Matematiska modeller

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematiska modeller"

Transkript

1 Matematiska modeller Kompendium Lektor: Yury V. Shestopalov e-post: Tel Hemsidan: youri Karlstads Universitet 2002

2 Contents Inledning 5. Descartes dröm Polyas strategi för problemlösning Matematiska modeller och numeriska approximationer 6 2. Matematiska modeller Felkällor Matematiska modeller: exempel 7 3. Koordinatsystem och vektorer Integraler Riemannintegraler Dubbelintegraler En kinematisk modell Tillväxtmodeller Populationsutveckling med migration och skuldutveckling Laboration a Avancerade Malthus modeller Laboration b Modellutveckling: en enkel uppgift Grundbegrepp av numeriska metoder 7 4. Tal och talrepresentation i datorer Positionssystem Avrundning och avhuggning Absolut och relativ fel Felgränser Ackumulerade fel Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Binära systemet Problem Funktionsberäkning Exempel av algoritmer: numerisk lösning av icke-linjära ekvationer Intervallhalvering Interpolationsmetoder: sekantmetoden

3 5.3 Iterativa metoder Substitutionsmetoden Newtons metod Stopregeln Fixpunktsiteration Problem Numerisk lösning av ordinära differentialekvationer Eulers metod Heuns metod Problem Minstakvadratmetoden Överbestämda ekvationssystem Minsta kvadratproblemet Polynomanpassning Polynom i MATLAB Polynomanpassning i MATLAB Polynomanpassning och tendenskurvor Tendenskurvor och referenspunkter

4 Förord Huvudmålet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om metoder för att formulera och bearbeta matematiska modeller med hjälp MATLAB Referenser. Kompendiet Numeriska metoder, Y. Shestopalov, Kompendiet Introduktion till MATLAB, Y. Shestopalov, I Gachkov, J. van Bommel, Boolean functions, G. Bäckström, Practical mathematics using MATLAB, Studentlitteratur, E. Pärt-Enander et. al, Användarhandledning for MATLAB 6, Uppsala universitet, L. Elden et. al, Numeriska beräkningar analys och illustrationer med MAT- LAB, Studentlitteratur, E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics. 8th Edition (AEM). 8. M. Heath, Scientific Computing. An Introductory Survey, New York: McGraw- Hill,

5 Inledning. Descartes dröm Filosofen och matematiken Rene Descartes ( ) intoroducerade och utvecklade begreppet matematisk modell. I början, hade Descartes en dröm om att hitta en universell metod (en matematisk metod förstås) för att beskriva varje problem som komma fram verkligheten och sedan lösa problemet. I kortet gick den ut på följande: Reducera problemet till ett matematiskt problem Reducera det matematiska problemet till ett algebraiskt problem Reducera det algebraiska problemet till att lösa en ekvation Även om Descartes dröm aldrig förverkligats, så finns det mängder av problem som kan lösas i denna anda..2 Polyas strategi för problemlösning Vad som i detta avsnitt skrivs är till stora delar en sammanfattning av olika skrifter av George Polya. Polya var en matematiker som förutom mera traditionell matematisk verksamhet även ägnade sig åt att analysera problemlösandes natur. Han har skrivit flera böcker om detta, varav How to solve it? från 945 väl är den mest kända. I denna bransch finns det säkert ingen absolut sanning, så man får väl i första hand se de ideer som framförs som försök till en strategi vid problemlösning. Inge många genomför den konsekvent, men den är ändå tänkvärd. Problemlösandet anser Polya består av fyra steg: Förstå problemet. För att förstå problemet bör man veta (a) vad är okänd? (b) vad är givet? (c) vad har man för förustsättnigar? Sedan frågar man: kan förustsättningarna upfyllas? Är det tillräckliga för at bestämma det okända? Nodvändiga? Onödiga? Motsägande? Man måste införa lämpliga betckningar (går det att rita en figur), och analysera förustsättningarnas olika delar och skriv ner dem. Ta fram en plan för att lösa det matematiska problemet. För att gör det, svarar man följande frågor: har man sett problemet tidigare? Känner man till något liknande problem och/eller något resultat som skulle kunna vara användbar? kan man oformulera problemet gå tillbaka till definitionen. Man betraktar det okända och försök hitta bekanta problem som handlar om samma okända. Om man inte kan lösa problemet, kan man först försöka lösa några 5

6 besläktade problem, genom att ändra på förustsättningarna eller det okända. Sedan måste man upprepa: har man använt alla förustsättningarna och alla uppgifterna? Genomför planet. Kontrollera varje planets steg. Kan man bevisa att varje steg är korrekt? Undersök lösningen. För att gör det, svarar man följande frågor: kan man kontrollera resultatet och få fram det på något annat sätt? Kan man använda resultatet och/eller metoden på något annat problem? Det här schemat används nu i aktuell matematisk modellering enligt följande: Förstå problemet Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod (ii) en algoritm och (iii) ett programm som beräknar lösningen. Genomför beräkningar med olika indata. Undersök lösningen Förbättra modellen Dessa steg analyserar vi närmare. När man räknar på de följande problemen kan man väl därför skänka Polya och Descartes en tanke då och då. 2 Matematiska modeller och numeriska approximationer 2. Matematiska modeller Matematiska modeller är grundläggande verktyg vid problemlösning inom naturvetenskap och teknik. En matematisk behandling ger svar på frågor man ställer med anknytning till problemområdet. Man avgränsar ett litet problemområde när man ställer upp en matematisk modell. Vidare gör man (i) förenklingar och (ii) idealiseringar Ett numeriskt problem är en klar och entydig beskrivning av funktionssambandet mellan indata (oberoende variablerna i det matematiska problemet) och utdata (begärda resultaten). Indata och utdata skall vara ett ändligt antal storheter (vektorer). 6

7 Ett matematiskt problem kan vara att bestämma en funktion (som t ex satisfierar begynnelsevärdesproblemet), med det numeriska problemet är att bestämma en approximation till denna funktion i ett antal diskreta punkter. En algoritm för ett numeriskt problem är en fullständig beskrivning av en ändlig följd av väldefinierade operationer, genom vilken indata (vektor) transformeras till utdata (vektor). 2.2 Felkällor. Fel i indata. Indata kan vara mätdata av begränsad noggrannhet eller reela tal som måste approximeras med ett fixt antal siffror. 2. Avrundningsfel uppstår då man räknar med ett ändligt, fixt antal siffror. 3. Trunkeringsfel uppstår då en oändlig process ersätts med en ändlig, t ex då en oändlig serie approximeras med en partialsumma, eller då en funktion approximeras med en rät linje (eller ett polynom). 3 Matematiska modeller: exempel 3. Koordinatsystem och vektorer Rene Descartes intoroducerade och utvecklade begreppet koordinatsystem. Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Koordinatsystemetet kallas ortonormerat eller kartesiskt. En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. () Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen 7

8 u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller kartesiskt. I ett kartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som där basvektorerna är kartesiska enhetsvektorer u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) i = e x, j = e y, k = e z i = [, 0, 0], j = [0,, 0], k = [0, 0, ]. (4) Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x, y, z ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a = x 2 x, a 2 = y 2 y, a 3 = z 2 z (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver a = [a, a 2, a 3 ]. 8

9 Vektors längd (storlek) a = a 2 + a a 2 3. (6) Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem och P : [x, y, z ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. Exempel Vektorn a= P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6,, 2) har komponenter a = 6 4 = 2, a 2 = 0 =, a 3 = 2 2 = 0. Då a = [2,, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = ( ) = 5. Om man väljer (, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( + 2, 5, 8 + 0) = (, 4, 8) Exempel 2 a = [4, 0, ] = 4i + k, b = [2, 5, 3 ] = 2i 5j + 3 k. 3.2 Integraler 3.2. Riemannintegraler Låt xy vara ett kartesiskt koordinatsystem i planet och U = [a, b] ett intervall a x b (integrationsintervallet). Låt x 0, x,..., x n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att Motsvarande m delintervall a = x 0 < x <... x m < x m = b. (7) R i = {x : x i x x i, }. (8) Mängden av R i ger en indelning P av intervallet U: U = R i. Längden av intervallet R i är x i = x i x i, i m. (9) 9

10 Låt P vara det största av talen x i, P = max x i (0) i m eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x) är kontinuerlig i U = {x : a x b}. Välj från varje delintervall R i en punkt x i godtyckligt och sätt R(f, P ) = m f(x i ) x i, () i= som kallas en Riemannsumma. Om f(x i ) 0, då är termen f(x i ) x i arean av ett trapets med basen R i och höjden f(x i ). Riemannintegralen definieras som ett gränsvärde I = b a f(x)dx = lim N P 0 i= f(x i ) x i, (2) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (3) för varje indelning P av integrationsintervallet U och godtyckliga punkter x i R i. Vi antar då att gränsvärdet (2) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ) Dubbelintegraler Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem i rummet och U vara ett område i planet xy (integrationsområdet). Vi antar ofta att integrationsområdet begränsas av en enkel sluten kurva C i xy-planet, som inte skär sig själv och genomlöpes precis ett varv i positivt led; dvs, en kurva som kan beskrivas av en rörlig punkt, som rör sig så att den återkommer till stratpukten, utan att någon punkt på kurvan passerats två gånger. Antag först att U = {(x, y) : a x b, c y d} (4) är en rektangel. Låt x 0, x,..., x n och y 0, y,..., y n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att a = x 0 < x <... x m < x m = b, c = y 0 < y <... y n < y n = d. (5) 0

11 Motsvarande mn delrektanglar R ij = {(x, y) : x i x x i, y j y y j }, (6) x i = x i x i, y j = y j y j, i m, j n, (7) ger en indelning P av området U: U = R ij. Arean av rektangeln R ij är A ij = x i y j = (x i x i )(y j y j ). (8) Diametern av rektangeln R ij (längden av dess diagonal) är diam R ij = ( x i ) 2 + ( y j ) 2 = (x i x i ) 2 + (y j y j ) 2 (9) Låt P vara det största av talen diam R ij, P = max diam R ij (20) i m, j n eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x, y) är kontinuerlig i D och på randen till D. Välj från varje delområde R ij en punkt (x ij, y ij) godtyckligt och sätt R(f, P ) = m n i= j= f(x ij, y ij) A ij, (2) som kallas en Riemannsumma. Om f(x ij, y ij) 0, då är termen f(x ij, y ij) A ij volymen av ett prisma med basen R ij och höjden f(x ij, y ij). Man kan numrera alla R ij och punkter (x ij, y ij) med en index k =, 2,..., N, där N = mn. Dubbelintegralen definieras som ett gränsvärde I = D f(x, y)da = lim N P 0 k= f(x k, y k) A k, da = dxdy, (22) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (23) för varje indelning P av området D och godtyckliga punkter (x ij, y ij) R ij. Vi antar då att gränsvärdet (22) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ).

12 3.3 En kinematisk modell. Antag att vi kastar en boll rakt uppåt med en hastighet v 0. Hur högt kommer bollen? Vi väljer den matematiska modellen att den enda kraft, som verkar på bollen är gravitationen. Bollens hastighet v(t) vid tid t ges då av kinematiska satsen v(t) = v 0 gt, där g är tyngaccelerationen. Tidpunkten t = t då bollen når sin högsta punkt, kan vi bestämma genom att sätta v(t) = 0: v(t) = v 0 gt = 0, t = t = v 0 g. Höjden s vid tiden t får vi genom att integrera s = t 0 v(t)dt = t 0 (v 0 gt)dt = v 0 t 2 gt2. Om t ex starthastigheten är v 0 = 25 m/s (och g = 9.8 m/s 2 ), så får vi 3.4 Tillväxtmodeller t = v 0 g = = 2.55 s, s = v 0 t 2 gt2 = 3.9 m. Låt x 0 beteckna det kapital som sätts in i början på en bank med 5 procent årlig ränta (fast ränta). Vi vill studera hur beloppet ändras från år till år. Uttrycket x n+ x n =.05, x 0 = ett givet tal (24) visar att kapitalet ett år är direkt proportionellt (här med faktorn.05 = ) mot kapitalet året innan. En modifiering av den modellen är att ersätta konstanten a (fast ränta) med r n (variabel, eller rörlig, ränta), x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. (25) Den enklaste versionen av Malthus modell för populationstillväxt bygger på motsvarande antagande för populationens storlek, dvs att antalet individer ett år (i tusental) är direkt proportionellt (med en given faktor a) mot antalet året innan: x n+ x n = a, x 0 = ett givet antal. 2

13 Olika versioner av Malthus modell använder olika a. En modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en variabel storlek r n, x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. 3.5 Populationsutveckling med migration och skuldutveckling Populationsutveckling. Vi har en polulation som uppmätts till x 0 = P 0 = 00 tusen individer och som om ingen in- eller utflyttning sker ökar med a = 0% årligen. Dessutom årligen b i = 8 tusen flyttar in och b u = 0 tusen flyttar ut. Låt x n vara populationens storlek n år efter startåret. Analysera vad händer från ett år, n, till nästa, n +. För differensen x n+ x n gäller dvs vilket kan skrivas x n+ x n = procentuell ökning + inflyttning utflyttning, x 0 = P 0, x n+ x n = ax n + b i b u, n = 0,, 2,..., x 0 = P 0, x n+ = Ax n + b iu, b iu = b i b u, A = a +, eller vilket kan skrivas x 0 = 00, x n+ x n = 0.x n Man kan visa att talföljden x 0 = 00, x n+ =.x n 2, n = 0,, 2,.... x n = 80. n + 20, n = 0,, 2,..., löser det här problemet. 2 Skuldutveckling. Antag att man har lånat x 0 = P 0 = 000 tusen kronor (för husköp) den april 996 och avbetalar b a = 0 tusen kronor varje kvartal. Skulden ökar varje kvartal med årlig ränta r n = 5% Låt x n vara skuldens storlek n kvartaler efter startkvartal (andra kvartalen 996). Analysera vad händer från en kvartal, n, till nästa, n +. För skluden x n+ gäller x n+ = x n + procentuell ökning av skulden avbetalning, 3

14 dvs procentuell ökning av skulden = x n r n, 00 x 0 = P 0, x n+ = a n x n b a, n = 0,, 2,..., N. (26) där N är antalet kvartaler mellan och 0-2-3: 3 i (4 i ) = 23. I fallet av fast (konstant årlig) ränta r n = 4%, har vi 3.6 Laboration a x 0 = 000, x n+ =.0x n 0, n = 0,, 2,..., N. Använd ovanstående modeller och studera i dina egna skuldutvecklingar (också retroaktivt). ii skuldutvecklingen enligt (26) när man lånar P 0 tusen kronor (för husköp eller bilköp) i olika banker och/eller bolag (bilbolag) till olika aktuella rörliga räntor r n. Jämför skuldtillväxt beroende på beloppet av månads- eller kvartalavbetalning b a och antalet N månader eller kvartaler. Rita kurvor som visar skuldtillväxt som funktion av tid (antalet månader eller kvartaler). Använd informationskällor och liknande. iii Redovisa och jämför värdeförändringar i olika aktiebolag och/eller aktiesparfonder under flera år, månader eller dagar. Bearbeta indata och rita trendkurvor. Använd informationskällor ovan. Betrakta aktiefonder, blandfonder, generationsfonder och räntefonder. Använd informationskällor mm. 4

15 Mer information finns på hemsidan och i Fondkatalog. För din premierpension Avancerade Malthus modeller En enkel modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en avtagande funktion, t ex en linjär funktion a bx, där a 0 och b 0. Man kan betrakta versioner av Malthus modell med flera olika icke-linjära avtagande funktioner f(x) som beskriver olika tillväxtsituatoner när tillväxt x n+ /x n beror på det aktuella antalet individer x n och leder till x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal. Man kan skriva ett program som beräknar beloppet x n för olika avtagande funktioner f(x) och sedan jämföra resultat och anpassa de till ursprungliga (givna) villkor. Figure : Kurvorna visar hur antalet individer x n ändras enligt Malthus modell x n+ = x n (ax n + b), n = 0,, 2,..., 0, x 0 = 00000, från år till år under 0 år med b =.0 och fem olika koefficienter a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = och a = Laboration b Använd ovanstående Malthus modell x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal, f(x) = ax + b, och studera hur antalet individer (population) x n ändras från år till år för vissa olika a : 0.05 a 2 och positiva och negativa b. Anpassa modellen till aktuella populationstillväxt i olika länder. 5

16 Exempel 3 Antag att i ovanstående Malthus modell, a 0 8 och b =.0. Då visar figur hur antalet individer (population) x n ändras från år till år under 0 år med startvärdet x 0 = och fem olika a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = och a = Kurvorna ritade i figur med häjlp av MATLABkod n = 0; b =.0; a = : : ; b, a x = 00000; x2 = 00000; x3 = 00000; x4 = 00000; x5 = 00000; for i = :n ar(i)=i; arlig(i,) = x; arlig(i,2) = x2; arlig(i,3) = x3; arlig(i,4) = x4; arlig(i,5) = x5; x = x.*(a().*x + b); x2 = x2.*(a(2).*x2 + b); x3 = x3.*(a(3).*x3 + b); x4 = x4.*(a(4).*x4 + b); x5 = x5.*(a(5).*x5 + b); end arlig plot(ar, arlig) grid b =.000 a =.0e-006 * arlig =.0e+005 * Modellutveckling: en enkel uppgift Använd Polyas schema för att illustrera modellutveckling:. Förstå problemet: vi kommer att beräkna hur beloppet i banken ändras från år till år vid fast årlig ränta. 2. Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod: räkna enligt x n+ =.05x n, n = 0,, 2,.... (ii) en algoritm: se ovan, och 6

17 (iii) ett programm som beräknar lösningen: programmera den här formeln med häjlp av en miniräknare. 3. Genomför beräkningar med olika indata: olika tal x 0 och a > och antalet år. 4. Undersök lösningen: rita och analysera kurvan x n beloppet mot n antalet år. 5. Förbättra modellen: antag att varje år, ändrar banken räntan, så att beloppet ökar enligt x n+ = a n x n, n = 0,, 2,... (obunden ränta a n ) istället för x n+ = ax n, n = 0,, 2,... (fast ränta a). 4 Grundbegrepp av numeriska metoder 4. Tal och talrepresentation i datorer Naturliga tal är talen 0,, 2,.... Hela tal är talen 0, ±, ±2,.... Rationella tal kan skrivas på formen r = m, där m och n är hela tal, n 0. (27) n De rationella talen bildar en kropp, som är delkropp till kroppen av de reela talen. I decimalsystemet skrivas ett tal i utvecklad form, t ex = = = = = Decimalutvecklingar av rationella tal är periodiska: = = 0.25, 4 = , 3 9 = I den rationella talmängden finns fyra grundoperationer: addition c = a + b subtraktion c = a b multiplikation c = a b division c = a b, b 0. Till två tal a och b, finns det alltid ett tal, c, som kallas resp. summan, produkten, differensen, och kvoten av a och b. 7

18 Irrationella tal är reela tal som inte är rationella tal. Exempel utgör 2, π och m, där m är ett helt tal sådant att m n 2, n = 0,, Decimalutvecklingar av irrationella tal är operiodiska: 2 = , 4.2 Positionssystem π = I ett positionssystem anges ett tal så att en siffras betydelse beror av dess plats i talbeteckningen. Varje plats (position) har ett bestämt platsvärde, som är en heltalspotens av systemets bas. I decimalsystemet, är basen tio. Ett tal skrivet i decimalsystemet sägs vara skrivet i decimalform. Siffrorna till höger om decimaltecken kallas decimaler. En signifikant siffra (S) av ett tal c (skrivet i decimalform) är varje c s siffra utom nollor till vänster om den första ickenoll siffran: talen , har 4 S. I fix representation används ett givet (fixerat) antal S: (fem S), 0.03 (två S),.0 (två S). I flyttalsrepresentation (floating-point system), fixerar man antalet S och decimaltecken flyttar: Betrakta t ex tre tal med fyra S: = = = 623.8, = = = (3 nollor till höger om decimaltecken) = = 2.000, Tal också skrivas på formen E E-3, E0. där Allmänt kan varje reelt tal a i talsystemet med basen β framställas på formen a = M β e, e ett helt tal. (28) M = ±D 0.D D 2..., 0 D i < β, i = 0,, 2,..., D 0 0, (29) och M kan vara ett tal med oändligt många siffror. Man lagra då talet (i decimalsystemet) a = ±m 0 e, 0. m <, e ett helt tal, 8

19 m = 0.d d 2... d t, d > 0, e < M. m är M avkortat till t siffror. m kallas taldelen (eller mantissan), och e kallas exponentdelen Enligt IEEE Standard ( single precision ), 38 < e < Avrundning och avhuggning Avrundning av decimala tal till t decimaler. Exempel 4. Avrundning till t = 2 decimaler:.2535 avrundas till.25. Den del av talet.2535 som står i positioner till höger om andra decimalen är och det är mindre än t med t = 2: < = ; då förändras andra decimalen 5 inte och till t = 4 decimaler till t = 2 decimaler till t = decimal; den första decimalen 2 är jämn till t = 3 decimaler; den 3:e decimalen 3 är udda , till t = decimal. Av avrundningsregler följer att felet vid avrundning till t decimaler är mindre än eller lika med t. Vid avhuggning stryks alla siffror till höger om t:e decimalen. Exempel 5. Avhuggning till t = 2 decimaler:.2535 avhuggs till avhuggs till avhuggs till.99.. Avhuggning till t = 4 decimaler: avhuggs till avhuggs till Felet vid avhuggning till t decimaler är mindre än eller lika med 0 t och är systematiskt: det avkortade värdet är alltid mindre än det oavkortade värdet. 4.4 Absolut och relativ fel Låt a beteckna ett exakt värde och ã ett närmevärde till ett tal a, t ex a = 2, ã =.44 4S, 9

20 Vi inför följande definitioner a = π, ã = S. Absolut fel i ã : ɛ = a = a ã; då a = ã + ɛ Exempel 6 Om ã = 0.5 är närmevärdet till talet a = 0.2, är absoluta felet ɛ = 0.3. Relativt fel i ã : ɛ r = a a = ɛ a = a ã a = Fel exakt värde (a 0). ɛ r ɛ ã. I exemplet ovan har vi ɛ = a ã = 2.44 = ; ɛ r = ɛ a = ɛ = a ã = π 3.45 = ; ɛ r = ɛ a = π En approximation ã sägs ha n korrekta decimaler (KD) om a = ã a n (dvs approximationen har ett fel mindre än eller lika med en halv enhet i n:te decimalen). Som mått på relativ nogrannhet använder man ofta talets värdesiffror (antalet korrekta siffror som inleder approximationen; inledande nollor medräknas då inte). 4.5 Felgränser Felgräns β a i absolut fel : ɛ β a då a ã β. Felgräns β r i relativt fel : ɛ r β r då a ã a β r. 20

21 Exempel 7 approximation med felgräns KD värdesiffror 3.42± ±0.5E ± Ackumulerade fel Vi ska formulera en sats som ger felgränser i addition och multiplikation (se THEOREM 7.., E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM)): I addition, S = a + a 2, och subtraktion, D = a a 2, kan felgränsen (ɛ) upskattas ɛ β + β 2. där β i, i =, 2, är a is felgränser i absolut fel. I multiplikation, M = a a 2, och division, Di = a /a 2 (a 2 0), kan felgränserna ɛ r upskattas approximativt ɛ r β r + β r2. där β ri, i =, 2, är a is felgränser i relativt fel. 4.7 Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Om vi skall använda närmevärden i beräkningar, är det viktigt att informationen inte i onödan går förlorad. Exempel 8 Närmevärdena har båda 7 S (6 KD). Differensen x = ± , x 2 = ± , (30) y = x x 2 = ± 0 6 (3) har bara två S eftersom < 0 6 < Vi har kancellation av fyra S. Exempel 9 2

22 Andragradsekvationen har lösningen x 2 8x + = 0 (32) x = 9 ± 8 = 9 ± 80. (33) Om ± ges med fyra KD, får vi x = ± = ± , x 2 = ± = ± (34) Det första närmevädret har 6 S, medan det andra har tre S. Kancellationen undviks om man beräknar x 2 enligt x 2 = 9 80 = (9 80)(9 + 80) = = ± , (35) och = (36) (resultatet avrundas till 7 decimaler). För divisionen y = p /p 2, uppskattas felgränsen i relativt fel y y p + p 2. (37) p I (37), p =, p 2 = , p = 0, p 2 = , y = , och relativa felet i närmevärdet till x 2 = y uppskattas enligt (37) med p 2 p 2 = p 2 < = (38) Det absoluta felet i närmevärdet till x 2 = y = blir då mindre än < < = < (39) Felet vid avrundning till 7 decimaler < Det totala felet uppskatas med = , och resultatet har 6 KD och 5 S. Exempel 0 Beräkna x 2 = ± (40) f(x) = x[ x + x] (4) 22

23 för växande x med 6S: x beräknad f(x) exakt f(x) I 6S beräkningar, får vi, när x = 00, 00 = , 0 = (42) Det första värdet är exakt, och det andra värdet är den rätta 6S-avrundningen. Vidare x + x = 0 00 = (43) Det exakta värdet är (avrundat till 6S). Beräkningar i (43) har förlusten av signifikanta siffror (a loss-of-significance error): subtraktion av x = 00 eliminerar de tre signifikanta siffrorna i x + = 0. Skriv (4) på formen x + x f(x) = x x + + x x + + x = x x + + x (44) I (44), förlörar man inte signifikanta siffror eftersom man subtraherar inte. 6S beräkningar i (44) med avrundning ger f(00) = , (45) och (45) är rätta resultatet avrundat till 5 (korrekta) decimaler (6S). 4.8 Binära systemet I decimalsystemet (som har basen 0 och man kan använda 0 siffror 0,,..., 9), skrivas ett tal, t ex, , i utvecklad form (46) 23

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA3 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 7 januari 03 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar

Institutionen för Matematik. F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Institutionen för Matematik Göteborg F1 - Linjär algebra och numerisk analys, TMA671 Svar till övningar i Heath s bok och extraövningar Heath 1: a) -01416 resp -0046 b) -0001593 resp -000051 c) 000165

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C

Syftet med veckans övningar. Något om MATLAB. Vecka 1 matte D del C Vecka 1 matte D del C handlar om olika typer av integraler. Metoden går tillbaka till antiken; genom triangulering kan man beräkna arean av oregelbundna polygoner. Har men en figur med krokiga begränsningslinjer

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB

TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson. Introduktion till MATLAB TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson Introduktion till MATLAB Introduktion till MATLAB sid. 2 av 12 Innehåll 1 Vad är MATLAB? 3 1.1 Textens syfte..................................... 3 2 Grundläggande

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

2B1115 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals)

2B1115 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals) 2B1115 Ingenjörsmetodik (Engineering Fundamentals) HT 2005 Kompendium 2 Datorlaborationer med kalkylark, Matlab och ordbehandlare. Redovisas senast 2005-10-31 1 Innehåll Inledning... 2 Deluppgift 1. Kalkylark...

Läs mer

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se.

Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. Matematik Uppdaterad 2003-10-14 Allmänt Läroplanens mål för matematik finns att ta del av för elever och målsmän på webbadressen: http://www.skolverket.se. ADDITION, SUBTRAKTION, DIVISION OCH MULTIPLIKATION.

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden

Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Linjär algebra förel. 10 Minsta kvadratmetoden Niels Chr. Overgaard 015-09- c N. Chr. Overgaard Förel. 9 015-09- logoonly 1 / 17 Data från 1 vuxna män vikt (kg) längd (m) 58 1,69 83 1,77 80 1,79 77 1,80

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab CTH/GU LABORATION 1 TMV157-2014/2015 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor

Läs mer

Grafräknare för alla

Grafräknare för alla Grafräknare för alla Ett antal exempel på hur du kan använda grafräknare i undervisningen Dagens grafiska miniräknare är avancerade små apparater. Det som för några år sedan bara kunde utföras av ganska

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Dagens föreläsning (F15)

Dagens föreläsning (F15) Dagens föreläsning (F15) Problemlösning med datorer Carl-Mikael Zetterling bellman@kth.se KP2+EKM http://www.ict.kth.se/courses/2b1116/ 1 Innehåll Programmering i Matlab kap 5 EKM Mer om labben bla Deluppgift

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer