Matematiska modeller

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematiska modeller"

Transkript

1 Matematiska modeller Kompendium Lektor: Yury V. Shestopalov e-post: Tel Hemsidan: youri Karlstads Universitet 2002

2 Contents Inledning 5. Descartes dröm Polyas strategi för problemlösning Matematiska modeller och numeriska approximationer 6 2. Matematiska modeller Felkällor Matematiska modeller: exempel 7 3. Koordinatsystem och vektorer Integraler Riemannintegraler Dubbelintegraler En kinematisk modell Tillväxtmodeller Populationsutveckling med migration och skuldutveckling Laboration a Avancerade Malthus modeller Laboration b Modellutveckling: en enkel uppgift Grundbegrepp av numeriska metoder 7 4. Tal och talrepresentation i datorer Positionssystem Avrundning och avhuggning Absolut och relativ fel Felgränser Ackumulerade fel Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Binära systemet Problem Funktionsberäkning Exempel av algoritmer: numerisk lösning av icke-linjära ekvationer Intervallhalvering Interpolationsmetoder: sekantmetoden

3 5.3 Iterativa metoder Substitutionsmetoden Newtons metod Stopregeln Fixpunktsiteration Problem Numerisk lösning av ordinära differentialekvationer Eulers metod Heuns metod Problem Minstakvadratmetoden Överbestämda ekvationssystem Minsta kvadratproblemet Polynomanpassning Polynom i MATLAB Polynomanpassning i MATLAB Polynomanpassning och tendenskurvor Tendenskurvor och referenspunkter

4 Förord Huvudmålet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om metoder för att formulera och bearbeta matematiska modeller med hjälp MATLAB Referenser. Kompendiet Numeriska metoder, Y. Shestopalov, Kompendiet Introduktion till MATLAB, Y. Shestopalov, I Gachkov, J. van Bommel, Boolean functions, G. Bäckström, Practical mathematics using MATLAB, Studentlitteratur, E. Pärt-Enander et. al, Användarhandledning for MATLAB 6, Uppsala universitet, L. Elden et. al, Numeriska beräkningar analys och illustrationer med MAT- LAB, Studentlitteratur, E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics. 8th Edition (AEM). 8. M. Heath, Scientific Computing. An Introductory Survey, New York: McGraw- Hill,

5 Inledning. Descartes dröm Filosofen och matematiken Rene Descartes ( ) intoroducerade och utvecklade begreppet matematisk modell. I början, hade Descartes en dröm om att hitta en universell metod (en matematisk metod förstås) för att beskriva varje problem som komma fram verkligheten och sedan lösa problemet. I kortet gick den ut på följande: Reducera problemet till ett matematiskt problem Reducera det matematiska problemet till ett algebraiskt problem Reducera det algebraiska problemet till att lösa en ekvation Även om Descartes dröm aldrig förverkligats, så finns det mängder av problem som kan lösas i denna anda..2 Polyas strategi för problemlösning Vad som i detta avsnitt skrivs är till stora delar en sammanfattning av olika skrifter av George Polya. Polya var en matematiker som förutom mera traditionell matematisk verksamhet även ägnade sig åt att analysera problemlösandes natur. Han har skrivit flera böcker om detta, varav How to solve it? från 945 väl är den mest kända. I denna bransch finns det säkert ingen absolut sanning, så man får väl i första hand se de ideer som framförs som försök till en strategi vid problemlösning. Inge många genomför den konsekvent, men den är ändå tänkvärd. Problemlösandet anser Polya består av fyra steg: Förstå problemet. För att förstå problemet bör man veta (a) vad är okänd? (b) vad är givet? (c) vad har man för förustsättnigar? Sedan frågar man: kan förustsättningarna upfyllas? Är det tillräckliga för at bestämma det okända? Nodvändiga? Onödiga? Motsägande? Man måste införa lämpliga betckningar (går det att rita en figur), och analysera förustsättningarnas olika delar och skriv ner dem. Ta fram en plan för att lösa det matematiska problemet. För att gör det, svarar man följande frågor: har man sett problemet tidigare? Känner man till något liknande problem och/eller något resultat som skulle kunna vara användbar? kan man oformulera problemet gå tillbaka till definitionen. Man betraktar det okända och försök hitta bekanta problem som handlar om samma okända. Om man inte kan lösa problemet, kan man först försöka lösa några 5

6 besläktade problem, genom att ändra på förustsättningarna eller det okända. Sedan måste man upprepa: har man använt alla förustsättningarna och alla uppgifterna? Genomför planet. Kontrollera varje planets steg. Kan man bevisa att varje steg är korrekt? Undersök lösningen. För att gör det, svarar man följande frågor: kan man kontrollera resultatet och få fram det på något annat sätt? Kan man använda resultatet och/eller metoden på något annat problem? Det här schemat används nu i aktuell matematisk modellering enligt följande: Förstå problemet Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod (ii) en algoritm och (iii) ett programm som beräknar lösningen. Genomför beräkningar med olika indata. Undersök lösningen Förbättra modellen Dessa steg analyserar vi närmare. När man räknar på de följande problemen kan man väl därför skänka Polya och Descartes en tanke då och då. 2 Matematiska modeller och numeriska approximationer 2. Matematiska modeller Matematiska modeller är grundläggande verktyg vid problemlösning inom naturvetenskap och teknik. En matematisk behandling ger svar på frågor man ställer med anknytning till problemområdet. Man avgränsar ett litet problemområde när man ställer upp en matematisk modell. Vidare gör man (i) förenklingar och (ii) idealiseringar Ett numeriskt problem är en klar och entydig beskrivning av funktionssambandet mellan indata (oberoende variablerna i det matematiska problemet) och utdata (begärda resultaten). Indata och utdata skall vara ett ändligt antal storheter (vektorer). 6

7 Ett matematiskt problem kan vara att bestämma en funktion (som t ex satisfierar begynnelsevärdesproblemet), med det numeriska problemet är att bestämma en approximation till denna funktion i ett antal diskreta punkter. En algoritm för ett numeriskt problem är en fullständig beskrivning av en ändlig följd av väldefinierade operationer, genom vilken indata (vektor) transformeras till utdata (vektor). 2.2 Felkällor. Fel i indata. Indata kan vara mätdata av begränsad noggrannhet eller reela tal som måste approximeras med ett fixt antal siffror. 2. Avrundningsfel uppstår då man räknar med ett ändligt, fixt antal siffror. 3. Trunkeringsfel uppstår då en oändlig process ersätts med en ändlig, t ex då en oändlig serie approximeras med en partialsumma, eller då en funktion approximeras med en rät linje (eller ett polynom). 3 Matematiska modeller: exempel 3. Koordinatsystem och vektorer Rene Descartes intoroducerade och utvecklade begreppet koordinatsystem. Varje punkt läge i rymden kan anges med hjälp av ett koordinatsystem, som består t ex av tre mot varandra vinjkelräta koordinataxlar. Koordinatsystemetet kallas ortonormerat eller kartesiskt. En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning. En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad sträka, dvs en sträka från en punkt A (utgångspunkt) till en annan punkt B (ändpunkt). Två lika långa och lika riktade sträkor anger samma vektor. Vektorn från A till B kan betecknas AB. Vektorn sägs vara avsatt från punkten A. En vektor kan avsättas från en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet då A sammanfaller med B. Om två icke-parallela vektorer e x och e y är givna i ett plan, kan varje vektor u i planet entydigt skrivas som u = xe x + ye y. () Vektorerna e x och e y kallas basvektorer. Vektorerna xe x och ye y kallas komposanter, talen x och y koordinater för u (eller u s komponenter), och beteckningen 7

8 u = (x, y) kan användas. Om e x, e y och e z är tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som u = xe x + ye y + ze z. (2) Vektorerna e x, e y och e z kallas basvektorer. Vektorerna xe x, ye y och ze z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för u (u s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan användas. Om O (i detta sammanhang kallad origo) är en fix punkt i rummet (planet) är varje punkt P bestämd av vektor OP, som kallas ortsvektorn för P, och koordinater x, y, z för OP upfattas som koordinater för P. Då har ortsvektorn för P : (x, y, z) utgångspunkten O : (0, 0, 0) (origo) och ändpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan användas. Man säger att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oe x e y e z eller Oxyz (även xyz). På motsvarande sätt fås koordinatsystemet Oe x e y eller Oxy i ett plan. Vi inför följande beteckningar: R är mängden av alla reela tal, R 2 är mängden av alla reela talpar (x, y) och R 3 är mängden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras av punkterna på en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum. En vektor med beloppet (storlek) kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem är parvis vinkelräta enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller kartesiskt. I ett kartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som där basvektorerna är kartesiska enhetsvektorer u = [x, y, z] = xi + yj + zk, (3) i = e x, j = e y, k = e z i = [, 0, 0], j = [0,, 0], k = [0, 0, ]. (4) Antag att en vektor a= P Q har utgångspunkten P : (x, y, z ) och ändpunkten Q : (x 2, y 2, z 2 ). Då kallas tre talen a = x 2 x, a 2 = y 2 y, a 3 = z 2 z (5) a s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver a = [a, a 2, a 3 ]. 8

9 Vektors längd (storlek) a = a 2 + a a 2 3. (6) Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem och P : [x, y, z ] och Q : [x 2, y 2, z 2 ] två punkter i rummet. Talet P Q = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 kallas avståndet mellan punkterna P och Q i rummet. Exempel Vektorn a= P Q med utgångspunkten P : (4, 0, 2) och ändpunkten Q : (6,, 2) har komponenter a = 6 4 = 2, a 2 = 0 =, a 3 = 2 2 = 0. Då a = [2,, 0] och längden (avståndet mellan punkterna P och Q) a = ( ) = 5. Om man väljer (, 5, 8) som a s utgångspunkt, då,, enligt (5), är motsvarande ändpunkten ( + 2, 5, 8 + 0) = (, 4, 8) Exempel 2 a = [4, 0, ] = 4i + k, b = [2, 5, 3 ] = 2i 5j + 3 k. 3.2 Integraler 3.2. Riemannintegraler Låt xy vara ett kartesiskt koordinatsystem i planet och U = [a, b] ett intervall a x b (integrationsintervallet). Låt x 0, x,..., x n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att Motsvarande m delintervall a = x 0 < x <... x m < x m = b. (7) R i = {x : x i x x i, }. (8) Mängden av R i ger en indelning P av intervallet U: U = R i. Längden av intervallet R i är x i = x i x i, i m. (9) 9

10 Låt P vara det största av talen x i, P = max x i (0) i m eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x) är kontinuerlig i U = {x : a x b}. Välj från varje delintervall R i en punkt x i godtyckligt och sätt R(f, P ) = m f(x i ) x i, () i= som kallas en Riemannsumma. Om f(x i ) 0, då är termen f(x i ) x i arean av ett trapets med basen R i och höjden f(x i ). Riemannintegralen definieras som ett gränsvärde I = b a f(x)dx = lim N P 0 i= f(x i ) x i, (2) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (3) för varje indelning P av integrationsintervallet U och godtyckliga punkter x i R i. Vi antar då att gränsvärdet (2) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ) Dubbelintegraler Låt xyz vara ett kartesiskt koordinatsystem i rummet och U vara ett område i planet xy (integrationsområdet). Vi antar ofta att integrationsområdet begränsas av en enkel sluten kurva C i xy-planet, som inte skär sig själv och genomlöpes precis ett varv i positivt led; dvs, en kurva som kan beskrivas av en rörlig punkt, som rör sig så att den återkommer till stratpukten, utan att någon punkt på kurvan passerats två gånger. Antag först att U = {(x, y) : a x b, c y d} (4) är en rektangel. Låt x 0, x,..., x n och y 0, y,..., y n vara godtyckliga, från varandra skilda punkter sådana att a = x 0 < x <... x m < x m = b, c = y 0 < y <... y n < y n = d. (5) 0

11 Motsvarande mn delrektanglar R ij = {(x, y) : x i x x i, y j y y j }, (6) x i = x i x i, y j = y j y j, i m, j n, (7) ger en indelning P av området U: U = R ij. Arean av rektangeln R ij är A ij = x i y j = (x i x i )(y j y j ). (8) Diametern av rektangeln R ij (längden av dess diagonal) är diam R ij = ( x i ) 2 + ( y j ) 2 = (x i x i ) 2 + (y j y j ) 2 (9) Låt P vara det största av talen diam R ij, P = max diam R ij (20) i m, j n eller en norm av indelningen P. Talet P är indelningens finhet: om P är litet är indelningen fin. Antag att en funktion f(x, y) är kontinuerlig i D och på randen till D. Välj från varje delområde R ij en punkt (x ij, y ij) godtyckligt och sätt R(f, P ) = m n i= j= f(x ij, y ij) A ij, (2) som kallas en Riemannsumma. Om f(x ij, y ij) 0, då är termen f(x ij, y ij) A ij volymen av ett prisma med basen R ij och höjden f(x ij, y ij). Man kan numrera alla R ij och punkter (x ij, y ij) med en index k =, 2,..., N, där N = mn. Dubbelintegralen definieras som ett gränsvärde I = D f(x, y)da = lim N P 0 k= f(x k, y k) A k, da = dxdy, (22) dvs, om det till varje givet tal ɛ > 0 finns ett tal δ = δ(ɛ) > 0 sådant att I R(f, P ) ɛ (23) för varje indelning P av området D och godtyckliga punkter (x ij, y ij) R ij. Vi antar då att gränsvärdet (22) existerar när indelningens finhet går mot 0 (antalet delområden går mot oändligheten, N ).

12 3.3 En kinematisk modell. Antag att vi kastar en boll rakt uppåt med en hastighet v 0. Hur högt kommer bollen? Vi väljer den matematiska modellen att den enda kraft, som verkar på bollen är gravitationen. Bollens hastighet v(t) vid tid t ges då av kinematiska satsen v(t) = v 0 gt, där g är tyngaccelerationen. Tidpunkten t = t då bollen når sin högsta punkt, kan vi bestämma genom att sätta v(t) = 0: v(t) = v 0 gt = 0, t = t = v 0 g. Höjden s vid tiden t får vi genom att integrera s = t 0 v(t)dt = t 0 (v 0 gt)dt = v 0 t 2 gt2. Om t ex starthastigheten är v 0 = 25 m/s (och g = 9.8 m/s 2 ), så får vi 3.4 Tillväxtmodeller t = v 0 g = = 2.55 s, s = v 0 t 2 gt2 = 3.9 m. Låt x 0 beteckna det kapital som sätts in i början på en bank med 5 procent årlig ränta (fast ränta). Vi vill studera hur beloppet ändras från år till år. Uttrycket x n+ x n =.05, x 0 = ett givet tal (24) visar att kapitalet ett år är direkt proportionellt (här med faktorn.05 = ) mot kapitalet året innan. En modifiering av den modellen är att ersätta konstanten a (fast ränta) med r n (variabel, eller rörlig, ränta), x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. (25) Den enklaste versionen av Malthus modell för populationstillväxt bygger på motsvarande antagande för populationens storlek, dvs att antalet individer ett år (i tusental) är direkt proportionellt (med en given faktor a) mot antalet året innan: x n+ x n = a, x 0 = ett givet antal. 2

13 Olika versioner av Malthus modell använder olika a. En modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en variabel storlek r n, x n+ x n = r n x n, x 0 = ett givet antal. 3.5 Populationsutveckling med migration och skuldutveckling Populationsutveckling. Vi har en polulation som uppmätts till x 0 = P 0 = 00 tusen individer och som om ingen in- eller utflyttning sker ökar med a = 0% årligen. Dessutom årligen b i = 8 tusen flyttar in och b u = 0 tusen flyttar ut. Låt x n vara populationens storlek n år efter startåret. Analysera vad händer från ett år, n, till nästa, n +. För differensen x n+ x n gäller dvs vilket kan skrivas x n+ x n = procentuell ökning + inflyttning utflyttning, x 0 = P 0, x n+ x n = ax n + b i b u, n = 0,, 2,..., x 0 = P 0, x n+ = Ax n + b iu, b iu = b i b u, A = a +, eller vilket kan skrivas x 0 = 00, x n+ x n = 0.x n Man kan visa att talföljden x 0 = 00, x n+ =.x n 2, n = 0,, 2,.... x n = 80. n + 20, n = 0,, 2,..., löser det här problemet. 2 Skuldutveckling. Antag att man har lånat x 0 = P 0 = 000 tusen kronor (för husköp) den april 996 och avbetalar b a = 0 tusen kronor varje kvartal. Skulden ökar varje kvartal med årlig ränta r n = 5% Låt x n vara skuldens storlek n kvartaler efter startkvartal (andra kvartalen 996). Analysera vad händer från en kvartal, n, till nästa, n +. För skluden x n+ gäller x n+ = x n + procentuell ökning av skulden avbetalning, 3

14 dvs procentuell ökning av skulden = x n r n, 00 x 0 = P 0, x n+ = a n x n b a, n = 0,, 2,..., N. (26) där N är antalet kvartaler mellan och 0-2-3: 3 i (4 i ) = 23. I fallet av fast (konstant årlig) ränta r n = 4%, har vi 3.6 Laboration a x 0 = 000, x n+ =.0x n 0, n = 0,, 2,..., N. Använd ovanstående modeller och studera i dina egna skuldutvecklingar (också retroaktivt). ii skuldutvecklingen enligt (26) när man lånar P 0 tusen kronor (för husköp eller bilköp) i olika banker och/eller bolag (bilbolag) till olika aktuella rörliga räntor r n. Jämför skuldtillväxt beroende på beloppet av månads- eller kvartalavbetalning b a och antalet N månader eller kvartaler. Rita kurvor som visar skuldtillväxt som funktion av tid (antalet månader eller kvartaler). Använd informationskällor och liknande. iii Redovisa och jämför värdeförändringar i olika aktiebolag och/eller aktiesparfonder under flera år, månader eller dagar. Bearbeta indata och rita trendkurvor. Använd informationskällor ovan. Betrakta aktiefonder, blandfonder, generationsfonder och räntefonder. Använd informationskällor mm. 4

15 Mer information finns på hemsidan och i Fondkatalog. För din premierpension Avancerade Malthus modeller En enkel modifiering av den linjära Malthus modell är att ersätta konstanten a med en avtagande funktion, t ex en linjär funktion a bx, där a 0 och b 0. Man kan betrakta versioner av Malthus modell med flera olika icke-linjära avtagande funktioner f(x) som beskriver olika tillväxtsituatoner när tillväxt x n+ /x n beror på det aktuella antalet individer x n och leder till x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal. Man kan skriva ett program som beräknar beloppet x n för olika avtagande funktioner f(x) och sedan jämföra resultat och anpassa de till ursprungliga (givna) villkor. Figure : Kurvorna visar hur antalet individer x n ändras enligt Malthus modell x n+ = x n (ax n + b), n = 0,, 2,..., 0, x 0 = 00000, från år till år under 0 år med b =.0 och fem olika koefficienter a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = och a = Laboration b Använd ovanstående Malthus modell x n+ x n = f(x n ), x 0 = ett givet antal, f(x) = ax + b, och studera hur antalet individer (population) x n ändras från år till år för vissa olika a : 0.05 a 2 och positiva och negativa b. Anpassa modellen till aktuella populationstillväxt i olika länder. 5

16 Exempel 3 Antag att i ovanstående Malthus modell, a 0 8 och b =.0. Då visar figur hur antalet individer (population) x n ändras från år till år under 0 år med startvärdet x 0 = och fem olika a = 0 8, a = 0, a = 0 8, a = och a = Kurvorna ritade i figur med häjlp av MATLABkod n = 0; b =.0; a = : : ; b, a x = 00000; x2 = 00000; x3 = 00000; x4 = 00000; x5 = 00000; for i = :n ar(i)=i; arlig(i,) = x; arlig(i,2) = x2; arlig(i,3) = x3; arlig(i,4) = x4; arlig(i,5) = x5; x = x.*(a().*x + b); x2 = x2.*(a(2).*x2 + b); x3 = x3.*(a(3).*x3 + b); x4 = x4.*(a(4).*x4 + b); x5 = x5.*(a(5).*x5 + b); end arlig plot(ar, arlig) grid b =.000 a =.0e-006 * arlig =.0e+005 * Modellutveckling: en enkel uppgift Använd Polyas schema för att illustrera modellutveckling:. Förstå problemet: vi kommer att beräkna hur beloppet i banken ändras från år till år vid fast årlig ränta. 2. Ta fram en plan för att lösa det genom att utveckla (i) en matematisk metod: räkna enligt x n+ =.05x n, n = 0,, 2,.... (ii) en algoritm: se ovan, och 6

17 (iii) ett programm som beräknar lösningen: programmera den här formeln med häjlp av en miniräknare. 3. Genomför beräkningar med olika indata: olika tal x 0 och a > och antalet år. 4. Undersök lösningen: rita och analysera kurvan x n beloppet mot n antalet år. 5. Förbättra modellen: antag att varje år, ändrar banken räntan, så att beloppet ökar enligt x n+ = a n x n, n = 0,, 2,... (obunden ränta a n ) istället för x n+ = ax n, n = 0,, 2,... (fast ränta a). 4 Grundbegrepp av numeriska metoder 4. Tal och talrepresentation i datorer Naturliga tal är talen 0,, 2,.... Hela tal är talen 0, ±, ±2,.... Rationella tal kan skrivas på formen r = m, där m och n är hela tal, n 0. (27) n De rationella talen bildar en kropp, som är delkropp till kroppen av de reela talen. I decimalsystemet skrivas ett tal i utvecklad form, t ex = = = = = Decimalutvecklingar av rationella tal är periodiska: = = 0.25, 4 = , 3 9 = I den rationella talmängden finns fyra grundoperationer: addition c = a + b subtraktion c = a b multiplikation c = a b division c = a b, b 0. Till två tal a och b, finns det alltid ett tal, c, som kallas resp. summan, produkten, differensen, och kvoten av a och b. 7

18 Irrationella tal är reela tal som inte är rationella tal. Exempel utgör 2, π och m, där m är ett helt tal sådant att m n 2, n = 0,, Decimalutvecklingar av irrationella tal är operiodiska: 2 = , 4.2 Positionssystem π = I ett positionssystem anges ett tal så att en siffras betydelse beror av dess plats i talbeteckningen. Varje plats (position) har ett bestämt platsvärde, som är en heltalspotens av systemets bas. I decimalsystemet, är basen tio. Ett tal skrivet i decimalsystemet sägs vara skrivet i decimalform. Siffrorna till höger om decimaltecken kallas decimaler. En signifikant siffra (S) av ett tal c (skrivet i decimalform) är varje c s siffra utom nollor till vänster om den första ickenoll siffran: talen , har 4 S. I fix representation används ett givet (fixerat) antal S: (fem S), 0.03 (två S),.0 (två S). I flyttalsrepresentation (floating-point system), fixerar man antalet S och decimaltecken flyttar: Betrakta t ex tre tal med fyra S: = = = 623.8, = = = (3 nollor till höger om decimaltecken) = = 2.000, Tal också skrivas på formen E E-3, E0. där Allmänt kan varje reelt tal a i talsystemet med basen β framställas på formen a = M β e, e ett helt tal. (28) M = ±D 0.D D 2..., 0 D i < β, i = 0,, 2,..., D 0 0, (29) och M kan vara ett tal med oändligt många siffror. Man lagra då talet (i decimalsystemet) a = ±m 0 e, 0. m <, e ett helt tal, 8

19 m = 0.d d 2... d t, d > 0, e < M. m är M avkortat till t siffror. m kallas taldelen (eller mantissan), och e kallas exponentdelen Enligt IEEE Standard ( single precision ), 38 < e < Avrundning och avhuggning Avrundning av decimala tal till t decimaler. Exempel 4. Avrundning till t = 2 decimaler:.2535 avrundas till.25. Den del av talet.2535 som står i positioner till höger om andra decimalen är och det är mindre än t med t = 2: < = ; då förändras andra decimalen 5 inte och till t = 4 decimaler till t = 2 decimaler till t = decimal; den första decimalen 2 är jämn till t = 3 decimaler; den 3:e decimalen 3 är udda , till t = decimal. Av avrundningsregler följer att felet vid avrundning till t decimaler är mindre än eller lika med t. Vid avhuggning stryks alla siffror till höger om t:e decimalen. Exempel 5. Avhuggning till t = 2 decimaler:.2535 avhuggs till avhuggs till avhuggs till.99.. Avhuggning till t = 4 decimaler: avhuggs till avhuggs till Felet vid avhuggning till t decimaler är mindre än eller lika med 0 t och är systematiskt: det avkortade värdet är alltid mindre än det oavkortade värdet. 4.4 Absolut och relativ fel Låt a beteckna ett exakt värde och ã ett närmevärde till ett tal a, t ex a = 2, ã =.44 4S, 9

20 Vi inför följande definitioner a = π, ã = S. Absolut fel i ã : ɛ = a = a ã; då a = ã + ɛ Exempel 6 Om ã = 0.5 är närmevärdet till talet a = 0.2, är absoluta felet ɛ = 0.3. Relativt fel i ã : ɛ r = a a = ɛ a = a ã a = Fel exakt värde (a 0). ɛ r ɛ ã. I exemplet ovan har vi ɛ = a ã = 2.44 = ; ɛ r = ɛ a = ɛ = a ã = π 3.45 = ; ɛ r = ɛ a = π En approximation ã sägs ha n korrekta decimaler (KD) om a = ã a n (dvs approximationen har ett fel mindre än eller lika med en halv enhet i n:te decimalen). Som mått på relativ nogrannhet använder man ofta talets värdesiffror (antalet korrekta siffror som inleder approximationen; inledande nollor medräknas då inte). 4.5 Felgränser Felgräns β a i absolut fel : ɛ β a då a ã β. Felgräns β r i relativt fel : ɛ r β r då a ã a β r. 20

21 Exempel 7 approximation med felgräns KD värdesiffror 3.42± ±0.5E ± Ackumulerade fel Vi ska formulera en sats som ger felgränser i addition och multiplikation (se THEOREM 7.., E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM)): I addition, S = a + a 2, och subtraktion, D = a a 2, kan felgränsen (ɛ) upskattas ɛ β + β 2. där β i, i =, 2, är a is felgränser i absolut fel. I multiplikation, M = a a 2, och division, Di = a /a 2 (a 2 0), kan felgränserna ɛ r upskattas approximativt ɛ r β r + β r2. där β ri, i =, 2, är a is felgränser i relativt fel. 4.7 Kancellation: förlusten av signifikanta siffror Om vi skall använda närmevärden i beräkningar, är det viktigt att informationen inte i onödan går förlorad. Exempel 8 Närmevärdena har båda 7 S (6 KD). Differensen x = ± , x 2 = ± , (30) y = x x 2 = ± 0 6 (3) har bara två S eftersom < 0 6 < Vi har kancellation av fyra S. Exempel 9 2

22 Andragradsekvationen har lösningen x 2 8x + = 0 (32) x = 9 ± 8 = 9 ± 80. (33) Om ± ges med fyra KD, får vi x = ± = ± , x 2 = ± = ± (34) Det första närmevädret har 6 S, medan det andra har tre S. Kancellationen undviks om man beräknar x 2 enligt x 2 = 9 80 = (9 80)(9 + 80) = = ± , (35) och = (36) (resultatet avrundas till 7 decimaler). För divisionen y = p /p 2, uppskattas felgränsen i relativt fel y y p + p 2. (37) p I (37), p =, p 2 = , p = 0, p 2 = , y = , och relativa felet i närmevärdet till x 2 = y uppskattas enligt (37) med p 2 p 2 = p 2 < = (38) Det absoluta felet i närmevärdet till x 2 = y = blir då mindre än < < = < (39) Felet vid avrundning till 7 decimaler < Det totala felet uppskatas med = , och resultatet har 6 KD och 5 S. Exempel 0 Beräkna x 2 = ± (40) f(x) = x[ x + x] (4) 22

23 för växande x med 6S: x beräknad f(x) exakt f(x) I 6S beräkningar, får vi, när x = 00, 00 = , 0 = (42) Det första värdet är exakt, och det andra värdet är den rätta 6S-avrundningen. Vidare x + x = 0 00 = (43) Det exakta värdet är (avrundat till 6S). Beräkningar i (43) har förlusten av signifikanta siffror (a loss-of-significance error): subtraktion av x = 00 eliminerar de tre signifikanta siffrorna i x + = 0. Skriv (4) på formen x + x f(x) = x x + + x x + + x = x x + + x (44) I (44), förlörar man inte signifikanta siffror eftersom man subtraherar inte. 6S beräkningar i (44) med avrundning ger f(00) = , (45) och (45) är rätta resultatet avrundat till 5 (korrekta) decimaler (6S). 4.8 Binära systemet I decimalsystemet (som har basen 0 och man kan använda 0 siffror 0,,..., 9), skrivas ett tal, t ex, , i utvecklad form (46) 23

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856. Karlstads Universitet Numeriska metoder Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2002 1 Innehåll 1 Grundbegrepp av numeriska

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2

Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Välkomna till Numme och MATLAB, 9 hp, för Materialdesign och Energi&Miljö, årskurs 2 Kursen avses ge dig kunskap om numeriska metoder, hur man kan använda dessa genom elementär programmering i MATLAB samt

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

7 november 2014 Sida 1 / 21

7 november 2014 Sida 1 / 21 TANA09 Föreläsning 2 Talrepresentation i datorer. Flyttalssystem. Datoraritmetik och Beräkningsfel. Beräkningsfelsanalys och Kancellation. Serier och Resttermsuppskattningar. Tillämpning - Beräkning av

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Varning!!! Varning!!!

Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H04 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation

Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation Linköpings Universitet Kompletterande material Matematiska institutionen/beräkningsmatematik 5 februari 203 Ingegerd Skoglund IT Termin 6 Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar Beräkningsfelsanalys

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Kapitel Ekvationsräkning

Kapitel Ekvationsräkning Kapitel Ekvationsräkning Din grafiska räknare kan lösa följande tre typer av beräkningar: Linjära ekvationer med två till sex okända variabler Högregradsekvationer (kvadratiska, tredjegrads) Lösningsräkning

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/ Nästan vanliga tal 1. Beräkna1 2+3 4+5 2000+2001 Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) +... + ( 2000 + 2001) = 1+ 142 +... 43 + 1 = 1001 2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/10000001 1000 gnr Lösning.

Läs mer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 1: Avrundning och populationsmodellering

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 1: Avrundning och populationsmodellering Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 1: Avrundning och populationsmodellering Eddie Wadbro 5 november 2014 Eddie Wadbro, Tema 1: Avrundning och populationsmodellering, 5 november 2014 (1 : 21) Innehåll Datoraritmetik

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer