Från förra gången: Newton-Raphsons metod

Transkript

1 Från förra gången: Newton-Raphsons metod Idé: För att hitta en rot till f(x)=0 utgår man från en första Approximation x 0 och använder derivatan för att dra en tangent som skär x-axeln närmare roten och upprepar detta tills man är tillräckligt nära: x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) Om f är ett formeluttryck så kan man normalt lätt bilda derivatan f Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.1 SF 1518/19 ht sept.

2 Exempel (EXS 4.6) med Newton-Raphson P(x)=4x 4-7x 3 5.5x x 50 = 0. Hitta noga roten nära 1.5. P (x)=16x 3 21x 2 11x p=[ ] for k=1:4 %derivatan pprim(k)=(5-k)*p(k); end x=1.5; dx=1; format long ger while abs(dx/x)>1e-12 px=polyval(p,x); pprimx=polyval(pprim,x); dx=-px/pprimx; disp(x); disp(dx); x=x+dx; end Fördubblat antal decimaler varje varv Kvadratisk konvergens? Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.2 SF 1518/19 ht sept.

3 Nytt: Trunkationsfel för Newton-Raphson Låt roten till f(x)=0 vara r. Taylorutveckla: 0=f(r)=f(x n +(r-x n ))=f(x n )+(r-x n )*f (x n )+(r-x n ) 2 *f (x n )/2 + Medelvärdessatsen: Om vi avbryter ersätts f (x n ) med f (µ), där µ ligger mellan x n och r. Dividera med f (x n ) och stuva om x n f(x n )/f (x n ) r = (r-x n ) 2 *f (µ)/(2*f (x n )) x n+1 r = (r-x n ) 2 *f (µ)/2/f (x n ) eller när n går mot konvergerar (x n+1 r)/(r-x n ) 2 mot K = f (r)/(2*f (r)) Alltså kvadratisk konvergens! Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.3 SF 1518/19 ht sept.

4 Att hitta startvärde för ekvationslösning Ofta ger en graf tillräcklig information men den kan luras. F=x 4sin(2x) 243/80=0 plottas [ 1:8] (rot> , rot<4+3.04) x=-1:0.02:8; Förstorad x=6.98:0.0001:7.02; f=x-4*sin(2*x)-243/80; f=x-4*sin(2*x)-243/80; plot([-1 8],[0 0],x,f) plot([ ],[0 0],x,f) Förstoringen lurades pga. Begränsad linjelängd! EXS3.7 liknande, analys krävs! Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.4 SF 1518/19 ht sept.

5 Sekantmetoden När f(x)är svår eller omöjlig att derivera är sekantmetoden ett bra alternativ. Man drar alltså en sekant,mellan punkten (a,f(a)) och (b,f(b)) och låter skärningspunkten vara nya (bättre) x och upprepar detta tills intervallet är tillräckligt litet. Nya punkten x n+2 beräknas ur de två tidigare med x n+2 =x n+1 (x n+1 x n )/(f(x n+1 ) f(x n ))*f(x n+1 ) Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.5 SF 1518/19 ht sept.

6 Exempel (EXS 4.6) med sekantmetoden P(x)=4x 4-7x 3 5.5x x 50 = 0. Hitta noga roten nära 1.5. Format long; x0=1; x1=2;it=1; P=[ ]; f0=polyval(p,x0); h=1; while abs(h)/abs(x1)>1e-12 end f1=polyval(p,x1); h=(x1-x0)/(f1-f0)*f1; disp(h); x0=x1;f0=f1; x1=x1-h; it=it+1; fprintf('iterationer: %d \n', it); fprintf('rot: %14.12f \n', x1) Ger Iterationer:9 Rot: Knapp fördubbling av decimalerna. Man kan visa att osäkerheten ~K*h 1.6. Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.6 SF 1518/19 ht sept.

7 Fixpunktiteration Skriv om f(x)=0 på formen x=g(x). Vi letar efter fixpunkten där x nära avbildas på sig själv. Iterera x n+1 =G(x n ) med x 0 som startvärde, skattning av roten. Om r är roten så x n+1 r = G(x n ) G(r) = G (µ)*(x n r) (medelvärdessatsen) (x n+1 r )/(x n+1 r) = G (µ) m Om kring roten gäller m < 1 så konvegerar den linjärt med m gånger mindre osäkerhet för varje iteration. Exempel (EXS 2.14): En 400 meters ellipsformad löparbana ska anläggas på en 160 m lång plan. Hur bred plan krävs? För omkretsen av en ellips använder vi en formel av självlärda indiska matematiksnillet Srinivasa Ramanujan ( ): π(a+b)(1+3c/(10 (4-3c)), där c=(a-b) 2 /(a+b) 2 ; Fotnot: a=b ger 2πa, cirkeln Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.7 SF 1518/19 ht sept.

8 Löparbanan Vi söker alltså b så att π(a+b)(1+3c/(10 (4-3c))=400, där c=(a-b) 2 /(a+b) 2, a=80 Skriv om för iteration: b=400/(π*(1+3c/10 (4-3c))) 80 Startvärde (rektangel): b=40. function res=biterat(a,b) c=(a-b)^2/(a+b)^2; res=400/pi/(1+3*c/ (10+sqrt(4-3*c)))-a; end format short; b0=40; it=1; b1=biterat(80,b0) while abs(b1-b0)>0.05 it=it+1; b0=b1; b1=biterat(80,b0) end fprintf('bredd: %f \n',b1) fprintf('efter %d iterationer \n', it) ger Bredd:44.83 efter 4 iterationer m=g (r) 0.2 (0.03/0.15) Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.8 SF 1518/19 ht sept.

9 Icke-linjära ekvationssystem Modifierade varianter av metoderna för att lösa ekvationer kan användas för att lösa system av sådana. Vi tar upp fixpunktiteration och Newton-Raphson. Allmänt kan ett ekvationssystem med n ekvationer i n variabler skrivas f 1 (x 1, x 2, x 3,, x n )=0 f 2 (x 1, x 2, x 3,, x n )=0 f n (x 1, x 2, x 3,, x n )=0 Vänsterledets derivata är Jacobianmatrisen: f 1 / x 1 f 1 / x 2. f 1 / x n J(x) = (df/dx), f 2 / x 1 f 2 / x 2. f 2 / x n specialfall: J = Ax b=0, J=A f n / x 1 f n / x 2. f n / x n f(x)=0, J=df/dx ( ) Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.9 SF 1518/19 ht sept.

10 Newton-Raphson för ekvationssystem För att hitta en rot till f(x)=0 använder man motsvarande formel som i envariabel- (skalära) fallet: Beräkna successiva c (n) ur ekvationssystemet J(x (n) )*c (n) = f(x (n) ) Sätt x (n+1) = x (n) c (n) Avbryt när c (n) < eps, feltoleransen (tillåten osäkerhet) ( Jämför med skalära x n+1 = x n f(x n )/f (x n ) ) Konvergensen blir som i skalära fallet kvadratisk h (n+1) / h (n) 2 går mot K när n går mot. Beviset är analogt med skalära fallet. Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.10 SF 1518/19 ht sept.

11 Exempel ( EXS3.9) Vi vill hitta skärningspunkterna mellan lemniskatan (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2 och parabeln y = x 2 1/2 Vi byter till polära koordinater: x=r*cosv, y=r*sinv, sätt in: r 4 =r 2 (cos 2 v sin 2 v), r = cos(2v), rita med parabeln: v=[0:pi/100:2*pi]; r=sqrt(cos(2*v)); polar(v,r);hold on; x=-1:0.01:1;f=x.2-1/2; plot([-1 1],[0 0],x,f) Skärningspunkter (±0.8,0.2), (±0.4, 0.35) Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored > In polar (line 192) Gick bra ändå! Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.11 SF 1518/19 ht sept.

12 Newton-Raphson på lemniskata/parabel (x 2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = 0, y x 2 + ½ = 0 ( ) Jacobianen: J = 2x*2(x 2 + y 2 ) 2x 2y*2(x 2 + y 2 )+2y 2x 1 x0=[ ]; y0=[ ]; dcnorm=1; varv=0; for k=1:2 x=x0(k); y=y0(k); c=[x y] ; while abs(dcnorm)>5e-4 f=[(x^2+y^2)^2-x^2+y^2 y-x^2+1/2]' J=[4*x*(x^2+y^2)-2*x 4*y*(x^2+y^2)+2*y; -2*x 1] dc=-j\f; c=c+dc dcnorm=norm(dc,inf) x=c(1); y=c(2); varv=varv+1; end end ger (med beaktande av ±x): c = [x y] = [± ] dcnorm = 1e-6 c = [± ] dcnorm = 8e-6 Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.12 SF 1518/19 ht sept.

13 Fixpunktsmetoder för ekvationssystem Om man skriver om ekvationssystemet som x = G(x) och jakobianmatrisens norm, M= dg/dx, är mindre än 1, ju mindre dess bättre, kan man använda Jacobis eller Gauss-Seidels metod, som vi gick igenom och använde på linjära system. Anledningen är ofta att det är svårt att uppskatta jakobianen och man använder uppskattningen M x (n+1) x (n) / x (n) x (n-1) Felskattningen (osäkerheten) lösningen r kan härledas till x (n+1) r M* x (n+1) x (n) /(1-M) Om man kan skriva om ekvationssystemet med en linjär del: f(x)= Ax + g(x) = 0, så kan man ofta använda Picarditeration: A x (n+1) = g(x (n) ) med ett bra startvärde, x (0), ger lösningen med tillräcklig noggrannhet, med trunkationsfelet uppkattat som ovan. Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.13 SF 1518/19 ht sept.

14 Exempel på Picarditeration Vi har ekvationssystemet (omskrivet med linjära termerna till vänster): 10x 1 x 2 = x x 2 2 x x 2 x 3 = 2 x 2 3 ; x x 3 = 1 x 3 3 Ax = g(x), A = [10 1 0; ; 1 0 3] g(x)=[x 1 2 +x 2 2 ; 2 x 2 ; 1 x 3 3 ] Eftersom vänsterledet är så diagonaltungt är värdena i lösningen små. För att få startvärde ignorerar vi de icke-linjära termerna och löser Ax (0) = [0 2 1] Programmet ger x0=[ ], x=[ ] trunk=1.5e-6 varv=4 A=[10-1 0; ; 1 0 3]; b=[0 2 1]'; x=a\b dx=[1 1 1]; varv=0; trunk=1; format long; while trunk>1e-7 xold=x;olddx=dx; g=[x(1)^2+x(2)^2 2-x(2)^3 1-x(3)^3] ; x=a\g; dx=x-xold; M=norm(dx)/norm(olddx); trunk=m*norm(dx)/(1-m) varv=varv+1; end disp(x); disp(trunk); disp(varv) Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.14 SF 1518/19 ht sept.

15 Ekvationer och system i kurslitteraturen Det vi gått igenom (och ingår i kursen) svarar mot stoffet i Pohl i hela kapitel 3 och 4 utom avsnittet 4:2C Ickelinjära minstakvadratproblem. I NAM (Eriksson) motsvarar det vi gått igenom hela stoffet i kapitel 6. Yngve Sundblad Föreläsning 7 sid.15 SF 1518/19 ht sept.