - A (1) A (A B) P (2) A 1, ( E) A - A (A B) (1) A P (2) A B 1, ( I) (3) A (A B) 1, 2, ( I) A B- - (A B) B nningstbell: A B A B (A B) B (j) gäller. A B - (A B) B (1) A B P (2) A B HP (3) B HP (* Vi ntr B för indirekt härledning. Direkt härledning med ( E) på (1) är också möjlig. *) (4) A 1, 3, Disj. yll. (5) B 2, 4, ( E) (6) 3, 5, ( I) (7) B 3-6, ( E) (8) (A B) B (A B) B - A B (1) (A B) B P (2) (A B) HP (3) A B 2, E. 4.8 (4) A 3, ( E) (5) B 4, ( E) (6) A B 4, övn 8.3 (7) B 1, 6, ( E) (8) 5, 7, ( I) (9) A B 2-8 ( E) (k) A B- - A (A B) nningstbell: A B A B A (A B) (k) gäller. A B - A (A B) (1) A B P (2) A HP (3) A HP (*Vi måste nt A som etr premiss två gånger.*) (4) B 1, 2, ( E) (5) A B 3-4, ( I) (6) A (A B) 2-5, ( I) (*Obs: Ett lterntiv är tt nvänd övning 8.2 (f).*) A (A B) - A B (1) A (A B) P (2) A HP (3) A B 1, 2, ( E) (4) B 2, 3, ( E) (5) A B 2-4, ( I) { (A B), A C, B C} är inkonsistent. nningtbellmetoden: A B C (A B) A C B C Det finns ingen rd där (A B), A C, B C ll får. ormelmängden är inkonsistent. nbbmetoden: Vi undersöker om det är möjligt tt smtidigt ge till (A B), A C, B C. (A B), A C, B C ormelmängden är inkonsistent. (A B), A C, B C (j) (k) (1) (A B) P (2) A C P (3) B C P (4) A B 1, övn. 8.3 (i) (5) A 4, ( E) (6) B 4, ( E) (7) C 2, 5, ( E) (8) C 3, 6, Disj.yll. (9) 7, 8, ( I) {A B C, A B A B, A B A A} är stslogiskt konsistent. Vi nvänder snbbmetoden: A B C, A B A B, A B A A Värderingen V sådn tt V(A) = V(B) =, V(C) = gör ll tre formler snn smtidigt. (i) ormlisering: (1) G (2) H (3) (B ) H (4) G nbbmetoden: G, H, (B ) H = G lutledningen är korrekt. (iii) (1) G P (2) H P (3) (B ) H P (4) G HP (5) 1, 4, MTT (6) H 2, 5, MTT (7) B 3, 6, Disj. yll. (8) 7, ( E) (9) 5, 8, ( I) (10) G 4-9, ( E) (i) ormlisering: (1) P G (2) G Ö 43 44

12 (l) (3) G K B (4) G (5) Ö ( G ) nbbmetoden: P G, G Ö, G K B, G = Ö ( G ) (iii) Moteempel: V(G) = V(Ö) =, V(P), V(K), V(B) och V() är rbiträr. Argumentet är felktigt. (i) ormlisering: (1) V N (2) V T (3) N L (4) N (5) L ( V T) nbbmetoden: V N, V T, N L, N = L ( V T) lutledningen är korrekt. (iii) (1) V N P (2) V T P (3) N L P (4) N P (5) (L ( V T)) HP (6) L ( V T) 5, De Morgn (7) L 6, ( E) (8) N 3, 7, MTT (9) V 1, 8, MTT (10) T 2, 9, ( E) (11) V T 9, 10, ( I) (12) ( V T) 6, ( I) (13) 11, 12, ( I) (14) L ( V T) 5-13, ( E) (1) D L B P (5) L D P (6) B P (7) L HP (8) D 2, 4, ( E) (9) D L 4, 5, ( I) (10) B 1, 6, ( E) (11) 3, 7, ( I) (12) L 4-8, ( I) (*Observer tt formlisering och deduktion är möjlig utn en fullständig förståelse v innebörden i stsern.*) ormlisering: (1) D L B (2) L D (3) B (4) L Kpitel 6. Lösningr (P() R(,c)) är en vribel och därför en term, enligt 3.10(1). c är en konstnt och därför en term, enligt 3.10(2). P() och R(,c) är tomär formler, eligt 3.12(2). (P() R (,c)) är en formel enligt 3.15(2) (P() R(,c)) är en formel enligt 3.15(3). y ( P(y) R(z, f())), y, z, är vribler och därför termer, enligt 3.10(1). f() är en term enligt 3.10(3). P(y) och R(z, f()) är tomär formler, enligt 3.12(2). Enligt 3.15(1) är P(y) och R(z, f()) då formler. P(y) är en formel enligt 3.15(2). ( P(y) R(z, ())) är en formel enligt 3.15(2). y ( P(y) R(z, f())) är en formel enligt 3.15(3). y ( P(y) R(z, f())) är en formel enligt 3.15(3) (P() R (,c)) sts P() R(,c) öpen (f) (g) Ingen logiker är skrpsinnig. Någr logiker är inte skrpsinnig. Någr människor är inte skrpsinnig logiker. Någr logiker är skrpsinnig. All problem kn löss. tsen är v formen A (All P är Q): (P() L()) Ing problem kn löss. tsen är v formen E (Ingen P är Q): (P() L()) eller: (P() L()). Någr problem är lösbr, men inte ll. tsen är en konjunktion: Någr problem är lösbr Inte ll problem är lösbr. örst konjunktionsledet: tsen är v formen I (Någr P är Q): (P() L()) Andr konjunktionsledet: tsen är en negtion: All problem är lösbr. rån får vi formliseringen: (P() L()) VAR: (P() L()) (P() L()) (P() y (R(,c) P(f(y)))) sts Det finns olösbr problem. tsen är v formen O (Någr P är inte Q): (P() L()) (P() R(,y)) öpen (P() R(,y) R(,y)) öpen formel All hr en mor. (1) hr en mor (2) hr en mor nlysers: y M(y,) (3) VAR: y M(y,) All logiker är skrpsinnig. Ingen logiker är skrpsinnig. Inte ll logiker är skrpsinnig (* eller: All är inte skrpsinnig logiker *). Inte ll hr brn. (1) tsen är en negtion: ll hr brn. ll hr brn är universiell: 47 48

13 (f) hr brn (2) hr brn y (M(,y) (,y)) (3) VAR: y (M(,y) (,y)) Klle och Ellinor är syskon. (1) k och e är syskon. (2) och y är syskon y och y hr gemensmm föräldrr y z w ((z,) (z,y) M(w,) M(w,y) (3) VAR: k e z w ((z,k) (z,e) M(w,k) M(w,e) Klle är bror till Ellinor (1) k är bror till e (2) är bror till y och y är syskon är en pojke (*se *) z w ((z,) (z,y) M(w,) M(w,y)) P() (3) VAR: z w ((z,k) (z,e) M (w,k) M(w,e)) P(k) ru Johnsson är frmor till Ellinor. (1) j är frmor till e (2) är frmor till y är mor till y:s fr z (M(,z) (z,y)) (3) VAR: z (M(j,z) (z,e)) All fru Johnssons brnbrn är pojkr. (1) tsen är llkvntifierd: ( är brnbrn till fru J. är en pojke) (2) är brnbrn till y z ((M(y,z) (y,z)) (M(z,) (z,))) (3) VAR: ( z ((M(j,z) (j,z)) (M(z,) (z,))) P()) Eftersom det är klrt tt fru Johnsson är en kvinn och därför inte fr till sin brn, är en enklre formlisering följnde: ( z (M(j,z) (M(z,) (z,))) P()) y ( y T (,y) T (y,) Det finns en först tidpunkt. (1) är en först tidpunkt. (f) (2) är en först tidpunkt är tidigre än ll ndr tidpunkter y ( y T(,y)) (3) VAR: y ( y T(,y)) Det finns ingen sist tidpunkt. ormeln y ( y T(y,)) uttrycker tt är n sist tidpunkt. y ( y T(y,)) uttrycker tt det finns en sist tidpunkt. Negtionen v dett utrycker tt det inte finns någon sist tidpunkt. VAR: y ( y T(y,)) ALTERNATIV: y T(,y) dvs ovsett vilken tidpunkt vi väljer, så finns det lltid en tidpunkt som är ännu senre. Det finns ing pr v tidpunkter så tt båd är tidigre än den ndr. tsen är en negtion: y (T(,y) T(y,)) Det finns br en end tidpunkt. y = y dvs det finns ekt ett element i individområdet. (Jfr. Med Eempel 6.4.) Melln två olik tidpunkter finns lltid en tredje (tidpunkt). y ( y z ((T(,z) (T(z,y)) (T(y,z) T(z,)))) Om y, så T(,y) eller T(y,) ger ger T(,z) T(z,y) T(y,z) T(z,y) z y y z Alterntiv: y (T(,y) z (T(,z) T(z,y)) uttrycker det smm. ör om två tidpunkter är olik, så är en v dem tidigre än den ndr. Kll den tidigre och det senre y ( 0 0 < ) y (y y < ) y y = + y (f) y (J( y) J() J(y)) (P() 2 < U()) (J() 2 < y z (P(y) P(z) = y + z)) 2 = U() y = 2 y +1 y = (1 + 1)y + 1 J() y = 2 y y = (1 + 1) y P() > 1 kn inte skrivs som en produkt v två tl melln 1 och > 1 y z (1 < y y < 1 < z z < = y z) (M() H()) eller (M() H()) Vrje hund äges v en människ. (H() äges v en människ) (H() y (M(y) Ä(y,))) (H() y (M(y) Ä(y,))) Någr människor äger en hund, men ingen hund äger en människ. men är huvudopertor och symbolisers med 1. konjunktionsledet: (M() y (H(y) Ä(,y))) 2. konjunktionsledet: (H() äger en människ) (H() y (M(y) Ä(,y))) eller (H() y (M(y) Ä(,y))) (M() y (H(y) Ä(,y))) (H() y (M(y) Ä(,y))) eller (M() y (H(y) Ä (,y))) (H() y (M(y) Ä(,y))) Vrje hundägre är vän med en nnn hundägre. ( är hundägre är vän med en nnn hundägre) ( y (H(y) Ä(,y)) y ( z (H(z) Ä(y,z)) y V(,y) V(y,))) Någr människor hr br en end vän, en hund. (M() hr en och br en vän, och denn är en hund) (M() y (V(y,) z (V(z,) z = y) H(y))) Vrje polis rresterr någon. (P() rresterr någon) (P() y A(,y)) En nmäln mot någon är ett nödvändigt villkor för tt denn sk bli strffd. ( y M(y,) ()) eller (() y M(y,)) (*Märk tt någon här inte är en eistenskvntifiktor! Någon fungerr som en fri vribel vrs ndr förekomst är denn. Vribeln måste sedn binds v en llkvntifiktor.*) Om någon nmäler en nnn, så blir den senre rresterd v polisen. ( y (y M(y,)) z (P(z) A(z,))) (*Här fungerr någon som en eistentiell kvntifiktor eftersom det inte finns någon ndr referens till denn någon.*) Den som nmäler sig själv, blir inte strffd. Även den, som inte blir nmäld, blir inte strffd. (M(,) ()) ( y M(y,) ()) Vrje progrmmerre uppskttr någon filosof. (P() y ((y) U(,y))) Vrje filosof uppskttr någon nnn filosof. (() y ((y) y U(,y))) Det finns progrmmerre som inte uppskttr någr filosofer. (P() y ((y) U(,y))) eller (P() y ((y) U(,y))) Det finns en progrmmerre som är uppskttd v ll filosofer. (P() y ((y) U(y,))) Endst filosofer uppskttr filosofer. ( uppskttr filosofer ()) ( y ((y) U(,y)) ()) Alterntiv: 51 52

14 (f) (g) y (() U(y,) (y)) (*De två formliseringrn kn viss vr logiskt ekvivlent.*) ilosofer uppskttr endst filosofer. (() uppskttr endst filosofer) (() y (U(,y) (y))) Alterntiv: y (() U(,y) (y)) Vrje filosof uppskttr ll sådn progrmmerre, som endst uppskttr filosofer. (() uppskttr ll progrmerre som endst uppskttr filosofer) (() y (P(y) y uppskttr endst filosofer U(,y))) (() y (P(y) z (U(y,z) (z)) U(,y) [() y (P(y) z (U(y,z) (z)) U(,y))] Predikt: P(): är tt päron Vi följer mllrn i Eempel 6.4. P() P() y (P() P(y) = y) (P() y (P(y) = y) y (P() P(y) y) (f) y z (P() P(y) P(z) = y = z y = z) (g) y (P() P(y) y z (P(z) z = z = y)) Vi följer mllrn i eempel 6.4 men ersätter Ä() med K() D(,) (K() D(,)) (K() D(,)) y (K() D(,) K(y) D(y,) = y)) (K() D(,) y (K(y) D(y,) = y)) y (K() D(,) K(y) D(y,) y) (f) y z (K() D(,) K(y) D(y,) K(z) D(z,) = y = z y = z) (g) y (K() D(,) K(y) D(y,) y z (K(z) D(z,) z = z = y)) y = y y ( y z (z = z = y) Den nuvrnde kungen v pnien är demokrtiskt sinnd. K(); är nuvrnde kung v pnien D(): är demokrtiskt sinnd () (K() y (K(y) y = ) D()) Riksdgsmnnen är f d stts råd. R(): är riksdgsmn (): är f d stts råd (R() y (R(y) y = ) ()) Den höjdhoppre, som klrr 2,50 m, eisterr inte. Det är nturligst tt tolk som en sts v formen E: Det finns ingen höjdhoppre som klrr 2,50 m. H(): är höjdhoppre K(): klrr 2,50 m. (H() K()) Vi kn försök uppftt den höjdhoppre som klrr 2,50 som en bestämd beskrivning. Då får vi formliseringen (H() K() y (H(y) K(y) y = )) d v s det finns inte en unik höjdhoppre som klrr 2,50. Men den senre formliseringen är snn, om ingen höjdhoppre klrr 2,50 eller om minst två klrr 2,50 m. Det är knppst meningen med den ursprunglig stsen. Antlet supermkter är två. En enkel tolkning är följnde: Det finns ekt två supermkter. (): är en supermkt y (() (y) y z ((z) z = z = y)) Det är möjligt tt ge en formlisering v stsen där ntlet supermkter behndls som en bestämd beskrivning. Men det kráver mängdteori utöver Kpitel 7 i Grundläggnde logik. Den skäggig dmen på cirkus är en mn. (): uppträder som skäggig dm på cirkus M(): är en mn (() y ((y) y = ) M()) Det vore knske frestnde tt försök med en lterntiv nlys v den skäggig dmen på cirkus : Ä(): är skäggig D(): är en dm C(): uppträder på cirkus (Ä() D() C() y (Ä(y) D(y) C(y) y = ) M()) (f) Men det leder till tt mn om rtisten ifråg predicerr två oförenlig egenskper D() och M(). Den ursprunglig stsen är inte mend tt h sådn konsekvenser. Den som nmäler sig själv är i stsen 7.10 inte en bestämd beskrivning. Den och som kn här uppftts som individvribler. tsen blir därför universell, snrre än en eistentiell sts som uttrycker en bestämd beskrivning. (Jfr. med ) ymboler: B(): is boy G(): is girl A(): is born into the world live L(): is liberl C(): is conservtive T(): is little ((B() G()) A() (T() L()) (T() C())) (1) All hr en fr (2) Någon är fr till ll. (1) y (,y) (2) y (,y) Meningen med stsen I London blir en person överkörd vrje hlvtimme är: (hlvtimme) y (person) (y blir överkörd vid ) d v s c: 48 personer blir överkörd i London vrje dygn. Lyssnren uppfttr emellertid stsen som: y (person) (hlvtimme) (y blir överkörd vid ) d v s en och smm person blir överkörd c: 48 gånger per dygn. Lyssnren hr kstt om ordningen melln kvntifiktorern. Kpitel 7: Lösningr till övningrn på s ANMÄRKNING: Vi behndlr först de övningr som finns insprängd i teten i vsnitt 7-1, 7-3, 7-5 och Mängder {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3} = {3, 1, 2} d v s A = B = C {{1, 2}, {2, 3}} = {{1, 2}, {3, 2}} d v s E = { }därför tt sknr element emedn { } hr ett element, nämligen. Av etensionlitetsprincipen följer { } P ({1, 2, 3}) hr följnde element: ; {1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}; {1, 2, 3} (1) Mängden v ll människor som dricker eller röker. (2) All människor som dricker och röker. (3) All som dricker men inte röker. (4) All som röker men inte dricker. (5) All som inte dricker. (6) All som inte röker. (7) {1, 2, 3, 5, 7, 9} (8) {3, 5, 7} (9) {2} (10) {1, 9} (11) {0, 2, 4, 6, 8} (12) N = {0, 1, 2, } (13) (14) { N jämt} (15) { N udd} (16) {Olle, Pelle, Nisse, Klle} = V (17) {Olle, Nisse} (18) {Pelle} (19) {Klle, Nisse} (MA 1) Negtionenen v en tutologi är en kontrdiktion, t e (A A) A A 55 56

15 (MA 1 ) Negtionen v en kontrdiktion är en tutologi, t e (A A) A A (MA 2) A A (E 1) (MA 3) A A A (MA 3 ) A A A (*Vi låter T representer en godtycklig tutologi och representer en godtycklig kontrdiktion.*) (MA 4) A T T (MA 4 ) A (MA 5) A A (MA 5 ) A T A (MA 6) A A T, d v s = A A (T 3) (MA 6 ) A A, d v s = (A A) (T 2) (MA 7) A B B A (E 3) (MA 8) A (B C) (A B) C (E 5) (MA 8 ) A (B C) A (B C) (E 4) (MA 9) A (B C) (A B) (A C) (E 7) (MA 9 ) A (B C) (A B) (A C) (E 6) (MA 10) (A B) A B (E 11) (MA 10 ) (A B) A B (E 10) (MA 11) A (A B) A (MA 11 ) A (A B) A om eempel visr vi (MA 5 ), (MA 10) och (MA 12). (MA 5 ): VL VL: A är streckd vågrät. V är streckd lodrät. A V är streckd både vågrät och lodrät. HL: A är streckd vågrät. Vi ser tt A V = A. (MA 10): A A B A A HL B Vi visr ett urvl: (MA 3): A A A A A (*eftersom A A A*) (MA 6): A A A A A A V (*eftersom A A) är tutolog*) (MA 7 ): A B A B B A (eftersom är kommuttiv, d v s A B B A) B A A B = B A enligt etensionlitetsprincipen VL VL: (A B) är streckd snett. HL: A är streckd vågrät. B är streckd lodrät. A B är streckd vågrät och lodrät. Vi ser tt (A B) = A B. (MA 12): HL (MA 8): A (B C) A B C A ( B C) (* är ssocitiv*) ( A B) C A B C (A B) C A B A B (MA 9 ): A (B C) A B C A ( B C) (*distributiv lg för stslogiken (E 6)*) ( A B) ( A C) A B A C (A B) (A C) VL HL (MA 10): (A B) A B ( A B) (*De Morgns lg (E 11)*) A B A B A B (MA 12): A B A B A B A B VL: A B är streckd snett. HL: A är streckd vågrät; B är streckd lodrät. A B är streckd vågrät och lodrät. Vi ser tt A B = A B Reltioner Vis (,y,z) = (u,v,w) = u y = v z = w (,y,z) = (u,v,w) ((,y),z) = ((u,v), w) (*Definition 3.4*) (,y) = (u,v) z = w (*enligt 3.1*) = u y = v z = w (*enligt 3.1*) K M hr elementen (Ann, Bo); (Ann, Ol); (Ann, Per); (Ev, Bo); (Ev, Ol); (Ev, Per); (Id, Bo); (Id, Ol); (Id, Per). K² = K K hr elementen (Ann, Ann); (Ann, Ev); (Ann, Id); (Ev, Ann); (Ev, Ev); (Ev, Id); (Id, Ann); (Id, Ev); (Id, Id) Allreltionen = A A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Identitetsreltionen = I A = {(1,1), (2,2), (3,3)} Tomm reltionen = b. c.. d. b unktioner R 1 är en funktion R 2 är inte en funktion. Vi hr (1,1) R 2, (1,2) R 2, men 1 2. Av Definition 5.1 följer tt R 2 inte är en funktion. R 3 är en funktion. Antg (, y 1 ) R 3 och (, y 2 ) R 3. Då y 1 = och y 2 = Härv följer omedelbrt y 1 = y 2. R 4 är inte en funktion. R 4 :s grf är Vi ser tt (0,1) R 4 och (0, -1) R 4 medn 1-1. Av Definition 5.1 följer tt R 4 inte är en funktion Enligt definitionen i 5.4 hr vi f [A] = {f() A} Enligt Definition 3.23 R f = {y (,y) f} Då y R f (,y) f (*Def. 3.23*) ( A (,y) f) (*Def. 5.1*) ( A y = f()) (*Def. 5.1*) y f [A] (*Def. 5.4(3)*) f() = + 1 y 1 f

16 f() = ². y / är inte en opertion i Z därför tt (1) Division med 0 inte är definierd t e är 1/0 inte definierd. (2) Z är inte sluten under /, t e är 1, 2 Z men ½ Z. Division är en opertion i Q +. Låt p/q Q + och r/s Q +. Då är (p/q)/(r/s) = (ps)/(qr) definierd och (ps)/(qr) Q +. Division är inte en opertion i Q därför tt Division med 0, t e 1/0, inte är definierd. 7-7 peciell reltioner och funktioner Viktigst i Avsnitt 7 är 7.2, , 7.25, R är en ekvivlensreltion Vi sk vis R refleiv i A, symmetrisk och trnsitiv. Refleivitet: Låt A. Enligt (3) finns i sådn tt A i. Då A i A i. Härv följer (,) R. ymmetri: Antg (,y) R. Då A i y A i för något i y A i A i (y,) R Trnsitivitet: Antg (,y) R och (y,z) R. Då finns i och j sådn tt A i y A i (α) y A j z A j (β) Då gäller lltså y A i y A j Av villkoret (3) följer A i = A j. rån (α) och (β) följer nu ( A i z A i ) d v s (,z) R Enligt Anmärkning 7.10 får vi R = (A 1 A 1 ) (A 2 A 2 ) = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4)} b.. c. c..b {,b,c} {b,c} {,b} {b} {,c} {c} {} : ej idempotent, ej kommuttiv, ej ssocitiv : ej idempotent, kommuttiv, ssocitiv (*jfr. (E 29)*) R är refleiv R är symmetrisk R är trnsitiv (* test ll möjligheter *) R är vrken irrefleiv, ntysymmetrisk, symmetrisk, smmnhängnde eller strkt smmnhängnde. är ej refleiv är ej irrefleiv är ej symmetrisk är ntisymmetrisk är ej symmetrisk är ej trnsitiv (t e (,b), (b,c) men (,c) ) är smmnhängnde är ej strkt smmnhängnde * är ej idempotent * är kommuttiv * är inte ssocitiv, t e ( * ) * b = c b = * ( * b) : idempotent, kommuttiv, ssocitiv : idempotent, kommuttiv, ssocitiv 63 64

17 7-2 Övningr A B, B C A C Gäller inte. Moteempel: Låt A =, B = { }, C = {{ }} Då A B, B C, A C A = B, B C A C Gäller. Antg A = B och B C. Eftersom A och B betecknr smm mängd och B tillhör C, så gör även A det. D v s A C. A B, B = C A C Antg (1) A B (2) B = C Enligt Etensionlitetsprincipen gäller (3) B = C ( B C) rån (2) och (3) följer (4) ( B C) Låt i (4) = A: (5) A B A C (1) + (5) implicerr (6) A C D v s gäller A B, B C A C Gäller inte. Moteempel: Låt A =, B = { }, C = {{ }} Eftersom { }, så (1) A B { } {{ }} ger (2) B C Men eftersom {{ }}, så (3) A C A B, B C A B Gäller. Enligt Definition är innebörden v B C tt vrje element i B också är element i C. Härv följer omedelbrt. Vi ger nu ett mer formellt bevis. Antg (1) A B (2) B C Av Definition får vi (3) B C ( B C) (2) + (3) ger (4) ( B C) Låt i (4) = A: (5) A B A C (1) + (5) implicerr (6) A C (f) A B C (A B B C A C) Gäller. Låt A =, B = { }, C = {, { }} Ge eempel på mängder M i sådn tt A (A M i A M i ) Låt M 1 = M 2 = { } Då gäller A (A M 1 A M 1 ) A (A M 2 A M 2 ) (*Använd Definition eller nvänd Lemm (1).*) Vi definierr nu en oändlig mängd M 3 som stisfierr det givn villkoret. Definier induktivt 0 = n + 1 = n {n} Då är 0 = 1 = { } = {0} 2 = {, { }} = {0, 1} etc. Låt M 3 = {0, 1, 2, } vr den mängd som innehåller just de definierde mängdern 0, 1, 2,. Vi visr nu med induktion över n tt vrje n M 3. Induktionsbs n = 0: Om n = 0 =, så följer n M 3 v lemm (1). Induktionssteg: Antg n M 3. Vi sk vis n + 1 M 3, d v s (1) ( n + 1 M 3 ) Antg n + 1 = n {n}. Då (i) n eller = n. Om n, så M 3 eftersom n M 3 enligt induktionshypotesen. Om = n, så M 3 enligt definitionen v M 3. åledes får vi i båd fllen (i) och tt M 3. Alltså är villkoret (1) uppfyllt, d v s n + 1 M 3. Vi kn därför induktivt konkluder n M 3 för vrje n. Därför A (A M 3 A M 3 ) A är streckd. B C är streckd. A (B C) är den del v A som är streckd vågrät men inte lodrät. D v s A (B C) är den del v A som ligger utnför både B och C. Vi ser tt VL = HL. A (B C) = (A B) (A C) VL: A B (A B) B = A B Vi visr tt (A B) B och A B hr smm element och nvänder etensionlitetsprincipen (A B) B A B B (*Def *) ( A B) B (*Def *) A B (*stslogik*) A B A är streckd vågrät. B C är streckd lodrät. A (B C) är den del v A som är streckd vågrät men inte lodrät. HL: A C B (A B) C = A (B C) Ett tillväggångsätt är tt nvänd definitionern v - och - opertionern och gå frm som i beviset för. En nnn möjlighet är tt rit Venn-digrm. Det gör vi. VL: A C B A B är streckd. C är streckd. (A B) C är den del v A som är streckd lodrät men inte vågrät. D v s (A B) C är den del v A som ligger utnför både B och C. HL: A C B A B är streckd vågrät. A C är streckd lodrät. (A B) (A C) är streckd vågrät eller lodrät. Vi ser tt VL = HL. A B A, B A B Genom tt nvänd Definition v får vi omedelbrt (1) A B A (2) A B B Genom Definition v får vi (3) A A B (4) B A B (1) (4) ger tillsmmn. A B B A A B ( A B) (*Def *) ( B A) (*Kontrposition, (E 14)*) ( B A) (*Def *) B A (*Def *) C 67 68

18 (f) (g) A B A B = A B = A A B Mrkerd mängd är tom. A B omm den del v A som ligger utnför B är tom, d v s A B = omm A B = enligt (MA 12). Alltså (1) A B A B = Vi bevisr (2) A B = A B = A Antg (3) A B = Tg unionen v VL med A B och v HL med A B: (4) (A B) (A B) = (A B) Vi beräknr VL i (4): (5) (A B) (A B) = A (B B) (*(MA 9 )*) = A V (*(MA 6)*) = A (*(MA 5 )*) ör HL i (4) gäller (6) (A B) = A B (*(MA 5)*) (4) + (5) + (6) (7) A B = A vilket bevisr (2). Nu bevisr vi (8) A B = A A B = Antg (9) A B = A nitt på båd sidorn i (9) med B: (10) (A B) B = A B Vi beräknr VL i (10): (11) (A B) B = A (B B) (*(MA 8 )*) = A (*(MA 6 )*) = (*(MA 4 )*) (10) och (11) ger (12) A B = (2) och (8) implicerr (13) A B = A B = A A B A B = V A B = B Kn beviss nlogt med (f). Alterntiv kn mn utnyttj resulttet i (f): (1) A B A B = (*Övning (f)*) (A B) = (*(MA 2)*) A B = V (*(MA 10 ), (MA 1 )*) A B = V (*(MA 2)*) (h) (i) (j) (k) (l) (2) A B A = A B (*Övning (f)*) A B = (A B) B = B (A B) (*(MA 7)*) = B (B A) (*(MA 7 )*) = B (*(MA 11)*) A B = A B B A Använd (f) och. A B = V A B B A Använd (g) och eller nvänd (h). A B = V, A B = B = A Antg (1) A B = V, A B = Övningrn (h) och (i) ger (2) B A (3) A B d v s (4) B = A A B A B Använd definitionern v och. A B, B C A C Antg (1) A B (2) B C Lemm ger (3) A B (4) B C Då enligt lemm (4) (5) A C Antg (6) A = C (3) + (4) + (6) implicerr (7) A = B = C som motsäger (1) och (2). Alltså (8) A C som tillsmmn med (5) ger (9) A C (m) A B (B A) (n) Vi ntr tt (m) är flsk och härleder en motsägelse. Antg (1) A B (2) B A Använd Övning (l) på (1) och (2): (3) A A som implicerr (4) A A vilket är omöjligt. (A B) C = A (B C) C A Vi nvänder Venn-digrm. Av figuren ser vi tt (A B) C = A (B C) C A = C A A B A B C (A B) C A (B C) C P innehåller en cell: P 1 = {{, b, c}} P innehåller två celler: P 2 = {{, b}, {c}} P 3 = {{, c}, {b}} P 4 = {{}, {b, c}} P innehåller tre celler: P 5 = {{}, {b}, {c}} A B V II VI I III IV VII VIII Rh Vi skriver H = kron T = klve 1: HHH 2: HHT 3: HTH 4: THH 5: HTT 6: THT 7: TTH 8: TTT Det blir 4 celler i prtitionen: 3H: {HHH} 2H: {HHT, HTH, THH} 1H: {HTT, THT, TTH} 0H: {TTT} Prtitionen blir {{HHH}, {HHT, HTH, THH}, {HTT, THT, TTH}, {TTT}} Låt A = {, b, c}. Konstruer ll prtitioner v A. En prtition måste innehåll en, två eller tre celler I: AB + II: AB III: A + IV: B + V: A VI: B VII: 0 + VIII: 0 Abstrktionsprincipen implicerr tt V är en mängd. Eftersom vrje mängd är identisk med sig själv, stisfierr V V = { = } Enligt Abstrktionsprincipen är V en mängd. Antg tt A = { y ( y y )} är en mängd. Då följer en kontrdiktion. Om A är en mängd kn vi fråg om A A eller inte. Antg (1) A A Enligt Abstrktionsprincipen följer tt A stisfierr det villkor som definierr A: (2) y (A y y A) Låt i (2) y = A: 71 72

19 (3) A A A A Vilket enligt stslogiken är ekvivlent med (4) A A som motsäger (1). Altså måste gäll (5) A A Men även A A implicerr en motsägelse: (5) och definitionen v A ger (6) y (A y y A) vilket är logikst ekvivlent med (7) y (A y y A) Välj ett sådnt y som stisfierr A y y A och kll det B: (8) A B B A Då (9) A B (10) B A Eftersom B A, stisfierr B det villkor som definierr A: (11) y (B y y B) Låt i (11) y = A: (12) B A A B rån (9) och (12) får vi med stslogik (13) B A som motsäger (10). 7-4 Övningr (, ) = {{}, {, }} = {{}, {}} = {{}} (, y) = (u, v) = u y = v : Antg (1) (, y ) = (u, v) Då (2) {{}, {, y}} = {{u}, {u, v}} Vi delr upp undersökningen i två fll: (i) = y, y. Om = y, så innehåller {, y} br ett element. Eftersom {u, v} = {} eller {u, v} = {, y} så innehåller {u, v} br ett element. Då u =v. Då även u =. Alltså (3) = y = u = v Nu ser vi på fllet y. Då innehåller {, y} två element. Av (2) får vi då (4) {} = {u}, {, y} = {u, v} Då (5) = u, y = v Antg (6) = u (7) y = v Vi substituerr u för och v för y: (, y) = {{}, {, y}} (*Def *) = {{u}, {, y}} (*Etensionlitet*) = {{u}, {u, v}} (* Do *) = (u, v) (*Def *) (A B) (C D) = (A C) (B D) (, y) (A B) (C D) A B y C D (*Def. v *) ( A B) (y C y D) (*Def. v *) ( A y C) ( B y D) (*stslogik*) (, y) A C (, y) B D (*Def. v *) (, y) (A C) (B D) (*Def. v *) (A B) C = (A C) (B C) Vi nvänder (MA 3 ) C = C C och får (A B) C = (A B) (C C) (*(MA 3 )*) = (A C) (B C) (*Övning *) A (B C) = (A B) (A C) Använd A = A A och gå frm som i beviset för (A B) C = (A C) (B C) (, y) (A B) C A B y C (*Def. v *) ( A B) y C (*Def. v *) ( A y C) ( B y C) (*tslogik, distributiv lg (E 16)*) (, y) A C (, y) B C (*Def. v *) (, y) (A C) (B C) (*Def. v *) A (B C) = (A B) (A C) Anlogt med. Det finns A, B, C, D sådn tt (A B) (C D) (A C) (B D) A c B b d D Låt b och c d, och A = {}, B = {b}, C = {c}, D = {d} Då är (A B) (C D) = {, b} {c, d} = {(, c), (, d), (b, c), (b, d)} medn (A C) (B D) = {(, c)} {(b, d)} = {(, c), (b, d)} Vi nger domän D R, räckvidd R R och fält R : D R = {1, 2, 3} R R = {Aristoteles, rege, Gödel} C R = D R R R = {1, 2, 3, Aristoteles, rege, Gödel} Vi nger D <, R <, < : D < :N={0, 1, 2, } R < :Z + = {1, 2, 3, } < : D < R < =N={0, 1, 2, } P P = P P V = V P 1 = P (R ) 1 = 1 R 1 V V = P V P = V (f) V 1 = V (, y) (R ) 1 (y, ) R (*Def *) z (yrz z) (*Def *) z (zr 1 y 1 z) (*Def *) z ( 1 z zr 1 y) (*tslogik*) (, y) 1 R < < = < ir Vi hr i R (< <) y z < z < y (*Def. v *) < y Vi bevisr den ndr ekvivlensen. Antg (1) z < z < y Eftersom < är trnsitiv, d v s < z z < y < y följer (2) < y Alltså (3) z < z < y < y Antg (4) < y Eftersom de reell tlen ligger tät på tllinjen, kn vi ltid hitt ett tredje tl z melln och y. (5) z ( < z z < y) z y 75 76

20 Altså (6) < y z ( < z < y) (< <) y + 2 y i N Antg (1) (< <) y Då finns z N sådnt tt (2) < z z < y Då är z minst 1 större än och y är minst 1 större än z så tt y blir minst 2 större än, d v s (3) + 2 y Altså (4) (< <) y + 2 y Antg (5) + 2 y Då (6) < + 1 < y och därför (7) (< <) y Altså (8) + 2 y (< <) y < < 1 =R R ir örst ser vi tt < 1 = >: < 1 y y < > y (1) Vi hr också (< < 1 ) y (< >) y z ( < z z > y) z (, y < z) (2) Eftersom R R är llreltionen i R, gäller trivilt < < 1 R R (3) Antg (, y) R R (4) Då är och y godtycklig element i R. Vi kn lltid hitt ett z R som är större än båd och y. Alltså z (, y < z) (5) (2) och (5) implicerr (< < 1 ) y (6) Alltså R R < < 1 (7) (3) och (7) implicerr < < 1 =R R H 1 y är äktemn till y (f) H 1 y y H y är hustru till är äktemn till y ( M) y är förälder till y ( M) y y M y är fr eller mor till y är förälder till y ( M) 1 y är brn till y ( M) 1 y y ( M) y är förälder till är brn till y (H H 1 ) 1 y är gift med y (H H 1 ) 1 y y (H H 1 ) y H y H 1 y är hustru eller mn till y är gift med är gift med y ( M) y är morfr till y ( M) y z ( z z M y) för något z, är fr till z och z är mor till y är morfr till y [(M 1 1 ) (B )] y är syskonbrn till y [(M 1 1 ) (B )] y z ( (M 1 1 ) z z (B ) y) (1) Vi nlyserr innebörden v M 1 1 och B : (M 1 1) z M 1 z 1 z z M z z är förälder till är brn till z (2) z (B ) y z B y z y z är bror eller syster till y z är syskon till y (3) Genom tt kombiner (1), (2) och (3) får vi [(M 1 1 ) (B )] y z ( är brn till z z är syskon till y) är syskonbrn till y M (H H 1 ) är svärmor till y z ( är mor till z z är gift med y) z ( M z z (H H 1 ) y) [ M (H H 1 )] y (Övning ) [( 1 ) (M 1 M)] [(M 1 M) ( 1 )] är hlvsyskon till y och y hr gemensm fr men inte gemensm mor och y hr gemensm mor men inte gemensm fr [ z (z z y) w (w M w M y)] [ z (z M z M y) w (w w y)] [ z ( 1 z z y) w ( M 1 w w M y)] [ z ( M 1 z z M y) w ( 1 w w y)] [ ( 1 ) y (M 1 M) y] [ (M 1 M) y ( 1 ) y] [ ( 1 ) y (M 1 M) y] [ (M 1 M) y ( 1 ) y] [(( 1 ) (M 1 M)) ((M 1 M) ( 1 ))] y 7-6 Övningr f = g D f = D g ( D f ) f () = g () : Antg (1) f = g f och g är mängder v ordnde pr. Vi ntr lltså tt f och g innehåller ekt smm ordnde pr. Eftersom f = g, följer v Definition tt D f = D g. Låt D f. Vi visr f () = g (). Eftersom D f = D g, så Dg. Då finns y R f, z R g sådn tt (, y) f och (, z) g. Då y = f() och z = g(). Eftersom (, z) g och f = g, så (, z) f. Vi hr nu (, y) f och (, z) f. Av Definition följer y = z. Alltså (2) f () = y = z = g () : Antg: (3) Df = Dg (4) ( D f ) f () = g () Låt (, y) f. Av (3) får vi D f = D g. Av (4) följer y = f () = g (). Eftersom (, g ()) g, så (, y) g. Därför (5) f g På smm sätt visr vi (6) g f (5) + (6) implicerr (7) f = g (1) I själv verket är bildmängden R f entydigt bestämd v funktionen f och definitionsmängden D f = A. Vi hr nämligen R f = f [A] Informtionen om R f är därför implicit i symbolen f: A B. (2) I mång fll är det svårt eller omöjligt tt eplicit definier R f = f [A] medn det är lätt tt nge en mängd B sådn tt R f = f [A] B. Låt t e f: Z Z f () = ² Då är det lätt tt se tt f [Z] [Z] men svårre tt ekt specifier f [Z]. (3) I de flest fll hr vi ingen nvändning för informtionen om vd R f är. I de fll där vi behöver den, finns den i f: A B eftersom R f = f [A]. (4) I någr smmnhng är skrivsättet f: A B, där vi br kräver R f B, en fördel. Ett eempel är Definition v funktionssmmnsättning. Låt (5) f: A B 1, g: B 2 C f g: A C (f g) () = g (f ()) 79 80

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Matematik för Ekonomer

Matematik för Ekonomer v Tönu Puu Mtemtik för Ekonomer : upplgn 998 y (-, -, ) (,, ) (-, -) (, ) vi vii Förord Denn bok utkom i först upplg 97 på Rbén och Sjögrens förlg. Under loppet v någr få år på 60-tlet hde studentntlet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

RAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN

RAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN DRICKSVTTEN RPPORT Kontroll v dricsvttennläggningr 2009/2010. Tillsynsprojet, Miljösmvern Östergötlnd. Bgrund Ett behov v ompetensutvecling och smsyn vid ontroll v dricsvttennläggningr hr påtlts v flertlet

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter)

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter) Grfer Jokim Nivre Uppsl universitet Institutionen för lingvistik oh filologi Översikt Grunegrepp: Noer (hörn) oh ågr (knter) Grfteoretisk egrepp: Stigr oh ykler Delgrfer oh smmnhängne grfer Rikte oh orikte

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer,

Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, Avsnitt 6 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG Med induktion menr mn vnligen en mycket vnlig resonemngsmetod: mn gör fler observtioner, upptäcker ett mönster (eller något som mn tror är ett mönster) därefter

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

StyleView Scanner Shelf

StyleView Scanner Shelf StyleView Scnner Shelf User's Guide Mximl vikt: 2 ls ( kg) SV-vgn & Huvud-enhet Alterntiv - LCD-vgnr Alterntiv 2 - Lptop-vgnr Alterntiv 3 - Väggspår Alterntiv 4 - Bksid v SV-vgn 3 6 7 Reduce Reuse Recycle

Läs mer

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999 GENETIK en introduktion v Ingel Crlén 1988 och 1999 Innehållsförteckning Innehåll Sidn Förord 3 Kromosomer 4 DN 4 Muttioner 5 Gregor Mendel 5 Mendels metod 6 Mendelklyvning (monohybrid) 6 Dihybrid klyvning

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt

14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt 14 Spelteori 14.1 Två pers nollsummespel: sdelpunkt 14.2 Två pers nollsummespel: rndomiserd strtegi, dominns, grfisk lösning 14.3 LP och nollsummespel 14.4 Två personer - icke konstnt spel. 14.5 Intro

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

FLIKAR: PERSONER TID BUTIK, HANDLA LÄKARE FRITID MAT SAMHÄLLE BOKSTÄVER JAG SJÄLV

FLIKAR: PERSONER TID BUTIK, HANDLA LÄKARE FRITID MAT SAMHÄLLE BOKSTÄVER JAG SJÄLV TID PERSONER FLIKAR: TID TID PERSONER PERSONER BUTIK, HANDLA LÄKARE BUTIK, HANDLA BUTIK, HANDLA LÄKARE LÄKARE FRITID MAT FRITID FRITID MAT MAT SAMHÄLLE SIFFROR OCH BOKSTÄVER SAMHÄLLE SAMHÄLLE SIFFROR OCH

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för dtorteknik Tentmen i EDA320 Digitlteknik-syntes för D2 Tentmenstid: tisdgen den 24 ugusti 999, kl. 08.45-2.45, Sl: mg. Exmintor: Peter Dhlgren Tel. expedition

Läs mer

2011 Mercury Marine *8M0060987* 90-8M0060987

2011 Mercury Marine *8M0060987* 90-8M0060987 2011 Mercury Mrine *8M0060987* 90-8M0060987 910 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Avsnitt 1 - Komm igång VesselView specifiktioner...2 Översikt...2 Knppstsfunktioner...3 "X" knpp...3 Kontrollknpp...3 Knppsts med pilr...4

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral Gustfsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dgverksmhet Servicecentrl 1 På Gustfsgård uppskttr mn följnde sker: invånres välmående ett gott liv ktivt smrbete med de nhörig kompetens i gerontologisk vård personlens

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

Erfarenheter av projekt och program i Västra Götaland

Erfarenheter av projekt och program i Västra Götaland Utvärderingsrpporter 2012:04 Regionl utveckling Erfrenheter v projekt och progrm i Västr Götlnd En metnlys v utvärderingr v projekt och progrm inom tillväxtrbetet i Västr Götlnd. Anlysen är genomförd v

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer