Lösningsförslag, preliminär version april 2017(reservation för fel) Högskolan i Skövde
|
|
- Per-Erik Axelsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 , preliminär version.3 april 7reservation för fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: kl 8:3-3:3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg 3 krävs minst 7 poäng från uppgifterna, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 7 duggaresultatlista bifogas. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från minst 5% poäng från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% 8 poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt betyg 3 5 krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.
2 . Låt fx 4 x a Vilken är den största möjliga definitionsmängden domain D f för f? Givet att vi kräver reella tal som argument och värden. b Vilken är värdemängden range till f? c Är f en inverterbar funktion? Kan man göra en restriktion av f dvs minska definitionsmängden så att restriktionen blir inverterbar, och i så fall hur? Ge också uttryck för inversen till denna restriktion. a Eftersom u är definierad precis för u så är fx definierad precis om x x x x. Definitionsmängden för f är alltså intervallet [, ]. b x x x 4 4 x. Värdemängden för f är alltså intervallet [ 4, ]. c För att en restriktion av fx skall vara inverterbar behöver vi restringera den till en delmängd D av [, ], så att det för varje y [ 4, ] finns precis ett x D så att fx y. Eftersom fx f x så kan vi till exempel ta D [, ]. Då får vi, för x, om vi kallar restriktionen f, att y f x y 4 x x y /6 x y /6 x y /6, Alltså är f y y /6. Om vi istället restringerar f till f definierad på [, ], så får vi f y y /6. 3
3 . Låt fx 3x + 45x 5 x. + x Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. Tips: Se formelbladet för gränsvärden som kan behövas. a lim fx x b lim c x fx lim fx x + a När x så 5 x, medan 3x och 5 x + 3 3x x lim fx lim x x 5 x 4 + x 3 lim 5 x ln 5. x x 3 b När x så 5 x, men vi behöver förkorta med x. lim fx x lim x 5 x 3x x lim + x x 5 x 5 x x c När x + så 5 x +, vi behöver förkorta dels med x, dels med 5 x. lim fx x + lim x + 5 x 3x x lim + x x x + 5 x x
4 3. Ekvationen x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten x, y,. Bestäm kurvans tangentlutning i denna punkt Ekvationen x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 ger en ekvation för / om vi deriverar implicit. Högerledet är konstant, och har alltså derivata noll, medan det för derivatan av vänsterledet gäller att d x 3 y + y 3 + arctan x 3x y + x 3 + 3y + x + x 4. Med x, y, får vi alltså ekvationen Betrakta funktionen fx lnx x + 3, definierad på, a Bestäm eventuella lokala extremvärden till fx, för vilka x de antas och om de är minima eller maxima. b Utred ifall fx har något absolut maximum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. a Vi studerar derivatans teckenväxling. För fx lnx x + 3 har vi f x Om vi kvadratkompletterar nämnaren, d x x + 3 x x x x + 3 x x + 3 x x + 3. x x + 3 x + ser vi att den är positiv för alla x vilket ju också är ett måste för att fx ska vara definierad för alla x.. Vi har alltså att f x < då x < och f x > då x >. fx har alltså ett lokalt minimum f ln då x. b För att utreda eventuella absoluta extremvärden, behöver vi bara, eftersom f är kontinuerlig, förutom den lokala extrempunkten undersöka beteendet då x. Eftersom lim u + ln u +, och x x både då x + och x, så gäller lim fx + och lim x fx +. x + Pga kontinuiteten har alltså fx ett absolut minimum f ln, men inget absolut maximum, den är istället obegränsad uppåt. 5
5 5. Bestäm värdet som funktion av a av integralen a e x e x +. Vi gör lämpligen variabelsubstitutionen u e x som medför att du du ex och att a e x e a e x + e u du [arctan u]uea u + arctan ea arctan arctan e a π 4. 6
6 6. En behållare fylls på med vätska med flödet volym påfylld vätska per tidsenhet Q at k e t/k där a 6 liter/s, k s och t är tiden sedan behållaren börjar fyllas, från att ha varit tom. Alltså är Q 3xe x/ liter/s efter t x sekunder om vi fyller i numeriska värden på koefficienterna. a Beskriv med en integral hur mycket vätska som fyllts på under tiden T. b Utveckla integralen till en funktion av T. c Kan behållaren vara så stor att den aldrig blir full? Hur mycket behöver den då som minst rymma? a Volymen påfylld vätska är b T T T ft dt T T at ft dt k e t/k dt a te t/k dt a k k T a T e T/k + e t/k a T e T/k k at k e t/k dt a T te t/k dt. k [ t k e t/k] T [e t/k] T T k e t/k a k k + T e T/k c Eftersom flödetft är positivt för t > a >, k > så kommer volymen att växa med tiden. Vi undersöker gränsvärdet då T +. lim a k k + T e T/k ak lim T + T + + T/ke T/k ak lim + xe x x + ak, eftersom lim x + pxe x om px är ett polynom. Volymen vatten i behållaren stiger alltså mot gränsvärdet ak liter. En behållare behöver rymma minst liter för att inte bli full. 7
7 7. Visa att y ln x + C x för varje konstant C. löser differentialekvationen x + xy, Om ln x + C x så är d så ln x + C vilket var vad vi ville visa. x x d ln x + C ln x + C x x x ln x C x x + xy ln x C + ln x + C, ln x C x, 8. Bestäm en lösning y fx till differentialekvationen som uppfyller villkoret f. y3/ x 3 Vi kan först notera att y konstant, löser differentialekvationen, men uppyller inte begynnelsevillkoret. Om y > så har vi y3/ x 3 y 3/ x 3 y / 4 x4 + C 3 y / 8 x4 + C C C / 4 y C 8 x4. 5 Sätter vi x och y i 4 får vi att C. Vår sökta lösning är alltså för x < 8 /4 C 8 x4 >. y 8 x4, 8
8 9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen x + y cos 3x. Ekvationen är linjär och vi har att x + y cos 3x + x y cos 3x, x så vi bör använda en integrerande faktor e x den ursprungliga ekvationen e ln x x för x > men landar då på x + y cos 3x d xy cos 3x xy cos 3x xy 3 sin 3x + C y vilket gäller dels för x >, dels för x <. sin 3x + C, C 3C 3x 9
9 . a [p] Bestäm den allmänna lösningen y yx till den homogena differentialekvationen y + 4y + 5y. b [p] Bestäm lösningen y yx till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 5y x, y, y. a Vi har att y e rx löser y + 4y + 5y om och bara om r + 4r + 5, och Vi får då den allmänna lösningen där A och B är allmänna konstanter. r + 4r + 5 r ± ± i. y C e +ix + C e ix e x A cos x + B sin x. b Allmänna lösningen till y +4y +5y x är y y p +y c, där y p är en partikulärlösning och y c den allmänna lösningen till komplementärekvationen y + 4y + 5y, som vi bestämt i a. För att bestämma en partikulärlösning ansätter vi y p ax + b och har då y p + 4y p + 5y p + 4a + 5ax + b 5ax + 4a + 5b, där vi alltså ska ha 5a, 4a + 5b, a /5, b 4a Den allmänna lösningen är alltså y 5 x e x A cos x + B sin x, där A och B är allmänna konstanter. Dags att bestämma värdena på dessa så att begynnelsevillkoren y y. Vi har att y d 5 x e x A cos x + B sin x 5 e x A cos x + B sin x+e x A sin x + B cos x, så y A, y A + B. 5 Då har vi att y, y, A, A + B, 5 A 9 5, B A
10 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.
11 . Visa, genom lämpliga uppskattningar, a att och b, lite bättre, att e / + e / e x / e x /. Se till att motivera att uppskattningarna verkligen gäller. För integraler gäller att om gx fx hx för alla x i intervallet [a, b] så är b a gx b a fx b a hx. På så sättt kan undre och övre begränsningar av integranden ge en undre och övre begränsning av en integral. a På intervallet [, ] är fx e x / växande som funktion av x, vilket vi kan se till exempel genom att notera att derivatan Alltså gäller på intervallet [, ] att d e x / xe x / < för x >. e / f fx f. Därför måste e / dvs e / b För fx e x / är andraderivatan fx e x /., f x d xe x / xe x / + x e x / xx e x / negativ om < x <. Det betyder att f är nedåt konkav på intervallet på intervallet,, så för den linjära funktionen lx f + f f x gäller att lx fx för x. Alltså är fx lx så vi kan skärpa uppskattningen från a till f + f + e /, + e / e x /.
12 . Bestäm y ft som löser differentialekvationen dt ky y t + a för konstanta a >, k >, med begynnelsevillkoret f. Differentialekvationen dt ky y t + a är separabel, vi har, för t > a och < y < att yy k dt t + a dt ky y t + a 6 7 För att utveckla integralen i vänsterlledet gör vi lämpligen en partialbråksuppdelning med ansatsen yy A y + B Ay + By y yy För att A + By A, som polynom i y behöver vi ha A + B, A, Vi har då, för < y < att / yy y + / y ln y + ln y + C A /, B /. A + By A, yy ln y ln y + C y >, y < y ln y + C, och för t > a att k dt t + a k ln t + a + C k lnt + a + C. 3
13 Alltså är, för < y < och t > a, ky y 8 dt t + a y ln k lnt + a + C 3 9 y y t + a k e C 3 y y Ct + a k C e C 3 y y Ct + a k y + Ct + a k y 3 För ft +Ct+a k y har vi. 4 + Ct + a k f + Ca k + Cak Ca k C a k, så vår sökta lösning är y + a k t + a k + + t k. a 4
14 3. En solid svarvad detalj rotationssymmetrisk är mm lång och tvärsnittet x mm från ena änden är en cirkelskiva med radien cos π x mm. Beräkna volymen av stångens gods. Uttrycket kan få innehålla π som en faktor, t.ex. + 8π mm3. 6 Volymen, i mm 3 ges med skivmetoden av integralen π cos π x π π π 4 4 cos π 6 x + π cos 6 x 4 4 cos π 6 x + + cos π 3 x π 45 4 cos π 6 x + 5 cos π 3 x [ 45x 4 6 π sin π 3 x π cos π 3 ] π 45 sin π + sin 4π + sin π π π eller ekvivalent, 54π 7 cm π sin π π. 5
15 4. Skissa kurvan y x + + x + x 3 med eventuella asymptoter och lokala maximi- och minimipunkter angivna. Vi har att fx x + + x + x 3 x+ x 3 om x <, om x, x+ x 3 om x >, x 3 odefinierad om x 3. är kontinuerlig för x < 3 och för x > 3. Dess derivata är 8 om x <, x 3 f odefinierad om x, x 8 om x >, x 3 x 3 odefinierad om x 3. Vi kan sammanfatta derivatans tecken och därmed funktionens växande i en tabell x 3 f x odef + odef + fx odef Vi konstaterar att f x < om x <, f x > om < x < 3, och f x > om x > 3. Vi kan också notera att samt att lim f x, x lim f x, x + lim f x +, och lim f x +, x 3 x 3 lim fx +, och lim f x, x 3 x 3 lim och lim. x x funktionen f har alltså ett lokalt minimum f, men inga lokala minima, däremot asymptoter enligt ovan och sammanfattat i figuren nedan. 6
16 y x 3 y fx y x + y y fx y x y x + -, lokalt max SK, april 7 7
17 The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result grade 3 at least 7 points are needed from problems Part I, among these at least 3 points from problems 8. Each of these problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests dugga instead of giving a solution to the exam problems. The results from the pre-tests are found appended. In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% points in part II problems 4. For grade 5 at least 75% 8 points in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course grade 3 5 at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in seminars during the course.. Låt fx 4 x. Let a Find the largest possible domain D f of f? Given that we request real numbers as both values and arguments. b What is the range of f? c Is f invertible? Is it possible to restrict f make the domain smaller so that the restriction will be invertible? In that case, find an expression for the inverse. fx 3x + 45x 5 x. + x Find the following limits, if they exist. The limit may be a number, +, or. If a limit exists, state its value, otherwise, motivate why it doesn t exist. Hint: See cheat sheet for formulas for limits that might be needed. a lim fx x b lim c x fx lim fx x + 8
18 3. The equation x 3 y + y 3 + arctan x + π 4 defines a curve in the xy plane and contains the point x, y,. Find the tangent slope at this point. 4. Consider the function fx lnx x + 3, defined in, a Find any local extrema of fx, and whether they are minima or maxima. b Investigate whether fx has any absolute global maximum or minimum, and in that case, the value of this maximal or minimal value. 5. Find the value as an expression in a of the integral a e x e x A container is filled with liquid with the flow rate volume per time unit Q at k e t/k where a 6 liter/s, k s and t is the time since the start of filling. That is, Q 3xe x/ liter/s at t x seconds, if we substitute numerical values for the coefficients. a Describe the amount volume of liquid filled during time T, as an integral. b Evaluate the integral to a function expression of T. c Is it possible that the container will never be full? In that case, what is the minimal volume it needs to hold? 7. Show that y ln x + C x for any constant C. solves the differential equation x + xy, 8. Find a solution y fx of the differential equation y3/ x 3 which satisfies the initial condition f. 9. Find the general solution of the differential equation x + y cos 3x.. a [p] Find the general solution y yx of the differential equation y + 4y + 5y. b [p] Find the solution y yx of the initial value problem y + 4y + 5y x, y, y. 9
19 Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. Show, by using appropriate estimates, a that and b, even better, that e / + e / e x / e x /. See to that you ensure and show that the estimates in fact holds.. Find y ft which solves the differential equation dt ky y t + a for constant a >, k >, with the initial value f. 3. A solid lathed detail rotationally symmetric has a length of mm with a cross section at x mm from the end which is a circular disc of radius cos π x mm. Find the volume of the material. The expression may include π as a factor, e.g. + 8π mm Sketch the curve y x + + x + x 3 with any asymptotes and/or local extrema noted. Good luck! /SK
20 Formelsamling för matematisk analys Trigonometriska identiteter sinα + β sin α cos β + cos α sin β cosα + β cos α cos β sin α sin β sin α + sin β sin α+β cos α β cos α + cos β cos α+β cos α β sinα β sin α cos β cos α sin β cosα β cos α cos β + sin α sin β sin α sin β cos α+β sin α β cos α cos β sin α+β sin α β sin α sin β cosα β cosα + β cos α cos β cosα β + cosα + β sin α cos β sinα β + sinα + β sin α sin α cos α cos α + sin α cos α cos α sin α cos α sin α +cos α sin α cos α cos α Eulers formel: e iθ cos θ + i sin θ cos θ eiθ + e iθ, sin θ i eiθ e iθ Standardgränsvärden lim x ± lim x + x x e lim x ± x p a x om a > lim xp ln x q om p > x + sin x lim x x lim x + t x x e t lim x x x lim x xp e qx om q > lim m a m m! a x x Elementära derivator och integraler fx f x för heltal m lim x ln x p x q om q > ln + x ln a om a > lim x x fx x a ax a a+ xa+ + C om a /x /x ln x + C e x e x e x + C ln x /x x ln x x + C sin x cos x cos x + C cos x sin x sin x + C tan x cos x + tan x arcsin x x arccos x x ln cos x + C x arcsin x + x + C x arccos x x + C arctan x +x x arctan x ln + x + C a x a x ln a ln a ax + C log a x x ln a a +x a x a+x cos x sin x Derivering och integrering x ln x x ln a + C a arctan x a + C arcsin x a + C ln x + a + x + C tan x + C cot x + C d fxgx f xgx + fxg x, d fx/gx f xgx fxg x d, gx fgx f gxg x fxg x [fxgx] f xgx, fgxg x fudu
Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2012-03-24 kl 14.30-19.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.3, 29 december 2017
Lösningsförslag, preinär version 0.3, 9 december 07 Reservation för fel. Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 07-08-
Läs merTentamen i matematik. Högskolan i Skövde
Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 206-03-2 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningsförslag, version 1.0, 13 september 2016
Lösningsförslag, version.0, 3 september 06 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 06-08-7 kl 8.30-3.30 Hjälpmedel : Inga
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningsförslag: Preliminär version 8 juni 2016, reservation för fel! Högskolan i Skövde. Tentamen i matematik
Lösningsförslag, v.5 Preliminär version 8 juni 26, reservation för fel! Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 26-5-2
Läs mera) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer MA712A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk analys Tentamensdag:
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningsförslag v1.1 /SK (med reservation för eventuella fel)
Lösningsförslag v. /SK med reservation för eventuella fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 6-3- kl 4.3-9.3 Hjälpmedel
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).
Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merLösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna
Högsolan i Sövde (SK) Tentamen i matemati Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 l 4.-9. Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej ränedosa. Tentamen
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg rävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merand u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs merx 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN2 Date:
Läs merModule 4 Applications of differentiation
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 4 Applications of differentiation Chapter 4 of Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials, one seminar. Important concepts.
Läs mer2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN Date: 06--0
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--9 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.4, augusti 04 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 04-03-08 kl
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merS 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN1 Date:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merTentamen i Matematik 3: M0031M.
Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merS 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN Date:
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic
Tentamen i Matematik HF90 (6H90) aug 0 Tid: 8. : Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs mersin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN1 Date:
Läs merFind an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN Date: 207--06
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merStudietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22
Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs mera) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.
TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (analys) atum: okt 8 Skrivtid 4:-8: Eaminator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av ma 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merf(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN2 Date:
Läs mer8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merTENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
TENTAMEN TEN i HF006 och HF008 Moment TEN (analys) Datum 5 april 09 Tid 8- Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma 4 poäng För betyg A,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merUppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim
Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 9 jan 07 Tid -8 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6-- kl. 8.3.3 Tentamen MVE5, TKSAM- Telefonvakt: Olof Giselsson 3 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merHjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 08 kl 0830 30 Tentamen Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 535 MMG00 Envariabelsanalys Tentan rättas och bedöms anonymt
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs mer