Matematik för Ekonomer

Transkript

1 v Tönu Puu Mtemtik för Ekonomer : upplgn 998 y (-, -, ) (,, ) (-, -) (, )

2 vi

3 vii Förord Denn bok utkom i först upplg 97 på Rbén och Sjögrens förlg. Under loppet v någr få år på 60-tlet hde studentntlet i universitetens så kllde fri fkulteter mångdubblts. Utbildningssystemet i det gml universitetet vr inte dimensionert för sådn studentntl, och undervisningsproblemen löstes oft genom olik typer v provisorier på ett sätt som iblnd till och med kunde led till konflikter. Ett stort problem för ntionlekonomin vr tt mtemtikkunskpern hos mång ekonomistudenter vr betydligt sämre än vd som hde vrit önskvärt med hänsyn till den ekonomisk teorins ntur. Boken skrevs ursprungligen som stöd för C-nivån där förståelsen v tillgänglig läroböcker förutstte mer v genuin mtemtikkunskper än vd som kunde reprers i själv undervisningssitutionen. På A- och B-nivåern fortstte läroböckern tt mödosmt konstruer sin egen differetilklkyl och studentern fördelde sig på två grupper, de som hde läst nturvetenskplig linjens mtemtik i gymnsiet och de som inte hde gjort det. De förr upptäckte till sin förvåning tt ll dess "svår" mrginlbegrepp inte vr något nnt än den gnsk enkl nlys mn redn hde lärt sig i skoln, medn de senre hde ll möd i världen tt följ med i främst mikroteorin. Situtionen hr i stort sett inte förändrts. Då ntionlekonomin i olik utbildningr hr vrit smmnfogd med ndr smhällsvetenskplig ämnen vilk nästn inte lls nvänder mtemtisk metoder, så hr det vrit prktiskt tget omöjligt tt genomdriv förkunskpskrv motsvrnde nturvetenskplig linjens mtemtik. Smtidigt hr ämnet de senste decenniern mtemtiserts i tidigre okänd grd. På 70-tlet kunde mn fortfrnde till och med disputer i ntionlekonomi med en litterärt deskriptiv inriktning, men dett är prktiskt tget omöjligt idg. Resulttet är jkt på tillräckligt omtemtisk läroböcker för den elementär grundutbildningen, och olik typer v stödundervisning i mtemtik på ender C-nivån, eller som introduktion till forskrutbildningen.

4 viii Det är för sådn stödundervisning som denn bok skrevs och fortfrnde är tänkt. När boken skrevs vr det mycket ont om läroböcker i mtemtik för ekonomer - till den grd tt boken översttes privt till engelsk v ekonomen C.S. Soper och sedn cirkulerde i stenciler i dennes hemlnd Austrlien. Situtionen hr under mellntiden rdiklt förändrts. Det hr kommit ut gnsk mång br läroböcker i mtemtik för ekonomer, främst på engelsk. Mn kn därför fråg sig: Vd det är för mening med tt ge ut boken igen? Svret är följnde. Efter fler års uppehåll undervisde förfttren nyligen återigen på en introduktionskurs i mtemtik för doktornder i ntionlekonomi, och upptäckte till sin förskräckelse hur läroböckern hde svällt - från någr hundr till uppemot tusen sidor. Hur skulle mn på någr veckor kunn undervis på ett så omfttnde mteril? Behövde mn överhuvudtget som mtemtiknvändre ll dess begrepp och formell bevis? De tillgänglig läroböckern liknde i formlistisk noggrnnhet mer ren mtemtikläroböcker än de läroböcker i tillämpd mtemtik som fysiker och teknologer lltid hr nvänt. Förfttren plockde lltså ner sin gml lärobok igen och undervisde efter den - och studentern verkde nöjd. Uppenbrligen fnns det lltså en tom nisch för en lärobok v mer måttligt omfång. Mn kn lätt förstå orskern till läroböckerns volymtillvät. Mång förfttre tror tt mtemtisk stringens förutsätter tt mn tr med hel rekvisitn v diffeomorfismer och kompkt mångflder som läroböcker i ren mtemtik brukr strt från. Det tror inte förfttren till denn bok. Den som inte skll bli mtemtiker behöver egentligen br kunn resultten, och, för tt rätt kunn tillämp dem, givetvis även förstå dem. Förståelse för mtemtisk resultt förutsätter emellertid inglund tt mn måste kunn reproducer ll bevis på det mest vttentät sätt. Det finns lltid lterntiv vägr till intuitiv förståelse. En nnn orsk till tt böckern sväller är tt ntionlekonomern finner nvändning för llt fler mtemtisk resultt och tt mtemtikens kunskpsmss själv sväller. (Redn för tio år sedn bevisdes ny teorem om året.) Vd mn försöker tt åstdkomm är läroböcker som även är heltäcknde uppslgsverk. Problemet är emellertid tt de nvändbr resultten nu är så mång tt dett knppst låter sig görs. Uppslgsverket blir oöverskådligt (eftersom de för ekonomer intressnt resultten hämts från så mång olik grenr v mtemtiken) långt innn mn tillnärmelsevis uppnått syftet med den heltäcknde boken.

5 i I förfttrens tycke bör en lärobok v dett slg snrre sts på tt skp överblick och på tt ge den grundläggnde kunskp med hjälp v vilken mn kn sök sig vidre till de speciell resultt som mn knske senre behöver i sin egen forskning. Bokens tillkomsthistori är speciell. Förlget önskde skriv kontrkt på boken, men förfttren ville inte bind sig. Sedn kom emellertid universitetsvärldens först rbetskonflikt. Str efter det tt de offentlignställd fick strejkrätt, och universitetslärrn försökte utnyttj den med någr punktstrejker, så lockoutdes hel kåren, och stten tömde på det viset konfliktkssn för decennier (efter tt h förklrt fckets ytterligre plnerde motåtgärder för smhällsfrlig). Lockouten vr så totl tt förfttren inte ens fick tillgång till sin egn böcker som fnns i rbetsgivrens lokler. Den månd lockouten vrde stt förfttren i sin länstol med ppper och penn men utn tillgång till någon referenslittertur och skrev boken från börjn till slut. Eftersom lltså ll härledningr måste rekonstruers ur minnet på pltsen blev resulttet till fördel rent pedgogiskt och smmnhngsmässigt. Reltivt litet hr förändrts från först upplgn. Ett kpitel om integrtion som borde h komplettert nlysdelen redn i först upplgn hr lgts till. Vidre hr kpitel om mtrislgebr, linjär- och olinjär progrmmering, smt vritionsklkyl och kontrollteori lgts till. Dett gör tt boken dters upp för forskrutbildningsnivån enligt dgsbehovet, även om den fortfrnde i huvudsk är tänkt för C-nivån. Ett kpitel om differensekvtioner hr tgits bort. Orsken är främst den tt ntionlekonomer lltmer modellerr dynmisk processer i kontinuerlig tid, så tt genomgången v differentilekvtionern räcker. Dessutom hr en större revolution inträfft inom teorin för differensekvtioner i smbnd med forskningen omkring kos. Mn tr fst på helt ndr sker än på tt lös linjär system i sluten form, och mterilet är nu så omfttnde tt även en inroduktion helt skulle spräck rmrn för boken. Förfttren ber tt få hänvis till en seprt lärobok om dess sker som hn skrivit (Nonliner Economic Dynmics, Springer-Verlg, 989, 99, 993, 997). Boken innehåller även modern differentilekvtionsteori (som tr fst på geometrisk och topologisk krktäristik i fsdigrmmet snrre än på lösningr i sluten form).

6

7 i Innehåll Logik : Stser och snningsvärden : Stskonnektiven 3 :3 Snningsvärden för smmnstt stser 5 :4 Tvtologier och kontrdiktioner 6 :5 Slutledningr 7 :6 Deduktion och induktion i empirisk vetenskp 8 :7 En teoris informtionsmängd 0 :8 Logikens gränser Mängdlär 3 : Element och mängder 3 : Opertioner på mängder 4 :3 Reltioner melln mängder 7 :4 Smbnd melln stslogik och klsslogik 9 :5 Produktmängder och reltioner :6 Ordningsreltioner :7 Vetenskplig begreppstyper 4 3 Tlsystemet 5 3: Nturlig tl och rtionell tl 5 3: De reell tlens kontinuum 7 4 Vribler och funktioner 3 4: Vribler och konstnter 3 4: Funktioner och vbildningr 3 4:3 Funktionsvärde och rgumentvärde 34 4:4 Funktionell ekvtioner 35 4:5 Domäner och värdeförråd 35

8 ii 4:6 Eplicit och implicit funktioner 36 4:7 Lösning v lgebrisk ekvtioner 36 5 Koordintsystem och funktionsformer 4 5: Krtesinsk koordinter 4 5: Polär koordinter 4 4:3 Koordinttrnsformtioner 4 5:4 Trigonometrisk funktioner 44 5:5 Potensfunktioner 48 5:6 Polynom 5 5:7 Eponentiell och logritmisk funktioner 53 6 Differentilklkyl; Funktioner v ett rgument 59 6: Gränsvärden och kontinuitet 59 6: Först derivtor 60 6:3 Derivering v speciell funktioner 64 6:4 Allmänn deriveringsregler 65 6:5 Högre derivtor 69 6:6 Serieutveckling 7 6:7 Minim och mim 7 6:8 Differentiering 76 7 Differentilklkyl; Funktioner v två rgument 8 7: Funktioner v två rgument 8 7: Nivåkurvor och implicit funktioner 83 7:3 Prtiell derivtor 85 7:4 Differentiering 88 7:5 Minim, mim och sdelpunkter 90 7:6 Derivering v implicit funktioner 95 7:7 Substitutionselsticiteten 98 7:8 Homogen funktioner 06 7:9 Minim och mim under lineär bivillkor 8 Integrtion 8: En först definition 8: Indefinit integrl; godtycklig konstnter 8:3 Definit integrl; geometrisk tolkning 3

9 iii 8:4 Integrtionsteknik 6 8:5 Prtiell integrtion 7 8:6 Vribelsubstitution 8 8:7 Multipl integrler 30 9 Vritionsklkyl och kontrollteori 35 9: Eulers ekvtion 36 9: Ett enklre fll 40 9:3 Vribl ändpunkter och trnsverslitet 4 9:4 Optiml kontrollteori 46 0 Differentilekvtioner 53 0: Först ordningens ekvtioner 54 0: Andr ordningens ekvtioner 58 0:3 Komple lösningr 63 Linjär ekvtionssystem och determinnter 77 : Löpnde indiceringr 77 : Summtecknet 78 :3 Mtris och determinnt 78 :4 Minor och co-fktor 79 :5 Epnsion v en determinnt 80 :6 Epnsion med främmnde co-fktorer 83 :7 Crmers regel för lösning v lincär ekvtionssystem 84 :8 Eistens v en unik lösning 88 Mtriser 93 : Typer v mtriser 93 : Enhetsmtris och nollmtris 94 :3 Trnsponering v mtriser 95 :4 Vektorer 96 :5 Mtrislgebr 96 :6 Mtrisddition 96 :7 Mtrismultipliktion 97 :6 Ekvtionssystem 0 :9 Invers mtris 03 :0 Lösning v ekvtionssystem genom mtrisinvertering 06 : Egenvärdesproblem 09

10 iv 3 Linjär och ickelinjär progrmmering 5 3:4 Kuhn-Tuckerteoremet 5 3: Linjär progrmmerning 6

11 v

12 Logik Mängdärn utgör numer den nturlig utgångspunkten för de flest läroböcker såväl i ren som i tillämpd mtemtik. Även om den bygger på idéer som redn fnns hos filosofer i det gml Greklnd, så är den i sin nuvrnde, fullt utvecklde form en produkt v logikens utveckling under de senste hundr åren. Ett nnt nmn på mängdlärn är också klsslogik, som ntyder dett dess ursprung. Mtemtikern själv hr först något senre börjt intresserer sig för sitt ämnes logisk grunder, och ännu mer senfärdig hr nturligtvis ntionlekonomern vrit med tt tillämp n reltivt ny gren v mtemtiken. De gångn decenniern hr emellertid även ntionlekonomern funnit llt fler tillämpningsområden för mängdlärn, en utveckling på både gott och ont. Smtidigt som dett mycket formellt logisk sätt tt tänk är nyttigt när det gäller tt rens upp oklrheter, så innebär det också risker för överdrivet detljsysslnde med ren formuleringsfrågor. Vi får nog i frmtiden räkn med åtskillig tillämpningr v mängdlärn inom ämnet ntionlekonomi - på gott och ont -, något som motiverr ett större utrymme för mängdlärn i denn bok än det som fordrs för tt sätt läsren i stånd till tt följ dgens elementär läroböcker i ekonomisk teori. Nu kn så gott som llt det mn brukr behndl med hjälp v klsslogik (eller mängdlär) lik väl behndls med hjälp v stslogik. Eftersom det således är möjligt tt med obetydlig etr rbetsinsts lär sig grundern för bägge dess slg v formell logik, i stället för tt enbrt lär sig mängdlär, så börjr denn bok med stslogik och tr först senre upp klsslogiken eller mängdlärn. I gengäld blir den sistnämnd klrre. Vidre rbetr stslogiken med termer som är bsolut grundläggnde i det llmänn vetenskplig språket och därför viktig tt känn till för den som vill följ utredningr om de empirisk (dvs. på erfrenheten byggnde) vetenskperns rbetssätt och struktur. En mycket elementär sådn vetenskpsteoretisk översikt hr även infogts vid slutet v denn presenttion v stslogiken.

13 : Stser och snningsvärden Stslogiken rbetr med stser, som fogs smmn med vrndr på olik sätt, och sysslr med reltioner melln sådn (enkl eller smmnstt) stser. Det end mn till en börjn begär v en sts i logikens mening är tt det i princip skll vr möjligt tt vgör om den är snn eller flsk. Stsen hr således ett snningsvärde, ender snning (betecknt T) eller flskhet (betecknt F). Med tt snningsvärdet endst i princip skll vr möjligt tt bestämm förstås tt krvet gäller stsens uppbyggnd och ej lättillgängligheten v observtionsmteril på grundvl v vilket bestämningen kn ske. Uttrycket "Sveriges folkmängd vid utgången v 970 vr större än 0 miljoner" är således en sts, oberoende v om folkräkningsmteril för omnämnd år finns eller ej. Snningsvärdet i föregående eempel hr fktisk krktär. Men dett är givetvis ej den end möjligheten. Uttrycket "tlet är mindre än tlet 3" är lik väl en sts, ehuru snningsvärdet här hr logisk och ej fktisk krktär, dvs. det beror på de tnkeregler mn godtgit som riktig eller logisk. Av det sgd frmgår tt språklig uttryck som är påståenden kn vr stser i logisk mening, medn sådn som är frågor till eempel inte kn vr det. Ej heller ll påståenden är stser. Påståenden som inte är stser innehåller vnligtvis så kllde obundn vribler. Ett eempel härpå är uttrycket "tlet är mindre än tlet 3". Symbolen betecknr här en vribel, dvs. den mrkerr endst en plts i uttrycket där mn kn sätt in ett tl. Snningsvärdet är obestämt. Mn får en snn sts genom tt sätt in tlet, men en flsk genom tt sätt in tlet 3. Alltså kn det inte vr fråg om en sts i logisk mening. En sts får mn genom tt utbyt vribeln mot en konstnt, eempelvis tlet eller tlet 3. (Här bör inskjuts tt termern vribel och konstnt ej endst nvänds om tl. I uttrycket "lndet importerde under 996 pppersmss från Sverige" betecknr en vribel och Sverige en konstnt). Ett nnt sätt tt gör uttrycket "tlet är mindre än tlet 3" -(kortre uttryckt " <3") - till en sts utgör proceduren tt som det heter bind vribeln. Den kn binds på två sätt, ntingen genom en eistensopertor eller genom en universlopertor. Stsen (E) ( < 3) utläses "det finns något tl (ett eller fler) som är mindre än tlet 3". Stsen () ( < 3) utläses "det gäller för vrje tl tt det är mindre än tlet 3". Eistensopertorn (E),

14 3 oft skriven bg, ger i det speciell eemplet en snn sts, medn universlopertorn (), oft skriven bg, ger en flsk sts. Men bägge är stser. Finns det fler vribler i ett uttryck måste smtlig binds för tt mn skll få en sts. Två eempel är stsern (y) (E) ( <y) och (E) (y) (<y). Den förr utläses "det gäller för vrje tl y tt det finns något tl som är mindre än tlet y". Den senre utläses "det finns ett tl sådnt tt det för vrje tl y gäller tt tlet är mindre än tlet y". Observer tt ordningsföljden melln opertorern är väsentlig, enär den förr stsen gör gällnde tt det för vrje tl finns ndr tl som är mindre, medn den senre hävdr tt det finns ett tl som är mindre än ll ndr tl. Den förr stsen är snn, den senre flsk. (Det är inte ovnligt i dålig bevisföringr tt mn tror sig bevis den senre stsen när mn egentligen bevisr den förr). : Stskonnektiven Stser i logiken kn kombiners till smmnstt stser genom nvändning v ett begränst ntl smmnsättningsord eller stskonnektiv. Det är vnligt tt bygg upp det logisk språket med hjälp v fem sådn konnektiv. (Strängt tget skulle det räck med två, men fem hr befunnits vr lgom för tt gör språket så enkelt som möjligt). Stser som mn sätter smmn beteckns i det följnde med p respektive q. Det enklste konnektivet är negtionen. Negtionen ~ p utläses "icke p" eller "det är icke fllet, tt p". Mn definierr ~ p så tt stsen är flsk när p är snn, medn den är snn när p är flsk. Definitionen kn också översiktligt sätts upp i en snningsvärdetbell. p ~p T F F T Medn negtionen kn definiers med hjälp v en end sts, så nvänds de övrig fyr för tt sätt smmn två stser.

15 4 Konjunktionen p q utläses "p och q". Den är snn när såväl p som q är snn och flsk i övrig fll. Fllen i nednstående snningsvärdetbell är fyr då de bägge enkl stsern kn h två snningsvärden vr. I kolumnen för konjunktionen står sålund ett T på överst rden, medn det står F på de tre övrig rdern. Disjunktionen p q utläses "p eller q". Den är snn när ender p eller q, eller både p och q är snn. Ordet eller i det llmänn språkbruket gör inte klrt huruvid mn vser "åtminstone... eller..., men inte bådder" eller "åtminstone... eller..., eller bådder". Det brukr frmgå v smmnhnget. Logikens språk måste vr lldeles entydigt. Mn måste således bestämm sig för tt eempelvis, som mn hr gjort, välj den senre möjligheten. (Däremot är det klrt tt mn kn välj vilken som helst v de bägge möjlighetern. Det väsentlig är tt mn bestämmer sig och håller fst vid den vld definitionen. Dessutom bör mn inte i det logisk språket välj en innebörd för ett ord som direkt strider mot vrdgsspråkets, emedn dett lätt skulle led till misstg i logikens prktisk nvändning. Av prktisk skäl begränss därför friheten tt välj ekt betydelse till det som vrdgsspråket lämnr öppet och obestämt. Men bortsett från de prktisk svårighetern, så skulle en logik kunn funger med mycket mer godtyckligt vld stskonnektiv än de vedertgn. Dett är viktigt tt håll i minnet för läsre som finner det svårt tt ccepter det godtycklig i definitionern v viss konnektiv.) p q p q p q p q p q T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T I kolumnen för disjunktionen står i enlighet med det sgd ett F endst på sist rden, medn det står T på de tre övrig rdern. Impliktionen p q utläses "om p, så q" eller "p implicerr q". Dett konnektiv hr tt gör med nödvändig och tillräcklig villkor (eller betingelser). Sålund är p ett tillräckligt villkor för q, medn q är ett nödvändigt villkor för p enligt stsen p q. I denn impliktion klls p förutsättning

16 5 och q slutsts. Impliktionen definiers som flsk i ett end fll, nämligen då förutsättningen är snn och slutstsen flsk, i övrig fll är impliktionen snn. Således står det ett F på ndr rden i kolumnen för impliktionen, medn det står T på de tre övrig. Som sist konnektiv återstår ekvivlensen p q. Den utläses "om och endst om p så q" eller "p är ekvivlent med q". I ekvivlensen är p och q nödvändig och tillräcklig villkor för vrndr. Ekvivlensens snningsvärdetbell fstställer dess betydelse så tt p q är snn, dels när båd komponentstsern är snn, dels när båd är flsk. I de bägge övrig fllen, när endst en v komponentstsern är snn och den ndr flsk, så är ekvivlensstsen flsk. Därv T på först och sist rden, men F på de två övrig i kolumnen för ekvivlensen. :3 Snningsvärdetbeller för smmnstt stser Snningsvärdetbellern hr ovn nvänts för tt översiktligt definier stskonnektiven, men de är smtidigt mycket behändig för tt närmre undersök mer komplicerde stser som är smmnstt med hjälp v fler konnektiv. Som eempel på denn nvändning undersöks nedn stsen b pqg bq pg, utläst "p implicerr q och q implicerr p". (Observer tt nvändningen v prenteser här klrgör grupperingen v stsens olik komponenter, så tt mn först hr två impliktioner och sedn en konjunktion v dess). p q b pqg bq pg T T (T) ((T)) (T) T F (F) ((F)) (T) F T (T) ((F)) (F) F F (T) ((T)) (T) Vid undersökningen skriver mn först upp snningsvärden för de bägge impliktionern (ntecknde inom prenteser i tbellen ovn). Av sättet tt

17 6 definier impliktionen följer tt p q är flsk endst i fllet som ntecknts på ndr rden, och tt q p är flsk endst i fllet som ntecknts på tredje rden, eftersom ju impliktionen endst är flsk när förutsättningen är snn och slutstsen flsk. Därnäst skriver mn upp hel konjunktionens snningsvärden, för tydlighetens skull inom dubbl prenteser. Konjunktionen är snn när bägge komponentstsern är snn, och flsk i övrigt. Följktligen skll T nteckns på först och sist rdern i den mellerst kolumnen, medn F nteckns på de bägge övrig rdern. Följden v snningsvärden för stsen b pqg bq pg är sålund T, F, F, T - eller densmm som för ekvivlensen. Det är tydligt tt ekvivlensen p q skulle kunn ersätts med det mer komplicerde uttryck som nyss undersökts. Därmed skulle ett konnektiv bortfll, men i gengäld skulle som synes uttrycken bli längre och mer komplicerde. :4 Tvtologier och kontrdiktioner Anlysmetoden genom snningsvärdetbeller kn nvänds för ll smmnstt stser, ovsett hur mång konnektiv som nvänds. Det finns heller intet som hindrr tt de elementär komponentstsern görs fler än två. (Mn behöver endst dubbler ntlet rder i snningsvärdetbellern för vrje ny elementär sts som förs in. I övrigt är metoden densmm.) Nedn undersöks stsen b~ pqg b pqg, som får eemplifier det viktig begreppet tvtologi. Stsen ~ p q är flsk i ett end fll, nämligen då ~p och q bägge är flsk, eller - vilket betyder detsmm - då p är snn och q är flsk. Stsen är med ndr ord flsk i det fll som ntecknts på ndr rden, men snn i övrigt. b g b g p q ~ pq pq T T (T) ((T)) (T) T F (F) ((T)) (F) F T (T) ((T)) (T) F F (T) ((T)) (T)

18 7 Snningsvärden för impliktionsstsen p q kn skrivs v direkt från den definiernde tbellen. Tydligen blir följden v snningsvärden densmm som för stsen ~ p q. Ser mn så på den tbell där ekvivlensens snningsvärden fstställdes, finner mn tt ekvivlensen är snn när bägge komponentstsern är snn eller bägge är flsk - och någr ndr möjligheter finns inte i den ekvivlenssts som undersöks. Följktligen måste T nteckns på smtlig rder i den mellerst kolumnen. Med ndr ord är stsen b~ pqg b pqg snn, ovsett vilk snningsvärden komponentstsern p och q ntr. En sådn smmnstt sts är logiskt snn. Den brukr också klls för tvtologi. På smm sätt blir en smmnstt sts, som måste vr flsk ovsett vilk snningsvärden dess komponentstser ntr, logiskt flsk. Den är självmotsägnde och brukr klls kontrdiktion. :5 Slutledningr Tvtologiern, v vilk det finns ett trettiotl stndrdtyper, som mn återfinner i de flest läroböcker i logik, spelr en utomordentligt viktig roll. Sådn tvtologier som är impliktionsstser (eller ekvivlenser, vilk enligt ovn ju är dubbelriktde impliktioner), utgör nämligen de vnlig tnkeregler som kommer till nvändning vid logisk slutledningr. Stsen cbgb p pqg bg qh kn lätt viss vr logiskt snn med hjälp v undersökning i snningsvärdetbell. (Undersökningen v denn liksom v följnde eempel överlåtes åt läsren som övning). I denn tvtologi implicers stsen q v konjunktionen v stsern p och p q. När en sts på dett sätt tvtologt implicers v en konjunktion v ndr stser, så brukr mn säg tt den förr är konklusion och de senre premisser. Proceduren tt genom den logiskt snn impliktionen psser från premissern p och p q till konklusionen q klls vnligen slutledning och brukr ställs upp på följnde sätt:

19 8 p p q Q q (modus ponens) med premissern ovnför och konklusionen under linjen. På smm sätt kn tvtologin cb~ qgbpqg b~ pgh -(även här överlåtes undersökningen till läsren) -nvänds i en slutledning vrs uppställning lyder: ~ q p q Q ~ p (modus tollens) Dess två viktig typer v slutledningr, som här upptgits, brukr benämns "modus ponens" och "modus tollens" med sin ltinsk nmn. :6 Deduktion och induktion i empirisk vetenskp Vd som hittills diskuterts är eempel på deduktiv slutledningr. Ren deduktion förekommer i mtemtisk bevis. I empirisk vetenskper som ntionlekonomin förekommer deduktion likså, eempelvis när mn från teorins bstrkt hypoteser (eller ntgnden konstruerde efter forskrns tämligen fri spekultioner) logiskt härleder direkt påståenden om verklighetens förhållnden. Sådn påståenden kn sedn jämförs med observtionsmteril beträffnde dess verklighetens förhållnden, eller, som det heter, tests. Påståenden själv klls därför testimpliktioner. Det sgd betyder tt deduktiv slutledningr leder från hypotesern (premissern) till testimpliktionern (konklusionern).

20 9 En teori i en empirisk vetenskp skll inte br vr logiskt smmnhängnde, den måste även h reltioner till erfrenheter (eller observtioner) om verkligheten. Dess reltioner består i testningsproceduren. Testningsproceduren utgör den end verkligt pålitlig länken melln teorin och verkligheten. Visserligen utgör verklighetserfrenheten (tillsmmns med äldre teoritrdition) forskrens utgångsmteril när denne utformr sin hypoteser. Men denn utformningsprocedur innehåller så mycket förenklingr och ideliseringr v verklighetens komplicerde förhållnden, och den ren fntsin spelr därvid så stor roll, tt resulttet skulle bli enbrt lös spekultion om ej testningen tillkom som en särskild kontrollernde verksmhet. På grund v förenklingen och ideliseringen kommer de bstrkt hypotesern tt innehåll sådn begrepp som inte direkt motsvrr någonting i verkligheten. Mn kn därför inte heller direkt uttl sig om relismen i sådn bstrkt hypoteser. Dess - liksom begreppsbildningen inom dem - får sin mening indirekt genom tt hel kompleet v hypoteser eller teorin kn konfronters med verkligheten vi testimpliktionern (som till skillnd från de bstrkt hypotesern br innehåller begrepp som hr direkt empirisk mening). Härtill kommer tt teorins testimpliktioner oftst är utformde som universell stser, vilk gör gällnde tt någonting gäller i smtlig förekommnde fll inom teorins tillämpningsområde. Mot dess universell stser - eempelvis v typen "det gäller för ll företg i fullständig konkurrens tt de ökr sin produktion när produktpriset stiger" - kn mn ldrig ställ mer än ett begränst observtionsmteril. Hr mn observert ett fll där den universell stsen inte gäller, så måste den givetvis definitivt (slutgiltigt) förksts - liksom konjunktionern v de bstrkt hypoteser v vilk den implicers. Att det sistnämnd är nödvändigt kn mn direkt se på schemt för slutledningr v typ "modus tollens", enligt vilken förkstndet v slutstsen i en impliktionssts måste led till tt även förutsättningen förksts. Förkstndet i smbnd med testningen är således någonting som följer den logisk deduktionens lgr. Det är dessutom, som redn nämnts, definitivt (eller slutgiltigt). Observtioner som överensstämmer med den universell stsen kn däremot ldrig slutgiltigt bekräft den, då mn inte kn uteslut möjligheten v tt en senre observtion kn strid mot denn. En teori inom en empirisk vetenskp etblers därför endst provisoriskt (eller tillfälligt). Proceduren tt genom upprepde observtioner v regelbundn mönster i likrtde fll ställ upp ett universellt påstående härom för ll kommnde

21 0 fll v smm slg brukr klls induktion. Trots försök som i olik tider gjorts för tt ställ upp en "induktionslogik" liknnde den deduktiv logiken, så kn mn inte säg tt induktionen lls är en logisk procedur. :7 En teoris informtionsmängd Det end vid testningen som följer logikens lgr är förkstndet. Mn brukr därför gör gällnde tt en teori innehåller mer informtion om verkligheten ju lättre det är tt förkst den, eller - nnorlund uttryckt - ju mer den förbjuder. För teorier som är lätt tt förkst genom tt de hr mång och sträng testimpliktioner gäller tt ders smbnd med verkligheten blir mycket strkt, förutstt tt de ändå klrr testproceduren. Å ndr sidn kn mn se tt det för en teori, vrs ll testimpliktioner är tvtologier (dvs. logiskt snn stser), inte eisterr någr möjligheter lls tt förkst den. Om en sts är logiskt snn, dvs. är smmnstt v elementär stser på ett sådnt sätt tt den smmnstt stsen blir snn, ovsett vilk snningsvärden de elementär stsern ntr, så är det ju omöjligt tt gör sådn observtioner beträffnde de elementär stserns snningsvärden tt de leder till tt den smmnstt stsen förklrs vr flsk. Följktligen är det meningslöst tt ens försök test en sådn teori. Mn vet från börjn tt den inte kn förksts. Teorins smbnd med verkligheten blir obefintligt och det hel övergår till tt bli ett stycke rent logisk eercis. Ett sådnt skerns tillstånd inträffr när mn gör tillfällig undntg från en teori för tt (bort)förklr observtioner vilk ej stämmer överens med de testimpliktioner teorin nnrs skulle ge. Sådn förklringr brukr i vetenskpsteorin beteckns som d hoc förklringr. I den ekonomisk teorin, som brotts med svårigheter tt nå frm till enkl universell lgr för den mycket skiftnde socil verkligheten, blir frestelsen tt inför sådn tillfällig undntg (oftst betecknde som utonom forändringr) särskilt strk. Konsekvensern härv kn, som synes, dock bli gnsk olycklig. I denn ytterst enkl vetenskpsteoretisk översikt hr hittills förutstts tt testimpliktionern är universell stser. Som synes blir därvid etbleringen v en teori provisorisk, medn förkstndet är definitivt. Skulle testimpliktionern i stället h snnolikhetskrktär, gäller ej det sgd. Om en sts gör gällnde tt någonting gäller -icke universellt - utn eempelvis i en viss frekvens v smtlig förekommnde fll, så brukr den förksts om

22 frekvensen för dett någonting i ett observert urvl "lltför mycket" vviker från den förutstt. Bestämningen v vd som skll förstås med "lltför mycket" blir delvis godtycklig. När mn bestämmer sig härvidlg måste hänsyn ts till tt mn nu inte br löper risken tt godt en teori som senre kommer tt förksts (på grundvl v ndr observerde urvl, omfttnde ett större mteril). Det finns också risken för tt förkst en teori som senre kommer tt godts. Tydligen blir både etbleringen och förkstndet provisorisk vid testimpliktioner v snnolikhetskrktär. Det är också viktigt tt noter tt nu vrken etbleringen eller förkstndet följer den deduktiv logikens lgr. Denn rudimentär diskussion v veteskpsteoretisk principer grundr sig på 50-tlets "logisk empirism" sådn den utformdes v främst Sir Krl Popper. I dett smmnhng bör emellertid som komplettering också påpeks tt verkligt grundläggnde vetenskplig teorier, eller prdigm, enligt Kuhns lär från 60-tlet om veteskplig revolutioner, tenderer tt genom fortgående brbetning bli så cementerde tt de är prktiskt tget omöjlig tt förkst - trots tt ingenting så trivilt som d hoc förklringr finns med i bilden. Enligt Kuhn är lltså olik slg v inomvetenskplig preferenser orsk till vetenskplig revolutioner, när dess sker, snrre än negtiv testningsresultt. Idén fnns någr årtionden tidigre hos ntionlekonomen Schumpeter vilken pekde på "klssisk" perioder i ntionlekonomins histori då forskrn i stort sett trodde sig h förstått llt väsentligt och endst ägnde sig åt tillämpningr och små förbättringr v det stor byggndsverket. Schumpeter menr tt nämnvärd frmsteg inte görs under sådn perioder. Mn bör håll denn tnke i minnet eftersom den ovn refererde logisk empirismen kn ge en lltför glättig bild v verkligheten. :8 Logikens gränser En nnn viktig sk tt komm ihåg är tt logiken hr sin begränsningr. Logikens monumentlste verk under århundrdet "Principi Mthemtic" v Russell och Whitehed, och det därtill nslutnde "Hilbertprogrmmet" hde till syfte tt formuler en väldefinierd verktygsbo v logisk regler som skulle vr tillräcklig för tt bevis ll korrekt teorem i mtemtiken.

23 Ett v de märkligste bidrgen i mtemtikens histori, Gödels "omöjlighetsteorem" visde emellertid tt hoppet vr fåfängt. Antingen fnns inte ll regler mn behövde - eller också vr de motstridig, vilket ju är något v det värst en logik kn råk ut för. Det synnerligen svår beviset genomfördes med hjälp v tlteori, dvs. ll stser översttes först till tl.

24 3 Mängdlär : Element och mängder Medn stslogiken sysslr med stser så sysslr klsslogiken med mängder. En mängd består v ett ntl element som tillsmmns utgör densmm. Mängden kn definiers genom uppräkning v dess element, t.e. S l, q, där n, n betecknr n olik element och S betecknr själv mängden. Klmrrn är trditionell för definition v mängder. Tilläggs bör även tt ordningsföljden melln elementen i uppräkningen är oväsentlig. Ändrs den, förblir mängden ändå densmm. Vidre gäller tt vrje element endst räkns upp en gång. Det kn också vr viktigt tt håll i minnet tt elementen i en mängd kn vr precis vd som helst fysisk föremål eller bstrkt begrepp som tl eller punkter i ett pln, förutstt br tt de är distinkt, dvs. kn skiljs från vrndr. Likså kn mängden vr vilken smling som helst v distinkt element. Mängden S ovn är en ändlig mängd v n element. Det finns givetvis intet som hindrr tt mängden innehåller ett oändligt ntl element. Ett eempel är mängden v ll positiv heltl l3,,,q. Som senre viss finns det mängder, som inte br innehåller oändligt mång element, utn där elementen dessutom är så mång tt de inte ens kn numrers (från ett till oändligheten). Ett eempel härpå är mängden v ll punktern på en sträck v en rät linje. I sådn fll är det uppenbrt tt mn inte kn definier mängden genom uppräkning. I stället kn mn nge en llmän regel eller egenskp som elementen skll uppfyll för tt räkns till mängden. En sådn regel kn bestå eempelvis i tt elementen skll vr reell tl mindre än 3, formellt uttryckt S m 3r. Utläst lyder definitionen "mängden v (reell) tl sådn tt tlet är mindre än tlet 3".

25 4 Det bör nu vr klrt tt det råder ett när smbnd melln klsslogik och stslogik, ty definitionsregeln för en mängd svrr ju just mot ett sådnt språkligt uttryck som kn görs till en sts om vriblern binds eller ersätts v konstnter. Mängden S m 3r är ingenting nnt än mängden v ll de tl (dvs. konstnter) som när de substituers i uttrycket "tlet är mindre än tlet 3" gör dett till en snn sts. För ett element som tillhör mängden S skriver mn symboliskt S, utläst " är ett element i S". Skriver mn S, utläses det " är inte ett element i S". : Opertioner på mängder Mn definierr nu ett ntl opertioner på och reltioner melln mängder, vilk spelr en roll i mängdlärn direkt prllell till konnektivens i stslogiken. Även här är de vnligen fem till ntlet. Opertionen tt tg komplementet till en mängd S leder till en ny mängd, betecknd S', innehållnde ll de element som icke tillhör mängden S. Det är vnligen viktigt tt här gör klrt för sig inom vilken större mängd mn tr komplementet. Komplementet till mängden m3r kn vr m3 r, dvs. mängden v ll reell tl större än eller lik med tlet 3. Därvid utgörs den större mängden v ll reell tl. (Men det är ju också möjligt tt den större mängden, inom vilken komplementet till m3r ts, endst utgörs v säg m5r. I så fll blir komplementet endst m3 5r.) Oft är det fråg om tt ll de mängder mn undersöker endst innehåller element som hör till en för undersökningen given så klld universell mängd. Det är då klrt tt komplementen lltid ts inom denn. Precis som i stslogiken snningsvärdetbellern utgör hjälpmedel för tt klrgör konnektivens innebörd, finns det i mängdlärn ett grfiskt hjälpmedel bestående i von Euler-digrm eller Venn-digrm. Om rektngeln nedn, betecknd U, får symboliser den universell mängden och cirkeln S en viss godtycklig mängd v mindre omfång, så utgörs komplementet S' v den del v rektngeln som ligger utnför cirkeln S. Komplementet hr skuggts för tt lättre kunn identifiers.

26 5 S' S U Smbndet melln tgnde v komplement till mängder och negering v stser är uppenbrt. Det kn enklst demonstrers om mn inför en llmän symbol, säg P, för egenskper som elementen kn h eller skn. Uttrycket " hr egenskpen P" kn då kort skrivs P. Mn kn därvid llmänt definier en mängd genom S m Pr. Likså kn P görs till en sts genom tt en konstnt, säg, får ersätt. Således erhålles stsen P. Andr stser erhålles genom eistentiell eller universell bindning, såsom stsern begb Pg och bgb Pg. Uppenbrt är tt S om och endst om negtionen ~(P) är en snn sts, ty komplementet S' bilds ju just genom tt den för S definiernde egenskpen P negers. Härnäst följer ett pr opertioner som utförs på två mängder, betecknde S och T: Intersektionen v mängdern S och T, symboliserd S T, utgör en ny mängd, bestående v de element som tillhör både mängden S och mängden T. Intersektionen viss i digrmmet nedn som den gemensmm (skuggde) delen v cirklrn. (Som synes innehålles intersektionen i både mängdern S och T.) Om P och Q får beteckn de egenskper som definierr mängdern S och T, så tt S m Pr och T mqr, gäller tt bstg om och endst om konjunktionen b Pg bqg är en snn sts, ty intersektionen bilds just genom tt elementen skll uppfyll bägge mängderns definiernde egenskper. Därv motsvrigheten melln intersektionen och konjunktionen.

27 6 S S T T Unionen v mängdern S och T, symboliserd S T, utgör likså en ny mängd bestående v de element som tillhör S eller T (eller bägge). Unionen viss i digrmmet nedn som det skuggde området. (Som synes innehåller unionen bägge mängdern S och T.) Prllelliteten melln stslogik och mängdlär visr sig även här. Unionen svrr mot disjunktionen. Uppenbrt är tt S T om och endst om disjunktionen b Pg bqg är en snn sts, ty unionen bilds genom tt elementen skll uppfyll ender eller bägge v mängderns definiernde egenskper. (Mn ser här tydligt skillnden melln de två möjlig ovn diskuterde betydelsern för vrdgsspråkets "eller". Om ett unionsbegrepp, som innebär tt mn vill tg ut de element som tillhör ender v mängdern (men inte bägge) hde åsyftts, hde den linsformde gemensmm delen, intersektionen, fått utesluts. S S T T

28 7 :3 Reltioner melln mängder Härnäst följer ett pr reltioner melln mängdern S och T. Ovn hr redn en reltion behndlts, men den vsåg reltionen melln ett element och en mängd. Nu gäller det lltså reltioner melln två mängder. Inklusionen v mängden S i mängden T, symboliserd S T, innebär tt ll element som tillhör mängden S också tillhör mängden T. Mn säger även tt S är en delmängd v T. (Därvid uteslutes ej möjligheten tt mängdern S och T är helt identisk. Mängden T kn lltså innehåll ytterligre element, utöver de som finns i mängden S, men dett behöver inte vr fllet för tt S T skll gäll.) Att S är en delmängd v T kn grfiskt viss i figuren nedn där den större cirkeln T innehåller den mindre cirkeln S. (Som digrmmet hr ritts kommer T tt också innehåll element utöver dem som finns i S. Bägge ingår dessutom i den universell mängden U.) När S T gäller, blir det möjligt tt entydigt definier komplementet till mängden S inom mängden T, dvs. mängden v de element tillhörnde T som ej tillhör S. Stundom nvänds särskild symboler för ett sådnt komplement i vilk båd mängdern måste specificers (eempelvis T-S). Emellertid är det uppenbrt tt den mörkskuggde mängden i figuren nedn även kn skrivs med hjälp v de redn införd symbolern som intersektionen v T och komplementet (inom U) till S, symboliskt uttryckt S T. Det är någr sker som bör noters beträffnde inklusionen S T. Den är en reltion - inte en opertion som definierr en ny mängd som intersektionsoch unionsopertionern gör. Vidre är det viktigt tt noter tt mn inte S T U

29 8 skll nvänd symbolen för mängdinklusion för tt nge tt ett element tillhör en viss mängd. Mn skriver lltså S. Vill mn nvänd symbolen för mängdinklusion måste mn skriv lq S, utläst "mängden bestående v endst elementet är en delmängd v S"» Ovn hr påpekts tt ll mängder som är föremål för en viss undersökning är delmängder v den för undersökningen universell mängden, betecknd U. Denn innehåller ll de element som lls kn bli föremål för undersökningen. För tt mn genom ll mängdopertioner lltid skll komm frm till ny mängder, måste en speciell mängd definiers som inte innehåller någr element lls. Den beteckns oftst och sägs vr tom. Om mn således tr intersektionen melln två mängder som inte hr någr gemensmm element så blir intersektionen en tom mängd. (Mn säger tt mängdern är disjunkt). För tt det nu lltid skll gäll tt intersektionen melln två mängder skll vr en delmängd v dess (även då de är disjunkt) måste mn definitionsmässigt fstslå tt den tomm mängden är en delmängd v vrje godtycklig mängd i en undersökning. För vrje mängd S gäller således S U, dvs. tt den innehåller den tomm mängden och smtidigt själv ingår i den universell mängden. När reltionern S T och T S smtidigt gäller är det uppenbrt tt mängdern måste innehåll smm element, dvs. vr lik. Mn säger då tt reltionen identitet råder, symboliskt uttryckt S T. Precis som de tre behndlde mängdopertionern svrr mot viss stskonnektiv, gäller dett även de två mängdreltionern. Sålund svrr reltionen inklusion mot konnektivet impliktion. Om precis som förut S P om och endst om m r och T mqr, så gäller reltionen S T bgb P Qg är en snn sts, ty ll element som tillhör S kommer tt även tillhör T om det är snt tt den egenskp (P), som definierr den förr, är strängre än den egenskp (Q), som definierr den senre, vrvid uppfyllelsen v P lltid implicerr uppfyllelsen v Q. På smm sätt svrr reltionen identitet mot konnektivet ekvivlens, ty b gb S T gäller om och endst om P Q är en snn sts, dvs mängdern är identisk om och endst om ders definiernde egenskper är ekvivlent. g

30 9 :4 Smbnd melln stslogik och klsslogik Tck vre prllelliteten melln stslogik och mängdlär kn mn med hjälp v Venn-digrm illustrer innebörden v olik tvtologier. Det kn räck med ett end eempel härpå. Ovn visdes med hjälp v snningsvärdetbell tt stsen b~ pqg b pqg blev logiskt snn. Låt p och q beteckn stser som erhålles när mn i uttrycken P och Q ersätter vribeln med någon konstnt, säg. Tydligen blir stsen ~ p q - dvs. b~ Pg bqg - snn, förutstt tt S T gäller. I figuren nedn hr mängden S T skuggts. Nu gäller emellertid tt de element som tillhör mängden S också tillhör mängden T, förutstt tt mn endst bektr den skuggde delen v digrmmet som motsvrr den så kllde snningsmängden för stsen ~ p q. För denn regions vidkommnde ingår elementen från mängden S i mängden T. Utgår mn i stället från en punkt i den vit, hlvmånformde delen v digrmmet där stsen ~ p q - dvs. b~ Pg bqg -är flsk, så gäller tt elementen i S ej ingår i T. Snningsmängden för inklusionen S T utgör tydligen smm skuggde prti v digrmmet som mängden S T. De förblir identisk ovsett hur mn ritr digrmmet (dvs. ovsett om mn låter S helt ingå i, delvis överskär eller helt ligg utnför T). Därv den logiskt snn impliktionsstsen. S T S T U

31 Venn-digrmmen hr emellertid viss nckdelr jämfört med snningsvärdetbellern. Som synes blir den digrmmtisk utredningen v en mycket enkel tvtologis snningsmängder något besvärligre än den meknisk undersökningen v stsen i snningsvärdetbell. Dessutom kn endst smmnsättningr v högst tre komponentstser bekvämt undersöks på dett sätt. I figuren hr ått olik fält mrkerts. Fältet svrr mot punkter som ej fller inom någon v cirklrn, fälten - 4 mot punkter som ligger inom endst en v dem, fälten 5-7 mot punkter som ligger inom två v dem, och fältet 8 mot punkter som ligger inom ll tre. Då ll egenskper, som definierr de tre mängdern, skll kunn gäll och inte gäll (i vilk inbördes kombintioner som helst) är det tydligt tt ll ått fälten måste finns med precis som det är nödvändigt tt undersök ll ått snningsvärdekombintionern för en smmnsättning v tre stser. Medn mn emellertid kn ök ntlet rder i en snningsvärdetbell lldeles obegränst, så blir det mycket besvärligt tt konstruer Venn-digrm för fyr mängder (där seton fält måste mrkers tydligt) och lldeles omöjligt för fem eller fler. Försöker mn sig ändå på undersökningr i Venn-digrm v dess mer komplicerde fll kommer mn tt gör felslut därför tt viss fll (motsvrnde kombintioner v snningsvärden) inte blir undersökt.

32 :5 Produktmängder och reltioner Förutom de ovn berörd sätten tt vi mängdopertioner bild ny mängder (komplement, intersektion, union), så kn mn v två mängder bild en så klld produktmängd. Till skillnd från de genom ovnnämnd opertioner tillkomn mängdern, blir produkten en mängd v nnn typ än de bägge till en produkt hopfogde mängdern själv. Det sknr sålund mening tt eempelvis ställ frågn om produktmängden (i likhet med intersektionen) inkluders i de bägge mängdern, eller om den (i likhet med unionen) i stället själv inkluderr dess. Definier mängdern S l, q och T lb, b, b 3 q bestående v två respektive tre element. Definier sedn mängden v ll ordnde pr v element som kn kombiners ihop genom tt mn tr det först elementet från mängden S och det ndr från mängden T. Vi skriver produktängden ST mb, bgb,, bgb,, b3gb,, bgb,, bgb,, b3gr. Givetvis kn mn bild produktmängden v två identisk mängder. Således blir eempelvis S SS mb, gb,, gb,, gb,, gr. Denn produktmängd S är viktig för definition v reltioner. En reltion R inom mängden S definiers helt enkelt som en delmängd v S (men ej identisk med densmm, så tt S även innehåller element som ej tillhör R). Således gäller tt R S är en reltion melln elementen inom mängden S. Ett eempel härpå är mängden R mb, gb,, gr som utgörs endst v de först och sist elementen från S. Eemplet visr den enklste v ll reltioner, nämligen en identitetsreltion för element i mängden S. Mer llmänt kn en reltion definier eempelvis släktskpsreltioner inom en mängd v personer eller olikhetsreltioner inom en mängd v tl. Om nmnen på ll personer i ett smhälle utgör en mängd, bilds produktmängden genom tt mn smmnställer ll pr v nmn som kn bilds. Därvid skll vrje nmn förekomm som först nmn i pret och kombiners med vrje nmn (även det egn) som ndr nmn. Vill mn definier reltionen "är fr till", så behåller mn endst de nmnpr där den som bär det först nmnet är fr till den som bär det senre nmnet. Mn utesluter lltså ll pr där smm nmn förekommer på bägge pltsern i pret (enär ingen gärn kn

33 vr sin egen fr), vidre ll pr där nmn på personer melln vilk något fderskpsförhållnde (såvitt mn vet) inte råder, och slutligen ll pr där sonens eller dotterns nmn står först och fderns sist (ty nnrs skulle ju sonen eller dottern vr sin egen frfr enär pret med den motstt ordningsföljden melln nmnen också ingår). Den återstående mängden v ordnde pr kn helt enkelt sägs utgör en definition v fderskpsreltionen inom smhället i fråg. En reltion där vrje först element endst förekommer i ett pr brukr bär det speciell nmnet funktion. Fderskpsreltionen som diskuters ovn är således inte en funktion då ju en fr kn h fler brn. Även om begreppet funktion v logikern nvänds i sådn llmänn betydelser, så förekommer den dock vnligst som mtemtisk funktion, vilken i det enklste fllet med vrje tl förknippr ett (och endst ett) nnt tl. :6 Ordningsreltioner En nnn speciell men viktig typ v reltioner utgör de så kllde ordningsreltionern för elementen inom en mängd. Dess är speciell typer v reltioner, som uppfyller viss nedn uppräknde egenskper. Om en reltion R S, definierd för elementen i mängden S, består melln två element S och b S, så tt bb, g R, brukr mn skriv Rb. Således är Rb och bb, g Rlikvärdig uttryckssätt. En reltion sägs vr refleiv om för vrje S gäller R. Ovn hr redn konstterts tt reltionen "är fr till" icke är refleiv. En reltion sägs vr trnsitiv, förutstt tt Rc gäller närhelst Rb och brc gäller (där S, b S och c S ). Reltionen "är fr till" är inte trnsitiv enär den som är frfr till någon ej smtidigt i vår kultur brukr vr vederbörndes fr. Slutligen sägs en reltion vr ntisymmetrisk förutstt tt Rb och br (där S och b S ) endst kn gäll om = b, dvs. och b är smm element. Mn säger nu tt mängden S är kvsiordnd genom reltionen R om denn är refleiv och trnsitiv. Är reltionen R dessutom ntisymmetrisk säger mn tt mängden S är ordnd.

34 3 Ett eempel på en ordnd mängd erhålles om S får vr en mängd v mängder och R får vr reltionen för mängdinklusion. Låt mängdern A, B och C tillhör S, formellt A S, B S och C S. (Observer tt elementen i S själv är mängder.) Nu gäller A A. Vidre gäller tt A B och B C implicerr A C (såsom lätt inses med hjälp v Venn-digrm bestående v tre olik stor cirklr inneslutn i vrndr). Reltionen är lltså refleiv och trnsitiv. Följktligen skulle kvsiordn S. Men nu gäller dessutom tt A B och B A innebär tt A=B, dvs. tt mängdern är identisk. Således är reltionen ntisymmetrisk och kommer tt ordn mängden S. Ett nnt eempel på en ordnd mängd erhålles om mn låter S vr en mängd v tl och R vr reltionen (dvs. mindre än eller lik med). Även denn så kllde svg olikhetsreltion är refleiv, trnsitiv och ntisymmetrisk således en ordningsreltion. (Observer tt den så kllde strk olikhetsreltionen <, dvs. "mindre än", inte är refleiv och således inte ens är någon kvsiordningsreltion.) Ytterligre en egenskp hos en reltion R för elementen i S är viktig. Om det för vrje pr v element, S och b S, måste gäll ender Rb eller br (eller bägge), så säger mn tt reltionen är fullständig. nnt fll är den prtiell. Uppenbrligen är en fullständig ordningsreltion. Å ndr sidn blir endst en prtiell ordningsreltion, ty om två mängder är disjunkt eller endst delvis överskär vrndr, så kommer ju ingen v mängdern tt innehåll den ndr. De reltioner som är viktigst i ekonomisk teori är (fullständigt eller prtiellt) kvsiordnnde. Ett subjekt som hr tt träff ett vl melln fler möjlig hndlingslterntiv nts i regel rngordn hndlingslterntiven enligt preferensreltionen "sämre än eller lik br som". En sådn reltion liknr i mycket den svg olikhetsreltionen. Den är refleiv och trnsitiv, men den är inte ntisymmetrisk, enär två hndlingslterntiv kn betrkts som likvärdig utn tt därför vr identisk. (Är de likvärdig måste ju reltionen "sämre än eller lik br som" gäll i bägge riktningrn.) Bristen på ntisymmetri gör tt reltionern (till skillnd från den svg olikhetsreltionen) endst blir kvsiordnnde. Däremot brukr mn nt tt ll hndlingslterntiv är jämförbr, så tt reltionen blir fullständig. I viss delr v den ekonomisk teorin brukr mn diskuter "effektiv" omdispositioner v smhällets totlt tillgänglig resurser (i form v råvror, rbetskrft och energi) melln de eisternde produktionsnläggningrn, så

35 4 beskffde tt de leder till ökd produktion v åtminstone en vr utn tt led till minskd produktion v någon nnn vr. Kvsiordningen inom mängden kombintioner v producerde vrumängder enligt effektivitetskriteriet blir dock endst prtiell, enär enligt dett eempelvis sådn pr v kombintioner, där den en innehåller mer v viss vror, och den ndr mer v de övrig, lls inte kn relters inbördes. :7 Vetenskplig begreppstyper Mn brukr indel de begrepp som en vetenskp beggnr i tre stor ktegorier, nämligen klssifiktorisk, rngordnnde och metrisk. De klssifiktorisk begreppen hr ovn berörts i smbnd med de llmänn egenskper som utgjorde kriterier för tillhörigheten till olik mängder. Likså hr rngordningrn behndlts. Återstår de metrisk begreppen, vilk leder in på mtemtikens egentlig domäner och vilk behndls i återstoden v denn bok. Metrik hr tt gör med mätning. Följktligen blir det nödvändigt tt på dett stdium kortfttt gå igenom tlsystemen, enär dess ju kommer till nvänding vid ll mätningr. Här må i förbigående endst nämns tt de metrisk begreppen brukr bli lltmer dominernde ju mer formellt utveckld en vetenskp är. Dett är nturligt (och trivilt). Den primitiv människn börjr sorter sin sinnesintryck v eempelvis tempertur genom tt klssificer föremål och miljöer som kll och vrm. Mer sofistikert är det tt urskilj olik grder v värme och tt rngordn dess sinsemelln. På det vetenskplig stdiet konstruerr mn mätinstrument med hjälp v vilk mn får mätvärden uttryckt i tl. Det sgd betyder självfllet icke tt mn skulle klr sig med enbrt metrisk begrepp. Även högt utvecklde vetenskper nvänder ll tre typern. Men vägen från klssifiktion, vi rngordning, och till mätning är typisk i utvecklingen mot ökd precision. Dett gäller sådn begreppsbildning som direkt nknyter till sinneserfrenheter (som beträffnde temperturen), men i lik hög grd mer bstrkt begreppsbildning utn sådn direkt empirisk nknytning).

36 5 3 Tlsystemet 3: Nturlig tl och rtionell tl De mest beknt tlen är givetvis de nturlig tlen,, 3 etc. som beggns vid vnlig uppräkningr. De utgör en oändlig mängd. Lägger mn till tlet 0 och de negtiv tlen -, -, -3 etc. får mn heltlen. Mängden v heltl 3,,,0,,, 3 är likså en oändlig mängd, vilken som delmängd innehåller mängden v nturlig tl,,3. Mängdern är uppenbrligen inte identisk, då ju blnd heltlen även finns ndr tl än de positiv heltlen. Ändå kn mn vis tt heltlen är lik mång som de positiv heltlen (inte ungefär "dubbelt så mång" som mn skulle kunn tro), nämligen genom tt rrnger mängden v heltl på följnde sätt: 0,,,,,3, 3, där väelvis positiv och negtiv tl hr tgits. I denn ordning kn mn pr ihop vrt och ett v de sju uppräknde heltlen med de sju först positiv heltlen och fortsätt proceduren systemtiskt. Resulttet, som kn syns prdolt, är tt ett, och endst ett, heltl svrr mot vrje positivt heltl, dvs. heltlen är lik mång som de positiv heltlen. Bägge mängdern innehåller en så klld uppräkningsbr oändlighet v element. Det prdol beträffnde oändlig mängder ligger i tt de kn klyvs i fler delmängder (fktiskt i oändligt mång), vrvid delmängdern vr för sig innehåller lik mång element som hel mängden. Dett förhållnde brukr stundom nvänds som definition på vd som skll förstås med en oändlig mängd. Näst heltlen införs i skoln llmänn bråk, dvs. kvoter melln heltl (definierde utom för de fll då division med noll förekommer). All positiv llmänn bråk kn systemtiskt ställs upp i följnde tbell med oändligt mång rder och kolumner:

37 Observer tt i tbellen ll positiv heltl kommer tt inkluders (de står i först kolumnen). Ordnr mn elementen digonlt i pilrns riktning (utelämnnde de skuggde element som redn medtgits, såsom / = /), så kommer de llmänn bråken tt kunn räkns upp i en ordningsföljd, som ,,,,,,,, RST UVW Lägger mn sedn till tlet 0 och de negtiv llmänn bråken, kn mängden v ll rtionell tl ordns på följnde sätt: RST UVW 0,,,,,, Även här kn mn emellertid ändr ordningsföljden genom tt börj med nolln och väelvis t positiv och negtiv tl så tt mängden v rtionell tl skrivs,,,,, 0,

38 7 i stället. Den senre mängdens element kn entydigt prs ihop med de positiv heltlen, vrför även de rtionell tlen utgör en uppräkningsbrt oändlig mängd. (Observer slutligen tt det rtionell tlsystemet innehåller ll nturlig tl.) 3: De reell tlens kontinuum Nu förhåller det sig emellertid så tt mn vid beräkningr även behöver tl som icke kn uttrycks som llmänn bråk. Skll mn eempelvis räkn ut digonlen v en kvdrt med en längdenhets sid, erhåller mn till svr längden enheter. Dett tl kn br uttrycks som ett decimlbråk med oändligt mång decimler. Det kn pproimers (hur när som helst) med llmänn bråk. Sålund är 3/ 5. något för stort, medn 9 / är bättre, och 84 / ännu bättre. Men det ekt värdet för kn inte uttrycks som en kvot melln två heltl. Beviset härför är förvånnde invecklt. Mn ntr tt täljre och nämnre i den rtionell kvoten för hr förkortts så tt de inte hr någr gemensmm fktorer kvr, och visr sedn tt bråket ändå måste h sådn gemensmm fktorer. Resonemnget är ett eempel på så kllde motsägelsebevis. Å ndr sidn kn vrje llmänt bråk skrivs som ett decimlbråk. Vid pproimerndet v nfördes tre eempel på dett. I smtlig dess fll vr det tillräckligt med högst två decimler. Andr llmänn bråk kn även de endst uttrycks med ett oändligt ntl decimler. Ett eempel utgör / Det självklr sättet tt bygg ut tlsystemet så tt det kommer tt omftt såväl rtionell tl, som tl liknnde, kllde irrtionell, förefller således vr tt inkluder ll decimlbråk med upp till oändligt mång decimler. Ordet "irrtionell" tyder på motvilj mot tt inför en ny typ v tl. Pythgors som trodde tt världslltet vr uppbyggt i hrmonisk (dvs. rtionell) proportioner dömde en nhängre till döden för tt denne frmhärdde i tt hävd tt inte kunde uttrycks som ett rtionellt tl. Pythgoréern verkställde också domen genom tt dränk hädren, och först

39 8 0 Euclides fler hundr år senre visde tlets irrtionell krktär. Detsmm gällde när mn senre vid lösning v lgebrisk ekvtioner behövde dr rötter ur negtiv tl, även om det förfttren veterligt inte vr någon som dränktes i det smmnhnget. Dess ny tl, som vi också skll träff på i det följnde, klldes "imginär". Det tlsystem som på dett sätt erhålles genom tt kompletter de rtionell tlen med de irrtionell klls för det reell. En nturlig geometrisk motsvrighet till de reell tlen är ett kontinuum v punkter på en rät linje. Säg tt mn utefter fortsättningen v kvdrtens sid i figuren ovn vill mät även digonlens längd. Geometriskt kn mn enkelt med hjälp v en cirkelbåge för ner digonlens längd på sidns förlängning, så som ntyds i figuren. Vill mn låt en punkt rör sig kontinuerligt utefter eln är det tydligt tt mn inte skulle kunn mät viss lägen (eempelvis på digonlens ekt vstånd från nollvärdet) med hjälp v de rtionell tlen. Även om mn mrkerr ll de punkter på eln, vilk motsvrr rtionell vstånd från nollpunkten, klld origo, så kommer ändå inte ll punktern med. Det uppstår viss tomrum, motsvrnde de irrtionell tlen, till vilk mn endst kn låt punkter på rtionell vstånd från origo närm sig. De kn komm hur när som helst, men ej ekt på tomrummets plts. De irrtionell tlen fyller ut tomrummen, vrv motsvrigheten melln kontinuerlig rörelser v punkter och de reell tlen. En egenhet hos de reell tlen är tt de, som redn tidigre ntytts, inte utgör en uppräkningsbrt oändlig mängd. Stndrdbeviset är mycket en-

40 9 kelt. Mn ntr det motstt, tt ll reell tl i intervllet melln 0 och skrivits upp i ordningsföljd. Då tlen är decimlbråk med oändligt mång decimler kn de skrivs: etc där eempelvis är en symbol för det först tlets ndr deciml. Envr v dess symboler motsvrr någon v de tio siffrorn: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Härnäst bildr mn ett nytt decimlbråk genom tt t den först decimlen från det först bråket i serien, ndr decimlen från det ndr bråket och så vidre. Slutligen konstruers bråket 0. b b b 3 där det end som krävs är tt b ej är smm siffr som,b ej är smm siffr som etc. Proceduren är lätt emedn mn för vrje deciml, som är en viss siffr, hr nio ndr siffror tt välj på. Men jämför mn decimlbråket 0. b b b 3 med dem som redn skrivits upp, så är det uppenbrt tt det ny tlet inte kn finns blnd de redn uppräknde. Dett beror på tt dess först deciml skiljer sig från det först tlets först deciml, medn dess ndr deciml skiljer sig från det ndr tlets ndr deciml, och så vidre. Det kn således inte överensstämm med något v de uppskrivn tlen. Följktligen kn ntgndet, tt ll bråk med oändligt mång decimler i det diskuterde intervllet räknts upp, inte stämm, då mn lätt kn konstruer ny decimlbråk som bevisligen ej får plts i uppräkningen. Med ndr ord är de reell tlen inte (ens i ett begränst intervll) uppräkningsbr. (Större intervll innebär egentligen intet nytt. Mn kn lätt vis tt tlen i ett kontinuerligt intervll - eller punktern på en sträck - är lik mång för ll intervll - eller sträckor.) Uppfttde som decimlbråk hr de rtionell tlen den speciell egenskpen tt de lltid hr decimler som en följd v upprepde perioder. Dividerr mn eempelvis 4 5 med får mn Mn

41 30 kn emellertid också gå motstt vägen. Mn multiplicerr decimlbråket med ett tillräckligt stort tl för tt skift en hel period frmför decimlkommt, i vårt fll behövs Kllr vi det periodisk bråket för så får vi tt = Men decimldelen som utgörs v perioden upprepd ett oändligt ntl gånger är då densmm som i det ursprunglig tlet. Alltså blir ( ) = = 345, då br heltlsdelen blir kvr. Löser vi ut får vi = 345 / Eftersom både täljre och nämnre är dividerbr med 3, blir till slut = 4 5 / Inte ll rtionell tl är emellertid periodisk från börjn som i eemplet. Det räcker med tt de efter en godtyckligt lång sekvens br till slut blir perodisk. Ett eempel är /6 = , ett nnt /5 = Det sist eemplet visr en ytterligre poäng. Vi kn nämligen lterntivt skriv /5 = För tt decimlrepresenttionen skll bli entydig brukr mn välj det senre lterntivet, så tt "perioder" v nollor (observer tt även upprepning v en end siffr är periodisk) inte förekommer. Eftersom en periodisk sekvens är mycket mer speciell än en lldeles godtycklig förstår mn tt de rtionell tlen i viss mening är mycket glesre än de irrtionell. Det kn här inskjuts tt de irrtionell tlen icke är erforderlig vid prktisk mätningr. Avläser mn ett mätvärde på en skl, så sker det med en viss v sklns finhet bestämd noggrnnhet. Vid givet omfång och given finhet hos skln kn det lltid endst bli fråg om ett ändligt ntl olik mätvärden. Kontinuerlig vrition är således ingenting som erfordrs för prktisk mätningr, utn snrre en förutsättning för tt mn skll kunn nvänd viss mtemtisk hjälpmedel, som är både betydligt enklre tt hnter, och bättre utvecklde, än de hjälpmedel mn hr tt tillgå när endst diskontinuerlig vritioner tillåts. (Dett bör mn håll i minnet, ifll mn eljest skulle tyck det vr orimligt med priser som vrierr kontinuerligt och som kn ntg irrtionell värden, såsom. Lik orimligt är det nämligen med irrtionell vstånd eller tidsintervll i teknisk eller fysiklisk smmnhng, enär ingen ännu hr uppmätt någr sådn. Dett hindrr dock ej tt meknikens utveckling strkt hr främjts v, och fktiskt skett i direkt nknytning till, utvecklingen v differentilklkylen, som helt bygger på kontinuerlig vritioner.) Vi dröjer med näst utvidgning v tlsystemet till kpitel 0 där vi måste kunn skriv lösningr till lgebrisk ekvtioner även när de inte hr rötter i det reell tlsystemet.

42 3 4 Vribler och funktioner 4: Vribler och konstnter Ett väsentligt begrepp i det följnde är begreppet vribel, oftst betecknd med någon v bokstävern, y och z. En vribel är, såsom ovn påpekts i vsnittet om logik, en pltsmrkering i ett uttryck där mn kn sätt in vilket som helst element från en given mängd. I de nu ktuell fllen utgörs sgd mängd v de reell tlens kontinuum. Ett visst reellt tl, som sätts in på den plts vribeln mrkerr, eller "substituers i stället för vribeln", klls för konstnt. Vill mn inte nge vilket tl det är fråg om, så brukr mn beteckn konstnten med någon v bokstävern, b och c. 4: Funktioner och vbildningr Liksom begreppen konstnt och vribel, hr begreppet funktion ovn berörts i ett mer llmänt logiskt smmnhng. En funktion vr ju ett speciellt slgs reltion, vilken i sin tur definierdes som delmängd v en så klld produktmängd. Produktmängden i de nu ktuell fllen utgörs nturligtvis v ll de ordnde pr v reell tl som kn bilds. En reltion är följktligen en delmängd v sgd produktmängd, dvs. är själv en mängd v ordnde pr v reell tl. En funktion är då, enligt den ovn införd llmänn definitionen, en sådn mängd v ordnde pr där inget reellt tl kn förekomm på först plts i mer än ett v pren. Annorlund uttryckt finns det endst ett tl på ndr plts som prs ihop med ett visst tl på först plts. (Däremot finns det intet som hindrr fler pr, med olik tl på först plts, från tt h smm tl på ndr plts.)

43 3 ) b) y y y y - värde svrr två värden y och y. De bägge smbnden hr ovn vbildts grfiskt, med mätt på den horisontell eln och med y mätt på den vertikl. Som synes svrr i det förr digrmmet endst en punkt på den vertikl eln (representernde prets ndr tl) mot vrje punkt på den horisontell eln (representernde prets först tl), medn i det senre digrmmet två olik punkter på den vertikl eln svrr mot vrje punkt på den horisontell eln. Stundom nvänder mn (särskilt i äldre littertur) begreppet funktion i en vidre mening, så tt även fllet i det senre digrmmet beteckns som funktion. Funktionen i egentlig mening brukr då benämns entydig funktion. Denn terminologi är dock inte helt lyckd. Bättre är tt inför det llmännre begreppet vbildning. I fllet ) brukr mn då tl om en fler -y ob g Eempel på en funktion är, y y, dvs. mängden v ll ordnde pr v reell tl, sådn tt det ndr tlet är lik med det först tlet i kvdrt. Det är tydligt tt det rör sig om en funktion, och ej om en reltion i llmänhet, enär mot vrje värde svrr ett och endst ett värde y. Å ob g ndr sidn är inte mängden, y y någon funktion, enär mot vrje t t

44 33 c) d) y y y y - - -y -y entydig vbildning (dvs. fler punkter på den horisontell eln kn svr mot en punkt på den vertikl, medn endst en punkt på den vertikl eln svrr mot en punkt på den horisontell). I nlogi härmed tlr mn i fllet b) om en en-flertydig vbildning. Ytterligre två eempel på vbildningr utgör mby, g y r och ob, yg y t som representers grfiskt i figurern c) och d) ovn. Fllet c) visr en en-entydig vbildning, medn fllet d) visr en flerflertydig vbildning. Endst ) och c) motsvrr funktioner i egentlig mening. Det är lltså de fler-entydig och de en-entydig vbildningrn som klls funktioner. De förr, dvs. en-entydig, brukr även klls monoton funktioner (i det illustrerde fllet monotont vände). Det typisk för monoton funktioner (ovsett om de väer eller vtr, dvs. stiger eller fller) är tt de förblir funktioner även när lrn ksts om (eller och y i tlpret byter plts). Opertionen klls invertering. Således är y, y en invers mb g r funktion till y, y. Inverters den funktion som illustrers i digrm ) ovn, skulle resulttet kunn åskådliggörs i ett digrm som b), som redn vists. Resulttet v inverteringen är emellertid i dett fll icke mb g r

45 34 längre en funktion. I eemplifieringen hr nvänts viss lgebrisk ekvtioner ( y, y och y ) för tt nge llmänn egenskper som tlpren (, y) skll h för tt hör till de mängder vilk utgör de olik funktionern. När villkoren inte kn formulers genom sådn specificerde uttryck, så rbetr mn med llmänn funktioner, vnligen symboliserde med bokstävern f, g och h. Observer tt en llmän funktion f således är en mängd v ordnde pr b, y g, vilk uppfyller något givet (men icke närmre precisert) villkor. 4:3 Funktionsvärde och rgumentvärde Det är brukligt tt kll och y, som enligt definitionen ovn är vribler, för funktionens rgument och dess värde. Argumentet är således, medn funktionsvärdet är y. Dett senre brukr även beteckns som f(). Mn kn följktligen uppftt f() som en förkortning v eempelvis det lgebrisk uttrycket, medn ekvtionen y = f() blir den llmänn regeln som tlpret (, y) skll uppfyll för tt hör till mängden f. Det betyder tt funktionen definiers som f mb, yg y f ( ) r. Viktigt ur logisk synpunkt är tt mn lär sig skilj på funktionen f och funktionsvärdet f(). Funktionen är en mängd v ordnde pr, medn funktionsvärdet är en vribel vilken ntr ett visst tlvärde så snrt mn substituerr en konstnt i stället för rgumentet. I prktiken brukr mn emellertid vr mindre nogräknd. Det är frestnde och även prktiskt, särskilt när rgumentet är ett komplicert uttryck som tr stor plts när det skrivs ut, tt utelämn dett och nvänd symbolen f som beteckning även för funktionsvärdet. Vidre kn mn stundom, för tt slipp en särskild funktionsbeteckning som måste ihågkomms, ersätt funktionssymbolen f med funktionsvärdessymbolen y, så tt mn skriver y() i stället för f(). Skriver mn sålund y = y() blir det ju helt omöjligt tt skilj på funktionen och funktionsvärdet. Dess slrvig bruk kn led till oklrheter, men är å ndr sidn gnsk bekväm i smmnhng då riskern för missuppfttningr är små.

46 35 4:4 Funktionell ekvtioner Ett nnt oprecist, men vnligt, bruk är tt mn låter ekvtionen y = f() representer inte br den regel som (, y) måste uppfyll för tt räkns till mängden f, utn även själv mängden f v tlpr, som uppfyller eller stisfierr regeln. När mn löser ett system v säg två funktionell ekvtioner y = f() och y = g() i två "obeknt" och y, så gör mn ingenting nnt än söker intersektionen v f mb, yg y f ( ) r och g mb, yg y g( y) r. Hr systemet en end lösning, innehåller intersektionen ett end tlpr (, b), dvs. mb g f g, br. Dett är likvärdigt med tt ekvtionssystemet y = f() och y = g() br lösningen = och y = b. 4:5 Domäner och värdeförråd När det hr tlts om funktioner och vbildningr ovn hr det skett utn uttrycklig referens till de mängder v reell tl som kn förekomm på först eller ndr plts i de tlpr funktionen innehåller. Ser mn på digrmmet ) ovn finner mn tt det inte finns någr negtiv tl på ndr plts i den funktion som där åskådliggörs. På smm sätt finns det på först plts i den funktion som åskådliggörs i digrmmet b) ovn inte någr negtiv värden. Tydligen är det så tt funktions- och rgumentvärden i en funktion stundom endst ntr värden inom begränsde intervll v de reell tlens kontinuum. Dessutom kn mn vilj lägg ndr restriktioner på dess intervll än de som följer v själv funktionsformen. Mn kllr nu mängden v ll de reell tl, som förekommer på först plts i något v de tlpr som utgör funktionen, för funktionens domän. Funktionen är således definierd över en viss domän. På smm sätt kllr mn mängden v ll de reell tl, som förekommer på ndr plts i något v de omnämnd pren, för funktionens värdeförråd.

47 36 4:6 Eplicit och implicit funktioner Ytterligre ett pr termer är viktig när det gäller llmänn funktioner. En definitionsregel enligt vilken funktionsvärdet kn skrivs för sig i ekvtionens en led, såsom i y, klls för eplicit funktion. Å ndr sidn definierr uttrycket y en så klld implicit funktion. 4:7 Lösning v lgebrisk ekvtioner Ovn diskuterdes funktionell ekvtioner. Det finns nledning tt litet diskuter dem och ders lösning. Som eempel låt oss t f ob, yg y t och g mb, yg y r motsvrnde kurvorn i fllen ) och c). När vi söker lösningen innebär det grfiskt tt vi söker skärningspunktern melln de två funktionsmängdern f och g. Som illustrers i figuren e) får vi två lösningr f g mb00, gb,, gr. För tt prktiskt finn värden utgår vi från y 0 och y 0. Subtrherr vi nu den först ekvtionen från den ndr så erhåller vi 0 där vribeln y inte längre finns med. Vi hr eliminert den. Föregående ekvtion kn emellertid skrivs bg 0. En produkr v två fktorer är noll om ender fktorn är noll, dvs. om ender = 0 eller =. Därefter nvänder vi den en v de ursprunglig ekvtionern och får sålund y 0 och y. Säg nu tt vi i stället för skärningspunktern melln prbeln och den rät linjen vill finn skärningspunktern melln prbeln y 0 och cirkeln y 0 som i figuren f). Vi kn nu dder ekvtionern och erhåll y y 0. Återigen hr vi br en vribel kvr. I dett fll hr vi eliminert. Men dett uttryck går inte tt fktorer lik enkelt som det föregående. I det följnde kommer vi vid olik tillfällen tt behöv lös sådn

48 37 e) f) y y y y - - y -y -y y kvdrtisk ekvtioner upprepde gånger, och vi behöver därför en formel för den. För tt vr helt generell skriver vi b 0 Först skriver vi om ekvtionen som F H G I K J b där poängen är tt vänstr ledet i det llr närmste utgör en jämn kvdrt b/ g b/ gb/ g, men inte riktigt eftersom den sist kvdrttermen skns. Om vi nu lägger till denn sknde kvdrtterm i både vänstr och högr ledet så ändrs givetvis inte uttrycket. Vi får

49 38 F H G I K J F H G I K J F H G I K J b eller omskrivet F I b HG K J 4 4 c Drr vi roten ur bägge leden blir 4b h Givetvis måste vid rotutdrgningen t med både plus och minustecken, för vid kvdrering försvinner ju även minustecknet och vår informtion bestod endst i det kvdrerde uttrycket. Till sist behöver vi br flytt över termen / i högr ledet och får på så vis den generell lösningen 4b Resulttet blir två rötter b 4 b 4 Vi kn konstter tt

50 b gb g 39 F I HG K JF I HG K J 4b 4b b så tt lösningen v kvdrtisk ekvtioner även i det generell fllet innebär en fktorering i två fktorer som vr för sig kn ge produkten värdet noll. Det sgd gäller generellt, ehuru den fktisk beräkningen v röttern redn till kubisk ekvtioner blir synnerligen komplicerd. Hur det går till tt lös tredje och fjärde ordningens ekvtioner med formeluttryck visste mn redn på 600-tlet. Formlern för ekvtioner v högre ordning sökte mn efter i ett pr hundr år, tills det ung mtemtikgeniet Évriste Glois bevisde tt ekvtioner högre än fjärde ordingen inte går tt lös med formeluttryck. Beviset skrev Glois ner under ntten innn hn sköts ihjäl i en duell vid 0 års ålder. En ekvtion v n:te grden hr lltid n rötter, dvs. kn splittrs upp i n fktorer, ntingen det finns formler för tt beräkn dem eller ej. Emellertid behöver inte ll röttern vr reell tl. Skulle uttrycket under rottecknet 4b vr negtivt kn röttern inte vr reell tl ty kvdrten på vrje reellt tl, positivt eller negtivt, är positiv. Lösndet v kvdrtisk ekvtioner leder lltså till näst utvidgning v tlsystemet, och br om vi tillåter så kllde komple lösningr, gäller det sgd tt ekvtioner v n:te grden hr lltid n rötter. Dess behöver inglund vr rell tl. Låt oss nu nvänd formeln för kvdrtisk ekvtioner på det problem vi strtde från, dvs. tt finn skärningpunktern melln en cirkel och en prbel. Vi skulle lös ekvtionen y y 0. Enligt formeln ovn får vi röttern y / 5/. Vi får lltså två värden på y v vilk ett är negtivt. Enligt figuren f) hr vi visserligen två värden på, men br ett på y i skärningspunktern. Dessutom måste lösningrn ligg på prbeln som br hr ickenegtivt värdeförråd. Hur kommer sig dett? Svret är enkelt. Genom tt eliminer en vribel så tt vi i stället för två ekvtioner br hr en så hr vi förlort informtion, och vi får visserligen den riktig lösningen, men vi kn också få felktig lösningr som inte uppfyller de ursprunglig ekvtionern vr för sig. Vi konstterr tt den negtiv roten y / 5/ inte ligger på prbeln och förkstr den. d i. Ur y Återstår br y / 5/ 5 /, likvärdigt med

51 40 y får vi så lätt d 5i/. Till skillnd från y så kn och skll h både positiv och negtiv värden.

52 4 5 Koordintsystem och funktionsformer Ehuru llmänn, ej med formelytryck specificerde funktioner oftre förekommer inom ekonomisk teori än inom eempelvis den teoretisk fysiken, där ll de smbnd teorin rör sig med nog specificers med hjälp v särskild funktionsformer, så är det ändå viktigt för ekonomern tt känn till de mest elementär typern v dess. Trots den ekonomisk teorins llmänn benägenhet för vghet förekommer ändå en del sådn preciserde funktionstyper. Vidre förstår mn oftst de llmänn principern bäst genom tt rbet med eemplifieringr. 5: Krtesinsk koordinter Ett visuellt intryck v olik funktionssmbnds utseende får mn genom tt som ovn gjorts frmställ dem i digrm. Digrmmen orgnisers med hjälp v ett koordintsystem, dvs. eempelvis genom ett pr v mot vrndr vinkelrät lr. I smbnd med diskussionen v det reell tlsystemet konstterdes smbndet melln sträckor eller vstånd utefter en rät linje å en sidn och reell tl å den ndr. Ett pr v reell tl kn sålund representers som en kombintion v två sträckor. Mäter mn i digrmmet nedn det först reell tlet i ett pr som (det vinkelrät) vståndet från den vertikl eln och det ndr reell tlet i pret som (det vinkelrät) vståndet från den horisontell eln, smt inför konventionen tt positiv tl svrr mot vstånd åt höger och uppåt, medn negtiv tl svrr mot vstånd åt vänster och nedåt, så kn olik tlpr, säg (, ), ( -, ), (, -) och (-, - ), representers v punkter i plnet. En punkt i plnet kn på motsvrnde sätt loklisers genom två koordinter, dvs. de vinkelrät vstånden till de bägge lrn. Mer ekt rör det

53 4 (-,) y (,) Eftersom (, y) och br,θg nger två lterntiv sätt tt lokliser punkten P i plnet måste det finns formler för tt övergå från det en lokliserings (-,-) (,-) sig här om krtesinsk koordinter (uppkllde efter filosofen-mtemtikern Descrtes). 5: Polär koordinter Mn skulle nturligtvis också på mång ndr sätt kunn beskriv en punkts läge. Ett v dess är tt dr en linje från lrns skärningspunkt, klld origo, till punkten och nge dels den vinkel θ som linjen bildr med den horisontell eln åt höger och dels vståndet r utefter linjen från origo räknt. De två så kllde polär koordintern r ochθ jämförs i digrmmet nedn med de krtesinsk koordintern och y. 5:3 Koordinttrnsformtioner

54 43 y r θ P sättet till det ndr, dvs. koordinttrnsformtioner. En sådn formel finner vi direkt med hjälp v Pythgors sts enär figuren innehåller en rätvinklig tringel med och y som kteter och r som hypotenus. Alltså blir + y = r, eller r = + y. När nu r hr relterts till och y, gäller det tt finn ett liknnde smbnd för θ. Förutstt tt r är fiert och endst vinkeln θ kn vrier, så begränss de möjlig lägen för punkten P till olik punkter på omkretsen till en cirkel med medelpunkt i origo, ty endst punktern på denn omkrets befinner sig ju på vståndet r till origo. (Se följnde digrm.) För tt bestämm punktens läge på cirkelns omkrets skulle mn då helt enkelt kunn t längden v cirkelbågen från A till P, konventionellt räknd "moturs". Nckdelen skulle emellertid då vr tt den ndr koordinten, ngivnde läget på omkretsen, själv skulle bero v den först koordinten, enär cirkelsegmentets längd för en viss vinkel ju beror på rdien. Omkretsen v en cirkel med rdien r är ju πr (där π betecknr det irrtionell tlet ), vrför vrje uppförstoring v rdien leder till en uppförstoring i smm proportion v cirkelsegmentet för en given vinkel. För tt erhåll v vrndr oberoende koordinter brukr mn som mått på vinkeln θ t, inte längden v segmentet på cirkeln med den vriernde rdien r, utn längden v motsvrnde segment på en referenscirkel med

55 44 θ r P θr A rdien, dvs. på en så klld enhetscirkel. Om således θ är längden v enhetseirkelns segment, så blir längden v segmentet på den cirkel där P befinner sig θr. I det sgd finner mn skälet till tt mätningen v θ sägs ske i rdiner, enär den mäter cirkelbågens längd (och vinkeln) i ntl enheter v rdien. Referenscirkens omkrets, som ju ärπ, blir då π rdiner. Ett från vrdgslivet vnligre sätt tt mät vinklr är det tt mn delr hel cirkelomkretsen i 360 lik sektorer, kllde grder. Det blir lltså en proportionell reltion melln grder och rdiner då π rdiner = 360, eller rdin = b80 / πg. Grder som är ett opertionellt mått utvecklt v tidigre epokers nvigtörer gör emellertid mtemtisk formler onödigt krånglig. 5:4 Trigonometrisk funktioner Det sökt smbndet melln vinkeln θ och de krtesinsk koordintern och y kn lättst ses inom enhetscirkeln med hjälp v de trigonometrisk funktionern sin θ och cosθ. (Utläst sinus och cosinus.) De definiers helt

56 45 B sin θ P θ C cosθ A D enkelt som de krtesinsk koordintern för en punkt (med vinkeln θ rdiner) på enhetscirkeln, såsom frmgår v digrmmet ovn. Från digrmmet ser mn direkt viss egenskper hos sinus- och cosinusfunktionern. Då cirkelns rdie är, vrierr funktionsvärden melln - och +, så tt funktionerns värdeförråd består v ett begränst intervll. Vidre är de periodisk. Låter mn P rör sig moturs från A genom punktern B, C och D tillbk till A och vidre på smm sätt i fler vrv (vinkeln θ blir då större än π som är cirkelns omkrets), så kommer sinus- och cosinusfunktionern tt nt smm värdekombintion vrje gång punkten hr rört sig ett vrv och återkommit till utgångsläget. Slutligen ser mn (återigen med hjälp v Pythgors sts) tt summn v kvdrtern på sinus- och cosinusvärden för vrje punkt lltid måste vr lik med ett, dvs. bsin θg bcosθg + =. (Trditionellt brukr mn skriv formeln sin θ + cos θ = med ndrpotensern direkt efter funktionsnmnet.) Sinus- och cosinusfunktionerns värden liksom vinkelns storlek när mn rör sig genom punktern A, B, C, och D tillbk till A förteckns i den följnde tbellen.

57 46 A B C D A θ 0 π π 3 π π sin θ cosθ 0-0 Vritionern frmgår även v digrmmet nedn. Digrmmet kn fortsätts åt höger (θ blir då större än π) när punkten får rör sig mer än ett vrv moturs. Vid rörelse medurs kn digrmmet fortsätts åt vänster, vrvid θ får räkns negtivt. Dess "trigonometrisk" funktioner (sinus och cosinus) bildr en nturlig utgångspunkt för diskussionen v särskild funktioner, enär de hr med själv koordinttrnsformtionern tt skff. För tt återgå till dett problem, kn mn lätt se hur vinkeln θ relters till de krtesinsk koordintern och y. sin θ 0 π π 3π θ π - cosθ

58 47 y r sinθ sinθ θ cosθ r P r cosθ I digrmmet ovn viss hur punkten P:s krtesinsk koordinter och y fås genom proportionell uppförstoring med r v vstånden cosθ och sinθ, något som ju blir nödvändigt då punkten finns på vståndet r och ej på vståndet från origo. Från polär koordinter till krtesinsk kommer mn direkt vi formlern = r cosθ och y = r sinθ. För trnsformtion i motstt riktning finns, som redn konstterts, formeln r = + y. Vidre ser mn direkt från definitionern tt sin θ / cos θ = y /. Kvoten sin θ / cosθ, som endst beror på θ, är ytterligre en trigonometrisk funktion, klld tngensfunktion och betecknd tn θ. Vill mn erhåll vinkeln θ bildr mn följktligen kvoten y/ och söker den vinkel för vilken tngens erhåller den sgd kvotens värde. (I prktiken måste mn vid sådn bestämningr välj melln fler värden på θ även inom intervllet från 0 till π som ger smm tngensvärde. Vlet sker med ledning v tt sinθ och cosθ skll ge rätt värdekombintion för och y, vilket endst ett v de erhålln θ - värden ger.) Denn "invers" funktion till tngensfunktionen hr också ett nmn, "rcus tngens" eller "rktngenten". Att skriv θ = tn( y / ) är lltså likvärdigt med tt skriv tn θ = y /.

59 48 5:5 Potensfunktioner Den enklste gruppen v funktioner utgörs v potensfunktionern. Två v dem hr redn nvänts vid eemplifieringen v det llmänn funktionsbegreppet, nämligen den lineär funktionen y = (först potens) och den kvdrtisk funktionen y = (ndr potens). Ders grfisk bilder utgörs v den rät linjen och prbeln. De uppreps nedn tillsmmn med motsvrnde digrm för den kubisk funktionen y = 3 (tredje potens) och den kvrtisk funktionen y = 4 (fjärde potens). De jämn potensfunktionern (ndr och fjärde) ntr endst positiv funktionsvärden och hr ett minimum för = 0. Bägge psserr genom punktern (-, ) och (, ). Skillnden är den tt funktionen med den högre potensen är mer "fltbottnd" och väer brntre upptill. De udd potensfunktionern (först och tredje) ntr såväl positiv som negtiv funktionsvärden. Bägge psserr genom punktern (-, -) och (, ). Skillnden ligger i tt den lineär funktionen väer med konstnt lutning, medn den kubisk funktionens lutning först vtr för tt bli horisontell vid =0 (mn säger tt funktionen där hr en infleionspunkt) och sedn åter väer. Högre potensfunktioner kn behndls på enhnd sätt. Utn tt preciser potensen skriver mn potensfunktionen som y = n (som nger tt vär- y = y = y = 3 y =

60 49 det för y erhålles genom tt mn multiplicerr värdet för med sig självt n gånger). Skulle mn sätt ett minustecken frmför uttrycken i de fyr illustrerde funktionell ekvtionerns högr led, så skulle de ny grfisk bildern erhålls som "spegelbilder" v de tidigre, erhålln genom spegling i de horisontell lrn. De viss nedn. Som synes får de jämn potensfunktionern ett mimum i stället för ett minimum, medn de udd potensfunktionern blir vtgnde i stället för vände. Hittills hr endst positiv heltlspotenser behndlts. Men givetvis kn det också rör sig om ndr potenser. Ovn hr diskuterts vd som händer när mn inverterr den kvdrtisk funktionen y =, dvs. låter de horisontell och vertikl lrn byt plts. Det hr konstterts tt resulttet icke längre blir en funktion, enär en vertikl linje skär den grfisk bilden på två ställen (för en funktion får ju endst en sådn skärningspunkt förekomm). Mn kn emellertid genom inverteringen erhåll två olik funktioner, en positiv och en negtiv rotfunktion, = y och = y. (Den senre strecks i digrmmet.) På smm sätt kn mn inverter den kubisk funktionen y = 3 så tt mn får = 3 y, utläst " är lik med tredje roten ur y". Som synes blir y = y = y = 3 y =

61 50 =+ y y - = y tredje roten unik (liksom ll udd rötter) och följktligen får mn här genom inverteringen en funktion (utn någon uppsplittring). Generellt skriver mn den invers funktionen till y = n som = n y. Ett nnt bekvämre sätt tt skriv rotuttrycket n y, dvs. det tl som skll multiplicers n gånger med sig självt för tt bli lik med y, är y / n. Potensbildning och rotutdrgning är ju vrndr motsvrnde opertioner. Om mn först bildr n-te potensen v y och sedn drr n:te roten ur resulttet, så bör mn få värdet y tillbk. Med det införd bruket blir således n / n n n y y b/ g = = y = y. c h Från ekvtionen y = kn mn sålund genom tt höj bägge leden till c h / / potensen / erhåll ekvtionen y = =. Det sgd betyder tt y = och = y (med reservtion för tecknet) uttrycker smm ekvtion. Strtr mn från ekvtionen y = i stället, kn mn på smm sätt 3 genom tt höj bägge leden till potensen / erhåll y / 3 c h ch / = eller y = 3 / m n. Generellt kn ekvtionen y = skrivs, ender som y = nm /, eller som = y mn /. Potensfunktionerns definition hr därmed utsträckts till

62 5 y = > < tt gäll inte br för positiv heltl som eponenter utn även för kvoter melln positiv heltl. Mn bör vid denn utsträckning endst håll i minnet tt, därest n skulle vr ett jämnt tl, så blir det två värden på (ett positivt och ett negtivt) som svrr mot vrje värde på y. På smm sätt svrr, därest m är ett jämnt tl, två värden på y (ett positivt och ett negtivt) mot vrje värde på. Om mn vill rbet med en en-entydig vbildning, eller en omvändbr funktion (som även vid invertering förblir en funktion), så kn mn nöj sig med tt endst studer hur positiv värden på y relters till positiv värden på enligt funktionen y = nm /. Mn inskränker med ndr ord domänen och värdeförrådet för funktionen till de positiv reell tlen. Den nturlig ytterligre utsträckningen v definitionen för potensfunktionen är tt låt eponenten nt även irrtionell värden, dvs. låt vr ett reellt tl (rtionellt eller irrtionellt) i funktionen y =. Ovn illustrers smbndet y = grfiskt för någr olik värden på. Som synes psserr ll kurvorn genom punkten (, ). För låg eponenter tenderr kurvorn tt till en börjn "drs mot" den vertikl eln för tt sedn stig tämligen flckt. För hög eponenter däremot tenderr kurvorn tt till en börjn "drs mot" den horisontell eln för tt sedn i stället stig tämligen brnt. Kurvturen blir sådn tt kurvorn blir konve ovnifrån för < och konkv ovnifrån för >. För gränsfllet = blir smbndet en rät linje.

63 5 y y = - (,) n Genom tt i uttrycket y= K n kombiner olik heltlspotenser v, där 0,,,K n är konstnt (reell) tl, erhålles en polynomfunktion (eller kortre uttryckt ett polynom). Förloppet för en kurv motsvrnde ett polynom kn bli mycket oregelbundet, särskilt om polynomets grdtl n är högt. Eempelvis kn kurvn för ett tredjegrds (-,-) y = -y Hittills hr eponentern i potensfunktionern förutstts vr positiv reell tl. Negtiv eponenter definiers nu genom y = = /. När =, så blir den grfisk bilden v y = = / en så klld liksidig hyperbel, illustrerd i digrmmet nedn. Därmed hr funktionen y = blivit definierd för ll reell eponenter, när vi tillägger konventionen tt potensen 0 v vrje tl blir lik med ett, dvs. 0 =. 5:6 Polynom

64 53 y = polynom y = te sig som i digrmmet ovn. Hr mn en viss kurv (representernde en viss funktion) kn mn pproimer dess utseende med hjälp v ett polynom. Ju högre polynomets grdtl är desto fler konstnter 0,,,K n hr mn tt npss för tt gör överensstämmelsen så god som möjligt. Beträffnde viss funktioner gäller tt mn kn uttryck dem ekt som polynom med ett oändligt ntl termer, där lltså även polynomets grdtl är oändligt. En sådn procedur klls serieutveckling eller serieepnsion. Eempelvis de trigonometrisk funktionern ovn, liksom de eponentiell och logritmisk funktionern som genomgås i det följnde kn uttrycks som polynom med hjälp v serieutveckling. Hur polynomen i dess fll ser ut viss längre frm i boken. (Däremot medts icke något bevis för tt serieutvecklingen r möjlig i dess fll.) 5:7 Eponentiell och logritmisk funktioner I de potensfunktioner y =, som diskuterdes ovn, vr eponenten en konstnt medn bsen vr en vribel. Om mn i stället låter bsen vr en

65 54 y = y = log (0,) (, ) konstnt och för upp vribeln som eponent, dvs. skriver y =, erhåller mn en eponentilfunktion. Eponentilfunktionens invers klls för logritmisk funktion och skrivs = log y. Uttrycket nger således helt enkelt det tl till vilket bsen skll upphöjs för tt resulttet skll bli lik med y. Funktionern illustrers nedn (för ett värde på större än ett). Eponentilfunktionen psserr punkten (0,) ovsett vilket värde bsen ntr, enär 0 = gäller enligt definition. Däremot väer kurvn brntre ju högre värdet är. Eponentilfunktionen representerr i själv verket en process v konstnt reltiv tillvät v funktionsvärdet y, förutstt tt rgumentet får representer tiden. De bsolut tillskotten i funktionsvärdet (för lik stor tillskott till rgumentet, dvs. för lik tidsintervll) väer, då ju en viss reltiv tillvättkt leder till större bsolut tillskott ju högre det värde är på vilket tillväten beräkns. Den reltiv tillvättkten är ( - ), vilket är skälet till tt :s värde förutstts vr större än ett i eponentilfunktionen. Sådn funktioner förekommer oft i ekonomisk smmnhng, eempelvis då ntionlprodukten eller befolkningen väer med en viss konstnt procentsts per år, eller då kpitlet på en bnkräkning väer med "ränt på ränt". Den logritmisk funktionen, som ju helt enkelt är inversen till den eponentiell, är frmför llt v stor vikt vid beräkningr. Önskr mn mul (, ) (,0) y

66 55 tiplicer två tl, y = och y =, med vrndr erhålles lätt yy + = eller logbyy g= + = log y+ log y. På motsvrnde sätt erhåller mn i smbnd med division v två tl y y / = eller log ( y/ y) = = log y log y. Således kn multipliktioner ersätts med dditioner, och divisioner med subtrktioner. Principen är grundläggnde för konstruktionen v så kllde räknestickor. Före fickklkyltorns tid kunde komplicerde multipliktioner och divisioner utförs bekvämt med hjälp v logritintbeller, som i regel nger 0-logritmer, dvs. tbulerr funktionen = log 0 y, eller inversen till y = 0. I llmänn smmnhng är emellertid en nnn bs viktigre än tlet tio för eponentiell och logritmisk funktioner. Denn är den så kllde nturlig logritmbsen, betecknd e. Denn är ett irrtionellt tl, erhållet som gränsvärdet för uttrycket b+ / ng n när n väer mot oändligheten. Uttrycket går nämligen mot ett sådnt bestämt gränsvärde. Nedn tbulers värden för någr låg värden på n. F I + 00 HG K J F = H G I K J =. F I HG K J F = H G I K J =. F 3 3 I HG 3 K J F = H G I 3 K J =. F 4 4 I HG 4 K J F = H G I 4 K J =. Som synes blir tillskotten llt mindre när n väer, och vtr så snbbt tt hel uttrycket går mot ett gränsvärde när n väer mot oändligheten, formellt uttryckt

67 56 e = lim + =.788 n n n där "lim" är en förkortning v det ltinsk ordet "limes", som betyder gräns, där "den liggnde åttn" är den vnlig symbolen för oändligbeten och där pilen nger tt n "går mot" eller "närmr sig" oändligheten. Ett ekonomiskt eempel på nvändningen v den nturlig logritmbsen e är följnde. Antg tt ett kpitl på 00 kronor på en bnkräkning förränts under ett år med räntestsen r. Om räntn läggs till kpitlet endst vid årets slut, uppgår värdet v den plcerde kronn vid årsslutet till 00( + r) kronor (vilket kn vr 05 kronor om räntestsen är 5 procent). Men säg tt kpitliseringen v räntn, som oft är fllet, sker redn efter ett hlvår. Hlvårsräntestsen är då r/ och kpitlet vid hlvårets slut är 00( + r/) kronor. Det är dett kpitl, som förränts under det återstående hlvåret för tt vid årsslutet uppgå till 00b + r / g kronor. (Med räntestsen 5 procent ger det = kronor, dvs. se och en kvrts öre mer än vid kpitlisering endst vid årets slut.) Mn kn nu fortsätt tt tänk sig tätre och tätre kpitlisering. Sker kpitliseringen k gånger om året blir det förräntde värdet 00b + r / kg k kronor vid årets slut. Beteckns kvoten r/k som /n, kn mn skriv k = rn och värdet v bnkkontot vid årets slut uppgår då till 00b + / ng rn. Ifll kpitliseringen nu skulle ske oändligt oft under året, så skulle k gå mot oändligheten, vilket även skulle gäll n = k/r vid givet r. Värdet v bnkkontot vid årets slut skulle då bli: lim n F HG F HG I K J nr I F HG 00 + lim e n n KJ = 00 + n KJ = 00 F HG 0.05 Enär 00 e = 05.3 skulle kpitlisering oändligt oft ge omkring tretton öre mer i ränt per år och 00 kronor än kpitlisering en gång om året vid 5 procents räntests. Ifll beloppet får stå inne under fler år, blir kpitlvärdet efter det t år förflutit 00 b +rg t kronor vid kpitlisering en gång per år och 00 e rt kronor vid kpitlisering oändligt oft. I K J n I r r

68 57 Andr eponentilfunktioner med bsen kn lltid lätt återförs till eponentilfunktioner med bsen e. Om = e r (eller nnorlund uttryckt r = log e r ) gäller, kn mn nämligen skriv y = = e. (Den "nturlig" logritmisk funktionen "log e " brukr även kort och gott skrivs "ln".)

69 58

70 59 6 Differentilklkyl; Funktioner v ett rgument 6: Gränsvärden och kontinuitet Gränsvärden, som kom till nvändning ovn för definition v det irrtionell tlet e, behöver givetvis inte beräkns genom tt en vribel ntr värden som går mot oändligheten. Mn kn lik väl beräkn gränsvärden när en vribel går mot något visst ändligt värde. (Även vid definitionen v e hde mn ju kunnt skriv / n 0i stället för n ). Gränsvärden är v stor vikt när mn vill undersök en funktions kontinuitet. Antg tt funktionen f lyder villkoret y för < men villkoret y = för. Den grfisk bilden v funktionen f är såsom frmgår v digrmmet nedn en åt höger vklippt prbel, som gäller hur när den vertikl linjen som helst, y (,) (,)

71 60 men ej på själv linjen där istället en horisontell rät linje tr vid. Funktionens värde vid = är givetvis f() =, enär i den punkten den rät linjen gäller och ej prbeln. Men, om mn istället ser på gränsvrdet för f(), när från vänster närmr sig värdet, dvs., så finner mn tt lim f bg c h som synes gäller lim f f b g bg lim enär ju f(l) =, vilket är skilt från gränsvärdet. Ifll gränsvärdet för en funktion när rgumentet närmr sig ett visst värde sålund skiljer sig från funktionsvärdet för dett rgumentvärde, så säger mn tt funktionen är diskontinuerlig, dvs. gör ett "språng". Kontinuerlig i en punkt är funktionen om funktionsvärdet i punkten är detsmm som gränsvärdet när mn närmr sig punkten (från båd hållen). En funktion som är kontinuerlig över hel sin domän sägs själv vr kontinuerlig. Kontinuerlig funktioner är utomordentligt viktig, enär de möjliggör nvändningen v differentilklkylen som behndls i det följnde. 6: Först derivtor Grundläggnde för differentilklkylen är begreppet derivt. Det införs på följnde sätt. Mn låter rgumentets värde undergå en viss ändring, vnligen betecknd. Funktionsvärden före och efter tillskottet är fbg och fbg respektive. Skriver mn upp ändringen v funktionsvärdet, blir den y f f y b g b g. Därnäst bilds kvoten b g b g f f

72 6 y y y b g f B A melln ändringrn v funktions- och rgumentvärden. Om nu funktionen är kontinuerlig, så går kvoten y / mot ett visst gränsvärde, betecknt dy/d och kllt funktionens derivt, när 0. Alltså definiers: dy d lim 0 b g b g f f b g eller br f ' (som Andr vnlig beteckningr för derivtn dy/d är f är bekväm, men strängt tget ologisk, då ju f betecknr en oändlig mängd v ordnde tlpr och derivtn givetvis är en vribel). Grfiskt brukr definitionen illustrers sålund. I digrmmet ovn representers kvoten y / v lutningen på linjen genom punktern A och B (vnligen benämnd seknt). Att kvoten melln två sträckor utefter krtesinsk koordintlr representerr en lutning, är ju självklrt. Fördubbls sträckorn i digrmmet (så tt kvoten melln dem blir oförändrd) kommer ju längden v AB tt fördubbls, medn dess lutning blir oförändrd. I det föregående hr också prllelliteten melln krtesinsk och polär koordintsystem demonstre-

73 6 y y fbg B B B A rts. Vill mn nge läget v punkten B i förhållnde till punkten A kn mn ender nge vstånden åt höger och uppåt (dvs. och y), eller den vinkel linjen genom A och B bildr med den horisontell eln jämte sträckn AB:s längd. Som vists bestäms lutningen mätt i rdiner v formeln tn y/. Vd som händer när minsks, viss i digrmmet ovn där punktserien B, B, B närmr sig punkten A. När går mot 0 smmnfller punktern A och B, och seknten övergår till tt bli en tngent. Sålund motsvrs derivtn dy/d = f '() = f ' v lutningen på den rät linje som tngerr kurvn för funktionen f i punkten A. Som synes beror tngentens lutning själv v i vilken punkt mn drr tngenten. När tngenten hr positiv lutning, dvs. kurvn stiger, är derivtn positiv. När tngenten hr negtiv lutning, dvs. kurvn fller, är derivtn negtiv. Derivtn är noll när tngenten är horisontell. Då kurvn för f (enligt den funktion som illustrers) blir brntre för större värden på, så väer också värdet v derivtn f '() med. Mn inser också lätt tt derivtn väer när kurvn är konkv ovnifrån och tt derivtn fller när kurvn är konve ovnifrån, som viss i följnde två figurer.

74 63 y y Tydligen kn mn också krktäriser minim och mim med hjälp v derivtn. I bägge fllen är tngentern horisontell i själv etrempunkten, dvs. derivtorn lik med noll. När derivtn väer från negtiv värden, över värdet noll, till positiv värden, så hr mn tydligen ett minimum. När derivtn i stället vtr från positiv värden, över noll, till negtiv värden, så hr mn ett mimum. I ekonomisk teori identifiers derivtor vnligtvis genom nvändningen v prefiet mrginl- eller gräns- frmför nmnet på funktionsvärdet för den funktion som derivers (t.e. -nytt, -kostnd, -intäkt, -sktt etc.) Ett nnt speciellt bruk i ekonomisk teori är tt gör derivtorn dimensionslös genom tt sätt reltiv, och ej bsolut, förändringr i reltion till vrndr. En sådn storhet brukr klls elsticitet. För funktionen y =f() definiers elsticiteten som lim y y y lim y 0 0 dy y d

75 64 6:3 Derivering v speciell funktioner bg och fb g b g b g y fb g fbg b g Deriveringstekniken för funktioner är lättst tt illustrer med hjälp v potensfunktionen. Säg tt den prbolisk funktionen y skll derivers. Då gäller f. Ändringen för funktionsvärdet blir då och kvoten melln ändringrn v funktions- och rgumentvärden y /. Följktligen erhålles derivtn för y som c h b g d d lim 0 Mn kn för vrje potensfunktion y eller negtivt) vis tt d d c h, där är något reellt tl (positivt I fllet som just undersöktes, gällde =, vrför mn lätt ser tt dett utgjorde ett specilfll v den llmänn formeln. Formeln är även tillämplig för eempelvis funktionen y / representernde en hyperbel. I dett fll är = -, vrför d d F I HG K J En nnn tillämpningsmöjlighet erbjuder rotfunktionen y /. Eftersom här = / erhålles, d d d i

76 65 De övrig ovn genomgångn funktionerns derivtor erhålles i princip på smm sätt som potensfunktionens. Då de emellertid stundom kn vr omständlig tt härled, kommer endst slutresultten tt uppräkns i det följnde. För eponentilfunktionen y d d e ch e e gäller helt enkelt Dett tt formeln för derivtn blir så enkel är en orsk till tt det är så lämpligt tt formuler eponentilfunktionen för den nturlig logritmbsen e. För eponentilfunktionen gäller sålund tt derivtns och funktionens värden är lik, dvs. f '() = f(). Den reltiv tillväten f '()/f() är lltså lik med ett. För den nturlig logritmfunktionen y log eller y ln gäller d bln g d Slutligen återstår v de elementär funktionern enbrt de cyklisk eller trigonometrisk funktionern y sin och y cos. För dess gäller d d d d b b sin g cos cosgsin e 6:4 Allmänn deriveringsregler Förutom dess fem formler för derivtorn till elementär funktioner behöver mn viss llmänn deriveringsregler.

77 66 Den först gäller behndlingen v konstnter. Skll mn deriver en funktion y =, där betecknr en konstnt, så blir dy/d = 0. Vidre gäller, då en konstnt ingår multipliktivt frmför ett uttryck, säg y bb f g, tt konstnten blir kvr även frmför derivtn så tt dy / d b f bg. Följktligen gäller c bgh bg d d b f b f vilket mycket lätt beviss genom tt bild kvoten y / och låt närm sig 0. Derivtn för en summ v två funktioner y = f() + g() blir helt enkelt summn v ders derivtor, dvs. cbg bgh bg bg d d f g f g vilket även det är mycket lätt tt bevis. Derivtn för en produkt v två funktioner y = f() g() erhålles på följnde vis: c bg bgh b g b g bg bg d d f g f g f g lim 0 cfbg fbghgbgcgbggbgh fbg lim 0 f f g g lim lim g lim f b g b g b g b g b g bg Den mellerst rden i ekvtionen hr erhållits genom tt mn ddert och subtrhert f g i täljren. Enligt definition är gränsvärdet för b g b g c fbg fbgh / lik med f '() och gränsvärdet för kvoten

78 b g b g 67 cggh / lik med g '() när 0. Observer även tt gränsvärdet för gbg är g() när går mot noll. Följktligen gäller: d d c bgbg f gh fbgbg g fbg gbg På motsvrnde sätt härleds formeln för derivtn v en kvot melln två funktioner som d d F HG bgi bg f g bgbg bg bg f g f g KJ g bg Den end llmänn deriveringsformel som mn ytterligre behöver är den för derivering v en så klld funktion v en funktion. Säg tt funktionern y = f() och z=g(y) gäller, vilk ger z=g(f()). Mn kn skriv d c bghi c b gh c bgh d d g f g f g f lim 0 gy b yggy b g fbg fbg lim lim y0 y 0 Därvid hr endst f yy b g och f() = y stts in i funktionern, y fbg fbg. vrefter täljre och nämnre multiplicerts med Observer nu tt när 0, så gäller även y 0, vrför gränsvärdet för cgy b yggy b gh / y blir g '(y) smtidigt som gränsvärdet för c fbg fbgh / blir f '(). Följktligen gäller ekvtionen

79 68 d c bghi c b gh b g d d g f g f f som vnligen går under nmnet kedjeregeln. Dess deriveringsregler är llt mn behöver för de flest deriveringr. En enkel tillämpning är följnde. Säg tt mn vill deriver eponentilfunktionen z, där >. Som ovn frmhållits kn funktionen skrivs z e r, där r = ln. Det är nu tydligt, om mellnvribeln y = r införs, tt funktionern z gbg y e y och y fbg r gäller, vrför kedjeregeln blir tillämplig. Denn ger c h d d c h d d e re r r bg och enär bg c h y r enär g y e e f r 0 r (enligt denriveringsregeln för en potensfunktion med eponenten ). Resulttet kn även skrivs c h b g d d ln vilket betyder tt, därest y, så blir dy / d blng y. Kvoten bdy / dg / y ln r nger således en (konstnt) reltiv tillvättkt hos vribeln y. Ett nnt eempel på tillämpning v deriveringsreglern är följnde derivering v ett n:te grds polynom: f 0 Derivtn blir f d d n n f 0 n n n 3 3

80 69 enligt deriveringsreglern för potensfunktioner och för hntering v multipliktiv konstnter. Som synes blir resulttet ett nytt polynom vrs grdtl hr sjunkit till (n - ). 6:5 Högre derivtor All derivtor som hittills behndlts är v först ordningen, (eller, kortre uttryckt, förstderivtor). Men det är givet tt när derivtn v funktionen f(), dvs. f '(), själv är en funktion v, så kn deriveringsproceduren uppreps en eller fler gånger, så tt mn får derivtor v ndr ordningen, tredje ordningen etc., (eller ndrderivtor, tredjederivtor etc.). Reglern för fortstt derivering är givetvis desmm som förut. Det end ny som behöver införs är beteckningr för derivtor v högre ordning. 3 3 Mn brukr skriv d y / d, d y / d, etc. eller f b g, f bg etc., (eller också endst f, f etc.) för derivtor v ndr, tredje och högre ordning. Fortsätter mn tt deriver polynomet f för vilket f 0 n n n n gäller, erhålles 3 3 n f d d d n f 3 n 3 3 d n n n n 3 n för ndrderivtn, som blir ett nytt polynom där grdtlet återigen hr sjunkit till (n -). För tredjederivtn gäller på smm sätt

81 70 f 3 d d 3 f 3 n d d n3 n n n Skulle mn nu sätt =0 i de olik polynomen som nger värden för b g b g b g b g f, f, f, f, så kommer, som synes, ll termer utom den först i vrje polynom tt försvinn enär de innehåller potenser v tlet noll. Följktligen blir bg f 0 0 f bg 0 f bg 0 f 0 3 bg 3 etc. I stället för tt skriv ut produkter v successiv heltl så brukr mn nvänd uttrycken:!,!, 3! 3 etc. (utläst: ett, två, tre etc. i fkultet). Med dess beteckningr kn mn uttryck polynomets koefficienter som kvoter melln polynomets derivtor vid det speciell rgumentvärdet = 0 och olik fktoriluttryck, så tt 0 3 etc. bg f 0 f bg 0 /! f bg 0 /! f 0 / 3! bg 3 n n

82 7 Instt i polynomet självt ger de likheten f f 0 f! n 0 f 0 f 0 3 f 0 n! 3! n! Denn likhet gäller för ll polynom ovsett grdtlet n (ändligt eller oändligt). 6:6 Serieutveckling Det hr nu sgts ovn tt viss funktioner, såsom de eponentiell och trigonometrisk, kn uttrycks som polynom med oändligt mång termer och v oändligt högt grdtl. Även för dess måste således formeln ovn gäll. För eponentilfunktionen f e, finner mn lätt tt ll derivtor blir lik, dvs. f e bg bg, f bg e, f bg e etc. Beräknr mn derivtorn vid rgumentvärdet = 0 erhålles det gemensmm värdet e 0 för smtlig. Följktligen kn mn skriv e!! 3 3! vilket är en så klld McLurinutveckling eller McLurinserie v funktionen e. (Om utvecklingen görs vid något nnt rgumentvärde än = 0, så erhålles en generellre formel. Utvecklingen klls i så fll Tylorutveckling.) Att dess epnsioner är möjlig för eponentilfunktionen skll här inte beviss, enär dett skulle bli tämligen komplicert. Funktioner som kn representers v sådn oändlig Tylorserier brukr klls nlytisk funktioner. Som illustrtion till ovnstående formel kn mn vis hur värdet på den nturlig logritmbsen e e / / 6 beräkns vi utvecklingsformeln. Redn de fyr först termern ger ju en god pproimtion med värdet Att det stämmer med det som erhölls genom gränsvärdet b / ng n när n är tydligt.

83 7 För de trigonometrisk funktionern erhålls på smm sätt formlern sin 0! 3 3! 5 5! 7 7! och cos! 4 6 4! 6! b g cos, De är lätt tt härled. Eempelvis gäller ju för den senre, där f tt f bg sin, f bg cos, f b g sin etc. En blick på enhetscirkeln visr tt sin0 0, medn cos0. Sålund blir serien v värden för fb0g, f b0g, f b0g, f b0g som följer: l, 0, - och 0. Vrnnn derivt är noll, vilket är skälet till tt endst jämn termer i serien förekommer. Vidre välr de derivtor, som inte är noll, melln + och -, vrv omvälingen melln positiv och negtiv termer i serien. På nlogt sätt utveckls sinusfunktionen. Skillnden blir tt där i stället de udd termern blir kvr, medn de jämn försvinner. 6:7 Minim och mim Derivtor v högre ordning kommer till nvändning när mn önskr identifier minim och mim. Nedn viss funktionen fbg och dess bägge först derivtor f bg och f bg. Vid rgumentvärdet = 0, där funktionen uppenbrligen hr ett minimum, gäller tt först derivtn är noll och ndr derivtn plus två, dvs. positiv. Mn kn llmänt vis tt en funktion hr minimum i en punkt där först derivtn är noll och ndr derivtn är positiv. Dess villkor: f ( ) 0 b g 0 är tillsmmns tillräcklig (men ej nödvändig) för tt funk- och f tionen f() skll h ett (loklt) minimum vid =.

84 73 b g b g fbg f f På smm sätt kn ett mimum studers. Som illustrtion nvänds funktionen fbg, vilken tillsmmns med derivtorn f och b g f illustrers i digrmmen nedn. Vid rgumentvärdet = 0, där funktionen hr ett mimum, gäller tt först derivtn är noll och ndr derivtn minus två, dvs. negtiv. Allmänt gäller tt en funktion hr mimum i en punkt där först derivtn är noll och ndr derivtn är negtiv. Villkoren f ( ) 0 och f bg 0 är lltså tillsmmns tillräcklig (men ej nödvändig) för tt funktionen f() skll h ett (loklt) mimum vid =. Tydligen måste villkoret f ( ) 0 vr uppfyllt såväl när f() hr ett minimum som när det hr ett mimum vid =. Dett först ordningens villkor är nödvändigt för såväl minimum som mimum. Andr ordningens villkor för minimum är f bg 0 och för mimum f ( ) 0. Konjunktionen v först och ndr ordningens villkor är, som redn sgts, tillräcklig för tt identifier ett minimum eller ett mimum. Vill mn undersök huruvid en funktion f() hr någr etrempunkter (minim eller mim), så sätter mn derivtn f b g b g lik med noll.

85 74 fbg f b g f bg b g 0 som löses med vseende på. I Härigenom erhålles ekvtionen f eemplen hde ekvtionern f b0g 0 och f bg 0 br en lösning vr (dessutom tillfälligtvis densmm för bägge eemplen), nämligen = 0. Det finns emellertid ingenting som hindrr ekvtionen från tt h fler lösningr. Vrje sådn lösning, klld sttionärpunkt, svrr mot ett möjligt (loklt) etremvärde. För tt vgör huruvid en viss sttionärpunkt är ett mimum eller ett minimum beräkns ndr derivtn f bg. Om den är positiv är det fråg om ett minimum; om den är negtiv är det fråg om ett mimum. Skulle fler sttionärvärden uppvis positiv eller negtiv ndr derivtor, så finns tydligen fler lokl minim eller mim. Om något v dem ger ett mindre, respektive större, funktionsvärde än de övrig, så tlr mn om ett globlt minimum eller mimum. En funktion vrs grfisk bild följer ryggsilhuetten v en tvåpucklig kmel, hr sålund två lokl mim med ett minimum emelln. (För tt vgör huruvid något v dess mim är globlt erfordrs större zoologisk kunskper än förfttren till denn bok äger). Ovn hr förutstts tt ndr derivtn vid ett sttionärt värde för funktionen är ender positiv eller negtiv. Ingenting hr sgts rörnde gränsfllet då det råkr vr precis lik med noll. Ett eempel på denn sitution ger funktionen f 3. Den illustrers nedn. bg

86 75 fbg 3 Som synes är sttionärvärdet vid = 0 vrken ett minimum eller ett mimum, dvs. inget etremvärde lls. Funktionen väer först llt långsmmre, för tt lldeles upphör vä i en viss så klld terrsspunkt, och fortsätter därefter tillväten llt snbbre. Derivtorn blir f f bg 3, b g 6 bg 6. Som synes blir både först och ndr derivtorn lik med och f noll vid = 0, medn tredje derivtn blir positiv. En terrsspunkt kn det lltså vr fråg om när ndr derivtn är noll i en sttionärpunkt. Det måste rör sig om en terrsspunkt när tredje derivtn är positiv (som i eemplet) eller negtiv. Däremot blir sken mer oklr om tredje derivtn också skulle vr lik med noll. så fll kvrstår ll tre möjlighetern: minimum, mimum och terrsspunkt, och mn måste fortsätt tt undersök derivtor v högre ordning. bg 4 och g Nedn viss kurvorn för funktionern f bg 4, vilk uppenbrligen hr minimum respektive mimum när = 0. Serien v derivtor för fbg 4 blir f bg 4 3, f bg, f b g ivb 4, f g 4. Vid = 0 blir f ( 0) f b 0g f b 0g 0, medn f iv bg 0 0. Ett minimum kn mn således h även om ll de tre lägst derivtorn är noll och den fjärde är positiv. Tecknen för derivtorn

87 76 fbg 4 Med begreppet derivt är begreppet differentil när förbundet. Betrkt följnde digrm. Tidigre nvändes lutningen v en seknt genom punkfbg 4 v den ndr funktionen gbg 4 blir helt enkelt omkstde i förhållnde till den föregående. I dett senre fll, där det är fråg om ett mimum, är således de tre först derivtorn noll medn den fjärde är negtiv. Det är nu möjligt tt urskilj den llmänn regeln för minim och mim. Etrempunkter hr mn sålund när den lägst derivtn, som hr ett värde skilt från noll, är v jämn ordning (ndr eller fjärde, som diskuterts, eller ännu högre). Etrempunkten är ett minimum om den lägst derivt, som hr ett värde skilt från noll, (och lltså är v jämn ordning), är positiv, ett mimum om den är negtiv. I ekonomisk tillämpningr bortser mn emellertid llmänt från behovet tt undersök högre derivtor än ndr ordningens. Så görs även i fortsättningen v denn bok. 6:8 Differentiering

88 77 B y A b g f b tern A och B för tt representer kvoten y / melln ändringrn v funktions- och rgumentvärden. Derivtn f bg definierdes sedn som gränsvärdet för sgd kvot när minskdes till ingenting och seknten övergick till tt bli en tngent till kurvn i punkten A. Den procedur mn nu vill genomför är tt i stället med utgångspunkt från derivtn (tngenten) pproimer ändringen v funktionsvärdet när rgumentvärdet ändrs. Approimtionen kn görs med b g y f Enligt digrmmet ger den ett för lågt värde. I punkten B hr tngenten brntre lutning, dvs. är derivtn f b b g y f b b g större, vrför pproimtionen med istället ger ett för högt värde. Endst om derivtn beräkns för ett rgumentvärde melln och b där tngenten till kurvn är prllell med seknten

89 78 genom A och B, så erhålles en helt riktig skttning v y. Det finns en särskild mtemtisk sts klld medelvärdesstsen som säger tt det i intervllet till b finns en punkt i vilken derivtn gör skttningen ekt. Emellertid kn mn se tt skttningrn med hjälp v derivtn f bg, liksom den med hjälp v f bbg, blir bättre ju mindre mn gör genom tt låt punkten B glid ner utefter kurvn mot punkten A. Att den krökt kurvn företräds v en rät linje gör mindre ju mindre del v kurvn som behöver bekts. Låter mn gå mot noll blir skttningen v y med hjälp v b g ekt, och mn skriver trditionellt f b g dy f d där d och dy är oändligt små (eller inftinitesiml) ändringr v och y. De klls först differentiler. Proceduren tt skriv dy f bg d klls differentiering. När mn tr i bektnde tt differentieringen kn görs vid olik punkter för rgumentvribeln (ej enbrt vid =), skriver mn dy f bg d. Liksom deriveringen kn differentieringen uppreps. Om mn tr hänsyn till tt derivtn f bg själv är en funktion v, så kn mn undersök dess egen vrition när ändrs. Tänker mn sig tt i föregående digrm den vertikl eln nger dy / d f bg i stället för y =f(), så leder en upprepning v det tidigre resonemnget till tt derivtns differentil vid = kn skrivs som db f g f bg d. Andr differentilen för y blir sålund: d y dbdyg dbf gd f bgbdg Medn först differentilen nger ändringen v funktionsvärdet vid en infinitesiml ändring v rgumentvärdet, så nger ndr differentilen ändringen v ändringen v funktionsvärdet. Om nu funktionsvärdet inte ändrs vid en infinitesiml ändring v rgumentvärdet från värdet så hr mn tydligen en sttionärpunkt. Det sgd betyder tt dy = 0 trots tt d 0, vilket är möjligt endst om f () = 0. Villkoret överensstämmer med det som tidigre sdes gäll för sttionärpunkter. Vi-

90 79 dre kn mn säg tt om funktionsvärdets ändringr tenderr tt vä i storlek (från noll till ökningr) när mn rör sig bort från sttionärpunkten så är denn ett minimum, medn den är ett mimum om funktionsvärdets ändringr i stället tenderr tt vtg i storlek (från noll till minskningr) när mn rör sig bort från sttionärpunkten. Det sgd betyder tt sttionärläget är ett minimum om d y 0 gäller för ll infinitesiml ändringr d 0, och ett mimum om d y 0 gäller för ll infinitesiml ändringr d 0. Att sålund måste kunn såväl minsk som ök, dvs. tt d måste kunn nt såväl negtiv som positiv värden, utgör inget problem, enär d förekommer i kvdrt och således är positiv. Tecknet på d y bestäms således helt och hållet v tecknet på f bg, vrför minimum förutsätter f bg 0 och mimum f bg 0. Villkoren v ndr ordningen överensstämmer återigen med dem som konstterdes gäll ovn. Smmnfttningsvis kn sålund sägs tt y =f() hr ett minimum vid = om b g 0 dy f d och bgb g d y f d 0 gäller för ll (positiv och negtiv) infinitesiml ändringr d 0. Villkoren är uppfylld om f '() = 0 och f bg 0 i sin tur gäller. På smm sätt kn sägs tt y =f() hr ett mimum vid = om dy f bgd 0 och bgb g d y f d 0 b g 0. gäller för ll d 0. Villkoren är likvärdig med f ' () = 0 och f

91 80 Genomgången v minim och mim med hjälp v differentiler kn tycks endst onödigtvis dubbler den tidigre diskussionen. Emellertid kn etrempunkter för funktioner v fler rgument endst undersöks med hjälp v differentiler, vrför tekniken ändå måste behärsks. Mn lär den sig lättst i dett tämligen enkl smmnhng.

92 8 7 Differentilklkyl; Funktioner v två rgument 7: Funktioner v två rgument På smm sätt som en funktion v ett rgument är en mängd v ordnde pr v tl (, y), så är en funktion v två rgument en mängd v ordnde tripler v tl,, y, g. Formellt b g sådn tt de uppfyller villkoret y f b nb,, g b, g uttryckt gäller tt funktionen är f y y f s. För tt mängden f verkligen skll vr en funktion och inte en vbildning i störst llmänhet, måste gäll tt en viss kombintion v värden, för rgumenten ej får förekomm i fler än en v triplern,, yg, för vilken y = b gäller. Sålund koppls en värdekombintion b, g för rgumenten smmn med ett och endst ett funktionsvärde b fb, g. Ett eempel på en funktion v två rgument är eempelvis prboloiden f ob,, yg y t. För tt grfiskt illustrer funktionen måste mn nvänd en vbildning v en tänkt tredimensionell rymdmodell, där och mäts som vstånd i ett bottenpln, och y mäts som vertiklt vstånd uppåt från bottenplnet. I ett vnligt ytdigrm kn en sådn funktion givetvis ej illustrers, nnt än om mn godtyckligt fierr värdet på ett v rgumenten. Fiers eempelvis, så blir y en funktion v endst ett (vribelt) rgument (dvs. ) enligt smbndet y. Det kn vbilds som en prbel, där mn emellertid erhåller olik lägen för prbeln (förskjutn i vertikl led med konstnten ) beroende på vid vilket tl fierts. b

93 8 y y På smm sätt kn y illustrers som en prbolisk funktion v enbrt, enligt uttrycket y, när mn fiert. Prblern i de pln digrmmen kn också tänks vr erhålln som skärningskurvor melln den tredimensionell ytn i det vbildde rymddigrmmet och vertikl pln lgd prllellt med -eln respektive -eln i bottenplnet såsom illustrers ovn. De pln projektionern, prbelfmiljern, som kn representer ntingen y som funktion v ntingen eller med den ndr vribeln låst som prmeter, viss i figuren nedn. y eller

94 83 7: Nivåkurvor och implicit funktioner Mn kn även illustrer funktioner v två rgument genom så kllde nivåkurvor. I den vbildde rymdfiguren hr ett ntl sådn nivåkurvor lgts in. De smmnbinder helt enkelt punkter som ligger på smm höjd över bottenplnet, dvs. representerr kombintioner v rgumentvärden som leder till smm funktionsvärde. Villkoret b, där mn fiert y = b, är uppfyllt för punkter b, g som ligger på en cirkel med rdien b i bottenplnet, vrför också nivåkurvorn nerprojicerde i bottenplnet utgörs v koncentrisk cirklr med olik rdie. Nivåkurvor är llmänt beknt från krtverk, där de nvänds för tt illustrer bergmssiv. I ekonomisk teori är de oumbärlig hjälpmedel för tt eempelvis vis kombintioner v konsumtionsvrukvntiteter som är likvärdig enligt ett hushålls preferenser (så kllde indifferenskurvor), eller för tt vis kombintioner v kvntiteter v produktionsfktorer som leder till smm produktmängd i ett företg enligt tillgänglig produktionsteknik (så kllde isokvnter). y

95 84 ob g Ehuru i eemplet y är en funktion v och (och ej endst en vbildning i störst llmänhet), då ju ovnför vrje punkt i rymdfigurens bottenpln endst ligger en punkt v prboloidens tredimensionell yt, så är en cirkulär nivåkurv i bottenplnet för prboloiden, b endst en fler-flertydig vbildning. Det är inte möjligt tt vre sig uttryck som en funktion v, eller som en funktion v. Vill mn i figuren med nivåkurvor ovn betrkt på den vertikl eln som en funktion v på den horisontell eln, får mn nöj sig med tt eempelvis endst bekt hlvcirkeln ovnför den horisontell eln. Kvrtscirkeln melln de positiv koordintlrn ger dessutom en entydig funktion (en en-entydig vbildning), vilken även kn inverters för tt uttryck som funktion v i stället. I ekonomisk teori kn mn v olik skäl oftst nöj sig med tt undersök nivåkurvorn endst i regioner där de verkligen representerr entydig (inverterbr) funktioner. Allmänt sägs fb, g b, dvs. f nb yg fb,,, gbs,vr en implicit funktion, trots tt vrken eller i llmänhet kn uttrycks som t

96 85 (eplicit) funktion v den ndr. Grfiskt motsvrs en implicit funktion v en nivåkurv. Vd som i övrigt är sgt beträffnde funktioner v ett rgument, beträffnde kontinuitet och dyl., kn lätt överförs till funktioner v två rgument. Det skll ej uppreps här. 7:3 Prtiell derivtor Den nturlig frågn är nu givetvis: Hur definiers derivtor för funktioner v fler rgument? Tidigre hr den grfisk motsvrigheten till derivtn sgts vr lutningen på tngenten till en kurv i en viss punkt. Funktioner v fler rgument representers emellertid inte v pln kurvor, utn v ytor i rummet, och tngenter till rymdytor (ovnför en given punkt i bottenplnet) kn mn ju finn i oändligt mång riktningr (i regel ll med olik brnt lutning). Om mn klättrr på ett bergmssiv i nordlig riktning så är det ju endst en tillfällighet om berget därvid stiger ekt lik brnt som när mn i stället klättrr i östlig riktning från smm punkt. (Det kn mycket väl bär uppför när mn går åt norr men nerför när mn går åt öster). Olik brnthet får mn i ll de övrig (oändligt mång) väderstrecken. När mn definierr derivtor för funktioner v fler rgument brukr mn nöj sig med tt diskuter, dels vd som händer när mn rör sig rkt österut i bottenplnet (dvs. låser fst värdet ), och dels vd som händer när mn rör sig rkt norrut (dvs. låser fst värdet ). Fstlåsningen ger ju vr sin funktion i ett återstående rgument, representerd v prbler som i figurern ovn, och till dess kn entydig tngenter drs. Lutningrn på dess tngenter svrr mot prtiell derivtor - prtiell därför tt endst ett rgument vriers prtiellt, medn det ndr är låst. I bilden v en rymdyt nedn viss de bägge tngenter, vrs lutningr representerr de prtiell derivtorn. Observer tt tngenter i två riktningr låser fst läget v ett tngentpln till rymdytn. (När endst lutningen v en linje i ett pln fstlåsts kn ju plnet roter med linjen som el. En ndr linje låser genom sin lutning fst plnets lutning helt). De prtiell derivtorn kn därför även sägs ge ekt den informtion som behövs för tt vet hur tngentplnet sluttr.

97 86 y Formellt definiers de prtiell derivtorn för funktionen y på följnde sätt: y lim 0 b g b g f, f, b f, g och y lim 0 b g b g f, f, Andr prktisk (men egentligen delvis något slrvig), beteckningr är f fb, g y/, respektive f fb, g y/. Tekniken för prtiell derivering är densmm som den som gäller för vnlig derivering. Mn måste br komm ihåg tt endst det rgument, med vseende på vilket mn deriverr funktionen, skll betrkts som vribelt. Det ndr rgumentet behndls som en konstnt vid just den deriveringen.

98 87 För funktionen fb, g erhålles sålund f och f, eftersom är konstnt vid den först deriveringen medn är konstnt vid den ndr deriveringen. När mn deriverr med vseende på, blir lltså derivtn v den ndr termen i funktionsuttrycket noll, medn det blir derivtn v den först termen som blir noll vid deriveringen med vseende på. Som ett nnt eempel kn fb, g ts. Härvid blir f och f. De först kvdrtisk termern i de prtiell derivtorn är desmm som i föregående eempel, men härtill kommer en ndr produktterm. Derivers prtiellt med vseende på, måste betrkts som en konstnt, multiplicerd med vribeln (i först potens). På smm sätt gäller vid derivering med vseende på, tt uttrycket utgörs v konstnten multiplicerd med vribeln (i först potens). Enär nu de prtiell derivtorn f och f själv är funktioner v rgumenten och, så kn deriveringen givetvis uppreps. Mn får två prtiell ndrderivtor från vrder f och f genom tt deriver med vseende på respektive. Dess beteckns y bg f bg f y bg f y y bg f Mer kortfttt kn de skrivs som f, f, f och f respektive. Av dess är f och f direkt ndrderivtor, medn f och f är korsderivtor. Grfiskt representerr de direkt derivtorn lutningsändringen i östlig riktning när mn rör sig österut, och i nordlig riktning när mn rör sig norrut. Korsderivtorn nger i stället ändringen v lutningen i östlig riktning när mn rör sig norrut, respektive ändringen v lutningen i nordlig riktning när mn rör sig österut.

99 88 Generellt gäller nu f f, dvs. tt korsderivtorn r lik, oberoende v i vilken ordningsföljd deriveringrn görs. Förutsättningen är br tt förstrderivtorn själv är kontinuerligt deriverbr funktioner, utn språng och utn knter i de grfisk bildern, så tt de själv kn derivers ytterligre. Som eempel härpå kn vi nvänd den ovn diskuterde funktionen fb, g med de redn härledd prtiell förstderivtorn f och f. De prtiell ndrderivtorn blir nu uppenbrligen f, f, f och f. Tydligen är f f. Likheten gäller som sgt lltid i de eempel vi är intresserde v. (Att även de direkt derivtorn blir lik är däremot en ren tillfällighet i eemplet). 7:4 Differentiering När mn vill diskuter fll, då mn ej endst hr tt gör med prtiell vritioner v rgumenten, ett åt gången, utn med smtidig vrition v bägge rgumenten, så kn mn nvänd differentiering i stället för derivering. I digrmmet nedn viss ett utsnitt v en krökt yt i rummet. När ändrs med smtidigt som ändrs med, så ändrs funktionsvärdet y med y. Funktionsvärdesändringen skttr mn nu genom tt ersätt den krökt ytn med ett tngentpln till den, i punkten A (ovnför rgumentvärdeskombintionen, ) vilket ger b g b g y f, f, som är ett enligt figuren för stort värde. Felkällorn är tre. För det först skttr mn ändringen v y till följd v tt ändrts (vid givet ) med f b, g vilket för det illustrerde fllet ger ett för högt värde. För det ndr skttr mn ändringen v y till följd v tt

100 89 b g b g b g f, f, f, b f, A g y b, g ändrts (vid givet ) med f b, g, vilket även det synes ge ett för högt värde. Dess felkällor beror på tt de krökt kurvorn i de bägge vertikl plnen, vilk skär vrndr genom en vertikl el rkt upp från punkten b, g, viker v neråt i förhållnde till tngentern. För det tredje kn mn emellertid inte utn vidre lägg smmn dess ändringr. Även om de bägge förstnämnd felkällorn ej hde funnits så är ju kurvorn i de prllell vertikl plnen i regel ej endst förskjutn upp eller ner, utn kn h helt olik utseende (såsom i figuren där en v kurvorn är konve men den ndr konkv). All tre felkällorn minskr emellertid när och minsks. När de går mot noll blir skttningen ekt och mn skriver: b g b g dy f, d f, d eller enbrt: dy f d f d.

101 90 Dett är resulttet v tt funktionen y fb, g differentierts en först gång. Eftersom emellertid f och f själv beror v och när dess vrierr (och ej hålls konstnt vid värden, ), gäller tt mn kn differentier även dem. Därvid blir resultten d f f, d f, d b g b g b g bg b g b g fb, g i punkten b, g kn därför skrivs som: b g b g b g fb, gd fb, gdd fb, gdd fb, gd och d f f, d f, d. Andr differentilen v funktionen y d y d dy d f d d f d eller mer kortfttt som d y f d f d d f d enär ju som vi sett f f. 7:5 Minim, mim och sdelpunkter Medn först differentilen nger ändringen v funktionsvärdet när bägge rgumenten ändrs smtidigt, så nger ndr differentilen ändringen v denn ändring v funktionsvärdet. Mn kn då säg tt en funktion v två rgument y fb, g hr ett sttionärläge när funktionsvärdet lls inte ändrs för godtycklig kombintioner v infinitesiml förändringr v rgumenten, dvs. när dy = 0, ovsett vilk positiv eller negtiv värden d och d ntr. Eftersom dett endst är möjligt när f 0 och f 0, då ju dy f d f d, så betyder det tt tngenten i såväl östlig som nordlig

102 9 y riktning skll vr horisontell, eller tt tngentplnet självt skll vr horisontellt. Melln minim och mim kn därefter skillnd görs med hjälp v ndrdifferentilens tecken. Om det är så tt ändringrn v funktionsvärdet dy väer (från värdet noll mot positiv värden) då mn rör sig bort från sttionärpunkten, så hr mn tydligen ett minimum. På smm sätt hr mn ett mimum om dy vtr (från värdet noll mot negtiv värden) då mn rör sig bort från sttionärpunkten. Med ndr ord är sttionärläget ett minimum, förutstt tt d y är positivt för ll kombintioner v rgumentförändringr d och d (ej bägge lik med noll), men ett mimum, förutstt tt d y är negtivt för ll d och d (återigen ej bägge lik med noll). Mn säger därvid tt d y är positivt definit vid minimum och negtivt definit vid mimum. Skulle tecknet på d y fd fdd f d kunn vr positivt för viss värdekombintioner för d och d, men negtivt för ndr, så är det ju uppenbrt tt det vid rörelser från sttionärpunkten utefter rymdytn bär uppför då mn rör sig i viss riktningr men nerför då mn rör sig i ndr. I så fll kn det vrken rör sig om mimum eller minimum, utn mn hr då en sdelpunkt så som i digrmmet ovn. Sdelpunkten här befinner sig i lrns skärningspunkt. Tydligen ger den ett mimum för prtiell vritioner v och ett minimum för prtiell vritioner v. Funktionen y hr eempelvis dett utseende.

103 9 Hur kn mn nu (för tt sorter bort sdelpunkter) försäkr sig om tt den så kllde kvdrtisk formen d y fd fdd f d br kn h ett visst tecken ovsett vilk (positiv eller negtiv) värden d och d ntr? För tt kunn gör det, måste mn skriv om den kvdrtisk formen så tt d och d endst förekommer i kvdrerde uttryck som därför själv måste vr positiv. Mn kn gör det genom tt som det heter "kompletter kvdrten". Först skriver mn: F HG b g F H G d y f d d f f II KJ KJ b g d f d b g Enligt formeln b bb skns en kvdrtterm inom klmmern i föregående uttryck för tt mn skll få ett jämnt kvdrtiskt uttryck. Sätt d och b f / f d b g. Då finns redn och b, men b b / gb g, men skns. Följktligen lägger mn till uttrycket b f f d för tt d y ej skll förändrs måste uttrycket drs ifrån igen. Resulttet blir: F H Gb g F H G d y f d d f f d I KJ F H G f f d I K J I K J F HG f f f I KJ bdg Slutligen kn mn skriv F HG d y f d f f d I KJ f f f f bdg där d och d endst ingår i kvdrerde termer, vilk följktligen är positiv, ovsett de förstnämnds tecken. Om nu både f och cf f fh/ f

104 93 är positiv, så gäller tydligen tt d y är positivt definit. Om bägge är negtiv, så gäller tt d y är negtivt definit. Annorlund uttryckt är d y positivt definit om f och f f f bägge är positiv, medn d y är negtivt definit om f är negtivt och f f f är positivt (ty det är ju kvoten melln dess som skll vr negtiv, vrför uttrycken själv måste h motstt tecken). Slutstsen blir nu tt en funktion v två rgument y fb, g hr ett sttionärläge när dy fd fd 0 gäller för ll d och d, vilket är fllet om och endst om f 0 och f 0. Sttionärläget är ett minimum om dessutom d y f d f d d f d 0 gäller för ll d och d (ej bägge lik med noll), vilket är fllet om och endst om f 0 och f f f 0. Sttionärläget är ett mimum om i stället d y f d f d d f d 0 gäller för ll d och d (ej bägge lik med noll), vilket är fllet om och endst om f 0 och f f f 0. Som eempel ts prboloiden y som vbildts ovn och hr vist sig h ett minimum. För funktionen erhålles f och f, eller dy dd. Det är fllet tt dy = 0 för ll d och d om f 0 och f 0, vilket endst gäller i punkten 0 och 0. (Villkoren tt prtiell derivtorn skll vr noll ger två ekvtioner

105 94 i de två obeknt och mn kn sålund lös systemet för värden på de obeknt). Funktionen hr sålund ett sttionärläge för 0. För tt undersök om sttionärläget är ett minimum eller ett mimum måste ndrderivtorn beräkns i sttionärpunkten. De blir f, f 0 och f. (Beroende på tt funktionen i eemplet är v ndr grden blir ndr derivtorn konstnter. I llmänhet är de funktioner v och. Hde dett vrit fllet skulle mn ändå h erhållit givn värden i sttionärpunkten genom tt sätt in.) Tydligen blir nu f 0 0 och f f f 4 0vrför d y 0 gäller vid ll d och d (ej bägge lik med noll). Sttionärläget är sålund ett minimum. Genom tt vänd "upp och ner" på prboloiden, dvs. skriv y, erhålles en funktion med ett mimum i stället. Att undersök fllet överlåtes till läsren som övning. Läsren kn också själv övertyg sig om tt funktionen y vrken hr mimum eller minimum utn, som redn ntytts, en sdelpunkt i origo. Som förutskickts hr vi i hel dett smmnhng negligert de fll som diskuterdes i smbnd med funktioner v en vribel, nämligen då villkor v högre ordning skulle undersöks. Även i tvåvribelfllet kn det ju händ tt ndrdifferentilern blir identiskt lik med noll därför tt ll ndrderivtor är noll. Som läsren lätt inser inträffr det närhelst vi eempelvis höjer potensern i de funktioner vi nvände för eemplifiering. Vi lämnr dess kompliktioner delvis v bekvämlighet, eftersom högre ordnings villkor vid fler vribler blir krångligt. Men det finns också ett skligt skäl tt lämn högre ordningens villkor därhän, vilket vi redn skulle h kunnt åberop i envribelfllet. Mn kn nämligen överväg hur snnolikt det är tt även en eller fler ndrderivtor är lik med noll när förstderivtorn är noll. Blnd mängden v möjlig positiv och negtiv värden hr det ekt värdet noll en försvinnnde liten snnolikhet. Mtemtikern brukr säg tt sådn fll är icke generisk, dvs. icke typisk, eller, eftersom de förvinner vid minst förändring v funktionen, tt de är strukturellt instbil. Sådn fll kn mn på sklig grunder negliger. Det är förbluffnde hur mycket mn kn förenkl nlysen genom tt bortse från icke generisk fll. Absurt nog hr ekonomer slöst mycket skrpsinne och energi på tt i detlj undersök just sådn ickegenerisk fll.

106 95 7:6 Derivering v implicit funktioner Differentiering kn även nvänds för ndr ändmål än loklisering och identifiering v etremvärden för en funktion. En nvändning är beräkning v tngenters lutning för nivåkurvor, som representerr derivtor för implicit funktioner. Om mn hr en funktion y fb, g v två rgument och, så definiers ju en implicit funktion för rgumenten genom ekvtionen fb, g b. Differentieringen ger dy fd fd, men om y skll hålls konstnt vid värdet b, så är ju ändringen dy lik med noll. Ändringrn d och d måste följktligen uppfyll villkoret fd fd 0 för tt y skll förbli oförändrt, och mn följktligen skll "håll sig kvr" på smm nivåkurv. Reltionen melln ändringrn kn således erhålls som kvoten d d f f vilken är den implicit funktionens först derivt vid en kombintion v värden för och. Tg som eempel återigen prboloiden y, vrs nivåkurvor b ju vr cirklr. Här gäller f och f. Sålund blir d / d /. Om mn emellertid vill uttryck derivtn d / d som en funktion v enbrt, så stöter mn på följnde svårighet. Enligt ekvtionen b får mn två värden på som svrr mot vrje värde på, nämligen b och b. Följktligen får mn även två värden på den implicit funktionens derivt; ett negtivt d / d / b och ett positivt d d b / / så som viss i följnde digrm.

107 96 d d b d d b Ett entydigt värde på derivtn för en implicit funktion får mn därför i regel endst om såväl värdet på som värdet på specificers. Vill mn uttryck d / d som en funktion v enbrt, så måste mn givetvis först h själv uttryckt som en eplicit funktion v. Som redn påpekts kn dett görs genom tt mn endst bektr den övre hlvcirkeln (eller t.o.m. endst kvrtscirkeln melln de positiv lrn). Mn kn fortsätt deriveringen för tt erhåll den implicit funktionens ndr derivt. Det gäller br tt komm ihåg, tt vid deriveringen med vseende på v d / d f/ f så skll mn t hänsyn till tt inte enbrt utn även ändrs i fb, g och fb, g. Om mn endst ändrde på, utn tt ändr på, så skulle mn ju inte längre följ nivåkurvn utn rör sig bort från den. Ändringrn måste uppfyll villkoret fd fd 0 för tt värdet på y skll hålls konstnt. Håller mn dett i minnet, erhåller mn lätt ndr derivtn för en implicit funktion. d d d d F H G d d I KJ d d F HG I f f KJ f d d bg f f f d d bg f

108 97 Dett följer ju helt enkelt regeln för derivering v en kvot. Härnäst erhålles d d d bg f f f f f d f f då ju, som ovn sgts, skll ändrs smtidigt med. På smm sätt erhålles d d d bg f f f f f d f f Insättes nu dess derivtor i kvotformeln ovn, så blir resulttet: d d f f f f f f f 3 f c h enär som vnligt f f gäller. För funktionen y blir som förut f och f. Vidre erhålles f, f 0 och f. Insättning v dess värden och hyfsning ger d / d / 3 c h. För den implicit funktionen är ju 3 b, vrför d / d b/ gäller. Eftersom mot ett visst värde återigen svrr två värden b och b, (och eftersom en udd potens v förekommer), så får mn för ett visst två värden även för den implicit funktionens ndr derivt, ett för den övre hlvcirkeln och ett för den nedre. Andr derivtn, vrs värde är lik med 3 b/ blir positiv i den nedre (uppåt konkv) hlvcirkeln, eftersom där 0 gäller. På smm sätt blir ndr derivtn negtiv i den övre (uppåt konve) hlvcirkeln, eftersom 0 gäller. Mn kn konstter tt den nedre hlvcirkeln hr ett minimum och den övre hlvcirkeln ett mimum för 0. För bägge hlvcirklrn gäller

109 98 d / d /, som hr värdet noll vid 0. Vid 0, är för den nedre hlvcirkeln b och för den övre hlvcirkeln b. Andr derivtorn blir lltså d / d / b, som är positiv, respektive d / d / b, som är negtiv. Först derivtn för en implicit funktion mäter nivåkurvns lutning. Är först derivtn positiv stiger nivåkurvn, är den negtiv fller nivåkurvn. Andr derivtn nger kurvturen. Är ndr derivtn positiv blir en stignde nivåkurv brntre (och en fllnde nivåkurv flckre, då ju för en vribel psserndet från strkt negtiv värden till svgre negtiv värden innebär tt dess värde väer). Är ndr derivtn negtiv blir på motsvrnde sätt en stignde nivåkurv flckre (och en fllnde nivåkurv brntre). En positiv ndr derivt svrr lltså mot en ovnifrån konkv nivåkurv, medn en negtiv ndr derivt svrr mot en ovnifrån konve nivåkurv. Dett gäller lltså generellt och ej br för fllet med hlvcirklrn som tillsmmns utgjorde prboloidens nivåkurvor. 7:7 Substitutionselsticiteten viss smmnhng brukr emellertid ekonomern mät kurvturen hos en nivåkurv ej genom dess ndr derivt, och ej heller genom det för mtemtiker vnlig begreppet kurvturrdie (rdien v en npssd cirkel), utn genom en så klld substitutionselsticitet. Begreppet kn enklst förklrs med hjälp v följnde digrm, där två strålr genom origo med olik lutning representerr två olik proportioner / melln vriblern. Till nivåkurvn drs tngenter vid de bägge vribelproportionern. Tngenterns lutningr nger först derivtorn d / d till den implicit funktionen fb, g b i de punkter där nivåkurvn skärs v de bägge strålrn genom origo. Mn frågr sig nu hur mycket lutningen v strålen skll ändrs för tt en given ändring v nivåkurvns först derivt skll resulter. Svret, för det fll (som givetvis inte går tt illustrer grfiskt) där ändringrn är infinitesiml, ges v

110 99 b f, g b F HG HG d F d d d I KJ I KJ dvs. v derivtn v vribelproportionen med vseende på nivåkurvns först derivt. Nedn viss två etremfll. I det vänstr digrmmet ändrs inte strålens lutning trots tt nivåkurvns tngent i en punkt ändrs från tt vr vertikl till tt bli horisontell. Mn hr lltså en oändligt stor ändring v d / d utn tt / lls ändrs. Derivtn v den senre med vseende på den förr är lltså noll. I det högr digrmmet är nivåkurvn en rät linje vrför dess lutning lls inte ändrs vid ändrd vribelproportion. Då en ändring v / kn uppnås utn tt d / d lls ändrs blir derivtn v den förr med vseende på den senre oändligt stor. Substitutionselsticiteten hr fått sitt nmn genom tt den nger lättheten tt delvis ersätt (eller substituer) en produktionsfktor med en nnn på ett sådnt sätt tt mn håller produktionen konstnt.

111 00 F HG F HG d d d d I KJ I KJ 0 F HG F HG I KJ I d d dkj Den definiers nu som F HG HG d F d d d I KJ I KJ d d Mn hr helt enkelt gjort om derivtn till en elsticitet, för tt sålund erhåll kvoten melln de reltiv (och ej de bsolut) förändringrn, och således få ett dimensionslöst begrepp. Den fortstt härledningen går nu till på följnde sätt. Först tillämpr mn en regel för differentiering v kvoten /, som ekt följer den för derivering, och ger d F HG I KJ d d

112 0 Därefter sätter mn in differentilen v kvoten i uttrycket för, dividerr täljre och nämnre med d smt förkortr b / g till. Dett ger F HG F HG I KJ I KJ d d d d d d d d Nu gäller givetvis tt d / dbd / dg d / d, vrför F HG d d d d I KJ d d Härnäst insättes för nivåkurvns först derivt d / d f/ f. Efter hyfsning erhålles b ff f 3 d d g ff Insätter vi nu slutligen uttrycket för nivåkurvns ndr derivt, dvs. d / d f f f f f f f / f 3 c h blir f f f f f f f f f f f vilket är den vnlig formeln för substitutionselsticiteten.

113 0 Som eempel för beräkning v substitutionselsticiteten kn vi nvänd den så kllde CES funktionen: y där, och är positiv konstnter. Differentiers den, erhålles b g y b g b g b g dy d d b g Genom tt i tur och ordning sätt d och d lik med noll kn de prtiell derivtorn y/ och y / erhålls som kvoter melln dy och d respektive d. Således blir y och y F y H G I K J F H G y I KJ Nu erhålles först derivtn för nivåkurvn eller för den implicit funktionen vid y = b på vnligt sätt som d d y y F H G I KJ Eftersom här ett enkelt smbnd råder melln nivåkurvns först derivt d / d och vribelproportionen /, så kn mn lättst beräkn

114 03 substitutionselsticiteten direkt från den först formeln (utn tt beräkn de högre prtiell derivtorn). Differentiering v föregående uttryck ger direkt F HG d d d I b F KJ H G g I KJ d F HG b gb g b g b g I KJ Eftersom / / d / d / / gäller i enlighet med formeln för d / d ovn så blir F HG d d d I b g F d KJ H G I KJ d d eller d d d d F HG F HG I KJ I KJ d d För den ktuell funktionen y blir substitutionselsticiteten /b g inte en vribel, vrs värde beror v rgument- värden och, utn en konstnt. Funktionen i fråg nvänds numer flitigt i ekonomisk teori just därför tt den hr konstnt substitutionselsticitet (vrv benämningen CES, dvs. "Constnt Elsticity of Substitution"), dels på olik punkter v en nivåkurv, och dels melln olik nivåkurvor, smt tillik hr en nnn egenskp som behndls längre frm. Fysiker igenkänner funktionen som representernde en s.k. Minkowskimetrik.

115 04 Hde mn, i stället för tt direkt utgå från det enkl smbndet melln d / d och /, beräknt ll nödig prtiell derivtor v först och ndr ordningen, och stt in dess i den llmänn slutformeln för skulle givetvis smm resultt h erhållits. Denn senre procedur illustrers i stället med en nnn populär funktion, så lydnde y där, och är positiv konstnter och där dessutom gäller. Derivtorn v först ordningen för denn funktion blir f y och f y De direkt derivtorn v ndr ordningen blir b g f b g f y y där de sist leden i ekvtionern erhållits genom, vrför sålund och.

116 05 Korsderivtn blir f y Insätts dess fem uttryck för de prtiell derivtorn i slutformeln för, så erhålles f f f f f f f f f f f y y y y 3 y 3 y 3 y c h y Förkorts uttrycket blir det b g enär ju. Substitutionselsticiteten för funktionen y är följktligen konstnt även den och dessutom lik med ett. Härmed täcker denn funktion ett fll med konstnt substitutionselsticitet som den föregående inte kn täck. Där blev ju /b g. Skulle gäll måste det tydligen vr så tt 0. Sätter mn in dett -värde i funktionen

117 06 y, så erhåller mn ju nollpotenser v funktionsvärdet y och v rgumentvärden och. Men nollpotenser v vribler ger ju lltid det konstnt värdet, vrför funktionen i fråg helt fller sönder vid 0 eller. 7:8 Homogen funktioner En funktion v två rgument y fb, g för vilken det vid ll kombintioner v rgumentvärden och gäller tt b g b g k f t, t t f, ovsett vilket (positivt) värde t ntr, sägs vr homogen. Konstnten k nger funktionens homogenitetsgrd. Verblt uttryckt betyder villkoret tt om mn ändrr ll rgumenten smtidigt i en viss proportion t (t.e. fördubblr eller hlverr och (vrvid t = respektive t = /), så ändrs funktionsvärdet med proportionen t k. Är sålund homogenitetsgrden k =, så leder en fördubbling v bägge rgumentvärden till en fyrdubbling v funktionsvärdet, en tredubbling till en niodubbling v detsmm etc. Mn kn lätt se tt homogenitet för en funktion betyder tt mn kn upprit ll nivåkurvor när mn känner en. Säg tt mn i digrmmet nedn hr ritt upp nivåkurvn för fb, g för funktionen y fb, g som nts vr homogen v ndr grden. De två punktern A' och B' ligger på nivåkurvn för y =. Nu gäller ju tt om mn fördubblr och i punkten A', (dvs. följer en stråle genom O och A' men fördubblr vståndet OA'), så tt mn kommer till punkten A", så måste funktionsvärdet y fyrdubbls. Följktligen ligger A" på nivåkurvn för fb, g 4. Men mn kn ju i stället strt från punkten B', som ävenledes ger y =. En fördubbling v bägge rgumentvärden i B' innebär en övergång till B"' som även den måste ligg på nivåkurvn för fb, g 4, då ju y även i

118 07 B B B A A A y 9 y 4 y O dett fll fyrdubbls. På så vis kn mn, genom tt för vrje punkt på nivåkurvn för fb, g följ en origostråle och fördubbl vståndet från origo, punkt för punkt mrker nivåkurvn för fb, g 4. På smm sätt kn mn genom tt tredubbl rgumenten konstruer nivåkurvn för fb, g 9. Det är givetvis även möjligt tt konstruer nivåkurvn för vrje nnt värde y = b. I så fll skll bägge rgumenten ändrs i proportionen b när homogenitetsgrden som vi ntgit är två. Det sgd visr tt ll nivåkurvorn, dvs. hel ytn i det tredimensionell rummet för funktionen y fb, g, kn rits upp när den implicit funktionen fb, g b för en nivåkurv är känd. Det sgd betyder tt, därest formen på en nivåkurv själv är bestämd (oftst genom ntgndet om konstnt substitutionselsticitet), så fiers den homogen funktionens hel utseende v två storheter, nämligen substitutionselsticiteten och homogenitetsgrden k. Mn brukr vr mest intresserd v fll då homogenitetsgrden är ett, dvs. k =. De ovn diskuterde funktionern y och y den senre med hr just sådn egenskper. De är homogen v först

119 08 y grden, eller linjärt homogen, och hr konstnt substitutionselsticitet. Som vists kn den förr ge olik (konstnt) substitutionselsticiteter genom olik vl v värdet på, dock ej substitutionselsticiteten ett. Den senre kn br ge substitutionselsticiteten ett. En linjärt homogen funktion kn geometriskt också förstås på följnde sätt. Om mn i bilden v en tredimensionell yt som den ovn tänker sig ett pln lgt utefter en bestämd fktorproportionsstråle så skll dett pln tnger rymdytn utefter en rät linje genom origo utefter hel dess längd. Alterntivt kn mn uttryck det så tt hel ytn kn tänks vr tillkommen genom tt en rät linje från origo får "svep ut" den. (När homogenitetsgrden eempelvis är två i stället för ett, så bildr skärningen melln ytn och det vertikl plnet en prbel i stället för en rät linje.) I fll tt en funktion y fb, g ej skulle vr homogen, så kn mn givetvis ändå undersök funktionsvärdets ändring när ll rgumentvärden ändrs proportionellt. Dett görs genom derivtn dy dt c b gh b g b g d f t, t f t, t f t, t dt Görs derivtn om till elsticitet och sätter mn t =, så erhåller mn

120 09 t dy y dt y f y f,, t b g b g som nger den reltiv ändringen v funktionsvärdet stt i reltion till en reltiv ändring v smtlig rgument (i smm proportion). Mn kllr för sklelsticitet eller funktionskoefficient. För homogen funktioner blir den konstnt och lik med homogenitetsgrden. Fortsättningsvis skll lineärt homogen funktioners egenskper diskuters något närmre. För dess gäller ju tt k =, dvs. b g b g f t, t tf, Derivering v vänstr ledet med vseende på t ger d dt cfbt, tgh fbt, tgfbt, tg och derivering v högr ledet d dt ctf b, gh f b, g Dess derivtor skll givetvis vr lik. För det fll då t innn det ändrs hr värdet ett, gäller således b g b g b g f, f, f, eller kortre uttryckt b g y f, f f Likheten gäller för lineärt homogen funktioner och klls Eulers teorem. Funktionsvärdet är sålund summn v produktern v de prtiell derivtorn med respektive rgumentvärden.

121 0 Viss enkl smbnd gäller även för ndr derivtorn. Deriverr mn bägge leden i Eulers teorem prtiellt med vseende på erhålles ju f ff f På smm sätt erhålles genom prtiell derivering med vseende på f f f f Omskrivn lyder de bägge ekvtionern ff 0 och ff 0 Enär nu f f gäller, så kn mn genom tt divider den övre ekvtionen med och den nedre med finn smbnden f och f f f melln de två direkt ndrderivtorn och korsderivtn. Dess reltioner melln ndrderivtorn för den lineärt homogen funktionen kn nvänds för tt härled ett enkelt uttryck för en nivåkurvs ndr derivt. För den gäller ju enligt ovn

122 d d f f f f f f f 3 f f f f f f f 3 f f f f 3 f c F HG e f b g b gb g b gj I KJ h Men då klmmern innehåller en jämn kvdrt blir d d f f f 3 f f y f 3 b g där det sist ledet erhållits genom nvändning v Eulers teorem y f f. Ett enkelt uttryck fås även för substitutionselsticiteten f f f f 3 d f d y ff f y ff yf Att formeln stämmer för de två lineärt homogen funktioner med konstnt substitutionselsticitet, som nvänts till illustrtioner, kn läsren själv övertyg sig om.

123 7:9 Minim och mim under lineär bivillkor Ovn hr diskuterts de villkor v först och ndr ordningen, som skll vr uppfylld för tt en funktion v två rgument y fb, g skll h ett minimum eller ett mimum. Först ordningens villkor som ju löd så tt de prtiell derivtorn v först ordningen skulle vr lik med noll (dvs. f f 0), vr gemensmm för minim och mim. Genom ndr ordningens villkor kunde mn skilj minim från mim, genom tt i det förr fllet villkoren f 0 och f f f 0, och i det senre fllet villkoren f 0 och f f f 0, dessutom skulle vr uppfylld. Dess villkor gällde emellertid etremvärden som erhölls när bägge rgumenten och kunde vrier fritt. Oft uppstår i ekonomisk teori etremvärdesproblem, där det icke gäller tt sök mimum för en funktion y fb, g under helt fri vrition för och, utn för enbrt sådn vritioner som uppfyller ett visst bivillkor. Dett bivillkor uttrycks vnligen som en implicit funktion gb, g 0. Vrierr mn, så måste smtidigt förändrs för tt bivillkoret, dvs. den implicit funktionen, skll fortsätt tt vr uppfyllt. När bivillkoret är sådnt tt kn uttrycks som en eplicit funktion v, erhåller mn ju från dett ett entydigt värde på den förr så snrt mn hr vlt ett värde på den senre. Geometriskt betyder det sgd tt mn inte söker den lägst eller högst punkten på ytn y fb, g utn endst den lägst eller den högst v ll de punkter som ligger rkt ovnför den linje eller kurv i bottenplnet där bivillkoret gb, g 0 är uppfyllt. Situtionen illustrers i figuren. Ett mimum för fri vritioner v och finns i punkten A, men där är ej bivillkoret uppfyllt. Det gäller lltså tt i det följnde finn punkter som B. Det kn också tänks tt en funktion, som inte lls ntr något etremvärde vid helt fri vritioner v och, ändå gör det om vritionern sker under något lämpligt bivillkor. Oft är de bivillkor mn rbetr med i ekonomisk teori lineär, dvs. de kn skrivs b där, och b är konstnter. Ur ett sådnt uttryck kn mn lltid lös ut eempelvis som en eplicit funktion v, dvs.

124 3 A B b g b g. Substituers dett uttryck för i funktionen / / y fb, g erhåller mn F HG y b f, I KJ som är en funktion v ett end fritt vribelt rgument. Etremvärden för sådn funktioner fordrr ju tt dy / d 0. (Observer tt det ej är den prtiell derivtn y/ som skll vr noll utn den totl derivtn dy / d, vilken erhålles när mn tr hänsyn till tt vritioner v också åtföljs v vritioner v i enlighet med bivillkoret.) För minimum skll sedn d y/ d 0 gäll och för mimum d y/ d 0. (Även här är det fråg om totl derivtor.) Derivering en gång ger

125 4 dy d f f och derivering ytterligre en gång d y d f f f F H G I K J f f f c h f enär som vnligt f eller f f f. Ett etremvärde hr mn tydligen när dy / d 0 Ovn hr emellertid konstterts tt kvoten bf/ fg är lik med derivtn d / d för en nivåkurv till funktionen fb, g = konstnt. Mn kn likså lätt identifier kvoten b/ g som lutningen för det lineär bivillkoret b. Först ordningsvillkoret för tt mn skll h ett etremvärde v funktionen fb, g under det lineär bivillkoret innebär följktligen tt den rät linjen skll tnger en nivåkurv för funktionen. Det sgd illustrers nedn, där den nivåkurv på vilken punkten B ligger (liksom punkten A) från föregående digrm projicerts ner i bottenplnet. Förstordningsvillkoret kn även skrivs f f

126 5 F HG 0, b I KJ B A F HG I KJ b, 0 där tills vidre helt enkelt hr införts som en beteckning för värdet v de bägge (lik) kvotern. Sätter mn nu in värden f / och f / från förstordningsvillkoren i uttrycket för d y/ d vrs tecken ju skiljer melln minim och mim, så erhåller mn d y f ff f f f f d f cf f f f f f f h f F HG I KJ Jämför mn nu dett uttryck med uttrycket för nivåkurvns ndr derivt, så finner mn tt d y f d d d

127 6 Tecknet på d y/ d bestäms sålund v tecknet på först derivtn f och på nivåkurvns ndr derivt. I det illustrerde eemplet hr och smm tecken, eftersom bivillkoret svrr mot en fllnde rät linje. Följktligen hr även f och f smm tecken. Då mn så långt ut från origo som vid punkten B redn hr pssert ytns högst punkt och det bär nerför, så kn mn dr slutstsen tt vid B bägge de prtiell förstderivtorn f och f är negtiv. Vidre är ju nivåkurvn i punkten B konve ovnifrån, vrför först derivtn är fllnde och således ndr derivtn negtiv, dvs. d / d 0. Resulttet blir d y/ d 0, vrför etremvärdet blir ett mimum såsom frmgår v digrmmet. Smmnfttningsvis kn sägs tt för ett etremvärde v y f, b under bivillkoret b fordrs som förstordningsvillkor tt nivåkurvns först derivt d / d är lik med kvoten b/ g. Enligt ndrordningsvillkoret hr mn ett minimum om f och d / d hr motstt tecken, men ett mimum om de hr smm tecken. I ekonomisk smmnhng är det nästn lltid så tt, i en punkt där ett etremvärde under bivillkor kn befinn sig, bägge de prtiell först derivtorn är positiv, dvs. y väer vid ökningr v såväl som. (Det betyder tt etrempunkten under bivillkor befinner sig längre in mot origo i förhållnde till en eventuell etrempunkt för helt fri vritioner, och ej som i det illustrerde fllet längre ut). När f och f är positiv, vgörs frågn om mn hr minimum eller mimum helt v kurvturen på nivåkurvn. Är den konve ovnifrån, hr mn ett minimum (i motsts till det illustrerde fllet), och är den konkv ovnifrån, hr mn ett mimum. Ett enkelt sätt tt bestämm etremvärden under bivillkor erbjuder den så kllde Lgrngemetoden. Mn bildr en ny funktion, där till den funktion y fb, g som skll minimers eller mimers läggs bivillkoret, skrivet i sådn form tt det hr värdet noll när det är uppfyllt, multiplicert med en Lgrngemultipliktor, vnligen betecknd. Således formulers b g b g z f, b g

128 7 Sedn rbetr mn som om det gällde tt sök ett sttionärvärde för z med vseende på vritioner v de tre vriblern, och. Därför söker mn de tre derivtorn v z och nollställer dem. Alltså z z f 0 f 0 z b 0 där de bägge först ekvtionern ger f f precis som ovn och den tredje ger bivillkoret tillbk. Härtill kommer vidre ndrordningsvillkor som fordrr tt uttrycket cf f f f f f f h skll vr positivt vid ett minimum och negtivt vid ett mimum. Det må räck med en illustrtion: Sök mimum v funktionen y där som förut, under bivillkoret b. Derivtorn hr redn härletts ovn, så tt f y / och f y /. Vidre gäller ju formlern f y/, f y/b g och f y/. För dess värden blir

129 c f f f f f f f 8 y 3 y 3 c h h c h b g enligt ntgndet on linjär enär ju homogenitet. För positiv och (som ju hr förutstts från börjn) och positivt y (vilket är fllet om mn endst studerr positiv och, dvs. begränsr domänen för funktionen till ekonomiskt rimlig värden), så blir uttrycket ovn lltid negtivt, vrför mn hr ett mimum för vrje punkt där bivillkorslinjen tngerr en nivåkurv. För tt finn punkten i fråg skriver mn nu g z bb och nollställer derivtorn z z y 0 y 0 z b 0 Ur de bägge först ekvtionern erhålles

130 9 y y eller Från denn ekvtion och bivillkoret b erhålles sedn lätt b och b för tngeringspunkten melln bivillkorslinjen b och en nivåkurv till funktionen y. Som redn konstterts ger ndr ordningsvillkoren vid hnden tt tngeringspunkten lltid svrr mot ett mimum.

131 0 Övningsuppgifter Antg tt vi hr en (produktions)funktion y e Härled nivåkurvorn för för konstnt y b (isokvntern), och beräkn ders först och ndr derivtor genom implicit derivering. Vilken vnlig funktion påminner resulttet om? Härled vidre (produktions)funktionens prtiell derivtor v först och ndr ordningen, smt beräkn substitutionselsticiteten. Blir den konstnt eller vrierr den? Beräkn också funktionskoefficienten (den reltiv förändringen v y när, ändrs i smm proportion. Hur vrierr funktionskoefficienten med funktionsvärdet (produktionsvolymen) y? Hr mn tilltgnde, konstnt, eller vtgnde vkstning? Antg nu tt mn hr ett bivillkor (konstnt given produktionskostnd): c där r, r (produktionsfktorpriser) och c (produktionskostnd) är givn prmetrr. Mimer nu uttrycket y e (värdet v produktionen, där prmetern b betecknr produktpriset), givet restriktionen ovn. Härled hur, beror v prmetrrn genom tt lös det ekvtionssystem mn får från först ordningens villkor. Vis gärn också tt ndr ordningens villkor är uppfylld. Försök slutligen tt härled hur produktionskostnd c och produktionsvolym y smvrierr, dvs. härled kostndsfunktionen som inversen till yc b g. Skiss cbyg grfiskt. Deriver en gång för tt få (mrginlkostnden) c y b g och skiss den också.

132

133

134 8 Integrtion 8: En först definition I de två senste kpitlen hr vi sysslt med derivering v funktioner. Deriveringen kunde uppreps och ledde vrje gång till en ny funktion. T som eempel funktionern fbg, f bg och f b g som illustrerdes i vsnittet 6:7 ovn. Det är givetvis möjligt tt också gå genom serien v funktioner i motstt riktning. Integrering är helt enkelt den motstt proceduren till derivering. Integrlen v f f f bg b g är b g, och integrlen v b g är f. Vi behöver en symbol för integrering. Den vedertgn formen z består v integrltecknet före den funktion fbg som integrers och ngivnde v differentilen d för den vribel med vseende på vilken integrtionen sker: fbg d z Definitionen v integrering som en opertion motstt derivering nger tt bg F z bg f d om och endst om

135 bg f bg d d F gäller. Genom integreringen kn vi utsträck serien v funktioner åt ndr hållet. z Om till eempel fbg så blir fbg z d d 3 3. Fktorn /3 kommer in därför tt derivering v 3 skulle som resultt ge 3 enligt potensregeln och vi måste lltså divider bort koefficienten 3. Det är lätt tt inse tt processen nu kn uppreps hur mång gånger som helst, så tt vi vrje gång får en potensfunktion som är en ordning högre. 8: Indefinit integrl; godtycklig konstnter Vår redogörelse vr nu inte lldeles korrekt. I kpitel 6 konstterdes tt derivtn v en konstnt blev 0. För tt tolk den givn definitionen lldeles rätt måste vi vid integrtionen lägg till en godtycklig integrtionskonstnt. Det kn syns vr trivilt, men det hr fler konsekvenser än mn från börjn knske kunde tänk sig. Vi såg ju tt funktionen f bg som integrl hde f g b g, men vi hr just sgt tt även derivtn v b g b g. Följktligen måste vi skriv d z blir g där betecknr en godtycklig konstnt. Upprepr vi nu integrtionen en gång till får vi på smm sätt som förut zb g d b där b betecknr en ny konstnt. Genom tt redn fnns med före den senste integrtionen så leder den till en linjär term. Eftersom och b hr smm ndr derivt, nämligen konstnten, så måste vi betrkt den senre som det generell resulttet v integrtion två gånger i följd. Den förr formeln är ju ett specilfll, nämligen fllet då = b = 0. Rent llmänt får mn med lik mång godtycklig konstnter som mn hr integrtioner. I den följnde diskussionen uteläm-

136 3 nr vi för enkelhets skull dess integrtionskonstnter som läsren själv får tänk sig. 8:3 Definit integrl; geometrisk tolkning Godtycklig konstnter kommer med när mn vill komm åt den ren ntiderivtn till en funktion i så generell form som möjligt. Denn integrl klls mer precis för indefinit integrl. Den definit integrlen skiljer sig från den indefinit genom tt två integrtionsgränser, en övre och en undre, är ngivn. Formellt hr vi z f d F F bg b g b g där som förut bg F z bg f d är ntiderivtn till den givn funktionen. Integrtionsgränsern beteckns och. Den dditiv konstnten för den definit integrlen (i ett integrtionssteg) försvinner genom tt den förekommer i både Fbg och F bg och lltså subtrhers bort. Som ett enkelt eempel låt oss t z 3 3 d som lltså ger oss ett numeriskt värde i stället för en funktion. I prktiken vill vi oft komm åt definit integrler. Är funktionen som skll integrers enkel kn mn först sök den indefinit integrlen, eller ntiderivtn, och

137 4 därefter sätt in den oberoende vribelns värden vid integrtionsgränsern smt subtrher. I ndr fll kn mn nvänd någon teknik för tt pproimer integrlens värde. För en vände ntiderivt, lik 3 3, blir den definit integrlen positiv när den övre integrtionsgränsen är större än den nedre. Det finns ingenting som hindrr tt mn kstr om integrtionsgränsern. Det end som händer är tt mn drr ett större tl från ett mindre så tt tecknet för differensen ksts om. För integrlen finns en grfisk tolkning, precis som för derivtn. Läsren erinrr sig tt derivtn v en funktion representerde funktionens lutning, i termer v lutningsvinkelns tngens. Integrlen representers i stället v ytn under en kurv, så som i figuren som följer. Förutom ytn under kurvn finns också pproimernde histogrm med på bilden. Summn v stplrns ytor blir en pproimtion v ytn under den krökt kurvn. Genom tt ök ntlet steg i pproimtionen blir värdet llt riktigre. I bilden hr en översumm (hög stplr) och en undersumm (låg stplr) till integrlen ritts, funktionsvärdet hr stts till funktionens högst respektive lägst värde i vrje intervll. När ntlet steg i pproimtionen väer närmr sig under- och översummorn vrndr och stänger in det riktig värdet i ett llt snävre intervll. Över- och undersummorn kn nvänds för tt grovt sktt en definit integrl. För numerisk evluering kn mn emellertid utför sken effektivre. För vrje stpel kn mn låt en lutnde seknt ersätt den horisontell toppen. Dett är den så kllde trpetsregeln. Mn kn också pproimer kurvn med en krökt ndrgrdsfunktion i vrje intervll, vilket leder till den vnligste pproimtionsmetoden - Simpsons regel. Vinsten vid bägge metodern är tt mn inte behöver del in intergrtionsintervllet i så mång stplr och mn spr således in mycken beräkningstid. Metodern hör till stndrdrekvisitn i vncerde fickklkyltorer och i beräkningsprogrm för persondtorer. I eperimentell vetenskper hr det vrit vnligt tt mn helt enkelt klipper ut ytn under en kurv och väger den för tt uppsktt integrlen. Mn kn också låt någon v integrtionsgränsern bli oändlig. Resulttet är en så klld generliserd integrl, definierd som ett gränsvärde när någon eller bägge integrtionsgränsern går mot oändligheten. Generliserde integrler uppstår också om integrnden, den funktion mn integrerr, går mot oändligheten vid någon v integrtionsgränsern.

138 5 fbg Vi kn t följnde eempel z d F HG I 0 KJ på en integrl där övre integrtionsgränsen går mot oändligheten. Observer tt när ntiderivtn själv får ett minustecken frmför så ksts tecknen om i formeln ovn. Det ndr eemplet på generliserde integrler är när integrnden blir oändlig vid en finit integrtionsgräns. Låt oss i stället t eemplet z 0 d 0 0 där integrlen konvergerr trots tt integrnden är oändlig vid nedre integrtionsgränsen. Mn kn inglund t för givet tt en generliserd integrl konvergerr, en nödvändig men inte tillräcklig förutsättning är tt integrnden eempelvis

139 6 går mot noll när integrtionsvribeln går mot oändligheten. Funktionen / - dvs. en hyperbel - är eempel på en funktion vrs integrl inte konvergerr vre sig när den övre integrtionsgränsen går mot oändligheten eller när den nedre går mot noll, trots tt funktionen / går mot noll när går mot oändligheten. 8:4 Integrtionsteknik Skll mn deriver ett uttryck smmnstt v elementär funktioner (sinus, cosinus, eponentil, logritm m.fl.) så kn mn lltid genom tt utnyttj kännedomen om desss derivtor i förening med kedjeregeln, produktregeln, funktion v funktionsregeln etc. let sig frm till ett uttryck för derivtn i dess elementär funktioner - även om det kn bli krångligt. När det gäller integrtionsteknik måste mn h klrt för sig tt det inte finns någon meknisk väg tt t sig frm på. Kunskpen om en ntiderivt härstmmr lltid från tt mn först hr derivert funktionen och sedn kn let sig tillbk. Som ovn diskuterts vet mn, eftersom d d tt z d Mn kn på det viset gå igenom hel listn på känd derivtor. Eftersom vi vet tt d d cos sin och tt d d sin cos, så vet vi också tt z sin d cos och z cos d sin

140 7 Vidre, då d d e z ede och z d ln e och d d ln så är Den sistnämnd fyller luckn i listn för potensfunktioner, ty formeln ovn ger ju nonsensresulttet d z :5 Prtiell integrtion Mn hr hjälp v ytterligre någr llmänn regler, främst den tt integrlen för en summ v funktioner blir en summ v ders integrler, smt tt en multipliktiv konstnt kn fktorers ut frmför integrltecknet. Men sedn är det slut. Från produktregeln får mn visserligen en nvändbr formel, men inte på det sätt som mn knske föreställer sig. Enligt produktregeln vr ju d d c bgbg FGh Fbgbg G FG bg bg b g b g Låt oss nu kll f F och g G. Flyttr vi om termern och integererr blir lltså z b g bgbg bgbg bgbg Fgd FG f Gd z Om vi eempelvis skll beräkn integrlen v uttrycket e så får vi b g

141 z z b e d e e d e bg g 8 Här sätter vi F() = och g e. Derivering v den förr ger ett enklre uttryck f() =, medn integrering v den senre inte komplicerr uttrycket som förblir eponentilfunktionen Gbg e själv. Men dett är förutsättningen för tt regeln skll ge ett behändigt resultt. Denn regel som klls prtiell integrtion eller integrtion i delr är ingenting mn lltid kn utnyttj på det meknisk sätt som gällde för produktregeln. Dett visr skillnden melln integrering och derivering, den förr är en konst medn den senre är ett mekniskt hntverk. 8:6 Vribelsubstitution En nnn llmän metod som vi skll illustrer är vrihelsubstitution. Oft kn uttrycken förenkls vsevärt genom vribelbyte. Även här är det fråg om konst, erfrenhet och tur om mn skll lycks. Säg tt vi skll integrer A z d Genom substitution v funktionen cos får mn följnde enklre form på uttrycket 0 Az sin d Vi bör observer tre sker. Substitution v cos ger sin. Vidre måste vi sätt in d sind vilket erhålles genom differentiering

142 9 v det substituerde uttrycket. Härv ndrpotensen och minustecknet. Slutligen måste vi sätt in de integrtionsgränser som gäller för den ny vribeln, dvs. intervllet b,0g där vi noterr omkstningen v högre och lägre värden vid integrtionsgränsern då cosinus vrierr omvänt mot vinkeln. Den ny integrlen kn vi slå upp i en tbell över stndrdintegrler, men låt oss något utnyttj de kunskper som vi hr fått. Derivering v uttrycket cossin ger enligt produktregeln d dbcossingcos sin. Nu är emellertid som vi vet cos sin. Substituerr vi i föregående uttryck får vi lltså uttrycket d d cossingsin, eller i integrlform z z zf d sin d d cossin H G b gi d K Jd b Högr ledet är synnerligen lättberäknt, eftersom derivering och integrering är vrndr motstt opertioner och vi erhåller: z sin d cossin Den definit integrlen kn nu beräkns till F I HG K J F I HG K J z0 0 A sin d cossin cossin Vi noterr tt produkttermen försvinner vid bägge integrtionsgränsern då sinus för noll är noll och cosinus för pi är likså noll. Br den en v de linjär termern blir kvr. Resulttet förvånr inte då vi hr beräknt ytn under en hlvcirkel definierd v funktionen. Utn vribelsubstitution hde beräkningen blivit gnsk mycket besvärligre. Det enklste sättet tt hnter integrtionsproblem är tt slå upp i någon v de mång tbellsmlingr som innehåller integrler till mång funktioner. Änd tills nyligen hr dess vrit svårhnterlig - ju större och nvändbrre de hr vrit desto svårre hr det vrit tt vet under vilken v de mång

143 30 komponentfunktionern ett smmnstt uttryck hr vrit tbulert. Numer finns stndrdintegrlern inlgd i klkylprogrm för persondtor v typ Derive, Mple V och Mthemtic och dtorn gör det trist sökrbetet snbbt. Definit integrler (inklusive generliserde integrler) kn beräkns med Simpsons formel som konvergerr snbbt och för vilken lgoritmer finns inlgd i de flest klkylprogrm. 8:7 Multipl integrler Innn vi lämnr integrering bör vi helt kort t upp multipl integrler. Precis som mn vid derivering kunde h fler oberoende vribler så kn mn h det även när mn går i motstt riktning. Säg tt vi skll integrer funktionen y. Vi hr nu två vribler tt välj på, så säg tt vi integrerr med vseende på. Precis som vid prtiell derivering behndlr vi den ndr vribeln som en konstnt, lltså yd y d y.vi kn i stället integrer med z z z z vseende på y så tt vi får ydy ydy y Vi kn givetvis också integrer först med vseende på den en och sedn med vseende på den ndr vribeln. På det viset får vi en multipel integrl, till eempel zz z z z yddy y d dy y z y e j dy ydy 4. Det spelr, precis som vid derivering ingen roll i vilken ordning vi utför integrtionen. - Vi får smm resultt genom zz z z z ydyd ydy d y y z y e j d d 4 Observer tt historien med integrtionskonstnter nu blir mer komplice-

144 3 rd då vi får en konstnt för vrje integrtion och lltså egentligen bör skriv resulttet c hc y bh så tt kvdrtisk termer förutom konstnten också kommer med. Det sgd om friheten tt välj integrtionsordning gäller indefinit integrler. Vid definit integrler kn den inre integrlens integrtionsgränser bero på den yttre integrtionsvribeln och då blir sken betydligt mer komplicerd. Säg till eempel tt vi skll beräkn volymen v en hlvsfär enligt formeln z z V y dyd Här kn vi inte utn vidre kst om ordningsföljden i integrtionen, utn tt modifier ngivelsen v integrtionsgränsern. Vi får skriv y V z z y ddy y Även i sådn fll hr mn god nytt v vribelsubstitution. Om mn i föregående uttryck övergår till polär koordinter, genom tt sätt r cos och y r sin så ser mn tt integrnden y r blir oberoende v vinkelkoordinten. Vidre blir dyd rdrd. Genom tt från rektnglr i crtesinsk koordinter gå över till "tårtbitr" i polär koordinter får mn ett ytelement vrs re förstors med rdien. Dett är nledningen till tt vribeln r kommer in med ytelementet. Generellt gäller vid en koordinttrnsformtion dyd y y r r drd där i vårt fll bsolutvärdesuttrycket blir r c cos sin h r Uttrycket

145 3 klls Jcobin och gäller vid ll koordinttrnsformtioner. Vi skll inte ge något nnt skäl för Jcobinens nvändning än det intuitiv om ytförstoringen vid övergång från ytelement i form v rektnglr till sådn i form v tårtbitr. Härledningen är nämligen inte helt elementär. Den förgående integrlen blir lltså zz V r r drd 0 0 I denn form är ll integrtionsgränser konstnter och vi kn integrer uttrycket i vilken ordning som helst - eempelvis med vseende på först. Eftersom vi därvid integrerr konstnten över en vinkel v blir resulttet helt enkelt en multipliktiv fktor med dett värde. Återstår lltså br en integrtion med vseende på r v z0 V r r dr Av formen på uttrycket drr mn slutstsen tt ett trigonometriskt vribelbyte återigen är lämpligt för denn sist opertion. Sätt r cos. Då blir r r cos sin och dr sind. Vi skll lltså beräkn V z 0 cossin d / Integrtionsgränsern för fstställs så tt de för cos överensstämmer med de tidigre. Observer särskilt tt den övre integrtionsgränsen blir det lägre värdet eftersom cosinus vtr med vinkeln i intervllet. Antiderivtn v cos sin gissr vi lätt till 3 3 sin och vi får lltså 3 3 V sin sin / 3

146 33 Skulle vi från börjn h fört in bägge koordintbyten på en gång så skulle vi h fått vd som brukr klls sfärisk koordinter. Vi skll inte drunkn i detljern v denn beräkning. Poängen vr br tt vis betydelsen v integrtionsordningen när vriblern kommer in i integrtionsgränsern. Vi noterr också tt medn integrlen v en funktion v en vribel svrde mot ren under kurvn, så svrr dubbelintegrlen v en funktion v två oberoende vribler mot volymen under den yt som funktionen definierr. Tro det eller ej, men diskussionen representerr det enklste sättet tt med nlysens hjälp beräkn volymen v en hlvsfär med rdien. Hel sfärens volym blir då det välbeknt 4. 3

147 34

148 35 9 Vritionsklkyl och kontrollteori I kpitlen 6 och 7 studerde vi minimering och mimering v funktioner v ett respektive två rgument. Från det sistnämnd fllet kn vi lätt generliser till ett godtyckligt ntl rgument, formlismen blir i princip densmm. Vi kn fortfrnde rbet med prtiell derivtor och differentiler, så ny begrepp behövs inte. Komplicitetsgrden ökr nturligtvis med ntlet rgument, och möjlighetern till visulisering försvårs. Två dimensioner för rgumenten och en för funktionsvärdet redn kräver det välbeknt tredimensionell rummet. Vi är så vn vid projektioner från tre till två dimensioner, så vi hr ing visuliseringssvårigheter även om vi vstår från rymdmodeller och visr bilder på en pln boksid. Näst steg, tre rgument och ett funktionsvärde, kräver emellertid ett fyrdimensionellt rum, och, som frmställningr v reltivitesteorien hr vist, är det mycket svårt tt rbet med intuitivt begriplig projektioner från fyr dimensioner. Emellertid så hr vi ing som helst svårigheter tt räkn på fll med hur mång rgument som helst. Nu skll vi emellertid t ett stort kliv till ett fll med inte br oändligt mång rgument, utn till en oräknebr oändlighet v rgument. Det gäller tt hitt, inte en, och inte fler, rgumentvärden som minimerr eller mimerr en funktion, utn snrre tt hitt formen på en funktion y( )över ett intervll,, sådn tt den minimerr eller mimerr funktionsvärdet. Ett sådnt beroende på funktionsformen uppstår genom tt mn integrerr något uttryck som bl.. beror på en obeknt funktion y( ) över intervllet,. Att det blir ett problem i oändligt mång dimensioner inser mn om mn betänker tt vrje värde y( ) för något, egentligen är ett seprt rgument. Då punktern på ett intervll, som vi sett, utgör en oräknebr oändlighet, ser vi tt mängden rgument själv utgör ett kontinuum.

149 36 I tillämpning uppstår sådn problem när mn skll finn den kortste vägen melln två punkter (i plnet eller på en krökt yt), den minst yt för en såpfilm som spänner en given tredimensionell trådrm, eller effektivste sättet tt styr en rymdrket från jorden till månen snbbst eller med minst åtgång v bränsle. 9: Eulers ekvtion I llmänhet hr det uttryck som minimers eller mimers formen: I z F(, y, y) d och beror på såväl den sökt funktionen, rgumentet och funktionens derivt i vrje punkt v det givn intervllet,. Vi upprepr återigen tt y( ) är en obeknt funktion vi söker och tt den skll h egenskpen tt minimer eller mimer I. För tt gör uppgiften tillräckligt precis nger vi tt den sökt obeknt funktionen skll uppfyll viss rndvillkor: bg bg y y, y y Geometriskt betrktt är y( ) en obeknt kurv i, y - plnet som vi hr full frihet tt välj inom intervllet,, men den skll psser givn ändpunkter, y och, y. Problemet är enklre än mn kunde tro med hänsyn till problembeskrivningen ovn. Vi ntr helt enkelt tt vi redn känner den rätt lösningen y( ) och överväger olik sätt tt deformer den. På så vis härleder vi villkor som den rätt lösningen skll uppfyll för tt ing sådn små deformtioner skll mrginellt ändr värdet på integrlen I. En sådn godtycklig deformtionsfunktion kllr vi ( ) och skriver:

150 37 y( ) ( ) Funktionen ( ) är godtycklig, men även den måste uppfyll rndvillkoren. Ovsett värdet på måste y bg bg y, y bg bg y gäll. Eftersom emellertid y( ) y, y( ) y, skulle gäll för y( ) utn tillägg v deformtionen ( ) så inser vi lätt tt ( ) ( ) 0 måste gäll för den eljest godtycklig deformtionen. Om vi nu ntr tt inte br den rätt lösningen utn även den godtycklig deformtionen är given så blir vår integrl: I z F(, y, y ) d Noter tt eftersom funktionen Fb, y, yg också innehåller rgumentet y' så måste vi substituer inte br y( ) ( ) utn även ybg bg. Integrlen är nu helt enkelt en vnlig funktion v prmetern, och vi kn fortsättningsvis behndl problemet som en helt vnlig minimering eller mimering med vseende på. Det måste vis sig tt vlet v 0 är det bäst vlet, dvs. tt det leder till di / d 0. Det är visserligen snt tt dett måste gäll för vrje godtycklig deformtion ( ), och det skll vi t hänsyn till i sinom tid, men givet en deformtion så hr vi nu ett problem som kn behndls med metoder introducerde i kpitel 6. Det sgd innebär tt vi måste h: z di ( Fy Fy' ) d 0 d

151 38 Deriveringen v föregående uttryck är mycket enkel, vi får br komm ihåg tt Fb, y, yg beror v tre rgument, och tt vi betecknr dess prtiell derivtor genom ngivnde v respektive rgument som fotinde. Uttrycket ovn är något oprktiskt eftersom det innehåller både den godtycklig funktionen( ) och dess derivt. För tt få bort den oönskde derivtn hr vi nu god nvändning för den i föregående kpitel behndlde metoden för prtiell integrtion. För ndr termen i föregående uttryck får vi helt enkelt z z d F d F d F d y y y Tck vre rndvillkoren som stipulerr tt ( ) ( ) 0 så försvinner den först termen i högr ledet, och vi får: z F y z d d d F d y Substituerr vi dett resultt i uttrycket di di d z F d I F d F d y y HG K J 0 / d 0 erhåller vi helt enkelt Det är nu dgs tt bekt tt ( ) är en helt godtycklig funktion (så när som i ändpunktern). Ant därför tt prentesen Fy bd / dg Fy ej är lik med noll överllt på intervllet,. I så fll kn vi definier ( ) så tt det överllt hr smm tecken som Fy bd / dg Fy, och integrlen ovn v en följktligen överllt positiv funktion kn helt enkelt inte vr noll för ll godtycklig deformtioner ( ). Dett gnsk enkl resonemng hr det något högtidlig nmnet "vritionsklkylens fundmentllemm".

152 39 F Slutstsen blir tt vi måste h y d d F y 0 överllt på hel intervllet,. Denn reltion klls Eulers ekvtion och definierr villkoret för den sökt funktionen y( ). När Eulerekvtionen är uppfylld så hr vi ett mimum, minimum eller nnn sttionärpunkt. Det bör inskjuts tt villkor v högre ordning för vritionsproblem är ett mycket komplicert tem, och tt åtskillig frmstående mtemtiker hr vrit på villovägr innn mn till sist kom frm till den rätt lösningen. Vi skll därför hopp över villkor v högre ordning helt och hållet i dett smmnhng. En tröst kn vr tt vritionsproblemens fktisk krktär oft är sådn tt det är trivilt tt det måste rör sig om ett minimum eller ett mimum. Det mtemtisk problemet är då helt enkelt tt komm frm till den rätt formeln. Det är viktigt tt mn till fullo förstår innebörden v Eulers ekvtion. Derivtn i ekvtionen är en totl derivt, och vi måste betänk tt F, y, y beror på direkt vi den prtiell derivtn, dels indirekt vi rgumenten y och y' vrvid dess själv vi kedjeregeln påverks vi sin derivtor y' respektive y". Slutresulttet blir tt Eulers ekvtion hr formen: F F yf yf y y yy yy 0 Vi hr en ekvtion som innehåller den sökt funktionens först och ndr derivtor y' och y", tillik med funktionen Fb, y, yg och dess olik prtiell derivtor vilk ll i sin tur beror v, y och y'. Ekvtionen föreskriver lltså en bestämd reltion melln, y, y' och y" som skll vr uppfylld för funktionen y( ) på hel intervllet,. Ett sådnt smbnd klls differentilekvtion, och vi återkommer i följnde kpitel till hur mn löser dylik. I dett kpitel hr vi lltså sett hur sådn uppstår, och vi skll också ge ett enkelt eempel som emellertid inte ännu kräver tt mn skll kunn någr lösningstekniker. y b g

153 40 9: Ett enklre fll Det finns enklre vrinter v Eulerekvtionen för de fll ej ll rgumenten i F(, yy, ) finns medtgn. Av särskilt intresse är fllet då skns. Då förlorr den fullt utskrivn Eulerekvtionen sin ndr term och kn skrivs: F yf yf y yy yy 0 Betrkt emellertid uttrycket F yf y och beräkn dess totl derivt med vseende på vribeln givet tt derivtn F 0: d d d F y F y i yf yf yf y F yy F y y y yy yy y( F yf yf ) y yy yy Från Eulerekvtionen utn ndrterm ser vi emellertid tt prentesen måste vr noll. Följktligen blir: d i 0 d d F y F y eller nnorlund skrivet F yf c y där c är en godtycklig konstnt. Ett uttryck vrs derivt är noll måste ju självt vr konstnt. Föregående ekvtion är lltså Eulerekvtionen för det specilfll då skns som eplicit rgument.

154 4 Vi kn direkt tillämp Eulers ekvtion på det mest klssisk och smtidigt enklste v ll vritionsproblem, nämligen tt finn den kortste vägen melln två givn punkter i plnet, y och, y. Vi söker lltså en funktion y b g sådn tt den går genom de föreskrivn ändpunktern, dvs. y( ) y, y( ) y. När vi hr en godtycklig kurv y b g och ger rgumentet ett tillskott d så får ju funktionsvärdet tillskottet dy y d. Längden v det infinitesiml b g b g kurvsegmentet blir ds d dy y d. Längden v hel kurvn erhåller vi sedn genom integrering som: z I y d Vi hr lltså F y och beräknr nu lätt den prtiell derivtn Fy y / y. Enligt Eulerekvtionen för det enklre fllet (tillämplig då ju inte finns med), så blir F yf y y y y y Vi kn förläng bråket och sålund få c y y y y c Med ndr ord blir y / c konstnt. En kurv med konstnt lutning är emellertid en rät linje. Slutstsen är inte helt överrsknde: den rät linjen är den kortste vägen melln två punkter. Vi kn med ndr ord preciser den sökt funktionen y b g som y b. Den innehåller två ännu obestämd konstnter. Dett är ingenting tillfälligt

155 4 för just det vld eemplet utn gäller generellt för vritionsproblem v den typ som behndls i dett kpitel. Differentilekvtionen som Eulers ekvtion utgjorde vr v "ndr ordningen", eftersom den innehöll en högst derivt v ndr ordningen, och lösningr till sådn hr lltid två obestämd konstnter. Dett är önskvärt för tt vi skll kunn npss lösningen till de två ändpunktsvillkoren. I kortste väg eemplet så måste det gäll tt y b och y b. Dess är två linjär ekvtioner i två obeknt, och b, och kn lätt löss. Vi får först bby yg/ b g ge- nom tt subtrher ekvtionern och divider med b g. Därefter kn vi genom tt substituer för b i ender v de två ekvtionern lös för cb g b gh y y y / eller y y y /. cb g b gh 9:3 Vribl ändpunkter och trnsverslitet Hittills hr vi förutstt tt ändpunktern, yoch, y för den sökt kurvn är givn. Oft vill mn låt ntingen själv rgumentintervllet, eller något v funktionsvärden i strt- eller ändpunkt vr fri. Är den oberoende vribeln eempelvis tiden så kn mn vilj plner en process y över tiden för något bestämt ändmål men utn tt ekt preciser sluttidpunkten. Detsmm kn i stället gäll funktionsvärdet y vid sluttidpunkten. I regel är emellertid ender sluttid eller slutvärde föreskrivn. Det sgd kn i viss smmnhng givetvis även gäll strttidepunkten eller strtvärdet. Det generellste sättet tt preciser sådn vritionsmöjligheter för ändpunktern är tt nge kurvor som ändpunktern måste ligg på genom funktioner y gbg och y gbg. Eftersom vi nu kn vrier ändpunktern skriver vi: z d I Fyy (,, ) d d

156 43 Precis som förut inför vi en deformtion v den som optiml ntgn lösningen genom tt substituer uttrycket y( ) ( ) och dess först derivt: d I z F(, y, y ) d d Eftersom vi nu hr tre prmetrr,, och, tt vrier smtidigt så skll vi inte längre deriver uttrycket, utn differentier det. Differentilen med vseende på vritioner i blir nu ekt densmm som tidigre, den multiplicers br med förändringen d. Eftersom vidre d och d är små så ändrs inte värdet v funktionen F nämnvärt över dess små integrtionsintervll och vi kn t dess värde som konstnt vid vrje integrtionsgräns. På dett sätt erhåller vi: z d y y di F d F d F F d d F HG För integrlens ndr term kn vi genomför integrtion i delr precis som förut, så tt i I KJ di F d F d F d F d F HG y y z F HG F y d d F y I K J I KJ d d Noter tt vi hr indeert förändringsprmetern vid ändpunktern. Anledningen är tt denn vid ett utsträckt intervll inte nödvändigtvis behöver nt smm värde som i huvudintervllet. Nu gäller givetvis tt om integrlen skll vr miniml eller miml vid vribl ändpunkter, så måste detsmm gäll också för vrje givet vl v ändpunkter. Vid givet vl v ändpunkter hr vi som förut rndvillkoret

157 bg bg 44 0 smt givetvis d 0 och d 0. I så fll blir endst integrltermen kvr i föregående ekvtion, och vi erhåller den vnlig Eulerekvtionen precis som förut: F y d d F y 0 Följktligen försvinner sist termen i uttrycket för di för sig, och vi får kvr: di F d F d F d F d y y Det återstående uttrycket måste också försvinn. Till skillnd från fllet med fi ändpunkter så är det inte längre snt tt bg bg 0. Tvärtom är det så tt d beror v d och d v d. På vd sätt skll vi härled härnäst. De givn ändpunktsfunktionern måste nu vr uppfylld även för de vrierde ändpunktern, dvs. vi måste h ybg bg gbg och y g. Differentierr vi dess blir bg bg bg b d g y d och b d g y d g g Läsren hde knske förväntt sig även termer v formen 'd och 'd, men dess försvinner eftersom 0 när vi som ntgits hr funnit den rätt lösningen. Substituerr vi från de föregående uttrycken i formeln för di får vi till sist: d b g i d b g di F g y F d F g y F d y y i

158 45 Differentilen måste nu vr noll för vrje vrition v ändpunktern, dvs. vi måste h: d b F g y F y 0 och d b F g y F y 0 g g i i Dess är nu slutligen trnsverslitetsvillkoren vid vribl ändpunkter. Dess får enklre former om vi t.e. hr problem med fri sluttid eller fritt slutvärde. Hr vi eempelvis fri sluttid så är ändpunktsrestriktionen horisontell, dvs. g 0, och vi måste följktligen h df yf y i 0 vid sluttidpunkten. Är däremot slutvärdet fritt men sluttidpunkten given så är restriktionen vertikl, dvs. g. Genom tt divider den ndr v ekvtionern med g får vi i dett fll ett ntl termer som dividers med oändligheten och därför försvinner. Kvr blir br F y 0 som är trnsverslitetsvillkor vid fritt slutvärde. Vi skll vslut denn diskussion med ett eempel som nknyter till det tidigre. Vi såg förut hur mn kom frm till tt den rät linjen vr den kortste vägen melln två punkter. Vi hde då tt minimer integrlen z y d, dvs. F y. Vi härledde också den prtiell derivtn Fy y / y. Lösningen till problemet vr den rät linjen b g och vi såg också hur de bägge koefficientern npssdes så y b tt linjen gick genom givn ändpunkter. Säg nu tt ender v ändpunktern är given enbrt genom tt den skll ligg på en given rät linje med ekvtionen y gbg. Till skillnd från, b som skll bestämms så är, givn konstnter. Vi söker lltså kortste vståndet inte till en given punkt utn till en given linje. Mn väntr

159 46 sig tt lösningen fortfrnde själv skll vr en rät linje men tt denn dessutom förhåller sig till den som skll uppnås på ett särskilt sätt. Från lösningen hr vi y b och följktligen F y b. Vidre får vi på smm sätt den prtiell derivtn Fy y / y b/ b. Slutligen hr vi från restriktionen g. Sätter vi nu in resultten i trnsverslitetsvillkoret får vi: b g y b g F g y F b b b b 0 Sist ledet kn förenkls genom förlängning med nämnren och genom tt de positiv och negtiv kvdrttermern tr ut vrndr. Slutresulttet blir b 0 eller b Eftersom är lutningen på den linje till vilken mn söker kortste vståndet och b är lutningen på den sökt kortste förbindelselinjen, så säger trnsverslitetsvillkoret tt de båd linjern skll möts vinkelrätt. Den kortste vägen från en punkt till en given linje är en nnn linje som möter den vinkelrätt, en så klld norml. 9:4 Optiml kontrollteori Vritionsklkyl och kontrollteori är två lterntiv metoder tt behndl smm typ v problem. Vritionsklkylen är lämplig tt strt med eftersom det är reltivt lätt tt härled eempelvis Eulerekvtionen och den går

160 47 tillbk till 700-tlet som metod tt eempelvis bestämm prtikelrörelser under grvittion eller ljusstrålrs väg genom ett heterogent medium. Kontrollteorin, vrs huvudredskp "Hmiltonfunktionen" går tillbk till 800-tlets meknik, hr utvecklts frmför llt på senre tid för tt behndl styrproblem t.e. i smbnd med rymdrketer. Det märkvärdig är tt bägge metodern fortfrnde lever vidre sid vid sid. Orsken är inte svår tt förstå. Olikhetsrestriktioner i smbnd med vritionsklkyl och villkor v högre ordning hr vrit svår tt hnter, och "mimumprincipen" i den form den utvecklts v Pontrygin och ndr innehåller mång specilresultt som ldrig utveckldes i vritionsklkylen. Å ndr sidn fokuserr kontrollteorin på frågor om kontroll v olik processer över tiden, lltså med en end oberoende vribel. Den är inte utveckld för tt hnter problem med fler oberoende vribler såsom rumskoordinter, t.e. problemet tt bestämm miniml ytor. Eftersom de bägge metodern hr vr sin fördelr så förstår mn ders fortstt smeistens. Som kuriositet kn nämns tt en tredje metod, "dynmisk progrmmering" utveckld v främst Bellmn som hde en särskilt när nknytning till ekonomisk problemställningr blev mer v dgsländ, och vi skll inte lls behndl den. På den elementär nivå som denn frmställning ligger är vritionsklkylen och kontrollteorin helt likvärdig, och vi kn nu helt enkelt psser till kontrollteori genom tt presenter en översättning v begreppspprten från vritionsklkylen. Låt oss lltså börj med tt definier en ny vribel u y. Uttrycket som mimers eller minimers är nu: z b g F, y, u d där vi br substituert den ny vribeln. Härnäst skriver vi upp definitionen v den ny vribeln, fst vi byter höger och vänster led y u Skriven på dett sätt ser definitionen ut som en differentilekvtion. I det läget ger mn symbolern ny nmn, y klls tillståndsvribel medn u klls kontrollvribel, lltså något mn kontrollerr i plneringsprocessen.

161 48 Näst steg introducerr det fundmentl redskpet Hmiltonfunktionen: H F u Till integrnden hr mn lgt differentilekvtionens högerled multiplicert med en Lgrngemultipliktor som ännu inte hr definierts. Vi hr lltså full frihet tt definier Fu Fy Deriverr vi emellertid Hmiltonfunktionen H med vseende på u så får vi H / u F u, så tt föregående ekvtion också kn skrivs H u 0 Härnäst ser vi direkt genom prtiell derivering v H tt H / y F y. Vidre får vi från F y ovn genom totlderivering med vseende på tt bd / dg F y. Sätter vi nu in i Eulers ekvtion Fy bd / dgfy 0, så får vi tt H / y 0 eller nnorlund skrivet: H y Slutligen får vi genom prtiell derivering v H tt H / u, dvs. då u y H y Vi hr nu lltså överstt llt vd gäller Eulerekvtionen till kontrollteori. Det är själv problemformuleringen som får en nnorlund krktär. Vi styr en process över tiden genom kontrollvribler u vilks värden bestäm-

162 49 mer tillståndsvriblerns tillvättkt vi en eller fler differentilekvtioner. Vi utgår från en målfunktion som är en integrl där integrnden beror v tiden, tillståndsvriblern y, och kontrollprmetrrn u. Vi hr nvänt plurlis eftersom ingenting hindrr tt vi hr fler tillståndsvribler och fler kontrollprmetrr. Till integrnden lägger vi så differentilekvtionerns högerled multiplicerde med Lgrngemultipliktorer, och erhåller så Hmiltonfunktionen De tre ekvtionern som innehåller Hmiltonfunktionens prtiell derivtor nger i tur och ordning följnde: De prtiell derivtorn med vseende på kontrollprmetrrns skll bli noll; De prtiell derivtorn med vseende på tillståndsvriblern skll med omkstde tecken vr lik med motsvrnde Lgrngemultipliktorers tidsderivtor; De prtiell derivtorn med vseende på Lgrngemultipliktorern skll bli lik med motsvrnde tillståndsvriblers tidsderivtor. Lik enkelt är det tt översätt trnsverslitetsvillkoren. Vid fri sluttid, hde vi villkoret F yf y 0. Nu är F H u, y u och F y, så instt ger de villkoret: H 0 vid den fri sluttiden. På smm sätt hnters fllet med fritt slutvärde. Då krävde trnsversliteten F y 0. Nu hr vi sett tt F y, vrför villkoret för fritt slutvärde blir 0 Vi skll slut med ett konkret eempel. Eemplet innehåller återigen differentilekvtioner vrs lösning behndls först i följnde kpitel, men de nu ktuell är så enkl tt de kn löss genom enkel integrtion. Antg tt vi med ett fordon skll tillrygglägg en km lång vägsträck på kortste tid. Det hr en begränsd miml ccelertion och bromsverkn, bägge för enkelhets skull normliserde till värdet km /tim. Någr hstighetbegränsningr finns ej. Processen strtr i tidpunkten 0 och slutr i tidpunkten T, som är fri. Fordonet strtr från stillstående och skll nturligtvis också stnn i stillstående. Därmed hr vi fört in ll förutsättningr, vilk vi nu emellertid skll formliser. Vi skll minimer tidsåtgången som helt enkelt är:

163 50 I T z0 dt Det sgd betyder tt integrnden helt enkelt är F =. Beteckn nu ccelertionen med u, hstigheten med z och vståndet med y. Eftersom hstigheten är derivtn v vägen med vseende på tiden och ccelertionen är derivtn v hstigheten med vseende på tiden så hr vi: y z z u Dett illustrerr hur mn kn ersätt uttrycket y u med två uttryck som br innehåller först derivtor genom tt definier mellnvribeln z. Dett är väsentligt för kontrollteorins formlism enligt vilken differentilekvtionern skll h denn form med br först derivtor i vänsterleden. Med de bägge differentilekvtionern ssocierr vi Lgrngemultipliktorer respektive. Hmiltonfunktionen blir nu H z u där vi till integrnden F = hr lgt differentilekvtionerns högerled multiplicerde med sin Lgrngemultipliktorer. Det sgd illustrerr hur vi kn h fler tillståndsvribler och lltså fler differentilekvtioner som läggs till F. Ovn såg vi tt mn skulle nollställ Hmiltonfunktionens prtiell derivtor med vseende på kontrollprmetrrn. Dett skulle inte funger i eemplet. Nollställningen skedde emellertid i vsikt tt mn skulle minimer eller mimer. I kontrollteori kn vi nu i stället direkt för in förutsättningen tt Hmiltonfunktionen minimers med vseende på kontrollprmetern u. I det ktuell fllet kommer prmetern in linjärt så tt vi enligt restriktionen u skll välj u så stort eller litet som möjligt. Minimeringen sker om vi väljer u sgn

164 5 där "sgn" helt enkelt betecknr teckenfunktionen, + om rgumentet är positivt, - om rgumentet är negtivt. Nu skll vi härnäst bekt tt Hmiltonfunktionens prtiell derivtor skulle vr lik med motsvrnde Lgrngemultipliktorers tidsderivtor, dvs. H 0 y H z Eftersom tidsderivtn för den först Lgrngemultipliktorn är noll så blir den själv en konstnt. Den ndr Lgrngemultipliktorns tidsderivt är vidre lik med denn konstnt med omvänt tecken och måste lltså vid integrering själv bli en linjär funktion. En linjär funktion psserr emellertid nollvärdet br en end gång. Vid nollvärdet slår enligt u sgn kontrollvribeln u om från + till - eller vice vers. Nu är det emellertid så tt mn inte kn börj med u = -, för mn strtr från hstigheten 0 och en negtiv ccelertion skulle innebär en negtiv hstighet. Följktligen strtr mn med u = med miml ccelertion, och slår om en end gång till miml bromsverkn u = -. Det sgd innebär tt måste vr en vände linjär funktion och en negtiv konstnt. Processen strtr med z och mn får efter integrtion z = t. Eftersom z betecknr hstigheten som strtr vid noll så försvinner den konstnt termen. Härnäst får vi genom tt integrer y z t lösningen y t /. Även nu försvinner den konstnt termen då vståndet y beräkns från noll. Säg nu tt mn slår om kontrollen från u = till u = - vid tidpunkten. Då ger z lösningen zc t, där c är en godtycklig konstnt. Vid sluttidpunkten T, frm till vilken den ny kontrollen fortfrnde gäller, är emellertid z, som betecknr hstigheten, lik med 0, vrför vi erhåller c T, med ndr ord är z T t. Integrerr vi nu y T t så erhåller vi y c Tt t /. Vid brytpunkten då kontrollen slås om måste emellertid hstigheten z (den miml som någonsin uppnås) enligt det först uttrycket z och enligt det ndr z T vr lik, vrför vi finner tt T /. Vid bryt-

165 5 punkten hr vi också två olik uttryck för vståndet y / och y c T /. Vid denn skll ju inte br hstigheten enligt de två uttrycken vr lik, utn även vståndet (för fordonet befinner sig ju även på smm plts). Sätter vi vståndsuttrycken lik kn vi lös för c T. Emellertid hr vi sett tt T /, vrför det gäller tt c T / 4, så tt y T / 4Tt t / efter brytpunkten. Vi hr nu löst hur hstigheten och vståndet beror v tiden både före och efter brytpunkten vid T/. Före denn gällde z = t och y t /, efter gällde z T t och y T / 4Tt t /. All koefficienter beror på sluttiden T. Enligt den sist formeln befinner sig fordonet vid sluttidpunkten t T på vståndet T / 4 från strtpunkten, vilket ju enligt förutsättningen skulle vr km, lltså T / 4. Resn tr lltså timmr, och brytpunkten inträffr efter en timme. Före brytpunkten pplicers miml ccelertion u =, hstigheten vrierr enligt z = t och den tillrygglgd vägen enligt y t /. Efter brytpunkten pplicers miml bromsverkn u = -, hstigheten vrierr enligt z = - t och vägen enligt y tt /. (Med dess siffror är fordonet inte precis särskilt effektivt, det rör sig om en leksksbil, eller knske en bil i ett gmmlt östlnd.) Det som återstår tt lös är Lgrngemultipliktorerns utveckling. De hr ingen betydelse för den fysisk processen, men i ekonomisk smmnhng får de oft tolkningen v priser. Vi vet än så länge br tt är en negtiv konstnt och tt är en vände linjär funktion. För tt bestämm dess behöver vi trnsverslitetsvillkoren. Eftersom sluttidpunkten är fri så gäller enligt trnsverslietsvillkoren H(T) = 0 vid sluttidpunkten. Vid sluttidpunkten är emellertid u = - då det är bromsverkn som pplicers då. Vidre då turen vsluts med stillstående är z = 0 vid sluttiden. Följktligen hr vi HT 0 0, eller b g b g b g. Eftersom bestämmer vlet v kontroll enligt signumfunktionen b g. Nu vet vi tt T =. En linjär funktion v tiden t T så måste vi h T / 0 som är 0 vid t = och vid t = måste emellertid h formen t, och vi får direkt. Därmed är problemet fullständigt löst.

166 53 Övningsuppgifter Sök kortste vägen för en förbindelse som ligger melln två cirklr med ekvtionern b b g y g y Vi hr lltså ett problem med ing ändpunkter givn, nnt än genom tt de skll ligg på cirklr, bägge med centum på den horisontell eln, den först på vståndet till vänster om origo, den ndr på vståndet till höger om origo. Bägge cirklrn hr rdien. Vi söker en kurv y ybg sådn tt y ybg uppfyller den först och y ybg uppfyller den ndr v ändpunktsrestriktionern. Sätt upp integrnden Fb, y, yg för kortste vägproblemet och nvänd Eulers ekvtion för tt bestämm formen på y ybg. Använd sedn trnsverslitetsvillkoren (i bägge ändpunktern) för tt bestämm lösningsfunktionens konstnter. Observer tt mn måste h de bägge cirklrns (ändpunktsrestriktionerns) derivtor för tt sätt in i trnsverslitetsvillkoren, och tt mn br kn få frm dem genom implicit derivering. Rit upp problemet för tt intuitivt förstå lösningens krktär och för tt kontroller lösningens riktighet. Mn får egentligen fyr olik (lokl) lösningr med tre olik vstånd, vrv en är (globlt) kortst. För tt formellt skilj melln dem skulle mn behöv villkor v högre ordning, men intuitionen visr lätt vilket som är ett globlt minimum.

167 54

168 53 0 Differentilekvtioner Uttrycken dy dt och y 0 0 d y b dy byb dt dt 0 0 där 0, respektive b0, b, b är reell konstnter, brukr klls differentilekvtioner med konstnt koefficienter. De sägs vr v först respektive ndr ordningen, så tt ordningstlet nger ordningen för den högst v de derivtor som är inblndde. Differentilekvtioner, som vi redn träfft på i smbnd med vritionsklkyl och kontrollteori, ställer viss villkor på en från börjn obeknt funktion y fbtg, för vilken värdet v funktionen själv och värden v dess derivtor (upp till och med ordningstlet för ekvtionen) skll stå i en bestämd inbördes reltion. Att lös en differentilekvtion betyder helt enkelt tt finn den obeknt funktion f, som uppfyller det föreskrivn villkoret. I det följnde diskuters lösningrn till först och ndr ordningens differentilekvtioner i tur och ordning. (Givetvis kn ekvtioner v högre ordning förekomm, men principern viss tillräckligt uttömmnde v dess bägge enkl fll. Dessutom tillkommer viss rent beräkningsmässig svårigheter vid direkt lösning v ekvtioner v högre ordning.) I ekonomisk teori förekommer differentilekvtionern i smbnd med teorier som gäller utveckling över tiden (såsom vid tillvät- och konjunkturmodeller). Argumentet representerr då lltid tiden (vrv symbolvlet).

169 54 De ovn eemplifierde typern är linjär, dvs. derivtorn och funktionsvärdet förekommer linjärt. Vid linjär ekvtioner kn koefficientern själv vr (ickelinjär) funktioner v rgumentet (tiden), så eemplen är ännu mer förenklde i och med tt vi hr konstnt koefficienter. Äldre differentilekvtionsteori hr fokusert på linjär differentilekvtioner eftersom de kn löss i så klld sluten form, dvs. som mer eller mindre komplicerde formeluttryck. Av de ickelinjär ekvtionern är ett ytterligt litet fåtl lösbr i sluten form. Differentilekvtionslösning i dess fll är en ännu svårre konst än integrering. Den konsten är nu något ntikverd, sedn det i de senste decennierns studium v ickelinjär differentilekvtioner i främst forskningen kring kos vist sig tt lösbr system inte br är ovnlig. De är också typisk, så tt mn egentligen lär sig fel sker - sådnt som endst förekommer undntgsvis. Icke desto mindre får vi här nöj oss med de enkl linjär systemen. Det bör också betons tt de eemplifierde differentilekvtionern inte innehåller någr prtiell derivtor. Differentilekvtioner som gör det klls prtiell differentilekvntioner eller PDE. Dess går vi inte heller in på här, utn vi håller oss till ordinär differentilekvtioner ODE som br innehåller "vnlig" derivtor. Dett är rimligt om vi håller oss till dynmisk processer över tiden (lltså med ett end rgument). Strukturer över eempelvis det geogrfisk rummet i två dimensioner skulle led till prtiell differentilekvtioner. 0: Först ordningens ekvtioner För förstordningsekvtionen dy dt y 0 0 kn mn först fråg om det finns något konstnt, v rgumentet t oberoende, värde på y som uppfyller villkoret ovn. En sådn lösning klls för sttionär lösning. Sätt lltså försöksvis y y där y betecknr sgd konstnt. Är y konstnt blir givetvis dy / dt 0 och mn erhåller ekvtionen

170 55 y 0 0 som ger lösningen y b 0 / g. Förutstt tt 0, så finns lltså en sttionär lösning. Skulle vr lik med noll kn mn låt y vr proportionellt mot t i stället för konstnt. Hel gruppen v dylik lösningr beteckns som prtikulärlösningr, vrv den sttionär är ett specilfll. När mn väl hr funnit en prtikulärlösning (sttionär eller inte), så definierr mn en ny vribel z y y. Derivering v uttrycket ger omedelbrt dz / dt dy / dt dy / dt. Eftersom nu prtikulärlösningen skll uppfyll differentilekvtionen, gäller givetvis dy dt y 0 0 Subtrhers denn ekvtion från den llmänn differentilekvtionen erhåller mn F dy dyi y y HG dt dt K J eller dz dt z 0 b g 0 Denn ny differentilekvtion i z sknr den konstnt termen 0 vrför den brukr klls homogen. Den homogen ekvtionen i z är lättre tt lös än den inhomogen i y. Hr mn väl löst denn homogen ekvtion, så kn mn lätt få lösningen för y som summn v prtikulärlösningen y och lösningen till den homogen ekvtionen z, ty mn definierde z y y, vilket betyder detsmm som y y z. Erfrenhetsmässigt vet mn nu tt eponentiell funktioner z Ke t brukr kunn vr lösningr till sådn homogen differentilekvtioner, förutstt tt hr något lämpligt värde. För tt bestämm det lämplig värdet på

171 56, så beräknr mn först derivtn dz / dt Ke t. Instt i den homogen differentilekvtionen ger dess uttryck för z och dz/dt Ke t Ke t 0 Dividers ekvtionen med Ke t, erhåller mn 0 eller vilket är just det värde på som gör z Ke t till en lösning för den homogen differentilekvtionen. Det sgd betyder tt z Ke t är en lösning för den homogen differentilekvtionen och tt 0 y yz Ke t är en lösning för den inhomogen differentilekvtionen. Lösningen innehåller en hittills obestämd konstnt K. Denn konstnt kn bestämms om mn eempelvis känner värdet på y för t = 0. Ett sådnt värde y 0 utgör ett så kllt initilvillkor. För t = 0 gäller sålund 0 y y Ke y K 0 vrför K y y 0

172 57 y 0 y 0 y y y 0 0 y y y y y 0 0 y y t t och lösningen för y b y y y y e t 0 g b g kn skrivs f t med y b 0 / g. Lösningens krktär illustrers i digrmmen ovn. Den horisontell linjen i bägge digrmmen svrr mot den sttionär lösningen y b 0 / g. I det vänstr digrmmet förutsätts vr positivt. När t så väer från noll mot oändligheten, kommer b värdet v e t tt vtg från mot 0. Dett betyder tt vvikelsen y 0 yg från sttionärnivån vid t = 0 vtr successivt och går mot noll när t väer mot oändligheten. Den övre kurvn visr situtionen när y0 y, den nedre kurvn när y0 y. I bägge fllen rör sig y mot den sttionär nivån när t väer. Mn säger då tt den sttionär nivån är stbil för 0. På smm sätt viss i det högr digrmmet situtionen när i stället 0 gäller. Då väer e t från ett mot oändligheten när t

173 58 väer från noll mot oändligheten. Avvikelsen by0 yg från sttionärsnivån vid t = 0 väer sålund obegränst när t väer mot oändligheten. Som i det förr digrmmet visr den övre kurvn fllet då y0 y, den nedre då y0 y. Mn ser tt y rör sig bort från den sttionär nivån när t väer, dvs. tt den sttionär nivån här är instbil. Den sttionär nivån i bägge digrmmen är en möjlig fst mycket osnnolik lösning om det tillfälligtvis skulle gäll tt y0 y. Om dett icke är fllet vgör tecknet på huruvid mn när t väer närmr sig till eller fjärmr sig från den sttionär nivån. 0: Andr ordningens ekvtioner Differentilekvtionen v ndr ordningen d y b dy byb dt dt 0 0 ger en något rikre flor v lösningr. Mn börjr även här med tt sök en prtikulär lösning, i först hnd en sttionär lösning y y. Derivering v ett konstnt y ger givetvis dy / dt 0 och d y / dt 0, vrför byb 0 0 Det sgd betyder, givet b 0, tt med prtikulärlösningen y bb 0 / b g, eller eljest någon nnn typ v prtikulärlösning, så gäller d y b dy byb dt dt 0 0 Härnäst definierr vi återigen differensen z y yg, vilket betyder tt b

174 59 b g och d z dt cd y dt d y dt dz / dt dy / dt dy / dt / / / h. Subtrherr mn så differentilekvtionen med prtikulärlösningen instt från den llmänn differentilekvtionen, erhåller mn F HG I KJ F I HG K J b g d y d y b dy dy b y y 0 dt dt dt dt eller d z b dz bz dt dt 0 Dett är återigen en homogen differentilekvtion. Kn mn lös z som en eplicit funktion v t, är också y givet, enär y y z enligt definition. För den homogen differentilekvtionen prövr mn nu åter en eponentiell lösning: z Ke t. Derivtorn kn beräkns till dz / dt Ke t och d z / dt Ke t. Insättning i den homogen ekvtionen v z och dess derivtor ger nu t t t Ke b Ke b Ke 0 eller efter division med Ke t b b 0 Dett är en kvdrtisk ekvtion i med röttern b b b 4 b b b 4

175 60 Lösningen z Ke t stämmer ståledes för och för smt givetvis för vrje godtyckligt vl v konstnten K. Mn kn då välj olik konstnter A och A för de bägge lösningrn z Ae t och z A e t till den homogen ekvtionen. Säg nu tt mn vill pröv huruvid även summn t z Ae A e t är en lösning till den homogen ekvtionen. Derivering ger dz dt och Ae Ae t t d z Ae dt A e t t Sätter mn in dess uttryck i den homogen ekvtionens vänstr led erhålles c h c h d z b dz t bz b b Ae b b A e dt dt t Emellertid är de bägge prentesern lik med noll då ju och är rötter till ekvtionen b b, vrför hel uttrycket måste vr lik med 0

176 6 noll. Det sgd betyder tt den homogen differentilekvtionen är uppfylld för t z Ae A e t eller tt uttrycket är en lösning. Lösningen till den inhomogen ekvtionen blir då y y Ae t A e t där det finns två hittills obestämd konstnter A och A. Två initilvillkor räcker för ders bestämning. Dess initilvillkor kn bestå i givn värden för funktionen och dess först derivt vid t = 0, säg y 0 och dy / dt b g 0. Eftersom dy dt A e t t / Ae får mn, genom tt sätt t = 0 i ll eponentiluttrycken, de två ekvtionern y0 y A A och F dyi HG dt K J 0 A A vilk kn löss med vseende på A och A. Lösningen till differentilekvtionen v ndr ordningen kn ytligt sett förefll tt icke ge någonting principiellt nytt. Mn hr endst två termer som vr för sig ser ut ekt som lösningen till en differentilekvtion v först ordningen. Mn kn nturligtvis h olik tecken på och, vrför den en v termern kn innebär en llt större vvikelse från sttionärnivån medn den ndr termens vvikelse vtr när t väer, men nödvändigheten tt jämför de bägge vvikelsern kn syns innebär det end ny. Så är även fllet förutstt tt och är två olik reell tl.

177 6 Den minst förändringen v lösningens krktär inträffr när och smmnfller. Som synes inträffr det när det råkr vr fllet tt b 4b, så tt b/ g b. Skriver mn i så fll y y Ae bt A e så blir ju / bt / / b g y y A A e bt och mn erhåller endst en fri konstnt A Ag, vilket betyder tt mn inte längre kn få lösningen tt uppfyll de två initilvillkoren ställd genom b g 0. y 0 och dy / dt Lösningen är enkel. Läsren kn själv lätt kontroller tt y y Ae bt A te / bt / uppfyller differentilekvtionen. För denn lösning gäller dy dt / / b g b bt A At e Ae vrför vid t = 0 y y A 0 och F dyi HG dt K J 0 b A A bt ger två ekvtioner för bestämning v A och A så tt två initilvillkor kn vr uppfylld. Problemet vid multipl rötter löses således lätt. b

178 63 0:3 Komple lösningr Svårre blir det om b 4b skulle gäll. Rotuttrycket b 4b blir då inte lls något reellt tl, enär det icke finns något reellt tl som kvdrert (dvs. multiplicert med sig självt) ger ett negtivt tl som resultt. Rötter ur negtiv tl brukr klls imginär. De finns som sgt inte i det reell tlsystemet. Om b 4b skulle vr negtivt är det bäst mn kn gör tt skriv b 4b 4b b där åtminstone 4b b är ett reellt tl. Uttrycket brukr beteckns med i, vrför mn kn skriv röttern som i och i där b och 4 b b

179 64 r cos P r r sin O betecknr reell tl. Tlen och, som sålund innehåller en reell del och en imginär del i respektive i klls komple. (När komple tl endst skiljer sig åt genom tecknet på den imginär delen, säger mn tt de utgör ett pr konjugert komple tl.) Eftersom de imginär tlen inte återfinns blnd de reell, finns det ingen nnn möjlighet tt uppftt ett komplet tl inom rmen för det reell tlsystemet än som ett pr v reell tl med ngivnde v och vrt och ett för sig. De komple tlen utgör ytterligre en utvidgning v tlsystemet utöver de som diskuterts i kpitel 3. Benämningen "imginär" precis som "irrtionell" tidigre är tecken på konservtiv ovillighet tt ccepter ny begrepp. Grfiskt kn mn lltså åskådliggör de komple tlen som punkter i plnet med och mätt efter krtesinsk koordintlr, såsom ovn. Tidigre hr emellertid vists hur en punkt vrs läge nges med hjälp v krtesinsk koordinter, i stället kn loklisers med hjälp v polär koordinter. I stället för tt nge punkten P: s läge genom längdern v de vinkelrät vstånden och från de bägge lrn, så kn mn nge dess vstånd r från origo O och den vinkel linjen OP bildr med den positiv horisontell eln, vinkeln mätt genom längden v cirkelbågen för en cirkel med rdien. Koordinttrnsformtionen ger sålund r cos och r sin vrför de komple röttern kn skrivs

180 65 b r cos isin och b r cos isin g g Mn kn emellertid finn ännu bekvämre uttryck för dess komple rötter. Vid McLurinutveckling i kpitel 6 v cosinus- och sinusfunktionern erhölls följnde serier: 4 6 cos! 4! 6! och 3 sin 0! 3! Följktligen blir 5 5! 3 i i cos i sin!! 3! 4 5 i 4! 5! och 3 i i cos i sin!! 3! 4 5 i 4! 5! Mn kn härnäst jämför dess serier med dem som erhålles genom McLurinutveckling v e i och e i. De blir

181 66 e i i i!! 3 3 i 3! 4 4 i 4! 5 5 i 5! respektive e i i i!! 3 3 i 3! 4 4 i 4! 5 5 i 5! Emellertid gäller tt i Följktligen blir potensern v i som följer: i, i 3 i, i 4, i 5 i och så vidre. Resulttet blir e i i!! 3 i 3! 4 4! 5 i 5! och e i i!! 3 i 3! 4 4! 5 i 5! Jämför vi seriern ser vi tt: e i och e i cos isin cos isin Det sgd betyder tt de komple röttern också kn skrivs som re i re i

182 67 Smls ll dess lterntiv skrivsätt för de komple röttern smmn, kn mn skriv b i r i re i cos sin och b i r i re i cos sin Lösningen till differentilekvtionen kn följktligen skrivs b g i t i t y y Ae b g A e b g t it it e Ae A e g g t e A cos t isin t A cos t isin t t e A A cos t i A A sin t c h d c b g b gh c b g b ghi cb g b g b g b gh Utn bevis noters nu br tt, därest röttern och är konjugert komple, så är även A och A konjugert komple tl, så tt de senre kn skrivs A i och A i (där och är reell tl). Tlen ba Ag och iba Ag blir följktligen reell tl. Därför definiers två ny reell konstnter b B A A och b g B i A A g Med dess beteckningr får mn

183 68 ) b) b g cos t b g cos t c b g t y y e B cos t B sin t b gh I stället för den lång vägen tt omvndl komple eponentiell serier till komple trigonometrisk serier hde vi kunnt pröv sinus- och cosinusfunktionern direkt som lösningr till differentilekvtionen. Det vr ju vd vi fktiskt gjorde med eponentilfunktionen. Men det hr en särskild fördel tt på det sättet se det direkt smmnhnget melln de olik funktionern. En sist förenkling kn nu görs. Allmänt gäller för en cosinusfunktion tt cosbbg coscosbsin sinb. Sätter mn och b t där tills vidre får vr obestämt, så blir b g b g b g Acos t Acos cos t Asin sin t Låt härnäst B A cos B A sin

184 69 c) d) cosbtg cos t F HG I K J gäll, dvs. låt A och vr de polär koordintern för den punkt vrs krtesinsk koordinter B och B är. I så fll blir b g b g b g Acos t B cos t B sin t vrför den slutlig lösningen till differentilekvtionen i fllet med komple rötter blir t y y Ae cosbt g Ett närmre studium v lösningens krktär ger följnde informtion. Avvikelsen v y från sttionärnivån y blir produkten v en eponentiell funktion Ae t och en trigonometrisk (dvs. periodisk) funktion cos t g. Studerr mn den senre först så vet mn tt när t väer dess värde periodiskt lternerr melln + och -. När t hr ändrts så tt t så hr mn återkommit till utgångsvärdet. b

185 70 Periodlängden t blir sålund /, vrför storleken v bestämmer huruvid kurvorn nedn blir hopträngd eller utdrgn. I dgrmmet ) viss ett fll med, i b) ett med. Som synes blir det plts för två svängningr i det högr digrmmet när t väer från 0 till. Periodlängden i det högr fllet är lltså hälften v periodlängden i det vänstr, (dvs. mot ). Alterntivt kn mn även säg tt frekvensen för svängningrn i det högr fllet är dubbelt så stor som i det vänstr. Konstnten, för vilken ju b g b b och som således helt och hållet bestäms v gäller / 4 differentilekvtionens konstnter, hr tt gör med frekvensen eller periodlängden i svängningrn. Å ndr sidn innebär den ndr konstnten i cosinusfunktionen endst en fsförskjutning. I digrmmet c) viss återigen den vnlig cosinusfunktionen, medn i d) den hr fsförskjutits med / åt höger, så tt 0 i det vänstr fllet, men / i det högr fllet. (Som synes leder just denn fsförskjutning till tt mn händelsevis får den ren sinusfunktionen i stället.) Fsförskjutningen bestäms ej v konstntern i differentilekvtionen, utn v initilvillkoren i stället. Övergår mn så till tt diskuter den eponentiell funktionen Ae t, kn mn direkt konstter tt den hr värdet A när t = 0. Dess numerisk värde vtr mot noll när är negtivt, men väer över ll gränser när är positivt. Tecknet på bestäms v differentilekvtionens konstnter. Koefficienten A slutligen är br en multipliktiv konstnt som bestämmer den bsolut storleken v vritionern. Den bestämmer vid periodisk vritioner storleken v "utslgen" eller ders mplitud. Konstnten A bestäms tillsmmns med v initilvillkoren. de tre följnde digrmmen hr tre värden på förutstts, överst 0, däremelln 0 och nederst 0. Den horisontell eln i vrje digrm hr drgits vid värdet y y dvs. mn mäter vvikelsern från sttionärnivån. De bägge begränsnde kurvorn ovnför och nednför sttionärnivån (horisontell linjer i det mellerst fllet även de) representerr funktionern Ae t och Ae t. Dess funktioner nger de miml utslgen då cosinusfunktionen (som multiplicers med Ae t ) br kn ntg värden som ligger melln + och -. Lösningrn som blir y y Ae cosbt g vi- t ss v de oscillernde kurvor som är instängd melln de övre och nedre begränsnde kurvorn.

186 7 0 y t 0 y t 0 y t

187 7 I det överst fllet hr mn tydligen instbil (eller eplosiv) oscilltioner, i det mellerst fllet stående sådn och i det nederst fllet stbil (eller dämpde). Men i smtlig fll med komple rötter blir lösningrn oscillernde. Skulle röttern vr reell kommer, som redn konstterts, lösningrn tt likn dem mn erhöll för differentilekvtioner v först ordningen. Ett eempel må räck som illustrtion. Säg tt det gäller tt lös differentilekvtionen: d y dy 4 5y 0 0 dt dt Först söker mn en sttionär lösning y y. Då därvid ll derivtor blir noll, får mn 5y 0 eller y. Därefter försöker mn lös den homogen ekvtionen. d z dz 4 5z 0 dt dt genom tt sätt in en eponentilfunktion z dz / dt Ke t och d z / dt Ke t, vrför t t t Ke 4Ke 5Ke 0 erhålles. Dividers med Ke t gäller ekvtionen vilken hr röttern Ke t.derivtorn blir

188 73 Eftersom c4 45h 4 är negtivt, blir röttern komple med och. Således: i i Lösningen blir då it it z Ae bg A e bg t it it e Ae A e c c h b g b gh t e A costisint A costisint Genom de ny koefficientern B A A så skriv b t ze B costb sint eller slutligen: t z Ae cos t b g g b g och B iba A g kn mn där B Acos och B A sin Lösningen till den inhomogen ekvtionen blir nu summn v y och z, dvs. t y Ae cos t b g Det end obestämd är konstntern A och vilk beror på initilvillkoren. Säg tt mn nu, genom initilvillkoren, hr bestämt värden så tt A 00 och / 4.

189 74 4 Mn kn då se hur dess värden på A och kn överförs till värden på B och B, smt slutligen till värden på A och A. På en enhetscirkel kn mn lätt se tt för vinkeln / 4 sinus- och cosinusvärden måste vr lik. Följktligen gäller b g b g sin / 4 cos / 4 smtidigt som vi hr det llmänn villkoret (Pythgors sts): b g b g sin b / g cos b / g b 4g b 4g sin / 4 cos / 4 Följktligen är 4 4, eller sin / cos / /

190 75 Härnäst får mn B Acos 00 / 0 och B Asin 00 / 0 Dett visr hur konstntern A 00 och / 4 "översätts" till B 0 och B 0. Nu gällde enligt definition B ba Ag och B iba Ag vilket innebär A A 0 och b g i A A 0 Löser mn ut A och A blir de A 5i 5 och A 5i5 vilket tydligt visr tt A och A är konjugert komple. Därmed får mn tre likvärdig uppsättningr v konstnter, förtecknde nedn: A 5i5 B 0 A 00 A 5i5 B 0 / 4

191 76 För lösningen betyder de tt mn kn skriv: t y 00e cos t / 4 Derivtn blir: dy dt b t t 00e cos t 00e sin t 4 g F I HG K J F HG Beräkns nu funktionens och derivtns värden vid t = 0, erhåller mn 4 I K J 00 y 0 och F dyi HG dt K J Initilvillkoren som leder till ovn ntgn konstnter är lltså y 0 och bdy / dtg Mn hde nturligtvis kunnt utgå från initilvillkoren och beräkn konstntern i stället.

192 77 Linjär ekvtionssystem och determinnter Lösning v linjär system v ekvtioner, såsom de n ekvtionern n n b n n b... n n nn n b n i de obeknt,, n stöter mn oft på i ekonomisk teori. Mn vill finn,, n eplicit uttryckt i ekvtionerns olik konstnter. För tt behndl sådn problem behöver mn nvänd lineär lgebr som rbetr med determinnter, vilk behndls nedn. : Löpnde indiceringr Först måste mn emellertid kunn skriv själv ekvtionssystemet på ett enklre sätt. Mn nvänder ett löpnde inde (vnligen symbolisert v bokstävern i eller j) för tt nge en icke närmre specificerd representnt för de obeknt eller för konstntern. I stället för tt räkn upp,, så tlr mn om j, där j =,...n. På smm sätt skriver mn b i där i, n, och ij där i, n och j, n n. För identifiktion v ett ij fordrs två indiceringr, den först som nger numret på den ekvtion koefficienten hör till, och den ndr som nger numret på den obeknt med vilken koefficienten multiplicers. Observer tt det i regel är fllet tt. ij ji

193 78 : Summtecknet Härnäst definiers nvändningen v summtecknet så tt n j ij j i i in n Under summtecknet står det inde j över vilket mn summerr, och (efter ett likhetstecken) det lägst värdet på j under summeringen dvs.. Över summtecknet skriver mn det högst värde som j ntr under summeringen, dvs. n. Det som ovn hr skrivits upp är helt enkelt vänstr ledet v den i:te ekvtionen. Hel systemet kn nu kompkt skrivs sålund: n j ij j b i i, n vilket ju onekligen är utrymmesbesprnde jämfört med formuleringen v systemet ovn. :3 Mtris och determinnt En determinnt är ett tl som klkylers från en kvdrtisk tbell v tl ordnde på (lik mång) rder och kolumner. Mn kn räkn ut determinnten för eempelvis tbellen v koefficienter ij. Tbellen själv uppfttd som en smmnstt storhet klls mtris. Den är lltså icke något tl som klkylerts från de olik koefficientern, utn måste uppftts som hel kompleet v koefficienter ordnde på rder och kolumner. En mtris skrivs vnligen genom tt mn ordnr koefficientern på sätt som sgts omgivet v klmrr på vrder sidn. Således är

194 79 A n n n n nn en mtris. (Mtriser brukr oftst sätts med fet stil för tt mrker tt de är smmnstt storheter och ej tl, även om dett bruk den sist tiden hr börjt vtg.) En determinnt mrkers med vertikl streck i stället för klmrr. Således betecknr D A n n n n nn en determinnt. Denn är som ovn sgts (till skillnd från mtrisen) ett tl, som klkylers från tbellen v ij -koefficienter enligt regler, vilk nges i det följnde. :4 Minor och co-fktor Först definiers en minor till elementet ij inom determinnten D. Denn minor får mn genom tt i determinnten D stryk den i:te rden och den j:te kolumnen, vrför minoren själv är en determinnt, som dock hr en rd och en kolumn mindre än den ursprunglig. Därnäst definiers en co-fktor till elementet ij så tt mn helt enkelt tr minoren till motsvrnde element och sätter ett tecken frmför den.

195 80 Tecknet skll vr plus om (i +j) är ett jämnt tl, men minus om (i +j) är ett udd tl. Co-fktorn skrivs D ij med ngivnde v rd- och kolumninde för elementet ij. :5 Epnsion v en determinnt Determinntens värde definiers sedn helt enkelt som D n j ij D ij vrvid mn säger tt determinnten epnders efter den i:te rden. Mn multiplicerr lltså ll element ij på den i:te rden med sin co-fktorer D ij och summerr (över j). Epnsion v determinnten kn görs efter vilken rd som helst, dvs. i kn nt vilket som helst v värden,... n. Resulttet blir smm värde för determinnten. Mn kn även epnder determinnten efter den j:te kolumnen, vrvid D n i ij D ij gäller för vrje j = l,... n. Härigenom kn mn på ender viset upplös den n-rdig (och n- kolumnig) determinnten till en summ v n koefficienter multiplicerde med (n - )-rdig determinnter. Det säger sig självt tt mn sedn kn fortsätt proceduren rekursivt och upplös vr och en v de sålund erhålln n termern i (n - ) ny termer genom tt epnder de (n - )-rdig determinntern etc. Fortsätter mn proceduren, får mn till slut (bortsett från tecknen) en summ v n n n n! termer, som vrt och ett är produkten v (n - ) element (dvs. tl) och en determinnt, vilken endst består v en rd och en kolumn, lltså v ett end element (dvs. tl).

196 8 Determinnten är således en summ v n! termer som vr och en är produkten v n element ij (och som hr ett på visst sätt bestämt positivt eller negtivt förtecken). Tg som eempel en trerdig determinnt D Epnderr mn efter först rden, får mn D D D 3D3 där enligt definition co-fktorern blir D 3 3 D D Dess epnders i sin tur lätt eempelvis efter först rden eftersom ders co-fktorer blir tl. Alltså: b b b D D g g g D Instt i epnsionen v D ger co-fktorern: D

197 8 Således är D här en summ v 3! = 6 termer, som vrder är produkten v 3 element, med välnde förtecken. Som eempel nvänds reglern till tt beräkn värdet v en trerdig determinnt; säg D Epnsion efter först rden ger b g D D 0D D 3 där co-fktorern i sin tur kn epnders efter sin först rder 5 D 50 0 c b gh 3 D 30 0 b g 3 5 D Följktligen blir determinntens värde: b g b g b g D 0 4 Smm resultt ger epnsion efter vrje nnn rd och vrje nnn kolumn. Så ger till eempel epnsion efter den tredje kolumnen b g D D D 0D

198 83 Co-fktorern här kn beräkns till b g 3 5 D c b gh 0 D D vrför b g b g D 05 4 vilket ju ger smm resultt. Läsren kn själv kontroller tt epnsionern efter de båd övrig rdern och efter de båd övrig kolumnern ger smm resultt. För läsrens bekvämlighet noters här smtlig nio co-fktorer L NM D D D D D D D D D O P Q P L NM O QP :6 Epnsion med främmnde co-fktorer Säg nu tt mn skulle t elementen från den först rden i determinnten D dvs. tlen, 0 och -, multiplicer dem med co-fktorern icke från först rden, utn frän den ndr, lltså -4, - och -, och dder. Resulttet skulle bli

199 b g 84 b g b g b g D D 3D Väljer mn i stället co-fktorern från den tredje rden, så blir återigen b g b g D3 D3 3D En sådn epnsion med främmnde co-fktorer tycks sålund lltid ge resulttet 0. Dett är icke någon tillfällighet för eemplet, utn gäller generellt. Formellt gäller lltså för rdepnsioner med främmnde co-fktorer: n D ij hj 0 hi j och likså för kolumnepnsioner med främmnde co-fktorer n D ij ik 0 k j i :7 Crmers regel för lösning v linjär ekvtionssystem De bägge epnsionsreglern, dvs. tt mn vid epnsion med egn cofktorer får determinntens värde, och tt mn vid epnsion med främmnde co-fktorer får värdet noll, är llt mn behöver för tt lös ett ekvtionssystem som n j ij j b i i, n Mn multiplicerr helt enkelt bägge leden v den i:te ekvtionen med D ik och summerr sedn ekvtionern över inde i. Sålund erhåller mn

200 85 n i n j D bd ij j ik i ik i n Byter mn ordningsföljden melln summeringrn och flyttr j utnför summeringen över i (vid vilken j ju är en proportionell konstnt), så blir resulttet n n D bd j ij ik j i i n i ik I vänstr ledet finns nu n olik epnsioner v determinnten D, v vilk endst en, dvs. för j = k, nvänder egn co-fktorer. Endst denn epnsion får värdet D, medn de övrig får värdet 0. Med nvändning v ett så kllt "Kroneckerdelt" jk som definiers h värdet när j = k och värdet 0 när j k, kn llmänt skrivs n i ij D ik jk D j, n Följktligen gäller tt F HG n I KJ D bd j jk j I n i ik Men eftersom jk endst för j = k, medn jk 0 för j k, så blir F HG n j j jk I KJ k

201 86 och följktligen D n bd k i ik i eller k n i Dik D b i som ger en eplicit lösning för k uttryckt i värden v determinnten D och dess co-fktorer D ik. Lösningen beror endst på koefficientern ij och på konstntern b i. Lösningsregeln klls Crmers regel. Observer tt lösningen endst blir meningsfull om D 0. Som eempel kn följnde ekvtionssystem nvänds Koefficientern ij överensstämmer med dem som redn nvänts vid beräkningen v värden för en trerdig determinnt och dess nio co-fktorer ovn. Värdet på determinnten är ju D = -4, medn co-fktorerns värden återfinns tbulerde ovn. Vill mn nu beräkn värdet på enligt Crmers regel, blir b g b g Db Db Db D 4 På smm sätt erhålles

202 87 3 g h f b g b g b g Db Db D3b D 4 och 3 b g Db 3 Db 3 Db D 4 Lösningen är lltså, 4, 3, vilken läsren lätt kn kontroller själv genom insättning v dess värden i ekvtionssystemet. Grfiskt representerr de tre ekvtionern tre vrndr skärnde pln i det tredimensionell rummet, så som viss i figuren ovn. Skärningspunkten representerr lösningen. Formellt söker mn vid lösning v ekvtionssystemet intersektionen v b n 3 3 s, g n,, 3 3 f,, 0 nb g g b g och h,, 6s. När som i eemplet lösningen är unik, 3 s

203 88 innehåller intersektionen v de tre mängdern endst en ordnd trippel v tl, dvs. f ghmb4,, gr. :8 Eistens v en unik lösning Bibehåll nu den först och den sist v de tidigre ekvtionern, men ändr den mellerst så tt systemet lyder: Som synes i figuren nedn ligger två v plnen från den föregående figuren ekt så som förut, då ju mängdern f och h ej hr förändrts. Ett pln hr förskjutits så tt de tre plnen lls inte skär vrndr längre. Mn ser två skärningslinjer i plnet h, med plnen f och g respektive, men dess löper prllellt och skär vrndr ldrig. Systemet hr ingen lösning, dvs. intersektionen är tom. Sätt g,, 4 4soch behåll nb 3g 3 nb,, 3g 3 0s, h nb,, g f 6s. Då blir 3 f g h. Det kn vr intressnt tt se vd Crmers regel skulle ge till resultt för dett fll. Först gäller då tt beräkn den ny determinntens värde, som blir: D Co-fktorern kn lätt beräkns till

204 89 3 g' h f L NM O P Q D D D3 D D D P 3 D D D L NM så tt Crmers regel ger lösningrn b g b g b g b g b g b g b g b g b g O QP

205 90 Division med noll är inte definierd, men om mn undersöker gränsvärden för, och 3 när nämnren får närm sig noll, så går värden mot plus eller minus oändligheten beroende på om närmndet till noll sker från negtiv eller positiv tl. Mn skulle därför kunn säg tt ll tre plnen i det diskuterde fllet lls icke skär vrndr vid någr ändlig värden på, och 3, vilket ju väl svrr mot tt skärningslinjern melln vrje pr v de tre plnen blir prllell. Som lätt inses måste det sgd lltid inträff när täljrn i lösningrn är skild från noll, men nämnrn får värdet noll. I ett fll där sysdemdeterminnten D hr värdet noll gäller tt ekvtionerns vänstr led är beroende. Dett ser mn på följnde sätt. Multiplicer den först ekvtionen med -. Dett ger: 0 3 Multiplicer på smm sätt den sist ekvtionen med -, vilket ger: 4 Adder sedn de ny ekvtionern till 4 3 Jämföres denn ekvtion (som är en linjär kombintion v den först och den tredje ekvtionen) med den ndr ekvtionen: så ser mn tt vänstr leden är lik. Följktligen erhåller mn smm uttryck 4 som smtidigt skll vr lik med 4 och -, vilket ju 3 är omöjligt. Ekvtionern är motstridig, vrför systemet inte kn h någon lösning. Dett förklrr vrför intersektionen v f, g och h är en tom mängd. Skulle det nu vr fllet tt den mellerst ekvtionen hr högr ledet lik med - i stället för 4, så blir nturligtvis ekvtionern inte längre motstridig. Det är då inte br vänstr ledet v den mellerst ekvtionen som är en lineär kombintion v de båd övrig, utn detsmm gäller högr ledet.

206 9 3 h f g' Situtionen är då i stället den, tt den mellerst ekvtionen lls inte medför någon ny informtion utöver den som de båd övrig redn innehåller, vrför systemet i stället får oändligt mång lösningr. Det är inte längre motstridigt, utn underbestämt. Grfiskt innebär ändringen v konstnten 4 till - i högr ledet för den mellerst ekvtionen tt plnet g' flytts prllellt nedåt så tt den skär plnet h utefter smm linje som plnet f gör. Följktligen blir ll punkter på denn gemensmm skärningslinje lösningr till systemet. Beräkns värden för, och 3 enligt Crmers regel för det modifierde systemet erhålles (enär systemdeterminnten och dess co-fktorer är desmm som i föregående fll och endst en konstnt i de bägge leden ändrts)

207 b g b gb g b g b g b gb g b g b g b gb g b g Följktligen blir i dett fll även täljrn lik med noll. Smmnfttningsvis kn sägs tt en systemdeterminnt som hr värdet noll lltid innebär lineärt beroende i ekvtionerns vänstr led. Huruvid systemet är underbestämt (och följktligen hr oändligt mång lösningr), eller innehåller motstridig ekvtioner (och sålund helt sknr lösning), beror på om motsvrnde linjär beroende även finns i ekvtionerns högr led eller skns. I vrje fll är villkoret för tt ett lineärt ekvtionssystem (med lik mång ekvtioner som "obeknt") skll h en unik lösning, tt systemets determinnt hr ett värde skilt från noll.

208 93 Mtriser I kpitel berördes i förbigående begreppet mtris. Denn definierdes som en tbell v tl ordnde på rder och kolumner. Till skillnd från determinnten, som själv är ett tl klkylert från tbellen enligt bestämd räkneregler, är mtrisen själv tbellen uppfttd som smmnstt storhet, på smm sätt som en mängd v element (ehuru elementen i en mängd ej är ordnde på något visst sätt i rder och kolumner). : Typer v mtriser Den mtris vilken förekom som eempel i kpitel hde lik mång rder som kolumner. En sådn mtris klls kvdrtisk. Endst för sådn kn mn definier determinnter. Allmänt behöver emellertid ej definitionen för mtriser inskränks till kvdrtisk sådn. Nednstående mtris med m rder och n kolumner klls "m gånger n mtris" eller säges vr m n. A m m n n mn När risken för missförstånd är ring och mn ej behöver nge mtrisens rd- och kolumnntl kn mn även skriv den så tt mn endst skriver upp ett godtyckligt element ij så tt

209 94 A ij Den kvdrtisk mtrisen är ett specilfll då n = m gäller. En än mer speciell mtris v intresse är digonlmtrisen. Denn är en kvdrtisk mtris som hr element skild från noll endst i huvuddigonlen, dvs. i den digonl som går från övre vänstr till nedre högr hörnet. Formellt uttryckt gäller ij 0 för ll i =,... n och ll j = l,... n om i j. : Enhetsmtris och nollmtris Den viktigste v ll digonlmtriser är enhetsmtrisen, där ll elementen i huvuddigonlen dessutom hr värdet. Sålund gäller ij för i j och ij 0 för i j eller, med nvändning v det ovn definierde Kroneckerdeltt ij ij. Nmnet enhetsmtris hr den fått därför tt den vid multipliktion med ndr mtriser, enligt de regler som nges nedn, lämnr multipliknden oförändrd, på smm sätt som tlet ett gör vid vnlig multipliktion. Ett nnt nmn på enhetsmtrisen, som ntyder tt multipliknden ej undergår någon förändring, är också "identitetsmtris". Enhetsmtriser, vnligen betecknde med I, finns det lik mång som det finns typer v (kvdrtisk) mtriser. Nedn eemplifiers med en tre gånger tre mtris. I L NM O QP När det finns risk för oklrhet bör mn nge ntlet rder och kolumner i mtrisen genom ett fotinde, så tt 3 3 mtrisen beteckns I 3. När någon sådn risk ej är för hnden brukr mn emellertid försumm indiceringen. Smm roll som tlet ett vid multipliktion spelr ju tlet noll vid ddition, dvs. tt lämn det tl till vilket det dders oförändrt. Liksom det finns

210 95 enhetsmtriser finns det även nollmtriser. Även här gäller nlogin tt de vid ddition, som definiers nedn för mtriser, lämnr de mtriser till vilk de dders oförändrde. Nollmtrisen, som till skillnd från enhetsmtrisen ej behöver vr kvdrtisk, definiers så tt ij 0 för ll i =,..., m och ll j =,..., n. Nedn följer en nollmtris med dimensionern två gånger tre. L NM O QP :3 Trnsponering v mtriser Om en mtris ändrs så tt mn kstr om rder och kolumner, klls opertionen trnsponering. Symboliskt nges den v ett primtecken på mtrisen i fråg. Om mn definierr A m m n n mn så blir efter trnsponering A n n m m mn

211 96 :4 Vektorer Speciell mtriser är sådn som br består v en rd eller en kolumn. Dess klls vektorer. Beroende på om de består v en rd eller en kolumn klls de rdvektorer eller kolumnvektorer. En rdvektor trnsponers till kolumnvektor och vice vers. :5 Mtrislgebr I det föregående berördes i förbigående ddition och multipliktion v mtriser. Det är nämligen så tt blnd de mtemtisk opertioner som utförs med mtriser förekommer sådn som företer viss likheter med vnlig ddition och multipliktion. Eftersom mtrisern inte är tl utn snrre komple v tl, är det inte tt vänt tt nlogin skulle vr fullständig, i vseende på i vilk fll mtrisddition och mtrismultipliktion är definierde, och på huruvid de är kommuttiv (dvs. tt eempelvis förmultipliktion och eftermultipliktion ger smm resultt) som motsvrnde opertioner med vnlig tl. Det förekommer viss betydnde skillnder härvidlg, såsom viss i det följnde. :6 Mtrisddition Addition v två mtriser innebär tt mn till vrje element i den en mtrisen lägger det element i den ndr mtrisen som intr motsvrnde plts. Som mn lätt förstår blir opertionen meningsfull endst om mtrisern hr lik mång rder och lik mång kolumner. Additionen definiers således endst för sådn pr v mtriser. Låt A och B beteckn två m n mtriser

212 97 mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B A Summn v mtrisern C = A + B är själv en m gånger n mtris: mn m m n n c c c c c c c c c C vilken definiers så tt c b ij ij ij för i =..., m och j =,...,n. Definitionen innebär lltså mn mn m m m m n n n n b b b b b b b b b B A För mtrisddition är det tydligt tt opertionen är kommuttiv, dvs A + B = B + A. :7 Mtrismultipliktion Medn mtrisdditionen är enkel och självklr, kn mtrismultipliktionen förefll vr både komplicerd och godtyckligt definierd. Emellertid är

213 98 just denn opertion mycket oft förekommnde vid hntering v mtiser, och den liknr vnlig multipliktion v tl tillräckligt mycket för tt det skll vr fördelktigt ur minnessynpunkt tt nvänd nmnet "multipliktion" även här. Som förut sgts, är det inte tt vänt tt mtrismultipliktionen skulle vis en ekt överensstämmelse med vnlig multipliktion bl.. i fråg om begreppets enkelhet. Mtrismultipliktion definiers enbrt för ett pr v mtriser där den vänstr hr lik mång kolumner som den högr hr rder. Därvid får rdern i den vänstr mtrisen lik mång element som kolumnern i den högr. Ett element i produktmtrisen bilds nu genom tt mn kombinerr ihop en rd i den vänstr mtrisen med en kolumn i den högr. Elementet får rdnumret från den vänstr mtrisen och kolumnnumret från den högr. Elementest värde beräkns genom tt mn multiplicerr smmn vrje element i en rd från den vänstr mtrisen med motsvrnde element i en kolumn från den högr (vrvid mn räknr från vänster till höger i rden och uppifrån och ner i kolumnen) och summerr produktern. Resulttet blir en produktmtris som hr lik mång rder som den vänstr och lik mång kolumner som den högr mtrisen. Definier nu två mtriser A och B där A är en m l mtris och B är en l n mtris. A m m b l l ml B b b bl b b b l b b n b n ln Produktmtrisen C A B är nu definierd eftersom A hr lik mång kolumer som B hr rder. Produkten C blir en m n mtris där elementen är c kl ij ikb k kj kn skriv för i =,... m och j =,... n. Det sgd betyder tt mn

214 99 A B b b b b l l n m b mlbl m b n mlbln Vd gäller nu beträffnde produkten B A? För det först är det uppenbrt tt denn produkt ej är definierd nnt än om m = n, ty nu är det ju ntlet kolumner i B som skll vr lik stort som ntlet rder i A, i stället för tvärtom som förut. För det ndr gäller om A är m n mtris och B är en n m mtris tt visserligen är både A B och B A definierde, men den förr produkten blir nu m m och den senre produkten n n. Bägge produktmtrisern blir kvdrtisk, men de hr ju inte lik mång rder och kolumner om ej m nhändelsevis skulle gäll. För det tredje gäller tt om både A och B är n n, så blir bägge produktmtrisern A B och B A definierde, och blir bägge dessutom n nmen de blir i regel ändå inte lik. (Likhet melln mtriser definiers givetvis som likhet för ll motsvrnde element). Det sgd betyder tt mtrismultipliktionen till skillnd från vnlig multipliktion inte är kommuttiv, dvs. om lls bägge produktern A B och B A är definierde och kommensurbl gäller i regel ABBA. Mtrismultipliktionens innebörd kn mn enklst få klr för sig genom tt studer ett ntl eempel: L NM 0 3 5QP M 0 P O L M N O P Q L N M b g b g O Q l L NM 0 0 P Mtrisern är 3 och 3. Produkten är lltså definierd och blir. Produkten v mtrisern i omvänd ordning är ej definierd. Låt oss nu i stället t ln O QP

215 L NM O L M N O P Q 0 3 5QP M 0 P L N M 00 b b go gq L NM 0 3 P Mtrisern är 3 och 3. Produkten är definierd och blir. Tr mn produkten melln mtrisern i omvänd ordning så är den också definierd: L NM O P L O QP NM QP L c bgh b g c b g M bg 3 0 c ho c h b g b gh NM c bgh b g c b ghqp L O 7 4 NM 3 5QP O QP Mtrisern är 3 och 3. Produkten blir lltså 3 3. Jämför mn de bägge produktmtrisern finner mn tt de är respektive 3 3. De kn lltså redn v dett skäl inte vr lik. Som sist eempel t två stycken 3 3 mtriser: L NM O P L M Q NM O P Q P M 3P L NM O QP

216 L NM O P L M Q N O P Q P M 0 P L NM 0 O QP Produktmtrisern är igen definierde och bägge 3 3. De är som synes ändå helt olik beroende på i vilken ordning mn utför multipliktionen. Mn kn nu lätt se vd multipliktion med enhets- eller identitetsmtrisen ger för resultt, både när en mtris multiplicers till vänster med den (dvs. premultiplicers) och när den multiplicers till höger (dvs. postmultiplicers). Sålund gäller L NM O L NM QP 3 5QP 3 5 och L NM O L QP NM O L NM O P Q L O QP P NM Bägge multipliktionern med enhetsmtrisen lämnr som synes en godtycklig mtris oförändrd. Observer dock tt mn måste t en enhetsmtris för premultipliktion och en 3 3enhetsmtris för postmultipliktion v en mtris som själv är 3. O QP :6 Ekvtionssystem Med nvändning v mtrisprodukter kn mn nu mycket bekvämt formuler om ett linjärt ekvtionssystem. Systemet

217 0 b n n b n n... n n nn n n b eller n i b n j i j ij, kn ännu bekvämre skrivs som A b där A är en kvdrtisk mtris och och b är kolumnvektorer: n n nn n n n n b b b b A Produkten A blir ju enligt definition n nn n n n n n n A som är en kolumnvektor v ekvtionerns vänstr led, vilk enligt systemet skll vr lik med högr leden som utgörs v konstntern i vektorn b.

218 03 :9 Invers mtris Denn formulering v ett ekvtionssystem skulle vr särskilt nvändbr om mn på något sätt skulle kunn divider bägge leden i ekvtionen A b med mtrisen A så tt denn "dividers bort" i vänstr ledet och mn direkt kn lös ut värden på de obeknt som nges v elementen i vektorn. Frågn är lltså om mn kn definier en motsvrighet till division blnd mtrisopertionern. När mn hr definiert vnlig multipliktion räcker det för vnlig division tt definier invertering, ty vrje kvot kn ju uttrycks som produkten v täljren och inverterde värdet v nämnren. Vid vnlig invertering söker mn ett invertert värde v ett tl, som multiplicert med tlet självt ger produkten. I nlogi härtill kn mn säg tt mn för mtrisen A söker en mtris som multiplicerd med denn ger mtrislgebrns motsvrighet till tlet, dvs enhetsmtrisen I. Om mn kn finn en sådn invers mtris, betecknd A, gäller således A A I Om bägge leden i ekvtionssystemet A b multiplicers till vänster med A får mn A A A b Men eftersom enhetsmtrisen I vid multipliktion med vektorn lämnr denn oförändrd, gäller A A I vilket ger A b Lösningen till ekvtionssystemet fås lltså som mtrisprodukt melln den invers mtrisen A och vektorn b.

219 04 Det gäller följktligen tt finn en metod för invertering v mtriser. Ett sätt är följnde. För (den kvdrtisk) mtrisen nn n n n n A med determinnten nn n n n n D A definiers en mtris där vrje element erstts v dess co-fktor dividerd med determinnten, dvs D D D D D D D D D D D D D D D D D D nn n n n n Om nu den föregående mtrisen trnsponers (dvs. mn skiftr rder och kolumner) erhåller mn den sökt invers mtrisen, lltså

220 05 A D D D D D D n D D D D D D n Dn D Dn D D D nn Att proceduren leder rätt kn kontrollers på följnde sätt. Om mn bildr mtrisprodukten A A där mtrisern är n n bägge två, erhålles nu produktmtrisen som själv är n n med elementen c ij där c ij n k Dki D kj Nu är emellertid såsom vi sett n k D D ki kj ij dvs. lik med D för i = j, då summeringen ger en korrekt epnsion v determinnten efter någon viss kolumn, och lik med 0 för i j, då summeringen ger en epnsion där co-fktorer från en nnn kolumn nvänts än den där mn tgit elementen. Resulttet blir tt c ij ij eller tt produkten A önskde A är en n n enhetsmtris I, lltså precis som vi A A I

221 06 Det är nu även lätt tt se när den invers mtrisen kn definiers. Eftersom elementen i denn består v kvoter melln co-fktorer D ij och determinnten D är det uppenbrt tt den invers mtrisen kn beräkns närhelst denn division är tillåten, dvs närhelst D 0. Således kn den invers mtrisen A till en godtycklig (kvdrtisk) mtris A definiers och beräkns förutstt tt mtrisens determinnt D = A hr ett värde skilt från noll. Det sgd är lätt tt förstå, eftersom beräkningen v en invers mtris svrr mot lösningen v ett ekvtionssystem, och eftersom det tidigre visdes tt systemets lösbrhet berodde på huruvid dess determinnt hde ett värde skilt från noll. Om så icke vr fllet, dvs. om determinnten hde värdet noll, vr dett ett tecken på tt lineärt beroende förelåg melln ekvtionerns koefficienter, så tt mn egentligen hde färre oberoende ekvtioner än obeknt. Dett ledde till ett v två ting - ntingen vr systemet underbestämt eller också vr ekvtionern motstridig. Att mn inte kn få någon lösning i dess fll är ju klrt. Mn kn också förstå vrför mn br kn definier en invers till en kvdrtisk mtris. (Det hr lltså inte vrit någon tillfällighet tt enbrt n n mtriser diskuterts i dett vsnitt). Eftersom inversberäkningen svrr mot lösningen v ett ekvtionssystem, är proceduren meningsfull om det finns lik mång (oberoende) ekvtioner som det finns obeknt. Nu betecknr inde i nummer på ekvtion och j nummer på obeknt för en koefficient ij. Om både i och j får gå från till n, dvs. om mtrisen v koefficienter är kvdrtisk, hr mn ju lik mång ekvtioner som mn hr obeknt. (Att ll ekvtionern dessutom är oberoende vet mn när determinnten till mtrisen hr ett värde skilt från noll). :0 Lösning v ekvtionssystem genom mtrisinvertering Ovn diskuterdes ett eempel där Crmers regel nvändes för tt lös ekvtionssystemet

222 Resulttet blev, 4 och 3. Med nvändning v mtriser kn mn skriv A b där L NM 0 O QP A 3 5 b 0 Lösningen blir lltså A b L NM 3 O QP L NM För tt få frm denn behöver mn värdet v determinnten D = A och dess co-fktorer D ij. De värden som beräkndes återges här nedn. Vi hde D 4 och L NM D D D D D D D D D O P Q P L NM O QP O QP

223 08 I enlighet med vd som sgts om definition v invers mtris skll vi lltså trnsponer mtrisen och divider med determinnten för tt få inversen A L NM O QP Läsren kn själv lätt kontroller tt L NM dvs. tt O L NM QP O L QP NM O QP A A I gäller. Läsren kn även kontroller tt produkten v mtrisen och dess invers i omvänd ordning är lik med enhetsmtrisen, lltså AA I. För produkten v en mtris och dess invers gäller lltså den kommuttiv lgen A A AA, vilken ju inte gäller generellt vid mtrismultipliktion). Lösningen till ekvtionssystemet fås nu som

224 A b L NM O L NM QP O L QP NM Som läsren inser är dett ju inte något nnt än en tillämpning v Crmers regel. Mtrisformuleringen innebär lltså br ett sätt tt kompkt och bekvämt noter ett ekvtionssystem och dess lösning. 4 O QP : Egenvärdesproblem Ovn hr vi sett tt systemdeterminnten D för ett ekvtionssystem bör h ett värde skilt från noll om ett system sådnt som n n b n n b... n n nn n b n eller mer kompkt n j ij j b i i, n eller ännu mer kompkt A b skll h en lösning, lltså D A 0. Säg nu tt vi i stället hr högerled

225 0 som beror på vektorn, närmre bestämt bi kompktre formern kn då skrivs som:. Ekvtionssystemet i de i n ij ij j 0 i, n j där ij som vnligt är Kroneckerdeltt, eller som b g AI 0 där I betecknr en n n enhetsmtris. Lösningsproblemet är nu helt nnorlund eftersom högerleden är noll. Skulle vi tillämp Crmers regel skulle vi få täljre i högerleden som är noll. Det motsvrr en trivil lösning då ll vriblern ntr värdet noll, en lösning som givetvis stisfierr det homogen systemet. Vi är emellertid intresserde v icke-trivil lösningr där vriblern hr värden skild från noll. Enligt Crmers regel får vi ing sådn om systemdeterminnten AI 0. End chnsen är tt vi hr linjärt beroende, i A Imärk väl, inte i A, så tt vi får oändligt mång lösningr (då Crmers regel ger 0/0). Därvid bestäms inte lösningsvektorn entydigt, utn br upp till en multipliktiv konstnt som gör tt vi kn välj ett element i lösningsvektorn godtyckligt. Givet dett blir emellertid lösningen icke-trivil då komponentern blir skild från noll. Vi vill lltså h AI 0 för tt baig 0 skll vr icke-trivilt lösbr. Vi hr i utskriven form: A I n n nn n n 0 Vi hr emellertid sett tt en determinnt v en n n mtris är summn v n! termer som vr och en är produkter v n element vld ur mtrisen. Den ovn uttryckt ekvtionen blir följktligen ett polynom i v n:te grden,

226 för som mest får vi ju från elementen i huvuddigonlen potensen n. Skrivet helt generellt hr vi lltså n c n n n c n c c0 Dett polynom klls för krktäristisk ekvtionen. Generellt sett hr ett n:tegrdspolynom n rötter eller lösningr. De behöver givetvis inte vr reell, vi kn också h pr v konjugert komple rötter. Vi hr tidigre sett tt en kvdrtisk ekvtion hde ett mimum eller ett minimum. Det beror då på om kurvn för den kvrdtisk ekvtionen korsr den horisontell eln (nollinjen) så tt mn hr två skärningspunkter, eller om den ligger helt över eller under den. I det förr fllet hr mn två reell rötter, i det senre två konjugert komple. Likså kn en kubisk ekvtion h både ett mimum och ett minimum. Den måste lltid h en reell rot, ty den kommer från minus oändligheten och går till plus oändligheten, så den måste lltid skär nollinjen, men det är en fråg om huruvid den ytterligre "böjen" för mimum eller minimum också skär nollinjen eller inte om mn skll få ytterligre två reell rötter eller ett pr v komple konjugt. Så fortsätter det. Polynomet hr n rötter, lösningr eller "egenvärden" som de också klls: 0 i i,, n Den krktäristisk ekvtionen är uppfylld för vrje egenvärde, vilket betyder tt determinnten AI 0. Det betyder tt vi hr icke-trivil lösningr b A I 0 i g för vrje i och tt vi kn lös en "egenvektor" i som stisfierr i ba i Ig 0. Som redn påpekts blir den godtycklig upp till en multipliktiv konstnt. Vi kn sätt vilken komponent till värdet, dvs. som ekonomer säger välj den till "numérire". Hur uppstår nu egenvärdesproblem? Som mn kn n från förekomsten v den krktäristisk ekvtionen som vi redn mötte i kpiel 0 så förekommer dess i smbnd med differentilekvtioner. Vi hr också sett (vid

227 diskussionen v kontrollteori) tt en differentilekvtion v högre ordning kn omvndls till ett system v differentilekvtioner v först ordningen genom den trivil definitionen v successiv derivtor som ny mellnvribler. En differentilekvtion v n-te ordningen kn med ndr ord skrivs: n n n n... n n n nn n Vi betecknr tidsderivtn som brukligt är med en prick över vribeln, lltså i d i / dt. Givetvis förutsätter den upptecknde formen tt differentilekvtionern är linjär med konstnt koefficienter. (De hr vidre skrivits i homogen form, men en icke-homogen vrint med konstnt termer i högerleden kn enkelt omvndls till homogen form i vvikelsern från en prtikulär lösning precis som förut.) Om vi definierr vektorn n kn vi skriv systemet som A Prövr vi som vnligt lösningen i i föregående vektorekvtion ger: be i t så blir t i bie och insättning t be A be t där vi definierr en ny vektor:

228 3 b b b b n I föregående mtrisekvtion kn vi förkort bort den gemensmm fktorn e t ty epontilfunktionen är ju lltid positiv. Vidre vet vi tt premultipliktion v vektorn b med enhetsmtrisen I inte förändrr den. Följktligen hr vi Ib Ab, eller b g AI b 0 dvs. precis den form i vilken vi introducerde egenvärdesproblemet. Vrje egenvärde ger lltså en möjlig eponentiell lösning till differentilekvtionern, och vi kn också kombiner dess med vrndr. Pr v komple egenvärden leder då precis som förut till lösningr i form v trigonometrisk funktioner. Egenvärdesproblem uppstår även i ndr smmnhng i ekonomisk teori, såsom i input-outputtbeller och linjär tillvätmodeller.

229 4

230 5 3 Linjär och ickelinjär progrmmering När vi behndlde optimering under bivillkor ovn tog vi ett fll med linjärt bivillkor såsom det oft förekommer i ekonomisk teori och löste eplicit för en vribel. Optimeringsproblemet kunde på det sättet omvndls till ett vnligt optimeringsproblem i ett end rgument. Vi såg tt de villkor som härleddes överensstämde med de som erhölls om vi till optimnden lde bivillkoret multiplicert med en Lgrngemultipliktor, men vi gv inget bevis för Lgrngemetodens riktighet, nnt än tt det för det enkl fllet med linjär restriktion gv rätt resultt. Det är nu tid tt reprer den bristen. Mn finner enklst beviset för Lgrngemetodens riktighet genom tt studer generellre fll där restriktionern - linjär eller inte - hr formen v svg olikheter. Dess kn vr bindnde, och då hr mn fllet då restriktionen är uppfylld som ekvtion, men de behöver inte lltid vr det. Metoden klls ickelinjär progrmmering och det viktigste redskpet är Kuhn-Tuckerteoremet. För det fll både det uttryck som skll mimers eller minimers och ll restriktioner tr formen v linjär olikheter tlr mn om linjär progrmmering. 3:4 Kuhn-Tuckerteoremet Antg lltså tt bivillkoren i ett optimeringsproblem ej är formulerde som ekvtioner g i, 0 i,, m, n utn som svg olikheter

231 6 g i, 0 i,, m, n Stndrdproblemet i dett smmnhng är tt minimer funktionen f,, n under de ovn ngivn bivillkoren. Det räcker tt behndl minimeringsproblemet, då eempelvis mimum v funktionen f,, n smm som minimum v funktionen f. är det-,, n Mn kn också noter tt inte heller riktningen för olikhetstecknen i bivillkoren medför någon som helst begränsning; ty bivillkor sådn som i,, i g 0 kn mn ju lltid skriv,, 0 n g n. Vidre kn mn lätt även inkluder likhetsrestriktioner, genom tt blnd bivill- i koren stipuler både,, i g 0 och,, 0 n g på n i smm gång. Skll bägge restriktionern gäll hr vi ju,, 0 g n. För tt förenkl skrivsättet skll fortsättningsvis hel uppsättningen v rgumentvärden skrivs som en rdvektor som skll minimers kn lltså skrivs b g f och bivillkoren som, n. Den funktion g i 0 i,, m Mn kn även skriv funktionern i bivillkoren som en kolumnvektor v funktioner så tt

232

233

234

235

236

237

238 3 L g i i 0 skll gäll, då i -vriblern lltid kn öks fritt från sin icke-negtiv värden utn tt villkoret om ders icke-negtivitet löper risk tt upprivs, och som resultt v sådn vritioner får ju inte L vä om det skll vr mimlt. Deriveringen med vseende på Lgrngemultipliktorern ger som förut helt enkelt tillbk bivillkoren. Härtill kommer ytterligre tt om i L/ i g 0 inte gäller, så tt restriktionen i fråg inte är bindnde, så måste vi h i 0. Härv följer L i g i 0 eller i 0 i, m Som illustrtion kn följnde eempel tjän. Mn söker minimum v funktionen y under bivillkoret Geometriskt betyder det tt mn söker den lägst punkten på en prboloid, när rgumentvärdeskombintionern är sådn tt de svrr mot punkter i bottenplnet som ligger ovnför en hyperbel i den positiv kvdrnten eller under dess spegelbild i den negtiv. Mn börjr med tt skriv om bivillkoret i den föreskrivn formen dvs. som 0

239 4 Därefter formulers Lgrngefunktionen L b g Derivtorn v L med vseende på och måste vr noll, så tt L L 0 0 Efter omflyttning ger de och. Division v ekvtionern och förkortning v och ger / / eller Som synes får mn ing determinerde värden för och från dess villkor enbrt. Men mn vet ytterligre tt det ntingen måste gäll tt bivillkoret är bindnde, dvs. eller tt Lgrngemultipliktorn är noll, dvs. 0 Sätter mn 0 erhåller mn från ekvtionssystemet och direkt tt 0 Dett fll svrr lltså mot tt bivillkoret inte är bindnde. Om i stället bivill-

240 5 y (-, -, ) (,, ) (-, -) (, ) koret är bindnde så gäller lltså. Kvdrerr vi bägge leden blir och vi kn lös för / och sätt in i ovn. 4 Resulttet blir ekvtionen, vilken är uppfylld för dels dels. Nu gäller enligt tt /, så vi hr två lösningr: och Det förefller lltså finns tre lösningr för b, g, nämligen (0, 0), (, ) och (-,-). Den först kn emellertid kssers, enär den inte uppfyller bivillkoret