Definition: Linjär avbildning
|
|
- Sara Gunnarsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Definition: vektorrum Ett vektorrum V är en icke-tom mängd v vektorer vilk mn kn dder och multiplicer med en sklär enligt reglern nedn. För vektorern u, v, w V, och sklärern c, d R sk gäll: Föreläsning Ove Edlund Rum: A3448 Tel: E-post: ove.edlund@sm.luth.se Hemsid: jove Kursens hemsid: u + v V 2. u + v = v + u 3. (u + v)+w = u +(v + w) 4. Det finns en nollvektor 0 så tt u + 0=u 5. För ll u V eisterr en vektor u så tt u +( u) =0 6. c u V 7. c(u + v) =c u + c v 8. (c + d)u = c u + d u 9. (cd)u = c(d u) 0. u = u Eempel Definition: underrum Ett underrum H till ett vektorrum V är en delmängd v V som hr egenskpern:. Nollvektorn i V finns också i H. 2. H är sluten under vektorddition, dvs u, v H u + v H. 3. H är sluten under multipliktion med sklär, dvs u H, c R c u H. Ett underrum som spänns upp v två vektorer: Sts 3 0 v v 2 Om v, v 2,...v p är i vektorrummet V så är Spn{v, v 2,...v p} ett underrum till V. 2 Definition: nollrum Nollrummet till en m n-mtris A, dvs Nul(A), är mängden v lösningr till den homogen ekvtionen A = 0, dvs Sts 2 Nul(A) ={ R n A = 0} Nollrummet till en m n-mtris A är ett underrum till R n. Definition: kolonnrum Kolonnrummet till en m n-mtris A, dvs Col(A), är mängden v ll linjärkombintioner v kolonnern i A. Dvs om A = [ 2... n ] såär Sts 3 Col(A) = Spn{, 2,..., n} Kolonnrummet till en m n-mtris A är ett underrum till R m. Definition: Linjär vbildning En vbildning T är linjär om. T (u + v) =T (u)+t(v) för ll u, v i definitionsmängden för T. 2. T (c u) =c (T (u)) för ll u och sklärer c. Definitionen leder till följnde egenskper: T (0) =0 T (c u + d v) =ct(u)+dt(v) T (c v + c 2 v c p v p) = c T (v )+c 2 T (v 2 )+ + c p T (v p) Föreläsning 2
2 Sts 4 En mängd {v, v 2,...,v p} v minst två vektorer, där v 0, är linjärt beroende om och endst om något v j kn uttrycks som en linjärkombintion v de föregående vektorern v, v 2,...,v j. Definition: Bs Om H är ett underrum till V, så är vektormängden B = {b, b 2,...,b p} i V en bs för H om (i) B är en linjärt oberoende mängd, och (ii) underrummet som spänns upp v B är hel H, dvs H = Spn{b, b 2,...,b p}. Sts 5 Låt S = {v, v 2,...,v p} där v i V,ochlåt H = Spn{v, v 2,...,v p}.. Om v k kn uttrycks som en linjärkombintion v de övrig elementen i S, såknv k ts bort ur S, utn tt Spn(S) påverks. b. Om H {0}, så finns en delmängd v S som är bs för H. Sts 6 Pivåkolonnern i mtrisen A bildr en bs för Col(A). Sts 7 Låt B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för vektorrummet V.För vrje V finns då unik sklärer c,c 2,...,c n så tt = c b + c 2 b c n b n. Definition: Koordinter Om B = {b, b 2,...,b n} är en bs för vektorrummet V och V, så ges koordintern för is bsen B v viktern c,c 2,...,c n som uppfyller = c b + c 2 b c n b n. Vektorn i R n med c,c 2,...,c n som element klls B-koordintvektorn för, och skrivs c c [] B = 2.. c n Koordintbytesmtris från B till R m Givet bsen B = {b, b 2,...,b n}, där b k R m gäller tt = P B [] B där R m, [] B R n och P B är m n-mtrisen P B = b b 2... b n. Om m = n ges vbildningen [] B v [] B = PB Sts 8 Låt B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för vektorrummet V. Koordintvbildningen [] B är då en linjär vbildning från V till R n som både är injektiv och surjektiv. Om det finns en injektiv och surjektiv vbildning från ett vektorrum till ett nnt är vektorrummen isomorf, dvs de hr smm form. Sts 9 Om ett vektorrum V hr bs B = {b, b 2,...,b n}, såär vrje mängd v mer än n vektorer i V linjärt beroende. Sts 0 Om ett vektorrum V hr en bs bestående v n vektorer, så består ll bser som spänner upp V v n vektorer. Definition: Dimension Om det finns en ändlig mängd som spänner upp V, så är V ändligtdimensionellt, och dim(v ) är dimensionen för V och ges v ntlet element i vektorrummets bs. Nollvektorrummet {0} hr dimension 0. Om V ej är ändligtdimensionellt så är det oändligtdimensionellt. Sts Låt H vr ett underrum till ett ändligtdimensionellt vektorrum V.. Vrje linjärt oberoende mängd i H kn, om så behövs, kompletters/utöks till en bs för H. b. H är också ändligtdimensionellt och dim(h) dim(v ). Föreläsning 4 Definition: rdrum Rdrummet till en m n-mtris A, dvs Row(A), är mängden v ll linjärkombintioner v rdern i A. Dvs om T T A = 2. T m såär Row(A) = Spn{, 2,..., m} vilket också innebär tt Row(A) = Col(A T ). Sts 2 Låt V vr ett p-dimensionellt vektorrum, där p.. Vrje mängd v p linjärt oberoende vektorer i V är en bs för V. b. Vrje mängd v p vektorer som spänner upp V är en bs för V. Sts 3 Om två mtriser A och B är rdekvivlent så hr de smm rdrum. (A B Row(A) =Row(B)) Om B är på trppstegsform, bildr rdern som ej endst består v nollor, en bs för Row(A).
3 Definition: rng Rngen v en mtris A, är lik med dimensionen hos kolonnrummet, dvs Sts 4 rnk(a) = dim(col(a)). Dimensionern hos kolonnrummet och rdrummet är lik. Båd hr dimension rnk(a) vilket också är lik med ntlet pivåpositioner i A. Om A är en m n-mtris gäller också tt rnk(a) + dim(nul(a)) = n. Sts: Inverterbrhet Låt A vr en n n-mtris. Då är de följnde påståenden ekvivlent, dvs om ett är snt så är ll snn.. A är inverterbr. b. A är rdekvivlent med I n. c. A hr n pivåpositioner. d. Den homogen ekvtionen A = 0 hr endst den trivil lösningen = 0. e. Kolonnern i A är linjärt oberoende. f. Avbildningen A är injektiv. g. A = b hr lösning för vrje b. h. Kolonnern i A spänner upp R n. i. Avbildningen A är surjektiv. j. Det finns en mtris C så tt CA = I n. k. Det finns en mtris D så tt AD = I n. l. A T är inverterbr. Om A är en n n-mtris som ej är inverterbr säger vi tt A är singulär. Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. Eempel: bsbyten B = {b, b 2 } och C = {c, c 2 } är båd bser i R 2. Figuren nedn visr hur en vektor R 2 bilds i de båd bsern: b 2 Sts 5 Om B = {b, b 2,...,b n} och C = {c, c 2,...,c n} är bser för vektorrummet V, så eisterr en n n-mtris P så tt C B 0 [] C = P [] B. C B b () c 2 4c 2 3b Kolonnern i P C B ges v bsvektorern b, b 2,...,b n uttryckt som C- koordintvektorer, dvs P = [b ] C [b 2 ] C... [b n] C. C B Föreläsning 5 0 c Uppenbrligen är dvs 6c (b) =3b +b 2 och =6c +4c 2 [] B = 3 och [] C = 6 4 Mtrisen P ovn, klls koordintsbytesmtrisen. Mtrisen är inverterbr vilket C B medför tt ( ) []C P =[] B C B lltså gäller P = ( ). P B C C B Definition: determinnt Determinnten till en -mtris är mtrisens sklär värde (e. det[5] = 5). Determinnten till en n n-mtris, då n 2, är en viktd summ v determinnter till n st. (n ) (n )-mtriser enligt formeln det(a) = det(a) 2 det(a2)+ +( ) +n n det(an) n = ( ) +j j det(aj) j= där Aij är den mtris som erhålls om rd i och kolonn j ts bort från A. Utveckling efter rd och kolonn Låt C ij =( ) i+j det(a ij ) beteckn kofktorn för rd i och kolonn j till mtrisen A. Dågäller enligt definitionen v determinnt det(a) = C + 2 C n C n. Dett är utvecklingen efter rd. Mn kn dock utveckl efter en godtycklig rd eller kolonn Sts Utveckling efter rd i: det(a) = i C i + i2 C i2 + + in C in Utveckling efter kolonn j: det(a) = j C j + 2j C 2j + + nj C nj Sts 2 Om A är en tringulär mtris, så är det(a) produkten v elementen på digonlen v A. Sts 3: Rdopertioner Låt A vr en kvdrtisk mtris.. Om mtrisen B bilds genom tt t en multipel v en rd i A och lägg till en nnn, så gäller det(b) = det(a). b. Om B bilds genom tt byt plts på två rder i A, sågäller det(b) = det(a). c. Om B bilds genom multiplicer en rd i A med k, sågäller det(b) =k det(a).
4 Sts 4 En kvdrtisk mtris A är inverterbr, om och endst om det(a) 0. Sts 5 Om A en kvdrtisk mtris så gäller Sts 6 det(a T ) = det(a) Om A och B är n n-mtriser så gäller det(ab) = det(a) det(b) Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. t. det(a) 0. Sts 9 Om A är en 2 2-mtris så är det(a) ren v prllellogrmmet som spänns upp v kolonnern i A. Om A är en 3 3-mtris så är det(a) volymen v prllellepipeden som spänns upp v kolonnern i A. Föreläsning 6 Sts 0 Låt T : R 2 R 2 vr den linjär vbildning som lstrs v 2 2-mtrisen A. OmS är ett prllellogrm i R 2, såär {ren v T (S)} = det(a) {ren v S} Låt istället T : R 3 R 3 vr den linjär vbildning som lstrs v 3 3-mtrisen A. Om S är en prllellepiped i R 3,såär {volymen v T (S)} = det(a) {volymen v S} Ett generellt område pproimert med prllellogrm : 0 0 Linjär vbildning v pproimert område: R 0 0 T T(R ) Slutsts: Sts 0 gäller för generell begränsde områden. Föreläsning 7
5 Sts : Summtionsformler n = n =+++ + }{{} n st. () i= n(n +) 2 n i = n = (b) i= n(n + )(2n +) 6 n i 2 = n 2 = (c) i= n r i =+r + r 2 + r r n = rn+ r (d) i=0 Prtition En prtition är en ordnd mängd med punkter på ett intervll [, b], så tt prtitionen P som ges v P = { 0,, 2,... n} uppfyller = 0 < < 2 < 3 < < n = b. Dett ger upphov till n st. delintervll [ i, i ]. Längden på vrje delintervll beteckns i = i i, och den störst v dess längder klls normen för prtitionen P = m i. i Över- och undersumm Givet en funktion f och en prtition P definiers undersummn enligt L(f, P) =f(l ) + f(l 2 ) f(l n) n n = f(l i ) i i= där f(l i ) är det minst funktionsvärdet i intervllet [ i, i ]. Översummn definiers v U(f, P) =f(u ) + f(u 2 ) f(u n) n n = f(u i ) i i= där f(u i ) är det störst funktionsvärdet i intervllet [ i, i ]. Bestämd integrl Om det för ll prtitioner P finns endst ett värde I som lltid uppfyller L(f, P) I U(f, P) säger vi tt f är integrerbr i intervllet [, b]. Vi benämner I den bestämd integrlen v f på [, b], och skriver b I = f() d. Riemnnsumm Givet en funktion f och en prtition P definiers Riemnnsummn enligt R(f, P) =f(c ) + f(c 2 ) f(c n) n n = f(c i ) i i= där c i väljs godtyckligt i intervllet [ i, i ]. Uppenbrligen gäller då L(f, P) R(f, P) U(f, P). Pg instängning följer därv tt b lim R(f, P) = f() d P 0 Sts 2 Om f är kontinuerlig på [, b], såär f integrerbr på [, b]. Sts 3: Egenskper () f() d =0 b (b) f() d = f() d b b (c) (Af()+Bg())d b b = A f() d + B g() d b c c (d) f() d + f() d = f() d b (e) Om b och f() g() b b f() d g() d (f) Tringelolikheten: Om b b b f() d f() d (g) Om f är udd (f( ) = f()) f() d =0 (h) Om f är jämn (f( ) = f()) f() d =2 f() d 0
6 Sts 4: Medelvärdesstsen Om f är kontinuerlig på [, b] så eisterr en punkt c i intervllet [, b] så tt b f() d =(b )f(c). Med ledning v stsen ovn så definierr vi medelvärdet f v en funktion enligt f = b f() d. b Anlysens huvudsts Antg tt f är kontinuerlig på intervllet I och tt I.. Låt funktionen F vr definerd på I v F () = f(t) dt. Då är F deriverbr på I och F () =f(), dvs F är primitiv funktion till f, dvs d f(t) dt = f(). d 2. Om G är en primitiv funktion till f på I och b I såär b f() d = G(b) G(). Föreläsning 8 Elementär obestämd integrler r d = r+ r+ + C, (r ) d =ln + C 9. sin d = cos + C, ( 0) 0. cos d = sin + C, ( 0) cos 2 d = tn + C, ( 0) d = rcsin + C, ( >0) d = rctn + C, ( 0) 7. e d = e + C, ( 0) Substitution i obestämd integrl Om f är kontinuerlig med primitiv funktion F, och g är deriverbr, så är f ( g() ) g () d = F ( g() ) + C. Substitution i bestämd integrl Sts 6 Om g är deriverbr på [, b], och f är kontinuerlig på värdemängden v g, och A = g(), B = g(b), såär b f ( g() ) B g () d = f(u) du, A där u = g() och du = g () d. Trigonometrisk integrler () tn d= ln cos + C (b) cot d=ln sin + C (c) (d) cos sin + sin d =ln cos + C + cos d = ln sin + C Integrl (c) och (d) kräver gnsk märklig substitutioner för tt härleds. Trigonometrisk integrler Integrler v typen sin m cos n d där m, n N, hnters på ett v två sätt:. Om m och/eller n är udd kn substitutionsmetoden utnyttjs. 2. Om både m och n är jämn utnyttjs smbnden cos 2 = ( + cos 2) 2 sin 2 = ( cos 2) 2 för tt reducer grdtlet hos eponentern. Föreläsning 0 Definition: Egenvektor, egenvärde En egenvektor till en n n-mtris, är en vektor skilld från nollvektorn, som uppfyller A = λ för någon sklär λ. Denn sklär λ klls för ett egenvärde till mtrisen. Definition: Smm sk igen Om mn vänder på steken, kn mn uttryck sig såhär :Ensklär λ är ett egenvärde till mtrisen A om det finns en icketrivil lösning till A = λ. En sådn lösning klls för en egenvektor som hör till egenvärdet λ.
7 Egenvektor, egenvärde, egenrum Egenvärden och egenvektorer till en n n- mtris A kn undersöks med det homogen linjär ekvtionssystemet (A λi) = 0. Sklären λ är ett egenvärde om och endst om systemet hr icketrivil lösning. Givet ett egenvärde λ, är vrje icketrivil lösning en egenvektor som hör till λ. Mängden v ll egenvektorer som hör till egenvärdet λ, tillsmmns med nollvektorn 0, bildr ett underrum till R n och benämns därför egenrummet. Egenrummet som hör till egenvärdet λ ges följdktligen v Nul(A λi). Sts Om A är en tringulär mtris, så ges egenvärden v digonlelementen. Sts 2 Om v, v 2,...,v r är egenvektorer som svrr mot vr sitt unikt egenvärde λ,λ 2,...,λ r till en kvdrtisk mtris A, så är mängden {v, v 2,...,v r} linjärt oberoende. Sts: Inverterbrhet, forts Låt A vr en n n-mtris. Då utökr vi listn med de följnde ekvivlent påståenden: m. Kolonnern i A bildr bs för R n. n. Col(A) =R n. o. dim(col(a)) = n. p. rnk(a) =n. q. Nul(A) ={0}. r. dim(nul(a))=0. s. Tlet 0 är inte ett egenvärde till A. t. det(a) 0. Krkteristisk ekvtion En sklär λ är ett egenvärde till n n- mtrisen A om och endst om λ uppfyller den krkteristisk ekvtionen det(a λi)=0. Mn kn vis tt tt det(a λi) bildr ett n-tegrdspolynom i λ. Dett polynom klls det krkteristisk polynomet. Egenvärden ges v nollställen till dett polynom. Nollställens multiplicitet blir också multipliciteten för egenvärden. Similritet Om A och B båd är n n-mtriser, så är A och B similär om det finns en inverterbr n n-mtris P så tt Sts 4 P AP = B. Om n n-mtrisern A och B är similär, så hr de smm krkteristisk polynom, dvs de hr smm egenvärden. Föreläsning Digonliserbrhet En mtris A sägs vr digonliserbr om den är similär med någon digonlmtris, dvs om det finns en inverterbr mtris P så tt A = PDP för någon digonlmtris D. Sts 5: Digonlisering En n n-mtris A är digonliserbr om och endst om A hr n st. linjärt oberoende egenvektorer. Mtrisen P bilds då med n-st linjärt oberoende egenvektorer som kolonner, och D bilds v egenvärden som digonlelement, på så sätt tt egenvärdet för egenvektorn i vrje kolonn i P hmnr på digonlen i motsvrnde kolonn i D. Sts 6 Om en n n-mtris hr n st. unik egenvärden så är mtrisen digonliserbr. Sts 7 Låt A vr en n n-mtris med p st. unik egenvärden λ,λ 2,...,λ p.. Dimensionen hos egenrummet för λ k är mindre än eller lik med multipliciteten för λ k b. Mtrisen A är digonliserbr om och endst om summn v egenrummens dimensioner är lik med n. Dett inträffr endst om dimensionern för ll egenrum är lik med multipliciteten för motsvrnde egenvärden. c. Om A är digonliserbr, bildr bsvektorern för smtlig egenrum, tillsmmns en bs för R n. Mtrisen för linjär vbildning Låt T : V W vr en linjär vbildning, B = {b, b 2,...,b n} vr en bs för V, och C = {c, c 2,...,c m} vr en bs för W. Då ges vbildningsmtrisen M för koordintvektorer i respektive bs, motsvrnde vbildningen T,v M = [T (b )] C [T (b 2 )] C... [T (b n)] C, dvs [T ()] C = M[] B, Avbildning från V till V Om vbildningen är från V till V, så skrivs mtrisen [T ] B, dvs [T ] B = [ [T (b )] B [T (b 2 )] B... [T (b n)] B ], och [T ()] B =[T ] B [] B. Mtrisen [T ] B klls B-mtris.
8 Egenvektorbser i R n Om mn låter n st. linjärt oberoende egenvektorer till en vbildningsmtris vr en bs i R n,så blir vbildningsmtrisen i egenvektorbsen en digonlmtris med egenvärden på digonlen. Sts 8 Antg tt A = PDP,där D är en digonl n n-mtris. Om B är den bs för R n som bilds v kolonnern i P,såär D den B-mtris som motsvrr vbildningen A. Föreläsning 2 Eempel: Dynmisk system 0,95 0, Om A = och 0,05 0,97 0 = så ger differensekvtionen k+ = A k upphov till serien = = = = = = = = = = = = = = Prtiell integrtion Föreläsning 3 Vi söker lös f()g() d. Om någon primitiv funktion F () till f() är känd och vi lätt kn bestämm F ()g () d så är prtiell integrering ett intressnt lterntiv: f()g() d = F ()g() F ()g () d. Min minnesregel ser ut såhär: f() g() d = F () g() F () g () d. Omvänd substitution Använd Sts 6 bklänges, dvs gör integrlen till synes mer komplicerd. Så istället för tt lös b f() d, löser vi g (b) f ( g(u) ) g (u) du. g () Integrler v rtionell funktioner Omvänd substitution med sinus Integrler som innehåller ( 2 2) /2 blir iblnd enklre med substitutionen = sin θ. Omvänd substitution med tngens Integrler som innehåller ( 2 + 2) /2 eller blir iblnd enklre med substitutionen = tn θ. Föreläsning 4 All integrler v rtionell funktioner kn stycks sönder till följnde komponenter: d =ln + + C d = 2 ln(2 + 2 )+C d = rctn + C, ( 0) och då grdtlen i nämnrn är högre: d = ( + ) n ( 2 + 2) n d n + C, ( + ) n = 2(n ) ( 2 + 2) n + C, 6. { långt och tråkigt ( 2 + 2) n d = uttryck, se tbell!
9 Sts Om P och Q är polynom och P hr lägre grdtl än Q sågäller tt () Q kn fktorisers enligt Q = k( ) m ( 2 ) m 2 ( j ) m j }{{} reell rötter ( 2 + b + c ) n ( 2 + b k + c k ) n k }{{} komple rötter (b) Den rtionell funktionen P kn prtilbråksuppdels: Q Vrje fktor ( ) m i Q ger upphov till termer A + A 2 Am ( ) 2 ( ) m. Vrje fktor ( 2 + b + c) n i Q ger upphov till termer B + C 2 + b + c Bn + Cn ( 2 + b + c) n. Summn v ll sådn termer bildr prtilbråksuppdelningen v P. De okänd Q konstntern bestäms genom tt sätt ll bråken på gemensm nämnre, och se till tt täljren blir P. Föreläsning 5 Generliserde integrler () Om den en integrtionsgränsen är oändligheten (± ), definierr vi den generliserde integrlen som eller R f() d = lim f() d R b b f() d = lim R f() d. R Om gränsvärdet eisterr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den. Sklärprodukt, inre produkt Generliserde integrler (2) Om funktionen f är obegränsd (± ) i en integrtionsgränsen, definierr vi den generliserde integrlen som eller b b f() d = lim c + f() d c b c f() d = lim c b f() d. Om gränsvärdet eisterr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den. Föreläsning 6 Om vi hr två vektorer u v u u = 2 v och v = 2.. u n v n så ges sklärprodukten eller inre produkten v u v = u T v = u v + u 2 v u nv n Sts Låt u, v och w vr vektorer i R n,ochc vr en sklär. Då gäller. u v = v u b. (u + v) w = u w + v w c. (cu) v = c(u v) =u (cv) d. u u 0, ochu u =0 u = 0. OBS! Stsen ger tt (c u + c 2 u c pu p) w = c u w + c 2 u 2 w + + c pu p w Längd, norm Längden (eller normen) v en vektor v i R n är den ickenegtiv sklär v som definiers v v = v v = v 2 + v v2 n För ll sklärer c gäller tt cv = c v. En enhetsvektor är en vektor vrs längd (norm) är. Givet en vektor v får vi en enhetsvektor som pekr i smm riktning som v genom tt normer den, dvs bild v v. Avstånd Ortogonl vektorer Två vektorer u och v i R n är ortogonl om u v =0. Sts 2: Pythgors sts Två vektorer u och v är ortogonl om och endst om u + v 2 = u 2 + v 2. Ortogonl komplementet Om en vektor z är ortogonl mot vrje vektor i ett underrum W,iR n,såsäger vi tt z är ortogonl mot W. Mängden v ll vektorer z som är ortogonl mot W klls ortogonl komplementet till W, och beteckns W.. En vektor tillhör W om och endst om är ortogonl mot vrje vektor i en mängd som spänner upp W. 2. W är ett underrum till R n. Sts 3 Om A är en m n-mtris, så är Avståndet melln vektorern u och v skrivs dist(u, v), och definiers som längden (normen) v u v, dvs dist(u, v) = u v. och (Row(A)) = Nul(A) (Col(A)) = Nul(A T ).
10 Ortogonl mängder En mängd vektorer {u, u 2,...,u p} är en ortogonl mängd om vrje vektor i mängden är ortogonl mot ll ndr, dvs u i u j =0 då i j. Sts 4 Om S = {u, u 2,...,u p} är en ortogonl mängd v vektorer skild från nollvektorn 0, så är S linjärt oberoende och därmed en bs för Spn(S). Ortogonl bser En ortogonl bs för ett underrum W,är en bs för W som också är en ortogonl mängd. Sts 5 Låt {u, u 2,...,u p} vr en ortogonl bs för W.För vrje vektor y W gäller då y = c u + c 2 u c pu p där viktern c,c 2,...,c p ges v c i = y u i. u i u i Ortogonl projektion Ortogonl projektionen v y på u ges v ŷ = y u u u u Komposnten v y som är ortogonl mot u ges v z = y y u u u u Ortonormerde mängder En mängd vektorer {u, u 2,...,u p} är en ortonormerd mängd om det är en ortogonl mängd v enhetsvektorer. Om mängden är en bs för ett underrum W säger vi tt det är en ortonormerd bs för W. Sts 6 En m n-mtris U hr ortonormerde kolonner om och endst om U T U = I. Sts 7 Om U är en m n-mtris med ortonormerde kolonner, och, y R n,såär. U = b. (U) (Uy) = y c. (U) (Uy) =0 y =0 Ortogonl projektion Sts 8 Låt W vr ett underrum till R n.dåkn vrje y R n entydigt uttrycks v y =ŷ + z där ŷ W och z W. Om {u, u 2,...,u p} är en ortogonl bs för W, uttrycks dess vektorer v ŷ = y u u u u + y u 2 u 2 u 2 u y up u p u p u p och z = y ŷ. Vektorn ŷ ovn klls för den ortogonl projektionen v y på W, och beteckns proj W (y). Sts 9 Låt W vr ett underrum till R n, y R n och ŷ = proj W (y). Dåär ŷ den punkt i W som är närmst y, i vseendet tt y ŷ < y v för ll v W som är skild från ŷ. Dvs ŷ är den vektor i W som är den bäst pproimtionen v y. Sts 0 Om {u, u2,...,up} är en ortonormerd bs för W,så är proj W (y) =(y u)u +(y u2)u2 + +(y up)up. Om vi bildr mtrisen U =[u u2... up ], kn dett uttrycks enligt proj W (y) =UU T y. ON-mtriser, ortogonl mtriser Om U är en n n-mtris vrs kolonner bildr en ortonormerd bs, så är Col(U) =R n.av sts 0 följer, tt för ll y R n gäller y = proj R n(y) =UU T y = I y, dvs UU T = I. Enligt sts 6 gäller också Slutsts: U T U = I. U T = U om U är en kvdrtisk mtris med ortonormerde kolonner. En sådn mtris klls för en ON-mtris eller ortogonl mtris. Föreläsning 7
11 Grhm-Schmidt-ortogonlisering Sts Givet en bs {, 2,...,p} för ett underrum W till R n,låt v = v v2 = 2 2 v v v v2 v 3 v2 v2 v2 v3 = 3 3 v v v. vp v2 p v p vp vp v p v 2 v2 v2 vp = p p v v v Dåär {v, v2,...,vp} en ortogonl bs för W. Ortonormerd bs Vi kn nturligtvis lätt skp en ortonormerd bs, efter Grhm-Schmidt-ortogonliseringen, genom tt normer bsen. QR-fktorisering Sts 2 Om A är en m n-mtris med linjärt oberoende kolonner, så kna fktorisers enligt A = QR där Q är en m n-mtris vrs kolonner är en ortonormerd bs för Col(A), ochr är en övertringulär n n-mtris. Minstkvtdrtproblemet Om A är en m n-mtris och b är en vektor i R n,såär minstkvdrtlösningen till A = b en vektor ˆ i R n så tt b A ˆ b A för ll i R n. Sts 3 Mängden v minstkvdrtlösningr till A = b smmnfller med den icke tomm mängden v lösningr till normlekvtionen A T A = A T b. Sts 4 Mtrisen A T A är inverterbr om och endst om kolonnern i A är linjärt oberoende. Om såär fllet hr minstkvdrtproblemet A = b endst en lösning ˆ, som ges v ˆ =(A T A) A T b. Sts 5 Om A är en m n-mtris med linjärt oberoende kolonner, och A hr QRfktorisering A = Q R, så hr ekvtionen A = b minstkvdrtlösning ˆ = R Q T b. Föreläsning 8 Definition: inre produkt, inreproduktrum En inre produkt i ett vektorrum V. är en funktion som givet två vektorer u och v i V, ger tillbk ett reellt tl u, v, och som dessutom uppfyller följnde räknelgr:. u, v = v, u 2. u + v, w = u, w + v, w 3. cu, v = c u, v 4. u, u 0, och u, u =0 u = 0. Ett vektorrum med inre produkt, klls för ett inreproduktrum. Känd begrepp i ny tppning I ett inreproduktrum V definiers längden eller normen v en vektor v v = v, v. Uppenbrligen gäller då också tt v 2 = v, v. En enhetsvektor är en vektor vrs längd/norm är. Avståndet melln två vektorer u och v är u v. Vektorern u och v är ortogonl om u, v = t Sts 6: Cuchy-Schwrz olikhet För ll u, v V gäller u, v u v. Sts 7: Tringelolikheten För ll u, v V gäller u + v u + v.
12 Symmetrisk mtriser Föreläsning 9 En symmetrisk mtris är en mtris vrs element ovnför digonlen är en spegelvänd upplg v elementen under digonlen. Dett innebär tt A är symmetrisk om och endst om A = A T. Eempel på symmetrisk mtriser 2 3 2, 2 4 5, Sts Om A är symmetrisk, så är två egenvektorer som hör till olik egenvärden, dvs är hämtde från olik egenrum, lltid ortogonl. Ortogonlt digonliserbr mtriser En mtris A sägs vr ortogonlt digonliserbr om det finns en ON-mtris (ortogonl mtris) P och en digonlmtris D så tt A = PDP T. Eftersom P T = P för ON-mtriser innebär det A = PDP T = PDP. Sts 2 En n n-mtris är ortogonlt digonliserbr om och endst om A är symmetrisk. Sts 3: Spektrlstsen En symmetrisk n n-mtris A hr följnde egenskper:. A hr n reell egenvärden, om mn räknr dem med multiplicitet. b. Dimensionen hos egenrummet för vrje egenvärde λ är smm som multipliciteten hos λ. c. Egenrummen är ortogonl mot vrndr, i den meningen tt två egenvektorer från olik egenrum är ortogonl. d. A är ortogonlt digonliserbr. Kvdrtisk former En kvdrtisk form i R n är en funktion Q : R n R som kn beräkns v ett uttryck på formen Q() = T A, där A är en symmetrisk n n-mtris. Eempel: Q() = = Q() = = 3 /2 /2 2 3 /2 8 /2 2 /2 /2 3 3 Uppenbrligen hmnr koefficienter frmför kvdrter på digonlen, medn koefficienter för blndde produkter hlvers och läggs på båd sidor v digonlen. Ellips och hyperbel i stndrdposition Ellips och hyperbel ej i stndrdposition 2 y 2 2 y Sts 4 Låt A vr en symmetrisk n n-mtris. Då finns en ON-mtris P som genom vribelbytet = Py omvndlr den kvdrtisk formen T A till en kvdrtisk form y T D y, där D är en digonlmtris, dvs det finns ing blndde produkter. b = 2 b 2 > 0, b > 0 2 y 2 () = 48 2 b = 2 b 2 > 0, b > 0 y (b) = 6 2
13 Grfer v kvdrtisk former 2 2 z z 2 2 () z = (b) z = 3 2 z z 2 2 (c) z = (d) z = 3 7 Definition En kvdrtisk form är. positivt definit om Q() > 0 för ll 0. b. negtivt definit om Q() < 0 för ll 0. c. indefinit om Q() ntr både positiv och negtiv värden. Om Q() 0 för ll 0, säger vi tt Q är positivt semidefinit. Om Q() 0 för ll 0, säger vi tt Q är negtivt semidefinit. Sts 5 Låt A vr en symmetrisk n n-mtris. Dåär den kvdrtisk formen T A :. positivt definit om och endst om ll egenvärden till A är positiv. b. negtivt definit om och endst om ll egenvärden till A är negtiv. c. indefinit om och endst om A både hr positiv och negtiv egenvärden. Föreläsning 20 Båglängd y D p 2. b/ 2 b b C Föreläsning 2 y b Längden v det svrt strecket melln och b klls båglängden och beräkns enligt b s = +(f ()) 2 d.
14 Aren under en polär kurv Om r = f(θ) gäller tt A = 2 β α (f(θ))2 dθ. Båglängd för polär kurv Om r = f(θ), så hr den blå kurvn längd β s = (f (θ)) 2 +(f(θ)) 2 dθ. α En kurv på prmeterform { = f(t) y = g(t) sägs vr gltt eller slät på ett intervll I, om kurvn hr tngentlinje för ll t i intervllet. Sts Låt C vr den kurv på prmeterform som ges v { = f(t) y = g(t) då t är i intervllet I. Om f (t) och g (t) är kontinuerlig på intervllet I, ochf (t) 0på intervllet I, så är C gltt/slät, och dy d = g (t) f (t). På smm sätt gäller tt g (t) 0 d dy = f (t) g (t). Dvs kurvn är gltt/slät, utom möjligtvis i de punkter där både f (t) =0och g (t) =0. Tngenten och normlen till en kurv i prmeterform Båglängd för kurv i prmeterform = f(t) y = g(t) = f(t) y = g(t) Tngenten i prmeterform = f(t 0 )+sf (t 0 ) y = g(t 0 )+sg (t 0 ) Normlen i prmeterform = f(t 0 )+sf (t 0 ) y = g(t 0 ) sg (t 0 ).. Båglängden för den blå kurvn, melln t = och t = b, är b s = (f (t)) 2 +(g (t)) 2 dt.
Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt
Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som
Läs merSamling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018
Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merFunktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum
Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Ett v de stor sprången frmåt i mtemtiken inträffde när Descrtes (96-60) introducerde det rätvinklig koordintsystemet Det blev möjligt tt ngrip geometrisk
Läs merAvsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter
Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?..................... 5.2 Uppmning till läsren v dett häfte............. 5.3 Definitioner, stser och
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merDagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer
Dgens ämnen Repetition: kvdrtisk former oh ndrgrdskurvor Andrgrdsytor System v differentilekvtioner Rng, signtur oh tekenkrktär Sts 9.1.11. Låt Q: E R, dim E = n vr en kvdrtisk form. Då gäller λ min u
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs mer