TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski
|
|
- Daniel Danielsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TALTEORI FÖR ALLA 1 Juliusz Brzezinski För exakt 10 år sedan publicerade Andrew Wiles sitt bevis av Fermats Stora Sats. Nyheten om hans resultat väckte enorm uppmärksamhet i hela världen. Vägen till lösningen av ett av de mest berömda problemen i hela matematiken blev ämnet för hundratals artiklar i dagspressen, flera populärvetenskapliga böcker, filmer och teaterpjäser. Och naturligtvis för flera konferenser, vetenskapliga artiklar och böcker. Man kan fundera varför lösningen av ett matematiskt problem kunde väcka så stort intresse, vilket är mycket ovanligt. Det finns säkert flera förklaringar, men något som onekligen hade stor betydelse var möjligheten att förstå problemet utan några större kunskaper i matematik. Fermats Stora Sats kan uttryckas i termer av grundskolematematik. Påståendet formulerades kring år 1650 och blev känt bland en bredare allmänhet i början av 1900-talet. Dess enkla formulering bidrog till att flera människor försökte komma med en lösning. I det enklaste fallet säger påståendet att summan av två kuber av positiva heltal aldrig är en heltalig kub. Men Fermat påstod helt allmänt att summan av två fjärde potenser av positiva heltal aldrig är en fjärde potens av ett heltal, summan av två femte potenser av positiva heltal aldrig är en femte potens osv för alla högre potenser. Detta i skarp kontrast till kvadrater då summan av två kvadrater kan vara en kvadrat som t ex i den berömda likheten = 5 2. Om man använder bokstäver säger Fermats Stora Sats att x n + y n z n om x, y, z är positiva heltal och n är större än 2. Man kan tänka sig Fermats Stora Sats som ett påstående om talen i följande tabell i vilken första raden är alla potenser av 1, andra raden alla potenser av två, tredje alla potenser av 3 och så vidare: Fermats sats säger att om man väljer tre olika tal ur tredje kolonnen så är aldrig summa av två av dessa tal lika med ett tredje. Samma gäller fjärde, femte, sjätte kolonnen och överhuvudtaget alla kolonner förutom den andra (och naturligtvis den första, vilket är ganska ointressant). I andra kolonnen finns det tre tal sådana att summan av två är lika med ett tredje. Vi såg ett exempel ovan, men det finns faktiskt oändligt många liknande tripplar. T ex och mera allmänt = 17 2, (2n) 2 + (n 2 1) 2 = (n 2 + 1) 2, 1 En utvidgad version av ett föredrag på Vetenskapsfestivallen i Göteborg, den 25 april
2 där n kan vara ett helt godtyckligt heltal. Jag tänker inte berätta om beviset av Fermats sats och vill bara nämna att Andrew Wiles resultat kan uppfattas som en del av ett mycket omfattande forskningsprogram inom matematiken som är känt under namnet av Langlandsprogrammet. Detta program som syftar till att utforska talteorins domäner kommer med all säkerhet att sysselsätta matematiker under flera decenier (möjligen flera sekler). Genom Wiles resultat förstärktes tro på programmets grundvalar. Vad har hänt i talteorin efter 1995? Har man gjort något nytt, något lika viktigt? Finns det fortfarande några intressanta och lika lätt formulerade påståenden vars lösning någon gång i framtiden kan väcka lika stor uppmärksamhet som lösningen av Fermats gåta 2? Jag skall försöka besvara dessa frågor. Det är mycket svårt att hitta ett problem i talteorin som är lika känt bland icke-matematiker som Fermats förmodan. Icke-specialister har möjligen hört om Riemanns förmodan eller Goldbachs förmodan, men det är inte lika lätt att förklara vad dessa handlar om. Lösningen av dessa problem skulle med all säkerhet leda till lika stor uppståndelse i världen. Men sanningen är att efter 1995 har matematiker löst ovanligt många stora problem varav minst två berömda problem i talteorin. Det ena är onekligen Catalans förmodan som den belgiske matematikern Eugène Charles Catalan formulerade år 1844 (och som egentligen bör tillskrivas Levi ben Gerson som var verksam 500 år tidigare). Denna förmodan säger att likheten = 1 är den enda möjligheten att skriva 1 som skillnaden mellan två heltalspotenser med exponenter större än 1. Om vi tittar på tabellen så kan vi också formulera Catalans fråga: finns det två tal i tabellen, men ej i första kolonnen, vars skillnad är lika med 1? Catalan trodde att den enda möjligheten är 3 2 = 9 och 2 3 = 8. Om man använder bokstäver så kan detta påstående uttryckas så att ekvationen x n y m = 1, där x, y, m, n är positiva heltal och m, n > 1, endast har en lösning: x = 3, y = 2, n = 2, m = 3. Flera matematiker försökte lösa Catalans förmodan och fick olika partiella resultat. Ekvationen användes ofta som ett exempel på ett enkelt formulerat och olöst problem. Det var en stor överraskning då Preda Mihailescu presenterade den 18 april 2002 ett manuskript med ett bevis av Catalans förmodan. Det intressanta med denna lösning är att den teori som används för att lösa ekvationen var i princip känt, men det behövdes helt nya idéer hur den kunde tillämpas på Catalans problem. Det andra problemet som löstes under de senaste åren inte har något speciellt namn, men som problem har det troligen existerat sedan Euklides tid dvs i nära 2500 år. Som så många andra problem i talteorin gäller frågan primtalen. Dessa tal som börjar med 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 87, 89, 97,... kan inte skrivas som produkt av två mindre heltal. De är byggstenar för alla andra positiva heltal (större än 1) eftersom varje sådant tal är en produkt av dessa som t ex 10 = 2 5 eller 120 = I raden ovan finns alla primtal upp till 100 uppskrivna. Följden av primtalen är ett föremål för mycket intensiv forskning. Redan Euklides visade för nära 2500 år sedan att den är oändlig dvs om man har skrivit en lista med primtal så kan man alltid hitta ett nytt primtal som inte finns på listan. Han observerade att nästa primtal ibland är lika med föregående primtalet plus 2 som t ex 3 och 5 eller 11 och 13 eller 41 och 43. Han frågade om det finns oändligt många sådana primtalstvillingar. Svaret på den frågan är inte känt idag (även om det finns människor som påstår att de har bevisat den egenskapen). Man kan fråga sig om det finns många primtalstrillingar som t ex 3,5,7. Här ökar man det första talet med 2 och får det andra och ökar med 2 igen för att få det tredje. Detta är ovanligt och det är inte svårt att visa att det inte finns några fler trillingar i denna mening. Men t ex 3,7,11 eller 11,17,23 eller 3,11,19 är trillingar i den meningen att avståndet från det första till det andra är lika med avståndet från det andra till det tredje. Man säger att dessa primtal bildar en aritmetisk följd av längden 3. År 1939 visade Johannes van der Corput att det finns 2 Fermats gåta är den svenska titeln på Simon Sings mycket intressanta och populära bok som beskriver historien som ledde till Wiles bevis av Fermats sats. 2
3 oändligt många sådana triplar. Man har försökt bevisa att det också finns oändligt många fyrllingar som t ex 11,17,23,29 dvs aritmetiska följder av längden 4 (nästa är 61,67,73,79). Ett mycket gammalt problem var frågan om det finns godtyckligt långa aritmetiska följder av primtal (dvs aritmetiska följder av primtal av varje given längd). Det är svårt att datera detta problem, men redan 1770 studerades frågan i arbeten av Lagrange och Waring. Senare sattes olika rekord den senaste från 2004 är följden av 23 primtal som bildar en aritmetisk följd med avståndet mellan konsekutiva talen och det minsta primtalet (detta exempel av Markus Frind, Paul Jobling och Paul Underwood visar att det inte är lätt att hitta relativt långa sekvenser av primtal som bildar en aritmetisk följd). Svaret på den allmänna frågan kom förra året då Ben Green och Terry Tao publicerade ett arbete i vilket på 50 sidor visas att för varje given längd finns det oändligt många aritmetiska följder bestående av primtal. Deras bevis utnyttjar flera tidigare resultat bland annat en viktig sats av Szemerédi från 1975, resultat av Goldston och Yildirim från 2003 (som också handlar om ett gammalt problem om avstånden mellan direkt efterföljande primtal dess lösning skulle också innebära världssensation men tyvärr är den presenterade lösningen inte fullständig), olika idéer från kombinatoriken och ergodteorin. Beviset underlättar inte konstruktioner av långa aritmetiska följder av primtal (vilka möjligen ändå inte är så intressanta). Allt detta visar att det händer mycket i talteorin (precis som i hela matematiken) och att Wiles resultat om Fermats ekvation endast var ett inslag i en mycket dynamisk process. Därför låt oss återkomma till frågan om talteorins problem som kan uppfattas som intressanta och viktiga. Det finns många onekligen mycket intressanta matematiska problem som möjligen är jämförbara med Fermats sats som väckte mycket stort intresse utan att egentligen ha några direkta tillämpningar. Men de matematiska metoder som har använts för att lösa problemen hade och kommer att ha en mycket stor betydelse. Därför är det ofta viktigt att syssla med grundforskning för att utveckla ny matematik som gör det möjligt att i framtiden ha tillgång till nya matematiska metoder i situationer som idag kan vara svåra att förutse. Låt mig berätta om två problem. Ett är troligen ganska marginellt och anknyter direkt till Fermats Stora Sats. Det andra betraktas redan nu som ett av de viktigaste i talteorin och kommer med all sannolikhet spela en mycket stor roll i matematikens utveckling. Fermats och Catalans ekvationer är intressanta och enkla att beskriva. Men det finns ekvationer som kan formuleras lika enkelt och som fortfarande gäckar matematiker. Redan frågan om skillnaden mellan två heltalspotenser med exponenter större än 1 kan vara lika med 2 dvs om det kan inträffa att x n y m = 2, där x, y, m, n är positiva heltal och m, n > 1 inte har något svar. Men vi skall diskutera ett problem som ligger lite närmare Fermats Stora Sats. Det har samband med några märkliga likheter: 1 p = 3 2, = 3 4, = 2 9, = 71 2, = 122 2, ( ) = , = 113 7, = = 65 7, = Dessa likheter handlar alltså om situationer då summan av två potenser av positiva heltal är en potens av ett positivt heltal. Alla exponenter är större än 1, men det finns andra viktiga villkor som vi diskuterar om en stund (i den första likheten kan vi välja en helt godtycklig exponent med 1 därför skriver vi en bokstav: p). Alltså handlar det om ekvationen x p + y q = z r som är en direkt generalisering av Fermats ekvation. Om p = q = r = 2 så finns det oändligt många lösningar som t ex = 5 2 eller = Som vi vet börjar problemet då t ex p = q = r > 2 som är Fermats ekvation och enligt Wiles saknar lösningar i positiva heltal. Hur blir det med andra uppsättningar av exponenter? Det visar sig att svaret beror på summan 1 p + 1 q + 1 r. 3
4 Om denna samma är större än 1 som t ex för Pythagoras ekvation x 2 + y 2 = z 2 då den är lika med = 3 2 med 1 som t ex i ekvationen så har ekvationen oändligt många lösningar. Om denna summa är lika x 3 + y 3 = z 3 då = 1, så saknar ekvationen lösningar. Detta gäller också alla andra fall då p, q, r är 2, 4, 4 eller 2, 3, 6 i en godtycklig ordning 3. Om summan är mindre än 1 (dvs 1 p + 1 q + 1 r < 1) så vet man att ekvationen endast kan ha ändligt många lösningar. Det visar sig dock att det är mycket svårt att hitta sådana lösningar och alla som man känner till är just dem i likheterna ( ). Man tror att det inte finns några andra, men detta är inte bevisat. Ett bevis av detta påstående skulle innebära en långtgående generalisering av Fermats Stora Sats. Slutligen låt mig berätta om ett mycket viktigt problem som troligen är mycket svårt men vars lösning (om dess formulering är riktig och om dess bevis någonsin ges) kommer att ha många konsekvenser i talteorin. Problemet heter abc-förmodan och formulerades av Masser och Oesterlé år Låt oss börja med ett exempel: = 3 2. Man jämför talet till höger dvs 9 med produkten av de olika primtalen som delar alla tal som finns i likheten dvs 2 och 3. Man har 2 3 = 6. 6 är mindre än talet till höger 9, men 6 2 är större än 9. Ta ett annat exempel: = 2 7. Här är högerledet 2 7 = 256. Produkten av de olika primtalen är däremot = 30. Som tidigare är högerledet mindre än denna produkt i kvadrat dvs 256 < abc-förmodan (i en något förenklad version) säger att det alltid är på det sättet dvs om man har tre positiva heltal a, b, c utan gemensamma delare sådana att a + b = c och r(abc) betecknar produkten av de olika primtalen som delar a, b, c så är alltid: c < r(abc) 2. Exponenten 2 kan troligen väljas mindre. Man har tittat på tusentals exempel på liknande likheter och en världsrekord i form av den största kända exponent e som behövs för att svarar mot likheten: c < r(abc) e = 23 5 då denna exponent är e (exempel konstruerat av E. Reyssat). Världsrekord samlas på abc-förmodans hemsida (se nitaj/abc.html) och författarens eget resultat (tillsammans med J. Browkin) har plats 3 på denna: 3 Detta är dock inte fallet då man tar den allmänna ekvation Ax p + By q = Cz r, där A, B, C är heltal om 1 p + 1 q + 1 r = 1 så finns det inga lösningar eller oändligt många. 4
5 = där e Varför är abc-förmodan så viktig? Sanningen är att många olösta frågor följer ur abc-förmodan. Idag är Fermats Stora Sats bevisad, men satsen är en nästan direkt konsekvens av abc-förmodan. Om vi antar att a n + b n = c n med tre positiva heltal a, b, c utan en gemensam delare, så säger abc-förmodan att c n < r(abc) 2. Men det är klart att r(abc) abc och abc < ccc = c 3 så att c n < c 6, vilket innebär att om en lösning finns så måste n vara mindre än 6. Att lösningar inte finns då n = 3, 4, 5 visste man redan för länge sedan (för n = 3 Euler på 1700-talet, för n = 4 Fermat själv på 1600-talet, och för n = 5 Dirichlet i början av 1800-talet). Det finns flera andra resultat i talteorin som är en konsekvens av abc-förmodan. Man kan hoppas att abc-förmodan bevisas någon gång i framtiden, men det kan ta flera hundra år innan någon hittar ett sådant bevis. Detta är tjusningen med talteorin att dess problem kan ofta förklaras för alla och att de handlar om de mest grundläggande egenskaper hos välbekanta objekt de vanliga heltalen som vi möter varje dag. 5
PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER
Explorativ övning 4 PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är Aritmetikens fundamentalsats
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merKUNSKAP OCH KOMMUNIKATION
KUNSKAP OCH KOMMUNIKATION SIFFERDJÄVULENS PERSPEKTIV JULIUSZ BRZEZINSKI MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET KOMMUNIKATION FORMELL : YRKESROLL, LÄRARROLL, MED- VERKAN
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs merKOMBINATORIK. Exempel 1. Motivera att det bland 11 naturliga tal finns minst två som slutar på samma
Explorativ övning 14 KOMBINATORIK Kombinatoriken används ofta för att räkna ut antalet möjligheter i situationer som leder till många olika utfall. Den används också för att visa att ett önskat utfall
Läs mer4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.
Uppvärmningsproblem. Hur kan man se på ett heltal om det är delbart med, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 respektive? Varför? 2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 0. Bilda abcabc genom att skriva talet två
Läs merDELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen.
Explorativ övning 3 DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen. De viktigaste begreppen är delbarhet och divisionsalgoritmen största gemensamma
Läs merSats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet
Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används
Läs merTALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL
Explorativ övning 3 TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL Syftet med detta avsnitt är att titta närmare på positionssystemet och på heltalens multiplikativa struktur. De viktigaste begreppen är presentation
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merMATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken
Explorativ övning LMA100 ht 2002 MATEMATIS INDUTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför
Läs merLABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo
LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa
Läs merMATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken
) Explorativ övning MA00 vt 00 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla
Läs merNågot om medelvärden
350 Något om medelvärden Pepe Winkler Uppsala Universitet Om a och a är två reella, positiva tal så kallas talet A = a + a för det aritmetiska medelvärdet och talet G = a a för det geometriska medelvärdet
Läs merPrimtalen och aritmetikens fundamentalsats
Primtalen och aritmetikens fundamentalsats Tomas Malm Bokförlaget Bärarna c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 15 november 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas Malm Detta
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merKryptering och primtalsfaktorisering
Institutionen för Numerisk analys och datalogi Kryptering och primtalsfaktorisering Johan Håstad Nada, KTH johanh@nada.kth.se Ett Exempel N = 9324894190123791048152332319394135 4114125392348254384792348320134094
Läs merNÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1
Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.
Läs merAnsats till att bevisa Fermats stora sats,
Ansats till att bevisa Fermats stora sats, x n + y n = z n Sina Mozayyan Esfahani N3D, Kungsholmens Gymnasium Gymnasiearbete 100 poäng Naturvetenskapligt program Läsåret: 2013-2014 Handledare: Helena Danielsson
Läs merPrimtal, faktorisering och RSA
17 november, 2007 Ett Exempel N = 93248941901237910481523319394135 4114125392348254384792348320134094 3019134151166139518510341256153023 2324525239230624210960123234120156 809104109501303498614012865123
Läs merKapitel 2: De hela talen
Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Institutionen för informationsteknologi NUMERISK TALTEORI. Eva-Lotta Högberg Daniel Norin Linn Stengård Joakim Widén
UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för informationsteknologi NUMERISK TALTEORI Eva-Lotta Högberg Daniel Norin Linn Stengård Joakim Widén INLEDNING Vi skall i detta arbete belysa den numeriska talteorins
Läs merMängder, funktioner och naturliga tal
Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merInlämningsuppgift, LMN100
Inlämningsuppgift, LMN100 Delkurs 3 Matematik Lösningar och kommentarer 1 Delbarhetsegenskaper (a) Påstående: Ett heltal är delbart med fyra om talet som bildas av de två sista siffrorna är delbart med
Läs merAlgebra och talteori MMGL31. Repetition. Idag. Föreläsning 9 VT FLS och primtalstestning. Carmichaeltal. Rabin-Miller test.
Algebra och talteori MMGL Föreläsning 9 VT 008 Samuel Bengmark Repetition FLS och primtalstestning Carmichaeltal Rabin-Miller test F-funktionen Idag Ordning av ett element i Z m Primitiv rot Index (diskret
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den juni 015, kl 1.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs mer.I Minkowskis gitterpunktssats
1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merMatematisk problemlösning
Matematisk problemlösning För utveckling av personliga och professionella förmågor Linda Mattsson och Robert Nyqvist Blekinge tekniska högskola Institutionen för matematik och naturvetenskap 16 augusti
Läs merKvalificeringstävling den 29 september 2009
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merUndervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:
Matematik Skolverkets förslag, redovisat för regeringen 2010-09-23. Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans
Läs merMatematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat
Liten tävling Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat Uttryck talet 2013 genom att bara använda fyror. Försök att använda så få fyror som möjligt. Tillåtna operationer är de fyra
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merLösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merGeometri, talteori och kombinatorik
Geometri, talteori och kombinatorik Föreläsning 2: Primtal Eric Järpe C 2015 Eric Järpe MPE-lab ITE-akademin Högskolan i Halmstad January 14, 2015 Eric Järpe (Högskolan i Halmstad) Geometri, talteori och
Läs merRSA-kryptering och primalitetstest
Matematik, KTH Bengt Ek augusti 2016 Material till kurserna SF1630 och SF1679, Diskret matematik: RSA-kryptering och primalitetstest Hemliga koder (dvs koder som används för att göra meddelanden oläsbara
Läs merTATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter
TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x
Läs merKänguru 2013 Junior sida 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium
Känguru 2013 Junior sida 1 / 8 NAMN KLASS / GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merPythagoreiska taltripplar
Pythagoreiska taltripplar Mellan sidlängderna a, b, c i en rätvinklig triangel råder som bekant sambandet a + b = c och det finns heltal som uppfyller detta: 3 +4 = 5 5 +1 = 13 6 +8 = 10 8 +15 = 17 9 +1
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs mer, S(6, 2). = = = =
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 17 april 2010 kl 09.00-14.00. Examinator: Olof Heden. DEL I 1.
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal
Läs merOffentlig kryptering
127 Offentlig kryptering Johan Håstad KTH 1. Inledning. Denna uppgift går ut på att studera ett offentligt kryptosystem. Med detta menas ett kryptosystem där det är offentligt hur man krypterar, men trots
Läs merTATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter
TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0
Läs merKvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merLogiska konnektiv som disjunktion, konjunktion, implikation, ekvivalens, negation.
Kapitel 1 1.1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning g är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs merLikhetstecknets innebörd
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
Läs merPotenser och logaritmer på en tallinje
strävorna 2A 7B Potenser och logaritmer på en tallinje begrepp matematikens utveckling taluppfattning algebra Avsikt och matematikinnehåll I läroböcker är det standard att presentera potenslagarna som
Läs merVad är matematik? Svaret kanske verkar enkelt. Vi vet alla att det är
11 Stefan Buijsman Vad är matematik? Efter ett kortare uppehåll fortsätter nu artikelserien Mattetalanger. Denna gång förs ett filosofiskt resonemang om vad matematik är. Författaren tar både Platon och
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om kombinatorik Mikael Hindgren 24 september 2018 Vad är kombinatorik? Huvudfråga: På hur många sätt kan en viss operation utföras? Några exempel: Hur många gånger
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merMatematik 5 Kap 2 Diskret matematik II
Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1
Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens
Läs merGaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University
U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning
Läs merKänguru 2019 Student gymnasiet
sida 0 / 7 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Kod (läraren fyller): Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Ett rätt svar ger 3, 4 eller 5 poäng. I varje uppgift är exakt
Läs merArbeta vidare med aritmetik 2018
Arbeta vidare med aritmetik 2018 I det här materialet har vi samlat problem inom aritmetik från flera olika tävlingsklasser, från Ecolier till Student. Årtal Varje år förekommer det problem som utgår från
Läs merMatematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000
2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng
Läs merTeori :: Diofantiska ekvationer v1.2
Teori :: Diofantiska ekvationer v1. 1 Definitioner och inledande exempel Låt oss börja med att göra klart för vad vi menar med en diofantisk ekvation: S:def+ex Definition 1.1. Betrakta ekvationen D:diofantiskEkv
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs mer2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna
Läs mer