Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

Transkript

1 Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov Tel Hemsidan: youri Karlstads Universitet

2 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska metoder Positionssystem Avrundning Avhuggning Felfortplantning Felgränser Ackumulerade fel Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Felformeln Binära systemet Problem Funktionsberäkning Serieutveckling Problem Interpolation Interpolation med polynom Linjär interpolation Styckvis-linjär interpolation Andragradsinterpolation Felprincipuppskattning Differenser Differensföljder och differensschema Framåtdifferenser Framåtdifferenser ekvidistanta fallet Interpolationspolynom och differenser Newtons allmäna interpolationsformel Newtons interpolationsformel i ekvidistanta fallet Problem Icke-linjära ekvationer Intervallhalvering Interpolationsmetoder: sekantmetoden Iterativa metoder Substitutionsmetoden Newtons metod Stopregeln Fixpunktsiteration

3 4.4 Konvergens av fixpunktsiteration Kaotiskt och periodiskt beteende Ett exempel av kaotiskt beteende Problem Numerisk integration Rektangelsregeln Trapetsregeln Feluppskattning Felgränser för trapetsregeln Problem Differensapproximationer av derivator och differentialekvationer Approximation av derivator Approximationen av differentialekvationer. Differensekvationer Differensekvationer på matrisformen Problem Numerisk lösning av ordinära differentialekvationer Grundbegrepp Numerisk lösning av begynnelsevärdesproblem Eulers metod Heuns metod Runge Kutta-metoder Problem Numeriska metoder för linjär algebra Grundläggande begrepp Matrisalgebra Bandmatriser och blockmatriser Bandmatriser Blockmatriser Gausselimination Pivotering Problem Iterativa metoder Vektor- och matrisnormer Konvergens av iterativa metoder Geometriska serien Jacobi iteration Gauss Seidel iteration

4 9 Tridiagonala matriser och randvärdesproblem Tridiagonala linjära ekvationssystem Randvärdesproblem för stationära en-dimensionella värmeledningsekvationen Numerisk lösning till randvärdesproblem Problem Numerisk lösning till en-dimensionella värmeledningsekvationen och diffusionekvationen Värmeledningsekvationen Crank Nicolsons metod Problem Randvärdesproblemet för stationära två-dimensionella värmeledningsekvationen och Laplaces och Poissons ekvationer Numerisk lösning till Laplaces och Poissons ekvationer i en rektangel Minstakvadratmetoden Överbestämda ekvationssystem Minsta kvadratproblemet Spline-interpolation Kubisk spline-interpolation Problem Approximation Bästa polynomapproximationen i maximumnorm Chebyshevpolynom Facit Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem Problem

5 16 Tentor Tenta Tenta Tenta Tenta Tenta Tenta Tenta MATLABövningar MATLAB grunder Komma igång Filer i MATLAB MATLAB som miniräknare Exempel: räkna genom att skriva direkt i MATLABfönstret Exempel: beräkna ett tal genom att skriva en kommandofil Exempel: funktionsberäkning Exempel: beräkna ett algebraiskt uttryck Exempel: en kommandofil som beräknar tal Vektorer och matriser Exempel: en matris av typ Exempel: skapa matriser Exempel: skapa matriser genom att skriva en kommandofil Exempel: radvektorer och kolonnvektorer Exempel: definition av matriser genom radvektorer och kolonnvektorer Exempel: MATLABkommandot ones(1,m) Exempel: MATLABkommandot i:h:k Exempel: en kommandofil som räknar dina räkningar Exempel: MATLABkommandon diag och diagonalmatriser Exempel: diagonalmatriser Exempel: en funktionsfil som löser ett linjärt ekvationssystem Exempel: värdetabeller för funktioner Ekvationer Exempel: en skärningspunkt mellan kurvor Exempel: fixpunktsiteration Exempel: koordinater av en skärningspunkt Exempel: lös en ekvation med fixpunktsiteration Exempel: fixpunktsiteration och Newtons metod Polynom i MATLAB Exempel: kommandot polyval

6 17.6 Polynomanpassning i MATLAB Exempel: bästa anpassningen i minstakvadratmening Polynomanpassning och tendenskurvor Exempel: dagsvärdeförändring i ett aktiebolag Tendenskurvor och referenspunkter Polynomanpassning till periodiska kurvor Referenser 281 6

7 1 Grundbegrepp av numeriska metoder 1.1 Positionssystem I ett positionssystem anges ett tal så att en siffras betydelse beror av dess plats i talbeteckningen. Varje plats (position) har ett bestämt platsvärde, som är en heltalspotens av systemets bas. I decimalsystemet, är basen tio. Ett tal skrivet i decimalsystemet sägs vara skrivet i decimalform. Siffrorna till höger om decimaltecken kallas decimaler. En signifikant siffra (S) av ett tal c (skrivet i decimalform) är varje c s siffra utom nollor till vänster om den första ickenoll siffran: talen , har 4 S. I fix representation används ett givet (fixerat) antal S: (fem S), (två S), 1.0 (två S). I flyttalsrepresentation (floating-point system), fixerar man antalet S och decimaltecken flyttar: Betrakta t ex tre tal med fyra S: = = = 623.8, = = = (13 nollor till höger om decimaltecken) = = 2.000, Tal också skrivas på formen E E-13, E01. där Allmänt kan varje reelt tal a i talsystemet med basen β framställas på formen a = M β e, e ett helt tal. (1) M = ±D 0.D 1 D 2..., 0 D i < β, i = 0, 1, 2,..., D 0 0, (2) och M kan vara ett tal med oändligt många siffror. I decimalsystemet (med basen β = 10) skrivas ett tal i utvecklad form, t ex = = = = =

8 När man skall lagra ett tal på formen (1) i en dator måste man avkorta M. Antag, att t (signifikanta) siffror används för att representera M. Man lagra då talet (i decimalsystemet) a = ±m 10 e, 0.1 m < 1, e ett helt tal, m = 0.d 1 d 2... d t, d 1 > 0, e < M. m är M avkortat till t siffror. m kallas taldelen (eller mantissan), och e kallas exponentdelen Enligt IEEE Standard ( single precision ), 38 < e < Avrundning Betrakta avrundning av decimala tal till t decimaler. Formulera avrundningsreglar: t:e decimalen ökas med 1 om den del av talet som står i positioner till höger om t:e decimalen har värde större än t. Om värdet mindre än t, förändras t:e decimalen inte. Om det är lika med t, ökas t:e decimalen bara om den är udda. Exempel Avrundning till t = 2 decimaler: avrundas till Den del av talet som står i positioner till höger om andra decimalen är och det är mindre än t med t = 2: < = ; då förändras andra decimalen 5 inte och till t = 3 decimaler till t = 2 decimaler till t = 1 decimal; den första decimalen 2 är jämn till t = 3 decimaler; den 3:e decimalen 3 är udda , till t = 1 decimal. Av avrundningsregler följer att felet vid avrundning till t decimaler är mindre än eller lika med t. 1.3 Avhuggning Vid avhuggning stryks alla siffror till höger om t:e decimalen. Exempel Avhuggning till t = 2 decimaler: avhuggs till

9 avhuggs till avhuggs till Avhuggning till t = 4 decimaler: avhuggs till avhuggs till Felet vid avhuggning till t decimaler är mindre än eller lika med 10 t och är systematiskt: det avkortade värdet är alltid mindre än det oavkortade värdet. 1.4 Felfortplantning Låt a beteckna ett exakt värde och ã ett närmevärde till ett tal a, t ex Vi inför följande definitioner a = 2, ã = S, a = π, ã = S. Absolut fel i ã : ɛ = a = a ã; då a = ã + ɛ Exempel 1.3 Om ã = 10.5 är närmevärdet till talet a = 10.2, är absolut felet ɛ = 0.3. Relativt fel i ã : ɛ r = a a = ɛ a = a ã a = Fel exakt värde (a 0). ɛ r ɛ ã. I exemplet ovan har vi ɛ = a ã = = ; ɛ r = ɛ a = ɛ = a ã = π = ; ɛ r = ɛ a = π

10 En approximation ã sägs ha n korrekta decimaler (KD) om a = ã a n (dvs approximationen har ett fel mindre än eller lika med en halv enhet i n:te decimalen). Som mått på relativ nogrannhet använder man ofta talets värdesiffror (antalet korrekta siffror som inleder approximationen; inledande nollor medräknas då inte). 1.5 Felgränser. Exempel 1.4 Felgräns β a i absolut fel : ɛ β a då a ã β. Felgräns β r i relativt fel : ɛ r β r då a ã a β r. approximation med felgräns KD värdesiffror 3.142± ±0.5E ± Ackumulerade fel Vi ska formulera en sats som ger felgränser i addition och multiplikation (se THEOREM , E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM)): I addition, S = a 1 + a 2, och subtraktion, D = a 1 a 2, kan felgränsen (ɛ) upskattas ɛ β 1 + β 2. där β i, i = 1, 2, är a is felgränser i absolut fel. I multiplikation, M = a 1 a 2, och division, Di = a 1 /a 2 (a 2 0), kan felgränserna ɛ r upskattas approximativt ɛ r β r1 + β r2. där β ri, i = 1, 2, är a is felgränser i relativt fel. 10

11 1.7 Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Om vi skall använda närmevärden i beräkningar, är det viktigt attinformationen inte i onödan går f rlorad. Exempel 1.5 Närmevärdena har båda 7 S (6 KD). Differensen x 1 = ± , x 2 = ± , (3) y = x 1 x 2 = ± 10 6 (4) har bara två S eftersom < 10 6 < Vi har kancellation av fyra S. Exempel 1.6 Andragradsekvationen har lösningen x 2 18x + 1 = 0 (5) x = 9 ± 81 1 = 9 ± 80. Om ± ges med fyra KD, får vi x 1 = ± = ± , x 2 = ± = ± (6) Det första närmevädret har 6 S, medan det andra har tre S. Kancellationen undviks om man beräknar x 2 enligt x 2 = 9 80 = (9 80)(9 + 80) = = 1, (7) ± och 1 = (8) (resultatet avrundas till 7 decimaler). För divisionen y = p 1 /p 2, uppskattas felgränsen i relativt fel y y p 1 p 1 + p 2 p 2. (9) 11

12 I (7), p 1 = 1, p 2 = , p 1 = 0, p 2 = , y = , och relativa felet i närmevärdet till x 2 = y uppskattas enligt (9) med p p 2 = < = (10) Det absoluta felet i närmevärdet till x 2 = y = blir då mindre än < < = < (11) Felet vid avrundning till 7 decimaler < Det totala felet uppskatas med = , och resultatet har 6 KD och 5 S. Exempel 1.7 Beräkna för växande x med 6S: x 2 = ± (12) f(x) = x[ x + 1 x (13) x beräknad f(x) exakt f(x) I 6S beräkningar, får vi, när x = 100, 100 = , 101 = (14) Det första värdet är exakt, och det andra värdet är den rätta 6S-avrundningen. Vidare x + 1 x = = (15) 12

13 Det exakta värdet är (avrundat till 6S). Beräkningar i (15) har förlusten av signifikanta siffror (a loss-of-significance error): subtraktion av x = 100 eliminerar de tre signifikanta siffrorna i x + 1 = 101. Skriv (13) på formen x + 1 x f(x) = x 1 x x x x = x x x (16) I (16), förlörar man inte signifikanta siffror eftersom man subtraherar inte. 6S beräkningar i (16) med avrundning ger f(100) = , (17) och (17) är rätta resultatet avrundat till 5 (korrekta) decimaler (6S). 1.8 Felformeln Om resultatet av en beräkning är en kontinuerlig och deriverbar funktion f(x) av indata, kan man härleda ett samband mellan felet f(x) i resultatet f(x) och felet x i indata x. Låt x = x + x vara en approximation av x förutsätt att felet x är litet. Då gäller felformeln f(x) x f (x). (18) Felformeln säger att i punkten x, är felet f(x) i resultatet approximativt lika med felet x i indata multiplicerat med derivatans absolutbelopp f (x). Eftersom x-värdet vanligen inte är känt, brukar man approximera f (x) med f ( x).. Observera att man kan skriva felformeln som f(x) = xf ( x), x x x, så att f(x) M x, M = max x ξ x f (ξ). Då blir felet f(x) i resultatet mindre än felet x i indata om M = max x ξ x f (ξ) < 1. Exempel 1.8 Hur noggrant är det möjligt att beräkna a 2 då a = 0.11 är känt med noggranheten 0.01? Lösning. Här är felet a i indata a mindre än eller lika med Vi har a 0.01, a = 0.11 ± 0.01, 0.10 = a =

14 Approximationen ã = 0.11 har n = 1 KD eftersom a 0.01 < 0.05 = (approximationen har ett fel mindre än en halv enhet = 0.05 i första decimalen). y = x 2 är en växande funktion i området x 0, dvs x 2 1 x 2 2 om 0 x 1 x 2. Då a (eftersom 0.10 a 0.12) och man kan skriva a 2 = ± , så att man kan beräkna a 2 med noggranheten om a = 0.11 är känt med noggranheten Kolla det med hjälp av felformeln. Här är resultatet av beräkning en kontinuerlig och deriverbar funktion f(a) = a 2 av indata och felet i indata a = Då gäller felformeln I punkten a ã = 0.11 f(a) a f (a) = a. f(a) = = Observera att f (a) = 2 a q = 0.24 < 1 i intervallet 0.10 a 0.12 och felet f(x) i resultatet mindre än felet x i indata: f(x) < 0.24 x, eftersom här M = max x ξ x f (ξ) = max 0.10 ξ ξ < Exempel 1.9 Hur noggrant är det möjligt att beräkna 1 då a = 0.11 är känt med noggranheten a 0.01? Lösning. Här a 0.01, a = 0.11 ± 0.01, 0.10 = a = y = 1 x är en avtagande funktion i området x > 0, dvs 1 x 1 1 x 2 om 0 < x 1 x 2. Då = 1 1 = = (eftersom 0.10 a 0.12) och man kan skriva 1 = ± , så att man kan beräkna 1 med a a noggranhetetn om a = 0.11 är känt med noggranhetetn Kolla det med hjälp av felformeln. Här är resultatet av beräkning en kontinuerlig och deriverbar funktion f(a) = 1, a > 0, av indata och felet i indata a a = Då gäller felformeln f(a) a f (a) = a 2. 14

15 I punkten a ã = 0.11 f(a) = Observera att f (ã) 83 > 1 och 69 < f (ã) < 100 i intervallet 0.10 a Då är felet f(x) i resultatet större än felet x i indata: f(x) > x, eller approximativt 0.83 > Exempel 1.10 Hur noggrant är det möjligt att beräkna sin(π/3) då π är känt med noggranheten ? Lösning. Här är felet x i indata x = π mindre än eller lika med x = Vi har x , x = π = ± , = π = Låt oss använda felformeln. Här är resultatet av beräkning en kontinuerlig och deriverbar funktion f(x) = sin(x/3) av indata och felet i indata x = Då gäller felformeln I punkten x x = π f(x) x f (x) = cos(x/3) 3 f(x) cos(π/3) 3 = /2 3 = sin(π/3) kan således beräknas med ett fel som upgår till högst Binära systemet I decimalsystemet (som har basen 10 och man kan använda 10 siffror 0, 1,..., 9), skrivas ett tal, t ex, , i utvecklad form (19) I det binära systemet, som har basen 2 och man kan använda 2 siffror 0, 1, skrivas ett tal, t ex, , i utvecklad form (20) 15

16 (i decimalsystemet). Man skriver också eftersom ( ) 2 = (13.75) = = eller För att skriva det binära talet a n 2 n + a n 1 2 n a a = x, (21) (a n a n 1... a 1 a 0 ) 2 = (x) 10 i decimalsystemet, dividera det decimala talet x med 2 och beteckna kvoten med x 1 ; resten blir a 0. Vidare dividerar man x 1 med 2 och betecknar kvoten med x 2 (resten är a 1 ), osv, och får det binära talet a 2, a 3,... a n. Varje reelt tal x i talsystemet med basen β = 2 kan framställas på formen (1) och (2) x = ±M 2 e. (22) x s förtecken ± är + eller ; exponentdelen e = ±E 1 E 2..., E k bestående av k siffror 0, 1; taldelen är ett helt tal M = ±.D 1 D 2..., D n, 0 D i < β = 2, i = 1, 2,..., n, (23) och M är ett tal med n binära decimaler 0, 1. För lägring av ett flyttal x används ett ord i datorn. Ordet har längden L = 32 (eller större) bitar, dvs binära siffror 0, 1. De enskilda bitarna i ett ord disponeras enligt följande: ± M e 1 n = 23 k = 8 Exempel Binära flyttal i datorn = = Exempel

17 Beräkna 100 π då man i varje operation avkortar till 4 S. Först, utför addition av 100 termer: tre termer: = term: = , avkortas till 4S termer: , avkortas till 4S (2D) = term: = , avkortas till 4S termer: , avkortas till 4S (1D) = Addition av 100 termer ger således att 100 π = 311.2, ett resultat som är sämre än multiplikation 100 π = (exakt med 4S, 1D) Problem Problem 1.1 Flyttalsrepresentation: 23.49, , , avrundat till 4S (signifikanta siffror): , , , Man kan skriva också E02, E03, E-3, E05. Problem 1.2 Hur många korrekta decimaler (KD) och signifikanta siffror (S) har närmevärdena a = ± , b = ± , c = ± 10 5, d = ± Lösning. Enligt definitionerna, (1) är en signifikant siffra (S) av ett tal c (skrivet i decimalform) varje c s siffra utom nollor till vänster om den första ickenoll siffran, och (2) ett närmevärde ã har n korrekta decimaler om a = ã a n (närmevärdets fel är mindre än eller lika med en halv enhet i n:te decimalen). Då får man a = ± : 4 KD och 3 S, 17

18 b = ± = ± , < < : b har 1 KD och 1 (siffran 2) +1 KD = 2 S, c = ± 10 5 = ± , < < : c har 4 KD och 4 KD - 2 (två nollor till vänster om siffran 4) = 2 S, d = ± = ± , < < : d har 2 KD och 2 (siffrorna 2, 0) +2 KD = 4 S. Problem 1.3 Låt x = 1.00 ± och y = 2.00 ± Bestäm gränser för absoluta fel i r och f då r = x y, f = x y. Lösning. Enligt definitionen, har talen x = 1.00 ± = 1.00 ± KD och y = 2.00 ± 0.01 = 2.00 ± < KD. Vi har x 1.005, 1.99 y = 1.98 xy = 2.02, r = xy = 2.00 ± y 2.01, = y 1 = 1 y = x 1.005, y = xy = 0.504, f = xy 1 = x y = ± Då blir gränserna för absoluta fel i r = xy och f = x/y resp och Problem 1.4 Beräkna a b c a(b + c) =, with a = , b = , c = b 2 c2 18

19 och använd olika avrundningar. Lösning. Beräkna med 5S: R = a(b + c) b 2 c 2 b+c = , a(b+c) = , b 2 = , c 2 = , b 2 c 2 = , Avrund till 4S, 3S, och 2S: R = = R = R = Funktionsberäkning 2.1 Serieutveckling = 6.370, R = = 6.37, = 6.4, R = = 6. Vid användning av serieutveckling för funktionsberäkning approximerar man seriens summa med en partialsumma. Låt S = vara en konvergent serie (S betecknar också dess summa). n=1 a n Partialsumman S N och resttermen R N definieras S N = N a n. R N = S S N = n=1 n=n+1 a n. (24) Resttermuppskattning innebär att vi uppskattar trunkeringfelet, dvs försöker finna ett tal R sådan att R N R (en övre grans för R N ). Exempel 2.1 Betrakta en alternerande serie S = ( 1) n+1 n=1 n 2 = (25) 19

20 Man kan visa att i det fallet R N a N+1. Vi har a N+1 = 1/(N + 1) 2 och R N 1 (N + 1) 2. (26) Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med 3 KD: R N , vilket ger en olikhet Dess lösning är 1 (N + 1) (27) N = (28) och man kan ta N = 44 eftersom 44 2 = 1936 < 2000 < 45 2 = Exempel 2.2 Betrakta en serie med positiva termer Man kan skriva om (29) S = S = n=1 1 n 4 = (29) f(n), f(x) = 1 (x 1) (30) x 4 n=1 och visa att resttermen kan uppskattas R N = S S N = n=n+1 f(n) N f(x)dx. (31) Här R N N dx r dx = lim x 4 r N x = lim 4 r = lim r = x 3 r r N x 4 dx = ( 1 r 1 3 N 3 ) = ( 3) = 1 N 3 lim r 1 3N. (32) 3 20

21 Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med 3 KD: R N , vilket ger en olikhet Dess lösning är 1 3N (33) ( ) /3 ( ) 1/ N = 8.7 (34) 3 3 och man kan ta N = 9 eftersom 8 < N < 9. Exempel 2.3 Betrakta en serie med positiva och negativa termer S = a n, n=1 a n = e bn2 n sin(cn), (35) Här är b > 0 och c givna tal (parametrar). Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med noggranhet ɛ; dvs, bestäm N sådan att R N < ɛ, R N = S S N = n=n+1 a n. (36) Jämför (35) med en känd serie som har positiva termer, dvs skriv en olikhet e bn2 a n = n sin(cn) = e bn2 n sin(cn) A n = e bn2 n (n > 1) (37) och använd (31) för en serie Vi har R N = n=n+1 r 2 = 1 2 lim r A n N+1 S = A n. n=1 r e bx2 xdx = lim e bx2 xdx = 1 r r N+1 2 lim e bx2 dx 2 = r N+1 (N+1) 2 e bu du = 1 2b lim r r 2 = 1 2b lim r e bu r2 (N+1) 2 = 1 2b e b(n+1)2. 21 (N+1) 2 de bu = (38)

22 Nu lös olikheten och bestäm gränsen för N: R N < ɛ : e b(n+1)2 2b < ɛ N > 1 b ln 1 1. (39) 2bɛ Om t ex b = 1 och ɛ = 10 4, får vi N > ln = (40) 2 Då är det tillräckligt att ta med tre termer för att beräkna S i (35) (om b = 1 och c är ett godtyckligt tal) med noggranheten ɛ = Kolla resultatet (ta c = 1 och räkna med fyra KD): 2 S n=1 e n2 n sin n = e 1 sin 1 + e 4 2 sin 2 = och 3 S n=1 e n2 n sin n = e 1 sin 1 + e 4 2 sin 2 + e 9 3 sin 3 = eftersom e 9 3 sin 3 < Om b = 2 och ɛ = 10 4, får vi N > ln 1 = (41) 2 4 Då är det tillräckligt att ta med två termer. 2.2 Problem Problem

23 Bestäm hur många termer måste man ta med för att beräkna S med tre och fyra KD: 3 Interpolation a) S = b) S = c) S = ( 1) n+1 ; n 1 n ; 3 sin n n ; 2 n=1 n=1 n=1 Antag att funktionsvärden f i = f(x i ) är kända i n + 1 olika punkter x i, i = 0, 1,..., n. Vi söker en funktion P (x) sådan att P (x) skall interpolera f i punkterna x i. 3.1 Interpolation med polynom P (x i ) = f i (i = 0, 1,... n). (42) Antag att vi känner funktionsvärden f i = f(x i ) i tre olika punkter x i, i = 0, 1, 2, och vill konstruera ett interpolationspolynom till f. Man kan bestämma t ex en linjär funktion, som går genom punkterna (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ) och ett andragradspolynom P 2 (x), som går genom de tre (olika) punkterna (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ) och (x 2, f 2 ) : P 2 (x i ) = f i (i = 0, 1, 2). (43) Följande sats utgör grunden för polynominterpolation. Sats 3.1 Låt x 0, x 1,..., x n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter. Till godtyckliga värden f 0, f 1,..., f n finns ett entydigt bestämt polynom P (x) av grad n sådant att P (x i ) = f i (i = 0, 1,... n). (44) Bevis (n = 1). För n = 1 är P = P 1 (x) = Ax + B en linjär funktion som går genom punkterna (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ): f(x 0 ) = P 1 (x 0 ), f(x 1 ) = P 1 (x 1 ). (45) 23

24 Vi får ett linjärt ekvationssystem ned två obekanta A och B vilken ger Då, enligt (45), P 1 (x 0 ) = f 0 = Ax 0 + B, P 1 (x 1 ) = f 1 = Ax 1 + B, A = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0, B = x 1f(x 0 ) x 0 f(x 1 ) x 1 x 0. P 1 (x) = f 0 + x x 0 x 1 x 0 (f 1 f 0 ). (46) Om f(x) är en linjär funktion, då är interpolation exakt och funktionen P 1 (x) i (46) sammanfaller med f(x). Interpolationsfel I interpolationspunkterna och ɛ(x) = f(x) P (x). ɛ(x 0 ) = ɛ(x 1 ) = 0 ɛ(x) 0, x [a, b om f(x) är en linjär funktion. Sats 3.2 Låt f vara en funktion med n + 1 kontinuerliga derivator inom det intervall som bildas av punkterna x 0, x 1,..., x n. Om P (x) är entydigt bestämda polynom av grad n som upfyller (44), gäller f(x) P (x) = f (n+1) (ξ(x)) (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) (47) (n + 1)! för något ξ(x) inom det intervall som bildas av punkterna x 0, x 1,..., x n. För n = 1, är P (x) en linjär funktion, och vi får f(x) P (x) = f (ξ(x)) (x x 0 )(x x 1 ). (48) 2 Sats 3.3 Låt f vara en funktion med 2 kontinuerliga derivator inom intervallet x 0, x 1 = x 0 +h och f(x) approximeras genom linjär interpolation mellan punkterna (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ). (P (x) är entydigt bestämda polynom av grad 1 som upfyller (44) med n = 1). Då kan interpolationsfelet uppskattas f(x) P (x) h max x 0 x x 1 f (x). (49)

25 Bevis Enligt Sats 3.2 och (48), R(x) = f(x) P (x) = f (ξ(x)) (x x 0 )(x x 1 ) 2 för något ξ(x) inom det intervall som bildas av punkterna (x 0, x 1 ). Sätt x = x 0 +ph och utnyttja, att x 1 = x 0 + h (p = 1). Då fås Då R(x) = f (ξ(x 0 + ph)) h 2 p(p 1). 2 max 0 p 1 p(p 1) = 1 4 följer satsen. Figur 1: Linjär interpolation och MATLABkoder. 3.2 Linjär interpolation Styckvis-linjär interpolation Antag att funktionsvärden f i = f(x i ) är kända i M + 1 olika punkter x i, i = 0, 1,..., M, t ex i punkterna x k = a + kh; k = 0, 1, 2,..., M, h = b a, (M = 2, 3,... ), (50) M som bildar ett likformigt nät. Styckvis linjär interpolation utföras genom att vi konstruerar en styckvis-linjär interpolationsfunktion F (M; x) som sammanfaller 25

26 med i f(x) i M + 1 interpolationspunkter. I varje intervall [x k, x k+1 fås F (M; x) genom (46): F (M; x) = f(x k ) + x x k x k+1 x k (f(x k+1 ) f(x k )), x [x k, x k+1. Definiera framåtdifferensen f k = f k+1 f k där f k = f(x k ); då får vi F (M; x) = f k + (x x k ) f k h, x [x k, x k+1. (51) Exempel 3.1 Linjär Lagranges interpolation Använd linjär Lagranges interpolation och beräkna ln 9.2 med hjälp av ln 9.0 = och ln 9.5 = Beräkna interpolationsfelet. Det exakta värdet är a = ln 9.2 = (4D). Lösning. Här kan man utföra linjär Lagranges interpolation genom linjär interpolation i punkterna (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ) (se ovan). De linjära funktionerna ger Lagranges polynom L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0 då p 1 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 = x x 1 x 0 x 1 f 0 + x x 0 x 1 x 0 f 1. Vi har x 0 = 9.0, x 1 = 9.5, f 0 = , och f 1 = Beräkna L 0 (9.2) = = 0.6, L 1(9.2) = = 0.4, ln 9.2 ã = p 1 (9.2) = L 0 (9.2)f 0 + L 1 (9.2)f 1 = = Interpolationsfelet är ɛ = a ã = = Andragradsinterpolation Andragradsinterpolation utföras med hjälp av ett polynom av grad n = 2 i tre (olika) noder x 0, x 1, x 2, eftersom man kan entydigt bestämma ett andragradspolynom P 2 (x), som går genom de tre (olika) punkterna (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ) och (x 2, f 2 ) (se Sats 3.1): P 2 (x i ) = f i (i = 0, 1, 2). (52) 26

27 Lagranges polynom av grad 2 är Uttrycket l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) ; l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) ; (53) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). P 2 (x) = f 0 l 0 (x) + f 1 l 1 (x) + f 2 l 2 (x). (54) ger ett andragradspolynom, som satisfierar (52): eftersom P 2 (x j ) = f j, j = 0, 1, 2, l 0 (x 1 ) = l 0 (x 2 ) = 0, l 0 (x 0 ) = 1, l 1 (x 0 ) = l 1 (x 2 ) = 0, l 1 (x 1 ) = 1, (55) l 2 (x 0 ) = l 2 (x 1 ) = 0, l 2 (x 2 ) = 1. Om Q 2 (x) är ett annat andragradspolynom sådant att Q 2 (x j ) = f j, då är R 2 (x) = P 2 (x) Q 2 (x) också ett andragradspolynom som är lika med 0 i tre olika punkter x 0, x 1, x 2 ; dvs den andragradsekvationen R 2 (x) = 0 har tre olika rötter, som ger R 2 (x) 0. Vi har visat att Lagranges interpolationsformel (54) definierar ett entydigt bestämt andragradsinterpolationspolynom så snart interpolationsdata [interpolationsnoder x 0, x 1, x 2 (tre olika punkter) och interpolationsordinator f 0, f 1, f 2 är fixerad. Exempel 3.2 Låt x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 4 vara tre olika interpolationsnoder. Motsvarande Lagranges polynom (53) är: l 0 (x) = x 2 x = 1 3 (x2 6x + 8); l 1 (x) = x 1 x = 1 2 (x2 5x + 4); l 2 (x) = x x = 1 6 (x2 3x + 2). 27

28 Lagranges andragradsinterpolationspolynom är P 2 (x) = f 0 3 (x2 6x + 8) f 1 2 (x2 5x + 4) + f 2 6 (x2 3x + 2). Figur 2: Andragradsinterpolationspolynom P 2 (x) = 0.5(x 2)(x 3) som imterpolerar interpolationsdata (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ) = (1, 1), (2, 0), (4, 1). Betrakta interpolationsordinator f 0 = f 2 = 1, f 1 = 0, dvs interpolationsdata (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ) = (1, 1), (2, 0), (4, 1). Då får vi ett entydigt bestämt andragradsinterpolationspolynom P 2 (x) = 1 2 (x2 5x + 6) = 1 (x 2)(x 3) 2 och P 2 (x) sammanfaller med givna interpolationsordinator i interpolationspunkterna: P 2 (1) = 1; P 2 (2) = 0; P 2 (4) = 1. Om f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 är ett andragradspolynom, då är andragradsinterpolation exakt och funktionen P 2 (x) i (54) sammanfaller med f(x). Interpolationsfelet ɛ(x) = f(x) P 2 (x) ɛ(x 0 ) = ɛ(x 1 ) = ɛ(x 2 ) = 0 28

29 Figur 3: MATLABkoder för andragradsinterpolationspolynom P 2 (x) = 0.5(x 2)(x 3) i Exemplet 2.2. och om f(x) är ett andragradspolynom. r(x) 0, x [x 0, x 2 Exempel 3.3 Lagranges andragradsinterpolation Använd Lagranges andragradsinterpolation och beräkna ln 9.2 med hjälp av ln 9.0 = , ln 9.5 = , och ln 11.0 = ; bestäm interpolationsdata; beräkna interpolationsfelet [det exakta värdet är a = ln 9.2 = (4D). Lösning. Interpolationsdata är Sätt (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ) = (9.0, ), (9.5, ), (11.0, ). L 0 (x) = l 0(x) l 0 (x 0 ) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ), L 1 (x) = l 1(x) l 1 (x 1 ) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ), L 2 (x) = l 2(x) l 2 (x 2 ) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ), som ger Lagranges andragradsinterpolationspolynom p 2 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 + L 2 (x)f 2. Här x 0 = 9.0, x 1 = 9.5, x 2 = 11.0 och f 0 = , f 1 = , f 2 = Beräkna L 0 (x) = (x 9.5)(x 11.0) ( )( ) = x2 20.5x , L 0 (9.2) = ; 29

30 L 1 (x) = L 2 (x) = och få resultatet (x 9.0)(x 11.0) ( )( ) = (x2 20x + 99), L 1 (9.2) = ; (x 9.0)(x 9.5) ( )( ) = 1 3 (x2 18.5x ), L 2 (9.2) = som är exakt med 4D. där ln 9.2 p 2 (9.2) = L 0 (9.2)f 0 + L 1 (9.2)f 1 + L 2 (9.2)f 2 = = , Lagranges polynom av grad n = 2, 3... är l 0 (x) = w 0 1(x)w 0 2(x)... w 0 n(x); l k (x) = w k 0(x)w k 1(x)... w k k 1(x)w k k+1... w k n(x), k = 1, 2..., n 1; l n (x) = w n 0 (x)w n 1 (x)... w n n 1(x), och w k j (x) = x x j x k x j ; k = 0, 1,... n, j = 0, 1,... n, k j. l k (x k ) = 1, l k (x j ) = 0, j k. Lagranges allmänna interpolationspolynom är P n (x) = f 0 l 0 (x) + f 1 l 1 (x) f n 1 l n 1 (x) + f n l n (x), n = 1, 2,..., (56) som sammanfaller med ett entydigt bestämt polynom P n (x) av grad n sådant att P n (x i ) = f i (i = 0, 1,... n). dvs P n (x) går genom interpolationsnoder och ordinator. Interpolationselet uppskattas ɛ n (x) = f(x) P n (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ) f n+1 (t) (n + 1)!, 30 n = 1, 2,..., t (x 0, x n )

31 om f(x) har (n + 1) kontinuerliga derivator. Exempel 3.4 Felet vid linjär interpolation i Exempel 3.3 Lösning. Betrakta interpolationsdata (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ). Sätt L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0, och skriv motsvarande Lagranges polynom p 1 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 = x x 1 x 0 x 1 f 0 + x x 0 x 1 x 0 f 1. I Exempel 3.3, x 0 = 9.0, x 1 = 9.5, f 0 = , f 1 = och ln 9.2 ã = p 1 (9.2) = L 0 (9.2)f 0 + L 1 (9.2)f 1 = = Interpolationsfelet i punkten x = 9.2 är ɛ = a ã = = Enligt (48) och (49), kan felet upskattas där Vidare ɛ 1 (x) = f(x) p 1 (x) = (x x 0 )(x x 1 ) f (t), t (9.0, 9.5) 2 f(t) = ln t, f (t) = 1/t, f (t) = 1/t 2. ɛ 1 (x) = (x 9.0)(x 9.5) ( 1) 2t 2, ɛ 1(9.2) = (0.2)( 0.3) ( 1) 2t 2 = 0.03 t 2 (t (9.0, 9.5)), = = min Vi har t [9.0, t 2 ɛ 1(9.2) max t [9.0, t 2 = = ɛ 1 (9.2) (57) som är mindre än det aktuella felet = ɛ = a ã. Beräkna resultatet med 5D istället för 4D ln 9.2 ã = p 1 (9.2) = = Interpolationsfelet blir ɛ = = som satisfierar (57) eftersom ligger mellan och

32 0 y 0 y Felprincipuppskattning Beräkna först och sedan p 1 (9.2) = p 2 (9.2) = = med 5D. Differensen p 2 (9.2) p 1 (9.2) = = ger ett approximativt fel för p 1 (9.2): är en approximation till felet ovan. 3.3 Differenser Differensföljder och differensschema Betrakta ett nät som består av punkter (funktionsvärdena) y 0, y 1, y 2,.... Differensoperatorn avbildar talföljden {y n } på talföljden y n = y n+1 y n (58) y n kallas första differensföljden av {y n }. Differensföljder av högre ordning definieras rekursivt: Vi har k y n = ( k 1 y n ) = k 1 y n+1 k 1 y n, n = 0, 1, 2,.... (59) y 0 = y 1 y 0, y 1 = y 2 y 1,.... (60) 2 y 0 = ( y) = y 1 y 0 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) = y 2 2y 1 + y 0. (61) Ett differensschema består av en (given) talföljd {y n } och dess differensföljder 1 y 1 2 y 0 y 1 3 y 0 2 y 2 2 y 1. y 2 3 y n y n y n 1 32

33 Exempel 3.5 En talföljd {y n } och dess differensföljder Framåtdifferenser Betrakta ett nät som består av punkter x 0, x 1, x 2,..., x i x j, i j, och motsvarande f(x) s funktionsvärdena f 0, f 1, f 2,.... Definiera första framåtdifferenserna f[x 0, x 1 = f 1 f 0 x 1 x 0 ; f[x 1, x 2 = f 2 f 1 x 2 x 1 ;... (jämför med den första differensföljden f k = f k+1 f k ). Andragradsframåtdifferenserna definieras f[x 0, x 1, x 2 = f[x 1, x 2 f[x 0, x 1 x 2 x 0 ; (62) f[x 1, x 2, x 3 = f[x 2, x 3 f[x 1, x 2 x 3 x 1,.... Framåtdifferenserna av högre ordning definieras rekursivt: f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 = f[x 1, x 2,..., x n+1 f[x 0, x 1,... x n x n+1 x 0. Man kan visa att differensernas värden är oberoende av ordningen i nätet x 0, x 1, x 2,..., x n, dvs, t ex, f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 = f[x 1, x 0,..., x n+1, x n =... Visa det för första framåtdifferenserna (n = 1): f[x 1, x 0 = f 0 f 1 x 0 x 1 = f 1 f 0 x 1 x 0 = f[x 0, x 1. 33

34 Om n = 2, får vi f[x 0, x 1, x 2 = f 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) + f 1 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f 2 + (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). Om man byter x 0, x 1 och x 2, då bytas bara termernas ordning men inte deras summa. Differensschemat övergår i x 0 f(x 0 ) f[x 0, x 1 x 1 f(x 1 ) f[x 0, x 1, x 2 f[x 1, x 2 f[x 0, x 1, x 2, x 3 x 2 f(x 2 ) f[x 1, x 2, x 3. f[x 2, x 3 f[x 1, x 2, x 3, x f[x n 1, x n x n f(x n ) Framåtdifferenser ekvidistanta fallet I många tillämpningar är nätpunkterna (noder) ekvidistanta: x j = x 0 + jh, j = 0, 1, 2,... (63) Antag att f j = f(x 0 +jh) är givna tal. Då kan man skriva första framåtdifferenserna f[x 0, x 1 = f[x 0, x 0 + h = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f 1 f 0 x 0 + h x 0 h och andragradsframåtdifferenserna f[x 0, x 1, x 2 = 1 2h ( f1 1!h f ) 0 1!y = f 0 1!h, (64) = 2 f 0 2!h 2, (65) etc. Framåtdifferenserna av högre ordning i ekvidistanta noder definieras f[x 0, x 0 + h,..., x 0 + nh = n f 0 n!h n. Exempel

35 Bestäm differensschemat (med 3D) för y = f(x) = x 2, i noderna x k = kh, k = 0, 1, 2,..., 10, h = 0.1: Interpolationspolynom och differenser Newtons allmäna interpolationsformel Låt P n (x) vara interpolationspolynomet (av grad n) till funktionen f(x) i noderna x i, i = 0, 1, 2,..., n, som satisfierar interpolationsvillkoren P n (x i ) = f(x i ), i = 0, 1, 2,... n. (66) Då uttrycks Lagranges interpolationspolynom av grad n som interpolerar f(x) i noderna x i (i = 0, 1,..., n) på följande sätt P 1 (x) = f 0 + (x x 0 )f[x 0, x 1 ; (67) P 2 (x) = f 0 + (x x 0 )f[x 0, x 1 + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 (68) P n (x) = f 0 + (x x 0 )f[x 0, x (x x 0 )(x x 1 )(x x n 1 )f[x 0, x 1,... x n. (69) (69) kallas Newtons allmäna interpolationsformel. Iinterpolationspolynomet av högre ordning definieras rekursivt: P k+1 = P k (x) + (x x 0 )... (x x k )f[x 0, x 1,... x k+1. Visa (67). Vi har P 1 (x 0 ) = f 0 och P 1 (x 1 ) = f 0 + (x 1 x 0 ) f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 = f 0 + (f 1 f 0 ) = f

36 Då är P 1 (x) ett interpolationspolynom av grad 1, dvs den linjära funktionen som uppfyller interpolationsvillkoren (66): P 1 (x i ) = f(x i ), i = 0, 1. Visa (68). Vi har ett interpolationspolynom av grad 2 P 2 (x) = P 1 (x) + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 som satisfierar Vidare P 2 (x i ) = P 1 (x i ) + 0 = f i, i = 0, 1. P 2 (x 2 ) = f 0 + (x 2 x 0 )f[x 0, x 1 + (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )f[x 0, x 1, x 2 = f 0 + (x 2 x 0 )f[x 0, x 1 + (x 2 x 1 )(f[x 1, x 2 f[x 0, x 1 ) = f 0 + (x 1 x 0 )f[x 0, x 1 + (x 2 x 1 )f[x 1, x 2 (70) = f 0 + (f 1 f 0 ) + (f 2 f 1 ) = f 2. Enligt Sats 3.1, ger (70) ett entydigt bestämt interpolationspolynom av grad 2 som interpolerar funktionen f(x) i tre noderna x 0, x 1, x 2. Exempel 3.7 Bestäm f(9.2) då följande funktionsvärden är kända: Vi har I punkten x = 9.2, f(x) p 3 (x) = (x 8.0) (x 8.0)(x 9.0) (x 8.0)(x 9.0)(x 9.5). f(9.2) = Observera att interpolationsfelet minskar när n ökar: p 1 (9.2) = , p 2 (9.2) = , p 3 (9.2) =

37 3.4.2 Newtons interpolationsformel i ekvidistanta fallet Betrakta ekvidistanta interpolationspunkter x 0, x 0 + h, x 0 + 2h,... och sätt r = x x 0, h x = x 0 + rh, x x 0 = rh, (x x 0 )(x x 0 h) = r(r 1)h 2,.... Då övergår (69) i Newtons interpolationsformel i ekvidistanta fallet eller f 0 + r 1! f 0 + f(x) = f(x 0 + rh) = P n (x) + ɛ n (x) = (71) r(r 1) 2 f 0 + 2! f(x) P n (x) = f 0 + r f 0 + Interpolationsfelet uppskattas ɛ n (x) = f(x) P n (x) = r(r 1)... (r n + 1) n f 0 + ɛ n (x), (72) n! r(r 1) 2 f ! (om f(x) har (n + 1) kontinuerliga derivator). Exempel 3.8 r(r 1)... (r n + 1) n f 0. n! hn+1 (n + 1)! r(r 1)... (r n)f (n+1) (t), n = 1, 2,..., t (x 0, x n ) Bestäm cosh(0.56) då följande funktionsvärden är kända: Utför feluppskattning. Lösning. Konstruera differensschemat (med 6D)

38 Vi har och x = 0.56, x 0 = 0.50, h = 0.1, r = x x 0 h cosh(0.56) p 3 (0.56) = ( 0.4) 2 = = = 0.6, ( 0.4)( 1.4) = 6 Feluppskattning. Vi har f(t) = cosh(t), f (4) (t) = cosh (4) (t) = cosh(t), n = 3, h = 0.1, och r = 0.6, och ɛ 3 (0.56) = cosh(0.56) p 3 (0.56) = (0.1)4 (4)! 0.6(0.6 1)(0.6 2)(0.6 3) cosh(4) (t) = A cosh(t), där A = , A cosh 0.8 ɛ 3 (0.56) A cosh 0.5 t (0.5, 0.8) och p 3 (0.56) + A cosh 0.8 cosh(0.56) p 3 (0.56) + A cosh 0.5, cosh(0.56) Problem Problem 3.1 Använd ett likformigt nät som består av M + 1 interpolationspunkter och konstruera en styckvis linjär interpolationsfunktion F (M; x) och ett andragradsinterpolationspolynom till funktionerna f(x) nedan; rita funktionskurvor och beräkna interpolationsfelet (med 3D) i punkten x j+0.5 = x j + 0.5h, 0 j M. a) f(x) = x 3 3x 2 + 2; a = 1, h = 1, M = 2, j = 0; b) f(x) = sin πx; a = 0, h = 0.5, M = 2, j = 1; c) f(x) = x; a = 0, h = 1, M = 2, j = 1; d) f(x) = 1 ; a = 2, h = 0.2, M = 1, j = 0. x Problem

39 Bestäm differensscheman (med 2D) i noderna x k = kh, k = 0, 1, 2,..., N för a) f(x) = 2x + 1, h = 0.2, N = 5; b) f(x) = (2x 2 + 1) 2, h = 0.1, N = 10. Lösning till problemet 2.1 a) Vi har M = 2, M + 1 = 3, x 0 = a = 1. Det likformiga nätet är x j = x 0 + jh, j = 0, 1, 2. Bestäm ett andragradsinterpolationspolynom. Konstruera differensschemat i noderna x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3 för f(x) = x 3 3x med f(x 0 ) = 0, f(x 1 ) = 2, f(x 2 ) = 2: Vi har n = 2 och x 0 = 1, h = 1, r = x x 0 h = x 1. Interpolationspolynomet (ett andragradspolynom) P 2 (x) = f 0 + r f 0 + r(r 1) 2 f 0 = 0 + (x 1)( 2) + 2! (x 1)(x 2) 6 = (x 1)(3x 8). 2 Interpolationspolynomet satisfierar interpolationsvillkor P 2 (x j ) = f j, j = 0, 1, 2: och P 2 (1) = 0, P 2 (2) = 2, P 2 (3) = 2. Vi har x j+0.5 = x j + 0.5h = x h = = 1.5 (j = 0). I punkten x 0.5 = 1.5, r = = 0.5, f(1.5) P 2 (1.5) = (1.5 1)( ) = 0.5 ( 3.5) =

40 ɛ 2 (x 0.5 ) = ɛ 2 (1.5) = f(1.5) P 2 (1.5) = (0.5 1)(0.5 2) 6 = 3 8 = 0.375, (73) Interpolationsfelet uppskattas ɛ 2 (x) = f(x) P 2 (x) = h3 (3)! r(r 1)(r 2)f (3) (t), t (1, 3) (f(x) = x 3 3x har 3 kontinuerliga derivator). Vi har f(t) = t 3 3t 2 + 2, f (3) (t) = 6, n = 2, h = 1, r = 0.5 och (vi räknar med 3D utan avr.) som sammanfaller med det aktuella interpolationsfelets värde ɛ 2 (1.5) = f(1.5) P 2 (1.5) = ( 1.75) = 0.375, (74) Styckvis linjär interpolation utföras genom att vi konstruerar en styckvis linjär interpolationsfunktion F (M; x) som sammanfaller med M + 1 givna interpolationsvärdena f(x 0 ) = y 0 = 0, f(x 1 ) = y 1 = 2 och f(x 2 ) = y 2 = 2. Här M = 2 (två interpolationsintervall). I varje intervall [x k, x k+1, k = 0, 1, där (x k, y k ) är interpolationsdata (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (1, 0) (2, 2) (3, 2) fås F (M; x) genom (46): F (M; x) = F (3; x) = y k + x x k x k+1 x k (y k+1 y k ), x [x k, x k+1, k = 0, 1 (två interpolationsintervall [x 0, x 1 och [x 1, x 2 : [1, 2 och [2, 3). k = 0: F (3; x) = y 0 + x x 0 (y 1 y 0 ) = 0 + x 1 ( 2 0) = 2(x 1) = 2 2x, x [1, 2. x 1 x k = 1: F (3; x) = y 1 + x x 1 (y 2 y 1 ) = 2 + x 2 (2 ( 2)) = 2(2x 5), x [2, 3. x 2 x så att (se Fig. 4) F (3; x) = 2 2x, x [1, 2, = 2(2x 5), x [2, 3, 40

41 Kolla interpolationsvillkor: F (3; 1) = 0 = y 0, F (3; 2) = 2 = y 1, F (3; 3) = 2 = y 2. Interpolationsfelet uppskattas enligt Sats 3.2 ɛ 1 (x) = f(x) F (3; x) = f(x) (2 2x) h2 8 max 1 x 2 f (x) = 1 8 max 1 x 2 6(x 1) = 6 8 = Absolutbeloppet av det aktuella interpolationsfelets i punkten x 0.5 = 1.5 är mindre än f(1.5) F (3; 1.5) = ( ) = 0.375, Figur 4: Andragradsinterpolationspolynom P 2 (x) = (x 1)(3x 8) och styckvis linjär interpolationsfunktion F (3; x) som imterpolerar f(x) = x 3 3x (interpolationsdata (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ) = (1, 0), (2, 2), (3, 2)). Lösning till problemet 2.1 b) Vi har M = 2, M + 1 = 3, x 0 = a = 0, det likformiga nätet x j = x 0 + jh, j = 0, 1, 2. Konstruera differensschemat i noderna x 0 = 0, x 1 = h = 0.5, x 2 = 2h = 1 för f(x) = sin πx med f(x 0 ) = 0, f(x 1 ) = 1, f(x 2 ) = 0: Vi har n = 2, x 0 = 0, h = 0.5, r = x x 0 h 41 = 2x.

42 Interpolationspolynomet (ett andragradspolynom) P 2 (x) = f 0 + r f 0 + r(r 1) 2 f 0 = 0 + 2x 1 + 2! 2x(x 1) ( 2) = 4x(1 x). 2 Interpolationspolynomet satisfierar interpolationsvillkor P 2 (x j ) = f j, j = 0, 1, 2: och P 2 (0) = 0, P 2 (0.5) = 1, P 2 (1) = 0. Vi har x j+0.5 = x j + 0.5h = x h = = 0.75 (j = 1). I punkten x 1.5 = 0.75 = 3/4, r = = 1.5, f(0.75) P 2 (0.75) = (1 0.75) = = Interpolationsfelet uppskattas ɛ 2 (x) = f(x) P 2 (x) = h3 (3)! r(r 1)(r 2)f 3 (t), t (0, 1) (f(x) = sin πx har 3 kontinuerliga derivator). Vi har f(t) = sin πt, f (3) (t) = π 3 cos πt, n = 2, h = 0.5, r = 1.5 och (vi räknar med 3D utan avrundning) ɛ 2 (x 1.5 ) = ɛ 2 (0.75) = f(0.75) P 2 (0.75) = (0.5)3 1.5(1.5 1)(1.5 2) ( π 3 cos πt) = π 3 cos πt = cos πt. 6 Det aktuella interpolationsfelets värde ɛ 2 (0.75) = f(0.75) P 2 (0.75) = sin 0.75π 0.75 = = 0.043, ligger mellan de extrema cos πts värden, 0 t 1, så att cos (π 1) ɛ 2 (0.75) cos (π 0), Styckvis linjär interpolation. Konstruera en styckvis linjär interpolationsfunktion F (M; x) som sammanfaller med M+1 givna interpolationsvärdena f(x 0 ) = 42

43 y 0 = 0, f(x 1 ) = y 1 = 1 och f(x 2 ) = y 2 = 0. Här M = 2 (två interpolationsintervall). I varje intervall [x k, x k+1, k = 0, 1, där (x k, y k ) är interpolationsdata (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, 0) (0.5, 1) (1, 0) fås F (M; x) genom (46): F (M; x) = F (3; x) = y k + x x k x k+1 x k (y k+1 y k ), x [x k, x k+1, k = 0, 1 (två interpolationsintervall [x 0, x 1 och [x 1, x 2 : [0, 0.5 och [0.5, 1). k = 0: F (3; x) = y 0 + x x 0 (y 1 y 0 ) = 0 + x 0 (1 0) = 2x, x [0, 0.5. x 1 x k = 1: F (3; x) = y 1 + x x 1 (y 2 y 1 ) = 1 + x 0.5 (0 1) = 2 2x, x [0.5, 1. x 2 x så att (se Fig. 5) F (3; x) = 2x, x [0, 0.5, = 2 2x, x [0.5, 1, Kolla interpolationsvillkor: F (3; 0) = 0 = y 0, F (3; 0.5) = 1 = y 1, F (3; 1) = 0 = y 2. Interpolationsfelet uppskattas enligt Sats 3.2 ɛ 1 (x) = f(x) F (3; x) = f(x) (2 2x) h2 8 max 0.5 x 1 f (x) = 1 32 max 0.5 x 1 π2 sin πx π Absolutbeloppet av det aktuella interpolationsfelets i punkten x 1.5 = 0.75 f(0.75) F (3; 0.75) = sin 0.75π ( ) = ( ) = är mindre än Problem 3.3 (se Problem , AEM) Använd linjär Lagranges interpolation och beräkna ln 9.3 med hjälp av ln 9.0 = och ln 9.5 = ; bestäm interpolationsdata. Lösning. Interpolationsdata (x 0, f 0 ) och (x 1, f 1 ) ger L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0, 43

44 Figur 5: Andragradsinterpolationspolynom P 2 (x) = 4x(1 x) och styckvis linjär interpolationsfunktion F (3; x) som imterpolerar f(x) = sin πx (interpolationsdata (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ) = (0, 0), (0.5, 1), (1, 0)). och Lagranges polynom p 1 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 = x x 1 x 0 x 1 f 0 + x x 0 x 1 x 0 f 1. Här, x 0 = 9.0, x 1 = 9.5, f 0 = , och f 1 = L 0 (x) = x 9.5 ( 0.5) = 2(9.5 x) = 19 2x, L 1(x) = x Lagranges polynom är p 1 (x) = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 = = 2(x 9) = 2x 18. (19 2x) (2x 18) = 2x( ) = x Beräkna och få L 0 (9.3) = = 0.4, L 1(9.3) = = 0.6, ln 9.3 ã = p 1 (9.3) = L 0 (9.3)f 0 + L 1 (9.3)f 1 = = Felet är ɛ = a ã = = Problem 3.4 (se Problem , AEM) Upskatta interpolationsfelet vid linjär interpolation i Problem 3.3; det exakta värdet är ln 9.3 = med 4D. Lösning. Upskatta interpolationsfelet med hjälp av (47) (n = 1) ɛ 1 (x) = f(x) p 1 (x) = (x x 0 )(x x 1 ) f (t), t (9.0, 9.5) 2 44