KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER
|
|
- Elsa Axelsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER M. SAPRYKINA 1. INLEDNING Syftet med denna lilla text är att ge en kort sammanfattning av baskunskaper inom komplexa tal och introducera begreppet av (komplexvärda) analytiska funktioner. Det som blir viktigast för oss är att analytiska funktioner kan representeras som konvergenta potensserier. Denna egenskap ska vi använda för att lösa vissa differentialekvationer. Detta kompendium är baserat på boken Fundamentals of complex analysis for mathematics, science and engeneering av E.B. Saff and A.D. Snider, samt kompendium Komplexa funktioner av Olle Stormark. 2. DEFINITION AV KOMPLEXA TAL 2.1. Struktur av komplexa tal. Låt oss snabbt repetera definitionen av komplexa tal. Till att börja med, identifiera det komplexa planet C med det reella planet R 2 genom att identifiera det komplexa talet z = x + iy med den reella vektorn (x,y) R 2. Man kan lika gärna använda båda skrivsätt: z = x+iy eller z = (x,y). Nu är R 2 ett vektorrum över R, dvs vi kan ta linjära kombinationer av vektorer med reella koefficienter: om (x 1,y 1 ) och (x 2,y 2 ) R 2, a,b R, så a(x 1,y 1 )+b(x 2,y 2 ) = (ax 1 +bx 2,ay 1 +by 2 ) R 2. Denna vektorrumsstruktur ärvs av C, dvs om z 1 = x 1 + iy 1 och z 2 = x 2 + iy 2 är komplexa tal och a,b R, så får man ett nytt komplext tal genom linjärkombinationen: az 1 +bz 2 = a(x 1 +iy 1 )+b(x 2 +iy 2 ) = ax 1 +bx 2 +i(ay 1 +by 2 ). Men till skillnad från R 2 har C dessutom en multiplikativ struktur: om z 1 = x 1 +iy 1 ochz 2 = x 2 +iy 2 är komplexa tal, så definieras deras produkt genom att använda vanliga räkneregler tillsammans med en ovanlig : i 2 = 1: z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ). 1
2 2 M. SAPRYKINA Exempel. Förz = 1+i har vi: z 2 = (1+i)(1+i) = 1 1+i(1+1) = 2i Absolutbelopp, argument, polär form. Multiplikation av komplexa tal blir enklare om man inför polära koordinater (på samma sätt som i reella analysen). Absolutbeloppet av det komplexa taletz = x+iy definieras som längden av vektorn (x,y): z = x 2 +y 2. Exempel. Förz = 1+i har vi: z = = 2. Argumentet argz av z som mängden av alla vinklar från positiva reella axeln till vektorn (x,y). Vi betonar att argz är inte ett tal, utan oändligt många tal! Dessa tal skiljer sig med multiplar av 2π: om θ 0 är en sådan vinkel, så argz = θ 0 +2πk, k Z. Funktionen arg z är ett naturligt exempel på en så-kallad flertydig funktion ett begrepp som visar sig vara ganska användbart inom komplexanalys. Exempel. Förz = 1+i har vi:argz = π +2πk, k Z. 4 Betraktaz = x+iy = (x,y) 0. Sättr = z, och låtθ vara något värde avargz. Då ser vi att { x = rcosθ y = rsinθ och det spelar ingen roll vilket värde på argz vi hade valt eftrsom funktionerna sinθ och cosθ är 2π-periodiska. Detta ger oss den polära formen av z = x+iy: (1) z = r(cosθ+isinθ) = z (cosargz +isinargz). Denna form är bäst för att utföra multiplikation i. Låt z 1 = r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + isinθ 2 ). Med hjälp av trigonometriska formler får vi z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )), vilket innebär att z 1 z 2 = z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = argz 1 +argz 1. Exempel. Vi såg att 1+i = 2(cos π +isin π ). Då 4 4 (1+i) 2 = ( 2) 2 (cos2 π 4 +isin2π 4 ) = 2i, och vi får samma svar som i uträkningen overst på sidan.
3 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 3 Exempel. Taleti = 0+i 1 = (0,1) har längd 1 och argumentπ/2+2πk, k Z, så (0,1) = i = 1 (cos π +isin π ). Därmed blir 2 2 (0,1) 2 = i 2 = 1 2 (cosπ +isinπ) = 1. Denna uträkning stämmer med vår definition i 2 = Imaginära exponenten. Observera att vi ofta använder uttrycket(cos θ+ isinθ) för ett reellt tal θ. I detta kapitel ska vi ge ett nytt namn till detta uttryck, nämligen imaginär exponent. Först kommer en motivering. När vi studerade Taylorserier i Envariabeln, har vi sett att för alla x R gäller e x = n=0 x n n!. Låt oss ta de jämna potenserna för sig, och de udda för sig (tänk inte på konvergensen av serierna här detta ska vi prata om senare): Vi kommer ihåg att cosx = Om vi tarx = iθ, = n=0 x n n! = x 2k (2k)! + ( 1) k x 2k, sinx = (2k)! ( 1) k θ 2k (2k)! +i e iθ = ( 1) k θ 2k+1 (2k +1)! x 2k+1 (2k +1)!. ( 1) k x 2k+1. (2k +1)! (iθ) 2k (2k)! + (iθ) 2k+1 (2k +1)! = cosθ+isinθ. Låt oss ta detta som definition av exponenten för rent imaginära tal, dvs för reella θ låt (2) e iθ = cosθ +isinθ. Denna formel kallas för Eulers formel. Exempel: Observera att för alla θ R e iθ = cosθ+isinθ = cos 2 θ+sin 2 θ = 1. Vidare, och e i0 = e i2π = e i2π = e i4π = = 1, e iπ = 1.
4 4 M. SAPRYKINA Definitionen ovan låter oss skriva komplexa tal på tre olika sätt: z = x+iy = r(cosθ +isinθ) = re iθ där r = z och θ är ett värde av argz. Ibland skriver man också r = z e iargz. Eulers formel stämmer bra överens med de vanliga räkneregler för exponenten. Nämligen, e iθ1 e iθ 2 = (cosθ 1 +isinθ 1 )(cosθ 2 +isinθ 2 ) = (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )) = e iθ 1+iθ 2. Exponentiella formen av komplexa tal är bäst anpassad för multiplikation: för z 1 = r 1 e iθ 1 ochz 2 = r 2 e iθ 2 har vi z 1 z 2 = r 1 r 2 e iθ 1 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ). Nu är det lätt att definiera divisionen av komplexa tal. Om z = re iθ med r 0, så blir 1 z = 1 re = 1 e iθ iθ re iθ e = 1 iθ r e iθ, och z 1 1 = z 1 = r 1 e iθ 1 e iθ2 = r 1 e i(θ 1 θ 2 ). z 2 z 2 r 2 r 2 Exempel. Formeln z n = r n e inθ = r n (cosnθ +isinnθ) gäller för alla n Z. Övningar. (a). Bevisa De Moivres formel: (cosθ +isinθ) n = (cosnθ+isinnθ). (b). Använd detta för att uttrycka sin3x i termer av sinx ochcosx. (c). Beräkna (1 i)/( 3+1) och (1 i) 9. (d). Uttryck sinθ ochcosθ i termer av den komplexa exponenten. (e). Följande uträkning ska användas för att skriva Fourierserier på ett bekvämt sätt. Lått R,n N,a,b C. Uttryck(ae inθ +be inθ ) i termer av sinnθ ochcosnθ. 3. DERIVATOR. ANALYTISKA FUNKTIONER Som bekant definieras derivatan av en reell funktion f(x) genom f (x) = df(x) dx = lim f(x+ x) f(x). x 0 x Observera att x kan gå mot 0 på två olika sätt: från vänster och från höger, och definitionen ovan innebär att gränsvärdena från dessa båda håll skall finnas och dessutom vara lika.
5 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 5 Derivatan av en komplex funktion f(z) definieras analogt: f (z) = df(z) f(z + z) f(z) = lim. dz z 0 z Men notera att här kan z gå mot 0 i oändligt många riktningar, eftersom z = z e iarg z 0 z 0, medan arg z är godtycklig. Definitionen ovan kräver att gränsvärden df/dz ska finnas och vara lika i alla riktningar. I Flervariablelsanalysen har vi sett funktioner som har alla partiella derivator, men inte är differentierbara. Man inser att komplex deriverbarhet är ett jättestarkt krav. Men deriveringsreglerna är samma som för reella tal: Sats 1. Om funktionerna f(z) ochg(z) är deriverbara i punktenz, så (af(z)+bg(z)) = af (z)+bg (z), (f(z)g(z)) = f (z)g(z)+f(z)g (z), d f(z) = f (z)g(z)+f(z)g (z) för g(z) 0, dz g(z) g 2 (z) d f(g(z)) = dz f (g(z))g (z). Definition: En komplexvärd funktion kallas för analytisk på en öppen mängd G icom den är komplext deriverbar i varje punkt avg. Denna klass av funktioner har många intressanta egenskaper. En av de viktigaste är följande: Sats 2. Om f(z) är analytisk i ett område G, så är även f (z) analytisk i G. Beviset av denna sats finns, tex, i [SS]. Per induktion följer det att analytiska funktioner har derivator av alla ordningar. Observera att detta inte alls är sant i det reella fallet! Till exempel är funktionen f(x) = x 4/3 deriverbar, men dess derivata är inte deriverbar i origo. 4. ELEMENTÄRA KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER Från reella analysen känner vi till s.k. elementära funktioner: polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen, logaritmen, trigonometriska funktioner och deras inverser och så vidare. Man kan visa att om f(x), x R, är en sådan elementär funktion, så finns det en unikt bestämd deriverbar komplex funktion f(z), z C, sådan att f(x + i0) = f(x) för alla x i definitionsområdet,
6 6 M. SAPRYKINA dvs f(z) är en (unik) komplex fortsättning avf(x) ut i det komplexa planet. Dessa kallar vi för komplexa elementära funktioner. Nedan diskuterar vi egenskaper hos några av dem Polynom. Komplexa polynom har formen P(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n där konstanterna a 0,...a n får anta komplexa värden. Komplexa polynom deriveras på det vanliga sättet, och är därför analytiska i hela komplexa planet Rationella funktioner. Dessa definieras som kvoter av polynom: R(z) = P(z) Q(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n b 0 +b 1 z + +b m z m. Enligt Sats 1, är R(z) deriverbar för alla z där Q(z) 0 (presis som i det reella fallet). Punkterna z i sådana att Q(z i ) = 0 är singulära punkter för R eller poler. Dessa kommer att vara viktiga för våra tillämpningar Exponentialfunktionen. Vi definierar funktionen e z för varje komplext talz med formeln: (3) e z = e x+iy = e x (cosy +isiny), Följande (helt naturliga) krav på e z är uppfyllda: a). För reella z får man den reella exponentialfunktionen: e x+i0 = e x ; b). För rent imaginära z = iy har vie iy = cosy +isiny, som i (2). c). För godtyckliga komplexa z 1,z 2 har vi e z1 e z 2 = e z 1+z 2. Kraven a) och b) verifieras enkelt; för att verifiera c), skriver vi för godtyckliga z 1 ochz 2 : e z1 e z 2 = e x 1+iy1 e x 2+iy 2 = e x 1 (cosy 1 +isiny 1 ) e x 2 (cosy 2 +isiny 2 ) = e x 1 e x 2 (cosy 1 cosy 2 siny 1 siny 2 +i(cosy 1 siny 2 +siny 1 cosy 2 )) = e x 1+x 2 (cos(y 1 +y 2 )+isin(y 1 +iy 2 )) = e z 1+z 2. Man kan visa att funktionen f(z) = e z är deriverbar, och df(z) = e z, dz som i det reella fallet. Funktionen e z är periodisk i den meningen att e x+iy = e x+i(y+2πk), för alla k Z.
7 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER Lite om logaritm. Vi skulle vilja definiera inversfunktionen till komplexa exponenten, dvs för varje givet w uttrycka z ur relationen w = e z. Enligt ovan, kan vi inte hoppas på att få en entydig invers. Men vi gör det vi kan: beskriver allaz som uppfyller denna relation och kallar hela mängden av sådana z för z = logw. Detta är ett exempel på en flertydig funktion. Det är bekvämt att uttrycka z på form z = x + iy, och w i polär form: w = re iθ. Antag att z 0, och skriv Först ser vi att re iθ = w = e z = e x+iy = e x e iy. r = w = e x e iy = e x, vilket ger x = ln w, där ln w står för en vanlig reelvärd logaritm. Observera att vi har uttryckt realdel av z på ett entydigt sätt. Vidare, e iθ = e iy, vilket ger att y = θ + 2πk = argw, k Z. Kom ihåg att argw är en hel mängd av tal på form θ +2πk. Alltså har vi fått oändligt många värden för y (som är imäginärdel av z). Vi har uttryckt inversfunktionen logw := z = x+iy = ln w +iargw. Tänk på analogin med en reel funktion y = f(x) = x 2, f : R R: för varje y finns det två värden av x, nämligen, x + och x = x +, som avbildas på detta y. Exempel: log( 1) = ln 1 + iarg( 1) = πi + 2πk. Verifiera att e πi+2πk = 1 för alla k Z. Man kan verifiera att de vanliga reglerna för logaritm fungerar även här: logz 1 z 2 = logz 1 +logz 2, log(z 1 /z 2 ) = logz 1 logz 2. I envariabeln har vi valt att ta det positiva av de två varden avx, nämligen x +, och definiera x + = y. I komplexanalys kan man också välja ett entydigt värde av logaritm på ett meningsfullt sätt. Ni kan läsa om principalgren för logaritm tex på Wikipedia. 5. ALLMÄNNA POTENSSERIER En repetition av grundläggande teori om serier kan du hitta i Appendix 1, samt i Kap. 5.1 i [BDP]. Observera att [BDP] diskuterar det reella fallet. En serie på formen (4) a j (z z 0 ) j
8 8 M. SAPRYKINA kallas för potensserie. Man tänker påz 0 och koefficienternaa j,j = 0,1,..., som fixerade, ochz kan variera. (Här menar vi att(z z 0 ) 0 = 1 för allaz). Om serien konvergerar, så definierar den en funktion f(z) = a j(z z 0 ) j. Sats 3. För varje potensserie finns det ett reellt tal R 0 (R kan vara ) sådan att serien (4) konvergerar absolut för allaz sådana att z z 0 < R, och divergerar för alla z sådana att z z 0 > R. Med andra ord, det största område där en potensserie konvergerar är en diskd(z 0,R),0 R (R = om serien konvergerar i hela komplexa planet, och R = 0 om serien divergerar utanför z = 0). Detta tal R kallas för konvergensradien. Låt oss skissa beviset i ett specialfall. Antag att a j 0 för alla j, och att för att något z existerar (ändligt eller oändligt) gränsvärde lim j a j+1 (z z 0 ) j+1 a j (z z 0 ) j = z z 0 lim j a j+1 a j := z z 0 L. Enligt Kvottestet (se Appendix) gäller: om z z 0 L < 1, så konvergerar potensserien (4) absolut i punkten z; om z z 0 L > 1, så divergerar (4) i punkten z. Om L 0, låt oss beteckna R := 1 L = lim a j. j a j+1 Då konvergerar potensserien för alla z sådana att z z 0 < R, dvs inom den öppna diskend(z 0,R) med centrum iz 0 och radien R. Om L = 0, så konvergerar serien för alla z, och det är naturligt att sätta R =. Om L =, divergerar serien för alla z z 0, och det är naturligt att ta R = 0. Läs Exempel 1 och 2 i [BDP]! Exempel: Den geometriska serien zj konvergerar för alla z < 1 (dvs inom D(0,1)) och divergerar för alla z > 1. Konvergensradien är TAYLORSERIER I Envariabelanalysen har vi definierat Taylorpolynom p n (x) för en n gånger deriverbar funktion f(x): n f (k) (x 0 ) p n (x) = (x x 0 ) k. k! Man hoppas att om n växer, så ska p n (x) approximera f(x) bättre och bättre. Låt oss definiera följande oändlig summa formellt (dvs utan att tänka
9 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 9 på konvergens). Denna serie kallas för Taylorserien för f(x). f (n) (x 0 ) T f (x) = (x x 0 ) n. n! n=0 Definiera komplexa Taylorpolynom och Taylorserie genom samma formel som ovan. Vi byter x mot z för att betona att argumentet av funktionen är nu komplext (z C). Anmärkning: Att Taylorserien för en funktion konvergerar till denna funktion är ett jättestarkt krav. Först och främst behöver inte Taylorserien vara definierad i alla punkter (tänk på f(x) = x ). Här är ett exempel på en funktion g : R R vars Taylorserie konvergerar, men till en annan funktion. { e 1/x2, x 0 g(x) = 0, x = 0. Man kan verifiera att g (n) (0) = 0 för alla n = 1,2,..., och Taylorserien T g (x) är därför identiskt 0. Men funktionen själv är positiv för alla x > 0. Följande sats visar hur speciella de analytiska funktionerna är. Vi har redan sagt att en analytisk funktion har derivator av alla ordningar (Sats 2), så att en Taylorserie kan definieras. Man kan visa mycket mer! Sats 4. Om f(z) är analytisk i en disk D(z 0,R) = {z z z 0 < R}, så konvergerar Taylorserien till f(z) i denna disk, och f (n) (z 0 ) f(z) = (z z 0 ) n för alla z D(z 0,R). n! n=0 Vi kommer inte att bevisa denna sats här (ett standardbevis använder Cauchys integralformel). Kom ihåg att derivatan av en analytisk funktion själv är analytisk i samma område. Följande sats ger ett enkelt uttryck för derivatans Taylorserie. Sats 5. Låt f(z) vara analytisk i punkt z 0 och T(z) vara dess Taylorserie. Man kan få Taylorserien för f (z) genom att derivera T(z) termvis. Denna serie konvergerar i samma disk somt(z). Bevis: Eftersom f är analytisk i disken D, så är dess derivata analytisk i samma disk, och dess Taylorserie konvergerar till f (z) i D. Observera att n-te derivatan avf sammanfaller med(n+1)sta derivatan avf. Därför har Taylorserien för f (z) formen f (z 0 )+ f (z 0 ) 2 (z z 0 )+ f (z 0 ) (z z 0 ) !
10 10 M. SAPRYKINA Å andra sidan, kan vi derivera Taylorserien termvis: f (z 0 )+ 2f (z 0 ) (z z 0 )+ 3f (z 0 ) (z z 0 ) ! 3! vilket sammanfaller med serien ovan. Alltså konvergerar den termvisa derivatan till f. Exempel: termvis, får vi: Vi vet att sinz = ( 1) k z 2k+1. Genom att derivera serien (2k+1)! cosz = vilket är Taylorserien för cosz. ( 1) k z 2k, (2k)! Exempel: Verifiera att (e z ) = e z genom att derivera Taylorserien e z = n=0 z n n!. Följande sats kommer att användas för att lösa differentialekvationer. Sats 6. Låtf(z) vara analytisk i diskend(z 0,R 1 ), ochg(z) vara analytisk i diskend(z 0,R 2 ), med Taylorseriernaf(z) = a j(z z 0 ) j ochg(z) = b j(z z 0 ) j. Då gäller för varje konstantc: (a) cf(z) = (b) f(z)+g(z) = ca j (z z 0 ) j för alla z D(z 0,R 1 ) (a j +b j )(z z 0 ) j för alla z D(z 0,R) där R är den minsta av R 1 ochr 2. Observera att summan kan ibland konvergera i en mycket större disk (Tag, t.ex. f = g. Då är summan identiskt noll och konvergerar överallt). Men den allmänna satsen kan bara garantera konvergensen i D(z 0,R) där R är som ovan. Bevis lämnas till läsaren. Vi har sett att varje analytisk funktion är lika med summa av sin (konvergenta) Taylorserie. Man kan även visa det omvända: att varje konvergent potensserie är Taylorserien för en analytisk funktion. Sats 7. Låtf(z) vara summan av en konvergent potensserie i en diskd(z 0,R): (5) f(z) = a n (z z 0 ) n. n=0
11 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 11 Då är f(z) analytisk id(z 0,R), och a n = f(n) (z 0 ), n = 0,1,2,... n! Exempel: Den geometriska serien zj definierar en analytisk funktion f(z) = 1 1 z zj för z < 1 (denna funktion kan skrivas om som f(z) = ). Verifiera själv att Taylorserien för f(z) är den geometriska serien! Denna sats medför entydighet hos potensserier i följande mening. Sats 8. Om två serier, n=0 a n(z z 0 ) n och n=0 b n(z z 0 ) n, konvergerar inom en diskd(z 0,R) och är lika, så måste motsvarande koefficienter vara lika: a j = b j för alla j = 0,1,... Som specialfall, om n=0 a n(z z 0 ) n = 0 för alla z D(z 0,R), så a j = 0 för alla j = 0,1,... Varje konvergent potensserie är alltså en Taylorserie för en analytisk funktion. Det följer från Sats 5 att derivator av potensseriens summa kan beräknas termvis. Detta blir viktigt för våra tillämpningar inom differentialekvationer. Exempel: För funktionen (5) har vi f (z) = ja j (z z 0 ) j 1. Denna serie konvergerar för alla z D(z 0,R). Sammanfattning: Varje analytisk funktion har derivator av alla ordningar; f(z) är analytisk i disk D f(z) kan representeras som en konvergent potensserie id; Vidare, om en potensserie konvergerar inom en disk, så är den Taylorserien för en analytisk funktion. Derivator av denna funktion sammanfaller med de termvisa derivatorna av potensserien. Anmärkning. I tillämpningar ska vi behöva utveckla rationella funktioner i Taylorserier. Frågan är i vilket område är en sådan serie konvergent. En rationell funktion R(z) = P(z)/Q(z) är deriverbar i alla punkter förutom de singulära punkternaz 1,...z n (dvs sådana punkter attq(z i ) = 0, i = 1,2,...m). Men kom ihåg att det naturliga konvergensområdet för en potensserie är en disk.
12 12 M. SAPRYKINA Låtz 0 vara sådan attq(z 0 ) 0. EftersomR(z) är analytisk kringz 0, kan den representeras som en TaylorserieR(z) = a j(z z 0 ) j. Denna serie konvergerar i varje disk som inte innehåller de singulära punkterna. Konvergensradien (dvs radien av den största konvergensdisken) är alltså avståndet frånz 0 till närmaste singulär punkt. Detta diskuteras i kursboken [BDP], se Ex. 1,2 på sid Följande exempel illustrerar hur vi ska använda potensserier för att lösa differentialekvationer. Exempel: Bestäm en analytisk funktion f(z) som uppfyller differentialekvationen df(z) = 2if(z) dz i en omgivning av punkten z = 0, samt begynnelsevillkoret f(0) = 1. Lösning: Antag att f är analytisk i z = 0. Då kan den representeras som summa av dess Maclaurinserie. Vi skriver serien med obestämda koefficienter: f(z) = a j z j = a 0 +a 1 z +a 2 z Begynnelsevillkoret ger a 0 = f(0) = 1. Vidare, deriverar vi serien termvis och sätter in i ekvationen: a 1 +2a 2 z+3a 3 z na n z n 1 + = 2i(a 0 +a 1 z+a 2 z a n z n +...). För att serierna vore lika, måste koefficienter vid varje grad avz vara lika: a 1 = 2ia 0, 2a 2 = 2ia 1 = (2i) 2 a 0 na n = (2i) n a n 1 = (2i) n a 0. Vi ser att a 0 = 1,a n = (2i)n n! för alla n, och f(z) = (2i) n z j. n! Vi identifierar den sista serien som f(z) = e 2iz. Man kan verifiera att e 2iz är en lösning till begynnelsevärdesproblemet ovan. 7. APPENDIX: KORT REPETITION AV SERIER En serie är ett formellt uttryck på formen c j = c 0 +c 1 +c
13 KORT INTRODUKTION TILL ANALYTISKA FUNKTIONER OCH POTENSSERIER 13 därc j är komplexa tal. Den ändliga summan S n = n c j = c 0 +c 1 + +c n kallas förn-te partialsumman. Om följdens 0,S 1,... konvergerar till ett tal S: lim S n = S, n så säger vi att serien konvergerar till S (detta skrivs som c j = S). Annars säger vi att serien divergerar. Följande jämförelsetest är användbart för att bevisa konvergens: Sats 9. Antag att termernac j uppfyller c j M j för alla heltal j större än något J. Om M j konvergerar, så konvergerar även c j. Vi säger att serien c j konvergerar absolut om c j är konvergent. Enligt jämförelsekriteriet ovan, om serien konvergerar absolut, så konvergerar den. Det omvända är inte sant! Exempel: Man kan visa att serien ( 1)j /j konvergerar till ln2 (läs om alternerande serier tex på Wikipedia). Men konvergensen är inte absolut, ty serien 1/j är, som bekant, divergent. I praktiken är det ofta enklare att verifiera absolutkonvergens av en serie, eftersom talen c j är reella icke-negativa, och reelanalys hjälper oss studera serien. Följande påstående kommer från reellanalys: Sats 10. Antag att termerna i serien a j är reella och positiva, samt a uppfyller lim j+1 j a j = Q (Q får vara oändlig). OmQ < 1, så konvergerar serien; omq > 1, så divergerar serien. För att analysera konvergens av serier, jämför man dem ofta med den reella geometriska serien vars konvergens och divergens ges av följande sats. Sats 11. Serien aj 1 konvergerar till för a 1. 1 a Se Kap. 5.1 i kursboken [BDP] för exempel. för0 < a < 1, och divergerar
14 14 M. SAPRYKINA 8. ÖVNINGAR Övningar på sidan 4; Övningar till Kap. 5.1 i [BDP] (3, 7, 14, 20, 23, 28); Bestäm konvergensradien av Taylorserien för funktionen 3z +2 f(z) = z 2 4z +5 kring punkten z = 0. Samma fråga kring z = 1. REFERENSER [BDP] W. Boyce, R. DiPrima, Elementary differential equations with boundary value problems, 10:e upplagan (ISBN-nummret är ). [SS] E.B. Saff, A.D. Snider, Fundamentals of complex analysis for mathematics, science and engeneering, Prentice Hall, 2nd edition. [S] Olle Stormark, Komplexa funktioner, kompendium, Inst. för Matematik, KTH.
Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-I
Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merSerier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.6 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merKompletteringskompendium
Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merInnehåll 1. Kapitel 6: Separation of Variables 1
SF629 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 5 KARL JONSSON Innehåll. Kapitel 6: Separation of Variables.. Upp. 6.2: Dirichlets problem på enhetsskivan med randdata polära koordinater) u,
Läs merReferens :: Komplexa tal version
Referens :: Komplexa tal version 0.5 Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merNågra saker att tänka på inför dugga 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET 17 oktober 017 Matematiska institutionen TATA68 Matematik och tillämpad matematik Några saker att tänka på inför dugga Dugga omfattar HELA kursen, så titta även på de tips som lämnades
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merKap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............
Läs merDagens ämnen. Potensserier
Dagens ämnen 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merKomplexa tal. z 2 = a
Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs mer1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
Läs merOrdinära differentialekvationer
Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merSkrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs mer