Lösningsförslag v1.1 /SK (med reservation för eventuella fel)
|
|
- Ludvig Falk
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningsförslag v. /SK med reservation för eventuella fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 6-3- kl Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg 3 krävs minst 7 poäng från uppgifterna, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 6 duggaresultatlista bifogas. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från minst 5% poäng från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% 8 poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt betyg 3 5 krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt fx = x 3 a Vilken är den största möjliga definitionsmängden D f för f? Vi kräver reella tal som värden. b f är strängt växande i sin definitionsmängd och därför inverterbar. Ange ett uttryck för f x. c Vad har f för definitionsmängd, D f? Lösningsförslag: a Eftersom u är definierad för att ge reella värden för u och x 3 x är definitionsmängden för f intervallet D f = [,. b För x gäller f x = y x = fy x = y 3 y 3 = x y 3 = x + y = x + /3, så f x = x + /3. c Definitionsmängden för f är lika med värdemängden för f. Eftersom f är kontinuerlig och strängt växande på sin definitionsmängd [,, f = och fx då x, så är definitionsmängden för f D f = [,.
2 . Låt fx = sin π x 4x 8x. Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. Tips: Se formelbladet för gränsvärdet av sin x x då x. a lim fx x b lim fx x + c lim fx x + Lösningsförslag: sin u u a Här är kruxet att 4x 8 = 4x då x. Vi vet att då x, så vi tänker u = π x, förlänger med detta och förkortar. fx = sin π x Vi ser då att 4x 8x = sin lim fx = lim x x π x π x sin π x π x lim x π x 4x x = sin b Här är kruxet att x då x +. Vi har att Vi har dels att men också att Alltså är fx = sin π x 4x 8 x. sin π x lim x + 4x 8 = sin π 4 x + då x +. π x π π x π 8x = lim sin u u u π 8 = π 8. lim fx = +. x + = 4 = 4 >, 8x. c Observera att sin u, så vi har här ett gränsvärde av typ begränsat/, som blir noll, mer bestämt sin π fx = x 4x 8 x 4x 8 x = x 4 8/x /x då x, så, enligt instängningsprincipen är lim fx =. x 3
3 3. Ekvationen y xy + lnx = definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten x, y =,. Bestäm kurvans tangentlutning dy i denna punkt. Lösningsförslag: Här gör vi lämpligen en implicit derivering. y xy + lnx = = d y xy + lnx =. Vi utvecklar, med hjälp av kedjeregel och produktregel, det deriverade vänterledet: d y xy + lnx = dy dy dy dy y x + d ln u du u=x = y dy dy y x + x x = y x dy y + x, så d y xy + lnx = y x dy y + dy = x = y x y x = y x y x. Med x, y =, får vi då dy = x,y=, =. Alternativ lösning, skiss. Man kan också lösa ut y ur ekvationen och derivera explicit. y xy + lnx = y x x + lnx = y x = ± x lnx y = x ± x lnx. Punkten x, y =, ligger i den del av kurvan där y > x, dvs y = x + x lnx. Vi får då att d dy = + x lnx x lnx = + x x x lnx = + x x x lnx som har värdet då x =. 4. Betrakta funktionen fx = xe 4 x /8, definierad på, a Bestäm eventuella lokala extremvärden till fx, för vilka x de antas, om de är minima eller maxima. b Utred ifall fx har något absolut maximum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. Lösningsförslag: a För att göra undersökningen studerar vi derivatan, f x = d xe 4 x /8 = /8 e4 x + x d e4 x /8 = e 4 x/8 + xe 4 x /8 x = 4 4 x e 4 x /8 = 4 x x + e4 x /8. 4
4 Vi kan sammanfatta derivatans teckenväxling och implikationerna för fx i en tabell. x f x + fx Vi noterar utifrån tabellen att fx har ett lokalt minimum f = då x = och ett lokalt maximum f = då x =. b För att bestämma eventuella absoluta extremvärden behöver vi också undersöka fx då x ±. Vi har så med u = x /8 har vi fx = xe 4 x /8 = e 4 xe x /8 fx = ±e 4 8 ue u och eftersom u p e u då u +, för vilken exponent p som helst, och u = x /8 + då x ± så är lim fx = lim ±e4 8 ue u =. x ± u + Därför är f = det minsta värdet av fx och f = det största. 5. Bestäm värdet av integralen e ln x 3. x Lösningsförslag: Med variabelsubstitutionen u = ln x har vi du = /x och e ln x 3 ln e [ ] u=. = u 3 du = x ln 4 u4 = u= 4 4 = Bestäm en primitiv funktion F x dvs F x = fx till funktionen sådan att F =. Lösningsförslag: fx = x + e x/ Vi använder lämpligen partiell integration för att utveckla den obestämda integralen x + e x/ = x + d ex/ [ = x + e x/] d x + e x/ [ = 4x + e x/] 4e x/ [ = 4x + e x/] [8e x/] = 4x 6e x/ + C. 5
5 Alltså, om F x = 4x 6e x/ + C, så är F x = fx. Vi behöver bestämma det värde på C som ger F =. F = 6e + C = C = 6. Den sökta funktionen är alltså F x = 4x 6e x/ En rektangulär låda rätblock utan lock ska ha volymen m 3. För lådans botten gäller att den ena sidan ska vara dubbelt så lång som den andra. Materialet för lådans botten kostar kronor/m, medan materialet för lådans sidor kostar 6 kronor/m. Hur mycket kostar materialet till en sådan låda om man väljer måtten under ovan angivna villkor så att kostnaden blir minimal? Lösningsförslag: Låt lådans botten ha sidlängderna x m resp x meter, och låt höjden vara y meter. Då är volymen x h m 3 och kostnaden i kronor K = x + 6xy 6 = x + 36xy. Eftersom volymen ska vara m 3 har vi ekvationen x y = y = 5x. Vi substituerar detta i uttrycket för kostnaden och får då K = x + 8x. Vi vill bestämma minimum för K för x i intervallet, För att hitta minimum studerar vi derivatan dk = 4x 8x = 4x x 3 4,5 Vi noterar att dk < om < x < 4,5/3 och att dk > om x > 4,5/3. Eftersom K är en kontinuerlig funktion av x på intervallet, måste alltså K ha ett absolut maximum på, då x = 4,5 /3. Den minimala kostnaden i kronor är alltså K min = K = 4,5 / ,5 /3 = 4, ,5 /3 = 7 4,5 / Bestäm en lösning y = fx x > till differentialekvationen som uppfyller villkoret f = 3. x dy = x + x y 6
6 Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel, och vi har x dy = x + x y dy = x + y y dy = x + y = x + x + C y = ± x + x + C. Alltså löser såväl y = x + x + C som y = x + x + C differentialekvationen, för vilket värde på C som helst. För alla x om C, och för x+ C om C <. Vi vill ha y = fx, där f = 3, så vi ska ha den positiva grenen y = fx = x + x + C. Då är f = 3 = 3 + C = 3 = C = 9 3 = 6. Vår sökta funktion är alltså fx = x + x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4xy = x. Lösningsförslag: Differentialfunktionen är linjär, och kan lösas med integration om man multiplicerar med en integrerande faktor e Gx, där G x = 4x, dvs Gx = x + C. Vi använder den integrerande faktorn e x, och får då att dy + 4xy = x d ye x = xe x ye x = xe x = 4 ex + C [ d ye x = dy ex +4xye x ] [ d ex =4xe x ] y = 4 + Ce x Den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4xy = x är alltså där C är en allmän konstant. y = 4 + Ce x, Alt. lösning. Om vi direkt noterar att y = /4 konstant är en partikulärlösning får vi den allmänna lösningen som y = 4 + y c, där y c + 4xy c =. Vidare, y c + 4xy c = d y ce x = y c e x = C y c = Ce x. 7
7 . a [p] Bestäm den allmänna lösningen y = yx till den homogena differentialekvationen y + 4y + 9y =. b [p] Bestäm lösningen y = yx till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 9y = 9x, y =, y =. Lösningsförslag: a Den allmänna lösningen till den homogena linjära differentialekvationen y + 4y + 9y = * kan vi bestämma genom att bestämma rötterna till dess karakteristiska ekvation r + 4r + 9 =, som är r = ± 9 = ± 5 = ± 5i. Vi konstaterar att det är två skilda komplexa rötter och får då den allmänna lösningen till * som y = C e +5ix + C e 5ix = e x A cos 5x + B sin 5x. b Den allmänna lösningen till den inhomogena linjära differentialekvationen y + 4y + 9y = 9x ** kan uttryckas som y = y p + y c där y = y p är en partikulärlösning till ** och y = y c den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation *. Det senare problemet klarade vi av i a, så vi hugger in på att hitta en partikulärlösning. Vi ansätter y p = ax + b och får då y p + 4y p + 9y p = + 4a + 9ax + b = 9ax + 4a + 9b. Vi bestämmer vilka värden på a och b som ger en lösning. y p + 4y p + 9y p = 9x för alla x 9ax + 4a + 9b = 9x för alla x 9a = 9, 4a + 9b = a =, b = 4/9 = Vi har alltså y = y p = x 4 9 8
8 som en partikulärlösning till ** och den allmänna lösningen är då y = x e x A cos 5x + B sin 5x Kvar att bestämma den särskilda partikulärlösning som uppfyller begynnelsevillkoren y = och y = Vi att y = + e x A + 5B cos 5x + B 5A sin 5x så y = y = A = + A + 5B = A = 33 9 B = 37 5 A = 45. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet är alltså y + 4y + 9y = 9x, y =, y = y = x e x cos 5x + sin 5x Det går lika bra att räkna på begynnelsevärdena på den komplexa formen av lösningen om man föredrar det. 9
9 Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.. Två punkter A och B är skärningspunkterna mellan parabelkurvan y = x och en linje y = kx + m. Bestäm den punkt P på parabelns båge mellan A och B som gör att arean av triangeln ABP blir maximal. Vilken denna punkt är kommer förstås att bero på punkterna A och B eller linjeparametrarna k och m. Lösningsförslag: För att få en formel för arean, kan vi till exempel utnyttja att arean av en parallellogram med vektorerna u = [u x, u y ] och v = [v x, v y ] som sidor har area som är absolutbeloppet av determinanten u x v x u y v y = u xv y v x u y. Om vi låter A = a, a, B = b, b och P = x, x, så är BP = [x b, x b ] och triangelarean är då T = x ax b x bx a = x ax bx + b x bx ax + a = b a x ax b. Om vi förutsätter att a x b, a < b så har vi arean AP = [x a, x a ] och T = b a x a x b = b a b a x ab x = x + a + bx ab. För att bestämma maximum studerar vi derivatan av T med avseende på x, dt = b a x + a + b. Notera att T = dels då x = a, dels då x = b. Vi kan också notera att d T = b a < då b > a, så triangelarean är maximal då x = a + b, dvs då P är punkten vars x-koordinat ligger mitt emellan x-koordinaterna för A och B.. Bestäm om integralen är konvergent, och i så fall, dess värde. ln x + x Lösningsförslag: Notera att integranden är odefinierad dels då x = dels då x =. För < a < b < har vi b ln x + = [ x ln x x x ] b x a = b ln b b b a ln a+a+ a a
10 Vi vet formelbladet att x ln x då x +, så lim b ln b b b a ln a + a + a = b ln b b b + a + och vi har sedan att lim b ln b b b + = + =. b Alltså: Integralen är konvergent med värdet. ln x + x 3. En kropp i ett xyz-koordinatsystem begränsas av planen x = och x = b > samt av ytan y + z + x 3 =. a Visa att den är rotationssymmetrisk kring x-axeln. Bestäm kroppens volym, i koordinatsystemets volymenheter, som en funktion av b, dels b genom skivmetoden, dels c genom metoden med cylindriska skal. d Har volymen något gränsvärde då b? Lösningsförslag: a Avståndet från x-axeln till en punkt x, y, z är y + z, så om r = y + z, så ligger, för ett givet värde på x, om x b alla punkter med r i kroppen, och alla med r > +x 3 +x 3 kring x-axeln. utanför. Kroppen är alltså rotationssymmetrisk b Vi beräknar volymen genom att integrera arean av de skivformiga tvärsnitten vinkelrätt mot x-axeln. Notera att r r + x 3 = r = + x 3/ För x b är tvärsnitten en cirkelskiva med radien r = + x 3/ och volymen blir då c Notera att b πr = b [ π = = π π + x 3 + x ] b + b = π + b + r + x 3 = + x 3 = r x = r /3 Ett givet cylindriskt skal av radie r runt x-axeln vid x begränsas längs x-axeln av i ena änden x = och i andra änden av x = b om r + x 3/ och av x = r /3 om + x 3/ r.
11 Det ger oss volymen som h = min{b, r /3 } πrh dr = +b 3/ Om vi tar integralerna var för sig har vi och +b 3/ πr Summerar vi får vi d πrh dr = +b 3/ r /3 dr = = πrb dr + πr r /3 dr. +b 3/ πrb dr = [ πbr ] +b 3/ = πb + b 3 [ π +b 3/ π 3 4 r4/3 r r /3 r dr ] +b 3/ = π b + + b 3 πb + b 3 + π b + + b 3 = π = π 3b = π + b + b 3 π lim b + b = π. Volymen har gränsvärde π/ volymenheter, då b Bestäm den allmänna lösningen för x > /3 till differentialekvationen + 4x 3x + dy = x + 3y. 3 + b + + b 3 + b 3 + b 3 = π + b Lösningsförslag: Observera att y = konstant är en lösning till differentialekvationen. Differentialekvationen är separabel, så för y har vi att + 4x 3x + dy dy = x + 3y. y För vänsterledet har vi dy y = ln y + C. = x x 3x +. För högerledet behöver vi göra en partialbråksuppdelning. Vi ansätter, efter en förenklande förkortning, x x 3x + = 6 x x x + 3 = Ax B x C x x +. 3
12 Vi gör liknämnigt, Ax B x C x x + 3 = Ax x B x C 4 + x 4 + x x + 3 = A + Cx + 3 A + B x + 3 B + 4 C 4 + x x + 3, vilket, genom att identifiera polynomkoefficienter i täljaren, ger oss ekvationssystemet A + C = 3 A + B = 6 3 B + 4 C = 4 Alltså har vi A + C = B 3 C = 6 3 B + 4 C = 4 A + C = B 3 C = C = 7 36 C = 7 3 B = C = 9 A = C = 7 3 x x 3x + = 7 x x x 3 x + 3 = 7 3 ln 4 + x arctan x ln x C = 7 6 ln 4 + x arctan x ln x C Lösningen till differentialekvationen är alltså, utöver den konstanta lösningen y =, ln y = 7 6 ln 4 + x arctan x ln x C y = ±e 7 ln 6 4 +x ln x arctan x+c 3 7/6 x + 7/3 = c 4 + x 3 e 9 3 arctan x, 6 där c = ±e C är en allmän konstant. /SK, 5 april 6 3
13 The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result grade 3 at least 7 points are needed from problems Part I, among these at least 3 points from problems 8. Each of these problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests dugga instead of giving a solution to the exam problems. The results from the pre-tests are found appended. In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% points in part II problems 4. For grade 5 at least 75% 8 points in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course grade 3 5 at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in tutorials during the course.. Let fx = x 3. Let a Which is the largest possible domain D f of f? We require real values. b f is strictly increasing in its domain, and is therefore invertible. Find an expression for f x. c Which is the domain D f of f? fx = sin π x 4x 8x. Find the following limits, if they exist. The limit may be a number, + or. If a limit should not exist, state and motivate this. Hint: See cheat sheet for the limit of sin x x x. a lim fx x b lim fx x + c lim fx x + as 3. The equation y xy + lnx = defines a curve in the xy plane which contains the point x, y =,. Find the tangent slope dy of the curve in this point. 4. The function fx = xe 4 x /8 is defined in, a Find the local extreme values of fx, if they exist, and for which x they are taken, and for each, find if it is a local minimum or maximum. b Examine if fx has any absolute maximum or minimum, that is, a greatest and/or least value globally, and in that case, their values. 4
14 5. Find the value of the integral e ln x 3. x 6. Find a primitive function anti-derivative F x i.e. F x = fx to the function fx = x + e x/ such that F =. 7. A rectangular box without a top lid shall have a volume of m 3. For the base of the box one side shall have twice the length of the other. The material for the rectangular bottom costs kronor/m, while the material for the sides costs 6 kronor/m. How much does the material for a box cost, if we choose the dimensions under the conditions given so that the cost is minimized=? 8. Find a solution y = fx x > of the differential equation which fulfills the condition f = 3. x dy = x + x y 9. Find the general solution of the differential equation dy + 4xy = x.. a [p] Find the general solution y = yx of the homogeneous differential equation y + 4y + 9y =. b [p] Find the solution y = yx of the initial value problem y + 4y + 9y = 9x, y =, y =. 5
15 Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. Two points A and B are the intersection between the parabola y = x and a line y = kx + m. Find the point P on the arc of the parabola between A and B which maximizes the area of the triangle ABP. This point will of course depend on the points A and B.. Find whether the integral is convergent or not. If so, find its value. ln x + x 3. A solid in the xyz coordinate system is bounded by the planes x = and x = b > the surface y + z + x 3 =. a Show that the solid is a solid of revolution around the x axis. Find the volume, in the volume units of the coordinate system, as a function of b, b by cross sections, and c by cylindrical shells. d Does the volume have a limit as b? Which? 4. Find the general solution for x > /3 of the differential equationen + 4x 3x + dy = x + 3y. Good luck! /SK 6
Tentamen i matematik. Högskolan i Skövde
Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 206-03-2 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2012-03-24 kl 14.30-19.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merLösningsförslag, version 1.0, 13 september 2016
Lösningsförslag, version.0, 3 september 06 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 06-08-7 kl 8.30-3.30 Hjälpmedel : Inga
Läs merLösningsförslag: Preliminär version 8 juni 2016, reservation för fel! Högskolan i Skövde. Tentamen i matematik
Lösningsförslag, v.5 Preliminär version 8 juni 26, reservation för fel! Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 26-5-2
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mera) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer MA712A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk analys Tentamensdag:
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.3, 29 december 2017
Lösningsförslag, preinär version 0.3, 9 december 07 Reservation för fel. Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 07-08-
Läs mer1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).
Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningsförslag, preliminär version april 2017(reservation för fel) Högskolan i Skövde
, preliminär version.3 april 7reservation för fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 7-3-5 kl 8:3-3:3 Hjälpmedel :
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merLösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 9-3-7 kl 8.3-1.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Läs mer(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna
Högsolan i Sövde (SK) Tentamen i matemati Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 l 4.-9. Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej ränedosa. Tentamen
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merTentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs mer2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen
Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen
Läs mer2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN Date: 06--0
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merand u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.4, augusti 04 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 04-03-08 kl
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg rävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merx 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN2 Date:
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merTentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merPre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.
Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes. M3M Problem : Betrakta fyra
Läs mersin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN1 Date:
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merModule 4 Applications of differentiation
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 4 Applications of differentiation Chapter 4 of Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials, one seminar. Important concepts.
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merS 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN1 Date:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merTentamen i Matematik 3: M0031M.
Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 9 jan 07 Tid -8 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Fredrik Bergholm, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs mer8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:
Läs merKomplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik),
Läs merS 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA151 Single Variable Calculus, TEN Date:
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA11 Single Variable Calculus, TEN Date:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFind an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.
MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN Date: 207--06
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic
Tentamen i Matematik HF90 (6H90) aug 0 Tid: 8. : Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs mer4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?
MÄLARDALEN UNIVERSITY School o Education, Culture and Communication Department o Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA5 Single Variable Calculus, TEN Date: 208-0-0
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:
Tentamen i Matematik HF9 (6H9) 4 juni 8 Tid: 85 5 Lärare: Agneta Ivarson, Armin Halilovic, Bengt Mattiasson, Taras Kentrschynskyj, Ulf Djupedal Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merHjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 08 kl 0830 30 Tentamen Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 535 MMG00 Envariabelsanalys Tentan rättas och bedöms anonymt
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 mars 06 Tid 8:-: Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs mer