x + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)

Transkript

1 Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg krävs utöver godkänt resultat från -7 minst % ( poäng) från uppgift, för betyg minst 7% ( poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm v (v u) om v = och u v = (b) Bestäm en ekvation på parameterform för planet som går genom punkten mot (p) och som är vinkelrät p. (Dugga.) x + y + z + w = (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ w = (p) x y z w = k (b) För vilka värden på det reella talet k är ekvationssystemet som har koefficientmatrisen och högerledet lösbart? k (p)

2 . (Dugga.) (a) Avgör om vektorn v = ligger i span,,. (b) Beräkna (A T A) T + A A T om du vet att A är symmetrisk och att A T A = (c) Visa att vektorerna,, och 7.. (Dugga.) (a) Beräkna inversen av (b) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen. (Dugga.) (p) (p) (p). (p) (a) Bestäm matrisen för den sammansatta linjära avbildningen S[ T, där] S och T är linjära avbildningar från R till R och S har standardmatrisen A =, T har standardmatrisen [ ] B =. (p) (b) Finn ett egenvärde till matrisen A = 7. (p) (c) Matrisen A =. Vilket är egenvärdet för denna egenvek- tor? har egenvektorn. (p) (p)

3 6. (Dugga.) (a) Beräkna determinanten för matrisen A = (p) (b) Avgör för vilka värden på k vektorerna och k k är ortogonala. 7. Finn en bas för rummet av alla matriser rummet. a b c (p) där a, b, c R. Motivera väl att ert svar är en bas för (p)

4 Följande uppgifter bedöms för betyg och. 8. (a) Finn ekvationen på normalform för ett plan P i R som är vinkelrät mot vektorn avstånd till origo är. Hur många plan som uppfyller dessa villkor finns det? och vars (b) Bestäm avståndet mellande två planen x + y + z = och x + 6y + 7z = 8. Motivera svaren väl. (p) 9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k k k k har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. (p) (6p) (b) Bestäm en bas för radrummet för matrisen A = 9 (p) (c) Bestäm en bas för nollrummet för matrisen A i (b). (d) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen A i (b). (p) (p). (a) För vilka k är matrisen (6p) k k k inverterbar? Bestäm inversen för matrisen i de fall (dvs för de värden på k) som matrisen är inverterbar.

5 x x + z. Låt T y = x + y + z. Beräkna T med hjälp av diagonalisering av A. z x + z Svaret får ges som produkten av ett fåtal matriser, men dessa matriser ska vara uträknade.. (a) Finn en bas för rummet av alla polynom av grad högst som har ett nollställe i x =. Motivera att ert svar är en bas för det aktuella rummet. (b) I ett vektorrum V görs ett basbyte från basen B till C. I någon bas för V har vektorerna i B koordinaterna, och, och vektorerna i C koordinaterna, och. Finn basbytesmatrisen P C B. Är samlingen + x, x och x + x en bas för rummet av alla polynom av grad? Bestäm i så fall koordinaterna i denna bas för polynomet x + x. Motivera svaren väl. (6p) (p) (p) Lycka till! Jan-Olav R, Stefan K, Erik L Good luck! Jan-Olav R, Stefan K, Yosief W