Teori- och räkneuppgifter

Transkript

1 Teori- och räkneuppgifter Version December Fel- och störningsanalys 11 Värdet på x är uppmätt till 0956 med ett absolutfel på högst Ge en öre gräns för absolutfelet i y exp(x + x Motiera saret 1 Ekationen log(x x/50 0 löstes med Newtons metod och abrottskriteriet log(x n x n /50 < Resultatet ble x n Ge en öre gräns för absolutfelet i x n (jämfört med den exakta roten Motiera saret 13 Ett komplicerat problem med indata a b och c löses och ger resultatet y Indata har felgränserna a ± 001 b ± 00 och c ± 0005 Hur kan man med experimentell störningsräkning skatta felet i y? 14 Ett ljus placeras 0750 ± 0001 meter från en skärm En lins hålls mellan ljuset och skärmen Man hittar tå punkter där linsen ger en skarp bild a ljuset på skärmen Punkterna ligger 05 ± 000 meter från arandra Bestäm linsens brännidd f med felgräns E f Ledning: Linsformeln 1 f 1 a + 1 b relaterar brännidden f med ljusets astånd a till linsen och skärmens astånd b till linsen när bilden är fokuserad 15 Konditionstalet för ett problem ligger på Hur många korrekta siffror måste indata ha för att lösningen med säkerhet ska få sex siffrors noggrannhet? 16 Ett ekationssystem Ax b har lösts med dator Vi et att komponenterna i b är uppmätta ärden med osäkerheter ±10 3 Förutom lösningen x har följande maximumnormer beräknats: x 15 A 5 A b 15 Härled en skattning a osäkerheten i lösningen 17 Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen /k k Beräkna konditionstalen för matriserna ( ( ( Olinjära ekationer 1 Ekationen x 5 x+1 har en rot mellan 1 och och löses med interallhaleringsmetoden (bisection method Beskri metoden Hur många interallhaleringar behös för att bestämma roten med ett fel som är mindre än 10 6? 1 (7

2 Ekationen cos(x x 0 har en rot nära 085 Formulera ekationen som ett fixpunktproblem och undersök om motsarande fixpunktiteration kan konergera mot roten 3 Vad kräs för att iterationen y n+1 g(y n n 01 med y 0 gien skall konergera mot en rot y g(y? Motiera saret genom att betrakta felet e n : y n y och tayloruteckla g(y runt y 4 Vad menas med att fixpunktiteration har linjär konergens? Beskri i ord och formler När kan konergensen bli bättre och sämre? 5 Vad menas med att Newtons metod har kadratisk konergens? Beskri i ord och formler När kan konergensen bli sämre? 6 Beskri detaljerat Newtons metod för lösning a ett ickelinjärt ekationssystem 7 Beskri sekantmetoden för en skalär ekation Hur många startärden kräs? Hur många funktionsberäkningar kräs i arje iterationssteg? Ange en nackdel och en fördel hos sekantmetoden i jämförelse med Newtons metod 8 För en iterati metod uppskattas felen e n i iterationerna till e e e e Vilken konergensordning motsarar detta troligen? (7 3 Linjära ekationssystem 31 Hur definieras maxnormen a en matris? Beräkna maxnormen för matriserna Antag att AB R n n och xb R n Vad är beräkningskostnaden i termer a n för att (a beräkna ektorn Ax (b lösa Ax b om A är en full matris (c lösa Ax b om A är en triangulär matris (d lösa Ax b om A är en tridiagonal matris (e beräkna matrisen AB (både A och B fulla matriser (f beräkna ektorn ABx (både A och B fulla matriser 33 Om ett ekationssystem med fylld systemmatris och 17 obekanta tar 17 millisekunder att lösa hur lång tid ungefär tar det att lösa ett liknande system med 340 obekanta? 34 Om lösningen (med en effekti algoritm a ett tridiagonalt system med 500 obekanta tar 01 sek hur lång tid tar en effekti lösning a ett tridiagonalt system med obekanta? Man kan undika att lagra hela matrisen hur mycket inner man i lagringsutrymme i det stora systemet oan? 35 Om lösningen (med en effekti algoritm a ett triangulärt system med 1000 obekanta tar 1 sek hur lång tid tar det att lösa ett triangulärt system med 5000 obekanta? 36 Vad menas med piotering id lösning a linjära ekationsystem? Varför anänds det?

3 37 Betrakta den iteratia metoden Px n+1 Bx n + b för att lösa ekationssystemet Ax b (där alltså A P B Vad kräs a P och B för att metoden ska konergera och inte ha alltför hög beräkningskostand? Jacobis metod kan skrias på den här formen med ett speciellt al a P Vilket? 38 Vad är LU-faktoriseringen a en matris A? Antag att i redan har A-matrisens LUfaktorisering Visa hur man då löser Ax b Vad blir beräkningskostnaden? 39 Hur kan man med hjälp a LU-faktorisering effektiisera problemet att lösa Ax b k för äldigt många högerled b k (men hela tiden samma A? 310 Ge ett tillräckligt illkor på matrisen A för att Jacobis och Gauss Seidels (iteratia metoder ska konergera när man ill lösa Ax b 311 Härled beräkningskostnaden i termer a n (ds komplexiteten för att LU-faktorisera en full matris A R n n 31 Antag att A R n n är en öertriangulär matris Härled beräkningskostnaden i termer a n (ds komplexiteten för att lösa Ax b med bakåtsubstitution 313 Antag att A R n n är en tridiagonal matris Härled beräkningskostnaden i termer a n (ds komplexiteten för att lösa Ax b med en effekti algoritm som tar hänsyn till matrisens gleshet 314 Antag att AB R n n är tå fulla matriser Härled beräkningskostnaden i termer a n (ds komplexiteten för anlig matris-matrismultiplikation ds för att beräkna C AB 4 Egenärden 41 Beskri potensmetoden (power method för egenärdesberäkningar Vilka egenärden kan man räkna ut med denna metod? 4 Beskri inersa potensmetoden (inerse power method för egenärdesberäkningar Vilka egenärden kan man räkna ut med denna metod? 5 Approximationsteori 51 Vi ill anända ett polynom för att interpolera ärdena y 1 y 4 i x-koordinaterna x 1 x 4 Vilket gradtal kommer polynomet i allmänhet ha? Visa att polynomets koefficienter kan beräknas genom att lösa ett linjärt ekationssystem 5 Vi ill att polynomet p(x ska interpolera ärdena id x Ställ upp ett linjärt ekationssystem för koefficienterna till p(x där du specificerar elementen i systemmatrisen och i högerledet 53 Varför bör man undika interpolation med polynom a högt gradtal och ekidistanta interpolationspunkter? Vad är bättre alternati? 54 Vad är noggrannhetsordningen för styckis linjär interpolation? Det ill säga hur beror (det punktisa felet på aståndet h mellan noderna? 55 Vad är kubiska splines? 56 Bestäm minstakadratlösningen till c 1 c c c 1 + c 1 Vad är det som minimeras? Vad menas med normalekationerna? 3 (7

4 57 Minstakadratanpassning till modellen y a cos(x+b cos(x görs till gina mätdata y 1 y 5 id x-ärdena π/ π/4 0 π/4 π/ Hur ser ekationssystemet för de obekanta a b ut? Vad kallas dessa ekationer? 58 Antag att f C ([ab] Härled följande feluppskattning för linjär interpolation p lin (x a f i x ab max f(x p lin(x 1 a x b 8 h max f (ξ ξ [ab] där h b a (Du får anända resultatet i Sats 34 i Sauer Hur ser motsarande feluppskattning ut för styckis linjär interpolation i noderna x j jh j 0 n? 59 Vi söker det tredjegradspolynom p(x som interpolerar f(x sin(x i x 0 och x π/ och som äen har samma deriata som f i dessa punkter f (0 p (0 och f (π/ p (π/ Specificera det linjära ekationsystem för koefficienterna i p(x som behöer lösas (Denna typ a interpolation kallas Hermiteinterpolation 510 Giet följande tabell öer tan(x i interallet [01]: x tan(x x tan(x (a Beräkna tan(037 med hjälp a styckis linjär interpolation i tabellen (b Uppskatta felet i det beräknade ärdet i (a (c Lös ekationen tan(x 13 med hjälp a styckis linjär interpolation (d Uppskatta felet i din lösningen i (c (e I tabellen har i 10 delinterall Hur många delinterall behös för att alla ärden beräknade med styckis linjär interpolation ska ha tå korrekta decimaler (Du kan bortse från arundningsfelen i denna fråga 4 (7 6 Numerisk deriering och integration 61 Vad menas med noggrannhetsordningen för en numerisk metod tex för att beräkna integraler? 6 Deriatan a en funktion kan approximeras med framåt- respektie centraldifferenskot Härled noggrannhetsordningen i båda fallen med hjälp a tayloruteckling 63 Beskri (sammansatta trapetsregeln för integralberäkning Vilken noggrannhetsordning har metoden? 64 Beskri (sammansatta Simpsons formel för integralberäkning Vilken noggrannhetsordning har metoden? 65 En integral approximeras med en numerisk metod När man anänder delinterall med längderna 04 0 och 01 får man felen och Vilken noggrannhetsordning har metoden? Motiera! 66 Hur skattar man felet och noggrannhetsordningen id integralberäkning med trapetsregeln med hjälp a beräkningar med olika antal delinterall? 67 En integral approximeras med en numerisk metod När man anänder delinterall med längderna och 015 får man följande approximationer a den exakta integralen: och Vilken noggrannhetsordning har troligen metoden? Motiera!

5 7 Ordinära differentialekationer 71 Skri differentialekationen som ett första ordningens system 7 Betrakta differentialekationerna d ( x dy dt y x + dt y t y + y / + y /(1 + t 1 0 y(0 y 0 y (0 y 1 y (0 y d y dt x y + x(0 x 0 x (0 x 1 y(0 y 0 y (0 y 1 ( dx + sin(t dt (a Skri differentialekationerna som ett första ordningens system (b Inför lämplig notation och formulera metoden Framåt Euler för systemet Definiera alla ingående ariabler 73 Förklara följande begrepp som karaktäriserar en numerisk metod för begynnelseärdesproblem Exemplifiera dem för Framåt Euler (a Lokalt trunkationsfel (b Globalt fel (c Noggrannhetsordning (d "metoden är konergent" (e "metoden är konsistent" 74 Beräkna lokala trunkationsfelet för Framåt Euler Vad är noggrannhetsordningen? u n+1 u n + hf(t n u n 75 Beräkna lokala trunkationsfelet för Bakåt Euler Vad är noggrannhetsordningen? u n+1 u n + hf(t n+1 u n+1 76 Beräkna lokala trunkationsfelet för Trapetsregeln Vad är noggrannhetsordningen? 77 Giet metoden u n+1 u n + h f(t nu n + f(t n+1 u n+1 u n+1 u n + hαf(t n u n + hβf(t n+1 u n+1 För ilka ärden på α och β är metoden a ej konsistent b första ordningens noggrann c andra ordningens noggrann? 78 Vad är stabilitetsområdet för en numerisk ODE-metod? Hur definieras det? Varför är det intressant? 79 Härled stabilitetsområdet för Framåt Euler 5 (7

6 710 Vad menas med att en numerisk ODE-metod för begynnelseärdesproblem är explicit respektie implicit? Är Trapetsregeln explicit eller implicit? u n+1 u n + h f(t nu n + f(t n+1 u n Vad menas med en sty differentialekation? Vilka problem medför en sty differentialekation för explicita metoder? 71 För ilka ärden på steglängden h är Framåt Euler absolutstabil när den tillämpas på differentialekationerna (a (b (c (d (e (f y 10y y 10 + sin(t y (sin(t 5y ( ( u ( u ( ( ( u ( u ( u ( u 713 För ilka ärden på steglängden h är Bakåt Euler absolutstabil när den tillämpas på differentialekationerna i uppgift 71? 714 Betrakta Runge Kutta ("explicita trapetsregeln" u n+1 u n + h f(t nu n + f(t n+1 u n + hf(t n u n (a Beräkna lokala trunkationsfelet Vad är noggrannhetsordningen? (b Ge ett uttryck som beskrier metodens stabilitetsområde (c För ilka steglängder är metoden absolutstabil när den tillämpas på differentialekationen ( ( u ( u 715 Ge ett uttryck som beskrier stabilitetsområde för trapetsregeln u n+1 u n + h f(t nu n + f(t n+1 u n+1 6 (7

7 8 Randärdesproblem 81 Vad är skillnaden mellan ett begynnelseärdesproblem och ett randärdesproblem? 8 Vi ill lösa det linjära randärdesproblemet med finita differenser u xx + 4u x u f(x u(0 (1 0 (a Hur diskretiserar man ekationen och approximerar den med ett linjärt ekationssystem Au f? (b Hur ser matrisen A ut? Hur kan man lösa ekationssystemet effektit? (c Vad blir noggrannhetsordningen? 83 Vi ill lösa det olinjära randärdesproblemet med finita differenser u xx + a(xu x f(u u(0 (1 0 (a Hur diskretiserar man ekationen och approximerar den med ett olinjärt ekationssystem F(u 0? (b Hur ser funktionen F och dess jakobian ut? Hur kan man lösa ekationssystemet? 84 Betrakta randärdesproblemet för funktionen u(x u xx + xu x + 3(1 x u sin(πx 1 < x < 3 u(1 0 u(3 1 (a Formulera finita differensmetoden för att lösa detta problem Visa hur metoden leder till ett linjärt ekationssystem Au b Specificera elementen i A-matrisen högerledet b och lösningsektorn u (b Utnyttja approximationen u x (x 3u(x + 4u(x + h u(x + h h + O(h och isa hur finita differensmetoden och ekationssystemet ändras när man istället för u(1 0 har randillkoret u(1 + u x (1 0 7 (7