Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1

Transkript

1 Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg

2 TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se (Niclas är pappaledig tisdagar och onsdagar under hösten!) Examinator: Niclas Hjelm Kursnr: HF00 Kursmapp: U:\KURS\HF00_Matematik för basår I Läromedel: Alfredsson, Bråting, Erixon, Heikne: Matematik 5000 Kurs 3c Blå Basåret ISBN Förlag: Natur och kultur Alphonce, Pilström; Formler och tabeller ISBN Förlag: Natur och Kultur eller den äldre upplagan Björk m.fl: Formler och tabeller ISBN Förlag: Natur och Kultur Kursbunt (utdelas vid kursstart) Datum Avsnitt Sidor i bok (KB = Kursbunt) Räkning med polynom 0-3, Andragradsekvationer 9-3 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer -3, (ej u63-63) 4 Polynom i faktorform Rationella uttryck Förlängning och förkortning Addition och subtraktion Multiplikation och division Algebraiska uttryck och algebraiska metoder Implikation och ekvivalens KB 9 Repetition inför kontrollskrivning Kontrollskrivning 0 Potenser. 4-5 Kvadratrötter. Absolutbelopp. 6-8 Avrundning och gällande siffror Likformighet Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet KB Trigonometri Trigonometri Funktioner Räta linjen

3 7 Räta linjen KB 6 Direkt proportionalitet 66 8 Repetition inför kontrollskrivning Kontrollskrivning 9 Linjära ekvationssystem KB Andragradsfunktioner 48-5 Formelhantering KB 6-8 Olikheter Vektorer Komposanter, koordinater och vektorlängd Krafter och hastigheter Repetition inför kontrollskrivning 3 Kontrollskrivning 3 7 Repetition inför tentamen Tentamen Räknestugor Fredagar kl 3-5 ordnas räknestuga. Dessa syns på ert schema. Kontrollskrivningar (KS) Student som erhåller åtminstone 7 poäng av möjliga på en kontrollskrivning kan tillgodogöra sig bonus på ordinarie tentamen. Student som blir godkänd på KS hoppar över uppgifter motsvarande 4 p. Student som blir godkänd på KS hoppar över uppgifter motsvarande p. Student som blir godkänd på KS 3 hoppar över uppgifter motsvarande p. Tillåtna hjälpmedel Vid kontrollskrivning och tentamen är godkänd miniräknare (ej symbolhanterande) samt formelsamlingen (utan anteckningar!) tillåtna hjälpmedel. Kursmapp I kursmappen U:\KURS\HF00_Matematik för basår I finns en del material ni kan ha nytta av, t ex Kursbunten (pdf-fil). Extra algebraövningar (pdf-fil). Detta är väsentligen svårare uppgifter på det som tillhör KS Gamla tentor och kontrollskrivningar. Eftersom denna kurs är ny finns inga gamla tentor och kontrollskrivningar. Dock hittar ni gamla tentor och kontrollskrivningar i kursmappen för den gamla kurserna U:\KURS\HF00_HF003_HF004. Vissa moment har tillkommit, andra har flyttats. För att se skillnaderna mellan gamla och nya kurserna, titta på Vad har ändrats i nya kursen (word-fil). Notera även att de gamla kontrollskrivningarna inte överensstämmer helt med de nya. Rekommenderade övningsuppgifter Övningsuppgifterna i läroboken är indelade i tre svårighetsnivåer, A, B och C. Vi rekommenderar att ni löser några få A-uppgifter (dessa testar om ni är bekanta med

4 terminologin) och därefter en hel del B-uppgifter (dessa är lagom svåra och är dessutom på samma nivå som de flesta tentauppgifterna. Har ni därefter tid, och siktar på ett högt betyg, kan ni ge er på C-uppgifterna (dessa är svåra, i några fall t o m rejält svåra, och motsvarar de svåraste uppgifterna på tentamen).

5 Sidor i boken 0-3, Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Attprimtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än, som inte kan skrivas som produkten av två heltal, båda större än. Exempel. Här har vi de 0 första primtalen. Vilka är de 0:e och :e primtalen? Svar: 9 och 3., 3, 5, 7,,3,7 9, 3 Exempel. Primtalsfaktorisera talen 40 och 900. Svar: 40 = = Exempel 3. 7, 93, 33. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket? Svar: 7 är primtal. 93 = 3 3 och 33 = 7 9 När man ska ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av primtal över n. Till exempel [ kan man komma fram till att 54 är ett primtal genom att ingen av 54 ] divisionerna med primtal < = 3 går jämnt upp. Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar (oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer. Några exempel på polynom x +3x+7 x 0 3 x 3 +x x Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Ett polynom kan innehålla flera variabler. ab 3 + b 3a är ett polynom i två variabler a och b. Dess gradtal är 4, som bestäms av termen ab 3 genom +3 = 4 Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Exempel 4. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom (3x+)+(+4x) 7x+3 (4x 3x) (3x 3x) x (3a+)(+4a) 6a+a ++4a a +0a+ Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat! Håkan Strömberg KTH STH

6 Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a+b) = a +ab+b (a b) = a ab+b (a+b)(a b) = a b Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln Konjugatregeln Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x+) = 9x +x+4 eller (x+)(x ) = x 4. Ibland måste man också kunna gå bakvägen. Man faktoriserar polynomet 4x +x+9 till (x+3)(x+3) (x+3). Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet 4x +8x = 4x(x+) blir faktoriserat genom att bryta ut 4x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut 4 och få 4(x +x) eller enbart x och få x(4x+8). En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare. Exempel 5. Förenkla uttrycket (a b )+(a+b) +(a b) a b +a +b +ab+a +b ab 3a +b Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a +b än med det ursprungliga uttrycket. Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + ) 9x +4xy +6y 4 Först ser vi att 9x (3x) och sedan 6y 4 (4y ). När vi sedan ser att 3x 4y = 4xy förstår vi att 9x +4xy +6y 4 (3x+4y ) Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel Just detta uttryck kan man inte förenkla. 3x +4y +x+y Exempel 7. Förenkla x+5 3(4x+5) 4x Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck Exempel 8. Förenkla Exempel 9. Förenkla 3x +6x 3x 3x(x+) 3x x+ 4a+8b a+b 4(a+b) a+b 4 När vi bryter ut 4 i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren och vi kan förkorta Exempel 0. Förenkla (a+b)(b a) (a b) b a ab a +b ab (a ab+b ) b a 3ab 3a b a 3a(b a) b a 3a Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a Håkan Strömberg KTH STH

7 Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan bokstav. Ersätter man variabeln x med talet i uttrycket x x + 4 får man uttryckets värde för x =. Normalt skriver man för p(x) = x x+4, p() = +4 och får att p() = 4. Exempel. Bestäm p(x) = 3x +4x 0 för x = p() = p() = 3 Exempel. Bestäm f() f(0) då f(x) = 3x +5 f() f(0) (3 +5) (3 0 +5) = Exempel 3. Givet polynomet f(x) = x 3 +x +x+. Bestäm f(3) f() Först bestämmer vi f(3) = som ger f(3) = 40, sedan f() = som ger f() = 5. Vi får = 8 3 Problem. Beräkna 3( 4)+(3 4)(+)+00(3 (4 ))+( )( 4) Svar: 3( 4)+(3 4)(+)+00(3 (4 ))+( )( 4) 3 ( )+( )3+00(3 3) Problem. Bestäm exakt För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt). Den som är van ser direkt att den MGN=. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här. När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar MGN. Vi får Vi kan nu skriva summan som Problem 3. Bestäm exakt Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta gemensamma nämnaren = , men här ska vi verkligen försöka hitta MGN. Håkan Strömberg 3 KTH STH

8 Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna 36 = = = 30 = 3 5 Endast tre faktorer förekommer:, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger = 360 MGN=360, betydligt mindre än När vi nu ska förlänga de fyra bråken håller vi över De faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så bråket med Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75 = och fick = 5 3 = 5 4 Problem 4. Bestäm Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det a b c d a d b c Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får Problem 5. Bestäm exakt Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck x+ + x Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + )(x ) Precis som i aritmetiken fortsätter vi: (x ) (x+)(x ) + (x+) (x+)(x ) x +x+ (x+)(x ) = x x Håkan Strömberg 4 KTH STH

9 Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom. Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan och 5+3 4? Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 7. Observera att det finns dåliga räknedosor som inte klarar detta. Problem 8. a) Man tänker multiplicera stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? b) Man tänker multiplicera 5 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet? Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0. Problem 9. Givet polynomet f(x) = 0x 3 x +5x+0 Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p() och p(). Du får välja vilket som helst. Vad väljer du (om du är lite lat)? Svar: Den som är latast väljer p(0) = 0. Den som inte är riktigt så lat väljer p() = = 04. Den som gillar att räkna kanske väljer p() = = 43. Problem 0. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel? x +8x+ Svar: = 4 Problem. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) x 6x+9 b) 6x +8x+ a) Här måste det handla om andra kvadreringsregeln x 6x+9 (x 3) Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra kvadreringsregeln. b) 6x +8x+ = (4x+) Problem. Utveckla Lösning: (x+) 3 (x+) 3 (x+)(x+) (x+)(x +x+) x 3 +3x +x+x +x+ x 3 +3x +3x+ Håkan Strömberg 5 KTH STH

10 Problem 3. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet. Hur kan man förenkla 4 38 Lösning: (40 )(40+) Problem 4. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma 5 Lösning: 5 (50+) Problem 5. Förenkla 5t(t t ) t (t 3)+t 3 Lösning: 5t(t t ) t (t 3)+t 3 5t 3 0t 5t (t 3 3t )+t 3 5t 3 0t 5t t 3 +3t +t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av! Problem 6. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln y(x) =.5+.x 0.4x där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(.5) y(.0) Lösning: Givet y(x) =.5+.x 0.4x Vi har fått i uppgift att bestämma y(.5) y(.0). y(.5) = = y() = = 4.7 y(.5) y() = = 0.75 Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive.5 och och låt räknedosan göra resten. Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x -term. Figur : Håkan Strömberg 6 KTH STH

11 Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x =.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.75 vi fått som svar anger hur mycket bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x =. Problem 7. En 79 meter lång väg ska var färdig efter 0 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man och hinner med 35 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli färdig i rätt tid? Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 mandagar. Detta betyder att man klarar = 9 meter/dag. Eftersom det återstår = 44 meter kommer det att behövas 9 (0 6) (x+5) = 44 som ger x = 3. Svar: Det behövs 3 extra arbetare. Problem 8. Förenkla ( ) p+ ( p ) Lösning: ( p+ ) ( ) p (p+) 4 (p ) 4 (p +p+) (p p+) 4 p +p+ p +p 4 4p 4 p Problem 9. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från.4% till 5.5%. Hur stor var ökningen i a) procentenheter b) procent Lösning: a) Antalet procentenheter är = 3. b) Antag att det såldes 000 bilar ena året. Då var = 4 stycken av vårt märke. Nästa år såldes det åter 000 bilar = 55. Antag att tillväxtfaktorn x. x 4 = 55, som ger x =.5, vilket betyder att andelen steg med 5%. Svar: 3.% respektive 5%. Lös i första hand problemen på sidorna 69 och 3. Men du behöver mer träning... Läxa. Förenkla så långt möjligt (x+h) 7(x+h) (x 7x ) Håkan Strömberg 7 KTH STH

12 Läxa. Faktorisera med kvadreringsreglerna a) 50a +40a+8 b) x xy+36y Läxa 3. Lös ekvationen 5x (x+)(x 3) = 3(x+4)(x 4) Läxa 4. Beräkna exakt Läxa 5. Förenkla så långt möjligt 5x x 3x x Läxa 6. Förenkla så långt möjligt (3x+3y) 9 (x y) 4 (x+y) Läxa Lösning. (x+h) 7(x+h) (x 7x ) (x+h) 7(x +h +hx) (x 7x ) x+h (7x +7h +4hx) x+7x x+h 7x 7h 4hx x+7x h 7h 4hx Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt att ordna dem i bokstavsordning skriv hellre 4hx än 4xh. Läxa Lösning. a) Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges. 50a +40a+8 (5a +0a+4) (5a+) Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna direkt. Men om vi bryter ut ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer till användning här. b) x xy+36y x xy+(6y) (x 6y) Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln. Håkan Strömberg 8 KTH STH

13 Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det! 5x (x+)(x 3) = 3(x+4)(x 4) 5x (x 6x+x 3) = 3(x 4x+4x 6) 5x x +5x+3 = 3x 48 5x x 3x +5x = 48 3 x = 5 5 Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu alla x och x -termer på vänster sida. Vilken tur att x -termerna försvann vi har ju inte talat om andragradsekvationer ännu! Resultatet 5/5 är lika med 0.. Läxa Lösning Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på MGN. 3 = 3 9 = 3 3 = 3 6 = MGN= 3 3 = 44 Nu är det dags att förlänga I nästa steg får vi Svar: Summan är Läxa Lösning 5. Läxa Lösning x+5 + x 3x 5 x 5(x+3) + x(x 3) 5 x (x+3)+(x 3) x (3x+3y) 9 (x y) 4 (x+y) 9x +8xy+9y 9 4x 8xy+4y 4 (x +xy+y ) 9(x +xy+y ) 9 4(x xy+y ) 4 x xy y x +xy+y (x xy+y ) x xy y x +xy+y x +xy y x xy y x +xy y (x xy+y ) (x y) Håkan Strömberg 9 KTH STH

14 I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin. Problem 0. Förenkla Svar: x 3 x +3x Problem. Förenkla Svar: 3x 3y+z Problem. Förenkla Svar: x 7x+ 3x x +5x+3x +4x 3 +x 6x x 3 3x x+y+3z+(x y z) (y 3x+x) (x+3y x) (x+)(x+3) (x+)(x+3)+(x )(x ) Problem 3. Förenkla (x 3 +x) (x 3 x) +(x 3 +x)(x 3 x) Svar: x 6 +4x x Håkan Strömberg 0 KTH STH

15 Sidor i boken 9- Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt av andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav, där x är den absolut vanligaste. En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. En lösning till en ekvation kallas ibland rot. 3x+ = x+6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x =. Att x = är en lösning visar man genom att substituera för x. Man säger att man prövar lösningen. V.L. 3 + = 8 H.L. +6 = 8 V.L. = H.L. V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet. x = satisfierar eller uppfyller ekvationen. Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden. x +x 6 = 0 Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivs x +px+q = 0, där p och q är reella tal är lösningen x = p ± (p ) q Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösa minst 00 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel. Exempel 4. Lös ekvationen Lösning: x +x 6 = 0 x +x 6 = 0 x = ± 4 +6 x = ± x = ± 5 4 x = ± 5 x = x = 5 3 Rötterna till ekvationen är alltså x = 3 och x =. En andragradsekvation har alltid två rötter. Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med Håkan Strömberg KTH STH

16 imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen har en dubbelrot. Exempel 5. Lös ekvationen Lösning: Ekvationen har en dubbelrot. Exempel 6. Lös ekvationen Lösning: x 8x+6 = 0 x 8x+6 = 0 x = 4± 4 6 x = 4± 0 x = 4 x = 4 x +4x+6 = 0 x +4x+6 = 0 x = ± ( ) 6 x = ± Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att inte är definierad i den matematik som tillhör den här kursen. Exempel 7. Lös ekvationen 3x 3x 6 = 0 Lösning: Om koefficienten till x -termen inte är kan man först dividera samtliga termer med denna koefficient. Här får vi då x x = 0 och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x = och x =. Man kan också använda den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax + bx+c = 0 och a,b och c är reella tal. x = b± b 4ac a I vårt exempel får vi Exempel 8. Lös ekvationen x = ( 3)± ( 3) 4 3 ( 6) 3 x = 3± x = 3±9 6 x = x = x = 8 Här behöver vi dock inga formler. x = 8 har två rötter x = 9 och x = 9, som vi får genom att dra roten ur båda sidorna, upphöja båda sidorna med. Observera att formeln fungerar. Det är på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt. Problem 4. Lös ekvationen x x 5 = 0 Håkan Strömberg KTH STH

17 Lösning: Svar: x = 5 och x = 3 x x 5 = 0 x = ± +5 x = ±4 x = 5 x = 3 Problem 5. Lös ekvationen Lösning: x +x 3 = 0 Svar: x = + 3 och x = 3 Problem 6. Lös ekvationen Lösning: x +x 3 = 0 x = ± ( ) +3 x = ± x = ± 3 4 x = + 3 x = 3 x +3x = 0 x +3x = 0 x + 3 x = 0 x = 3 4 ± x = 3 4 ± x = 3 4 ± x = 3 4 ± 7 6 x = 3± 7 4 x = x = Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosan för att få ett approximativt svar. Svar: x.30 och x.78 Problem 7. Lös ekvationen (x 3)(x+4) = 0 Lösning: Först den klumpiga vägen: (x 3)(x+4) = 0 x +4x 3x = 0 x +x = 0 x = 3 x = 4 Håkan Strömberg 3 KTH STH

18 Sista steget fixar vi med formeln: x = ± ( ) + +4 x = ± 4 x = ± +4 x = ±7 x = 3 x = 4 Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa, insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högra ledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vi nu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0 genom att välja x = 3 eller x = 4, där har vi de två rötterna! Problem 8. Lös ekvationerna x 4x+3 = 0 x +8x 9 = 0 y 3y 4 = 0 t +5t+4 = 0 Lösning: De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkar vi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla. Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det vill säga x och x är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta? Vi påstår utan att bevisa det att p = x x och q = x x. Efter en del träning kan man se detta ganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna x 4x+3 = 0 x = 3 x = x +8x 9 = 0 x = x = 9 y 3y 4 = 0 y = y = 4 t +5t+4 = 0 t = t = 4 Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs. Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig av kvadratkomplettering. Vi vet att (x+a) x +ax+a genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa ekvationen (x+) = 9, så är det lätt. Vi drar bara roten ur båda leden. (x+) = 9 (x+) = 9 x+ = ±3 x = x = 5 Men hur är det då att lösa x +4x 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x+) = 9 kan utvecklas till x +4x 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter. Eftersom (x+) = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x +4x 5 = 0 på den formen! Vi startar med att skriva om ekvationenx +4x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så attx +4x+a = 5+a. Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x+a) x +ax+a? Jo, a =. Då får vi x + 4x +4 = 5 +4 eller (x + ) = 9 och vi har kommit fram till den enkla formen som ovan. Håkan Strömberg 4 KTH STH

19 Problem 9. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering a) x 4x+4 = 0 b) x 6x 55 = 0 c) x +8x+5 = 0 Lösning: a) b) c) x 4x+4 = 0 x 4x+a = 4+a x 4x+49 = 4+49 (x 7) = 5 x 7 = ±5 x = x = x 6x 55 = 0 x 6x+a = 55+a x 6x+9 = 55+9 (x 3) = 64 x 3 = ±8 x = 5 x = x +8x+5 = 0 x +8x+a = 5+a x +8x+6 = 5+6 (x+4) = x+4 = ± x = 5 x = 3 Problem 30. Givet andragradsekvationen x ax+35 = 0 där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x = 5. Sök a och den andra roten. Lösning: Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = a+35 = = a a = 60 5 a = Nu har vi ekvationen x x+35 = 0 x = 6± x = 6± x = 5 x = 7 Håkan Strömberg 5 KTH STH

20 Svar: a = och x = 7 Problem 3. Rötterna till en andragradsekvation är x = och x =. Bestäm en ekvation med dessa rötter. Lösning: (x )(x ) = 0 Det står helt klart att om x = eller x = är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt många ekvationer som är lösning till denna uppgift. Hur är det då med 47(x )(x ) = 0? Även den har rötterna x = och x =. Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 47x 433x +94 = 0. I första hand ska du lösa problem 6 74 i boken. När det är klart har du nött in konsten att lösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare... Vi börjar med några förstagradsekvationer Läxa 7. Lös ekvationen x+3 4x+5 3x+7+4x = 3x+5 3x Läxa 8. Lös ekvationen 3(x+) 4(3+x) (3x+) = (x ) 3(x+3) Läxa 9. Den här uppgiften gavs i realexamen HT (x+4) 3 (5+ 34 (x ) ) x = x+4 x 4 Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i den här kursen. Läxa 0. Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 Läxa. Lös andragradsekvationen x +4x+4 = 0 Läxa. Lös ekvationen (x+3)(x 5) = 0 Läxa 3. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering a) x x+30 = 0 b) x 3x 4 = 0 Håkan Strömberg 6 KTH STH

21 Läxa 4. Lös ekvationen 3x +5 x 4x = x + x+ x+ Läxa 5. Lös ekvationen 7 x 5 + x+5 = 40 x x 5 Läxa Lösning 7. Svar: x = 0 Läxa Lösning 8. Svar: x = Läxa Lösning 9. Svar: x = 7 Läxa Lösning 0. x+3 4x+5 3x+7+4x = 3x+5 3x x+5 = = x x = 0 3(x+) 4(3+x) (3x+) = (x ) 3(x+3) 3x+6 (+4x) (3x+) = (x ) (3x+9) 3x+6 4x 3x = x 3x 9 3x+6 4x 3x = x 3x 9 4x 8 = x 8 = 4x x 3 = 3x x = 3 (x+4) ( (x )) x = x+4 x 4 3x ( x 4 ) 3 4 x = x+4 x 4 3x x x x = x 4 3x x + x+4 x = x 4 6 3x x+ x = x+4 x 4 8x x+ x = x+4 x 4 44 = x+4 x 4 44(x 4) = (x+4) 44x 76 = x+48 3x = 4 x = 4 3 x = 7 x x 3 = 0 x = ± +3 x = ± x = 3 x = Håkan Strömberg 7 KTH STH

22 Svar: x = 3 och x = Läxa Lösning. Ekvationen har en dubbelrot. Svar: x = 3 och x = Läxa Lösning. x +4x+4 = 0 x = ± ( ) 4 x = ± 0 x = x = (x+3)(x 5) = 0 Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Detta inträffar då x = 3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0. Svar: x = 3 och x = 5 Läxa Lösning 3. a) b) Läxa Lösning 4. x x+30 = 0 x x+a = 30+a x x+36 = (x 6) = 6 x 6 = ± 6 x = 6+ 6 x = 6 6 x 3x 4 = 0 x 3x+a = 4+a x 3x+ 9 4 = (x 3 ) = x 3 = ± 5 4 x = x = 3 5 3x +5 x 4x = x + x+ x+ 3x x x 4x+x+x+5 = 0 Svar: x = och x = x x = 0 x = ± 4 + x = ± x = ± 3 x = x = Håkan Strömberg 8 KTH STH

23 Läxa Lösning 5. När man vet att (x 5) = (x 5)(x+5) är det lämpligt att multiplicera båda led med (x 5)(x+5) (x 5)(x+5) ( 7 7(x 5)(x+5) x 5 7 x 5 + x+5 = 40 x x 5 x 5 + x+5 ) = (x 5)(x+5) ( 40 x x 5 + (x 5)(x+5) x+5 = (x 5)(x+5)(40 x) x 5 7(x+5)+(x 5) = 40 x 7x+35+x 0 = 40 x 7x+x+x = x = 5 x = 5 0 x = 3 ) Svar: x = 3 Bokstavsräkning Algebra Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier, som samtliga leder fram till övningar och uppgifter. Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert att dina lösningar leder fram till ett korrekt svar. Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upp på papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser en ekvation. Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problemlösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och inte lyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med. Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipa dina förmåga att räkna med bokstäver. Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få ut av några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematiken genom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar. Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som bland andra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper du behöver för att lösa de 30 uppgifterna. Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så lång det går och det går här alltid väldigt långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, som inte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet. Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Även om du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan, Håkan Strömberg 9 KTH STH

24 smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du får med dig något från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därför lösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag. Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrationsförmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåra och när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg. Regler och knep vid bokstavsräkning I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket (a+b) (a+b+c) (a b c) kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken (a+b) (a+b+c) (a b c) a+b a b c a+b+c b II För att förenkla uttrycket 3(a b) (b a)+5(b+a) multiplicerar man in konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen, a(x+y) = ax+ay. 3(a b) (b a)+5(b+a) 3a 3b b+a+5b+5a 0a III När vi stöter på ett uttryck liknande (a+b)(b c) tvingas vi ofta att multiplicera samman dessa parenteser till (a+b)(b c) ab ac+b bc Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad, (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den ena parentesen innehåller 3 termer och den andra 4, kommer multiplikationen att ge 3 4 = termer (innan eventuell sammanslagning). IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken Första kvadreringsregeln Andra kvadreringsregeln (a+b) a +b +ab (a b) a +b ab som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att som att snabbt kunna utveckla Det kan vara bra att känna till även 4x 0xy+5y (x 5y) (0a+7b) 00a +40ab+49b (a+b) 3 a 3 +3a b+3ab +b 3 (a+b) 4 a 4 +4a 3 b+6a b +4ab 3 +b 4 Dessa formler blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals triangel. Håkan Strömberg 0 KTH STH

25 V Konjugatregeln (a b)(a + b) = a b ska kunna användas i båda riktningar. Man ska snabbt kunna se, att (4x 7)(4x+7) kan skrivas lika väl som att kan skrivas (4x 7)(4x+7) 6x 49 00a 64b 00a 64b (0a+8b)(0a 8b) VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren 8x+9 6x+3 9(x+) 3(x+) = 3 kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta är ett exempel på att bryta ut: a(b+)+c(b+) a+c (b+)(a+c) a+c b+ VII Bryter vi ut ( ) ur parentesen (a b) får vi ( )(b a). Detta är ett vanligt återkommande knep som till exempel i uppgiften a b b a (a b) ( )(a b)) VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med samma uttryck ( 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta: (a+b) (a+b) x3 x 3 (a+b)(x+y) (a+b)(x+y) IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göra liknämnigt: a + b b b a + a a b b+a ab ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav att man hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindre räknande. I detta exempel är (a b)(a+b) minsta gemensamma nämnaren a+b + a b + 3 a b När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi (a b)++3(a+b) (a b)(a+b) Håkan Strömberg KTH STH

26 X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att byta plats på täljare och nämnare. Alltså a a+b a (a+b) a a+b (a+b) a a+b Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnaren och multiplicerar med täljaren. För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt. Problem 3. (a+5)(8a+8) (4a+6)(4a+3) Lösning: (a+5)(8a+8) (4a+6)(4a+3) 6a +36a+40a+90 (6a +a+64a+40) 6a +36a+40a+90 6a a 64a 40) 3 76a+9 76a Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (). Eftersom det finns ett minustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (). När vi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (). Återstår att slå samman termer som hör ihop (3). Svar: 4 Problem 33. (3a+8) +(4a 6) (5a+7)(5a 7) Lösning: (3a+8) +(4a 6) (5a+7)(5a 7) 9a a+6a a (5a 49) 9a a+6a a 5a I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugatregeln (). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra (4). Svar: 49 Håkan Strömberg KTH STH

27 Problem 34. (3a a+) (3a a) +a( 3a) Lösning: (3a a+) (3a a) +a( 3a) (9a 4 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+) (9a 4 6a 3 +a )+(a 6a ) 9a 4 3a 3 +3a 3a 3 +a a+3a a+ 9a 4 +6a 3 a +a 6a 3 9a 4 9a 4 3a 3 3a 3 +6a 3 +3a +a a +3a 6a a a+a+ 4 När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder vi andra kvadreringsregeln (). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar vi dem efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar:. Problem 35. a(b+c) d(b+c) (d a)(b+c) Lösning: a(b+c) d(b+c) (a d)(b+c) (b+c)(a d) (d a)(b+c) ( )(b+c)(a d) ( )(d a)(b+c) 3 (b+c)(a d) (a d)(b+c) 4 Vi inleder med att bryta ut (b+c) i täljaren (). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a d) i täljaren och (d a) i nämnaren (). Om vi utför multiplikationen ( )(d a) övergår parentesen till (a d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med ( ) (). i täljaren kan lika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar:. Håkan Strömberg 3 KTH STH

28 Sidor i boken -3, Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar ett positivt tal. Ekvationen x+ = 3 saknar därför rot. Däremot har ekvationen x+ = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras. x+ = 3 ( x+) = 3 x+ = 9 x = 8 För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor). Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) = x är just en funktion. När vi plottar dess graf får vi En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempel y = x Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa Exempel 9. x = x Håkan Strömberg 4 KTH STH

29 Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna i samma figur får vi Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar de vara x och x 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt. x = x+3 4 ( x) = ( x+3 4 ) x = (x+3) 4 x = x +6x+9 6 6x = x +6x+9 x 0x+9 = 0 x = 5± 5 9 x = 5±4 x = 9 x = Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x = 9 och x =. Vi utgår ifrån ( ) att alla vet att =. Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och hoppas att rottecknen försvinner. Men det finns komplikationer! Exempel 0. Lös ekvationen x = x Vi plottar funktionerna och får Här skär den räta linjen rotgrafen endast en gång. Vi gissar att roten är x =. Över till den analytiska lösningen x = x ( x) = ( x) x = 4 4x+x x = 4 4x+x x 5x+4 = 0 x = 5 ± (5 ) 4 5 x = 5 ± x = 5 ± 3 x = 4 x = Håkan Strömberg 5 KTH STH

30 Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kan det uppstå falska rötter! Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen = ger = och verkar helt OK. Men ger, så x = 4 är falsk. Svar: x =. Vi tar en till för säkerhets skull Exempel. 4 = 4 x = x+ Först den grafiska lösningen Oj då, här verkar inte de två graferna skära varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att se vad den analytiska lösningen ger x = x+ ( x) = (x+) x = x +x+ x +x+ = 0 x = ± ( ) x = ± 4 44 x = ± Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning. 3 4 Mer om polynomekvationer Här några polynomekvationer Förstagradsekvation 0x + 53 = 73 x = Andragradsekvation x x = 0 x = 3, x = 4 Tredjegradekvation x 3 +6x 63x 09 x =, x = 7, x 3 = 3 Fjärdegradsekvation x 4 +x 3 x 9x+08 x = x = 3, x 3 = 3, x 4 = 4 Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvation av tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller 4:e-gradare. Då talar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klara ingen av att lösa exakt, därför att man bevisat att det inte går. Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa. Till exempel Håkan Strömberg 6 KTH STH

31 Exempel. x 3 = 7 med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära). Här kommer en speciell typ av 4:e-gradare som du ska kunna lösa Exempel 3. Lös ekvationen x 4 5x +4 = 0 Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och :a graden, som här. Knepet är att man substituerar x = t och får ekvationen t 5t+4 = 0 5 t = 5 ± 4 4 t = 5 ± 5 t = 5 ± 9 4 t = 5 ± 3 t = 4 t = Men nu har vi ju bestämt att x = t, så då får vi x = 4, x = ± 4, x =, x = och att x =, x = ± som ger x 3 = och x 4 = Problem 36. Lös ekvationen x+ = x Lösning: En rotekvation av den enklare sorten x+ = x ( x+) = ( x ) x+ = x x = Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom + Svar: x = Problem 37. Lös ekvationen x +5 = x 5 Lösning: x = är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar rötter. x +5 = x 5 ( x +5) = (x 5) x +5 = x 0x+5 0x = 5 5 x = Vänstra ledet Högra ledet Håkan Strömberg 7 KTH STH

32 Problem 38. Lös ekvationen Lösning: Vi testar x = 4 x = 4 är en äkta rot. Vi testar x = 7 x = 7 är en falsk rot Svar: x = 4. x x 8 = 0 x x 8 = 0 x 0 = x 8 (x 0) = ( x 8) x 40x+400 = x 8 x 4x+408 = 0 68 x = 4 ± x = 4 ± 49 4 x = 4 ± 7 x = 4 x = 7 Vänstra ledet Högra ledet Vänstra ledet Högra ledet Problem 39. Lös ekvationen Lösning: x+4 x = x 4 x+4 x = x 4 ( x+4 x ) = ( x 4) x+4 x+4 x +x = x 4 x+4 x = x 4 x 4 x+ (x+4)(x ) = 7 x (x+4)(x ) = 7+x ( (x+4)(x )) = (7+x) 4(x+4)(x ) = 49+4x+x 4(x x+4x 4) = 49+4x+x 4x +x 6 = 49+4x+x 3x x 65 = 0 x x = 0 x = 3 ± x = 3 ± 4 3 x = 5 x = 3 3 Håkan Strömberg 8 KTH STH

33 Så är det dags att testa rötterna Vänstra ledet Högra ledet Roten x = 5 är en äkta rot Vänstra ledet Högra ledet I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk. Svar: x = 5 Problem 40. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln N(x) = x+5x där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antalet bakterier har fördubblats? Lösning: Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = x+5x. Efter minuter till exempel finns det N() = = Hur många bakterier finns det i burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid det dröjer innan det finns dubbelt så många Detta ger oss ekvationen: x+5x = x+x = 00 x +4x 00 = 0 x = 7± x = 5. x = 9. Som du ser började vi dividera ekvationen med 5. Den här ekvationen är inte så enkel, det vill säga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5. minuter. Lös ekvationen Problem 4. x (x+) 64(x+) = 0 Lösning: För att kunna lösa ekvationen x (x+) 64(x+) = 0 får man absolut inte starta med att utveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktyg för att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x =? Båda termerna blir ju 0. Vi har hittat en rot x =. Dividerar vi nu båda sidor med (x+) återstår x 64 = 0 eller x = 64. Huvudräkning, x = 8 och x 3 = 8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvation har en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre. Lös ekvationen Problem 4. 3x 5 = x Lösning: Ekvationen 3x 5 = x ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rottecknet försvinner om upphöjer det till. Jag menar att ( x ) = x Vi kvadrerar alltså båda sidor i Håkan Strömberg 9 KTH STH

34 ekvationen: 3x 5 = x ( 3x 5 ) = (x ) 3x 5 = x + x x 5x+6 = 0 x = x = 3 Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer en komplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man är alltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som vi ser uppfyller x = villkoret att båda sidor ska vara lika 3 5 =. Detta gäller även för x = 3 som ger = 3. I figur visar vi grafen Figur : Problem 43. Lös ekvationen s+3 7 s = Lösning: Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ett rottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till. s+3 7 s = ( s+3 7 s ) = 0 (s+3)(7 s) = 4 8 = (s+3)(7 s) 64 = (s+3)(7 s) 64 = 7s s +9 3s s +6s 7 = 0 s = 3 s = 9 OK, nu har vi funnit två rötter s = 3 s = 9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem. s = = 4 = s = 9 ( 9)+3 7 ( 9) = 4 Alltså är det bara s = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vi funktionerna (VL) f (s) = s+3 7 s och (HL) f (s) =. Plottar vi dem får vi följande graf: Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3. Plottar vi nu de två funktionerna f 3 (s) = ( s+3 7 s ) och f4 (s) = 4, sådana de ser ut efter en kvadrering får vi En extra (falsk) rot har dykt upp för x = 9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligare en gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen. Håkan Strömberg 30 KTH STH

35 Figur 3: Figur 4: Räkna i första hand uppgifterna på sidan 7 73 och 3. Läxa 6. Lös ekvationen x+ = x Läxa 7. Lös ekvationen x+4+ x = 3 Läxa 8. Lös ekvationen x+5 = x Läxa 9. Bestäm konstanten a, så att ekvationen får en ax (a 5)x (a ) = 0 Läxa 0. Lös ekvationen x 4 0x +9 = 0 Läxa Lösning 6. x+ = x ( x+ ) = ( x ) x+ = x x = 4 Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska. Håkan Strömberg 3 KTH STH

36 Sätter vi in x = 4 får vi 6 = 6 Vilket betyder att roten är äkta! Svar: x = 4 Läxa Lösning 7. x+4+ x = 3 ( x+4+ x ) = 3 (x+4)+(x )+ x+4 x = 9 x++ (x+4)(x ) = 9 = 7 x ( (x+4)(x )) = (7 x) 4(x+4)(x ) = (7 x) 4(x x+4x 8) = 49+4x 8x Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar. 4x +8x 3 = 49+4x 8x 8x 3 = 49 8x 36x = 8 x = 9 4 Svar: x = 9 4 Läxa Lösning 8. x+5 = x ( x+5 ) = ( x) x+5 = x+x x 3x 4 = 0 0 = 4 3x+x x = 3 ± x = 3 ± 5 4 x = 3 ± 5 Vi testar x = 4 som är falsk. Sedan testar vi x = x = 4 x = V.L. 4+5 = 3 H.L. 4 = 3 V.L. +5 = H.L. ( ) = Håkan Strömberg 3 KTH STH

37 som är äkta Svar: x = Läxa Lösning 9. Vi vet att en rot är x = och sätter därför in den Båda dessa ekvationer har en rot x = och Läxa Lösning 0. Vi substituerar t = x. I nästa steg löser vi först och sedan Svar: x = 3, x = 3, x 3 =, x 4 = ax (a 5)x (a ) = 0 a (a 5) (a ) = 0 a a+5 a + = 0 a +a 6 = 0 a = ± 4 +6 a = ± a = ± 5 a = a = 3 x ( 5)x ( ) = 0 x +x 3 = 0 x = x = 3 ( 3)x ( ( 3) 5)x (( 3) ) = 0 3x +x 8 = 0 x = x = 8 3 x 4 0x +9 = 0 t 0t+9 = 0 t = 5± 5 9 t = 5±4 t = 9 t = 9 = x x = ± 9x = 3 x = 3 = x x = ± x 3 = x 4 = Håkan Strömberg 33 KTH STH

38 Problem 44. (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) Lösning: (a b)(a +ab+b )+(a+b)(a ab+b ) (a 3 +a b+ab a b ab b 3 )+(a 3 a b+ab +a b ab +b 3 ) a 3 +a b+ab a b ab b 3 +a 3 a b+ab +a b ab +b 3 3 a 3 +a 3 +a b a b a b+a b+ab +ab ab ab b 3 +b 3 4 a 3 När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med termer får man total 3 = 6 termer. Total ska vi här alltså hantera termer (). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som har en administrativ vana kan gå direkt från () till svaret. Svar: a 3 Problem 45. a a 3 Lösning: a+ a 3 a a 3 a+ a 3 3a 3 a 3 3a 3 + a 3 3a a 3 3a+a 3 3 a 3 3 4a 4 Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkar båda ha samma minsta gemensamma nämnare (). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck (). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3). Efter förkortning får vi Svar: Håkan Strömberg 34 KTH STH

39 Problem 46. (6a+9) (a+9) (a+6) Lösning: (6a+9) (a+9) (a+6) (36a +36+8a) (4a +8+36a)) 4a +36+4a 3 3a 9a+80 4a +4a+35 8(4a 4a+35) 4a +4a Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (). Sammanslagning av termer ger (). I () ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8 Problem 47. Lösning: a b a + a a b ab+b a ab a b a + a a b ab+b a ab (a b) (a b) (a b) a + a a a (a b) b(a+b) a(a b) (a b) +a b(a+b) a(a b) a +b ab+a ab b 3a 3ab a(a b) 3a(a b) a(a b) a(a b) 6 3 Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a b) är en gemensam nämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (). Nu har vi nått första målet (). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (4). I (4) ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a. Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3 Håkan Strömberg 35 KTH STH

40 Sidor i boken 4-5 Vi räknar en KS För att ni ska få en uppfattning om hur en KS kan se ut räknar vi här igenom den enda KS som givits i denna kurs! Totalt kan man få poäng. Om man lyckas skrapa ihop 7 poäng eller mer är man godkänd och får tillgodoräkna 4 poäng på ordinarie tentamen. Problem 48. Förenkla uttrycket så långt som möjligt (p) (a 3b) +a(6b a) Lösning: Svar: 9b (a 3b) +a(6b a) (a 6ab+9b )+(6ab a ) a 6ab+9b +6ab a 9b Problem 49. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (p) Lösning: a 4 6a a+ a a 4 6a a+ a a 4 a 6a a+ a(a 4) 6a (a+) a(a )(a+) 6a (a+) (a ) a Kommentarer: Ett dubbelbråk. Vi vet att vi kan skriva om det som en produkt där nämnaren är inverterad. Vi tillämpar konjugatregeln på första faktorn i täljaren. Innan vi multiplicerar samman faktorerna i täljaren och nämnaren passar vi på att förkorta så långt möjligt. Svar: (a ) a Håkan Strömberg 36 KTH STH

41 Problem 50. Lös ekvationen (p) x 3 = 3x Lösning: Direkt ser vi att likhet råder då x = 0 eftersom det insatt ger 0 = 0. Det betyder att x = 0. Vi kan nu lugnt dividera båda leden med x och får x = 3 x = 3 x = 6 x = ± 6 x = ±4 x = 4 x 3 = 4 Här en alternativ lösning som går ut på att vi faktoriserar polynomet och direkt ser när vänstra ledet blir = 0 x 3 3x = 0 x(x 6) = 0 x(x 4)(x+4) = 0 x = 0 x = 4 x 3 = 4 Svar: x = 0, x = 4, x 3 = 4. Problem 5. Lös ekvationen (p) x x + = x Lösning: Vi ser här att x för om x = får vi 0 i två av termerna. Medveten om detta löser vi ekvationen. x x + = ( ) x ( ) x (x ) x + = (x ) x x (x ) +(x ) = x x x x +x = x +x 3 = 0 x = ± +3 x = ± (x = ) x = 3 Svar: x = 3 Problem 5. Lös ekvationen (p) x 4 4x 45 = 0 Lösning: Normalt kan vi inte lösa polynomekvationer av 4:e graden. Ett undantag är då ekvationen saknar både x 3 -term och x-term. Det är precis vad som är fallet här. Tillvägagångsättet är då att substituera t = x och vi får ekvationen x 4 4x 45 = 0 t 4t 45 = 0 t = ± 4+45 t = ±7 t = 9 t = 5 Håkan Strömberg 37 KTH STH

42 Återstår att bestämma 9 = x som leder till x = 3 och x = 3. Men 5 = x leder till x = ± 5, som inte leder till reella rötter. En 4:e gradsekvation har alltid 4 rötter om man räknar både reella och imaginära. I vår kurs redovisar vi inte imaginära rötter, vilket betyder att en 4:e gradare har 0, eller 4 rötter. I detta fall finns två rötter. Svar: x = 3 och x = 3. Problem 53. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (p) ( ) a (a a b ab ) Lösning: ( ) a (a a b ab ) ( a a b a b ) a(a b) a b ( ) a (a b) a(a b) a b ( b a b ( b(a b) a a b ) a(a b) ) ab Svar: ab Polynom i faktorform Målet med föreläsningen är att kunna skriva ett polynom på faktorform. Polynomet består av tre termer. Det kan också skrivas som 3x 6x 4 3(x+)(x 4) Nu som tre faktorer. Den som inte tror kan multiplicera samman faktorerna 3(x+)(x 4) 3(x 4x+x 8) 3(x x 8) 3x 6x 4 Det stämmer! Men utför man faktoriseringen? Vi tar ett nytt exempel Exempel 4. x 8x 4 Lösning: Först bryter vi ut så mycket vi kan. Vi kan dock inte bryta ut mer än (x 4x ) Håkan Strömberg 38 KTH STH

43 Det som står inom parentes betraktar vi som en andragardsekvation som vi måste lösa. x 4x = 0 x = ± 4+ x = ±5 x = 7 x = 3 Andragradsekvationen kan nu skrivas, som vi tidigare nämnt Det betyder att vi kan skriva i tre steg (x 7)(x+3) = 0 x 8x 4 (x 4x ) (x 7)(x+3) Istället för tre termer består nu polynomet av tre faktorer. Nästa exempel Exempel 5. Faktorisera polynomet som är av tredje graden 3x 3 +3x 6x Lösning: Först bryter vi ut allt vi kan Sedan löser vi ekvationen Det betyder att faktoriseringen ser ut så här Om vi hade att lösa tredjegrasekvationen 3x 3 +3x 6x 3x(x +x ) x +x = 0 x = ± 4 + x = ± x = ± 9 4 x = ± 3 x = x = 3x(x )(x+) 3x 3 +3x 6x = 0 så kan vi utifrån faktorerna direkt säga att rötterna är x = 0, x = och x 3 =. Att vi klarar att lösa den här tredjegradsekvationen beror på att den är speciell. Den saknar konstant term och därför ser vi direkt att x = 0 är en rot. Hade vi istället stött på denna ekvation, också av tredje graden x 3 3x 0x+4 = 0 så hade vi inte haft någon annan chans än att gissa rötterna. Därför kommer vi inte att träffa på någon ekvation av 3:e graden i denna kurs om den inte är speciell som i vårt exempel. Med det datorprogram som jag har och som finns på skolans datorer kan man skriva Solve[x^3-3x^-0x+4==0] {{x-> -3}, {x-> }, {x-> 4}} Håkan Strömberg 39 KTH STH

44 och få svaret på direkten. Det finns till och med räknedosor som klarar detta. Men de är inte tillåtna på KS:ar och tentor. Exempel 6. Faktorisera polynomet x 3 x Lösning: Vi bryter ut och får x(x ). Vad kan man såga om (x )? Jo att vi kan tillämpa konjugatregeln och direkt få (x ) (x + )(x ). Och vips har vi faktoriserat x 3 x x(x+)(x ) Exempel 7. Faktorisera polynomet Vi bryter ut och får Vi löser ekvationen 4x +8x+0 4(x +x+5) x +x+5 = 0 x = ± 5 Ekvationen har inga reella rötter, (negativt under rottecknet), och se då kan inte polynomet faktoriseras. Vi lär oss att man säger: Polynomet p(x) = (x+3)(x ) har nollställena x = 3 och x = Ekvationen (x+3)(x ) = 0 har rötterna x = 3 och x = Nollställena till ett polynom p(x) får man reda på genom att lösa ekvationen p(x) = 0. Problem 54. Ekvationen 84+47x 37x +x 3 +x 4 = 0 är en fjärdegradsekvation med rötterna x = 7, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 Faktorisera med denna information uttrycket 84+47x 37x +x 3 +x 4 Lösning: Med den kunskap vi har klarar vi det hela utan att räkna (x+7)(x+)(x 3)(x 4) Problem 55. Lös ekvationen x 4 +4x +3 = 0 Lösning: Vi vet att vi kan klara den här ekvationen, just därför att den saknar x 3 -term och x-term. Vi startar med att substituera t = x och får t +4t+3 = 0 t = ± 4 3 t = ± t = 3 t = Nu ska vi lösa x = 3 och x =, men inga av dessa ekvationer har reella rötter, vilket betyder att den ursprungliga ekvationen helt saknar (reella) rötter. Svar: Ekvationen saknar rötter. Håkan Strömberg 40 KTH STH

45 Problem 56. Lös ekvationen med avseende på x a+bx = c dx Lösning: Det är bara att betrakta a, b, c och d, som om de vore tal. Svar: x = c a b+d Problem 57. Lös ekvationen med avseende på x. a+bx = c dx bx+dx = c a (b+d)x = c a x = c a b+d a(x b) = b(x+a) Lösning: Samma här, vi betraktar a och b som tal eller konstanter. Svar: x = ab a b a(x b) = b(x+a) ax ab = bx+ab ax bx = ab (a b)x = ab x = ab a b Problem 58. Lös ekvationen x 3 +x x = 0 Lösning: Detta är alltså en tredjegradsekvation som vi kan lösa därför att den saknar konstant term. Vi vet då att en rot x = 0. För de andra två rötterna bryter vi ut x och får x(x +x ) Vi går vidare med ekvationen Svar: x = 0, x = 4, x 3 = 3 x +x = 0 x = ± x = ± 49 4 x = ± 7 x = 4 x 3 = 3 Problem 59. Ursprungligen finns en kvadratisk tomt som utökas i nordsydlig riktningen med m och i östvästlig med 0 m. Tomten får nu en area på 58 m. Vilken var tomtens ursprungliga mått? Lösning: Antag att den kvadratiska tomten från början har sidan x meter. Efter förlängning är tomtens sidor x+ meter respektive x+0 meter. Arean kan nu tecknas på två sätt (x+0)(x+) = 58. Rötterna till denna ekvation ger oss svaret (x+0)(x+) = 58 x +x+0x+0 = 58 x +x 5008 = 0 x = ± x = ±3 x = x = 34 Håkan Strömberg 4 KTH STH

46 Svar: Den ursprungliga sidan hos tomten var meter. Läxa. Lös ekvationen x 4 x 6 = 0 Läxa. Faktorisera uttrycket z 7z+0 Läxa 3. Är det sant att den här ekvationen har rötter x =, x = 3 och x 3 = 4? x 3 6x +x 6 = 0 Läxa 4. Ett bostadskvarter i en stad upptar ett markstycke av storleken m. Den jämnbreda gatan runt om kvarteret beräknas uppta 4800 m. Vilken bredd har gatan? Läxa 5. Bestäm konstanten a så att ekvationen får en rot x = 4 3(a x)+4a = 9 Läxa Lösning. En fjärdegradsekvation som saknar x 3 -term och x-term klarar vi genom att substituera t = x. Vi får t t 6 = 0 t = ± t = ± 5 t = t = 3 Återstår så att lösa = x och 3 = x. Vi ser då direkt att den första saknar reella rötter och att den andra har rötter är x = 3 och x = 3 Svar: x = 3, x = 3 Läxa Lösning. Vi vet att vi kan få tag i faktorerna genom att lösa ekvationen z 7z+0 = 0 49 z = 7 ± z = 7 ± 9 4 z = 7 ± 3 z = 5 z = När vi nu har rötterna kan vi direkt skriva ned faktorerna Svar: (z 5)(z ) z 7z+0 (z 5)(z ) Håkan Strömberg 4 KTH STH

47 Läxa Lösning 3. För att testa om ett visst x-värde satisfierar en ekvation, sätter man helt enkelt in värdet och kontrollerar om V.L. = H.L. Här kommer räknedosan till användning. Svar: x =, x = men x 3 4 V.L H.L. 0 V.L H.L. 0 V.L H.L. 0 Läxa Lösning 4. Antag att gatan är x meter bred. Vi kan teckna hela arean (inklusive gatan) på två sätt. Detta leder till andragradsekvationen: Svar: Gatan är 0 meter bred (x+30)(x +350) = x +700x+460x = x +60x = 4800 x +90x = 600 x = 45± x = 45±65 x = 0 (x = 30) Läxa Lösning 5. Vi sätter in x = 4 i ekvationen och får 3(a 4)+4a = 9 3a +4a = 9 7a = 9+ a = 7 a = 3 Ekvationen har roten x = 4 Svar: a = 3 3(3 x)+ = 9 Håkan Strömberg 43 KTH STH

48 Som vanligt gäller det i denna avdelning att förenkla uttrycket så långt möjligt. Problem 60. (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) Lösning: (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) (a b)(a c) + ( ) ( )(b c)(b a) + ( )( )(a c)(b c) b c (a b)(a c)(b c) (b c) (a c)+(a b) (a b)(a c)(b c) b c a+c+a b (a b)(a c)(b c) 0 (a b)(a c)(b c) a c (a c)(b c)(a b) + a b (a b)(a c)(b c) 6 0 Vi startar med att försöka finna en gemensam nämnare. Det ser ut som vi kan få en bestående av tre faktorer om vi på tre ställen använder knepet (x y) = ( )(y x), (). I andra termen förlänger vi med ( ). Observera att i tredje termen bryter vi ut ( ) två gånger och får ( )( ) =. Detta är alltså ingen förlängning. I () förlänger vi de tre bråken med det uttryck som inte redan finns i nämnaren. Vi kan skriva allt på samma bråkstreck (3). Efter förenkling får vi 0 i täljaren (5). Svar: 0 Håkan Strömberg 44 KTH STH

49 Problem 6. a (b+c) b+c + b b+c a+b Lösning: a (b+c) b+c + b b+c a+b (b+c) a+b b+c a+b ( ) a+b (b+c) b+c a+b ( ) 3 (b+c) b+c 4 b+c b+c 5 Först identifierar vi huvudbråkstrecket som det längsta av alla bråkstreck. Sedan ser vi att i täljaren har de två bråken redan samma nämnare och kan därför enkelt skriva dem på samma bråkstreck. I nämnaren gör vi för enkelhetens skull ett bråk av a+b genom att lägga till nämnaren, se (). Vi håller oss fortfarande innanför parenteserna. Vi vet hur vi ska hantera division av två bråk (). Vi kan förkorta (3) och multiplicerar till sist de två parenteserna (4) och förkortar och får Svar: Figur 5: Håkan Strömberg 45 KTH STH

50 Problem 6. ( b )( ) a a b a b a+b Lösning: 3 4 ( b )( ) a a b a b a+b ( a b a b b )( a a b a b a(a b) a b + b(a b) ) a b ( )( a b b a ) a(a b)+b(a b) a b a b ( a b a b )( a a +ab+ab b ) a b (a b) a b b(b b) a b 5 b Vi ska multiplicera en parentes med termer med en annan som innehåller 3 termer vilket kommer att ge oss 6 termer med lite olika nämnare. Detta är en framkomlig väg, men vi väljer istället att reducera uttrycken i varje parentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (). Vi skriver de båda parenteserna på gemensamma bråkstreck (). Reducerar och bryter ut (3) och (4). Till sist får vi Svar: b. Figur 6: Håkan Strömberg 46 KTH STH

51 Problem 63. a+4 a 9 7 a 7 a 6 Lösning: a+4 a 9 7 a 7 a 6 7(a+4) 9a a 6 7 7(a ) 7 6 7a+8 9a 63 6a 7(a ) 4 3 7a+8 9a a 7(a ) 3 8 a a (4 a) a = 4 3 Ett dubbelbråk igen. Vi startar med att skriva om huvudbråkets täljare och nämnare på gemensamt bråkstreck (). I täljaren är den gemensamma nämnaren 63 och i nämnaren 4 (). Vi skriver om bråken från en division till en multiplikation (3) och reducerar så långt vi kan (4). Svar: 4 3 Håkan Strömberg 47 KTH STH

52 Sidor i boken 8-9, Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Först några begrepp. Aritmetik eller räknelära är den mest grundläggande formen av matematik. Ett aritmetiskt uttryck innehåller tal, men inga variabler och de grundläggande räkneoperationerna är addition, subtraktion, multiplikation och division. Även andra räkneoperationer som procenträkning, potenser, rotutdragning och logaritmer kan förekomma. Här några exempel på aritmetiska uttryck (4+5) (4 ) (+5) (3+7) Alla dessa uttryck kan ersättas med ett enda tal heltal, bråk eller approximativt decimaltal Algebra (elementär algebra) eller, i vår mening, populärt uttryckt bokstavsräkning. Skillnaden från aritmetiken är att man här ersätter alla eller en del av talen med variabler (med bokstäver). Här några exempel på algebraiska uttryck a+b a + b 3a+a 4 3(a+b) a b a+a+3a 3a +3ab a(a+b) a b (x+y) a b c d 3x +4x+ Algebraiska uttryck kan ibland förenklas och i undantagsfall leda fram till ett enda tal. Vi förenklar det som går av uttrycken ovan: a+b b+a ab 6a a b ad bc a a+b 3 x +xy+y 3x +4x+ En del av uttrycken kan inte förenklas, andra kan förändras men det är inte helt klart om förändringen innebär en förenkling. Resten är verkligen förenklingar. En stor del av vårt arbete fram till KS:en går ut på att förenkla algebraiska uttryck. Ekvationer, i vår mening, är två algebraiska uttryck som sätts lika med varandra. Ekvationer innehåller alltid ett likhetstecken, (=). Att lösa en ekvation innebär i allmänhet att först förenkla de algebraiska uttrycken på båda sidor om likhetstecknet. Håkan Strömberg 48 KTH STH

53 En förstagradsekvation kan alltid förenklas till ax+b = 0 där a och b är konstanter. Till exempel kan ekvationen 3x+4 x+3+x = 5 x+3x+4 4x förenklas till x = 0, med lösningen x =. En andragradsekvation kan alltid förenklas till ax +bx+c = 0, där a, b och c är konstanter till exempel kan ekvationen (x+) +3(x x ) = (+x) förenklas till 3x 5x 6 = 0. Båda dessa ekvationer kräver förenkling av algebraiska uttryck. Förenkling av algebraiska uttryck a + 5 6a 3 a Om man inte klarar av att beräkna uttrycket till vänster ovan klarar man förmodligen inte av att förenkla uttrycket till höger. Det vill säga man måste behärska aritmetiken för att kunna ta sig an algebran. De mesta av aritmetiken har ni med er från tidigare skolår. Här några exempel som kan behöva fräschas upp. Först addition av bråk I första föreläsningen gick vi igenom hur man finner en gemensam nämnare, speciellt den minsta MGN. Här är MGN=. När vi förlänger bråken med ett lämpligt tal får alla bråken samma nämnare och vi kan addera de nya täljarna. Det är snyggt, om inte nödvändigt, att förkorta resultatet så långt möjligt Detta är ett dubbelbråk. Bråket i täljaren multipliceras med det inverterade värdet av bråket i nämnaren Multiplikation (och division) går före addition (och subtraktion). Vill man att uttrycket ovan ska bli 0 måste man använda parenteser (+3) 4 0 När vi nu ska gå vidare med förenkling av algebraiska uttryck måste vi kunna förlänga, förkorta och bryta ut. Bryta ut och förkorta. Tre exempel 3x +3x 3x(x+) Håkan Strömberg 49 KTH STH

54 och och 3(a+b)+(a +ab) a+b 4x+4 3x+3 4(x+) 3(x+) = 4 3 3(a+b)+a(a+b) a+b (a+b)(3+a) a+b 3+a För att man ska kunna förkorta måste ett bråk vara inblandat. I första exemplet finns inget bråk. Ett rationellt uttryck är division av två aritmetiska uttryck Ibland kan de förenklas a+3 4b+ a+3 4b+ x +x+ x+ x+ a b a b a+b Rationella uttryck kan förstås också adderas och subtraheras a b + b a Precis som i aritmetiken måste vi finna en gemensam nämnare. Den måste vara ab eftersom de två nämnarna inte har någon gemensam faktor. a a b a + b b a b a +4b ab Om detta resultat kan anses vara en förenkling av det ursprungliga uttrycket är en smaksak, men vi har i alla adderat de två uttrycken Problem 64. Addera uttrycken +a + +a Lösning: Uttryckets gemensamma nämnare är (+a)(+a). Vi får (+a) (+a)(+a) + (+a) (+a)(+a) (+a)+(+a) (+a)(+a) +3a (+a)(+a) +3a +a+a+a +3a +3a+a Om man ska låta nämnaren stanna vid (+a)(+a) eller om man ska utveckla den till +3a+a är en smaksak. +3a Svar: +3a+a Håkan Strömberg 50 KTH STH

55 Problem 65. Addera uttrycken a b + b a + a b + b a Lösning: Med addition menas att termerna ska slås samman till ett rationellt uttryck. Vi ser direkt att MGN= ab Svar: a +b +a 3 +b 3 ab a b + b a + a b + b a a a b a + b b a b + a a b a + b b a b a a+b b+a a+b b ab a +b +a 3 +b 3 ab Problem 66. Lös ekvationen 3 3 x = 7 Lösning: En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med att förenkla vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och nämnare med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation, som är enkel att lösa. Svar: x = x x 3x 3 3 3x x 9 3x 8+9 x 9 3x 7 ( x 9 5x ) 3x 7 5x(x 9) 3x 7 = 7 = 7 = 7 = 7 ( = 5x ) 7 = 5x 7 (x 9) = 3x 4x 08) = 3x 7x = 08 x = 4 Håkan Strömberg 5 KTH STH

56 Problem 67. Lös ekvationen Lösning: x + 4 x x 4 4 x + x x 4 x + = 4 x 8+x 4x 4x 3x 8 = = = = 4x = (3x 8) 4x = 36x 96 3x = 96 x = 3 Problem 68. Förenkla så långt möjligt ( x+ ) ( x ) 4x 4x Lösning: Ett sätt att lösa detta problem är med hjälp av konjugatregeln A B = (A B)(A+B). Detta ger ( x+ ) ( x ) (( x+ ) ( x )) (( x+ ) ( + x )) 4x 4x 4x 4x 4x 4x 4x x Självklart kan problemet lösas även den långa vägen. Problem 69. Förenkla Lösning: x xy y + y xy x x xy y + y xy x x y(x y) + y x(y x) x y(x y) x y xy(x y) (x y)(x+y) x+y xy(x y) xy y x(x y) x xy(x y) y xy(x y) Håkan Strömberg 5 KTH STH

57 Läxa 6. Beräkna Läxa 7. Förenkla så långt möjligt (a 3b) +3(b+a) (4a b)(4a+b) Läxa 8. Vilket är störst: summan, differensen, produkten eller kvoten av 3 5 och 7 9 Läxa 9. Lös ekvationen x + 3 x = 8 Läxa 30. Lös ekvationen x+55 = x Läxa Lösning 6. Beräkna = = = 7 = 7 = 7 Kommentar: Ett lite mer komplicerat dubbelbråk. Vi hanterar inledningsvis täljare och nämnare för sig. Läxa Lösning 7. (a 3b) +3(b+a) (4a b)(4a+b) (4a ab+9b )+3(b +4ab+4a ) (6a +8ab 8ab 4b ) 4a ab+9b +3b +ab+a 6a 8ab+8ab+4b 6b Svar: 6b Läxa Lösning 8. Summan: Produkten: Diffrensen: Kvoten: ( ) ( 7 ) 9 ( 7 ) Svar: Differensen är störst Håkan Strömberg 53 KTH STH

58 Läxa Lösning 9. x + 3 x ( 8x x + 3 ) x 8x x + 8x 3 x = 8 = 8x = 8x 8 ( ) 8 6+ = x x = 8 Svar: x = 8 Läxa Lösning 30. x+55 = x ( x+55 ) = (x ) x+55 = x x+ x 3x 54 = 0 9 x = 3 ± x = 3 ± 5 4 x = 3 ± 5 x = 9 (x = 6) Vi ser att x = 6 är en falsk rot eftersom Däremot är x = 9 en äkta rot eftersom Svar: x = 9 Problem 70. Lösning: a b a+b + c a c a + b c b c c+a a b a+b + c a c a + b c b c c+a (a+b)(a b) a+b + c a (c a)(c+a) + (b c)(b+c) b c c+a a b+ c+a +b+c c+a 3 a b+b+c 4 a+c Här gäller det att tänka en liten stund innan man sätter igång att hitta en gemensam nämnare. Genom att använda konjugatregeln inte mindre än tre gånger kan vi skriva om uttrycket som i (). Håkan Strömberg 54 KTH STH

59 Efter möjliga förkortningar får vi ett betydligt enklare uttryck (). De två termerna med nämnare tar ut varandra och kvar blir Svar: a+c Problem 7. ab a b a b a b + 3a +5ab+b (a+b) Lösning: ab a b a b a b + 3a +5ab+b (a+b) ab (a b)(a+b) a b a b + 3a +5ab+b (a+b)(a+b) ab(a+b) (a b)(a+b) (a b)(a+b) (a b)(a+b) + (3a +5ab+b )(a b) (a b)(a+b) (a b+ab ) (a b)(a +b +ab)+(3a +5ab+b )(a b) (a b)(a+b) a b+ab (a 3 +ab +4a b a b b 3 ab )+(3a +5ab+b )(a b) (a b)(a+b) a b+ab a 3 ab 4a b+a b+b 3 +ab +3a 3 +5a b+ab 3a b 5ab b 3 (a b)(a+b) 6 a 3 +3a 3 +a b 4a b+a b+5a b 3a b+ab ab +ab +ab 5ab +b 3 b 3 (a b)(a+b) 7 a 3 +a b ab b 3 (a b)(a+b) 8 a 3 +a b ab b 3 a 3 +a b ab b 3 9 En riktigt jobbig uppgift. Till att börja med ser vi att minsta gemensamma nämnaren är (a + b) (a b) (). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre bråken med lämpliga uttryck () och kan slå samman hela uttrycket till ett bråk (3). Vi står nu inför en mängd beräkningar vars framgång präglas av noggrannhet och en administrativ känsla. Håller vi tungan rätt i mun kommer vi så småningom hit (7). Om vi inte visste att samtliga svar bland dessa 30 uppgifter var betydligt mindre komplicerade kanske vi skulle stanna här. Vår enda chans är nu att utveckla nämnaren (8) och se det gav frukt! Svar: Problem 7. Uppgift 5 3a 9a 6a+ 3a+ + 3(a ) 9a (3a ) Håkan Strömberg 55 KTH STH

60 Lösning: 3a 9a 6a+ 3a+ + 3(a ) 9a (3a ) 3a (3a ) 3a+ + 3(a ) (3a )(3a+) (3a ) 3a(3a+) (3a+)(3a ) +3(a )(3a )(3a+) (3a+) (3a ) (3a ) 3 (3a+8a +7a 3 ) ( 6a 8a +54a 3 )+(3 3a 7a +7a 3 ) (+6a+9a ) (3a ) (3a ) a+8a +7a 3 +6a+8a 54a a 7a +7a 3 6a 9a (3a ) (3a ) 7a 3 +7a 3 54a 3 +8a 7a +8a 9a +3a+6a 3a 6a +3 (3a ) (3a ) 0 (3a ) (3a ) 7 0 ÃĚter en uppgift som kräver precision. För att finna en lämplig gemensam nämnare behöver man se att 9a 6a+ (3a ) och att 9a = (3a )(3a+) (). När väl detta är genomskådat får vi den minsta gemensamma nämnaren (3a + ) (3a ) som leder till en del förlängningar innan vi kan skriva hela uttrycket på gemensamt bråkstreck (). På två ställen i den nya nämnaren ska tre parenteser multipliceras samman. Med tålamod och noggrannhet får vi först (3), sedan (4) och (5), för att till slut upptäcka att hela nämnaren blir 0. Svar: 0. Figur 7: Håkan Strömberg 56 KTH STH

61 Problem 73. Lösning: b a + a b + (a+b) ab b a + a b + (a+b) ab b +a +ab ab (a+b) ab b +a +ab ab ab (a+b) 3 (a+b) ab ab (a+b) 4 Division av två bråk, som vi också kallar dubbelbråk. Vi inleder med att skriva de tre termerna i täljaren på gemensamt bråkstreck (). Vi går över från division till multiplikation på ett numera känt sätt (). Vi upptäcker att b +a +ab (a+b) i (3) och avslutar med att förkorta. Svar: Figur 8: Håkan Strömberg 57 KTH STH

62 Sidor i boken Addition och subtraktion Vi börjar med lite aritmetik. Heltalsaddition innebär inga som helst problem. Här tar vi lämpligen räknedosan till hjälp. Exempel = 76 Så länge alla nämnare är lika innebär det inget problem att addera ett antal bråk. Exempel Aningen besvärligare blir det då nämnarna är olika. Med lite träning och med nämnare som inte är allt för stora bör man kunna hitta en gemensam nämnare. Minst jobb blir det om man hittar den minsta gemensamma nämnaren, MGN. Exempel = Här bestämde vi oss för den gemensamma nämnaren, som för övrigt är den minsta möjliga. Multiplicerar man alla nämnarna får man = 7, som också duger, bara att det blir lite arbetssammare Exempel Som synes blir det samma resultat efter förkortning. Vi höjer svårighetsgraden en aning Exempel Först tar vi oss an täljaren och summerar de två bråken. Vi skriver, för att vara tydliga, som. Vi har nu ett dubbelbråk, där multiplicerar täljaren med den inverterade nämnare. Hur ska man förstå det sista steget? Exempel 33. Jag har en tårta. Mina vänner får var sin bit som motsvarar 8 tårta. Hur många vänner har jag? Håkan Strömberg 58 KTH STH

63 Svar: Jag har 4 vänner. Visst kan man krångla till det ännu mer! Exempel 34. ( 3) Även om det är tänkt att en uppgift av denna typ ska lösas exakt, kan man ha hjälp med att kolla svaret på räknedosan. Ett sista exempel på aritmetiska uttryck Exempel Nu över till algebraiska uttryck. Här kommer vi normalt inte att avsluta beräkningarna med ett tal utan har som mål att förenkla det givna uttrycket. Vi börjar enkelt Exempel 36. Med parenteser inblandade Exempel 37. a+3b+4a b 3a a+b 3(a b) (a+b+4)+4(b a) (3a 3b) (a+4b+8)+(4b 4a) 3a 3b a 4b 8+4b 4a 8 3a 3b Att multiplicera in innan man plockar bort parenteserna är en god vana. Exempel 38. (a+b) +(a b) a b (a +ab+b )+(a ab+b ) a b a +b Kvadreringsreglerna är bra att känna till. Mer om potenser kommer senare i kursen. Lite svårare blir det när vi blandar in bråk Exempel 39. a + 3a + 9a 9 a a 3 + 9a a 9a Man måste förstås hitta en gemensam nämnare för att komma vidare. Exempel 40. a 3 + 3a + a 6 a a 3 a + 3a + a a 6 a a +4+a 3a +4 6a 6a Nu blandar vi in flera variabler Exempel 4. Så ett dubbelbråk Exempel 4. a b b a a a b a b b a b a b ab ab b a ab a b a b a b b a b Håkan Strömberg 59 KTH STH

64 Här ska man förkorta så långt man kan Exempel 43. Här måste man bryta ut innan man kan förkorta Exempel 44. 3a b+3b a a+b ca b 3 c a b c b 3ab(a+b) a+b a+b Här startar nu mängdträning. 0 uppgifter i stigande (?) svårighetsgrad Läxa 3. Förenkla så lång möjligt (a+b) 3(b+a) 4(a b)+(a b) Läxa 3. Förenkla så lång möjligt (a+b)(a b)+3(b a)(b+a) Läxa 33. Förenkla så lång möjligt (a+b+)(a b )+(b+) Läxa 34. Förenkla så lång möjligt x + x Läxa 35. Förenkla så lång möjligt (a 3) (a+)(a 4) Läxa 36. Förenkla så lång möjligt (a+b) +(a b) Läxa 37. Förenkla så lång möjligt 9x 44 3x +4x+48 Läxa 38. Beräkna exakt och förkorta så långt möjligt Håkan Strömberg 60 KTH STH

65 Läxa 39. Beräkna exakt Läxa 40. Beräkna den exakta skillnaden mellan uttrycken ( ) Läxa 4. Förenkla så lång möjligt (a+b) (a b)(a+b) a+b Läxa 4. Förenkla så lång möjligt (x 3) x 3 3 x 3x Läxa 43. Förenkla så lång möjligt a 3 a a a 6 Läxa 44. Förenkla så lång möjligt a 8b a 6ab+9b Läxa 45. Förenkla så lång möjligt x y y 3 x y+y 3 +xy (x +xy) x 3 x y Läxa 46. Förenkla så långt möjligt a b b a a b + b a + (a+b)+b Läxa 47. Förenkla så lång möjligt x x x 6x 6 x Håkan Strömberg 6 KTH STH

66 Läxa 48. Förenkla så lång möjligt 6a 4 3a ++a Läxa 49. Förenkla så lång möjligt 4 x 4 6 x +4x+4 Läxa 50. Förenkla så lång möjligt a b + b a + a b b a Läxa Lösning 3. (a+b) 3(b+a) 4(a b)+(a b) (a+b) (3b+3a) (4a 4b)+(a b) Svar: b 3a Läxa Lösning 3. a+b 3b 3a 4a+4b+a b b 3a (a b )+3(b a ) (a b )+(3b 3a ) a b +3b 3a b a Svar: b a Läxa Lösning 33. (a+b+)(a b )+(b+) (a ab a+ab b b+a b )+(b +b+) a ab a+ab b b+a b +b +b+ a Svar: a Läxa Lösning 34. x + x x x x x x + x x x x+ x x x x x+ x x(x+) (x+)(x ) x x(x+) x Svar: x x Läxa Lösning 35. (a 3) (a+)(a 4) 4a a+9 (a 4a+a 4) Svar: 3a 9a+3 Läxa Lösning 36. 4a a+9 a +4a a+4 3a 9a+3 (a+b) +(a b) (a +ab+b )+(a ab+b ) a +b (a +b ) a +b Svar: a +b Håkan Strömberg 6 KTH STH

67 Läxa Lösning 37. Vi löser x +8x+6 = 0 och får 9x 44 3x +4x+48 9(x 6) 3(x +8x+6) x +8x+6 = 0 x = 4± 4 6 x = 4±0 x = 4 x = 4 Vi kan då faktorisera ekvationen till (x+4) = 0. Vårt uttryck övergår då till Svar: 3(x 4) x+4 Läxa Lösning (x 4)(x+4) 3(x+4)(x+4) 3(x 4) x Svar: 3 Läxa Lösning Svar: 6 7 Läxa Lösning 40. Här kan man spara en hel del jobb genom att tänka till. Om vi betraktar uttrycket som (a+b)c d (a+bc d) ac a som leder till ( ) Svar: 64 5 Läxa Lösning 4. Svar: b Läxa Lösning 4. Svar: 8x x+3 (x 3) x 3 3 x (a+b) (a b)(a+b) a+b 3x (x 3) x x 3 x 3 3 x 3 3x(x 3) (x+3) 3x(x+3) (x+3) (a+b)((a+b) (a b)) a+b 3x (x 3) x 9 3x 3x 9x 3x 9x) x+3 b 3x 3x(x 3) (x 3)(x+3) 3x 8x x+3 Håkan Strömberg 63 KTH STH

68 Läxa Lösning 43. a 3 a a a 6 a 3 a 3 3 a 6 a 6 6 4a 3a 6 6a a 6 a 6 5a 6 a 6 6 5a 5 Svar: 5 Läxa Lösning 44. Svar: (a+3b) a 3b Läxa Lösning 45. a 8b a 6ab+9b (a 9b ) (a 3b) (a 3b)(a+3b) (a 3b) (a+3b) a 3b x y y 3 x y+y 3 +xy (x +xy) x 3 x y y(x y)(x+y) y(x +y +xy) x (x+y) x (x y) y(x y)(x+y) y(x+y)(x+y) x (x+y)(x+y) x (x y) x+y Svar: x+y Läxa Lösning 46. a b b a a b + b a a ab b ab + (a+b)+b a ab + b ab + ab ab a b ab a +b +ab ab (a+b)+b (a+b)+b a b ab ab a +b +ab (a+b)+b (a b)(a+b)(a+b) (a+b) +b (a b)+b a Svar: a Läxa Lösning 47. Svar: x x x 6x 6 x x(x ) x 6(x ) x (x ) x 6(x ) x (x ) x x 6(x ) Håkan Strömberg 64 KTH STH

69 Läxa Lösning 48. Svar: (a ) a+ Läxa Lösning 49. Svar: 4 x 4 6 x +4x+4 x+ 4(x ) Läxa Lösning 50. 6a 4 3a ++a 6(a 4) 3(a +4+4a) (a )(a+) (a+) (a ) a+ 4 (x )(x+) 6 (x+) 4 (x )(x+) (x+) 6 x x+ x+ 4 4(x ) a b + b a + a b b a a a b a + b b a b + ab ab a a b a b b a b a +b +ab ab a b ab (a+b) ab (a b)(a+b) ab Svar: a+b a b (a+b) ab ab (a b)(a+b) a+b a b Håkan Strömberg 65 KTH STH

70 Problem 74. Lösning: a b + b a + a b b (a b) a a ab+b + a b + a +ab+b 4a (a b ) (a b) + (a+b)(a b) + (a+b) 4a (a+b) (a b) (a+b) (a b) (a+b) + (a+b)(a b) (a b) (a+b) + (a b) (a b) (a+b) 4a (a b) (a+b) 3 (a+b) +(a+b)(a b)+(a b) 4a (a b) (a+b) 4 5 (a +b +ab)+(a b )+(a +b ab) 4a b a (a b) (a+b) (a b) (a+b) 6 7 (b a)(b+a) (a b) (a+b) (b a)(b+a) (b a) (b+a) (b a)(b+a) b a Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyra nämnarna (). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a b) (a + b) och förlänger på vanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan med att reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a b) (b a) får vi inga problem med att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: b a Figur 9: Håkan Strömberg 66 KTH STH

71 Problem 75. Lösning: a b b a a b a b b a a b a b b ab b a ab ( a b ) ab b ab b a ( ) (a b)(a+b) ab 3 b ab b a ( ) (a b)(a+b) ( )ab 4 b ab ( )(b a) ( ) (a b)(a+b) ab 5 b ab (a b) ( (a b)(a+b) ab ) 6 ab (a b) 7 (a+b) Åter ett dubbelbråk. Vi reducerar täljare och nämnare för sig (). Inverterar nämnaren och multiplicerar med täljaren (). Använder konjugatregeln för att faktorisera första bråkets täljare (3). Förlänger andra bråket med ( ) (4). Multiplicerar in ( ) i (b a) och får (a b) i (5). Kan nu förkorta en del i (6) och får till slut Svar: (a+b) Håkan Strömberg 67 KTH STH

72 Problem 76. Lösning: a a+b + ab a a+b a a+b + ab a a+b a +ab a a+b a +ab a+b a(a+b) a+b 3 a Två bråk som redan har samma nämnare kan direkt skrivas på samma bråkstreck (). Efter reducering, lämplig utbrytning () och förkortning återstår Svar: a Problem 77. a ab+b + a b + a +ab+b 4a (a b ) Lösning: a ab+b + a b + a +ab+b 4a (a b ) (a b) + (a+b)(a b) + (a+b) 4a (a+b) (a b) (a+b) (a b) (a+b) + (a+b)(a b) (a b) (a+b) + (a b) (a b) (a+b) 4a (a b) (a+b) 3 (a+b) +(a+b)(a b)+(a b) 4a (a b) (a+b) 4 5 (a +b +ab)+(a b )+(a +b ab) 4a b a (a b) (a+b) (a b) (a+b) 6 7 (b a)(b+a) (a b) (a+b) (b a)(b+a) (b a) (b+a) (b a)(b+a) b a Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyra nämnarna (). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a b) (a + b) och förlänger på vanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan med att reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a b) (b a) får vi inga problem med att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: b a Håkan Strömberg 68 KTH STH

73 Sidor i boken 40-4 Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker vi upp allt stoff inför KS. Kämpa på! Förstagradsekvationer Läxa 5. Lös enkel förstagradsekvation 3x 4+x+3 4 = x+3 x+7 Läxa 5. Det blir väl inte så mycket svårare när det finns parenteser i ekvationen 3(x ) (3 x) 4(x ) = 3(x+) Läxa 53. Nu blandar vi in bråk, men fortfarande ekvation av första graden x 3 + x 5 = Läxa 54. En ganska svår förstagradsekvation x x x+x x x x = 0 Läxa 55. Nu blir det riktigt svårt! Förresten, är det här verkligen en förstagradsekvation? x x 4 x 4 3 3x +4 = 48 9x 64 Andragradsekvationer Läxa 56. En enkel andragradsekvation x +x 35 = 0 Håkan Strömberg 69 KTH STH

74 Läxa 57. En lite svårare (x ) +x = (x+) Är det här en andragradare? Läxa 58. x + x+0 = Läxa 59. x 4x x = 3 x +4x+4 Läxa 60. Andragradare med x i nämnaren x x+ + = x + 3x+6 Tredjegradsekvationer Läxa 6. Lös ekvationen x 3 +x +x = 0 Läxa 6. (x )(x 5x+6) = 0 Läxa 63. x 3 = 5 Läxa 64. Denna ekvation har en reell rot. Kan du hitta den? x 3 +8 = x+ Fjärdegradsekvationer Läxa 65. Lös ekvationen (x+)(x )(x+3)(x 4) = 0 Läxa 66. Lös ekvationen x 4 6x +5 = 0 Läxa 67. Lös ekvationen x 4 +x = 0 Håkan Strömberg 70 KTH STH

75 Rotekvationer Läxa 68. Lös ekvationen x = 9 Läxa 69. Lös ekvationen x = 4 Läxa 70. Lös ekvationen x+ = 3x+5 Läxa 7. Lös ekvationen x + x+ = 4 Läxa 7. Lös ekvationen x 4 x 5 = 0 Läxa 73. Lös ekvationen 3 x = 4x+5 Faktorisera polynom Läxa 74. Faktorisera polynomet x +x Faktorisera polynomet Läxa 75. 3x +6x 7 Läxa 76. Faktorisera så lång möjligt (x x )(x +5x+6) Läxa 77. Faktorisera polynomet så långt möjligt 5x +5x+0 Läxa 78. Lös en speciell jobbig rotekvation x x 3 = Håkan Strömberg 7 KTH STH

76 Läxa Lösning 5. Läxa Lösning 5. Läxa Lösning 53. 3x 4+x+3 4 = x+3 x+7 4x 5 = 0 x 5x = 5 x = 3 3(x ) (3 x) 4(x ) = 3(x+) (3x 6) (6 x) (4x 4) = (3x+6) 3x 6 6+x 4x+4 = 3x+6 x 8 = 3x+6 x = 6+8 x = = 7 x 3 + x ( 5 x x ) 5 5x x 5 = = 5 = 5 5x+6x = 5 x = 5 x = 5 x = 5 Läxa Lösning 54. x x x+x x x x = 0 x( x) x(+x) x ( x)(+x) x = 0 ( x( x)(+x) x( x) x(+x) (+x) ( x) x ( x)(+x) = 0 +x +x x +x = 0 x +x = 0 3x = x ( x)(+x) x ) = 0 x = 3 Svar: x = 3 Håkan Strömberg 7 KTH STH

77 Läxa Lösning 55. x x 4 3x + 8 3x 8 3x+8 3x 8 3x+8 x 4 3 3x +4 = 48 9x 64 3x 8 3x+8 3x 8 3x + 8 = = 48 (3x 8)(3x+8) 48 (3x 8)(3x+8) 3x 8 3x 8 ( 3x+8 (3x 8)(3x+8) (3x+8) (3x 8) = 48 3x+8 = 48 (3x 8)(3x+8) 3x 8 3x 8 3x+8 ) ( ) 48 = (3x 8)(3x+8) (3x 8)(3x+8) (3x+8) (3x 8) = x +48x+64 (9x 48+64) = x = 6 48 x = 3 Svar: x = 3 Läxa Lösning 56. Svar: x = 5, x = 7 Läxa Lösning 57. Svar: x = 0, x = 8 x +x 35 = 0 x = ± +35 x = ±6 x = 5 x = 7 (x ) +x = (x+) x 4x+4+x = x +4x+4 4x+x = 4x x 8x = 0 x(x 8) = 0 Håkan Strömberg 73 KTH STH

78 Läxa Lösning 58. Svar: x = 0, x = 6 Läxa Lösning 59. x + x+0 = x(x+0) ( x + x+0 ) (x+0)+x = x(x+0) x+0+x = x +0x x 4x 0 = 0 x = 7± 49+0 x = 7±3 x = 0 x = 6 ( ) = x(x+0) x 4x x = 3 x +4x+4 ( x) + ( x)(+x) = 3 ( (+x) ) ( ) ( x) (+x) ( x) + = ( x) (+x) 3 ( x)(+x) (+x) (+x) +( x)(+x) = 3( x) x +4x+4+(4 x ) = 3(x 4x+4) x +4x+4+8 x = 3x x+ 4x 6x = 0 4x(x 4) = 0 x = 0 x = 4 Svar: x = 0, x = 4 Läxa Lösning 60. Svar: x x+ + = x + 3x+6 Läxa Lösning 6. Den här ekvationen kan vi lösa därför att den saknar konstant term x 3 +x +x = 0 x(x +x+) = 0 x(x+) = 0 x(x+)(x+) = 0 Det är bra att känna igen första kvadreringsregeln, så slipper man en del jobb. Vi har funnit tre reella rötter, varav en dubbelrot. Svar: x, =, x = 0 Håkan Strömberg 74 KTH STH

79 Läxa Lösning 6. Multiplicerar man samman parenteserna kommer man att se att det verkligen handlar om en 3:e-gradsekvation. Men utför vi det får vi en besvärligare situation. Nej, istället förstår vi att x = är en rot. De andra två får vi genom att lösa x 5x+6 = 0 Svar: x =, x = och x 3 = 3 Läxa Lösning 63. x 5x+6 = 0 5 x = 5 ± x = 5 ± x = x 3 = 3 x 3 = 5 x = 3 5 x = 5 En tredjegradsekvation har, som vi känner till, tre rötter, reella och imaginära tillsammans. Här är endast en reell, x = 5. De andra två behöver vi inte bry oss om! Svar: x = 5 Läxa Lösning 64. Vi har inget bättre verktyg än att gissa oss fram. Det ska inte behövas så många gissningar förrän men hittar x =, som är en rot, ty Svar: x = V.L. ( ) H.L. ( )+ 0 Läxa Lösning 65. Ekvationen, som är av 4:e graden är faktoriserad så långt möjligt (x+)(x )(x+3)(x 4) = 0 och därför är det mycket enkelt att bestämma rötterna. Svar: x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4 Läxa Lösning 66. Denna ekvation är en av alla 4:e-gradsekvationer vi kan lösa. Anledningen är att den saknar x 3 och x-term. Vi substituerar t = x och får ekvationen t 6t+5 = 0 t = 3± 9 5 t = 3± t = 5 t = Med dessa två rötter går vi vidare och löser de två ekvationerna Svar: x = 5, x = 5, x 3 =, x 4 =, x = 5 x = ± 5 x = 5 x = 5 x = x = ± x 3 = x 4 = Håkan Strömberg 75 KTH STH

80 Läxa Lösning 67. Ekvationen x 4 +x = 0 kan lösas genom att substituera x = t. t +t = 0 t = ± t = ± 3 t = t = x = x = ± x = x = x = x = ± reell lösning saknas Ekvationen har endast två reella rötter. En 4:e-gradsekvation kan endast ha 4, eller 0 reella rötter (alltså aldrig ett udda antal). Svar: x = och x = Läxa Lösning 68. x = 9 ( x) = 9 x = 8 Vi testar och ser att 8 = 9, vilket betyder att x = 8 är en äkta rot Svar: x = 8 Läxa Lösning 69. x = 4 ( x) = ( 4) x = 6 Vi testar roten x = 6 och får 6 4, ty 4 4. x = 6 är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar lösningar. Läxa Lösning 70. x+ = 3x+5 ( x+) = (3x+5) x+ = 9x +30x+5 9x +9x+4 = 0 Ekvationen har inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning x x+ 4 9 = 0 (9 x = 9 8 ± ) x = 9 8 ± x = 9 8 ± 3 34 Håkan Strömberg 76 KTH STH

81 Läxa Lösning 7. Vi testar rötterna först x = 3 x = 3 är äkta. Vi testar x = 8 vilket betyder att x = 8 är falsk. Svar: x = 3 Läxa Lösning 7. Vi testar x = 4 och x = 6 Båda rötterna är äkta! Svar: x = 4 och x = 6 Läxa Lösning 73. x + x+ = 4 x+ = 5 x ( x+) = (5 x) x+ = 5 0x+x x x+4 = 0 x = ± x = ± 5 4 x = ± 5 x = 3 x = x 4 x 5 = 0 4 x 5 = x x 5 = x ( x 5) = ( x 4 x 5 = x 4x+4 6 6x 80 = x 4x+4 x 0x+84 = 0 x = 0± 0 84 x = 0±4 x = 4 x = 6 4 ) x = 4x+5 (3 x ) = ( 4x+5) 9 6 x +x = 4x+5 6 x = 3x 3 ( x ) = ( ) 3x 3 6 x = (x ) 4(x ) = x x+ 4x 4 = x x+ x 6x+5 = 0 x = 3± 9 5 x = 3± x = 5 x = Håkan Strömberg 77 KTH STH

82 Vi kan i ett tidigt stadium se att x =, något vi inte utnyttjat här. Först testar vi x = 5 x = 5 är falsk. Däremot är x = äkta Svar: x = Läxa Lösning 74. Eftersom termerna inte har någon gemensam faktor finns inget att bryta ut. Återstår bara att lösa ekvationen x +x = 0 Svar: x +x (x 3)(x+4) x = ± x = ± 49 4 x = ± 7 x = 4 x = 3 Läxa Lösning 75. Vi inleder med att bryta ut så långt det går 3x +6x 7 3(x +x 4) För att få tag i faktorerna har vi att lösa x +x 4 = 0 x +x 4 = 0 x = ± +4 x = ±5 x = 4 x = 6 Som ger (x 4)(x+6). Tillsammans med den utbrutna 3 får vi så till sist Svar: 3(x 4)(x+6) Läxa Lösning 76. Här måste vi lösa två andragradsekvationer och Vi kan nu skriva ner de fyra faktorerna. Svar: (x )(x+)(x+)(x+3) (x x )(x +5x+6) x x = 0 x = ± x = ± 3 x = x = x +5x+6 = 0 x = 5 ± x = 5 ± x = 3 x = Håkan Strömberg 78 KTH STH

83 Läxa Lösning 77. Vi startar att bryta ut så mycket vi kan ur 5x +5x+0 och får 5(x +x+). I nästa steg löser vi ekvationen x +x+ = 0. x +x+ = 0 x = ± 4 84 x = ± 7 4 Ekvationen saknar reella rötter, vilket i sin tur betyder att polynomet inte kan faktoriseras. Svar: Ingen faktorisering möjlig. Läxa Lösning 78. x x 3 = x 3 = x ( x 3) = (x ) x 3 = x x+ x 3x+4 = 0 (3 x = 3 ± ) x = 3 ± 4 x = x = Vi har hittat två rötter som vi måste testa och det verkar inte speciellt enkelt. Vi har att testa om och Om vi tillåter oss att använda de approximativa rötterna och kan vi anta att det finns en äkta rot och att den är Svar: Håkan Strömberg 79 KTH STH

84 Problem 78. a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a Lösning: a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a (a+) 3 (a+) + (a 5) 5 a (a+)+ (a 5) ( )(a 5) 3 (a+) (a 5) (a 5) 4 (a+) (a 5) 5 6 Här gäller det att se att a 3 + 3a + 3a + (a + ) 3, vilket är lite ovanligare än de två andra uttrycken som vi identifierar som uttryck i första och andra kvadreringsregeln (). I () och (3) fixar vi till parentesen i andra termens nämnare så att det går att förkorta. Svar: 6. Figur 0: Håkan Strömberg 80 KTH STH

85 Problem 79. Lösning: a+b a b b+a + b a a+b a b b+a + b a (a b) (a+b) a b (b a)+(b+a) b a b a b b (b a)(b+a) 3 b a b (b a)(b+a) b 4 (a b)(a+b) ( )(a b)(a+b) 5 ( )( ) Ett dubbelbråk där vi först hanterar täljare och nämnare för sig () och (). Nu är det dags att skriva om bråket som en multiplikation i stället för en division. Förkortning av parenteserna är ej direkt möjlig innan vi använder att (x y) ( )(y x). Svar: Problem 80. 3a+(+a) a+ + 3a a + 4a a Håkan Strömberg 8 KTH STH

86 Lösning: 3a+(+a) a+ + 3a a + 4a a (a )(3a+(+a) ) (a )(a+) + ( 3a)(a+) (a )(a+) + 4a (a )(a+) (a )(3a+(+a) )+( 3a)(a+)+4a (a )(a+) 3 ( 4a+4a +a 3 )+( a 3a )+4a (a )(a+) 4 a 3 +a a (a )(a+) a (a+) (a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+)(a+) (a )(a+) 5 a+ Med den vana vi nu har, ser vi direkt att minsta gemensamma nämnaren är (a + )(a ). Vi förlänger de tre bråken () och eftersom nämnarna redan från början är ganska komplicerade får vi en del jobb i (), (3). I (4) kan det dock bli stopp eftersom vi har svårigheter att faktorisera a 3 +a a. Vi delar upp uttrycket i två delar och kan till sist bryta ut (a+). Efter förkortning får vi Svar: a+. Figur : Håkan Strömberg 8 KTH STH

87 Problem 8. Lösning: a b + b a + a +b ab a b + b a + a +b ab a a a b + b b b a + ab ab a +b ab a a+b b+ab (a +b ) ab 3 a +b +ab a b ab 4 Borde nu efter all träning vara ganska enkelt. Den gemensamma nämnaren blir ab. Vi förlänger och skriver uttrycket på gemensamt bråkstreck () och (). Vi reducerar sedan nämnaren i (3) och får efter förkortning Svar:. Håkan Strömberg 83 KTH STH

88 Sidor i boken 49-50, KB Algebraiska uttryck och algebraiska metoder. Implikation och ekvivalens. Definitionsområde Vi startar med ett uttryck 3x x+ + (x+) 3 x + 4+x x Om man nu vill bestämma uttryckets värde för olika värden på x, finns det då några känsliga värden? Ja det finns tre stycken x =, x = 3 och x = 0. Försöker man bestämma uttrycket för något av dessa x-värden kommer man att utför division med 0, för något av termerna. Vi säger att uttrycket är odefinierat för de tre x-värdena eller att uttrycket är definierat för alla x, x 3 och x 0. Exempel 45. Vi studerar följande ekvation x x 3 x = x Här är lösningen x x 3 ( x x (x ) x 3 ) x = x = (x ) ( ) x x 3 = x = 4 x = Ekvationen ger roten x =. Men innan vi ger detta svar, ser vi att x = inte är godkänd rot eftersom x = inte hör till definitionen. Ekvationen saknar lösning! Exempel 46. Ett nytt exempel 3 x+ + 3 (x+)(x ) = x Håkan Strömberg 84 KTH STH

89 ( 3 (x+)(x ) x+ + 3 (x+)(x ) ) 3(x )+3 = x+ 3x 6+3 = x+ x = 4 x = ( = (x+)(x ) x Även den ekvationen saknar lösning eftersom x = gör att andra termen i ekvationen blir odefinierad. Exempel 47. ) Läxa 79. Skriv om dessa uttryck som en kvadrat, (första eller andra kvadreringsregeln) a) 4a ab+9b b) x +0xy+5y c) 3x 48xy+8y d) 7a +7ab+48b e) x 4 x y 3 +y 6 f) 3a 3 +6a b+3ab g) 8x 5 y 4x 3 y 3 +8xy 5 ÖvningsKS Läxa 80. Förenkla så långt möjligt Läxa 8. Förenkla så långt möjligt Läxa 8. Lös ekvationen Läxa 83. Lös ekvationen Läxa 84. Faktorisera Läxa 85. Lös ekvationen 54+36x+6x 3x+9 a b + b a a b ab 7 8x 4x (x+) +(x ) +(x )(x+) = 4x 3 4x 4 +8x 60 = 0 3x 3 +3x 60x x++ x = 3 Läxa Lösning 79. a) (a 3b) b) (x+5y) c) (4x 3y) d) 3(3a+4b) e) (x y 3 ) f) 3a(a+b) g) xy(x 3y ) Håkan Strömberg 85 KTH STH

90 Lösningar ÖvningsKS Läxa Lösning 80. Svar: 0 Läxa Lösning x+6x 3x+9 a b + b a a a a b b a + b b a b ab ab (a b)(a+b) ab ab Läxa Lösning 8. Svar: x =, x = 7 8x 4x 6(9+6x+x ) 8(9 x ) 3(x+3) 4(3 x) 6(3+x) 3(x+3) 8(3 x)(3+x) (3+x) (3+x) 0 4(3 x) a +b ab ab (a b)(a+b) ab (a b) ab (x+) +(x ) +(x )(x+) = 4x 3 x +x++x x++x = 4x 3 3x + = 4x 3 +3 = x x = ± 4 x = x = ab (a b)(a+b) a b a+b Läxa Lösning 83. Vi startar med att i ekvationen 4x 4 +8x 60 = 0 substituera x = t och får 4 Återstår att lösa x = 3 och x = 5 Svar: x = 3 och x = 3 ( 4t +8t 60 = 0 4t +8t 60 ) = 0 4 t +t 5 = 0 t = ± +5 t = ±4 t = 3 t = 5 x = 3 x = 3 x = 3 x = 3 x = 5 x = ± 5 ingen lösning Läxa Lösning 84. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 3x 3 + 3x 60x som ger 3x(x +x 0) Sedan löser vi ekvationen x +x 0 = 0 x +x 0 = 0 x = ± x = ± 8 4 x = ± 9 x = 4 x = 5 Håkan Strömberg 86 KTH STH

91 Vi kan nu faktorisera ekvationen till (x 4)(x+5). Uttrycket insatt i det ursprungliga ger Svar: 3x(x 4)(x+5) Läxa Lösning 85. Vi testar så rötterna, först x = 3x 3 +3x 60x 3x(x +x 0) 3x(x 4)(x+5) x++ x = 3 x = x ( x) = ( x) x = 4 4x+x x 5x+4 = 0 5 x = 5 ± x = 5 ± 9 4 x = 5 ± 3 x = x = 4 så x = 4 V.L H.L. 3 V.L. H.L. Svar: x = V.L H.L. 3 V.L. H.L. Problem 8. Lösning: a 3 +3a a 3 a a 3 +3a a 3 a a (a+3) (a+3) a (a+3)(a ) a 3 a+3 Samma knep som vi använde i slutfasen av uppgift 3. Dela upp nämnare i två lämpliga delar så att vi till sist kan bryta ut (a+3) (). Därmed är täljaren faktoriserad och en av faktorerna visar sig finnas även i nämnaren (). Återstår endast att förkorta och Svar: a+3 Håkan Strömberg 87 KTH STH

92 Problem 83. Lösning: a+b a b a 4b a +4b +4ab a+b a b a 4b a +4b +4ab a+b a b (a b)(a+b) (a+b) (a+b)(a b)(a+b) (a b)(a+b) 3 Aningen svårare än i tidigare uppgifter att känna igen kojugatuttrycket och det som härrör från första kvadreringsregeln (). När det väl är gjort är det bara att förkorta Svar: Problem 84. Lösning: a b a 3 +3a b+3ab +b 3 a +ab+b a b a b a 3 +3a b+3ab +b 3 a +ab+b a b (a b)(a+b) (a+b) 3 (a+b) (a b) (a b)(a+b)(a+b) (a b)(a+b) 3 3 Åter en uppgift där det gäller att faktorisera täljare och nämnare. Uttrycket a 3 +3a b+3ab +b 3 (a+b) 3 är vi inte lika vana vid, som de två andra (). När vi förkortat bråket återstår Svar: Problem 85. ( d+ a cd )( c a cd )+ (a cd) c d c d (c d) Håkan Strömberg 88 KTH STH

93 Lösning: ( d+ a cd )( c a cd )+ (a cd) c d c d (c d) cd d(a cd) c d + c(a cd) c d (a cd) (c d) + (a cd) (c d) cd d(a cd) c d + c(a cd) c d cd(c d) d(a cd)+c(a cd) c d c d cd ad+cd +ac c d c d ac ad c d a(c d) c d 6 a De två parenteserna måste multipliceras samman. Vi kan redan nu se att en av de då fyra bildade termerna återfinns som sista term i uttrycket, med omvänt tecken (). Återstår tre termer, med målet att skriva på samma bråkstreck (). Den gemensamma nämnaren är förstås (c d). I (3) och (4) arbetar vi med att reducera täljaren. Efter att ha brutit ut och förkortat i (5) får vi Svar: a Håkan Strömberg 89 KTH STH

94 Sidor i boken Ingen ny teori idag! ÖvningsKS Läxa 86. Förenkla så långt möjligt Läxa 87. Förenkla så långt möjligt Läxa 88. Lös ekvationen Läxa 89. Lös ekvationen ax 6 ab x 3 b x 3 +xy x 3 x y x +y x 4xy+4y x +4x+9 = 0 x 3 = x 6 Läxa 90. Lös ekvationen Läxa 9. Faktorisera polynomet (x+) (x ) +9x(x+) 3 = 0 5x 4 0x 3 5x Läxa 9. Så en bonusuppgift, för de sugna. Förenkla så långt möjligt x y + y x x xy + y Det här är en svår uppgift, om man inte känner till att x 3 +y 3 (x+y)(y xy+x ) Kolla upp om den regeln finns med i formelsamlingen! Lösningar ÖvningsKS Läxa Lösning 86. ax 6 ab ax x 6 3ab 3 3 b x 3 3b 3 ax 3ab 6 x 3b 3 a(x 3b) 6 3 x 3b a Håkan Strömberg 90 KTH STH

95 a Svar: Läxa Lösning 87. x 3 +xy x 3 x y x +y x 4xy+4y x(x +y ) x (x y) x +y (x y) Svar: x y x Läxa Lösning 88. Lös ekvationen Svar: Ekvationen saknar reella rötter Läxa Lösning 89. x(x +y ) x (x y) (x y) x +y x x x y x y x x +4x+9 = 0 x = ± 4 9 x = ± 5 x 3 = x 6 ( x 3) = (x 6) x 3 = 4x 4x+36 4x 5x+39 = 0 4 (4x 5x+39) = 0 4 x 5x = 0 (5 x = 5 8 ± ) x = 5 8 ± x = 5 8 ± x = 5 8 ± 8 x = 3 4 x = 3 64 Återstår att testa rötterna 3 V.L H.L V.L. H.L. V.L H.L V.L. H.L. Båda rötterna är äkta Svar: x = 3 4 och x = 3 Läxa Lösning 90. (x+) (x ) 9x(x+) 3 = 0 x +4x+4 (x x+) 9x(x +4x+4) 3 = 0 x +4x+4 x +x 9x 3 36x 36x 3 = 0 9x 3 36x 30x = 0 9x 3 +36x +30x = 0 3x(3x +x +0) = 0 Håkan Strömberg 9 KTH STH

96 x = 0. Vi går vidare med 3 ( 3x +x +0 = 0 3x +x +0 ) = 0 3 x +4x = 0 Svar: x = 0, x = + 3 och x 3 = 3 x = ± x = ± x = + x 3 = Läxa Lösning 9. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 5x 4 0x 3 5x, Vi går vidare med ekvationen x x 3 = 0 5x (x x 3) 3 3 x x 3 = 0 x = ± +3 x = ± x = 3 x = Ekvationen kan nu skrivas som (x 3)(x+). Tillsammans med de faktorer vi brutit ut får vi Svar: 5 x x (x 3) (x+) Läxa Lösning 9. x y + y x x xy + y x x y x + y y x y y x y xy xy xy + x y x x 3 +y 3 x y y xy+x y x x 3 +y 3 x y y x y xy+x x 3 +y 3 y xy+x (x+y)(y xy+x ) y xy+x x+y Håkan Strömberg 9 KTH STH

97 Viktigt inför KS Vilken sal. I entrén finns anslaget listor som berättar i vilken sal du ska sitta. Försättsbladet. Förutom bladet med uppgifterna tilldelas du en plastmapp med ett försättsblad tillsammans med några rutade papper att räkna på. Fyll i namn, personnummer och klassbeteckning. Innan du lämnar in tentan kryssar du får de uppgifter du lämnar in lösning på. Hjälpmedel. Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva och linjal. Hur lång tid? Skrivtiden är 8 : 5 0 : 00, timma och 45 minuter. Vad krävs för godkänt? Totalt består skrivningen av 6 uppgifter som var och en kan ge maximalt poäng. Av de poängen krävs 7 poäng för godkänt. Godkänd KS ger 4 bonuspoäng på den ordinarie tentamen. Observera att man inte får tillgodoräkna dessa poäng vi eventuell omtentamen. Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Aldrig mer än en uppgift per blad. Skriv aldrig på båda sidorna. Vad är en rättningsmall? På hemsidan, längst ned, finns en gammal KS. På sista sidan finns en tabell som berättar hur lösningarna bedöms. En liknande rättningsmall kommer att finnas för denna KS. Problem 86. ( a+b b ) 4 ( ) a ( a+b a b a b ) Lösning: ( ) 4 ( ) a+b a ( ) a+b b a b a b 3 4 ( ) 4 ( a+b b a (a b ) ( ) ) a+b b a b a b ( ) 4 ( ) a b b ( ) a+b b a b a b ( )( (a b) 4 b 4 )( ) (a+b) b 4 (a b ) (a b) (a b) 4 b 4 b 4 (a b) (a+b) (a+b) (a b) 5 Den som här direkt sätter igång att utveckla parenteserna som de ser ut får en lång väg fram till målet. Vår strategi blir då istället, som så många gånger tidigare, att skriva termerna i de två första parenteserna på samma bråkstreck (). Efter reducering ser det ännu bättre ut (). Nu kan vi låta exponenterna verka på parentesernas innehåll (3). Efter att ha faktoriserat nämnaren i den mittersta parenteserna, (a b ) (a b) (a+b) (övertyga dig om det), är det dags att förkorta och få Svar: Håkan Strömberg 93 KTH STH

98 Problem 87. Lösning: a b a b a b b a + b a b a + b a b a + b a + a b / a +4b ab + / a +4b a ab b / + a +4b a ab b ( ab ab + a b + b )/ a +4b a ab 3 ( a b + b ) ab a a +4b 4 ( a ab + 4b ab ) ab a +4b 5 a +4b ab ab a +4b 6 Här måste man hålla reda på vad som är huvudbråkstreck de som ligger i linje med -tecknet. För att förtydliga att det handlar om fyra dubbelbråk inne i parentesen förstärker vi dem genom att skriva till nämnaren på några (). I () låter vi bråken gå över från division till multiplikation med nämnarens inverterade värde. De två första termerna i parentesen tar ut varandra. Återstår att skriva de två andra på gemensamt bråkstreck (3), (4) och (5). Efter förkortning återstår Svar: Håkan Strömberg 94 KTH STH

99 Sidor i boken 4-5 Potenser a b är en potens, där talet a är ett reellt tal > 0 kallad bas och b är ett reellt tal kallad exponent. Istället för att skriva skriver man normalt Vi säger a upphöjt till n. n faktorer {}}{ a a... a För att räkna med potenser behöver man några (enkla) lagar a n a x a y a x+y a x a y ax y ((a x ) y a xy a x b x (ab) x a x b x ( a b a 0 ) x a x a x a a a 3 3 a a n n a Vi tar några exempel. Exempel 48. a a b a a b b a a a 6 b 3 Håkan Strömberg 95 KTH STH

100 Exempel 49. Exempel 50. Exempel 5. Exempel 5. Exempel 53. Exempel 54. Exempel 55. Exempel 56. a a b a a b b a a a4 b b a a4 b a 7 b 3 c a 4 c 4 b 3 a7 4 b 3 3 c 4 x y x x y aa a 3 a 4 a 0 b a a3 c (a ) 3 aaa a6 a 3 a6 3 a 3 a 3 b 3 c 3 abc (abc)3 abc a b3 b 3 a (abc) a ( a ) a a Problem 88. Bestäm ( ) 3 Lösning: ( ) Problem 89. Bestäm Lösning: Problem 90. Förenkla (3 x +3 x +3 x ) Lösning: (3 x +3 x +3 x ) (3 3 x ) (3 x+ ) 3 x+ 9 3 x Problem 9. Förenkla Lösning: 5x y 3 z 5 5x 3 yz 4 5x y 3 z 5 5x 3 yz 4 3x5 z 9 y 4 Håkan Strömberg 96 KTH STH

101 Problem 9. Förenkla a a b 3 a 3 b 3 3 a b ab Lösning: a a b 3 a 3 b 3 3 a b ab a a b 3 a 3 b 3 a 3 b a b a+ 3 b a 3 + b + a+ 3 b a 3 + b + a 7 6 b 3 a 5 6 b a b 3 a 6 b 3 a 3 b 3 3 a b Problem 93. Förenkla ( )( ) x 3 y 3 x 3 +x 3 y 3 +y 3 Lösning: ( x 3 y 3 )( ) ( ) x 3 +x 3 y 3 +y 3 x 3 x 3 +x 3 x 3 y 3 +x 3 y 3 y 3 x 3 +y 3 x 3 y 3 +y 3 y 3 x+x 3 y 3 +x 3 y 3 ( y 3 x 3 +x 3 y 3 +y ) x+x 3 y 3 +x 3 y 3 y 3 x 3 x 3 y 3 y x y Förenkla Problem 94. ( a b ) ab 3 ( a 3 b ) 3 Lösning: ( a b ab 3 ( a 3 ) ) 3 ( ) a 3 b 5 3 ( ) a3 b 0 3 a a a3 b 0 3 b 3 a a3 b 3 a a b 3 b b 3 b 3 Problem 95. Bestäm x a b a b a ( a ) x b = b Lösning: ( ( ) a a ( a ) b b b) ( a a 3 b b 3 ) ( a 3 4 b 3 4 ) a 3 8 b 3 8 ( a b)3 8 Håkan Strömberg 97 KTH STH

102 Problem 96. Lös ekvationen Lösning: Först skriver vi om ekvationen Vi substituerar så t = 3 x och får 3 x +7 = 0 3 x 3 x 3 +7 = 0 3 x t 3 +7 = 0t 3( t 3 +7) = 3 0t t +8 = 30t t 30t+8 = 0 t = 5± 5 8 t = 5± t = 7 t = 3 Eftersom t = 3 x så får vi 7 = 3 x. Utan att kunna något om logaritmer får vi här x = 3. Den andra lösningen 3 = 3 x ger enkelt x = Svar: x = 3 och x = Problem 97. Lös ekvationen Lösning: = 3 x = 3 x 3 8 (3 ) = (3 ) 3 x 3 8 = 3 x x = 8 Läxa 93. Förenkla a 3 b 4 ab a 5 b ab Läxa a a 3 b a b Läxa 95. Bestäm värdet av ( 8) 4 3 Läxa 96. Bestäm värdet av ( 3 ) ( ) 3 Läxa 97. ( ) Håkan Strömberg 98 KTH STH

103 Läxa 98. Förenkla a x +a +x a x a x a 4 Läxa 99. Lös ekvationen 3 x+ +3 x+3 = 08 Läxa 00. x 4 x 8 x 6 x 3 x = 60 Läxa 0. Lös ekvationen x 40 x +56 = 0 Läxa 0. Beräkna 6 3n 4 4n+ 8 5n 3 Läxa Lösning 93. Svar: a b Läxa Lösning 94. a 3 b 4 ab a 5 b ab a4 b a 6 b 3 a b 3 a a 3 b a b a 3 a b 3 a b a 5 6 b 3 a 3 b 6 Svar: a 3 b 6 Läxa Lösning 95. ( 8) 4 3 (( ) 3 ) 4 3 ( ) 4 6 Normalt är alla baser positiva, så detta resultat är lite tveksamt. Svar: 6 Läxa Lösning 96. Svar: 6 8 Läxa Lösning 97. ( 3 ) ( ) 3 ( ) ( ) Svar: 3 Håkan Strömberg 99 KTH STH

104 Läxa Lösning 98. a x +a +x a x a x a 4 a x a x +a a x a x (a x +a ) a x (a x a )(a x +a ) a x (a x a )(a x +a ) a x +a (a x a )(a x +a ) a x a Svar: a x a Läxa Lösning 99. Svar: x = Läxa Lösning 00. Svar: x = 4 3 x+ +3 x+3 = 08 3 x 3 +3 x 3 3 = 08 3 x (9+7) = 08 3 x = x = 3 x = x 4 x 8 x 6 x 3 x = 60 x x 3x 4x 5x = 60 x+x+3x+4x+5x = 60 5x = 60 5x = 60 x = 4 Läxa Lösning 0. Vi substituerar t = x och får t 40t+56 = 0 t = 0± t = 0± t = 3 t = 8 Återstår att lösa två ekvationer Svar: x = 5 och x = 3 Läxa Lösning 0. 3 = x 5 = x x = 5 8 = x 3 = x x = 3 6 3n 4 4 n+ 8 5n 3 4 3n 4 (n+) 3 5n 3 3n n+ 5n 3n n 5n 3n+n 5n Svar: 4 Håkan Strömberg 00 KTH STH

105 Sidor i boken 6-8 Kvadratrötter. Absolutbelopp Kvadratrötter Kvadratroten ur ett tal är ett positivt tal ( a) a a = a a 0 Lägg märke till att 36 = 6, men att x = 36 har rötterna x = 6 och x = 6. Då a a kan vi överföra a till a och därefter använda potenslagarna, vilket ger oss och a b a b (a b) ab a b a b ( a a b) b Exempel 57. a b a b a a a a a a b b a a }{{} a a }{{} b b }{{} a a b a b Exempel = 3 3 = 3 = Alternativ lösning: 44 = 3 3 = 3 = Alternativ lösning: 44 = = Kommentar: Sök par av faktorer i talet. Rötter allmänt Till exempel är eller där n och heltal. Exempel 59. Beräkna 3 a a 3 n a a n = = 0 Kommentar: För kubikrötter gäller det att hitta tripplar av faktorer i talet. Håkan Strömberg 0 KTH STH

106 Exempel 6. Beräkna 5 0 = 5 0 = 00 = 0 Exempel 65. Beräkna +9 = 44+8 = 5 = 5 Exempel 60. Beräkna ( 5) = ( 5)( 5) = 5 = 5 Kommentar: ( a) är förstås a Exempel 6. Beräkna 5 = 5 Kommentar: Det inledande minustecknet har inget med 5 att göra Kommentar: Vi använder oss av a b = ab Exempel 63. Beräkna 5+ 5 = 3 5 Exempel 64. Beräkna 0 5 = 5 5 = 5 5 = 5 Exempel 66. Beräkna 0 0 = 5 5 = 4 = Exempel 67. Beräkna = = 30 8 = 30 9 = 70 Exempel 68. Att förlänga med ett konjugatuttryck för att slippa rotuttryck i nämnaren ( 3 )( 3+) (3 ) Problem 98. Beräkna Lösning: Svar: = = = 4 5 Problem 99. Beräkna 0( 7 ) Lösning: 0( 7 ) = = = = 68 Svar: 68 Håkan Strömberg 0 KTH STH

107 Problem 00. Beräkna Lösning: = = 3 Svar: 3 Problem 0. Förenkla 7 x 3 x Lösning: 7 x 3 ( ) x x x ( 7 3 x 6 3 x 3 ) ( 7 x 7 ) 7 3 x 3 3 x Svar: 3 x Problem 0. Förenkla ( 3 x+ 3 y)( 3 x 3 y) Lösning: ( 3 x+ 3 y)( 3 x 3 y) (x 3 +y 3 )(x 3 y 3 ) x 3 x 3 y 3 +y 3 x 3 y 3 x 3 y 3 Svar: x 3 y 3 Problem 03. Beräkna Lösning: = 3 ( 3)( 3)( 3) = 3 Svar: 3 Problem 04. Förenkla 3 x 3 y 3 x+ 3 y Lösning: 3 x 3 y 3 x+ 3 y ( 3 x 3 y)( 3 x+ 3 y) 3 3 x x+ 3 y 3 y Svar: 3 x 3 y Problem 05. Beräkna exakt ( 6 8+ )( 6 8 ) Lösning: ( 6 8+ )( 6 8 ) (8 6 + )(8 6 ) ( 3 ) 3 0 Svar: 0 Håkan Strömberg 03 KTH STH

108 Problem 06. Beräkna exakt Lösning: ( +3) 3 4 Svar: 3 4 Problem 07. Lös ekvationen Lösning: x 3 x x(x ( x ) 3 ) x x 3 x = x+ 3 x = x+ 3 x = x(x ) ( x+ ) 3 x x(x 3) = (x )(x+ 3) x x 3 = x +x 3 x 3 x 3 = x 3 x 6 6 = x 3+x 3 x 6 = x( 3 ) Svar: x = x = x = 6 3 6( 3+ ) ( 3 )( 3+ ) x = 8+ x = x = Läxa 03. Förenkla a b 3 a 5 b 4 Läxa 04. Beräkna exakt 0 6 Läxa 05. Beräkna exakt Läxa 06. Förenkla 4 64a7 b 4 4a3 b 9 Håkan Strömberg 04 KTH STH

109 Läxa 07. Förenkla a a a Läxa 08. Förenkla 3 a6 +a 4 a 4 Läxa 09. Förenkla 3 a b 4 ab 3 a 5 b Läxa 0. Förenkla b 3 0 b 3 Läxa. Lös ekvationen + x x = Läxa Lösning 03. a b 3 a 5 b 4 a 7 b 7 a 3 b 3 ab Läxa Lösning = = = 0 = 5 = Läxa Lösning = = = = 7 3 Läxa Lösning 06. Läxa Lösning a7 b 64a 7 4 4a3 b b 6a a 3 b 9 4 b 8 a b a a a a a Läxa Lösning 08. Läxa Lösning 09. ( a 3 b 6 a 6 3 +a a 4 4 a +a a 3 a b 4 ab 3 ( ) a 5 b a b ( 3 ab ( a 5 b ) ) 4 ( 3 a 3 b 6 a 8 3 b 7 3 Läxa Lösning 0. ab a 5 3 b 3 ) 4 ) 4 a 3 b 6 a 8 b 7 a 8 b a 8 b 7 a 6 b 9 a 6 b 9 a a 4 b 9 b 3 b3 3 b b b 3 b 3 0 b 0 30 b 9 30 b b 9 Håkan Strömberg 05 KTH STH

110 Läxa Lösning. Vi testar roten och ser den är äkta. + x = x ( x) + x = ( x) x + x = x) 3 x = x = 3 ( x) = ( 3 ) x = V.L. H.L. V.L. H.L. Svar: x = 9 Håkan Strömberg 06 KTH STH

111 Sidor i boken 8-9, Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp. x, kallas absolutbeloppet av x, och är avståndet för x till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta gäller för talet 4. Vi skriver Exempel 69. Från figuren får vi ( 3) 3 4 ( 4) 5 4 ( ) ( 4) 4 ) 4 Från detta ser vi att om vi har två tal a och b och vill bestämma avståndet på tallinjen mellan dem skriver vi a b. Detta fungerar även om vi inte vet vilket av talen som är störst. Exempel 70. Värdet hos de två talen a 0 och b 0 är hemliga. Vilket är då troligtvis störst a+b, b+a eller a + b? För det första a+b b+a. Återstår att jämföra a+b och a + b. a > 0,b > 0 a+b = a + b a < 0,b < 0 a+b = a + b a < 0,b > 0 a+b < a + b a > 0,b < 0 a+b < a + b Exempel 7. Lös ekvationen x+3 = 8 Det är enkelt att se att x = 5 är en lösning. Men finns det fler? Ja, om x = är ju +3 = 8 Svar: x = 5 och x = Håkan Strömberg 07 KTH STH

112 Exempel 7. Lös ekvationen x+3 + x 4 = Lösning: Plan: Ta reda på de x i för vilka var och en av de två termerna = 0. Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt tre ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. Genomförande:, De två eftersökta x-värdena är x = 3 och x = 4 3 Vi har nu att studera följande tre intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 3 3 x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 3 (x+3) (x 4) = x = 5 Ja 3 x < 4 (x+3) (x 4) = Ingen lösning Nej x 4 (x+3)+(x 4) = x = 6 Ja Svar: x = 5 och x = 6 (se grafen nedan) Avrundning och gällande siffror Detta är inte matematik! Här handlar det om tillämpningar av matematiken inom till exempel fysik och kemi. Däremot finns det ett ämne, numerisk analys, som handlar om detta. Vi kopierar den text som finns i boken. Alla siffror skilda från 0 är gällande 0:or är gällande inuti ett tal i slutet av ett decimaltal 0:or är inte gällande i början av ett decimaltal 0:or i slutet av ett heltal kan vara gällande. Avgörs från fall till fall. Svara exakt om du kan, så slipper du alla problem. Vid multiplikation och division av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Vid addition och subtraktion av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som har minst antal decimaler siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Håkan Strömberg 08 KTH STH

113 Exempel 73. Om vi säger att Sveriges folkmängd är är det troligtvis inte 7 gällande siffror (synonym signifikanta siffror). Om jag säger att jag förlorade 00 kr på ett vad, är sannolikheten ganska stor att beloppet har 3 gällande siffror. Exempel 74. Kalle som mäter noga fick fram måtten Pelle som är lite slarvigare avrundade innan han beräknade slutresultatet Av detta ser vi att man inte ska avrunda för tidigt. Exempel 75. Med hur många siffror ska man svara Enligt reglerna är svaret = Likformighet Om linjerna l och l är parallella, så är de två vinklarna v och u lika stora. u och v kallas likbelägna vinklar. Givet ABC. Linjen l är en transversal som skär triangeln. Linjen l är en parallelltransversal som också skär triangeln, men som dessutom är parallell med en av sidorna, BC i triangeln. ADE är en topptriangel till ABC. BAC är gemensam för ABC och ADE. Dessutom är AED = ABC och ADE = ACB. De två trianglarna har lika stora vinklar, vilket innebär att trianglarna är likformiga. Man skriver då ABC ADE. Tecknet betecknar just likformig. Vi kan nu ställa upp följande förhållanden ED BC = AE AB = AD AC Håkan Strömberg 09 KTH STH

114 Transversalsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel delar de övriga sidorna i samma förhållande. Topptriangelsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den förra. Exempel 76. I ABC är sidorna a = 0, b = och c = 8. En transversal är parallell med sidan AB och skär sidan CB i D och sidan CA i E. Sträckan DE = 4. Bestäm CE och CD Först måste vi rita en figur med beteckningar insatta. Sidan a = BC är den sida som står mot A. Sidan b = AC är den sida som står mot B. Sidan c = AB är den sida som står mot C. Vi ställer nu upp förhållandena CE = 4 CD 8 0 = 4 8 De två ekvationerna ger direkt CE = 6 och CD = 5. Antag att storheten är cm Svar: CE = 6 cm och CD = 5 cm. Exempel 77. ABC är rätvinklig, med sidorna AB = 3 cm, BC = 4 cm. Bestäm höjden BD Lösning: Hur många trianglar ser du i figuren? Hur många av dem är rätvinkliga? Hur många är likformiga? Alla tre trianglarna är likformiga, ABC ADB BDC, eftersom de alla innehåller dels en rät vinkel och ytterligare en vinkel som ingår i en annan triangel. Antag att BD = x. Sidan AC kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats AC = Betrakta nu trianglarna ABC och ADB. Vi får förhållandena x = 5. Svar: BD = 5 cm x 4 = 3 5 Håkan Strömberg 0 KTH STH

115 Problem 08. Beräkna för x = 5 och för x = Lösning: Svar: f(5) = 7 och f() = 5 f(x) = 3x 0x+ x = x = Problem 09. Lös ekvationen 3 x = 0 Lösning: Då x > 3 är det ekvationen (3 x) = 0 som gäller, med roten x = 3. Då x 3 gäller ekvationen med roten x = 7 Svar: x = 3 och x = 7. (3 x) = 0 Problem 0. Ht953. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och AD vardera cm, sidorna CB och CD vardera 5 cm samt diagonalen AC 3 cm. Hur lång är diagonalen BD? Lösning: Eftersom +5 = 3 måste ADC och CBA vara rätvinkliga och dessutom kongruenta, med de räta vinklarna ADC och ABC. ADO ADC, eftersom de båda är rätvinkliga och har CAD gemensam. Antag att OD = x. Vi får förhållandet x 5 = 3 som ger x = Detta betyder att BD = Svar: 9.3 cm Håkan Strömberg KTH STH

116 Problem. Vt954. I en rektangel ABCD är sidan AB 4 cm och sidan BC cm. På sidan AB är en punkt E så belägen, att AE är cm. Från E drages parallellt med diagonalen AC en linje, som skär sidan BC i punkten F. Beräkna längden av sträckan EF. Lösning: ABC EBF. EB = 4 = 3. AC = +4 = 5. Antag att EF = x och vi får ger x = Svar: EF = 3.35 cm x 5 = 3 4 Problem. Ht954. I ett parallelltrapets är de parallella sidorna 4 cm och 6 cm samt en av diagonalerna 5.5 cm. Bestäm de delar, i vilka denna diagonal delas av den andra diagonalen. Lösning: AC = COD = AOB, ODC = OBA vilket betyder att AOB COD. Antag att AO = x. Då är CO = 55 0 x. Vi får då följande förhållande som ger x = 5 Svar: Diagonalen delas i delarna. och 3.3 cm x 55 0 x = 4 6 Problem 3. Ht96. Från mittpunkterna D och E på respektive kateterna AB och AC i en rätvinklig triangel drages normalerna DF och EG mot hypotenusan BC. Hur stora är de delar BF, FG och GC, vari hypotenusan är delad, om AB = 3 dm och AC = 4 dm? Lösning: Håkan Strömberg KTH STH

117 BC = 3 +4 = 5. CGE ABC, då de båda är rätvinkliga och har ACB gemensam. Antag CG = x. Vi får x 4 = 5 som ger x = 8 5. FBD ABC, då de båda är rätvinkliga och har ABC gemensam. Antag FB = y. Vi får 3 y 3 = 5 som ger y = 9 0. Vi bestämmer så GF Svar: Delarna är.5,.6 och 0.9 dm ( ) 5 0 Problem 4. Vt90. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 5 cm och 0 cm, är en kvadrat inskriven, så att en av dess vinklar sammanfaller med triangelns räta vinkel och motstående hörn är beläget på hypotenusan. Hur stor är kvadratens sida? Lösning: ADE = ACB, betyder att ABC AED DFC. Antag att kvadraten har sidan ED = BF = x. Genom likformighet får vi AE ED = DF FC ger Svar: Kvadratens sida är 8.57 cm 5 x x = x 0 x (0 x)(5 x) = x x x+x = x x = x = 60 7 Läxa. Beräkna för x = och x = 3. f(x) = x 3 8x x Läxa 3. Lös ekvationen x 4 = Håkan Strömberg 3 KTH STH

118 Läxa 4. Hur många gällande siffror har a) 0003 b).0000 c) d) e) f) Läxa 5. Vt95. Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 7. m lång, samtidigt som en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av.3 m. Hur hög är flaggstången? Läxa 6. Ht94. I en triangel, vars omkrets är 3 dm, är summan av de båda största sidorna.4 dm, och de båda minsta sidorna förhåller sig som 3 : 5. Hur stora är sidorna i en annan triangel, som är likformig med den förra och vars omkrets är 4.8 dm? Läxa 7. Vt99. En person står 0 m från ett träd. För att bestämma trädets höjd håller han en käpp lodrätt och så, att syftlinjen från ögat till trädets topp går genom käppens övre ändpunkt A. Syftlinjen till trädets rotända skär käppen i en punkt, vars avstånd från A uppmätes till 3 cm. Käppens avstånd från ögat uppmätes till 40 cm. Hur högt var trädet? Läxa 8. Vt930. Ett åkerfält har formen av en ABC, där AB = 08 m, AC = 44 m och BC = 80 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en gärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården? Läxa 9. Ht937. I en ABC är AB = cm och AC = 9 cm. Höjden mot AB träffar AB i D, 7 cm från A. Höjden mot AC träffar AC, eller dess förlängning, i E. Beräkna AE. Läxa Lösning. Svar: f(5) = 8 och f() = 48 x = x = Läxa Lösning 3. Då x < är det ekvationen (x 4) = som gäller, med roten x = 4. Då x gäller ekvationen med roten x = 8 Svar: x = 4 och x = 8. Läxa Lösning 4. Läxa Lösning 5. (x 4) = a) 6 b) 5 c) 5 d) e) 6 f) 7 Håkan Strömberg 4 KTH STH

119 Antag att AC = x med roten x = cm Svar: Flaggstången är 4 m AB A B = AC A C x 00 = 70 3 Läxa Lösning 6. Antag att sidorna är x > y > z. Vi får då ekvationssystemet x+y = 4 0 x+y+z = 3 y z = 5 3 ger z = 3 5, y = och x = 7 5. Sidorna i den andra triangeln är gånger större än i den första triangeln. Sidorna är då 4 5, 8 5, 5. Svar: De efterlysta sidorna är 0.96 dm,.6 dm och.4 dm Läxa Lösning 7. Antag att trädet är x cm. Med hjälp av likformighet får vi förhållandena med roten x = 550 cm. Svar: Trädet är 5.5 m högt. Läxa Lösning 8. x 3 = ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger ger x = 00 Svar: 00 m x 80 = Håkan Strömberg 5 KTH STH

120 Läxa Lösning 9. Antag att AE = x. AEB ACD, ty CAD är gemensam och CDA = AEB = 90. Förhållandet blir då x 7 = 9 som ger x = 8 3 Svar: AE = cm Håkan Strömberg 6 KTH STH

121 Sidor i boken KB 3-5, Likformighet. OMTAG Läxa 0. Nedan ser du trianglar. Alla trianglar är likformig med en annan. Para ihop dem! Läxa. I ABC är AB = 4 cm, BC = cm och AC = 8 cm. En transversal DE är parallell med BC och 4 cm lång. D ligger på AB och E på AC. Beräkna AD och AE. Läxa. Skuggan av en flaggstång uppmättes en dag till 3 m. Samtidigt befanns skuggan av en m lång, lodrät stav vara.5 m. Beräkna flaggstångens höjd. Läxa 3. I ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, så att BD =.5 cm, och på sidan BC punkten E, så att BE = cm. Beräkna längden av sträckan DE. (Ledning: BED BAC) Håkan Strömberg 7 KTH STH

122 Läxa 4. I en likbent triangel är basen 0 cm och höjden mot basen 5 cm. På vilket avstånd från basen skall man draga en med basen parallell transversal för att dess längd skall vara 8 cm? Läxa 5. I triangleabc är transversalen DE parallell med BC. Punkten D delar AB, så att AD är 3 cm längre än BD. Punkten E delar AC, så att AE är cm längre än EC. Vidare är DE 4 cm kortare än AD och AE = DE. Beräkna triangelns sidor. Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet Två punktmängder, föremålet och bilden, är likformiga om avståndet mellan två godtyckligt valda punkter i föremålet multiplicerat med ett positivt tal k är lika med avståndet mellan motsvarande punkter i bilden. Talet k kallas skala eller längdskala. För likformiga figurer gäller att motsvarande vinklar är lika. Om k > innebär att avbildningen är en förstoring. Skalan skrivs k :, k till. Om k = innebär att bilden är lika stor som föremålet. Punktmängderna är kongruenta. Skalan skrivs :, till. Om k < innebär att avbildningen är en förminskning. Skalan skrivs : a, där a = k, och utläses till a. Om ett område är en likformig bild av ett annat område i längdskalan k, är bildens area lika med föremålets area multiplicerat med k. Detta kallas areaskala. Om en kropp är en likformig bild av en annan kropp i längdskalan k, är bildens volym lika med föremålets volym multiplicerat med k 3. Detta kallas volymskala. Problem 5. På en karta i skalan : är avståndet mellan två orter 3.6 cm. Hur stort är avståndet i verkligheten? Lösning: cm = 3600 m Svar: 3600 m = cm Problem 6. I ABC är höjden AD mot sidan BC 36 cm och BD = 4 cm och DC = 6 cm. Vilken area har en bild av triangeln ritad i skalan : 3? Lösning: Arean hos den ursprungliga triangeln är Arean hos bilden blir då 36 (4+6) 70 = 70 cm ( ) = 30 cm 3 En annan möjlighet. Höjden i bilden är 36 3 = 4 cm. Basen i bilden är (4+6) bilden blir då = 30 3 = arean hos Håkan Strömberg 8 KTH STH

123 Svar: 30 cm Problem 7. En sjö, vars area är 9.6 km, avbildas på en karta i skalan : Hur stor area upptar sjön på kartan? Lösning: Då längdskalan är : är areaskalan : km = cm Svar:.4 cm =.4 cm Läxa Lösning 0. Så här paras trianglarna tillsammans 7,, 5, 9 6, 4 8, 0 3 Läxa Lösning. Antag att AD = x. Vi tecknar förhållandena ger x = 6 Antag att AE = y. Vi tecknar förhållandena x 4 = 4 ger y = Scar: AD = 6 cm och AE = cm y 8 = 4 Läxa Lösning. Antag att flaggstången är x m. Vi tecknar förhållandena. Flaggstångens höjd förhåller sig till flaggstångens skugga, som stavens höjd till stavens skugga ger x = 5.6 m Läxa Lösning 3. x 3 =.5 Hur kan man komma fram till att BED BAC? Eftersom figuren är korrekt ritad ser man att DE inte är parallell med AC. Men eftersom BE AB BD BC så förstår man att BED är en bild av BAC. Där sidorna i BAC är dubbelt så långa som BED. Detta betyder att DE = 6 = 3 cm. Svar: DE = 3 cm. Håkan Strömberg 9 KTH STH

124 Läxa Lösning 4. Rita figur! Antag att höjden i topptriangeln är x. Vi får då x 5 = 8 0 som ger x =. Höjden i topptriangel är alltså cm, vilket betyder att transversalen ska dras 5 = 3 cm från basen. Svar: 3 cm Läxa Lösning 5. Rita figur. Antag att BD = x och EC = y då vet vi att AD = x+3, AE = y+ och DE = x+3 4 = x. Vi vet också att AE = DE Vi får följande samband Med våra beteckningar { AE = DE AD AB = AE AC y+ = x+3 4 y+ = x+3 y+ x+3 Vi har ett ekvationssystem, där vi startar med att lösa ut y ur första ekvationen, som ger y = x 3. Vi substituerar detta i andra ekvationen x 3+ (x 3)+ = x+3 x+3 Denna ekvation har lösningen x = 9, som i sin tur ger y = 6. Nu vet vi att AB = 9+3 =, att AC = 6+ = 4 och att DE = = 8. För att få tag i BC = z ställer vi upp förhållandet eller som ger z = 8. Svar: AB = cm AC = BC = 4 cm BC DE = AB AD z 8 = Håkan Strömberg 0 KTH STH

125 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor och vinklar i en triangel när vissa av dessa är kända. Det handlar då om plan trigonometri. Här ska vi hålla oss till rätvinkliga trianglar. I senare kurser kommer trigonometrin att innefatta godtyckliga trianglar. Ibland kommer det trots allt att dyka upp icke rätvinkliga trianglar. Då är lösningen, att med hjälp av en konstruktion, till exempel genom att dra en höjd åstadkomma två rätvinkliga trianglar. Närliggande och Motstående står i relation till vinkeln v, som är given eller efterfrågad. tanv = sinv = cosv = motstående katet närliggande katet motstående katet hypotenusan närliggande katet hypotenusan tanv = a b sinv = a c cosv = b c Innan vi sätter igång att solvera rätvinkliga trianglar ska du se till att din räknare är inställd på räkning i grader. Kontrollera att 45 TAN ger resultatet. Vinklar mäts i allmänhet i grader (360 på ett varv) eller i radianer (π på ett varv). Här ska vi hålla oss till grader. Håkan Strömberg KTH STH

126 Känner man två storheter i formlerna ovan, kan man enkelt bestämma den tredje. Nr Känt Sökt Formel I v, a b b = a tanv II v, b a a = b tanv III a, b v v = arctan a b IV v, a c c = a sinv V v, c a a = c sinv VI a, c v v = arcsin a c VII v, b c c = b cosv VIII v, c b b = c cosv IX b, c v v = arccos b c I formlerna III, VI och IX ska man bestämma en vinkel. till exempel v = arcsin På dosan trycker man då SIN / och motsvarande COS för arccos och TAN för arctan. Problem 8. Vad kallas triangeln i figuren. Bestäm h och b. Lösning: En triangel med vinklarna kallas en halv liksidig. h = 0 sin b = 0 cos60 = 0 Den korta kateten är då häften så lång som hypotenusan. Antag att hypotenusan är a, sidan b = a. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi så räkna ut sidan h (a) = a +h 4a = a +h 3a = h h = 3a h = a 3 Av detta får vi att höjden i en liksidig triangel med sidan a är h = a 3. Håkan Strömberg KTH STH

127 Problem 9. Beräkna triangelns area. Lösning: Med hjälp av formeln Först bestämmer vi höjden genom AD = h A = b h h = 46 sin sedan BD = b b = 46 cos och så DC = b b 30.8 tan Till sist kan vi bestämma arean Svar: 83 cm A = ( ) Problem 0. Beräkna triangelns area. Lösning: Basen BC = 50. Höjden mot BC = h får vi genom Arean blir då h = 39 sin A = Vi kunde likväl bestämt oss för att beräkna höjden mot AB = h, som ger h = 50 sin Arean blir då A = Samma resultat! Hur överraskande var det? Längre fram i era matematikstudier (närmare bestämt nästa kurs), kommer ni att stifta bekantskap med areasatsen, som efter denna uppgift är lätt att inse A = a b sinγ Håkan Strömberg 3 KTH STH

128 där γ är vinkeln mellan a och b. Problem. I en likbent triangel är höjden hälften av basens längd. Arean är 400 cm. Bestäm triangelns omkrets. Lösning: Antag att höjden är AD = x. Då är basen BC = x. Vi kan då teckna en ekvation med hjälp av formeln b h. x x = 400 x = 800 x = 400 x = 400 x = 0 Höjden är alltså AD = 0 och basen BC = 40. Återstår att bestämma längden hos de två lika långa benen AB och AC. Höjden delar basen mitt itu i en likbent triangel. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi nu bestämma AC = y i ADC. y = 0 +0 y = 0 y = 0 Triangeln ADC är en halv kvadrat. Vi finner att diagonalen idenna kvadrat, AC är 0. Det vill säga kvadratens sida. Så är det alltid. Bra att veta. Vi får omkretsen cm. Svar: 96.6 cm Problem. Beräkna figurens omkrets Lösning: AD = x kan vi få fram direkt genom sin49 = 34 x som ger x = AD Vi kan också bestämma ED = y med hjälp av tan49 = 34 y som ger y = ED Turen har nu kommit till BE = z. Vi får tan53 = z 34 Håkan Strömberg 4 KTH STH

129 som ger z = BE 45.. Vi vet nu att BD = = Nu kan vi gå på BCD. Först BC = u. Vi får cos4 = u som ger u I nästa steg bestämmer vi DC = v genom tan4 = v med resultatet v = DC Återstår så AB = w. Vi får cos53 = 34 w som ger w = Nu kan vi bestämma omkretsen = 6.55 Svar: Omkretsen är 7 cm Nedan följer först 9 uppgifter, alla med rätvinkliga trianglar och med en obekant. Ibland efterfrågas sidan x och ibland vinkeln v. Tillsammans kommer de 9 olika situationerna från tabellen ovan att tillämpas exakt en gång! Läxa 6. Bestäm v Läxa 7. Bestäm x Läxa 8. Bestäm x Håkan Strömberg 5 KTH STH

130 Läxa 9. Bestäm v Läxa 30. Bestäm x Läxa 3. Bestäm v Läxa 3. Bestäm x Håkan Strömberg 6 KTH STH

131 Läxa 33. Bestäm x Läxa 34. Bestäm x Läxa 35. Bestäm rektangelns omkrets Läxa 36. Bestäm figurens omkrets Läxa 37. Givet ABC där sidan BC är dubbelt så lång som sidan AC. Höjden CD = 63 cm mot sidan AB och BAC = 44. Bestäm triangelns area. Läxa Lösning 6. Formel III v = arctan Håkan Strömberg 7 KTH STH

132 Läxa Lösning 7. Formel V Läxa Lösning 8. Formel I Läxa Lösning 9. Formel IX Läxa Lösning 30. Formel VII Läxa Lösning 3. Formel VI Läxa Lösning 3. Formel VIII Läxa Lösning 33. Formel II x =.4 sin38 7 x = 5 tan v = arccos v = 7 cos v = arcsin x = 9. cos40 7 x = 7 tan45 7 Läxa Lösning 34. Formel IV 9 x = sin5.4 Läxa Lösning 35. Vi bestämmer höjden h och basen b genom och Omkretsen blir då b = 60 cos h = 60 sin30 30 h+b Observera att höjden ska man kunna se direkt eftersom diagonalen delar rektangeln i två halva liksidingar Svar: 64 cm. Läxa Lösning 36. För att kunna bestämma AB och AD behöver vi BD. BD = x är hypotenusa i BCD. Pythagoras sats ger x = 3 +4 x = 5 x = 5 BCD är ofta förkommande, eftersom alla sidor är heltal, och kallas för den egyptiska triangeln. När vi betraktar ABD ser vi att den är en halv kvadrat eftersom den har vinklarna Det betyder att AB = BD = 5. Återstår så att bestämma AD = y. Vi kan använda trigonometri eller Pythagoras sats, vilket som. sin45 = 5 y 5 y = sin45 y 7.07 Det är bra att känna till att för en given sida s i en kvadrat är diagonalen s. I vår uppgift y = Vi får så omkretsen Svar: 9 cm = 9.07 Håkan Strömberg 8 KTH STH

133 Läxa Lösning 37. Du måste rita figur! Antag att CA = x och CD = x. Med hjälp av sin44 = 63 x får vi x = CA Vi vet nu att CB = x Vi beräknar nu AD = y tan44 = 63 y ger y = AD Sedan över till DB = z som vi får genom Pythagoras sats 8.38 = 63 +z z = z Nu har vi basen AB = = och kan därmed bestämma arean A = Svar: 743 cm Håkan Strömberg 9 KTH STH

134 Sidor i boken Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur : Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 30,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan är lika med den liksidiga triangelns sida. Den korta kateten är förstås hälften av hypotenusan. Den längsta kateten är lika med höjden i den liksidiga triangeln. Dess längd kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats. Vi antar att den är x s = ( s ) +x s s 4 = x x = s s ( 4 x = s ) 4 4 x = s x = s 4 x = s 3 Håkan Strömberg 30 KTH STH

135 Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som alla är viktiga att kunna utantill: s cos60 = s = s 3 cos30 3 = = s s 3 sin60 3 = = s s sin30 = s = tan60 = tan30 = s 3 s s s 3 = s 3 s = 3 = s s 3 = 3 Vänder vi oss nu mot triangeln till höger ser vi att det är en halv kvadrat. Alla trianglar med vinklarna 45,45,90 är just halva kvadrater. Om den ena kateten är s så måste förstås även den andra vara lika lång. Hypotenusan, lika med kvadratens diagonal, kan vi bestämma med Pythagoras sats. Vi antar att den är x: x = s +s x = s x = s x = s Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som är viktiga att kunna utantill: cos45 = s s = sin45 = s s = tan45 = = Håkan Strömberg 3 KTH STH

136 Problem 3. Hur högt är Eiffeltornet? Sträckan BC = 50 m. ABC = Lösning: Vinkel och närliggande katet givna. Motstående katet efterfrågas. Antag motstående katet är x m. Svar: 300 m tanv = motstående närliggande tan63.4 x = 50 x = 50 tan63.4 x 300 Problem 4. I takkonstruktionen är CM =.5 m och AB =.46 m Beräkna takvinkeln BAC. Lösning: Eftersom båda takvinklarna är v handlar det om en likbent triangel. Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar där motstående och närliggande katet är givna. Vinkeln v efterfrågas ger Svar: tanv = motstående närliggande tanv =.5.46 v = arctan.5.46 v Problem 5. Beräkna vinkeln CAB Håkan Strömberg 3 KTH STH

137 Lösning: CAB ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ACD som vi antar är v. Vi kan nu bestämma tanv = 0 40 v = arctan v 6.57 ACB = 80 ACD = = I nästa steg bestämmer vi ABD som vi antar är u CAB får vi nu genom Svar: tanu = u = arctan 0 40 u 5.94 CAB = = 0.63 Problem 6. För att en 9.0 m lång stege ska stå säkert när den reses mot en vägg får vinkeln med markplanet ej understiga 64 och ej överstiga 78. Bestäm stegens kortaste respektive längsta avstånd till väggen, då den är i säkert läge. Lösning: Vi har två trianglar där vi ska bestämma den närliggande katet. I ABC är ABC = 78. Den eftersökta kateten betecknad med x ger sin78 = x 9 x = 9 sin78 x 8.8 I DEF är DEF = 64 Den eftersökta kateten betecknad med y ger sin64 = x 9 x = 9 sin64 x 8. Svar: 8. respektive 8.8 m Håkan Strömberg 33 KTH STH

138 Problem 7. I en liggande halv cylinder finns vatten som figuren visar. Givet dessutom vinkeln BAD = 35. Beräkna höjden h Lösning: Vi startar med att dra radien BE vinkelrätt mot vattenytan. I BDA har vi hypotenusan given till 30 cm och BAD = 35. Vi kan då bestämma sträckan BD som vi betecknar med x och får sin35 = x 30 x = 30 sin35 x 7. Den efterfrågade sträckan h = =.8 cm Svar:.8 cm Problem 8. Beräkna exakt triangelns a) area och b) omkrets Lösning: För att kunna exakt bestämma area och omkrets till ABC måste man känna till följande: ACD är en halv kvadrat. Vinklarna är 45,45,90. Detta för med sig att sträckorna CD = AD =. Sträckan AC kan bestämmas med Pythagoras sats till. Dessutom är det så att sin45 = cos45 = CBD är en halv liksidig triangel. Vinklarna är 30,60,90. Detta för med sig att sträckan CB = är dubbelt så lång som sträckan CD =. Dessutom är det så att sin30 = cos60 = Genom Pythagoras sats kan man nu bestämma sträckan BD som ger BD = 3 = +BD Alla önskade sidor är kända och vi kan bestämma omkretsen till Arean blir O = = A = (+ 3) Svar: Omkretsen är l.e. och arean (+ 3)/ a.e. Håkan Strömberg 34 KTH STH

139 Problem 9. Beräkna exakt längden av AD Lösning: ABC är en halv liksidig triangel. Efter samma resonemang som i föregående uppgift får vi då: BC = och AB = 3. CBD är också en halv liksidig triangel. Det betyder att CDB = 60. Anta att sträckan DC är x. Vi får då ekvationen tan60 = x x = tan60 x = 3 Detta betyder att sträckan AD = 3 3 = 3. Svar: Sträckan AD = 3 Läxa 38. Bestäm x. Läxa 39. Bestäm x. Håkan Strömberg 35 KTH STH

140 Läxa 40. Bestäm x. Läxa 4. Bestäm x. Läxa 4. Bestäm v. Läxa 43. Bestäm v. Håkan Strömberg 36 KTH STH

141 Läxa 44. Bestäm v. Läxa 45. Bestäm v. Läxa Lösning 38. Rätvinklig triangel med vinkel och närliggande katet given. Motstående katet efterfrågas. tanv = motstående närliggande ger Svar: 3.6 cm tan34 = x 35 x = 35 tan34 x 3.6 Läxa Lösning 39. Vinkel och hypotenusan given. Närliggande katet efterfrågas. ger cosv = närliggande hypotenusan cos40 = x 6 x = 6 cos40 x 46.7 Läxa Lösning 40. Vinkel och motstående katet givna. Närliggande katet efterfrågas. Svar: 9 cm tanv = motstående närliggande tan56 = 43 x 43 x = tan56 x 9 Håkan Strömberg 37 KTH STH

142 Läxa Lösning 4. Vinkel och hypotenusa givna. Motstående katet efterfrågas. ger Svar: 59.9 cm sinv = motstående hypotenusa sin53 = x 75 x = 75 sin53 x 59.9 Läxa Lösning 4. De två kateterna givna. Vinkel efterfrågas. ger Svar: 33 tanv = motstående närliggande tanv = 7 4 v = arctan 7 4 v 33 Läxa Lösning 43. Hypotenusan och närliggande katet givna. Vinkel efterfrågas. ger Svar: 5 cosv = närliggande hypotenusan sinv = v = arcsin v 5.79 Läxa Lösning 44. Hypotenusan och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. ger Svar: 43 sinv = motstående hypotenusa sinv = v = arcsin v 43 Läxa Lösning 45. Närliggande och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. ger Svar: 37 tanv = motstående närliggande tanv = 3 30 v = arctan 3 30 v Håkan Strömberg 38 KTH STH

143 Sidor i boken 4-43, Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är de involverade i ett samtal om räta linjen och dess ekvation (funktion). Tillsammans löser de ett antal problem som sammantaget utgör det man behöver ha med sig i ryggsäcken för vidare studier. KTH: Idag ska vi snacka om räta linjen och dess ekvation. Minns du något om det? TB: Ja, det är klart. Jag tror faktiskt att jag kommer att kunna svara rätt på nästan allt du kommer att fråga mig om. KTH: Vi får väl se. Först det här med ekvation. Man uttrycker ju ofta den funktion, som det egentligen handlar om, som y = k x+m istället för att skriva f(x) = k x+m. Jag borde förstås veta varför det blivit på det sättet. Vad står förresten k och m för? TB: Står för!? Vad menar du då? Stopp, stopp vänta ett tag, jag vet. k, även kallat k-värdet är linjens riktningskoefficient eller lutningen helt enkelt. m däremot... KTH: m är kanske mindre viktig, men det underlättar att känna till att linjen skär y-axeln i punkten (0, m). Så om jag säger att en linje har riktningskoefficienten och skär y-axeln i punkten (0,3), vilken är då den linjens funktion? TB: k = och m = 3 ger y = x+3 eller y = 3 x KTH: Bra. Så här ser grafen för den funktionen ut: Figur 3: I figur 4 finns två linjer inritade. Här har du två funktioner, L : y = x+ och L : y = 4 x, vilken är vilken? TB: Linjen markerad med A skär y-axeln på i punkten (0,4) och L har m = 4, alltså hör de ihop. KTH: Det är riktigt. Ännu enklare är det kanske att titta på k-värdena A har negativ lutning L har k =. B har positiv lutning L har k =. Vilken funktion har linjen i figur 5 Håkan Strömberg 39 KTH STH

144 Figur 4: Figur 5: TB: Ingen aning faktiskt. Jag ser att linjen är parallell med x-axeln. Jag gissar att den helt enkelt saknar funktion. KTH: Nu hade du fel. För varje värde x är y = 3, till exempel f(000) = 3 och f( 0.000) = 3. Funktionen är konstant och skrivs alltså y = 3. Om jag ger dig två punkter P(,) och P(5,3), kan du då bestämma funktionen för den linje som går genom dessa punkter? TB: Mmm... Har man två punkter så finns det ju bara en rät linje som går genom dessa. Jag ska alltså bestämma k och m i y = k x + m. Det kanske inte är så lätt. (TB funderar) Om jag börjar med k-värdet k = y x = y y = 3 x x 5 = 3 Jag tror, eller vet, att k = 3. Jag har nu kommit så här långt: y = 3x + m och nu ska jag bestämma m men hur? (TB funderar igen) När x = 5 är y = 3 KTH: Javisst. TB: Jag sätter alltså in den andra punkten P i ekvationen y = 3x + m och får 3 = m. Löser jag den ekvationen får jag m =. Om jag har tänkt rätt kan funktionen nu skrivas y = 3x. Men om jag hade satt in P istället hade jag väl fått ett annat resultat? KTH: Gör det. TB: = 3 +m. Nej, jag får ändå m =. Nu är jag säker på mitt svar. KTH: Bra. Vi går vidare i texten. Nu ska jag ge dig två funktioner. { L : y = 3x 5 L : y = x+3 Var skär de varandra. Med andra ord bestäm skärningspunkten. Håkan Strömberg 40 KTH STH

145 TB: När jag stoppar in ett och samma x-värde i de båda funktionerna ska jag få samma resultat. Då har jag hittat en punkt som ligger på båda linjerna. Denna punkt kallas skärningspunkten. Observera det kan bara finnas en skärningspunkt när det handlar om två räta linjer. KTH: Allt du sagt är korrekt, men hur hittar du skärningspunkten? TB: Jag kan ju alltid prova mig fram. Stoppa in olika värden på x och om jag har tur, så har jag. KTH: Självklart behöver man inte gissa. Tänk efter nu. TB: Blir det en ekvation? Någonting i stil med 3x 5 = x+3 3x x = 3+5 x = 8 Låt mig testa nu då x = 8 för linje L blir y = 9 och x = 8 för linje L är också y = 9. Det funkar ju! KTH: Vilken är då skärningspunkten? TB: (8,9) KTH: Bra. Nästa problem: Nu ska vi kombinera de två problemen vi löst ovan. Givet P(,4) och P(5, ), som ligger på samma linje samt P3(, 8) och P4(3, ), som ligger på en annan. Vilken skärningspunkt har dessa linjer? TB: Så du menar att jag ska göra om nästan samma sak igen? Vad jobbig du är. KTH: När du gjort det tror jag att det också kommer att sitta för en lång tid framåt troligtvis över tentamen. TB: Jag börjar med punkterna P och P. De ligger på en linje L : y = k x+m. Först bestämmer jag k -värdet: k = y x = y y = 4 x x 5 = 6 Jag sätter nu in P i L och får 4 = 6 +m som ger m = 8. Funktionen för den första linjen är nu bestämd till L : y = 6x 8. Nu är det dags för nästa linje, puh. Det handlar nu om punkterna P3(,8) och P4(3, ). Funktionen är denna gång L : y = k x+m. k = y x = y 3 y 4 x 3 x 4 = 8 ( ) ( ) 3 = 5 Så över till m. Jag använder den andra punkten och sätter in den i L och får ( ) = ( 5)3+m som ger m = 3. Jag är bra på huvudräkning eller hur? Alltså blir L : y = 5x+3. Vad var det jag skulle göra nu igen? KTH: Ta reda på skärningspunkten för de linjer vars funktion du just bestämt. TB: Javisst ja. Jag har alltså Dessa leder till den enkla ekvationen { L : y = 6x 8 L : y = 5x+3 6x 8 = 5x+3 6x+5x = 3+8 x = x = Jag kan nu stoppa in x = i vilken som helst av L och L i båda fallen får jag y =. Skärningspunkten är alltså (, ). KTH: Nu har du varit så duktig, så du får välja nästa problem själv. TB: Ska jag jag har inga olösta problem. Dom får du stå för. Håkan Strömberg 4 KTH STH

146 KTH: Då tar vi det här: Jag ger dig fyra punkter P(,9), P(4,), P3(, 9) och P4(6,37). En av dem ligger inte på samma räta linje vilken? TB: Det är väl enkelt. Jag väljer ut två punkter till exempel P och P, bestämmer motsvarande funktion. Sedan sätter jag in de andra två punkterna och den som inte ligger på linjen är den punkt jag söker. KTH: Är du säker på att detta fungerar? TB: Varför skulle det inte göra det? Aha, du menar att om den udda punkten är antingen P eller P så får jag en linje som inte innehåller någon av de två andra punkterna. Jag förstår och inser samtidigt att det här kommer att bli riktigt jobbigt. Det finns ju många sätt att välja ut två punkter. KTH: Tänk vidare. TB: Om jag har otur i mitt första val, så vet jag att P3 och P4 ligger på samma linje och då får jag bestämma den funktionen, med vilken jag kan avgöra vilken av P och P som är oäkta. Därmed är denna uppgift inte jobbigare än förra uppgiften. KTH: Det är bara att sätta igång. TB: Jag kallar den första linjen L : y = k x+m eftersom punkterna P och P är inblandade. Jag bestämmer först k precis som tidigare Oj vad jobbigt, inte ens heltal. Så till m k = y x = y y x x = 9 4 = 3 ger m = 4 och funktionen 9 = 3 +m L : y = 3 x 4 Nu är det spännande. Vad händer förresten om en punkt fungerar? KTH: Det förstår du väl? TB: Ja,ja. Om en av punkterna P3 och P4 ligger på linjen så blir jag glad jag vet då att den andra inte gör det och därmed är den punkt jag är på jakt efter. Först testar jag med P 3 3 ( ) 4 = 7 9 Nu vet jag att P3(, 9) inte ligger på den linje jag just bestämt funktionen för. Chansen finns nu att P4(6,37) gör det = Neeej inte heller den punkten fungerar, så då måste jag bestämma L 34. Först k-värdet Och sedan m-värdet k 34 = y x = y 4 y 3 = 37 ( 9) = 56 x 4 x 3 6 ( ) 8 = 7 37 = 6 7+m 34 m 34 = 5 som ger funktionen L 34 : y = 7x 5. Denna funktion ska nu avgöra vilken av punkterna P och P som är udda. Först test med P (,9) 7 5 = 9 P ligger på linjen. Då kan inte P göra det. P är svaret! Jag ser på dig att du vill att jag ska testa det. Jag gör som du vill. För P får jag L 34 : = 3 För x = 4 insatt i L 34 får vi alltså 3 istället för. Ganska nära om man säger. Håkan Strömberg 4 KTH STH

147 KTH: Här ser du ett diagram med fem linjer inritade. Nedan finns också en tabell med fem funktioner. Det blir nu din uppgift att para ihop linjerna med funktionerna. Figur 6: I L : y = x+3 II L : y = 3 x III L 3 : y = x 3 IV L 4 : y = 3x V L 5 : y = 3x+8 TB: Ganska lätt eller hur? I och II skär y-axeln i samma punkt (0,3), vilket betyder att de har samma m-värde. B har positivt k värde och E negativt, så då vet vi att B I och E II. Sedan är det bra att plocka ut linjerna efter m-värdet: A V, C IV och D III KTH: En linje skär y-axeln i punkten (0,6) och den positiva x-axeln i en punkt så att linjen bildar en triangel med axlarna med arean 6 areaenheter. Bestäm linjens ekvation. TB: Triangeln som bildas är ju rätvinklig. Höjden är 6 och basen x. Triangelns area beräknas med: som ger ekvationen A = b h 6 = b 6 b = och därför skär vår linje x-axeln i (,0). m-värdet har vi ju redan och k-värdet kan vi bestämma med hjälp av k = y x = y y = 6 0) x x 0 ) = 3 Den sökta funktionen blir då = 6 3x eller hur. KTH: Javisst, jättebra. Direkt över till nästa problem: En linje har k = /. En annan går genom P(5, ) och är samtidigt vinkelrät mot den första. Bestäm den andra linjens funktion. TB: Vad har jag missat? Jag menar, jag har ingen aning! KTH: Vad vet du om k-värdet för två linjer som skär varandra under rät vinkel? TB: Aha, jag har hört något om det. Få se nu... Kanske att om den ena linjen har k-värdet k och den andra k så är k k =. Är det det du tänker på? KTH: Ja, hur kan du använda detta här? TB: Linjen måste ju ha k-värdet k = eftersom k k = =. Eftersom vi har en punkt P(5, 7) given kan vi bestämma m ur 7 = 5+m, som ger m = 3 Håkan Strömberg 43 KTH STH

148 Figur 7: KTH: Bra. Här får du fem funktioner för räta linjer. Vilka är parallella? I 8x+7 = 9y II y+x 3 = 0 III 3 x+ y 3 = 0 IV 3y+6x = 39 V y x = 3 TB: Ännu fler uppgifter. Jag börjar faktiskt bli trött. KTH: Men det ska kännas, precis som att träna inför Stockholm Marathon. TB: Så viktig kan ju inte detta vara. Men jag ska samla mig. Vad skulle jag göra nu igen? Linjer med samma k-värde. Man kan inte läsa av koefficienten framför x direkt utan måste först lösa ut y inte sant. Här har du lösningarna I y = x+3 II y = x+3 III y = x+3 IV y = x+3 V y = x+3 Det är inte nog med att de är parallella, I,III och V är identiska. På samma sätt II och IV. KTH: Bestäm funktionen för den linje som går genom origo och skärningspunkten för linjerna L : y = 4x+3 och L : y = 7 x. TB: För en linje som går genom origo är m = 0. Vi ska alltså bestämma y = k x. För att får reda på k måste vi lösa ekvationen L = L Håkan Strömberg 44 KTH STH

149 4x+3 = 7 x 4x+x = 7 3 6x = 6 x = För x = ger L y = 9, skärningspunkten är alltså (,9). Den andra punkten vi ska använda här är (0,0) och nu kan vi bestämma k k = = 9 Så nu kan vi skriva funktionen som L 3 : x = 9x, eller hur KTH: Alldeles utmärkt. Känns det som du börjar behärska detta område nu? TB: Har ingen aning. Även om jag kunnat lösa de uppgifter du givit mig så finns det säker många andra som jag inte skulle klara. KTH: Det låter nästan som du vill ha fler! Vilket k-värde måste linjen y = kx+5 ha för att gå genom punkten (3,)? TB: Vi vet att linjen skär y-axeln i (0,5). Då har vi två punkter och kan enkelt räkna ut k-värdet Detta ger funktionen y = x+5. Det var lätt k = = KTH: Linjerna L och L skär varandra i (4, 3). Bestäm linjernas funktioner då följande är givet { y = k x y = m 3x TB: Om jag sätter in den givna punkten i L får jag 3 = k 4, som ger k =. Om jag på samma sätt sätter in punkten i L, så får jag 3 = m 3 4, m = 9. De två linjernas funktioner är då L : y = x och L : y = 3x+9 KTH: Här får du tre linjer som tillsammans bildar en triangel vars area vi vill bestämma L : y = 4x L : y = 6 L 3 : y = x TB: Jag har inte en aning om hur man ska göra. Hjälp mig. KTH: Här får du linjernas grafer, som säkert kommer att hjälpa dig in på rätt spår Figur 8: Ser du vilken linje som är vilken? TB: L är parallell med x-axeln, det är nog tursamt. Den linjen får bli bas i triangeln. Jag måste ta reda på var linjerna skär varandra L = L, L = L 3 och L = L 3. Mycket räkna blir det. Vi tar dem i tur och ordning: Håkan Strömberg 45 KTH STH

150 L och L skär varandra i (,6) 4x = 6 x = L (x) och L 3 (x) skär varandra i ( 3, 3 ) 4x = x 6x = x = 3 6 = x x = 3 L (x) och L 3 (x) skär varandra i ( 3,6). Så här långt blev det ju ganska enkla uträkningar. Men sen? KTH: Hur lång är nu basen? Hur bestämmer man höjden? TB: Basen måste vara b = ( 3) = 5 och höjden h = 3 +6 = 0 3. Nu kan jag använda: A = b h = = 50 3 KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt? TB: Hur många som helst förstås. Det finns ju oändligt många k-värden. KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt och har ett givet k-värde? TB: Bara en KTH: Utan alltför mycket räknande ska du nu kunna skriva ned funktionerna för de fyra linjerna i figur 9 Figur 9: TB: Först tar vi de två linjerna som har positiva k värden A och B. A går genom origo och har då m=0. k-värdet är. Detta ger L A : y = x. B har också k-värdet, men skär y-axeln i (0, ) och då får jag L B : y = x. Så över till C och D. Båda har negativa k-värden rättare sagt k =. De är parallella. De skär y-axeln i (0,) respektive (0,4). Vilket ger L C : y = 4 x och L D : y = x KTH: Punkterna P( 4, 7) och P(, 3) ligger på samma räta linje. Vilken är punkten P3 som också ligger på linjen, mitt emellan dessa? TB: x-koordinaten är (+( 4))/ = 4 och y koordinaten är (3+( 7))/ = 7. P3 = (4,7). Är det rätt? KTH: Ja TB: Ha ha, jag behövde inte bestämma någon funktion som jag först tänkte. Hur kunde det bli rätt egentligen. Håkan Strömberg 46 KTH STH

151 KTH: Att x-koordinaten är 4 är väl inte konstigt? Den ligger ju mitt emellan 4 och på x axeln. På samma sätt är det mer eller mindre självklart att y-koordinaten är 7. En figur? Figur 0: KTH: Tack för den här gången TB: Tack själv. Jag måste faktiskt säga att det var otroligt jobbigt. KTH: Ja, men du har gjort ett bra jobb och kommer att klara alla uppgifter som har med räta linjen att göra. Läxa 46. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P ( 3,4) och P (9, ). Läxa 47. Bestäm riktningskoefficienten för linjen 3x+4y 6 = 0 Läxa 48. Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (, 3) och är parallell med linjen x 5y = 0 Läxa 49. Lös följande ekvationssystem { x y = 3x+y = 6 Håkan Strömberg 47 KTH STH

152 8 6 4 B 3 3 A C Läxa 50. Bestäm ekvationen för linjerna A, B och C i figuren Läxa 5. Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och som är parallell med linjen som går genom punkterna P (8,4) och P (, 3) Läxa 5. Hur många skärningspunkter får man när man ritar de tre linjerna x y+9 = 0 x+y 6 = 0 3x+y+ = 0 Läxa 53. En fyrhörning har sina hörn i punkterna (0,0),(3,0),(6,0) och (0,4). Bestäm koordinaterna för diagonalernas skärningspunkt. Läxa 54. Bestäm P (x,3) och p (0,y) då man vet att punkterna ligger på linjen y = 4x+3 Läxa 55. Bestäm P 3 (5,y) då man vet att punkten ligger på samma linje som P (8,9) och P (3,9) Läxa 56. Bestäm ekvationen till den linje som går genom origo och som skär linjen y = x under rät vinkel. Läxa 57. Vi har linjen y = x. Bestäm k-värdet för den linje som går genom punkten P (0,0) och som tillsammans med x-axeln och y = x bildar en triangel med arean 0. Håkan Strömberg 48 KTH STH

153 Läxa 58. Hur långt är det mellan punkterna P (3,4) och P (6,8)? Läxa 59. Bestäm a i punkten P (a,) så att linjen som också går genom P (4,0) får m-värdet m = Läxa 60. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen skär de två axlarna. x 3 + y = Läxa Lösning 46. Först bestämmer vi k-värdet k = 4 ( ) 3 9 = 6 = Vi har nu y = x+m Återstår att bestämma m. Vi väljer en av punkterna, P och sätter in i ekvationen Svar: 4 = ( 3)+m 4 = 3 +m 4 3 = m m = 5 y = x+ 5 Läxa Lösning 47. Bestäm riktningskoefficienten för linjen 3x+4y 6 = 0 4y = 6 3x 4y = 6 3x 4 4 y = 6 4 3x 4 y = 3x y = 3 4 x+ 3 Svar: k-värdet är 3 4. Läxa Lösning 48. Först skriver vi ekvationen x 5y = 0 på k-form x 5y = 0 x = 5y y = x 5 Håkan Strömberg 49 KTH STH

154 För denna linje är k = 5. Samma k-värde har den linje vi är på jakt efter och vi kan skriva y = 5 x+m Vi söker nu m-värdet och får det genom att använda den givna punkten (, 3) som ligger på denna linje Svar: 5 ( 3) 5 3 = 5 +m 5 = m m = 7 5 y = 5 x 7 5 Läxa Lösning 49. Vi löser ut y ur den andra ekvationen och får y = 6 3x Detta uttryck för y sätter vi nu in i den första ekvationen och får x (6 3x) = x +6x = 7x = 4 x = Detta värde på x kan vi nu sätta in i vilken som helst av de två ursprungliga ekvationerna. Vi väljer den första y = 0 = y y = 0 Svar: x = och y = 0 Läxa Lösning 50. Läs av skärningen med y-axeln för att bestämma m Rita en rätvinklig triangel under linjen för att bestämma x och y. Svar: A) y = x+3 B) y = x+ C) y = x Läxa Lösning 5. Först bestämmer vi k-värdet för den linje vår linje ska vara parallell med: Då kan vi så här långt skriva k = 4 ( 3) 8 y = x+m = 7 7 = Linjen ska ju gå genom origo (0,0) så därför får vi m = 0. Svar: y = x Läxa Lösning 5. Om vi först bestämmer skärningen mellan de två första linjerna genom att lösa ut x ur båda får vi x y+9 = 0 x = y 9 och x+y 6 = 0 x = 6 y Håkan Strömberg 50 KTH STH

155 Nu kan vi bestämma x för skärningspunkten mellan dessa linjer Detta ger oss x för skärningspunkten 6 y = y = y+y 3y = 5 y = 5 x 5+9 = 0 x = 4 De två första linjerna skär varandra i punkten ( 4,5) Vi bestämmer nu på samma sätt skärningspunkten mellan den första och tredje linjen. Lös ut x ur tredje ekvationen 3x+y+ = 0 x = y 3 Nu bestämmer vi y för skärningen mellan första och tredje ekvationen Till sist bestämmer vi tillhörande x-koordinat y 9 = y 3 3(y 9) = y 3y 7 = y 3y+y = 7 5y = 5 y = 5 x = 5 9 x = 4 Av detta kan vi sluta oss att alla tre linjerna skär varandra i en och samma punkt ( 4,5) Läxa Lösning 53. Plotta punkterna så att Du ser att punkterna (0,0) och (6,0) ligger på den ena diagonalen och att (3, 0) och (0, 4) ligger på den andra. Vi har då först att bestämma den första diagonalens ekvation. Dess k-värde är k = = 5 3 m-värdet får vi direkt genom punkten (0,0) till m = 0. Den första diagonalens ekvation är alltså y = 5 3 x Så över till den andra diagonalen. Dess k-värde k = = 4 3 På samma sätt får vi m-värdet gratis genom punkten (0,4) till m = 4 och den andra diagonalen har ekvationen y = 4 3 x+4 Håkan Strömberg 5 KTH STH

156 Genom att sätta 4 3 x+4 = 5 3 x Återstår så att bestämma y för skärningspunkten Svar: Linjerna skär varandra i punkten ( 4 3, 0 9 ) 4 = 3x 3 + 4x 3 9x = 4 3 x = 4 3 y = = 0 9 Läxa Lösning 54. Vi sätter in de halva punkter vi har i ekvationen och får först Detta ger P (7,3). För nästa punkt får vi Alltså P (0,43) 3 = 4x+3 8 = 4x x = 7 y = y = 43 Läxa Lösning 55. Föst bestämmer vi ekvationen för den linje som går genom P och P. k-värdet P insatt i y = x+m ger k = = 9 = 8+m m = 3 Ekvationen är y = x+3. Då x = 5 som i P 3 får vi Svar: P 3 (5,3) y = 5+3 = 3 Läxa Lösning 56. Vi vet att två linjer skär varandra under rät vinkel om för de två k-värdena gäller att k k = Eftersom den givna linjen har k-värdet k = får vi k-värdet för den andra genom k = k = Vi har nu y = x+m och får genom punkten (0,0) får vi direkt att m = 0 Svar: y = x Läxa Lösning 57. Vi antar att skärningspunkten mellan de två linjerna är (a, b). Eftersom y = x så kan vi skriva att skärningspunkten ska vara (a,a). Triangelns bas är uppenbarligen 0 och dess höjd kan vi bestämma genom A = bh Håkan Strömberg 5 KTH STH

157 som ger 0 = 0h Triangelns höjd ska alltså vara h =. Detta betyder att skärningspunkten är (,). Vi kan nu bestämma det efterfrågade k-värdet k = 0 0 = 8 = 4 Läxa Lösning 58. Eftersom x = 6 3 = 3 och y = 8 4 = 4 har vi en rätvinklig triangel med kateterna 3 och 4. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma hypotenusan, som är detsamma som det avstånd vi vill beräkna. a = 3 +4 = 5 = 5 Läxa Lösning 59. Vi har så här långt y = kx. Genom att sätta in punkten P i denna ekvation får vi k-värdet 0 = k 4 0+ = 4k k = 3 Linjen har ekvationen y = 3x Vi kan nu bestämma a genom att sätta in den andra punkten Svar: a = = 3a a = Läxa Lösning 60. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen skär de två axlarna. x 3 + y = Vi startar med att forma om ekvationen: x 3 + y = y = x ( 3 y = x ) 3 y = x 3 y = x 3 + Linjens ekvation kan då skrivas y = x 3 + Då x = 0 får vi direkt y =. Skärningen med y-axeln är alltså (0, ). Skärningen med x-axeln får vi genom att lösa denna ekvation 0 = x 3 + x = 3 x = 3 x = 3 Svar: (0,) och (3,0). Det är ingen tillfällighet att talen och 3 finns i nämnarna i den ursprungliga ekvationen. Håkan Strömberg 53 KTH STH

158 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en matematisk formel, där invärdet representeras med en (eller flera variabler,) alternativt med en tabell eller grafiskt med en graf, ett sambandsdiagram eller ett pildiagram. En viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin, som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde. Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett y-värde. (Detta gäller för den här kursen) Definition. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd D f. Mängden av möjliga y- värden kallas värdemängd V f Exempel 78. Funktionen y = f(x) = x + har definitionsmängden D f = R, mängden av alla reella tal. och värdemängden V f = {y } Exempel 79. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) = x. a är bara definierad om a 0, vilket ger Dg = { x } och V g = {0 y } Elementär funktion Funktion av en variabel som kan byggas upp medelst aritmetiska operationer och potenser och deras inversa funktioner Med termen avses vanligen Polynomfunktioner, f(x) = x 3 x 3 Rationella funktioner, f(x) = x +3 x 3 Exponentialfunktionen, f(x) = x Potensfunktioner, f(x) = 3 x Logaritmfunktionen, f(x) = log x Trigonometriska funktioner, f(x) = sin x + cos x Arcusfunktioner f(x) = arctan x Håkan Strömberg 54 KTH STH

159 I den här kursen ska vi bara syssla med polynomfunktioner och då enbart av första och andra graden. f(x) = 3x 4 är en polynomfunktion av första graden, som vi oftast skriver y = 3x 4 och kalla för rät linje. f(x) = x 4x+3 är en polynomfunktion av andra graden och kallar för andragradsfunktion. Som vi tar upp inför KS3. Läxa 6. Bestäm k och m till linjerna a) 7x+y+4 = 0 c) 5y l5x 0 = 0 b) x y = 9 d) 6x y = 36 Läxa 6. Rita linjerna i samma koordinatsystem. a) y = 3 c) y = x b) x = d) y 4x = Läxa 63. Ligger punkten (4, ) på linjen? a) y = 3x 4 b) x 4y = 0 c) y = x+0 d) x y = 6 Läxa 64. a) Vilket värde har x i den punkt där en linje skär y-axeln? b) Vilket värde har y i den punkt där en linje skär x-axeln? c) I vilken punkt skär grafen till y + 3x = y-axeln? Läxa 65. Ekvationen för en linje är y = 4x+b Vilket är talet b, om linjen går genom punkten a) (,3) b) (,6) Läxa 66. Skriv linjerna y+3x+4 = 0 och y+6x = 8 i k-form. Läxa 67. Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna. a) 3x y+6 = 0 c) 7x+y+l4 = 0 b) 4x+3y l = 0 d) 6y 3 = 0 Håkan Strömberg 55 KTH STH

160 Läxa 68. Nadja påstår att graferna till y = 7 x och y x +3 = 0 är parallella. Är detta sant? Läxa 69. Undersök vilka linjer som är inbördes a) parallella b)vinkelräta? L : y = 4x 3 L4 : 4y x = 0 L : 4x+y 5 = 0 L5 : y = 3 0.5x L3 : 5.x.3y = 0 L6 : 4x+y = 8 Läxa 70. Finn talet a, om punkten P3 : (3,a) ligger på en linje genom punkterna P : (0, 3 ) och P : ( 9 4,0). Läxa 7. Linjen 3x +by 6 = 0 avgränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i första kvadranten. Bestäm talet b, om triangeln har arean 6 areaenheter. Läxa 7. Var skär linjen koordinataxlarna? x a + y b = Läxa 73. För vilket värde på talet a är linjen ax + y = vinkelrät mot linjen x + 3y = 6 Läxa 74. Kan man bestämma talet t så att både linjen y = t x 5 och linjen y = 7x+t går genom punkten (,4)? Läxa 75. Visa att linjerna ax + by = c och bx ay = d, där a och b är tal skilda från noll, är vinkelräta mot varandra. Läxa Lösning 6. Man måste lösa ut y för att kunna läsa av k och m-värden. a) b) c) 7x+y+4 = 0 y = 7x 4 k = 7 m = 4 x y = 9 y = x 9 k = m = 9 Håkan Strömberg 56 KTH STH

161 d) Läxa Lösning 6. 5y l5x 0 = 0 5y = 5x+0 y = 3x+ k = 3 m = 6x y = 36 y = 6x+36 y = 3x+8 k = 3 m = 8 Läxa Lösning 63. Läxa Lösning 64. a) 0 b) 0 c) y+3 0 = ger y =, (0, ). V.L. H.L Svar a) = J b) 4 4 ( ) = 6 0 N c) 4+0 = N d) 4 ( ) = 6 N Läxa Lösning 65. När vi sätter in aktuell punkt får vi en ekvation i b. a) b) 3 = 4 +b ger b = 7 6 = 4 ( )+b ger b = Läxa Lösning 66. Vi löser ut y ur de båda ekvationerna och Svar: Samma linje i två skepnader. Läxa Lösning 67. y+3x+4 = 0 y = 3x 4 y+6x = 8 y = 6x 8 y = 3x 4 a) x = y+6 = 0 y = 3 y = 0 3x 0+6 = 0 x = b) x = y = 0 y = 4 y = 0 4x+3 0 = 0 x = 3 c) x = y+4 = 0 y = 7 y = 0 7x+ 0+4 = 0 x = d) x = 0 6y 3 = 0 y = y = 0 6y 3 = 0 Ingen Håkan Strömberg 57 KTH STH

162 Läxa Lösning 68. Vi löser ut y i den andra ekvationen y = x 3 och ser att den första har k = och den andra k =. För att de ska vara parallella krävs att k-värdena är lika. Läxa Lösning 69. Linjerna har följande k-värden L L3, L L6, L L4, L6 L4, L L5, L3 L5 L y = 4x 3 k = 4 L y = 4x+5 k = 4 L3 y = 4x k = 4 L4 y = x 4 k = 4 L5 y = x 4 +3 k = 4 L6 y = 4x+8 k = 4 Läxa Lösning 70. Först bestämmer vi ekvationen genom punkterna P och P. Vi har nu Vi bestämmer m genom att sätta in P ger m = 3. Vi har nu linjen y Vi sätter in P3 k = y = x 3 +m 3 = 0 3 +m = x a = som ger a = Läxa Lösning 7. Linjen skär y-axeln då x = 0 ger y = 6 b, som också är höjden i triangeln. Linjen skär x-axeln då y = 0 ger 3x Vi får med hjälp av A = b h +b 0 6 = 0. Ger x = 4, som också är triangelns bas. 6 b 6 = 4 = 6 b 4 Svar: b = 4 = 6 b 3 = 6 b b = Läxa Lösning 7. a 0 och b 0 antas vara konstanter. Då x = 0 skär linjen y-axeln. Detta sker då y b = eller då y = b. Då y = 0 skär linjen x-axeln. Detta sker då x a = eller då x = a. Svar: Linjen skär y-axeln då y = b och x-axeln då x = a Håkan Strömberg 58 KTH STH

163 Läxa Lösning 73. Vi måste börja med att lösa ut y i de båda ekvationerna och den andra ax+y = y = ax+ y = ax y = ax + +6 x+3y = 6 3y = x+6 y = x y = x 3 +3 Den senare linjen har k = 3. I den förra linjen, som har k = a, ska vi välja a så att ) ( ) a Svar: Då a = 6 är linjerna vinkelräta. ( 3 = 3 = a = 6 a Läxa Lösning 74. Vilket värde måste t ha för att punkten (,4) ska ligga på y = 7x +t? Vi får ekvationen 4 = 7 +t t = 3 Det betyder att linjen får ekvationen y = ( 3) x 5 9x 5, Vi tar nu reda på vilket värde y får då x = y = Ja, det funkar! Svar: Då t = 3 ligger punkten på båda linjerna. Läxa Lösning 75. Vi löser ut y i de två ekvationerna k-värdet är a b och ax+by = c by = c ax y = ax+c b y = ax b + c b bx ay = d ay = bx d y = bx d a y = bx a d a k-värdet är b a. Vi multiplicerar så de två k-värdena V.S.B. a b b a a b b a Håkan Strömberg 59 KTH STH

164 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning Problem 30. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln. Lösning: En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi kan då teckna längdskalan: L = = = 3 4 Då längdskalan är 3 4 är areaskalan 9 6. Vi antar att den lilla triangelns area är x cm. Nu kan vi teckna följande ekvation x = 9 6 x = 9 6 Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm x = 7 4 Problem 3. I den mindre av två likformiga femhörningar är en sida cm. Motsvarande sida i den större femhörningen är 8 cm. Beräkna den mindre femhörningens area om den större har arean 980 cm. Lösning: Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den andra. Då kan vi bestämma längdskalan. Detta leder direkt till areaskalan A = L = 8 = 3 7 ( ) 3 = Håkan Strömberg 60 KTH STH

165 Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean x cm. x 980 = 9 49 x = x = 80 Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 80 cm Problem 3. Två likformiga parallellogrammer har areorna 65 cm och 60 cm. En sida i den mindre parallellogrammet är 3 cm. Hur lång är motsvarande sida i den större parallogrammet? Lösning: Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given. Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan Vi vet ju att A = L så då kan vi bestämma L A = = 4 L = 4 L = 4 L = En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre. Alltså är den eftersökta sida 3 = 6 cm Svar: 6 cm. Problem 33. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m 3. Sidan i kvadraten är m. En skalenlig modell har volymen 00 cm 3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat? Lösning: Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan ( l ) 3 = v Detta ger l ( x ) = 00 x = v x 3 = x = x = 5 Svar: 5 cm Håkan Strömberg 6 KTH STH

166 Övnings-KS Läxa 76. Förenkla så lång möjligt (a b c) 3 b 3 (c) 3 a a b c b c Förenkla så långt möjligt Läxa 77. ( ) y x xy + + x y x y Läxa 78. Diagonalen i en rektangel är cm och bildar en vinkel av 30.8 med en av sidorna. Beräkna rektangelns sidor. Läxa 79. I en likbent triangel är de lika stora sidorna cm och basen 6 cm. En med basen parallell linje avskär ett parallelltrapets (röd del i figuren), där tre sidor är lika stora. Bestäm dessas längd. (Alla lösningar tack) Läxa 80. Kalle har en mängd byggklotsar i form av kuber med sidan 6 cm. Han bygger av dem en stor kub med klotsar. Lillebor Pelle har också en mängd byggklotsar i form av kuber, men med sidan 3 cm. Han bygger av dem en stor kub med klotsar. Fyll i tabellen Kalle Pelle Kubens Kubens Kubens Sida Area Volym Beräkna därefter längd-, area- och volymskalan mellan Pelles och Kalles skapelser. Läxa 8. En linje går genom punkterna P(a,3) och P(, a) Vilket värde ska a ha för att linjen ska få lutningen k = 9? Håkan Strömberg 6 KTH STH

167 Lösningar Övnings-KS Läxa Lösning 76. (a b c) 3 b 3 (c) 3 a a b c b c a3 b 3 c 3 b 3 3 c 3 a a b c b c a3 3 a3 3 a3 8 Svar: a3 8 Läxa Lösning 77. Svar: +y+x ( xy + x y ) y x + x y xy xy y xy x + + x y x y x y x y y x y x y y+ x x +y+x x y x y Läxa Lösning 78. Diagonalen i en rektangel är cm och bildar en vinkel av 30.8 med en av sidorna. Beräkna rektangelns sidor. Börja med att rita figur! Antag att rektangelns bas är x cm och höjd y cm. Med hjälp av trigonometri får vi cos30.8 = x 9.45 och sin30.8 = y 5.63 Svar: Sidorna är 9.45 cm och 5.63 cm Läxa Lösning 79. Antag att BD = DE = EC = x. Då är AE = x. Vi får x = x 6 x = 6( x) x = 7 6x 8x = 7 x = 4 Håkan Strömberg 63 KTH STH

168 En annan möjlighet är att BD = BC = EC = 6. Då behöver man inte ens räkna. Svar: 4 cm eller 6 cm Läxa Lösning 80. Kubens Kubens Kubens Sida Area Volym Kalle 0 6 = = = 6000 Pelle 0 3 = = = 7000 Skalorna blir då Längdskalan = = : Areaskalan = 4 = : 4 Volymskalan = 8 = : 8 Läxa Lösning 8. P(a,3) och P(, a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna k = y y = 3 ( a) x x a Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt Svar: a = 3 3 ( a) = 9 a 3+a = 9(a ) 3+a = 9a 8 7a = a = 3 Övnings-KS Läxa 8. Förenkla så långt möjligt (a ) (4b 3 ) (a b) 3 Läxa 83. Förenkla så långt som möjligt x3 +3 x 3 3 x+ 3 x 4 Läxa 84. I en rätvinklig triangel ABC är hypotenusan BC = 0 m och kateten AC = 7 m. Bestäm triangelns vinklar. Håkan Strömberg 64 KTH STH

169 Läxa 85. Ett snapsglas, i form av en kon, rymmer 0 cl. Glaset är höjdmässigt till hälften urdrucket. Hur många centiliter finns kvar i glaset? Läxa 86. I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm och hypotenusan cm längre än den andra kateten. Beräkna triangelns area. Läxa 87. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/. En annan g(x) skär y-axeln i punkten y = 3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln? Lösningar Övnings-KS Läxa Lösning 8. Svar: 8 a b 3 Läxa Lösning 83. x3 +3 x 3 3 x+ 3 x x x+3 x x+x 3 x (a ) (4b 3 ) (a b) 3 a4 6 b 6 a 3 b 3 8 a b3 x(x+3) x 3 x(x+3) 3 x x 3 x 3 x 6 6 x x Läxa Lösning 84. A = 90. Antag att en vinkel är v. Vi bestämmer att AC är närliggande till v. Vi får cosv = 7 0 v = arccos 7 0 v Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 80. Den tredje vinkeln är då Svar: Triangelns vinklar är 90, 45.6, ( ) = Läxa Lösning 85. Den del av drycken som finns kvar i glaset utgör en kon för sig. Om dess höjd är a har konen som utgör hela glaset höjden a. Längdskalan är alltså : mellan konen som utgör hela glaset och konen som utgör den dryck som är kvar. Då längdskalan är : är volymskalan ( )) 3 : 8. Detta betyder att om det finns 0 cl i glaset från början så finns det endast 0 8 =.5 cl kvar. Läxa Lösning 86. Antag att den andra kateten är x cm. Då är hypotenusan x+ cm. Pythagoras Håkan Strömberg 65 KTH STH

170 sats ger 7 +x = (x+) 49+x = x +x+ 48 = x x = 4 De två kateterna utgör höjd och bas i triangeln och ger arean Svar: Arean är 8 cm 4 7 Läxa Lösning 87. De två funktionerna g(x) = k g x+m g och f(x) = k f x+m f måste bestämmas för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/) = 0 ur detta kan vi bestämma k f k f = = 8 3 Vi vet redan att m f = 4 och kan nu skriva f(x) = 8 3 x + 4. Genom texten vet vi att k g = 3 8 eftersom k g k f =. Vi vet också att m g = 3 och kan skriva g(x) = 3 8 x 3. Då vi löser ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten. g(x) skär x-axeln i (8,0) 3 8 x 3 = 0 x = 8 Övnings-KS 3 Läxa 88. Förenkla så långt möjligt x (6 y) ( x y) x 4 ( y) Förenkla så långt möjligt Läxa 89. ( x y)( x+ y) x xy+y Läxa 90. I en rätvinklig triangel är ena kateten m och arean är 6 cm. Bestäm trianglarnas vinklar. Läxa 9. I ABC är DE parallell med BC. AB = cm, AC = 5 cm och AD = 4 cm. I vilka längder delas AC? Läxa 9. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan : 000 är triangelns bas cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet? Läxa 93. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L och L och som är parallell med L 3. L : y = x L : y = x+3 L 3 : y = x+ Håkan Strömberg 66 KTH STH

171 Lösningar Övnings-KS 3 Läxa Lösning 88. Läxa Lösning 89. x (6 y) ( x y) x 36 y 4 x y ( y) x x 4 44 y 44 x4 y 4 44 x 4 y y 4 ( x y)( x+ y) x xy+y (x y )(x +y ) ) (y )) x xy+y (x (x y) Läxa Lösning 90. Rita figur! x y (x y) x y Eftersom vi har triangeln area och bas, kan vi bestämma höjden h. som ger h = m. Vinklarna får vi nu genom Den resterande vinkeln får vi genom 6 = h tanv = v = arctan v ( ) = 60.6 eller genom Svar: Vinklarna är 60.6 och 9.74 Läxa Lösning 9. Rita figur! tanu = u = arctan u 60.6 ADE ABC, då DE är en parallelltransversal. Antag att AE = x cm. Vi får ger x = 5. AC delas 5 respektive 5 5 = 0 cm Svar: 5 cm och 0 cm x 4 = 5 Håkan Strömberg 67 KTH STH

172 Läxa Lösning 9. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan : 000 är triangelns bas cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet? Arean av området på kartan är A = 5 30 cm Areaskalan är : 000 = : Detta betyder att arean i verkligheten är = cm 3000 m Ett annat sätt är att räkna om basen och höjden till verkligheten. Först höjden: och så basen Vi får nu arean genom Svar: 3000 m = 5000 cm 50 m 000 = 000 cm 0 m 50 0 = 3000 m Läxa Lösning 93. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L och L. { y = x y = x+3 som ger x = x+3 3 = x x x = 5 x = 5 insatt i L ger y = 7. Vi har skärningspunkten ( 5, 7). Den sökta linjen har k-värdet, samma som L 3 :s k-värde. Återstår att med hjälp av punkten ( 5, 7) bestämma m i y = x + m. Vi får 7 = ( 5) + m ger m =. Svar: y = x Håkan Strömberg 68 KTH STH

173 Sidor i boken KB 7-5 Linjära ekvationssystem Exempel 80. Kalle och Pelle har tillsammans 300 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor. Då har Pelle x kulor, som leder till ekvationen som ger x = 00 Svar: Kalle har 00 kulor och Pelle har 00. x+x = 300 Detta problem ledde till en ekvation av första graden. Här ett alternativt sätt att lösa problemet Lösning: Antag att Kalle har x kulor och Pelle y kulor. Vi får då två ekvationer som vi sätter samman till ett ekvationssystem { x+y = 300 y = x Då vi vet att y = x från den andra ekvationen kan vi substituera detta i den första och får x+x = 300 som är identisk med den första lösningen. När vi löst ut och fått x = 00, sätter vi in detta resultat i den andra ekvationen och får y = Samma svar förstås. Om du skriver om ekvationerna i systemet till { y = 300 x y = x ser du att detta är två räta linjer. Lösningen kan då åskådliggöras med hjälp av en graf Lösningen hittar vi där linjerna skär varandra, (00,00). Klassificering av ekvationssystem Det inledande ekvationssystemet ovan är ett linjärt ekvationssystem med obekanta. Det är linjärt därför att det de obekanta har gradtalet ett. Håkan Strömberg 69 KTH STH

174 Här har vi ett linjärt ekvationssystem med 3 obekanta. x+y+z = 6 x y+3z = 9 x+4y z = 3 med lösningen x =, y =, z = 3. Systemet är lite svårare att lösa än det med obekanta och mycket svårare att åskådliggöra i en graf. Det finns förstås ingen övre gräns för hur många obekanta man kan ha i ett ekvationssystem. Det finns tillämpningar där antalet obekanta är flera tusen! Då är man förstås tvungen att använda en dator för att hitta lösningen. Här har vi ett icke linjärt ekvationssystem med obekanta. Systemet är icke linjärt därför att x (och även y) förekommer med graden. { (x ) +(y 3) = 36 y+3x = 0 Den första ekvationen beskriver en ellips och den andra en rät linje. Vi kan läsa av de två rötterna på ett ungefär, (.78,7.66) och (4.85,.8) Som tur är kommer vi här bara att syssla med linjära ekvationssystem av obekanta. En, ingen eller oändligt många lösningar Ett linjärt ekvationssystem kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Detta är ett system med en lösning { x+3y = 4x 6y = 0 Med substitutionsmetoden löser vi ut x eller y ur en av ekvationerna och substituerar dess värde i den andra ekvationen. Vi löser ut x ur den andra ekvationen 4x 6y = 0 x = 3y Vi sätter in 3y för x i den första ekvationen 3y +3y = 6y = y = Från x = 3y får vi x = 3 3. Om vi löser ut y ur de två ekvationerna får vi: y = x 3 +4 y = x 3 Håkan Strömberg 70 KTH STH

175 Två räta linjer som vi kan plotta Svar: x = 3, y = Det här systemet har ingen lösning. { 3y 9x 9 = 0 4y x+8 = 0 Hur kan man se det? Vi löser ut y ur första ekvationen och får y = 3x+3. Resultatet substituerar vi i den andra ekvationen och får: 4(3x+3) x+8 = 0 x+ x+8 = 0 0 = 0 vilket bevisar detta. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi { y = 3x+3 y = 3x Ekvationerna representerar nu två räta linjer. Att de inte skär varandra förstår vi då båda linjerna har k = 3. Här har vi grafen Det här systemet har oändligt många lösningar { 3y 3x 6 = 0 6y 6x = 0 Hur kan man se det då? Vi gör som i förra exemplet löser ut y i första ekvationen och får y = x+, sätter in det i andra ekvationen 6(x+) 6x = 0 6x+ 6x = 0 0 = 0 Detta betyder att för varje värde på x så finns det ett värde på y som satisfierar båda ekvationerna. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi { y = x+ y = x+ Håkan Strömberg 7 KTH STH

176 De båda ekvationerna representerar samma linje! Grafen ger då endast en linje och självklart finns det då till varje x-värde ett y-värde. Problem 34. Givet x +ax+b = 0 Bestäm a och b, som är reella tal då man vet att ekvationen har rötterna x = 7 och x = 9. Bestäm Substitutionsmetoden och Additionsmetoden I systemen vi löst ovan har vi använt oss av substitutionsmetoden som innebär Lös ut en obekant ur den ena ekvationen Ersätt denna lösning med den denna obekanta i den andra ekvationen 3 Lös denna ekvation som nu består av en obekant 4 Sätt in denna lösning i lösningen från steg Vi löser detta system { y 6x = 0 6x 3y = 0 efter schemat ovan. () Vi löser ut y ur den första ekvationen y 6x = 0 y = 0+6x y = 5+3x () Vi ersätter y med 5+3x i den andra ekvationen och löser ekvationen (3). (4) Vi sätter in x = 9 i lösningen från () Svar: x = 9 och y = 6x 3(5+3x) = 0 6x 5 9x = 0 6x 5 9x = 0 7 = 3x x = 9 y = 5+3( 9) y = Vi löser så samma system med additionsmetoden. Först städar vi lite grann. { y 6x = 0 3y+6x = Håkan Strömberg 7 KTH STH

177 När vi nu adderar V.L. i första ekvationen med V.L. i andra och H.L. i första ekvationen med med H.L. i den andra får vi { y = y = Med lite tur fick vi direkt y =. Detta värde sätter vi så in i vilken som helst i ekvationerna. Vi väljer den första: ( ) 6x = 0 6x = 0+44 x = 9 Svar: x = 9 och y = Så där enkelt blir det förstås inte alltid. Vi tar ett exempel till: { y 5x = 0 3y+x 40 = 0 Här multiplicerar vi först båda sidor av första ekvationen med 3, innan vi adderar { 3(y 5x ) = 3 0 3y+x 40 = 0 och får { 3y+5x+6 = 3 0 3y+x 40 = 0 Efter additionen har vi { 7x 34 = 0 x = Vi sätter in x = i den andra ekvationen 3y+ 40 = 0, som ger y =. Svar: x = och y =. Ett ännu mer krävande exempel { 7x 3y = 3 3x+y = Här multiplicerar vi båda leden i första ekvationen med och båda leden i den andra med 3 { (7x 3y) = ( 3) Vi får Efter additionen har vi 3(3x+y) = 3 { 4x 6y = 6 9x+6y = 3 { 3x = 3 x = x = insatt i den andra ekvationen ger 9( )+6y = 3 ger y =. Svar: x = och y =. Vilken metod ska man då välja? Ibland leder den ena till enklare räkningar än den andra. Eftersom båda leder till rätt svar kan man låta smaken avgöra. Håkan Strömberg 73 KTH STH

178 Läxa 94. Lös ekvationssystemet grafiskt { 4y x = 30 y+x = Läxa 95. Lös ekvationssystemet { 3(x ) 4(y+5) = 3 3y x+5y+3x = Läxa 96. Lös ekvationssystemet { 3x+5y = 9 6x+8y = Läxa 97. Bonden Per Olsson har har på sin gård kor och höns. Räknar han huvudena på sina djur kommer han fram till 3. Räknar han benen kommer han fram till 66. Hur många kor och hur många höns har Per Olsson? Läxa 98. HT 958. Lös ekvationssystemet exakt 3x+ 5y 0 = 7 5x y 3 = 3 Läxa 99. En arbetare arbetade en vecka dels 48 timmar efter en viss timlön och dels 5 timmar övertid. Totalt fick han då ut 93 kr. En annan vecka arbetade han 40 timmar med samma timlön och 4 timmar övertid med samma övertidsersättning. Denna vecka tjänade han 60 kr. Beräkna timlönen för det ordinarie arbetet och för övertidsarbetet. Läxa 00. VT 956. Lös ekvationssystemet exakt 3x 5 + 4y 7 = x 6 + 3y 8 = 6 8 Läxa 0. Lös ekvationssystemet x+y+z+u = 0 y+z+u = 6 z+u = 3 u = Håkan Strömberg 74 KTH STH

179 Läxa 0. Adam kunde ta sig från A-stad till D-stad på två olika sätt. Dels kunde han gå de km till B-stad och därefter cykla 4 km till D-stad. Eller så kunde han gå 4 km till C-stad och fortsätta 6 km på cykel till D-stad. Resan tog i båda fallen 4.5 timmar. Bestäm Adams hastighet till fots och på cykel. Läxa 03. En linje med k = 3 går genom punkten (0, 4). En annan med k = går genom punkten (8,0). I vilken punkt skär de två linjerna varandra? Läxa 04. Kalle köpte bananer för 7 kr/st och apelsiner för 6 kr/st. Totalt handlade han för 34 kr. Hur många bananer och apelsiner köpte han? Läxa 05. Lös de två ekvationssystemen grafiskt x+y = 3x y = x+4y = 5 x+y = 3x y = x+6y = 5 Läxa 06. VT 93. En person har åtagit sig att fullborda ett arbete på 50 arbetsdagar och använder i början 33 man vid detsamma. När 8 arbetsdagar förgått, är endast halva arbetet verkställt. Hur mycket behöver han öka arbetsstyrkan för att kunna fullgöra sitt åtagande? Läxa 07. Vid en utställning sänktes inträdesbiljetten med 5% efter första veckan. Under andra veckan ökades inkomsten med 8%. Med hur många procent hade antalet besökare ökat? Läxa Lösning 94. Vi utläser lösningen x = 3 och y = 9 från diagrammet. Genom att sätta in lösningen i ekvationerna ser vi att avläsningen är korrekt. Svar: x = 3 och y = 9. Läxa Lösning 95. Uppgiften är inte svårare än de tidigare efter att vi förenklat ekvationerna { 3x 6 4y 0 = 3 8y+x = så får vi { 4y+3x = 3 8y+x = Additionsmetoden ger { ( 4y+3x) = 3 8y+x = Håkan Strömberg 75 KTH STH

180 och { 8y+6x = 46 8y+x = Efter addition får vi Så får vi fram y = 8y+5 = som ger y = Svar: x = 5, y =. 7x = 35 x = 5 Läxa Lösning 96. Vilken metod ska vi välja? Varför inte substitutionsmetoden. Vi löser ut x ur andra ekvationen 6x+8y = Som vi så sätter in in första som till sist ger x = Svar: y = 3 och x =. 3(6 4y) x = 8y 6 x = 6 4y y = 9 ( ) 3 3(6 4y) 3 +5y = y+45y = 57 7y = y = 3 Läxa Lösning 97. Antag att han har k kor och h höns. Vi får då följande ekvationssystem. { x+y = 3 4x+y = 66 Från första ekvationen får vi y = 3 x som vi sätter in i den andra och får Insatt i y = 3 0, ger y = 3 Svar: Han har 0 kor och 3 höns. 4x+(3 x) = 66 4x+46 x = 66 x = 0 x = 0 Läxa Lösning 98. Vi startar med att fixa bort nämnarna ( ) 0 3x+ 5y 0 = ( 5x y ) 3 = 3 3 som ger { 30x+5y = 70 5x y = Genom additionsmetoden får vi som ger { 30x+5y = 70 (5x y) = 7y = 68 y = 4 Håkan Strömberg 76 KTH STH

181 y = 4 insatt i någon av de tidigare ekvationerna får vi 5x 4 = x = 3 Svar: y = 4 och x = 3 Läxa Lösning 99. Antag att han tjänade x kronor/timmen under ordinarie arbete och y kronor/- timmen under övertidsarbetet. Vi får då följande system: { 48x+5y = 93 40x+4y = 60 Additionsmetoden ger { 4(48x+5y) = (40x+4y) = 5 60 eller som ger Övertidsersättningen är { 9x 0y = 77 00x + 0y = 800 8x = 8 x = y = 60 4y = y = 5 Svar: De olika timlönerna är 3.50 kr respektive 5.00 kr Läxa Lösning 00. Först gör vi oss av med nämnarna ( 3x y 7 ( 5x y 8 ) ) = 35 ( ) 38 5 = 48 ( ) 6 8 som övergår i { x+0y = 66 40x + 8y = 366 Nu tillämpar vi additionsmetoden { 8(x +0y) = (40x+8y) = som ger { 378x+360y = x 360y = 730 och Till sist får vi så Svar: x = 6 och y = 7. 4x = 53 x = 6 6x+0y = 66 0y = 66 6 y = 7 Håkan Strömberg 77 KTH STH

182 Läxa Lösning 0. Detta är ett linjärt ekvationssystem med 4 obekanta, trots att vi lovat att det inte skulle förekomma fler än obekanta. Nu är det ju så att detta system kan lösas med huvudräkning. Tekniken som man ska använda är så kallad bakåtsubstitution. Eftersom u = ser vi enkelt, från den tredje ekvationen, att z =. Lika enkelt ser vi från den andra ekvationen att y = 3 och från den första får vi då x+3++= 0, ger x = 4. Bakåtsubstitution ingår som ett moment i lösandet av större ekvationssystem. Mer om detta i er matematiska framtid. Svar: x = 4, y = 3, z = och u =. Läxa Lösning 0. Antag att han gick med x km/tim och cyklade med y km/tim. Från den bekanta formeln s = t v, kan vi lösa ut t = s v. Vi får då ekvationssystemet x + 4 y = x + 6 y = 4.5 Bästa sättet att lösa detta system är att substituera a = x och b = y. Vi får Med additionsmetoden får vi { a+4b = 4.5 4a+6b = 4.5 { 7(a+4b) = (4a+6b) = eller { 84a 68b = a+96b = 7 Då b = y 7b = 4.5 b = får vi y = 6. Sätter vi in y = 6 direkt i x = 4.5 x = x = 3 x = 4 Svar: Gånghastigheten är 4 km/tim. Cykelhastigheten är 6 km/tim. Läxa Lösning 03. Vi kan utan vidare bestämma ekvationerna för de två linjerna. Den första har m-värde 4 = m, ger m = 4 och ekvationen y = 3x 4. Den andra har m-värde 0 = ( ) 8 + m, ger m = 6 och ekvationen y = x + 6. Återstår att lösa ekvationssystemet { y = 3x 4 y = x+6 Enkel substitution ger 3x 4 = x+6 5x = 30 x = 6 Håkan Strömberg 78 KTH STH

183 x = 6 insatt i första ekvationen ger y = ger y = 4. Att vi troligtvis räknat rätt ser vi i grafen Läxa Lösning 04. Antag att han köpte x bananer och y apelsiner. Det är inte svårt att teckna ekvationen 7x+6y = 34 Men sen? Att problemet är meningsfullt beror på att antalet bananer och apelsiner måste vara heltal. Denna typ av ekvationer kallas diofantiska och nämns aldrig i gymnasiematematiken. Här har vi grafen Hur kan vi utläsa svaret? Jo, en lösning finns där linjen skär en gitterpunkt. Gitterpunkterna i diagrammet är skärningen mellan blå linjer. I dessa punkter är alltid antalet bananer och apelsiner heltal. Vi avläser svaret 4 bananer och apelsin. Normalt finns det flera lösningar. Ja, det finns för vår ekvation oändligt många lösningar om man tillåter ett negativt antal bananer och/eller apelsiner. Nog om diofantiska ekvationer. Läxa Lösning 05. Vi får följande grafer Båda systemen har tre ekvationer men endast två obekanta. Ett sådant system kallas överbestämt. För att det ska finnas en lösningen måste alla tre linjerna gå genom en gemensam punkt. Så är fallet i det vänstra systemet Punkten är (,). I det högra systemet finns ingen gemensam punkt för de tre linjerna och systemet saknar därför lösning. Läxa Lösning 06. Antag att han behövde anställa x man ytterligare mandagar fixade Håkan Strömberg 79 KTH STH

184 hälften av jobbet. Den andra häften klarades av på (33+x) mandagar. Vi får ekvationen Svar: Han behövde anställa 9 man till = (33+x) 94 = 76 + x x = x = 9 Läxa Lösning 07. Vi vet inget om biljettpriset (p), eller antalet besökare (b) men kan ändå ställa upp en ekvation. Antag att antalet besökare ökade med tillväxtfaktorn x. Första veckan var intäkten p b. Andra veckan 0.75p x b. Detta ger ekvationen Svar: Antalet besökare steg med 44%..08 p b = 0.75 p x b.08 = 0.75 x x = x =.44 Håkan Strömberg 80 KTH STH

185 Sidor i boken 48-5 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx + c kallas parabel. Här följer ett antal exempel kopplade till polynom av andra graden. Oftast handlar det om funktionen f(x) = x +b x+c men ibland är koefficienten framför x termen a. f(x) = a x +b x+c I flera av uppgifterna handlar det om att läsa ut värden ur en graf. Detta är förstås, ett icke matematiskt sätt att närma sig ett problem. Trots det påstår vi att, när det verkar som en kurva går genom en viss punkt, så gör den det! Exempel 8. Figuren visar grafen till funktionen f(x) = x x 6 För att bestämma nollställena löser man ekvationen f(x) = 0. x x 6 = 0 x = ± 4 +6 x = ± 5 4 x = ± 5 x = 3 x = Håkan Strömberg 8 KTH STH

186 x-värdet för vertex ligger mitt emellan nollställena I detta exempel x +x 3+( ) = f(x) har av allt att döma ett minimum då x = Minpunkten är (, 5 4 ). f ( ) = ( ) Symmetrilinjen är x =. Observera att detta är en rät linje parallell med y-axeln! Exempel 8. Bestäm nollställena hos a) f(x) = x x 6 b) g(x) = x x Nollställena till f(x) vet vi redan x = 3 och x =. Vi löser ekvationen g(x) = 0 och får x x = 0 x x 6 = 0 x = ± 4 +6 x = ± 5 4 x = ± 5 x = 3 x = Samma nollställen. Men observera graferna till f(x) och g(x) Vi ser att nollställena är desamma och därmed att symmetrilinjen är densamma, men i övrigt skiljer sig graferna åt. y-värdet för minimipunkten är nu g ( ) ( ) = 5 Håkan Strömberg 8 KTH STH

187 Här är de fakta man normalt vill ha reda på när det gäller en andragradsfunktion. Vilka nollställen funktionen har Vilka koordinater funktionens vertex (max- eller min-punkt) har Var grafen skär y-axeln Symmetrilinjens ekvation Figur : Exempel 83. Här ser vi, i figur 3, andragradsfunktionen på sin enklaste form där koefficienten till x -termen är. Vilken är funktionen? Lösning: Visst ser du, att det handlar om f(x) = x. Antingen ser man bara det, eller så förstår man att det bara finns en ekvation som har rötterna x, = 0 nämligen x = 0, med motsvarande funktion f(x) = x Hur är det då med funktionen g(x) = x? Den har ju också det dubbla nollstället x, = 0, men då med x -koefficienten. Kan det vara den som syns i grafen? Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen. Så här går det till: Vi får våra tre punkter (x,y ), (x,y ) och (x 3,y 3 ) och söker nu a,b,c i f(x) = ax +bx +c. Vår punkter leder till ett ekvationssystem: a x +b x +c = y a x +b x +c = y a x 3 +b x 3 +c = y 3 Ett så linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta, a, b, c. a = x y +x 3 y +x y x 3 y x y 3 +x y 3 (x x 3 )(x x x x x 3 +x x 3 ) b = x y x 3 y x y +x 3 y +x y 3 x y 3 (x x )(x x 3 )(x x 3 ) c = x x 3y +x x 3 y +x x 3y x x 3 y x x y 3 +x x y 3 (x x 3 )(x x x x x 3 +x x 3 ) Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig utantill. Men om man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att skriva ett datorprogram med utgångspunkt från dessa formler. Håkan Strömberg 83 KTH STH

188 Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår kurva ovan: (x,y ) = (,), (x,y ) = (0,0) och (x 3,y 3 ) = (,). I alla fall om man ska tro våra avläsningar. I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x,y ) = (0,0) försvinner. Återstår a = x 3y x y 3 ( x 3 )(x x x 3 ) = ( ) ( )(( ) ( ) ) = b = x 3 y +x y 3 (x )(x x 3 )( x 3 ) = +( ) ( )(( ) ( ) ) = 0 0 c = ( x 3 )(x x x 3 ) = Figur : Exempel 84. Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur 33, avläsa nollställena. Lösning: Nollställena är x = och x = 3. Vi får f(x) = (x+)(x 3) = x 3x+x 6 = x x 6 4 Exempel figur I 3 figur II a) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur I, avläsa nollställena. b) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x +bx+c genom att i grafen, figur II, avläsa nollställena. Lösning: a) Nollställena är x = och x =. Vi får f(x) = (x+)(x ) x x+x x x Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum och den i figuren ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går genom två givna nollställen. f (x) = ax +bx+c f (x) = ax bx c Håkan Strömberg 84 KTH STH

189 Detta styrker vårt resonemang från uppgift där vi påstod att inte förrän vi har tre givna punkter på kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns dessutom grafen given och vi kan då bestämma att det är f(x) = x +x+ vi är ute efter. Svar: f(x) = x +x+ b) Har inte funktion, med grafen i figur figur 4, samma nollställen som den i figur 3? Vad är det i så fall som skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna uppgift är f(x) = x x Svar: f(x) = x +x+ Regel: Givet funktionen f(x) = ax +bx+c Då a > 0 Minimum Glad gubbe Då a < 0 Maximum Ledsen gubbe A B C Figur 3: Exempel 86. Här har vi plottat, figur 3, funktionerna p (x) = x, p (x) = 3x och p 3 (x) = x /3. Vilken är vilken? Lösning: Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen: A) p 3 (x) = x /3 B) p (x) = x C) p (x) = 3x Håkan Strömberg 85 KTH STH

190 A B C Figur 4: Exempel 87. Återigen tre plottade funktioner: p (x) = x +x+8, p (x) = x +3 och p 3 (x) = x 4. Identifiera dem. Lösning: Vi har nu lärt oss att då x -termen har en negativ koefficient har funktionen ett maximum. En annan har nollställen i x = och x = och bör då tillhöra funktionen p(x) = (x+)(x ) = x 4. Kvar blir den som saknar nollställen, vilket vi förstår då vi försöker lösa ekvationen x +3 = 0; x = ± 3. Ekvationen saknar reella rötter. A) p (x) = x +x+8 B) p (x) = x +3 C) p 3 (x) = x Figur 5: Exempel 88. Här har vi plottat funktionerna p (x) = x +3x 4 och p = x +4x+. Bestäm skärningspunkterna. Lösning: Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna. x +3x 4 = x +4x+ x x 6 = 0 x x 3 = 0 x = 4 ± x = 4 ± 7 4 x = x = p () = +3 4 = 6 och p ( 3 ) = ( +3 ( ) ) = 5 4 ger de två punkterna (,6) och ( 3, 5 4 ) Håkan Strömberg 86 KTH STH

191 Figur 6: Exempel 89. Ett andragradsfunktionen har antingen ett maximum eller minimum. Betrakta nu grafen ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid extrempunkten? Lösning: Vi har inte den teori som krävs för att klara detta! Men här är svaret: Om vi utgår från f(x) = x +px+q, så är y-koordinaten för extrempunkten och x-koordinaten y extrempunkt = p 4 +q x extrempunkt = p Så här kommer det att se ut i nästa kurs: Vi startar med att derivera vår funktion f (x) = x+p f (x) = 0 då x+p = 0; x = p. Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten. ( f p ) ( f p ) ( f p ) = ( p ) +p ( p ) +q = p 4 p +q = p 4 +q ) p Svar: Extrempunkten har koordinaterna (, p 4 +q Figur 7: Exempel 90. Vilka nollställen har denna funktion? Lösning: Av allt att döma en dubbelrot för x = 3. Funktionen blir då f(x) = (x 3) Håkan Strömberg 87 KTH STH

192 5 3 Figur 8: Exempel 9. Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra då båda är av typen f(x) = x +px+q Lösning: Den ena kurvan motsvarar funktionen f(x) = x med nollställena x, = 0 och den andra är g(x) = (x ) med nollställena x 3,4 =. Kurvorna skär varandra i x = (x ) x = x 4x+4 x = Exempel 9. Vi söker nu p och q i f(x) = x + px + q så att andragradsfunktionen går genom punkterna (, ) och (3, 9). Lösning: Eftersom en koefficient den som tillhör x termen redan är given behövs bara två ekvationer för att finna de två obekanta p och q. { +p +q = 3 +p 3+q = 9 p = och q = 3 Svar: f(x) = x x + 3 { p+q = 3p+q = Figur 9: Exempel 93. Plottar vi funktionen vi fick som svar i förra exemplet får vi detta resultat. Vad kan vi säga om funktionens nollställen? Lösning: Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi x x + 3 = 0 x = 4 ± 6 3 Håkan Strömberg 88 KTH STH

193 diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0. Exempel 94. En andragradsfunktion, av typen f(x) = x + px + q, har ett dubbelt nollställe i 5. Vilken är funktionen? Lösning: f(x) = (x 5) Exempel 95. För vilka värden på a har funktionen p(x) = x 8x+a Ett dubbelt nollställe Två olika nollställen Inget reellt nollställe Lösning: Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation x 8x+a = 0 x = 4± 6 a Om 6 a = 0; a = 6 finns det en dubbelrot i x = 4 Om 6 a < 0; a > 6 saknas reella nollställen Om 6 a > 0; a < 6 finns två reella olika nollställen A B C 3 3 Figur 30: Exempel 96. Här har vi plottat funktionerna: p (x) = x + x +, p (x) = x + x 3 och p 3 (x) = x +x+5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x +px+q? Lösning: Skillnaden mellan f(x) = ax + bx + c och g(x) = ax + bx + (c + c), är förstås g(x) f(x) = c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är vilken A) p 3 (x) = x +x+5 B) p (x) = x +x+ C) p (x) = x +x 3 Håkan Strömberg 89 KTH STH

194 Exempel 97. Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x +px+q, alltså p(x) = x +q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett dubbelt nollställe? I så fall för vilka q? Om vi löser ekvationen x +q = 0 x, = ± q ser vi att q 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är det frågan om ett dubbelt nollställe. Exempel 98. Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p (x) = x + ax+b och p (x) = x +cx+d, som skär varandra i ( 3,4) och (3,4). Bestäm värden på a,b,c och d. Kan vi utnyttja något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare? Lösning: Funktionerna f (x) = (x + 3)(x 3) och g (x) = (x + 3)(x 3) har båda nollställen i x = 3 och x = 3. f (x) har ett minimum och g (x) har ett maximum och de skär varandra i ( 3,0) och (3,0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna får vi f (x) = (x+3)(x 3)+4 och g (x) = (x+3)(x 3)+4, efter vad som diskuterades i problem 5. Svar: f (x) = x 5 och g (x) = 3 x Exempel 99. Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter: Du kan räkna med att alla rötter är heltal! a) x x 8 = 0 b) x 3x+ = 0 c) x 4 = 0 d) x 9x+0 = 0 e) x +3x 70 = 0 Hur beror rötterna x och x till ekvationen på koefficienterna p och q i x + px + q = 0? Från formeln får vi x = p p + 4 q x = p p 4 q Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x x och p = (x + x ). Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna och p är lika med summan av rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5 ekvationerna får vi ganska snabbt a) x = 4 x = b) x = x = c) x = x = d) x = 5 x = 4 e) x = 7 x = 0 Håkan Strömberg 90 KTH STH

195 Figur 3: Exempel 00. I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av grafen bestämma funktionen och därefter nollställena? Lösning: Vi använder resultatet från exempel 9 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen f(x) = x +px+q. ) p (, p 4 +q Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten, (, 9). p = p 4 +q = 9 p = och q = 8. Vi får funktionen f(x) = x x 8, vars heltalsrötter vi snabbt kan räkna ut, x = och x = 4 Läxa 08. Punkterna (0, 5) och (6, 5) ligger på en andragradskurva. Ange symmetrilinjens ekvation. Läxa 09. Ange symmetrilinjens ekvation till kurvan a) f(x) = x(x )+8 b) f(x) = 3+x(l4 x) Läxa 0. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 4. Punkten P(0, 6) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för spegelbilden till P. Läxa. Funktionen f(x) = x +8x+3 är given. a) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt? b) Ange grafens symmetrilinje. c) Vilka koordinater har vertex? d) Rita grafen som kontroll. Håkan Strömberg 9 KTH STH

196 Läxa. Figuren visar grafen till andragradskurvan y = + 4x x Ange koordinaterna för a)p b)q c)m Läxa 3. Förklara först med ett eget exempel hur du finner koordinaterna för maximi- eller minimipunkten till en andragradskurva och använd sedan din metod på andragradskurvorna a) f(x) = x +4x+8 b) f(x) = 0x x c) f(x) = 5x +5x 3 d) f(x) = 6x 4x+5 Läxa 4. En andragradskurva har symmetrilinjen x =. Punkterna (0,8) och (4,4) ligger på kurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan. Läxa 5. Bestäm koordinaterna för vertex till andragradskurvan a) f(x) = 0.x 0.0x b) f(x) = x + x Läxa 6. Skär andragradskurvan x-axeln, om den har en a) maximipunkt med koordinaterna (, 6)? b) minimipunkt med koordinaterna (4, 6)? Läxa 7. Ange ekvationen för en parabel som har en maximipunkt i andra kvadranten Läxa 8. Finn ekvationen för en parabel som har vertex i (,0) och som skär y-axeln i (0,4) Läxa 9. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 5 och skär y-axeln i punkten (0, 6). Kurvans vertex har y-koordinaten. Finn kurvans ekvation. Läxa 0. Finns det några värden som inte antas av vare sig funktionen f(x) = x 3x + 6 eller funktionen g(x) = x +8x 6? Ange i så fall vilka. Läxa. För vilket värde på c har kurvan y = x 8x+c sin minimipunkt på x-axeln? Håkan Strömberg 9 KTH STH

197 Läxa Lösning 08. Svaret finner vi enkelt då punkterna har samma y-koordinat. Symmetrilinjen ligger mitt emellan x = 0 och x = 6, alltså x = 3. Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = 3 Läxa Lösning 09. a) En möjlighet att finna två punkter som har samma y-koordinater är att lösa ekvationen f(x) = 0. Detta fungerar så länge ekvationen har reella rötter. Symmetrilinjen får vi genom x(x )+8 = 0 x x+8 = 0 x = 6± 36 8 x = 6+ 8 x = 6 8 x = Vi drar oss till minnes från exempel 9 att vi direkt kunna få svaret genom b) Vi använder direkt den enkla metoden p = 6 3+x(l4 x) = 0 3+8x x = x x = 0 x 4x 3 = 0 Nu har vi fått fram p = 4 och kan bestämma symmetrilinjen Svar: a) x = 6 b) x = 7 p = 4 Läxa Lösning 0. Punkten P ligger på y-axeln. 4 enheter från symmetrilinjen. Spegelbilden ligger också 4 enheter från symmetrilinjen, fast på andra sidan, alltså x = 8. Svar: (8,6). Läxa Lösning. d) b) x = p 8 = 4 7 a) Minimipunkt. a = > 0. Glad gubbe c) x-koordinaten är samma som symmetrilinjen. När vi vet det kan vi bestämma f( 4) = ( 4) + 8( 4) Vertex ligger i ( 4, 3) Håkan Strömberg 93 KTH STH

198 Läxa Lösning. P är den punkt där kurvan skär y-axeln. som ger P(0,). y = M ligger på symmetrilinjen x = 4. y-koordinaten får vi genom +4 = 6, som ger M(, 6) Q är spegelbild av P och ligger lika långt från symmetrilinjen som Q men på andra sidan, alltså x = 4, ger punkten Q(4,) Läxa Lösning 3. Jag skriver ned f(x) = 0 och ser till att den får uttrycket x +px+q = 0. Nu kan jag läsa ut p som jag använder för att bestämma x = p Nu har jag x-koordinaten, som jag sätter in i funktionen och bestämmer y-koordinaten. a) Jag får x + 4x + 8 = 0. p = 4 som ger x = 4 f( ) = ( ) +4( )+8. Svar: Minimum i (,). y-koordinaten får jag genom b) Jag får x +0x = 0. Dividerar båda sidor med och får x 0x = 0. p = 0 som ger x = 0 5. y-koordinaten får jag genom f(5) = Svar: Maximum i (5,5) c) Jag får 5x + 5x 3 = 0. Dividerar båda sidor med 5 och får x 3x+ 3 5 = 0. p = 3 som ger x = 3 3. y-koordinaten får jag genom f(3 ) = 5( ) Svar: Maximum i ( 3, 33 4 ). d) Jag får 6x 4x+5 = 0. Dividerar båda sidor med 6 och får x 4x+ 5 6 = 0. p = 4 som ger x = 4. y-koordinaten får jag genom f() = Svar: Minimum i (,9) Läxa Lösning 4. De två punkter som ligger närmast till hands är (x,8) och (x,4) som är spegelbilder av de två givna punkterna. x = och x =. Det gäller att hålla reda på vilken sida av symmetrilinjen de ska ligga. Det finns förstås oändligt många svar att ge, men då måste man räkna lite mer. Svar: (, 8) och (, 4) Läxa Lösning 5. Liknar tidigare problem. Vi städar upp ekvationen f(x) = 0 så att koefficienten framför x blir. Sedan kan vi läsa av p i x + px + q = 0. Vi använder p för att bestämma x- koordinaten i vertex. Sedan bestämmer vi f(x) för detta x och har y-koordinaten och därmed vertex (extrempunkten). Givet 0.x 0.0x = 0. Dividera båda sidor med 0. ger x 0.x 0 = 0 och vi har p = 0. som ger symmetrilinjen sedan får vi Svar: Vertex (0.,.00) Läxa Lösning 6. a) Ja b) Nej x = p f(0.) = 0. (0.) Läxa Lösning 7. a) Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Punkten (, ) ligger i andra kvadranten och Håkan Strömberg 94 KTH STH

199 ska alltså vara en maximipunkt. Vi bestämmer att f(x) = x +px+q. f(x) = 0 ger x +px+q = 0 eller x px q = 0. Symmetrilinjen är x =. Då kan vi bestämma p med ekvationen = p ger p =. Så här långt har vi bestämt f(x) = x x+c. Nu ska vi bestämma c så att f( ) =. Vi får ( ) ( )+c = som ger c = 0. Vi plottar f(x) = x x Läxa Lösning 8. Vi vet att det finns oändligt många sådana ekvationer. Speciellt en då f(x) = x +bx+c. Den skär y axeln då 0 +b 0+c = 4, ger c = 4. Då vertex är (,0) är symmetrilinjen x =. Vi bestämmer f( ) = 0 och får som ger b = 4. Vi har då funktionen Som vi plottar och ser att det stämmer stämmer. ( ) +b( )+4 = 0 f(x) = x +4x+4 Läxa Lösning 9. Vi startar medf(x) = ax +bx+c. Symmetrilinjenx = 5. Vi har då ax +bx+c = 0 eller x + bx a + c a = 0 ger oss b genom 5 = b = 0a. Vi har nu f(x) = ax 0ax+c. Skärningen med y-axeln ger f(0) = 6 b a a c a = 6 ger c = 6. Nu har vi f(x) = ax 0ax+6 Till sist vet vi att f(5) = som ger ekvationen a 5 0a 5+6 = 0 ger a = 5. Nu har vi funktionen f(x) = x 5 x+6 Håkan Strömberg 95 KTH STH

200 som vi plottar och ser att det stämmer Läxa Lösning 0. Det ser ut som det skulle kunna finnas värden som inte antas av någon av funktionerna. För att kunna svara på frågan måste vi ta reda på maximipunkten hos g(x) och minimipunkten för f(x) Vi startar med minimipunkten för f(x) och använder formeln som ger ( 3) 4 p 4 +q Innan vi kan bestämma maximipunkten för g(x) måste vi starta med x +8x 6 = 0 och dividera båda sidor med som ger x 4x+3 = 0. Nu har vi p och q. och kan bestämma y-värdet för vertex med samma formel ( 4) +3 4 Svar: Ingen av funktionerna antar värden i intervallet (,3.75). Läxa Lösning. Först bestämmer vi symmetrilinjen genom Vi får ger x = 4 x = p x = 8 Det betyder att vi ska fixa till ett vertex i (4,0) genom att hitta lämpligt c. Det betyder att f(4) = 0 ger ger c = c = 0 Håkan Strömberg 96 KTH STH

201 Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller allt beroende på vad formeln ska användas till. t = s v När man i tillämpad matematik, som till exempel fysik, står inför att beräkna ett värde på med hjälp av en formel har man två vägar att gå. Vi tar ett exempel: Volymen av materialet i röret bestäms med formeln V = π h(r r ) Låt säga att vi känner V = dm 3, h = dm och r = dm. Vilken är då ytterdiametern r? Vi får ekvationen = π(r ) = πr π πr = +π r = +π π r = r = r.5 +π π +π π Håkan Strömberg 97 KTH STH