14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler
|
|
- Ann-Sofie Hedlund
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx) på intervllet [, b], enligt följnde figur. 3 3 x Arenundergrfenförfx), melln och b. Men denn re kn också tolks som en dubbelintegrl. Om vi kllr området i figuren för, dvs = {x, ) : fx), x b}, och integrerr en funktion vrs höjd är så är ju dess volm lik med bsren, eftersom volmen är bsren gånger höjden. Alltså: volmen är i dett fll bsren gånger ett. enn dubbelintegrl, som lltså på en gång representerr volmen v en kropp och ren v en t eftersom höjden överllt är ), kn teckns som följer: ZZ ZZ dxd = dxd. Om vi integrerr den med upprepd integrtion får vi mcket riktigt tillbk den gml enkelintegrlen R b fx)dx. å måste vi integrer i -led först eftersom gränsern i beror på x :
2 ZZ dxd = {-integrtion} = {insättning v gränser} = = Z b Z fx) Z b Z b Z b [] fx) dx d)dx fx) )dx fx)dx. Med dubbelintegrler kn vi med itererd integrtion integrer områden v tpen = {x, ) :gx) fx), x b}, dvs områden som är begränsde v två funktioner i den en riktningen, och konstnter i den ndr. Vi klrr mer generell områden än dett genom tt del upp i delområden v denn tp. et är därför prktiskt tt definier ren A) v ett generellt område som ZZ A) = dxd. ett skrivsätt är oberoende v om hr den ovn beskrivn integrbl formen gx) fx), x b) eller inte. et är lltså en dubbelintegrl med den mcket enkl integrnden. T en kropp med höjden överllt över ett visst tvådimensionellt område hr en volm som är lik med ren v det tvådimensionell området... ubbelintegrl som mssn v en skiv Men en dubbelintegrl måste inte representer en volm, även om det är den tillämpning som vi oftst hr frmhållit. En dubbelintegrl kn också representer den totl mssn v en skiv, där msstätheten i punkten x, ) är fx, ). Om vi tittr på en liten rut {x i <x<x i+, j <<x j+ }, så är dess re x i+ x i ) j+ j ), och dess mss är ungefär fx i, j )x i+ x i ) j+ j ) eftersom f är msstätheten. Om indelningen är liten och f kontinuerlig i rutn så vrierr inte f:s värden i rutn, så värdet fx i, j ) i ett hörn i rutn) ger inte stort fel. en summ vi får när vi dderr mssn i ll rutor är en Riemnnsumm. När finheten går mot noll får vi ZZ fx, )dxd, som lltså här representerr inte volmen under en t utn totl mssn v en skiv med vriernde msstäthet fx, ).
3 ..3 Trippelintegrl mss hos en kropp och volm För tt beräkn totl mssn v en tredimensionell kropp där msstätheten vrierr i kroppen, beskriven v en funktion fx,, z) v tre vribler, behöver vi summer bidrgen över tre dimensioner inte br två dubbelintegrl) eller en enkelintegrl), som tidigre. et är en tillämpning v en trippelintegrl. En trippelintegrl kn lltså beteckn msstätheten i en tredimensionell kropp med msstätheten fx,, z). Trippelintegrlen kn också tolks som måttet v en frdimensionell volm begränsd melln en tredimensionell volm och xz-rmden. ett är inget problem för mtemtiken, men eftersom vi upplever tre rumsdimensioner i vår tillvro är vi inte lls vn vid fr rumsdimentioner, och dett upplevs som en esoterisk tolkning v trippelintegrl. Anlog med hur ZZ vi ovn definierde ren v ett område R som dubbelintegrlen dxd, kn vi definier volmen v ett område R 3 som V ) = dxddz. Här hr vi "höjden" lik med i den extr dimensionen, vilket gör tt måttet v denn frdimensionell volm är lik med måttet i den lägre dimensionen, som är den tredimensionell volmen.. Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler Helt nlogt med dubbelintegrlen för en funktion v två vribler, kn mn för en funktion v tre vribler fx,, z) på ett område i R 3 definier trippelintegrlen som gränsvärdet för Riemnnsummor X fx i, i,z i )V R i ), i där {R i } är en smling rätblock { i x i A i,b i i B i,c i z i C i } som täcker. Överlppet melln vrje pr v rätblock måste h volm noll de får h högst en sid gemensm. Rätblock nummer i hr då volm V R i )= A i i )B i b i )C i c i ) längen gånger bredden gånger djupet. Punkten x i, i,z i ) är någon punkt i R i. Noter tt R i är de punkter som ligger i rätblocksunionen men inte i, medn R i är de punkter som ligger i men inte i rätblocksunionen. ess två mängder måste krmp mot noll, t rätblocksunionen sk ju uppsktt. Om vrje gränsövergång går mot smm tl då indelningens finhet och volmen v mängden R i ) R i ) går mot noll, så är f integrerbr. et tl som gränsövergången går mot beteckns med trippelintegrlen fx,, z)dxddz : 3
4 X fx i, i,z i )V R i ) fx,, z)dxddz. i ett definierr trippelintegrl, helt nlogt med enkelintegrl och dubbelintegrl..3 Itererd integrtion En trippelintegrl v en integrerbr funktion fx,, z) på ett område i R 3 som är ett rätblock rätblock = { x A, b B,c z C} ger tre enkelintegrler med konstnt gränser. Emellertid kommer först integrtionen oftst tt innehåll två vribler som behndls som konstnter de två som inte integrers med vseende på), ndr integrtionen innehåller en konstnt och den tredje integrtionen är en vnlig enkelintegrl. Sts Om f är integrerbr på = { x A, b B,c z C}, så kn trippelintegrlen beräkns med itererd integrtion: fx,, z)dxddz = Z A Z B b Z C fx,, z)dz)d)dx. c I denn formulering görs lltså x först, därefter först, därefter z. en itererde integrtionen kn lterntivt utförs i någon v de ndr fem ordningrn: x z, x z, z x, z x eller z x. I värst fll kn integrtionen utförs i br en v de sex möjlig ordningrn. Om den kn utförs i fler v dem så kommer de ll tt ge smm resultt, t det är br olik sätt tt beräkn smm kvntitet: det som Riemnnsummorn konvergerr mot. Integrlen kn också skrivs utn prenteser på följnde sätt: Z A Z B Z C fx,, z)dxddz = dx d fx,, z)dz eller fx,, z)dxddz = Exempel 96b) Beräkn x,, z }. b Z A Z B Z C b c c fx,, z)dxddz. x + + z )dxddz där är kuben = { Lösning: Vihr x + + z )dxddz = x dxddz + dxddz + z dxddz,
5 och v smmetriskäl måste de tre integrlern vr lik. Området är smmetriskt, och mn kn bt vribler i en v dem för tt få en nnn v de tre. Således: x + + z )dxddz = 3 x dxddz Z + Z + Z + = 3 dx d x dz Z + Z + {först integrtionen} = 3 dx [z x ]+ d {insättning v gränser för z} = 3 {ndr integrtionen} = 3 {insättning v gränser för } = 3 Z + Z + Z + dx Z + x d [ x ]=+ = dx x dx {tredje integrtionen} = 3[ ln x] + = 3 ln +) ln { ln är } = 3 ln +). et är svårre tt gör meningsfull figurer för integrtionsområdet för en trippelintegrl. Svr: x + + z )dxddz =3 ln +). et är klrt tt inte ll gränsern behöver vr konstnt vi kn integrer över ndr områden än rätblock. Här integrerr vi i först integrtionen melln två tor z = cx, ) och z = Cx, )), vrefter vi hr en dubbelintgrl. en löses genom tt integrer melln två kurvor = bx) och z = Bx)), följt v två konstnter x = och x = A). Sts 3 Om f är integrerbr på = { x A, bx) Bx),cx, ) z Cx, )}, så kn trippelintegrlen beräkns med itererd integrtion: fx,, z)dxddz = Z A Z Bx) Z Cx,) bx) cx,) fx,, z)dz)d)dx. Exempel 96e) Beräkn x z 3 dxddz om begränss v z = x, = x, x =och z =.. Lösning: Vriblern x och begränss v x =och = x. essutom sk z = x vr positiv vi hr gränsen z =), så vi får också krvet. Så z 5
6 går melln och x över tringeln i x-plnet som bestäms v x = till x = och då =till =. ett är gränsern. z x z = x och z = x z 3 dxddz = {först integrtionen, i z-led} = {insättning v gränser} = Z Z {ndr integrtionen, i x-led} = d d Z Z Z Z Z d dx Z Z x x z 3 dz [x z ] x dx x 5 6 dx [x ] x= x=d {insättning v gränser} = 6 )d {tredje integrtionen, i -led} = 7 3 ) Svr: 36. = Vribelsubstitution i trippelintegrler Om xu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) är en inverterbr vbildning från R 3 till E R 3 så är dess jcobin följnde mtris v förstderivtor, som vi hr minst) tre skrivsätt för: x u x v x w u v w x,, z) = = Ju, v, w). zu zv zw u, v, w) 6
7 eterminnten v jcobinen är funktionldeterminnten: F u, v, w) =det x u x v x w u v w, zu zv zw och beskriver den lokl volmsförstoringen dvs volmsförstoringen när punkten u, v, w). Sts 5 Om xu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) är en inverterbr och differentierbr vbildning från integrtionsområdet till ett område E, och f är integrerbr på, så gäller ZZ ZZ fx,, z)dxddz = fxu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) F u, v, w) dudvdw. E I integrnden bsolutbeloppet får vi en fktor som är den lokl volmförstoringen Ju, v, w) ), på liknnde sätt som vi för en dubbelintegrl fick bsolutbeloppet v den lokl tförstoringen som en fktor i integrnden. Mn kn säg tt dxddz = F u, v, w) dudvdw. enn likhet kn ges en strikt mtemtisk mening, och hr konkret mening i en Riemnnsumm, i vilket fll vi kn ersätt dx, d och dz med små tl x, och z som är sidor i ett litet rätblock. å är vänsterledet x z volmen v rätblocket, u v w är volmen v motsvrnde rätblock efter substitutionen, och fktorn F u, v, w) är den lokl tförstoringen, som också kn skrivs x z u v w. Alltså F u, v, w) x z u v w. Så x z = F u, v, w) u v w är högst rimligt. Exempel 6 9q) Beräkn x z)dxddz över området som begränss v plnen x + + z =,x+ z =,x z =och x z =. Lösning: Enklste sättet tt hnter geometrin är här tt sätt u = x++z, v = x + z och w = x z. å blir u =,v=och w =gränstor till området, och gränser i den itererde integrlen efter vribelsubstitution. Men vd blir tn x z =i vriblern u, v, w? Vi löser ut x och som funktioner v u, v och w, det behöver vi även för tt uttrck integrnden x z i u, v, w. Subtrktion v u = x+ +z och v = x+ z ger z = u v, lltså z = u v. Subtrktion v v = x + z och w = x z ger = v w, lltså = v w 7.
8 Kvr är tt lös ut x. Från w = x z får vi x = w + + z, och insättning ger x = w + v w + u v = u + w. Så tn x z =är u + w u v =, lltså u+ v+w =. ett är ett pln som skär koordintxklrn i u, v, w) =,, ),,, ) och,, ). ärmed kn vi bestämm den itererde trippelintegrlens gränser. Om vi integrerr w först sk då w gå melln w =och dett pln, dvs w = u v. ett plns skärning med w =är u + v =, som ger gränsern i ndr integrtionen. Tr vi den i v-led så blir gränsern från v =till v = u. Slutligen blir då gränsern i u-led u =till u =. Integrnden blir x z = u + w = w. Funktionldeterminnten är u, v, w) x,, z) = v w u v =. Så x,,z) u,v,w) =, och dxddz = dudvdw. Vi får då integrlen x z)dxddz = E w dudvdw, 8
9 vilken kn beräkns som itererd integrl: x z)dxddz = Z Z u {w-integrtion} = {insättning v gränser} = 8 Z u v Z Z u [ w ] u v Z Z u Z wdw)dv)du dv)du u v) dv)du {v-integrtion} = [ 8 3 u v)3 ] u dv)du {insättning v gränser} = Z u u))3 u)3 )du {förenkling} = Z 8 u3 3 u + 3 u )du {u-integrtion} = [ 3 u u3 + 3 u u] {insättning v gränser} = +3 ) =. Svr: x z)dxddz =... Clindrisk koordinter Polär koordinter är en tvådimensionell vribelsubstitution. Polär koordinter i tre dimensioner där br z-koordinten får häng med oförändrd klls clindrisk koordinter. Alltså: x = r cos θ = r sin θ z = z Geometriskt kn vribelsubstitutionen känns igen på dess koodinttor: r =konstnt, θ =konstnt och z =konstnt. Om dess tor är begränsningr i en trippelintegrl så tlr det för tt clindrisk koordinter bör nvänds, t då blir motsvrnde integrtionsgränser konstnter. Ytorn z =konstnt är givetvis pln prllell med x-plnet. En koordintt θ =konstnt kommer från motsvrigheten för polär koordinter: som är en stråle från origo med vinkel θ till positiv x-xeln. Eftersom ekvtionen θ =konstnt inte sätter något villkor för z, är ll z under och över strålen tillåtn. et ger ett hlvpln som "strtr" i z-xeln och hr vinkel θ till positiv x.xeln.. 9
10 En koordintt r =konstnt är en clinder med z-xeln som centrumxel. en "ärvs" från polär koordinter, där r =konstnt är en cirkel med centrum i origo. Eftersom värdet på z inte begränss på något sätt v en ekvtion r =konstnt stisfiers denn ekvtion v ll möjlig värden på z uppåt och neråt), vilket ger en clinder från cirkeln. För tt gör en vribelsubstitution med clindrisk koordinter behöver vi dess funktionldeterminnt. en är lätt tt beräkn: det x r x θ x z cos θ sin θ r θ z = r sin θ rcos θ zr zθ zz. Tredje rden och tredje kolonnen består v enbrt nollor utom en ett vilket vspeglr tt clindrisk koordinter är en tvådimensionell substitution som också kn nvänds i tre dimension. Om determinnten utveckls längs tredje rden så fås cos θ sin θ r sin θ rcos θ = cos θ sin θ r sin θ rcos θ. vilket är precis funktionldeterminnten för polär koordinter i två dimensioner. Vi hr redn beräknt den till r. Således gäller för clindrisk koordinter tt dxddz = rdrdθdz. Exempel 7 Beräkn x + +z dxddz där är området som begränss v x +, x, z och x +. Lösning: Området är en del v en clinder, och begränss v enbrt koordinttor för clindrisk koordinter. Begränsningen = x + svrr mot θ = π, =x svrr mot θ = π,ochx + säger tt r. z.5 x
11 ett ger området E = {r, θ, z) : r, π θ π, z }: x + + z dxddz = x + + z rdrdθdz = {r-integrtion} = {insättning v gränser} = = E Z Z Z π π Z π π Z Z π π Z π Z r + z rdr)dθ)dz [ lnr + z)] r= r=dθ)dz π Z dθ ln + z) ln z)dθ)dz ln + z) ln z)dz = π π ))[z +)lnz +) zln z]r= r= = π3 ln 3 ln ln+ln) = π3 ln 3 ln) = π ln 9 8. Vi nvände i sist integrtionen tt R lnx + )dx =x + )lnx + ) x + C med =och =.
13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs mer16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga
Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs mer15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar
Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs merMA002X Bastermin - matematik VT16
MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:
Läs merFöreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation
Föreläsning, Numme K2, 72 GNM Kp 6 Integrler & GNM 8:C Richrdsonextrpoltion yc yd y y y2 yb H c d b A = H ( ) y +y 2 = H 2 { h 2 y + } A = A +A 2 +A = 2 y 2 = h 2 y +y c +y d + 2 y b 2 (y +y c )+ h 2 (y
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt
Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som
Läs merTentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs mer11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution
Nr, april -5, Amelia ubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution. Itererad integration tterligare eempel Eempel (97k) Beräkna ( ) och ( ). ( 8) dd om begränsas av, 5 3.75.5.5.5.5 3.75
Läs mer