Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Transkript

1 Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: Förfrågningar: Ivar Gustafsson Lösningar: Anslås vid sal MVF Resultat: Tentan beräknas var rättad 5 september, resultat tillsänds dig Tentan kan hämtas i mottagningsrummet dagligen mellan.3-3 Betygsgränser: 3, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras Uppgift. Låt A = 3 LYCKA TILL! a) Bestäm baser för nollrum och värderum samt rangen för A. (3p) b) Bestäm en kompakt QR-faktorisering av A. (3p) c) Bestäm en LU-faktorisering med pivotering av A. (3p) Uppgift. Låt F vara det linjära underrum till C[, π definierat av F = Span{, cos t, sin t, cos t, sin t}. a) Visa att de angivna funktionerna utgör en ortogonal bas för F med skalärprodukten < f, g >= π f(t)g(t) dt. (3p) b) Bestäm bästa approximation i F till funktionen f(t) = {, t < π, π t π. (3p)

2 Uppgift 3. Betrakta avbildningen T : C (R) C(R) definierad av T (f) = (fg) där g C (R) är en fix given funktion och står för derivering. a) Visa att T är en linjär avbildning. (p). b) Låt g = t och betrakta T : P n P n+ där P n är rummet av polynom av grad n. Bestäm matrisen för avbildningen T i standardbaserna för P n och P n+. (3p) c) Bestäm alla singulära värden och högersingulära vektorer till avbildningen T i b- uppgiften. (3p) Uppgift 4. a) Lös följande system av differentialekvationer med diagonaliseringsmetoden x (t) = x (t) + x (t) x () = x (t) = x (t) x (t) x () =. (4p) x 3(t) = x (t) + x (t) 3x 3 (t) x 3 () = b) Vad blir det för problem med metoden om andra ekvationen ändras till x (t) = x (t)? (p) c) Undersök om Eulers framåtmetod är stabil för problemet i b-uppgiften och steglängd h =.4. (p) d) Bestäm en approximation av lösningen till problemet enligt b-uppgiften i punkten t =.8 genom att använda Eulers framåtmetod och steglängd h =.4. (3p) Uppgift 5. Betrakta algoritmen y = x i ett flyttalssystem med dubbel precision i IEEE standard (, 53, -, 3). a) Ge en gräns för felet med framåtanalys. Ta hänsyn till felet vid lagring av x i flyttalssystemet. (3p) b) Använd bakåtanalys för att avgöra om algoritmen är stabil eller inte. Ta hänsyn till felet vid lagring av x i flyttalssystemet. (3p) c) Bestäm största möjliga positiva x som inte ger overflow i algoritmen. (3p) Uppgift 6. Betrakta funktionen f(x) = x + x 5x 3 + x 4, som har en rot x mellan och. a) Bestäm roten x approximativt med en iteration i Newtons metod med start i x =. Ange utan att göra några numeriska beräkningar hur du approximativt skulle uppskatta felet i den erhållna approximationen. (p) b) Bestäm en kvadratisk spline s med nod i x som interpolerar f i, x och och som uppfyller s () = f (). Formeln för s får innehålla x alternativt approximationen från a-uppgiften (om du löst den). (4p)

3 Uppgift 7. Vid studiet av en viss larv är man intresserad av sambandet mellan larvens vikt W och dess syrekonsumtion R. Av biologiska skäl gäller sambandet R = bw a och man önskar bestämma parametrarna a och b genom att anpassa till uppmätta data (R i, W i ), i =,..., m. a) Linjärisera modellen och ange hur linjär minsta-kvadrat-anpassning kan användas. Skriv upp ekvationssystemet som man får att lösa. (3p) b) Behåll den ursprungliga modellen och använd icke-linjär minsta-kvadrat-anpassning. Ange residual och Jakobian, med explicit angivande av ingående derivator. Sätt upp Gauss-Newtons metod för lösning av problemet. Hur kan man få lämplig startapproximation? (4p) Uppgift 8. Heuns metod för begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer definieras av: y k+ = y k + h {f(t k, y k ) + f(t k + h, y k + hf(t k, y k ))} Bestäm approximationsordning och stabilitetsområde för Heuns metod. (5p) 3

4 Institutionen för Matematik Göteborg F - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 8 augusti 8 a) Lös homogena systemet Ax =, ger Nul(A) = Span{ ger Col(A) = Span{, }. Rangen är dim(col(a)) =. b) Ortogonalisera Col(A) med Gram-Schmidt: ā = 6, ā = 6 Matrisen Q har dessa kolonner, Q = genom matrismultiplikation R = Q T A = 6 [ c) Genom enkel variant på vanlig Gausselimination finner vi att L = U =.5.5 och P =. 6 }. Radreduktion på A, â = = och R får vi a) Ortogonaliteten följer av standardformlerna: π sin αt sin βt dt = [ π cos (α β)t dt π cos (α + βt dt π sin αt cos βt dt = [ π sin (α β)t dt + π sin (α + β)t dt π cos αt cos βt dt = [ π cos (α β)t dt + π cos (α + β)t dt för α =,,, β =,, och att alla dessa integraler har värdet för α β.,

5 b) Bästa approximation på ortogonalmängd bestäms enligt standardformeln: <f, > <f, cos t> <f, sin t> <f, cos t> <f, sin t> ˆf = + cos t+ sin t+ cos t+ <, > <cos t, cos t> <sin t, sin t> <cos t, cos t> <sin t, sin t> Här är < f, >= π + π =, < f, sin t >= π sin t dt + π π < f, cos t >= π cos t dt + π π < f, sin t >= π sin t dt + π π så ˆf = 4 sin t. π < f, cos t >= π cos t + π π sin t dt = 4, cos t dt =, sin t. cos t dt =, sin t dt = och < sin t, sin t >= π sin t dt = π, 3a) Linjäriteten visas på standardsätt: T (f + h) = ((f + h)g) = (fg + hg) = (fg) + (hg) = T (f) + T (h) T (cf) = ((cf)g) = c(fg) = ct (f). 3b) Standardbaserna är b i = t i med i =,..., n + för P n och i =,..., n + för P n+. Avbildningen på baselementen blir T (b i ) = (t i t ) = (t i+ ) = (i + )t i, vars koordinater i standardbasen för P n+ ger elementen i matrisen, som blir 3 M = n + n + 3c) De singulära värdena till M är roten ur egenvärdena till M T M. Denna matris är diagonalmatrisen diag(4, 9,..., (n + ) ) så de singulära värdena är, 3,..., n +. Högersingulära vektorer motsvarar egenvektorerna till M T M och de är enhetsvektorerna, men som egen-funktioner blir det alltså b i = t i, i =,..., n +. 4a) Problemet är på matrisform x = Ax, där A =. Egenvärden 3 och [ egenvektorer beräknas. Egenvärdena är λ 3 = 3 samt egenvärdena till matrisen, som är λ = 3, λ =. Motsvarande egenvektorer fås genom lösning av resp. homogent ekvationssystem (A λ i I)v i = och blir: v = (,, ) T, v = (,, ) T och v 3 = (,, ) T. Lösningsformeln är sedan x = c e λt v + c e λt v + c 3 e λ3t v 3 = c e 3t + c e t + c 3 e 3t Koefficienterna c, c och c 3 bestäms från begynnelsevillkoren genom ekvationssystemet c c =, med lösning c =, c =, c 3 =. c 3.

6 Lösningen blir alltså x = e 3t e t + e 3t 4b) Nu blir matrisen A = med egenvärden och egenvektorer enligt: 3 λ 3 = 3, v 3 = (,, ) T, λ, =, v, = (,, ) T. Egenvektorerna bildar ej bas så metoden fungerar inte. 4c) Metoden stabil på problemet om hλ i S för alla egenvärden λ i, i =,, 3. Stabilitetsområdet för Euler framåt är {z C; z + } och.4λ i S för alla egenvärdena så metoden är stabil. 4d) Metoden blir: x (k+) = x (k) +hax (k) och med start i x () = x () = =.8.4, x () = får vi med två steg:..8.8 = a) Låt µ vara avrundningsenheten. Framåtanalys ger: ˆx = fl(x) = x( + ɛ ). fl(ˆx ) = ˆx ( + ɛ ) = x ( + ɛ ) ( + ɛ ) = x ( + ɛ + ɛ + O(µ )), med ɛ i µ, i =,. Vi får alltså följande feluppskattning: fl(ˆx ) x 3µ + O(µ ). x 5b) Algoritmen är stabil om bakåtfelet är litet. Bakåtanalysen ger: Enligt lösning 5a) ovan gäller: fl(ˆx ) = x ( + ɛ ) ( + ɛ ) = x, om vi definierar x = x( + ɛ ) + ɛ. Enkel taylorutveckling ger x = x( + ɛ )( + ɛ + O(µ )) = x( + ɛ + ɛ + O(µ )) varav 3µ + O(µ ). Bakåtfelet är litet och algoritmen är alltså stabil. 5c) OF L = 4 ( 53 ) 4 = OF L +, OF L+ = 5 är alltså lite för stort men närmaste lägre flyttal går bra dvs 5 ( 53 ). följer x x x 6a) Newtons metod: x = x f(x ) f (x ) = 4 =.75. Feluppskattning: x x f(x ) f (x ). 6b) Splinen har två delar, s (x), x x och s (x), x x. Ansätt s (x) = a+bx+cx med s (x) = b+cx. Interpolationsvillkoret s() = f() = ger a = och villkoret s () = f () = ger b =. Interpolationsvillkoret s(x ) = f(x ) = ger c = och första delen är bestämd: s x (x) = x x med s x (x ) =. För den andra delen ansätter vi s (x) = d(x x )+e(x x ) så att interpolationsvillkoret s (x ) = är uppfyllt direkt genom ansatsen. Nu gäller s (x) = d + e(x x ) och splinevillkoret s (x ) = s (x ) = ger d =. Slutligen ger interpolationsvillkoret s () = f() = att e = x och andra spline-delen är bestämd: ( x ) s (x) = (x x ) x (x x ). ( x ) Alternativt kan man alltså ersätta x med.75 här för approximativ spline.. 3

7 7a) R i = bwi a. Linjärisering: ln(r i ) = ˆb + a ln(w i ), med ˆb = ln(b) ln(w ) [ Överbestämt linjärt ekvationssystem: ln(w ) = aˆb ln(w m ) Återfransformera b = eˆb. 7b) Residualer f i = R i bwi a, F = [f f... f m T. Jakobian J = [ a Gauss-Newton: = b [ k+ d ekvationssystem: J k d k [ a b [ d + d k, där k [ d d k ln(r ) ln(r )... ln(r m ) = F k, där J k = J(a k, b k ), F k = F (a k, b k ). Starta med lösningen från linjäriserat problem enligt a-uppgiften. b ln(w )W a W a b ln(w )W a W a b ln(w m )W a m W a m är lösning till överbestämt linjärt 8) Tillämpa metoden på testproblemet: y = λy. Vi får då y k+ = y k + h{λy k + λ(y k + hλy k )} = y k + hλy k + h λ y k = y k ( + hλ + h λ ). För approximationsordningen jämför vi tillväxtfaktorn + hλ + h λ med tillväxtfaktorn för den exakta lösningen e hλ = + hλ + (hλ) + (hλ) och finner att de överensstämmer 6 med tre termer. Lokala felet är då = O(h 3 ) och approximationsordningen är. Stabilitetsområdet är mängden hλ i komplexa talplanet för vilka lösningarna är begränsade. Vi får fram stabilitetsområdet från tillväxtfaktorn ovan med z = hλ: S = {z C; + z + z }. 4