Fourieranalys. Lars-Åke Lindahl

Transkript

1 Fourieranalys Lars-Åke Lindahl 21

2 Fourieranalys c 21 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet

3 Innehåll Förord vii 1 Värmeledningsekvationen 1 2 Rekvisita Komplexvärda funktioner Rummet L Serier Likformig konvergens Potensserier Övningsuppgifter Z-transformen Definition och egenskaper Translation och differensekvationer Faltning och svarta lådor Övningsuppgifter Fourierserier Periodiska funktioner och fourierkoefficienter Fourierkoefficienternas storlek Faltning och Dirichletkärnan Cesàrosummation och Fejérkärnan Summationskärnor Entydighet Punktvis konvergens Gibbs fenomen Weierstrass approximationssats Övningsuppgifter L 2 -teori Inre produktrum iii

4 iv INNEHÅLL 5.2 l 2 och L Ortogonalitet Fullständighet Ortogonala polynom Övningsuppgifter Diskreta fouriertransformen Cykliska gruppen Z N Karaktärerna till gruppen Z N Den diskreta fouriertransformen Tidsrummet och frekvensrummet Faltning och translationsinvarianta operatorer Sambandet mellan Z N och Z N/ Snabba fouriertransformen Övningsuppgifter Fouriertransformen Introduktion Fouriertransformen Inversionsformler L 2 -teori Övningsuppgifter Laplacetransformen Definition Räkneregler Deriverbarhet och entydighet Dynamiska system Diracmåttet Övningsuppgifter Utblickar mot abstrakt harmonisk analys Lokalt kompakta abelska grupper Fouriertransformen De klassiska grupperna L 2 -teorin Övningsuppgifter Wavelets på Z N Lokalisering Karaktärsegenskaper

5 v 1.3 Upp- och nedsampling Ortogonalitetsrelationer Waveletbaser Exempel Svar till övningsuppgifter Sakregister

6 vi

7 Förord Kandidatprogrammet i matematik vid Uppsala universitet innehåller två kurser om fouriermetoder, som båda ligger i årskurs 2 och har en omfattning om 5 högskolepoäng vardera. Den inledande kursen, Transformmetoder, är kalkylinriktad, medan mer teoretiska frågor som exempelvis konvergensvillkor för fourierserier och fullständighet hos ortogonalsystem behandlas i fortsättningskursen, Fourieranalys. Det här kompendiet har utvecklats ur föreläsningar som jag hållit för båda kurserna under årens lopp, och det täcker gott och väl innehållet i båda kursena, även om tonvikten ligger åt det mer teoretiska hållet. För att väcka intresse för fortsatta studier i området har jag också lagt till ett kapitel om abstrakt harmonisk analys och ett kapitel som introducerar den diskreta wavelettransformen. Tillräckliga förkunskaper för att tillgodogöra sig innehållet har man om man läst en kurs i flerdimensionell analys och en kurs i linjär algebra. Eftersom många studenter trots det har ganska skakiga kunskaper om konvergens av numeriska serier och funktionsserier, innehåller rekvisitakapitlet en snabbrepetition av dessa saker. Naturligtvis är det en fördel om man också läst komplex analys, men det förutsätter jag inte. Jag har tagit mig friheten att använda Lebesgueintegralen och Lebesgues sats om dominerad konvergens eftersom det gör det lättare att formulera många resultat och enklare att bevisa dem, trots att detta integralbegrepp inte behandlas förrän på masternivå. Att den genomsnittlige läsaren därigenom inte kan förväntas förstå alla detaljer bekymrar mig inte den som går vidare mot högre studier i matematik kommer att göra detta så småningom, och den som inte fortsätter med matematik på högre nivå kan helt obekymrat leva vidare i den förvissningen att Lebesgueintegralen ger samma resultat som Riemannintegralen för alla funktioner som man (som icke-matematiker) träffar på i praktiken. Uppsala, april 29. Lars-Åke Lindahl vii

8

9 Kapitel 1 Värmeledningsekvationen Värmefördelningen i en homogen kropp utan interna värmekällor beskrivs av den s. k. värmeledningsekvationen u = 2 u x + 2 u 2 y + 2 u u = 2 a 2 z2 t. Här betecknar u = u(x, y, z, t) temperaturen i punkten (x, y, z) vid tiden t, och a är en konstant som beror av kroppens värmeledningsegenskaper. Värmeledningsekvationen studerades av Joseph Fourier i arbetet Théorie analytique de la chaleur, som utkom 1822, och för att lösa ekvationen utvecklade Fourier en generell metod att skriva allmänna funktioner som oändliga summor av sinus- och cosinusfunktioner. Vi ska skissera Fouriers metod då kroppen är en homogen stav, som hålls isolerad från sin omgivning så att inget värmeutbyte äger rum utom i stavens båda ändar, vilka hålls vid konstant temparatur noll. För att förenkla räkningarna väljer vi de fysikaliska enheterna så att a = 1 och staven får längd π. Den kan då betraktas som intervallet [, π] på x-axeln. Temperaturen u i punkten x vid tiden t ges nu som en funktion u = u(x, t) av de två variablerna x och t. Vi startar vid tiden t = och antar att den ursprungliga värmefördelningen i staven är känd, dvs. att vi känner funktionen (B) u(x, ) = f(x), x π. Villkoret att ändpunkterna har konstant temperatur noll innebär att (R) u(, t) = u(π, t) =, t. Värmeledningsekvationen reduceras för två variabler till den partiella differentialekvationen 2 u (E) x = u, < x < π, t >. 2 t 1

10 2 1 Värmeledningsekvationen Villkoret (R) är ett randvillkor och villkoret (B) är ett begynnelsevillkor till differentialekvationen (E), och vi vill hitta en lösning som satisfierar såväl randvillkoret som begynnelsevillkoret. Observera att differentialekvationen är linjär och homogen och att randvillkoret har samma egenskaper. Därför är varje linjärkombination u = c 1 u 1 + c 2 u c n u n av lösningar u i till differentialekvationen som uppfyller randvillkoret också själv en lösning till ekvationen som uppfyller randvillkoret. Fouriers geniala idé bestod i att först bestämma alla lösningar till differentialekvationen (E), som uppfyller randvillkoret (R) men inte nödvändigtvis begynnelsevillkoret, och som har den speciella formen (1.1.1) u(x, t) = X(x)T (t). Genom att sedan bilda en lämplig (oändlig) summa av sådana enkla lösningar kunde Fourier konstruera en lösning som också uppfyller begynnelsevillkoret. Lösningsmetoden kallas variabelseparation. Anledningen till att studera funktioner på formen (1.1.1) är förstås att differentialekvationen (E) för sådan funktioner får den mycket enkla formen X (x)t (t) = X(x)T (t). Om vi skriver denna ekvation på formen X (x) X(x) = T (t) T (t), ser vi omedelbart att vänsterledet antar samma värde för alla värden på x, dvs. det är konstant. Om vi betecknar denna konstant med λ, så har vi alltså X (x) X(x) = T (t) T (t) = λ, eller ekvivalent (1.1.2) { X (x) + λx(x) = T (t) + λt (t) =. Vi har med andra ord ersatt vår ursprungliga partiella differentialekvation med ett system som består av två ordinära differentialekvationer. Av randvillkoret (R) följer vidare att X()T (t) = X(π)T (t) = för alla t >, och om vi exkluderar den triviala lösningen u(x, t) måste vi ha T (t) för åtminstone något värde på t, varför (1.1.3) X() = X(π) =.

11 3 Låt oss nu lösa den första av differentialekvationerna i systemet (1.1.2) med randvillkoret (1.1.3). Det är en linjär differentialekvation av andra ordningen, och vi behöver särskilja tre fall beroende på tecknet hos λ. Fall 1, λ < : Skriv λ på formen λ = α 2 med α >. Den allmänna lösningen till differentialekvationen är nu X(x) = Ae αx +Be αx. Konstanterna A och B bestäms av randvillkoren; vi får A+B = och Ae απ +Be απ =, vilket med en gång ger A = B =. Således är X(x) och därmed också u(x, t). I fall 1 har differentialekvationen inga icke-triviala lösningar. Fall 2, λ = : Nu är X (x) =, varför X(x) = Ax + B. Randvillkoret medför också denna gång att A = B =, så vi får återigen bara den triviala lösningen. Fall 3, λ > : Vi sätter nu λ = ω 2, där ω är ett positivt reellt tal. Lösningarna till X (x)+ω 2 X(x) = har formen X(x) = A cos ωx+b sin ωx. Randvillkoret X() = ger att A =, varför X(x) = B sin ωx. Av det andra randvillkoret X(π) = följer slutligen att B sin ωπ =. Eftersom vi vill undvika den triviala lösningen söker vi lösningar med B. Detta är givetvis möjligt om och endast om sin ωπ =, dvs. om och endast om ω är ett (positivt) heltal. För varje positivt heltal n erhåller vi således icke-triviala lösningar på formen B n sin nx. Motsvarande parametervärde λ är λ = n 2, och för dessa värden återstår det nu att lösa differentialekvationen i (1.1.2) för funktionen T (t), dvs. ekvationen T (t) + n 2 T (t) =. Detta är en enkel linjär differentialekvation av första ordningen med lösningen T (t) = C n e n2t. Genom att välja B n = C n = 1 erhåller vi med andra ord för varje positivt heltal n en lösning till (E) och (R) på formen u n (x, t) = e n2t sin nx. Enligt vår tidigare anmärkning om linearitet är varje ändlig linjärkombination N u = b n e n2t sin nx n=1 också en lösning till (E) som uppfyller randvillkoret (R). Vad gäller då för begynnelsevillkoret (B)? Jo, vi har u(x, ) = N b n sin nx, n=1

12 4 1 Värmeledningsekvationen så vi har hittat en lösning ifall f(x) råkar vara en ändlig summa av sinusfunktioner sin nx. Om f(x) inte är en sådan ändlig summa, kan vi istället försöka skriva f(x) som en oändlig summa av sinusfunktioner: (1.1.4) f(x) = b n sin nx. n=1 Summan måste förstås konvergera och representera funktionen f(x) på något bra sätt. Konvergensproblemet kommer vi att återkomma till längre fram i kursen, så tills vidare tillåter vi oss att resonera helt heuristiskt. Vi konstaterar då att motsvarande summa u(x, t) = b n u n (x, t) = n=1 b n e n2t sin nx representerar en lösning till vår värmeledningsekvation förutsatt att vi kan beräkna u:s partiella derivator genom att derivera innanför summatecknet. Det återstår förstås att bestämma koefficienterna b n i serieutvecklingen (1.1.4) av f. Vi börjar därför med observationen att { π π/2 om k = n sin nx sin kx dx = om k n. Integralen ovan beräknas med hjälp av den trigonometriska formeln som leder till att π medan π n=1 sin α sin β = 1 [cos(α β) cos(α + β)], 2 π sin nx sin kx dx = 1 ( ) cos(n k)x cos(n + k)x dx 2 = 1 [ sin(n k)x sin(n + k)x ] π = för k n, 2 n k n + k sin 2 kx = 1 2 π (1 cos 2kx) dx = 1 2 [ x sin 2kx ] π = π/2. 2k Multiplicera nu båda sidorna av (1.1.4) med sin kx och integrera sedan. Förutsatt att det är tillåtet kasta om ordningen mellan summation och in-

13 5 tegration får vi då Alltså är π f(x) sin kx = = b k = 2 π π ( n=1 ) b n sin nx sin kx dx π b n sin nx sin kx dx = π 2 b k. n= π f(x) sin kx dx. Därmed har vi kommit fram till formeln f(x) = ( 2 π k= π ) f(x) sin kx dx sin kx, som representerar f(x) som en oändlig summa av sinusfunktioner i intervallet [, π]. Det bör förstås betonas att härledningen är heuristisk och att vi måste undersöka konvergensfrågan ordentligt. Vi ska återkomma till detta längre fram.

14

15 Kapitel 2 Rekvisita 2.1 Komplexvärda funktioner Vi påminner om följande definition av exponentialfunktionen för imaginära värden på argumentet: e it = cos t + i sin t. Genom att utnyttja välkända egenskaper hos sinus och cosinus får man e it = cos t i sin t = e it, e it = 1, e i(s+t) = e is e it, och e 2nπi = 1. Vi kan rekonstruera sinus och cosinus från exponentialfunktionen på följande vis: cos t = 1 2 (eit + e it ), sin t = 1 2i (eit e it ). Exponentialfunktionen e it är ett exempel på en komplexvärd funktion. Allmänt kan en funktion f, som antar komplexa värden och är definierad på någon delmängd av R, skrivas på formen f = u + iv, där u och v är två reella funktioner. Vi sätter helt enkelt u(t) lika med realdelen och v(t) lika med imaginärdelen av f(t). Definition En komplexvärd funktion f kallas kontinuerlig i punkten t om lim f(t) f(t ) =. t t En komplexvärd funktion f = u + iv är kontinuerlig i en punkt t om och endast om de båda reella funktionerna u och v är kontinuerliga i samma punkt. Detta följer enkelt av de elementära olikheterna Re z z, Im z z och z Re z + Im z, 7

16 8 2 Rekvisita som tillämpade på det komplexa talet z = f(t) f(t ) ger u(t) u(t ) f(t) f(t ), v(t) v(t ) f(t) f(t ) och f(t) f(t ) u(t) u(t ) + v(t) v(t ). Definition En komplexvärd funktion f = u + iv kallas deriverbar i punkten t med derivata f (t) = u (t) + iv (t), om u och v båda är deriverbara i punkten t, integrerbar över ett intervall I = [a, b] med integral b a f(t) dt = b a u(t) dt + i b om de båda integralerna i högerledet existerar. a v(t) dt I fortsättningen skriver vi ofta f(t) dt istället för b f(t) dt. På motsvarande sätt betecknar f(t) dt den generaliserade integralen I a f(t) dt. R Exempel Låt oss som ett enkelt exempel beräkna derivatan av exponentialfunktionen e iat = cos at + i sin at. Definitionen ger oss d dt (eiat ) = a sin at + ia cos at = ia(cos at + i sin at) = iae iat. Den komplexa exponentialfunktionen uppför sig således precis som den reella med avseende på derivering. Läsaren bör som enkel övning verifiera att följande linearitetsregler gäller: b a b a (f 1 (t) + f 2 (t)) dt = cf(t) dt = c b a b a f(t) dt, f 1 (t) dt + b a f 2 (t) dt där c är ett godtyckligt komplext tal. Man verifierar vidare lätt att om f är en kontinuerlig komplexvärd funktion med primitiv funktion F (dvs. F (t) = f(t) för alla t i intervallet [a, b]), så är b a f(t) dt = [ F (t) ] b = F (b) F (a). a Exempel För α är (iα) 1 e iαt en primitiv funktion till exponentialfunktionen e iαt. Det följer att b a e iαt dt = eiαb e iαa iα

17 2.2 Rummet L 1 9 om α. Genom att speciellt låta α = n vara ett heltal och välja b = a + 2π, samt utnyttja att e in(a+2π) = e ina e i2πn = e ina, erhåller vi följande mycket viktiga formler: { a+2π e int 2π, om n = dt =, om n. a Integralen av e int över ett godtyckligt intervall av längd 2π är med andra ord lika med för alla nollskilda heltal n. Följande olikhet generaliserar triangelolikheten och kommer att utnyttjas många gånger i fortsättningen. Sats (Triangelolikheten för integraler) För alla integrerbara funktioner f är f(t) dt f(t) dt. I Bevis. Skriv det komplexa talet f(t) dt på polär form som I Reiθ, där R = f(t) dt I är absolutbeloppet av talet och θ är argumentet. Då är R = e iθ f(t) dt = e iθ f(t) dt. I Talet R = I e iθ f(t) dt är reellt och är därför lika med sin realdel. Det följer att R = Re e iθ f(t) dt = Re (e iθ f(t)) dt e iθ f(t) dt = f(t) dt. I I Den andra likheten gäller på grund av sättet att definiera integralen av komplexvärda funktioner, och olikheten beror på att Re (e iθ f(t)) e iθ f(t) för alla t. 2.2 Rummet L 1 Definition Med rummet L 1 (R) menas mängden av alla komplexvärda (Lebesgue-mätbara) funktioner f, som är definierade på R och uppfyller f 1 = f(t) dt <. R Det skulle föra för långt att försöka specificera vad Lebesgue-mätbar betyder; för våra behov räcker det att veta att alla styckvis kontinuerliga funktioner är mätbara. I I I I

18 1 2 Rekvisita Exempel Funktionen f(t) = eit 1 + t tillhör 2 L1 (R) eftersom dt f 1 = 1 + t = π <. 2 R Funktionen g(t), definierad som t 1/2 för < t < 1, och för alla övriga värden på t, tillhör också L 1 (R), eftersom g 1 = 1 t 1/2 dt = 2. 1 kallas för L 1 -normen. Vi kommer ofta att utnyttja triangelolikheten f + g 1 f 1 + g 1 som följer genom att integrera motsvarande triangelolikhet f(t) + g(t) f(t) + g(t) för komplexa tal. När ska två L 1 -funktioner f och g anses ligga nära varandra? Kom ihåg att om f och g är reellvärda, så mäter integralen f(t) g(t) dt arean av R området mellan de båda funktionernas grafer. Det låter rimligt att säga att funktionerna ligger nära varandra ifall denna area är liten. Vi generaliserar nu detta för allmänna komplexvärda L 1 -funktioner genom att använda f g 1 = f(t) g(t) dt R som ett mått på avståndet mellan två sådana funktioner. Speciellt mäter alltså f 1 (= f 1 ) avståndet mellan funktionen f och nollfunktionen. Integralen av en funktion påverkas inte om vi ändrar funktionens värden i enstaka punkter. Om f(t) = g(t) för alla utom ändligt många värden på t är således R f(t) dt = R g(t) dt och f g 1 =. I denna situation förefaller det rimligt att betrakta de båda funktionerna såsom lika. Mera generellt gäller att f och g har samma integraler ifall de båda funktionerna är lika utanför en så kallad nollmängd. Definition En delmängd E av reella axeln kallas en nollmängd, om det för varje ɛ > är möjligt att täcka över mångden E med en union av (oändligt många) intervall vars totala längd är mindre än ɛ. Exempel Mängden Q av alla rationella tal utgör en nollmängd, ty vi kan räkna upp de rationella talen r 1, r 2, r 3,..., och sedan för varje n bilda intervallet I n =]r n 2 (n+1) ɛ, r n + 2 (n+1) ɛ[ som har talet r n som mittpunkt och längd 2 n ɛ. Unionen av alla dessa intervall täcker uppenbarligen över Q, och den totala längden av alla intervallen är n=1 2 n ɛ = ɛ.

19 2.2 Rummet L 1 11 Om t är en punkt där funktionen f är kontinuerlig och f(t ), så är nödvändigtvis f 1 >, ty på grund av kontinuiteten finns det ett interval [a, b] kring t, där f(t) > f(t ) /2, varav följer att b f(t) dt f(t) dt (b a) f(t ) /2 >. R a Om t är en kontinuitetspunkt och f 1 =, så vet vi alltså att f(t ) =. Genom att tillämpa denna information på differensen f g mellan två L 1 - funktioner drar vi slutsatsen: Om funktionerna f och g båda är kontinuerliga i punkten t och f g 1 =, så är f(t ) = g(t ). Låt nu I vara ett godtyckligt intervall, och låt f vara en komplexvärd funktion som är definierad på intervallet. Vi kan utvidga f till en funktion F som är definierad på hela R på ett trivialt sätt genom att definiera { f(t) för t I F (t) = för t / I. Vi får då I f(t) dt = R F (t) dt. Vi säger att f tillhör rummet L 1 (I) om och endast om den utvidgade funktionen F tillhör L 1 (R). Om så är fallet, sätter vi vidare f 1 = F 1. När man talar om 1 -normen, måste man förstås vara medveten om vilket underliggande intervall I som avses, men detta intervall kommer alltid att framgå av sammanhanget. Vid sidan om 1 -normen kommer vi också att använda den s. k. oändlighetsnormen. Låt I vara ett givet intervall och betrakta en begränsad komplexvärd funktion f på I. (Begränsad betyder att den icke-negativa reellvärda funktionen f är begränsad.) Vi sätter f = sup f(t). t I Uppenbarligen gäller då olikheten f + g f + g, och vidare är f = om och endast om f är identiskt lika med noll på ifrågavarande intervall I. Om I = [a, b] är ett begränsat intervall och om funktionen f är begränsad på I, så är f 1 = b a f(t) dt b a f dt = (b a) f. En L 1 -funktion kan ha olika slags diskontinuiteter, men den kan alltid approximeras godtyckligt väl av regelbundna funktioner.

20 12 2 Rekvisita Sats Låt f L 1 (R) och ɛ > vara givna. Då finns det en kontinuerligt deriverbar funktion g som är identiskt utanför något begränsat intervall och som uppfyller f g 1 < ɛ. Bevis. Eftersom vi inte har givit en precis definition av begreppet mätbarhet kan vi inte ge ett rigoröst bevis, men följande skiss innehåller alla väsentliga ingredienser i ett sådant bevis. Först kan vi, eftersom f(t) dt <, hitta ett positivt tal A så att R f(t) dt < ɛ/3. t >A På det begränsade intervallet [ A, A] kan vi sedan approximera funktionen f med en trappstegsfunktion h (en funktion som är sträckvis konstant) som uppfyller olikheten A A f(t) h(t) dt < ɛ/3. Se figur 2.1. Utvidga definitionsområdet för h till hela R genom att sätta h(t) = utanför intervallet [ A, A]; då är A f h 1 = f(t) h(t) dt + f(t) dt < 2ɛ/3. A t >A Det sista steget består i att approximera trappstegsfunktionen h med en kontinuerligt deriverbar funktion g genom att runda av hörnen på trappstegsfunktionen såsom i figuren. Man ser lätt att detta kan göras på ett sådant sätt att h g 1 < ɛ/3. Triangelolikheten ger nu f g 1 = (f h) + (h g) 1 f h 1 + h g 1 2ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ A A Figur 2.1. Först approximeras L 1 -funktionen med en trappstegsfunktion. Sedan approximeras denna med en kontinuerligt deriverbar funktion.

21 2.2 Rummet L 1 13 Sats (Riemann-Lebesgues lemma) Låt I vara ett godtyckligt intervall och antag att f L 1 (I). Då är f(t) e iλt dt =. lim λ ± I Bevis. Vi kan utan inskränkning antaga att I = R. (Om I R utvidgar vi definitionsområdet till hela R genom att sätta f(t) = utanför intervallet I.) Antag nu först att funktionen f är kontinuerligt deriverbar och lika med noll utanför något begränsat intervall [A, B]. Genom partiell integration får vi då R f(t) e iλt dt = B = 1 iλ A B f(t) e iλt dt = A f (t) e iλt dt, ] [f(t) e iλt B + 1 B f (t) e iλt dt iλ A iλ A eftersom f(a) = f(b) =. Genom att utnyttja triangelolikheten för integraler får vi därför f(t) e iλt dt 1 B f (t) e iλt dt = 1 B f (t) dt R λ A λ A 1 λ (B A) f. Högerledet i ovanstående olikhet går mot då λ ±. Antag härnäst att f är en godtycklig L 1 -funktion. Givet ɛ > har vi att visa att det finns ett reellt tal ω så att f(t) R e iλt dt < ɛ gäller för λ > ω. För att uppnå detta väljer vi först en kontinuerligt deriverbar funktion g som är noll utanför något begränsat intervall och som uppfyller olikheten f g 1 < ɛ/2. Med hjälp av triangelolikheten får vi sedan f(t) e iλt dt = (f(t) g(t)) e iλt dt + g(t) e iλt dt R R R (f(t) g(t)) e iλt dt + g(t) e iλt dt R R (f(t) g(t)) e iλt dt + g(t) e iλt dt R R = f(t) g(t) dt + g(t) e iλt dt R R = f g 1 + g(t) e iλt dt < ɛ/2 + g(t) e iλt dt. R R

22 14 2 Rekvisita Enligt bevisets första del går den sista integralen mot noll då λ ±. Vi kan därför hitta ett ω så att g(t) e iλt dt < ɛ/2 R för λ > ω. Av olikheterna ovan följer därför att f(t) R e iλt dt < ɛ gäller för alla λ > ω. Anmärkning. Eftersom sin λt = 1 2i (eiλt e iλt ), följer det med en gång ur Riemann-Lebesgues lemma att f(t) sin λt dt =. lim λ Motsvarande gäller förstås också när sinus ersätts med cosinus. 2.3 Serier I Definition En följd (c n ) 1 av komplexa tal kallas konvergent om det finns ett komplext tal c så att lim n c n c =. Talet c kallas i så fall för följdens gränsvärde och betecknas lim n c n. Gränsvärdesdefinitionen för komplexa följder är därmed reducerad till definitionen av gränsvärdet av en (icke-negativ) reell följd. Genom att utnyttja de olikheter som råder mellan ett komplext tals realrespimaginärdel och belopp erhåller man vidare lätt följande resultat: Om c n = a n + ib n, så konvergerar den komplexa följden mot gränsvärdet c = a + ib om och endast om de båda reella följderna (a n ) 1 och (b n ) 1 konvergerar mot a och b, respektive. Därigenom har vi fullständigt reducerat problemet att bestämma gränsvärdet av komplexa följder till motsvarande problem för reella följder. En nackdel med gränsvärdesdefinitionen är att vi för att avgöra om en följd är konvergent behöver referera till det eventuella gränsvärdet. Följande sats visar att man kan avgöra följdens konvergens genom att enbart studera följdens termer. Sats (Cauchys konvergensprincip) En komplex talföljd (c n ) n=1 är konvergent om och endast om följande villkor är uppfyllt: ( ) För varje ɛ > finns det ett tal N så att olikheten c m c n < ɛ gäller för alla n m N. En följd som uppfyller villkoret ( ) kallas en Cauchyföljd.

23 2.3 Serier 15 Bevis. Beviset för den ena riktningen, nämligen att villkoret ( ) är uppfyllt om följden är konvergent, är enkelt. Antag nämligen att följden har ett gränsvärde c. Då är per definition lim n c n c =, dvs. givet ɛ finns det ett tal N så att c n c < ɛ/2 gäller för alla n N. Om både m N och n N, så gäller därför på grund av triangelolikheten att c m c n = (c m c) + (c c n ) c m c + c c n < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. Beviset för omvändningen, dvs. att varje Cauchyföljd är konvergent, är mer komplicerat, och vi delar upp det i ett antal steg. 1. Först noterar vi att det räcker att visa omvändningen för reella följder, ty realdelen av en Cauchyföljd (c n ) 1, där c n = a n +ib n, är också en Cauchyföljd på grund av olikheten a m a n c m c n, och motsvarande gäller förstås också för imaginärdelen, och följden (c n ) 1 konvergerar om de båda följderna (a n ) 1 och (b n ) 1 konvergerar. 2. Härnäst konstaterar vi att varje Cauchyföljd är begränsad. Välj nämligen det tal N i ( ) som svarar mot ɛ = 1; då är speciellt c n c N < 1 för alla n N, så det följer av triangelolikheten att c n = c n c N + c N c n c N + c N < 1 + c N för n N. Därför gäller att c n C för alla n, om vi som C väljer det största av talen c 1,..., c N 1 och 1 + c N. 3. Vi behöver vidare följande hjälpsats, som har ett visst egenintresse: Lemma Varje reell talföljd (a n ) 1 innehåller en monoton delföljd, dvs. det finns en strikt växande följd (n k ) k=1 av positiva heltal så att följden (a n k ) k=1 antingen är växande eller avtagande. (Lemmat har följande pittoreska tolkning: Ställ upp ett oändligt antal soldater på led. Då är det alltid möjligt att genom att låta ett lämpligt antal soldater stiga åt sidan erhålla ett resterande oändligt led av soldater som är ordnade efter växande eller avtagande längd.) Bevis för lemmat. Sätt A n = {a k : k n}; vi har då två alternativ: Antingen innehåller mängden A n för varje n 1 ett största element, eller också finns det något n så att A n inte innehåller ett största element. I det förstnämnda fallet låter vi n 1 vara det index för vilket a n1 är det största elementet i A 1. (Om det finns flera element som är lika stora låter vi n 1 vara det minsta indexet för sådana element för att få ett entydigt val.) Alla element a n i mängden A n1 +1, dvs. alla a n med n > n 1 är nu a n1. Vi väljer nu n 2 > n 1 så att elementet a n2 är störst i A n1 +1, och konstaterar att a n1 a n2. Elementet a n2 är större än eller lika med alla element i A n2 +1, och vi kan fortsätta med att hitta ett n 3 > n 2 så att a n3 är störst bland alla element i A n2 +1. På grund av vårt antagande tar processen aldrig slut, så

24 16 2 Rekvisita med hjälp av induktion får vi en följd n 1 < n 2 < n 3 <... med egenskapen att a n1 a n2 a n3..., dvs. den givna följden innehåller en avtagande delföljd. I det andra fallet låter vi n 1 vara det första talet n för vilket A n inte innehåller något största element. Speciellt är alltså inte a n1 störst i mängden A n1 så därför finns det ett första index n 2 > n 1 så att a n2 > a n1. Eftersom inte heller talet a n2 är störst finns det ett första index n 3 > n 2 så att a n3 > a n2, osv. Resultatet blir denna gång en (strängt) växande delföljd a n1 < a n2 < a n3 <.... Därmed är lemmat bevisat. 4. Låt nu (a n ) 1 vara en reell Cauchyföljd och välj med hjälp av steg 3 ut en monoton delföljd (a nk ) k=1. På grund av steg 2 är delföljden säkert begränsad, så det följer att gränsvärdet a = lim k a nk existerar. (Varje monoton begränsad talföljd har ett gränsvärde!) Vi ska nu med hjälp av gränsvärdesdefinitionen visa att a också är gränsvärde till den ursprungliga följden. Antag därför att ɛ >, och utnyttja först definitionen av Cauchyföljd för att hitta N så att a n a m < ɛ/2 för alla m, n N. Av gränsvärdesdefinitionen följer speciellt att det finns ett index k så att n k N och a nk a < ɛ/2. För alla n N får vi nu på grund av triangelolikheten: a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ, vilket visar att lim n a n = a. Exempel För komplexa tal z är lim n z n = om z < 1, medan gränsvärdet inte existerar om z 1 och z 1. För z < 1 gäller nämligen att z n = z n, eftersom vi vet att lim n r n = gäller för reella tal r med r < 1. Om däremot z 1, så är z n z n+1 = z n 1 z 1 z. Villkoret ( ) i Cauchys konvergensprincip kan därför inte vara uppfyllt för något N om ɛ < 1 z, och det följer därför av Cauchys konvergensprincip att följden (z n ) n=1 inte har något gränsvärde, såvida inte z = 1. Definition Låt (c n ) n=1 vara en följd av komplexa tal. Med serien S = menas följden (S n ) n=1 bestående av de ändliga partialsummorna n=1 c n S n = n c k. k=1

25 2.3 Serier 17 Serien S säges konvergera eller vara konvergent om följden av partialsummor är konvergent. Om så är fallet kallas gränsvärdet lim n S n för seriens summa, och summan betecknas också den med S. En icke-konvergent serie kallas divergent. Observera alltså att symbolen n=1 c n används i två betydelser dels för att beteckna en följd (följden av partialsummor), dels för att beteckna ett gränsvärde (gränsvärdet av partialsummorna). Detta kan vara förvirrande i början men är praktiskt. Exempel Serien n= zn, där z är ett komplext tal, kallas en geometrisk serie. Den geometriska serien är konvergent om och endast om z < 1, i vilket fall z n = 1 1 z. n= Vi kan nämligen beräkna partialsummorna exakt och får för z 1 att n S n = z k = 1 zn+1 1 z. k= Slutsatsen om konvergens och summa följer nu direkt av exempel (Fallet z = 1 är förstås trivialt.) Genom att dela upp termerna c n i en komplex serie i sina real- och imaginärdelar, c n = a n + ib n, får vi en motsvarande uppdelning av serien i två reella serier: (2.3.1) c n = a n + i b n. n=1 n=1 Här är den komplexa serien n=1 c n konvergent om och endast om de båda reella serierna n=1 a n och n=1 b n är konvergenta, i vilket fall (2.3.1) också gäller för seriernas summor. Att så är fallet följer omedelbart av motsvarande resultat för följder. Därigenom har vi förstås i princip reducerat alla problem för komplexa serier till problem för reella serier. Emellertid är det oftast enklast att gå direkt på den komplexa serien. Vi fortsätter därför med att formulera ett antal definitioner och resultat för komplexa serier. Följande konvergensprincip följer direkt ur Cauchys konvergensprincip för följder. Sats (Cauchys konvergensprincip för serier) Serien n=1 c n är konvergent om och endast om följande villkor är uppfyllt: ( ) För varje ɛ > finns det ett tal N så att n k=m c k < ɛ gäller för alla n m N. n=1

26 18 2 Rekvisita Bevis. Detta är ingenting annat än Cauchys konvergensprincip för följder (sats 2.3.1) tillämpad på följden (S n ) n=1 av partialsummor S n = n k=1 c k. För denna följd är nämligen S n S m 1 = n k=m c k. Korollarium Om serien n=1 c n konvergerar, så är lim n c n =. Bevis. Detta följer omedelbart av den lätta riktningen av Cauchys konvergensprincip, ty genom att speciellt välja n = m i villkoret ( ) ser vi att det givet ɛ > finns ett N så att n N medför att c n = n k=n c k < ɛ. Definition En komplex serie n=1 c n kallas absolutkonvergent om den positiva reella serien n=1 c n är konvergent. Sats Varje absolutkonvergent serie är konvergent. Bevis. Antag att serien n=1 c n är absolutkonvergent. Vi ska visa att villkoret ( ) i Cauchys konvergensprincip är uppfyllt. Låt därför ɛ > vara givet; Cauchys konvergensprincip tillämpad på den konvergenta serien n=1 c n ger oss ett N så att olikheten n k=m c k < ɛ gäller för alla n m N. På grund av triangelolikheten n c k k=m n c k gäller därför också n k=m c k < ɛ för alla n m N. Men detta innebär enligt Cauchys konvergensprincip att serien n=1 c n är konvergent. Exempel Om n=1 r n är en konvergent serie med positiva termer r n, så är serien n=1 r ne int absolutkonvergent för alla t, eftersom r n e int = r n. För att framgångsrikt kunna tillämpa sats behöver man veta när en positiv serie är konvergent. Vi övergår därför nu till att repetera ett antal resultat för positiva serier. Definition Med en positiv serie n=1 a n menas en serie vars alla termer a n är icke-negativa reella tal. I en positiv serie bildar partialsummorna S n = n k=1 a k en växande följd beroende på att S n+1 S n = a n+1. För en växande följd finns bara två alternativ; antingen är den uppåt begränsad och då är följden konvergent, eller också är den inte uppåt begränsad och då har följden det oegentliga gränsvärdet +. Vi har med andra ord följande resultat: k=m

27 2.3 Serier 19 Sats En positiv serie n=1 a n är konvergent om och endast om det finns en konstant M så att n k=1 a k M gäller för alla n. Detta leder omedelbart till följande kriterium för konvergens. Sats (Jämförelsekriteriet) Låt n=1 a n och n=1 b n vara två positiva serier och antag att det finns en positiv konstant M så att a n Mb n för alla n. Då är serien n=1 a n konvergent ifall den större serien n=1 b n är konvergent. Bevis. Antag att serien n=1 b n är konvergent och beteckna summan med B. Då är n n a k M b k M b k = MB k=1 k=1 för alla n, dvs. partialsummorna till serien n=1 a n är uppåt begränsade (av talet M B). Serien är därför konvergent. Låt r vara ett positivt tal < 1. Eftersom den geometriska serien n= rn är konvergent, är varje positiv serie n=1 a n, vars termer för någon konstant M uppfyller olikheten a n Mr n för alla n, också konvergent enligt jämförelsekriteriet. Denna observation leder till följande två användbara konvergenskriterier. Sats k=1 Låt n=1 c n vara en godtycklig komplex serie, och antag att R = lim n n c n eller K = lim n c n+1 c n existerar. Då är serien (a) absolutkonvergent om R < 1 och divergent om R > 1 (rotkriteriet); (b) absolutkonvergent om K < 1 och divergent om K > 1 (kvotkriteriet). Anmärkning. Man kan visa att gränsvärdet R säkert existerar om gränsvärdet K existerar och att då R = K, medan R kan existera även om K inte gör det. Rotkriteriet är därför ett starkare kriterium än kvotkriteriet. Bevis. Antag att gränsvärdet R existerar och att R < 1. Välj ett tal r så att R < r < 1. På grund av gränsvärdesdefinitionen finns det då ett tal N så att n cn < r gäller för alla n N. För sådana n är därför c n < r n. Naturligtvis kan vi nu välja konstanten M 1 så att olikheterna c n < Mr n gäller för de ändligt många talen n = 1, 2,..., N 1. För alla n blir då c n < Mr n. På grund av jämförelsekriteriet är därför serien n=1 c n konvergent, dvs. serien n=1 c n är absolutkonvergent.

28 2 2 Rekvisita Om däremot R > 1, så är n c n > 1 för alla tillräckligt stora n, dvs. c n > 1 för alla tillräckligt stora n. Serien n=1 c n kan därför inte vara konvergent eftersom termerna inte går mot. Beviset för kvotkriteriet är analogt och lämnas som övning till läsaren. Sats (Integralkriteriet) Låt f vara en positiv, avtagande funktion definierad på intervallet [1, [. Då är serien n=1 f(n) konvergent om och endast om den generaliserade integralen f(x) dx är konvergent. 1 Bevis. Genom att jämföra integralen av funktionen över intervallet [n, n + 1] med en rektangel med [n, n + 1] som bas och f(n) resp. f(n + 1) som höjd (se figur 2.2) får man olikheterna f(n + 1) n+1 n f(x) dx f(n). y = f(x)... n n + 1. Eftersom N n=1 n+1 n Figur 2.2. f(x) dx = N+1 1 f(x) dx, blir ( n+1 n=1 f(x) dx ) lika med värdet av den generaliserade integralen n f(x) dx. Jämförelsekriteriet och den vänstra olikheten ovan visar därför 1 att serien n=1 f(n) (som är lika med f(1) + n=1 f(n + 1)) är konvergent ifall den generaliserade integralen är konvergent, och den högra olikheten ger att den generaliserade integralen är konvergent ifall serien n=1 f(n) konvergerar. Integralkriteriet tillämpat på funktionen x α ger nästa sats. Sats Serien n=1 1 är konvergent om och endast om α > 1. nα

29 2.3 Serier 21 Exempel Som ett specialfall av exempel får vi alltså att serien n=1 1 n 2 eint är absolutkonvergent för alla t. Däremot kan vi inte dra någon sådan omedelbar slutsats om konvergensen för serien 1 n=1 n eint ; den är inte absolutkonvergent eftersom serien 1 n=1 n är divergent, men är den konvergent för något värde på t? För att kunna avgöra frågan behöver vi ett nytt resultat. Sats Låt (c n ) n=1 vara en följd av komplexa tal och låt (a n ) n=1 vara en avtagande följd av positiva tal. Då är serien n=1 a nc n konvergent om ettdera av följande två villkor är uppfyllt: (a) Dirichlets kriterium: lim n a n = och det finns en konstant M så att n k=1 c k M för alla n. (b) Abels kriterium: Serien n=1 c n är konvergent. Bevis. Vi börjar med att skriva om summan n k=m a kc k på ett sätt som är en direkt motsvarighet till partiell integration för integraler. Sätt S k,m = { k j=m c j för k m för k = m 1. Då blir c k = S k,m S k 1,m för alla k m, och vi kan därför göra omskrivningen n a k c k = k=m = n a k (S k,m S k 1,m ) = k=m n a k S k,m k=m n 1 k=m n 1 a k+1 S k,m n a k S k,m k=m = a n S n,m + (a k a k+1 )S k,m. k=m n a k S k 1,m Antag nu att S k,m C för k m och applicera triangelolikheten på sum- k=m

30 22 2 Rekvisita man ovan vilket ger olikheten (2.3.2) n a k c k a n S n,m + k=m n 1 k=m n 1 (a k a k+1 )S k,m = a n S n,m + (a k a k+1 ) S k,m k=m n 1 a n C + (a k a k+1 )C = a m C. k=m I fallet (a) är S k,m = k j=1 c j m 1 j=1 c j k j=1 c j + m 1 j=1 c j M + M = 2M, så olikheten (2.3.2) gäller med C = 2M. Eftersom vidare a m då m, finns det givet ɛ > ett N så att olikheten 2a m M < ɛ gäller för alla m N. För n m N är därför n a k c k < ɛ, k=m så serien n=1 a nc n konvergerar på grund av Cauchys konvergensprincip. I fallet (b) finns det istället på grund av Cauchys konvergensprincip tillämpad på serien n=1 c n ett tal N med egenskapen att S n,m < ɛ för alla n m N, dvs. olikheten (2.3.2) gäller nu med C = ɛ. Eftersom följden (a n ) 1 är avtagande, följer det att n a k c k a m ɛ a 1 ɛ. k=m Serien n=1 a nc n konvergerar därför också i detta fall enligt Cauchys konvergensprincip. Exempel Vi ska använda sats för att visa att serien n=1 1 n eint är konvergent för < t < 2π. Följden ( 1 n ) n=1 är uppenbarligen avtagande med gränsvärde, och för summorna n n 1 ( S n = e ikt = e ) it e it k = e it 1 eint 1 e it k=1 k=

31 2.4 Likformig konvergens 23 gäller uppskattningen S n = 1 eint 1 e it 2 1 e it. Dirichlets kriterium är således uppfyllt med M = 2( 1 e it ) 1. I fortsättningen kommer vi huvudsakligen att betrakta serier av typen (2.3.3) c n e int = c n e int, n Z n= och med detta menar vi serien (2.3.4) c + (c n e int + c n e int ). n=1 Eftersom skrivsättet (2.3.3) ser snyggare ut än (2.3.4) kommer vi i allmänhet att föredra formen (2.3.3). Med konvergens hos serien (2.3.3) menar vi emellertid per definition att serien (2.3.4) är konvergent. Genom att kombinera termerna c n e int + c n e int = (c n + c n ) cos nt + i(c n c n ) sin nt ser vi att serien (2.3.3) ekvivalent kan skrivas som (2.3.5) a + (a n cos nt + b n sin nt), n=1 där a = c, a n = c n + c n och b n = i(c n c n ) för n 1. Omvänt kan varje trigonometrisk serie (2.3.5) skrivas på formen (2.3.3) med c = a, c n = 1 2 (a n ib n ) och c n = 1 2 (a n + ib n ) för n Likformig konvergens Exempel Definiera två funktionsföljder (f n (t)) 1 och (g n (t)) 1 på följande sätt: nt, t 1/n n 2 t, t 1/n f n (t) = 2 nt, 1/n t 2/n, g n (t) = 2n n 2 t, 1/n t 2/n, annars, annars Grafen till funktionen f n är en triangel med intervallet [, 2/n] som bas och höjd 1 (se figur 2.3), medan grafen till funktionen g n är en triangel med samma bas men höjd n.

32 24 2 Rekvisita y.. 1. y = f n(t). 2 n.. t Figur 2.3. Observera att lim n f n (t) = lim n g n (t) = för alla t R (ty om t > så gäller f n (t) = g n (t) = så snart n > 2/t, och om t så är f n (t) = g n (t) = för alla n). Betyder detta att funktionerna f n och g n ligger nära den konstanta funktionen f(t) när n är stort? Svaret på denna fråga beror förstås på hur vi mäter närhet. Vi kan använda L 1 -normen, som infördes i avsnitt 1.4. Eftersom f n f 1 = f n 1 = 1/n, och g n f 1 = g n 1 = 1, ligger funktionerna f n nära f i L 1 -norm för stora n, medan g n inte är nära f för något n. Anmärkning. Våra funktioner g n visar att likheten lim n f n (t) = f(t) kan gälla för alla t R utan att för den skull lim n f n f 1 =. Omvänt medför inte lim n f n f 1 = att följden f n (t) konvergerar mot f(t) för något t. Ett exempel på detta ges av funktionerna h m, som vi definierar för m = 1, 2,... på följande vis: Skriv talet m på formen m = 2 n + k, där n och k 2 n 1, och sätt sedan { 1, om k/2 n t (k + 1)/2 n h m (t) =, för alla andra t. För 2 n m < 2 n+1 är således h m (t) lika med 1 på ett delinterval I m av [, 1] vars längd är lika med 2 n, och lika med för övrigt. (Rita en figur!) Det följer omedelbart att h m 1 då m. Å andra sidan vandrar delintervallen I m fram och tillbaka på intervallet [, 1] när m går mot. Gränsvärdet lim m h m (t) kan därför inte existera för något t 1, eftersom h m (t) antar både värdena och 1 för oändligt många m. Ett annat kanske mer naturligt sätt att mäta närhet mellan två funktioner f och g än att använda L 1 -normen, är att mäta den maximala absoluta differensen f(t) g(t) mellan funktionsvärdena, där maximum tas över alla t som tillhör funktionernas definitionsområde, dvs. att använda oändlighetsnormen. För funktionerna f n, g n och f i exempel gäller f n f = f n = sup f n (t) = f n (1/n) = 1 och g n f = g n = sup g n (t) = g n (1/n) = n, så varken g n eller f n ligger nära f.

33 2.4 Likformig konvergens 25 I resten av det här avsnittet ska vi använda oss av just oändlighetsnormen för att mäta avståndet mellan funktioner. Detta leder till begreppet likformig konvergens, som definieras på följande sätt. Definition En följd (f n ) 1 av funktioner, som är definierade på någon mängd I, säges konvergera likformigt mot funktionen f på I om lim f n f = lim n sup n t I f n (t) f(t) =. Anmärkning. Vi kommer huvudsakligen att studera likformig konvergens då I är ett intervall eller hela R, men definitionen och följande satser fungerar lika bra för delmängder I av det komplexa talplanet. Observera att om en funktionsföljd konvergerar likformigt på mängden I, så konvergerar följden också likformigt på varje delmängd J till I. Exempel Sätt f n (t) = cos t och I = [, 1]. Eftersom det för varje n t gäller att cos t 1 då n, sätter vi f(t) 1. Om n är så stort att n 1/n < π, så är funktionen 1 cos t växande på intervallet [, 1], och härav n följer förstås att f n (t) f(t) = 1 cos t n för alla t [, 1]. Följaktligen gäller det att f n f = 1 cos 1 n 1 cos 1 n, då n, dvs. f n konvergerar likformigt mot f på intervallet [, 1]. Exempel Betrakta samma funktioner f n (t) = cos t som i föregående n exempel men välj nu intervallet I som hela R. Eftersom f n (nπ) = cos π = 1, är f n f = sup 1 cos t t R n = 2. Följden (f n ) 1 konvergerar således inte likformigt på R. Exempel Sätt f n (t) = t n och I = [, 1]. Definiera funktionen f genom att sätta f(t) = för t < 1 och f(1) = 1. Då är lim n f n (t) = f(t) för alla t I, dvs. funktionsföljden (f n ) 1 konvergeras punktvis mot f på intervallet I, men f n f = sup f n (t) f(t) = sup t n = 1, t 1 t<1 så funktionsföljden konvergerar inte likformigt på I.

34 26 2 Rekvisita Definition följden En serie n=1 a n(t) konvergerar likformigt på mängden I om s n (t) = n a k (t) k=1 av partialsummor konvergerar likformigt mot summan s(t) = n=1 a n(t) på mängden I. Exempel Antag att < a < 1. Då konvergerar den geometriska serien s(t) = n= tn likformigt på intervallet I = [ a, a]. För den geometriska serien är nämligen s n (t) = 1 tn+1 och s(t) = 1 1 t 1 t. För t a fås därför s n (t) s(t) = tn+1 t n+1 1 t 1 t an+1 1 a. Följaktligen gäller att s n s an+1 1 a andra ord likformigt konvergent på I. då n. Serien är med Vi ska nu beskriva ett enkelt men viktigt tillräckligt villkor för likformig konvergens hos serier. Sats (Weierstrass majorantsats) Betrakta serien n=1 a n(t), där termerna är definierade på någon mängd I. Antag att det finns en följd (M n ) 1 av icke-negativa tal med följande två egenskaper: (i) a n (t) M n för n = 1, 2,... och alla t I. (ii) Den positiva serien n=1 M n är konvergent. Då konvergerar serien n=1 a n(t) likformigt på I. Bevis. Med hjälp av triangelolikheten fås uppskattningen s n (t) s(t) = sup a k (t) sup a k (t) sup t I t I n+1 t I n+1 och högerledet n+1 M k konvergerar mot då n. Exempel Serien n=1 sin nt n 2 M k, är likformigt konvergent på R enligt Weierstrass majorantsats, eftersom vi kan välja M n = 1/n 2. n+1

35 2.4 Likformig konvergens 27 Exempel Antag att serien n Z a n är absolutkonvergent. Då är serien n Z a ne int likformigt konvergent på R på grund av Weierstrass majorantsats, ty a n e int a n för alla t R och alla n Z. Exempel Serien ζ(x) = n=1 n x är konvergent om x > 1. Om a > 1 så är serien vidare likformigt konvergent på intervallet [a, [, eftersom n x = n x n a för x a och den numeriska serien n a konvergerar. Funktionen ζ(x) kallas för Riemanns zetafunktion. Kontinuitet bevaras under likformig konvergens. Sats Antag att funktionerna f n konvergerar likformigt mot f på intervallet I och att alla funktionerna f n är kontinuerliga i punkten t I. Då är gränsfunktionen f också kontinuerlig i punkten t. Bevis. På grund av den likformiga konvergensen finns det för varje ɛ > ett tal N så att f N f < ɛ/3. Eftersom funktionen f N är kontinuerlig i punkten t, finns det vidare ett δ (som beror av N) så att t t < δ medför att f N (t) f N (t ) < ɛ/3. Men f(t) f(t ) f(t) f N (t) + f N (t) f N (t ) + f N (t ) f(t ) 2 f f N + f N (t) f N (t ) < 2ɛ/3 + f N (t) f N (t ). Det följer att f(t) f(t ) < 2ɛ/3+ɛ/3 = ɛ för alla t som uppfyller t t < δ. Detta visar att f är kontinuerlig i punkten t. Det finns också en serieversion av föregående sats och den lyder som följer. Sats Antag att s(t) = n=1 a n(t) likformigt på I. Om varje term a n är kontinuerlig i punkten t I, så är också summan s kontinuerlig i t. Bevis. Tillämpa föregående sats på följden s n (t) = n k=1 a k(t), och observera att varje partialsumma s n är kontinuerlig i t. Exempel Genom att tillämpa sats på exemplen ser vi att summan n=1 n 2 sin nt är en kontinuerlig funktion på R (dvs. i varje punkt t R), att summan n Z a ne int är en kontinuerlig 2π-periodisk funktion om serien n Z a n är absolutkonvergent, och att Riemanns zetafunktion ζ(x) är kontinuerlig för x > 1. Likformig konvergens på ett begränsat intervall I medför konvergens i L 1 -norm: Sats Antag att de Riemannintegrerbara funktionerna f n konvergerar likformigt mot funktionen f på det begränsade intervallet I = [a, b]. Då är f

36 28 2 Rekvisita en Riemannintegrerbar funktion på I, och b a f n (t) dt b a f(t) dt och f n f 1, då n. Bevis. Vi utelämnar beviset för att gränsfunktionen f är Riemannintegrerbar. Att integralen konvergerar och att funktionerna konvergerar i L 1 -norm följer av uppskattningen b a f n (t) dt b a f(t) dt b a f n (t) f(t) dt (b a) f n f. Serieversionen av föregående sats lyder som följer: Sats Antag att serien s(t) = n=1 a n(t) är likformigt konvergent på det begränsade intervallet [a, b] och att funktionerna a n är integrerbara. Då är b b a n (t) dt = a n (t) dt. a n=1 n=1 Bevis. Tillämpa föregående sats på följden av partialsummor. Exempel Serien i exempel kan på grund av den likformiga konvergensen integreras på följande vis. a π 1 sin nt n 2 dt = = 2 = n=1 π n=1 sin nt n 2 dt = 1 n 2 3 n jämn 1 n 3 = 7 4 ζ(3). 1 ( 1) n = 2 1 n 3 1 n = 2 3 n=1 1 n 2 3 n udda n=1 1 n 3 1 (2n) 3 Sats har ett enkelt bevis men resultatet är inte särskilt kraftfullt eftersom likformig konvergens inte är ett nödvändigt villkor för att integralerna f I n(t) dt ska konvergera mot f(t) dt. Betrakta de båda triangelföljderna f n och g n i exempel 2.4.1; båda dessa följder konvergerar punkt- I vis men inte likformigt på intervallet [, 1] mot nollfunktionen. Genom direkt 1 uträkning får vi med en gång att lim n f n(t) dt = = 1 dt, medan

37 2.4 Likformig konvergens 29 1 lim n g n(t) dt = 1 1 dt. Sats kan inte förklara skillnaden i resultat, eftersom ingen av de båda följderna är likformigt konvergent. Satsen är inte heller direkt tillämpbar i situationer då integrationsintervallet är obegränsat. Ett mer användbart och kraftfullt resultat är följande sats, som vi formulerar utan bevis, eftersom ett bevis skulle kräva ganska djupa kunskaper i integrationsteori. Sats (Lebesgues sats om dominerad konvergens) Antag att (f n ) 1 är en följd av komplexvärda (Lebesgue-mätbara) funktioner som alla är definierade på (det begränsade eller obegränsade) intervallet I, och att f(t) = lim n f n (t) existerar för alla t I. Antag vidare att det finns en funktion g L 1 (I) så att f n (t) g(t) för alla n och alla t I. Då gäller att f L 1 (I), lim f n f 1 = och lim f n (t) dt = f(t) dt. n n I I Som tillämpning på sats ger vi ett exempel som kommer att användas när vi studerar fouriertransformen. Exempel Bevis. Sätt Antag att f L 1 (R). Då är n ( t ) lim 1 f(t) dt = n n f n (t) = n R f(t) dt. { (1 t /n)f(t), om t n, om t n. Vi vill visa att f R n(t) dt f(t) dt. Men detta följer av sats 2.4.6, ty R lim n f n (t) = f(t) för alla t R, f n (t) f(t) för alla n och alla t R, och funktionen f(t) tillhör L 1 (R). Härnäst följer ett resultat om derivering och likformig konvergens. Observera att antagandet om likformig konvergens rör följden av derivator och inte följden av funktioner. Sats Låt (f n ) 1 vara en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner, som är definierade på något intervall I. Antag att det för åtminstone en punkt t I gäller att följden (f n (t )) 1 konvergerar. Antag vidare att följden (f n) 1 av derivator är likformigt konvergent på varje slutet begränsat delintervall av I och kalla gränsfunktionen g. Då gäller: