Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum

Transkript

1 Funktioner som punkter/vektorer i ett funktionsrum Ett v de stor sprången frmåt i mtemtiken inträffde när Descrtes (96-60) introducerde det rätvinklig koordintsystemet Det blev möjligt tt ngrip geometrisk problem med lgebr och nlys och invecklde geometrisk resonemng kunde ersätts med räkningr, där det räckte tt kunn hnter formlern mekniskt Men, som beknt, en bild säger mer än tusen ord (tusen rder räkningr?), så det är lltid en fördel om formler kn ges någon geometrisk tolkning Den linjär lgebrns stor nvändbrhet ligger just i tt även till synes icke-geometrisk storheter, som multiplr v tl (vektorer i R n med n>) och diverse klsser v funktioner, uppför sig (i viss viktig vseenden) som geometrisk vektorer och mnkntänkpådemsom punkter/vektorer i ett mångdimensionellt (oft oändligtdimensionellt) rum De mång dimensionern är ett bekymmer, nturligtvis, men likhetern med D- och D-fllen är ändå stor Något tillspetst skulle mn tex kunn hävd tt Trnsformteori är linjär lgebr för linj diffekvtioner : Metodern kn formulers i den linjär lgebrns språk Den linjär lgebrn kn tjän som kompss i kryssndet melln diverse integrlformler! Vektorrum (linjär rum) Tlmultiplr som vektorer Vi hr sett tt, när väl en bs är fstlgd, så kn vrje geometrisk vektor representers v en multipel v tl, vektorns komponenter med vseende på denn bs: (,, ), (0,, ), etc De två grundläggnde vektoropertionern, ddition och multipliktion med tl, kn då enkelt uttrycks med hjälp v komponentern: + 0 = 8 = 6 Vi kn sedn glömm ll pilr och räkn med tlmultiplr i stället Tänk nu på vektorer som just sådn tlmultiplr! Vi behöver inte inskränk oss till tlpr och tltripplr Det går lik br, dvs smm räknelgr gäller, även för fyrtipler, femtipler osv = = Vi kn rentv räkn med oändlig tlföljder på smm sätt: = 6 6 = 9

2 Funktioner som vektorer Funktionern från nlysen kn vi också tänk oss som ett slgs oändlig följder : funktionen f (x) representers v sin funktionsvärden ordnde så tt pltsen vslöjr rgumentet: f f (0) f f () f (π) (Att det inte är någon riktig följd beror på tt de reell tlen är för mång för tt kunn räkns upp i en följd) Poängen är tt vektoropertionern ddition och multipliktion med tl hr sin nturlig motsvrigheter för funktioner f + g = funktionen som i punkten x ntr värdet f (x)+g(x) λf = funktionen som i punkten x ntr värdet λf (x) med smm räkneregler som för geometrisk vektorer Vi kn därmed tillåt oss ett geometriskt språkbruk Tex kn vi tänk på funktioner som vektorer eller punkter i något mångdimensionellt rum kll uttryck v typen e x +e x för linjärkombintioner v exponentilfunktioner säg tt lösningrn till y 0 (x)+f (x) y (x) =0 Ce F (x), C godtycklig konstnt, F primitiv funktion till f, bildr ett -dimensionellt underrum i rummer v ll funktioner F (x) en rät linje med riktningsvektor e medn lösningrn till y 00 +y 0 +y =0 C e x + C e x, C,C godt konstnter bildr ett -dimensionellt underrum, ett pln som spänns upp v e x och e x Definition Om vi hr en mängd v objekt, på vilken vi hr två opertioner definierde, ) ddition, ) multipliktion med tl, som hr smm egenskper (följer smm räkneregler) som geometrisk vektorer: u + v = v + u λ (u + v) = λu+λv etc så säger vi tt objekten bildr ett vektorrum (linjärt rum) (och tänker på dem som punkter / vektorer i D) Exempel, förutom plnet och D-rummet v geom vektorer: R n ll m n-mtriser ll funktioner på en viss mängd ll funktioner som är kontinuerlig på ett visst intervll ll funktioner som är deriverbr på ett visst intervll ll polynom ll polynom v grd något heltl n

3 Underrum Definition En delmängd v ett vektorrum, somärettvektorrumisigsjälv,dvs ddition och multipliktion med tl leder inte utnför delmängden, kllr vi ett (linjärt) underrum Exempel : De vektorer som är prllell med ett visst pln, utgör ett underrum i D-rummet v ll geom vektorer Polynomen v grd 0 bildr ett underrum i rummet v ll polynom De deriverbr funktionern utgör ett underrum i rummet v ll tänkbr funktioner på ett visst intervll De symmetrisk n n-mtrisern utgör ett underrum i rummet v ll n n-mtriser (eftersom summn v två symmetrisk mtriser, liksom produkten v en sym mtris med ett tl, också är symmetrisk) Bs och dimension Definition En uppsättning vektorer {e, e, e,, e n } klls bs för vektorrummet V, om vrje v V kn, på ett end sätt, skrivs på formen v = v e + v e + + v n e n där v j är tl Obsttvihrtvåkrvhär: ) vrje v det kn sägs betyd tt e j :n måste vr tillräckligt mång, ) på ett end sätt det kn sägs innebär tt vi inte får h någr överflödig e j Definition 4 Antlet vektorer i en bs (tlet n iföregåendedef) kllr vi dimension v vektorrummmet Sts Det kn viss tt ll tänkbr bser för ett visst vektorrum måste h smm ntl element Exempel: Polynom Låt P n = mängden v ll polynom v grd n Vi kn säg tt P n är ett vektorrum v dimension n + Med det mens tt polynom v grd n kn i) dders med vrndr, ii) multiplicers med tl, så tt resulttet är fortfrnde ett polynom v grd n Tex ddition när n =: x + bx + c + px + qx + r = ( + p) x +(b + q) x + c + r (Läses efter högersplten) Oändligtdimensionell rum De flest funktionsrum hr ingen ändlig bs: tex rummet v ll polynom, eller (ännu värre) rummet v ll kontinuerlig funktioner det finns ingen ändlig uppsättning v funktioner, f, f,, f n, sådn tt vrje nnn kontinuerlig funktion f kn frmställs som en linjärkombintion v dess, De två opertionern uppför sig på smm sätt som motsvrnde för geometrisk vektorer (Nollpolynomet svrr mot nollvektorn, tex) En bs utgörs v funktionern,x,x,, x nª Vrje polynom v grd n knpåettochendstettsätt skrivs som en linjärkombintion v dess Bsen hr n+ element dett är rummets dimension f = c f + c f + + c n f n Sådn rum klls därför oändligtdimensionell

4 Linjär opertorer En verklig utvidgning v begreppet linjär vbildning får mn, när mn går utnför rummet R n Tex kn derivtion sägs vr en linjär vbildning, eftersom (Vi låter Df beteckn derivtn f 0 v envribelfunktionen f) D (λ f + λ f )=λ Df + λ Df för ll deriverbr envribelfunktioner f,f och ll tl λ, λ Generliseringen ligger huvudskligen i tt rummet v deriverbr funktioner inte hr någon ändlig bs det finns ingen ändlig uppsättning v funktioner f,f,, f n sådn tt ll deriverbr funktioner kn skrivs som linjärkombintioner v dess n st Definition En vbildning F från ett vektorrum till ett nnt som uppfyller F (λ u + λ u ) = λ F (u )+λ F (u ) Definition 6 En synonym för en linjär vbildning melln ett funktionsrum och rummet v reell eller komplex tl är linjär funktionl? Integrlen över tet fixt intervll smt Dircs delt funktion kn betrkts som linjär funktionler: f (x) Z b f (x) dx f (x) f (0), dvs deltfunktionen δ (x) för ll vektorer u, u och tl λ, λ klls linjär vbildning LåtP n = rummet v polynom v grd n Vis tt derivtion är en linjär vbildning från P till P och representer den med en mtris med vseende på bsern ª,x,x,x ª (i definitionsrummet) resp,x,x (i bildrummet) Lösning: Att vbildningen är linjär är ekvivlent med derivtionsreglern ½ (f + g) 0 = f 0 + g 0 (kf) 0 = kf 0, då k = konstnt som gäller inte br för polynom, men för ll funktioner Polynomen i P representers så här 0 + x + x + x och nlogt för polynomen i P 0 d 0 + x + x + x x = + x + x blir på mtrisform = mtrisen i högerledet är vbildningens mtris reltivt bsern,x,x,x ª resp,x,x ª 4

5 Egenvektorer / egenfunktioner Klokt vl v bs i linjär lgebr Säg tt vi hr fstlgt ett ON-koordintsystem i rummet Reltionen y y y = x x x definierr då en lineär vbildning v punktern i rummet: en punkt med koordintern (x,x,x ) vbilds på punkten med koordintern (y,y,y ) Vd gör denn vbildning? Svårt tt se direkt! Men det knske beror på vårt vl v koordintsystem? Om vi nämligen väljer (,, ), (,, 0) och (,, ) som riktningr för koordintxlrn, så ser smbndet ut som ŷ ŷ = ˆx ˆx idenykoord ŷ 0 0 ˆx Nu ser vi direkt tt det rör sig om spegling, i plnet genom origo med normlvektor (,, ) Hur i ll sin dr hittr mn de här tre ny bsriktningrn? De är egenvektorer till vbildningsmtrisen, dvs vektorer som vbilds på sig själv, så när som på en konstnt fktor: x x = µ x x x x Klokt vl v bs i nlysen Vi vill lös en differentilekvtion v typen y 00 + y 0 + by = f Derivtion (beteckns med D nedn) är en lineär vbildning D (f + g) = Df + Dg D (λf) = λdf Vd hr den för egenvektorer? Exponentilfunktionern det är de som stisfierr egenvektorsvillkoret Df = λf (f (x) = e λx klls en egenfunktion till differentilopertorn D, med egenvärde λ) Med lineär lgebrerferenheter i bgget kn vi förmod tt vi lättre skulle kunn se lösningen om vi gör ett bsbyte och uttrycker ll inblndde funktioner som lineärkombintioner v exponentilfunktioner: Anstsen f (t) = X k y (t) = X k f k e s kt, f k tl y k e s kt, y k tl med, om inte en vnlig summ så något som kn behndls på smm sätt, leder till de lgebrisk ekv s k + s k + b y k = f k Sådn bsbyten i funktionsrum klls oftre trnsformtioner: Fouriertrnsformtion, Lplcetrnsformtion,

6 Definition Om en vektor v 6= 0 i (det möjligen bstrkt ) vektorrummet V vbilds på λv, dvs F (v) = λv, för något tl λ så klls v egenvektor till F med egenvärdet λ (Förutsätter lltså tt F är en vbildning från V till V, och inte till något nnt rum) Definition 8 Om V är ett funktionsrum, brukr mn säg egenfunktion i stället för egenvektor Låt M vr det linjär rummet v ll -mtriser och F den linjär vbildningen från M till M som ges v µ µ b c + c F = c d b c d Bestäm en bs v egenvektorer till F 4 Betrkt trnsltionsopertorn T på P, dvstill vrje polynom p (x) v grd tillordnr vi polynomet p (x ) Skulle mn kunn inse tt mtrisen för denn vbildning inte är digonliserbr, utn tt räkn ut den explicit? Derivtionsopertorn D Egenfunktioner till D skulle vr funktioner f (x) med egenskpen f 0 (x) =λf (x) för ll x Exponentilfunktionern! Vrje exponentilfunktion f (x) =ce λx, c tl 6= 0 är en egenfunktion med egenvärdet λ Trnsltionsopertorn T T f (t) f (t T ),Tfixt tl Egenfunktioner skulle vr funktioner f (t) sådn tt f (t T )=λf (t) Vi kn säg direkt tt ll T -periodisk funktioner, dvs funktioner som uppfyller f (t T )=f (t) för ll t, är egenfunktioner med egenvärdet Men finns det fler? J, återigen ll exponentilfunktioner f (t) =e st är också egenfunktioner, med egenvärdet e st, eftersom e s(t T ) = e st e st Men finns det ännu fler? Svret är inte uppenbrt, så jg vstår! 6

7 Sklärprodukt v funktioner Även sklärprodukten går tt utvidg till tlmultiplr med fler komponenter: tex (0,,,, 4) (9, 8,, 6, ) = = Vi hr visserligen inte längre någon vinkel tt t på, men som tidigre gäller () x y = y x () (x + x ) y = x y + x y (b) (λx) y =λ (x y) () x x 0, vilket tillåter oss tt definier x som x x (b) x x = 0 endst om x = 0 Däremot kn vi inte (lik enkelt) generliser vektorprodukten x y dessdefinition är hårt knuten till vårt tredimensionell rum Funktioner då? Antg tt f (x) och g (x) är båd definierde på intervllet (, b) Kontroller tt (vi skriver hf,gi i stället för f g för tt undvik risken för smmnblndning med vnlig multipliktion, smt för tt det är en vedertgen beteckning) hf,gi = Z b f (x) g (x) dx uppfyller reglern () () ovn! Även (b) gäller så länge vi håller oss till kontinuerlig funktioner Cuchy-Schwrz olikhet I det tredimensionell fllet hde vi lltid eftersom x y x y x y = x y cos (vinkeln emelln) och cos ger värden melln och endst Nu kn vi fktiskt vis tt denn olikhet följer utomtiskt v räknereglern ovn, så tt vi hr Cuchys olikhet: b + b + + n b n q q n b + b + + b n Schwrz olikhet: Z s s b Z b Z b f (x) g (x) dx f (x) dx g (x) dx Bevis: Låt x och y vr två godtycklig, men fix vektorer () ger (tx y) (tx y) 0 för ll reell t () och () tillåter oss tt skriv om vänsterledet: (x x) t (x y) t +(y y) 0 för ll reell t Vi hr i vänsterledet ett ndrgrdspolynom i t nollställen är q t =(x y) ± (x y) (x x)(y y) Dess Men nu är det lltså så tt dett polynom ldrig ntr negtiv värden Då hr det ntingen ing reell rötter lls, eller en dubbelrot tänk på hur en ndrgrdskurv ser ut! Således måste uttrycket under rottecknet vr 0, dvs (x y) (x x)(y y) 0 vilken är olikheten som vi vill vis, fst i kvdrerd form För vilk x, y kn likhet inträff? När det finns en dubbelrot, dvs när det finns ett reellt t sådnt tt (tx y) (tx y) =0 vilket enligt (b) inträffr endst då y =tx I det tredimensionell fllet är dett liktydigt med tt x och y är prllell, och vi kn väl fortsätt tt nvänd det ordet Med en tringel som inspirtion och lösningsformeln för ndrgrdsekvtioner hr vi härlett en olikhet för integrler!

8 Vis tt det likriktde medelvärdet v en ström lltid är effektivvärdet! 6 Bestäm det minst värdet v under bivillkoret x + x + + x n x + x + + x n = Gör en geometrisk tolkning för n =och n = Om mn grnskr beviset litet noggrnnre, så skll mn upptäck en liten luck Kn du täpp till den? Avstånd Cuchy-Schwrz olikhet ger oss nledning tt kll x y för vståndet melln x och y Vd är nämligen det mest krkteristisk för vstånd? Tringelolikheten! (vst mln x och z) (vst mln x och y)+(vst mln y och z) Och vi kn nu vis tt x z x y + y z för ll x, y, z Låt nämligen, för korthetens skull, u = x y v = y z och observer tt olikheten är ekvivlent med sin kvdrerde form, eftersom båd leden är positiv, så hr vi x y = u + v = = (u + v) (u + v) = = u +(u v)+ v u + u v + v = = ( u + v ) =( x y + y z ) 8