TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor."

Transkript

1 TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning - Matematisk typografi. Definition En funktion s(x) är en kubisk spline med noder x,..., x n om. s(x), s (x), och s (x) är kontinuerliga på [x, x n ].. s(x) ges av ett tredjegrads polynom på varje delintervall [x i, x i+ ]. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9 B-Splines Lemma Mängden kubiska splines S, med noder x,..., x n, utgör ett linjärt rum av dimension n+. Hittar vi n + linjärt oberoende kubiska spline funktioner har vi en bas för rummet. Hur skall en lämplig uppsättning basfunktioner väljas? Man kan på liknande sätt bilda rum av linjära eller kvadratiska splines men det används nästan aldrig. Sats Låt x,..., x n vara givna noder. Till varje intervall [x i, x i+4 ] finns en kubisk spline funktion B i (x) med egenskaperna. B i (x) = 0 för x x i och x x i+4.. B i (x i+ ) = B i (x i+ ) = /6 och B i (x i+ ) = /. Denna funktion kallas för kubiska B-spline. Sats Låt x, x,..., x n+, x n+ vara noder. Kubiska B-splines {B i (x)} n bildar en bas för rummet S och n i= i= B i (x) =, x < x < x n. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9

2 x x x 0 x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Exempel Låt B(x) vara den naturliga kubiska spline funktion som interpolerar tabellen, x B(x) 0 /6 / /6 0 Om noderna x,..., x n+ är ekvidistanta, med steglängd h=x x, så gäller att B i (x) = B((x x i )/h). 4 december 07 Sida 5 / 9 Alla B-spline basfunktioner som behövs för intervallet x < x < x 5. Totalt 7 basfunktioner behövs för att beskriva rummet S. Vi har alltså S = span(b (x), B (x),..., B 4 (x)). 4 december 07 Sida 6 / 9 Minsta Kvadrat Anpassning med Splines Exempel Vi vill studera koncentrationen av ett visst kemiskt ämne i ett vattendrag. Vi har därför placerat ut ett instrument som mäter koncentrationen fyra gånger dagligen, under 00 dagar. Vi är intresserade av att behandla den uppmätta signalen teoretiskt, exempelvis vill vi kunna beräkna derivator vid olika tid punkter. Mätningarna innehåller även en del slumpmässiga mätfel. Dessa vill vi i möjligaste mån eliminera. Vi väljer ett grovt grid x < x < < x N+ sådant att x = 0 och x N = 00. Antalet grid punkter bestämmer hur mycket detaljer spline approximationen kommer att innehålla. Ansats F(t) s(x) = N i= c i B i (x). Koncentration [g/m ] Tid [dag] Vi väljer nu ett fint grid 0=x <x <...<x <x n =00, som svarar mot mätningarna, dvs F i = F(x i ) är kända. Formulera problemet att bestämma koefficienterna c som ett överbestämt ekvationssystem Ac = F. 4 december 07 Sida 7 / 9 4 december 07 Sida 8 / 9

3 Koncentration [g/m ] Tid [dag] Koncentration [g/m ] Tid [dag] Resultatet med steglängd h = 5 dagar, eller B-spline basfunktioner. Approximationen är bra förutom nära de två spikarna! Utöka med ett par extra basfunktioner med h = nära spikarna. 4 december 07 Sida 9 / 9 Approximation med totalt 9 basfunktioner. Förutom de funktionerna med h = 5 används basfunktioner med h = nära varje spik. Mycket flexibelt sätt att approximera en vektor innehållande mätvärden med en deriverbar funktion. Styckvis polynom gör det enkelt att beräkna derivator eller integraler. 4 december 07 Sida 0 / 9 Ett enkelt Ritprogram Parametriska kurvor De flesta ritprogram, exempelvis xfig, innehåller en funktion där vi ritar krökta linjer genom att klicka på ett antal punkter. Definition En parametrisk kurva i planet ges av s(t) = (x(t), y(t)) Ț a < t < b. Varje kurva i planet beskrivs alltså av två funktioner x(t) och y(t). För en kurva i R tillkommer en tredje funktion z(t). Detta är inte en funktions kurva y = f(x). Hur skall vi göra istället? 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9

4 Exempel Vi vill att en kurva s(t) skall interpolera ett antal givna punkter. P 4 = (x 4, y 4 ) T Välj ett parameter interval a = t t t 4 = b och bestäm två kubiska spline funktioner som interpolerar tabellerna t t t t t 4 x(t) x x x x 4 P = (x, y ) T P = (x, y ) T P = (x, y ) T och t t t t t 4 y(t) y y y y 4 Kurvan s(t) skall interpolera punkterna P, P, P, och P 4. Då gäller s(t i ) = (x(t i ), y(t i )) T = (x i, y i ) T = P i. Kurvan s(t), a t b, interpolerar de givna punkterna. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9 Givet vektorer t, x, och y skriver vi Exempel Hitta en kurva som interpolerar punkterna använd naturliga ändpunktsvillkor. t 0 5 x(t) y(t) I MATLAB kanginput() användas för att klicka ut punkter och enkelt skapa tabellen. >> px = csape(t,x, variational ); >> py = csape(t,y, variational ); >> tt=0:0.:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); Resultatet blir en kurva som interpolerar tabellen december 07 Sida 5 / 9 4 december 07 Sida 6 / 9

5 Inverkan av ändpunktsvillkoren Givet vektorer t, x, och y skriver vi nu Definition Kurvans tangent i punkten s(t) är s (t) = (x (t), y (t)) T. >> px = csape(t,x, complete,[ -]); >> py = csape(t,y, complete,[- ]); >> tt=0:0.:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); 8 7 Kurvans tangent visar kurvans riktning i en viss punkt. Exempel Använd samma tabell som tidigare men välj s (0) = (, ) T, och s (5) = (, ) T. Vad händer? december 07 Sida 7 / 9 Kurvans tangent riktning ändras i ändpunkterna! 4 december 07 Sida 8 / 9 Beziér kurvor Definition En Beziér kurva (eller yta) bestäms av ett antal styrpunkter. Kubiska Beziér kurvor En kubisk Beziér kurva ges av fyra styrpunkter. P P Exempel P 4 P P P P P P Kurvan ges av uttrycket s(t) = ( t) P + ( t) tp + ( t)t P + t P 4. En linjär Beziér kurva bestäms av två styr punkter. En kvadratisk kurva bestäms av tre punkter. Beziér kurvor är approximerande splines. 4 december 07 Sida 9 / 9 Lemma En kubisk Beziér kurva s(x) interpolerar den första och sista styrpunkten. Alltså gäller s(0) = P och s() = P 4. 4 december 07 Sida 0 / 9

6 Definition Det konvexa höljet som bildas av punkterna {P i } n i= är alla punkter som kan skrivas som konvexa linjär kombinationer av punkterna {P i } n i=. Exempel Vad blir det konvexa höljet av punkterna ( ) ( ) ( 0 P =, P 0 =, och P = ). Sats En Beziér kurva ligger helt inom det konvexa höljet som bildas av dess styrpunkter. Sats För en Beziér kurva med styr punkter {P i } n i= gäller att kurvans tangent i start, respektive slutpunkt, ges av s (0) = α(p P ), och s () = α(p n P n ), där α > 0. Vi kan allstå enkelt styra kurvans lutning i ändpunkterna. P P P P 4 P 5 P 6 Två kubiska Beziér kurvor som ges av styrpunkter {P, P, P, P 4 } respektive {P 4, P 5, P 6, P 7 }. Interpolationspunkten P 4 är gemensam. P 7 Villkoret P 4 P =P 5 P 4 ger kontinuerlig tangent. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9 Vektoriserade Fonter För att ett dokument skall kunna tryckas på olika skrivare med varierande upplösning måste vi kunna generera bitmap bilder som representerar bokstäver i olika upplösning. Exempel För att representera bokstaven e inför vi ett antal styrpunkter på kurvan Exempel Tre bokstäver från Computer Modern Hur skall bokstävernas form representeras? Välj först ett par interpolationspunkter och sedan extra styrpunkter. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9

7 Välj först interpolationspunkterna och plotta linjestycket. >> P=[ ]; >> plot( P(,:),P(,:) Vi väljer sedan styrpunkter >> C = [ ] ]; och kan exempelvis rita en streckad linje mellan interpolationspunkt P och styrpunkt C med >> plot([p(,),c(,)],[p(,),c(,)], r-- ) Slutresultatet med eller utan styrpunkterna utritade Totalt behövs Linjestycken och Beziér kurvor för att beskriva bokstaven. Font paket är inte särskilt stora. 4 december 07 Sida 5 / 9 4 december 07 Sida 6 / 9 Beziérytor Inför interpolationspunkter P, P och P samt styrpunkter C, C och C..5 En kvadratisk yta ges av uttrycket s(x, y) = P x + P y + P ( x y) + C xy+ C x( x y)+c y( x y), 0.5 där 0 x, 0 < y och x+y. 0 Välj interpolations- och styrpunkter Rita sedan upp ytan. P=[0 0 0 ; 0 5 ; 7 ] ; C=[0 ; 4 ; 5 4 ] ; Styrpunkerna ligger högre (i z-koordinat) än interpolationspunkerna vilket ger ytan en krökning. 4 december 07 Sida 7 / 9 4 december 07 Sida 8 / 9

8 Sammanfattning Mängden spline funktioner med givna noder är ett linjärt rum. Finns olika basfunktioner (exempelvis B-splines). Kan göra minsta kvadrat anpassningar. Splinefunktioner kan användas för att beskriva parametriska kurvor i planet eller rummet. Vanligt i ritprogram. Standard metoden att beskriva mera komplicerade kurvor och ytor är att använda Beziér kurvor. Definition av vektoriserade fonter använder Beziér kurvor. 4 december 07 Sida 9 / 9

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Projekt 3. Beskrivning av geometri med Beziérkurvor 1 Introduktion Inom design har man behov av effektiva sätt att beskriva kurvor och ytor med matematiska funktioner

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:

Läs mer

TANA19 NUMERISKA METODER

TANA19 NUMERISKA METODER HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 3. Interpolation Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur

Läs mer

Föreläsning 5. Approximationsteori

Föreläsning 5. Approximationsteori Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr

Läs mer

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation

Läs mer

Kurvor och ytor. Gustav Taxén

Kurvor och ytor. Gustav Taxén Kurvor och ytor Gustav Taxén gustavt@csc.kth.se 2D1640 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 2007 Kurvor och ytor Explicit form Implicit form Parametrisk form Procedurbaserade Polynom Catmull-Clark Kubiska

Läs mer

15 februari 2016 Sida 1 / 32

15 februari 2016 Sida 1 / 32 TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN2 09-02-10 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se! Repetition av FN2! Felkalkyl (GNM kap 2)! Olinjära ekvationer (GNM kap 3)! Linjära

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper.

3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. Vetenskapliga beräkningar III 34 3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. I nedanstående tabell anges egenskaperna för några av de vanligaste ortogonala polynomen. Polynomen är normerade så,

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Sammanfattning (Nummedelen)

Sammanfattning (Nummedelen) DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

Polynomanpassning i MATLAB

Polynomanpassning i MATLAB Polynomanpassning i MATLAB Funktionsanropet c=polyfit(x,y,n) ger koefficiemterna i ett n:e-gradspolynom som anpassar sig till y-värdena för x-värdena med lämplig metod. I tredje föreläsningens exempel

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 20 Mars, 2015 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys, Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58 Interpolation För i tiden gällde räknesticka och tabeller. Beräkna 1.244 givet en tabel över y = t, y-värdena är givna med fem siffror, och t = 0,0.01,0.02,...,9.99,10.00.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Parametriserade kurvor

Parametriserade kurvor CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs

Läs mer

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Partiella differentialekvationer av första ordningen Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,

Läs mer

% Föreläsning 3 10/2. clear hold off. % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y

% Föreläsning 3 10/2. clear hold off. % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y % Föreläsning 3 10/2 clear % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y % Åter till ekvationssystemen som vi avslutade föreläsning 1 med. % Uppgift 1.3 i övningsboken: A1=[ 1-2 1 ; 2-6 6 ;

Läs mer

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-03-18 Del A 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen z (t) = f(t, z), där z(t) = x(t) y(t) u(t) v(t), f(t, z) = u(t) v(t) kx(t)/ ( x2 (t)

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION MVE0-0/0 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära ekvationssystem Redan i första läsperioden löste vi linjära ekvationssystem Ax = b med Matlab. Vi satte ihop koefficentmatrisen A med

Läs mer

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall

Läs mer

Minsta-kvadratmetoden

Minsta-kvadratmetoden CTH/GU STUDIO b TMV036c - 01/013 Matematiska vetenskaper Minsta-kvadratmetoden Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Ett ofta förekommande problem inom teknik och vetenskap är att koppla

Läs mer

TMA226 datorlaboration

TMA226 datorlaboration TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,

Läs mer

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu TANA21/22 HT2018 Fö4: Kondition och approximation Andrea Alessandro Ruggiu Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September 2018 1 Konditionstal Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September

Läs mer

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )( Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Del A 1. (a) För att anpassa ett polynom som går genom tre punkter behövs ett andragradspolynom. Newtons interpolationsansats ger f(x)

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h

f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2

DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2 DATORLABORATION FÖR KURSEN ENVARIABELANALYS 2 1. Laborationsregler Läs detta dokument, lös uppgifterna i slutet, och lämna in en individuell laborationsrapport senast måndag 14 januari i pdf-format via

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

OH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0

OH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0 OH till Föreläsning 5, Numme K2, 181119 S Ch 3-34, GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 3822 1910 3982 1920 4281 1930 4302 1940 4042 1950 3922 1960 3921 1970 3940 1980 3960 1990 3980

Läs mer

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

At=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor

At=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor % Föreläsning 1 26/1 % Kommentarer efter %-tecken clear % Vi nollställer allting 1/2+1/3 % Matlab räknar numeriskt. Observera punkten som decimaltecken. sym(1/2+1/3) % Nu blev det symboliskt pi % Vissa

Läs mer

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel Ivar Gustavsson / Jan Södersten Matematiska vetenskaper Göteborg 6 november 9 Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 67, Extraexempel (M) efter uppgiftsnumret anger att MATLAB lämpligen används för att

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

HANDLEDNING TILL LABORATION I GEOMETRI

HANDLEDNING TILL LABORATION I GEOMETRI HANDLEDNING TILL LABORATION I GEOMETRI NIELS CHR. OVERGAARD 1. Inledning Denna laboration består av två delar, en om interpolationstekniker och en annan om bézierritning (som man kan kalla en designteknik).

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering KTH Matematik Tentamen del SF5, 28-3-6, kl 8.-., Numeriska metoder och grundläggande programmering Namn:... Personnummer:... Program och årskurs:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången HT7-VT8

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 11-12 Institutionen för matematik KTH 21-23 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden

x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden 24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,

Läs mer

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 218-5-28, kl 8-11 SF1547 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F

Tentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 21:a April klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.

Läs mer

Oändligtdimensionella vektorrum

Oändligtdimensionella vektorrum Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.

Läs mer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer

Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system

Läs mer

Optimering med bivillkor

Optimering med bivillkor Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =

Läs mer

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen

Läs mer

OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation

OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation OH till Föreläsning 5, Numme K, 14101 GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 8 1910 98 190 481 190 40 1940 404 1950 9 1960 91 1970 940 1980 960 1990 980 Läsa mellan raderna 1900 190 1940

Läs mer

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1. Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x

Läs mer

Mer om generaliserad integral

Mer om generaliserad integral Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

9.3. Egenvärdesproblem

9.3. Egenvärdesproblem 9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.

Läs mer

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen

Läs mer

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts. 5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering Föreläsning 5 Metoder för problem utan bivillkor, forts. A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 5 5B1817 2006/2007 Lösningar För en given metod blir en lösning den bästa

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Tillämpning: Bildinterpolation. Ekvationslösning. Integraler. Tillämpning: En båt. Räkning med polynom. Projekt. Tentamensinformation.

Tillämpning: Bildinterpolation. Ekvationslösning. Integraler. Tillämpning: En båt. Räkning med polynom. Projekt. Tentamensinformation. TAIU07 Föreläsning 6 Tillämpning: Bildinterpolation. Ekvationslösning. Integraler. Tillämpning: En båt. Räkning med polynom. Projekt. Tentamensinformation. 22 februari 2016 Sida 1 / 28 Interpolation i

Läs mer