(fortfarande bas tio). Skriv i bas tio: a) 321 8! b) 321 7! c) 101 2! d) ! e)

Transkript

1 Numerikkompendium MAGB7 HT203 Olika talbaser. Talet 2006 i bas tio betyder två tusental och sex ental, dvs Talet 3.4 betyder (fortfarande bas tio). Skriv i bas tio: a) 32 8! b) 32 7! c) 0 2! d) 0.0 2! e) Skriv de sexton första positiva heltalen a) i bas två!! b) i bas fyra!! c) i bas åtta!! d) i bas sexton. 3. Skriv talet a) i bas åtta!! b) i bas sexton! c) Gör en grov uppskattning av talet i bas tio. 4. Skriv 366 i bas två. 5. Skriv a) 0. 2 i bas åtta!! d) 0. 2 i bas tre.! 6. Det periodiska talet är skrivet i bas två. Hur skrivs det i bas tio? Fel 7. Ett korrekt avrundat närmevärde för en engelsk mil är meter. Mellan vilka tal ligger det exakta värdet? 8. x = är ett korrekt avrundat närmevärde för x. Ange felgränsen. 9. x = är ett korrekt avrundat närmevärde för x. Hur många korrekta a) siffror!! b) decimaler har x? 0. Hur många korrekta decimaler har x =.25 ± 0.05?. Vid en väg står två skyltar. På den ena står det AXHULT 5, på den andra YXHULT 8. Antag att avstånden (i km) är korrekt avrundade och att de två orterna ligger längs samma väg. a) Ange avståndet mellan Axhult och Yxhult med felgräns om skyltarna pekar i samma riktning. b) Ange avståndet med felgräns om skyltarna pekar i motsatta riktningar. c) I Axhult står en skylt som (korrekt avrundat) talar om avståndet till Yxhult i hela km. Vilket är det största möjliga absoluta felet i a) respektive i b) d) Som c) men absoluta felet byts mot relativa felet.

2 2. Betrakta talet x = ( 22 ) 2. a) Skriv om uttrycket genom att förlänga med ( 22 + )2 och förenkla. Kalla det nya uttrycket för x*. Är x och x* matematiskt lika? b) Uppskatta x och x* med huvud- eller handräkning. Vi använder närmevärdet 22 =.05 ± c) Använd räknare för att bestämma relativa felet i de två uppskattningarna. d) Använd Felfortplantningsformeln (Pohl 2.2E s. 37) för att uppskatta felet. Övningar (De flesta uppgifterna kan lösas utan räknare eller dator. R betyder att uppgiften är tänkt att lösas med räknare, D att dator kan vara givande.) 3. Skriv om följande tal till bas tio a) 0 2! b) 0. 2! c) 0. 4!d) 3 4!e) 300 8! f) FFF 6 4. Skriv om följande tal till bas sexton: a) 2! b) ! c) ! d) ! g) Dubbla följande tal och skriv svaret i samma bas: a) ! b) 75 8!c) C2A 6 6. Följande tal är skrivna i basen tio. Skriv om dem till binär form (bas två). a) 90!! b) 35!! c) 63!! d) 023! e) 0.7!! f) Följande är en metod för att göra om tal i basen tio till basen två. Antag att vi börjar med 90. Halvera successivt och avrunda alla halvor nedåt tills du kommer till. Du får följden 90, 45, 22,, 5, 2,. Skriv följden baklänges men ersätt udda tal med och jämna tal med 0. Den binära representationen för 90 är alltså 000. a) Skriv 2006 på binär form.! b) Varför fungerar metoden? 8R. Du vill beräkna vilket belopp ett kapital på kr växer till på 00 år, om det står på ett konto med 4.6% årlig ränta. Om du avrundar till 5 %; hur stort är det relativa felet i a) den årliga tillväxtfaktorn?! b) resultatet av beräkningarna? 9R gram av ett radioaktivt preparat minskar till 2.54 g på 4 minuter. Hur mycket återstår efter 4 timmar? Svara med felgräns utifrån antagandet att vägningarna är korrekt avrundade (och att klockan är exakt). Vilket är det relativa felet som mest i vägningarna respektive i svaret?

3 20R (D). Du skall beräkna f ( 5) f (x) = då (9 4x) 2 och använda att 5 = 2,24 ± a) Visa att f ( 5) kan beräknas ur (i) (9 4x) 2 (ii) 6 72x (iii) (9 + 4x)2 (iv) 6+ 72x. b) De fyra funktionerna i a) är dock inte identiska vid sidan om 5. För att avgöra vilket uttryck som lämpar sig bäst för beräkning kan vi derivera och se vilken derivata som har minst absolutbelopp intill 5. Hur stort kan felet bli i sämsta fall? c) Kontrollera beräkningarna i b) genom att sätta in x = och x = i (i) (iv). 2. Du vill få ett värde för e 3. Du får använda följande samband: (i) e 3 + e 3 = ± och (ii) e 3 e 3 = ± a) Du kan eliminera e 3 genom att subtrahera (i) (ii). Vilken noggrannhet ger detta? br) Du kan eliminera e 3 för att sedan använda att e 3 = då? Facit (fel kan definitivt förekomma): 3a)! b) 0.875! c) 0.25!d) 92!! e)4095 4a)3F!b) 29C BB8! c) 6DB!d) B6C! e) a) ! b) 72!! c) 854 6a) 0 00! b) 00 0! c)! d)! e) ! f) a) 00 0 e 3. Vilken noggrannhet får du 8a) 4 0 3! (0.4 %)! b) 47 % 9) 0.07 ± 0.07; (30 %) 20) (i) Derivatan har värdet för x = Det innebär att funktionsvärdena skulle kunna skilja upp till enheter i intervallet [2.235, 2.245]. Mycket dåligt. (ii) Denna funktion är inte definierad i hela intervallet. Om så är nämnaren noll. Värdelöst. 5 = 6/72 = 2.236

4 (iii) Här är derivatan nära 44 i intervallet vilket ger en osäkerhet på cirka.5 i slutresultatet. Ganska bra. (iv) Derivatan är konstant; 72 som ger halva osäkerheten mot (iii). Beräkningen ger ± = ± 0.36 som täcker det korrekta närmevärdet a) e ; relativt fel större än 2 %. Dåligt. b) e 3 = ± Nu skulle vi kunna sätta in e 3 I stället använder vi derivatan igen: Den metoden är ofta arbetsam. Sätt f (x) = x. Då är Vi får att e 3 ʹ f (x) = x 2 och = e 3 ± = f ʹ (e 3 ) < = 2, ± = ± Anm. Metoden i 20 och 2 bygger alltså på att vi ersätter f (x + h) med f (x) + h f ʹ (c) för något c som gör derivatans absolutbelopp maximalt i det aktuella intervallet. Om derivatan inte ändras dramatiskt kan man ofta låta c vara just x-värdet. Grunden för detta är medelvärdessatsen som (med lämpliga förutsättningar om deriverbarhet osv) säger att i intervallet (a, a+h) finns det ett c sådant att f (a + h) f (a) h = f ʹ (c) dvs att f (a + h) = f (a) + h ʹ f (c).

5 Ekvationslösning 22. (Intervallhalveringsmetoden, Pohl: 3.3A s.73f) Vi vill lösa ekvationen x 3 x =. Först skriver vi om den med HL = 0 och får x 3 x = 0. Sedan sätter vi f (x) = x3 x. Vårt problem är alltså ekvivalent med att finna nollställen till f. Vi bryr oss tills vidare bara om reella värden. a) Välj två värden som vi misstänker att de ligger nära en rot, säg x = och x = 2. Är f () f (2) positivt eller negativt? Slutsats? b) Beräkna f för x mitt emellan och 2; alltså för x =.5. Nu kommer ett av följande påståenden vara sant: f (.5) f () < 0 eller f (.5) f (2) < 0. Varför? (Om produkten skulle vara 0 så har vi redan hittat ett nollställe, så då kan processen avbrytas.) Välj den ändpunkt som ger negativ produkt. Upprepa förfarandet med mittpunkten till (,.5). Nu gäller att f (.25) f () < 0 eller att f (.25) f (.5) < 0. c) Med successiva halveringar kan vi nå godtycklig noggrannhet. Hur många intervallhalveringar krävs innan vi har ett intervall mindre än 0 6? (Metoden ovan bygger på att en funktion som är kontinuerlig på [a, b] antar alla värden mellan f(a) och f(b) på intervallet.) 23. (Newton-Raphsons metod). Antag att den deriverbara funktionen y = f (x) går genom punkten (x 0, f (x 0 )). a) Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar funktionsgrafen i punkten. b) Bestäm x så att tangenten i a) går genom (x, 0). c) Bestäm x 2 så att tangenten i punkten (x, f (x )) går genom (x 2, 0). d) Bestäm x n + så att tangenten i punkten (x n, f (x n )) går genom (x n +, 0). Om f(x) inte är en elak funktion så kommer talföljden x 0, x, x 2, x 3, att konvergera mot något av funktionens nollställen. Genom att välja lämpliga värden för x 0, kan vi hitta alla nollställen. 24. Använd N-R metod för att lösa ekvationen x 3 = 2. Prova med olika startvärden. Vad händer med x 0 =? 25. Lös ekvationerna med NR:! a) x 2 = 3!! b) e x = x.

6 26. Låt p(x) = 4x5 + 3x 4 5x 3 + 7x 2 x + 8. a) Beräkna p(2) för hand. b) Skriv om p(x) : x(4x 4 + 3x 3 5x 2 + 7x ) + 8 = x(x(4x 3 + 3x 2 5x + 7) ) + 8 = = x(x(x(x(4x + 3) 5) + 7) ) + 8. Beräkna åter p(2). Metoden är lätt att programmera och kallas Horners schema. Övningar: 26. Vilka rötter ekvationen (x 2)(x 6) = 0 har inses genast. Om vi likafullt använder NR för att lösa ekvationen, vilka startvärden ger i så fall konvergens mot roten x = 2? Vilka mot x = 6? Vad händer för övriga startvärden? (Uppgiften kan lösas utan att man använder NR.) 27R. Använd NR för att lösa ekvationen cosx = x. a) Hur många rötter har den? Hur många steg krävs för att få sex korrekta decimaler? Tolv korrekta decimaler? (Jämför med intervallhalveringsmetoden; hur många steg krävs för tolv korrekta decimaler?) 28R Bestäm samtliga rötter till ekvationerna med rimlig noggrannhet: a) x x x = 0 b) x 3 + 4x 2 7x = Vad händer om vi försöker använda NR med startvärde x 0 = för att lösa ekvationen x 00 = 0? 30. Funktionen f (x) = x3 är strängt växande för alla reella x. Den har alltså en invers som vi skriver f 3 (x) = x. (Vad är f ( 8)? ) Använd NR för att lösa ekvationen 3 x = 0. Vad händer? 3. I Newton-Raphsons metod löser vi ekvationen f (x) = 0 genom att skriva x n + = x n f (x ) n f ʹ (x n ). Vi försöker sedan få följden x 0, x, x 2, x 3, att konvergera mot ett ϕ(x) = x f (x) värde x. Man kan alltså se det som att vi sätter f ʹ (x) och försöker lösa ekvationen x = ϕ(x) med en iterationsmetod. Detta kallas en fixpunktsmetod. ʹ Man kan visa att metoden fungerar om det finns ett m så att ϕ (x) m <. Använd detta resultat för att förklara vad som händer i uppgifterna 29 och 30.

7 32. Beräkna p(3) för hand då p(x) = x + 8x2 + 8x 3 6x 4 + x 5. Använd Horners schema. 33. Newton-Raphsons metod är normalt snabb. Men om funktionen är svår att derivera kan den vara obekväm. Intervallhalveringsmetoden kräver ingen derivering men är långsam. Sekantmetoden startar som intervallhalveringsmetoden men gör smartare val än denna. Man drar en rät linje mellan två punkter på kurvan. Där den linjen skär x-axeln har man ett nytt värde. Från den punkt på kurvan som motsvarar det nya värdet drar man en ny linje till den senaste av de två tidigare punkterna. Den linjen skär x-axeln i en ny punkt osv. Vi vill lösa ekv xe x = och använder sekantmetoden med startvärdena x =.0 0 och x = 0.7. Vad blir x 2 och x 3? 34. Det finns många fixpunktsmetoder till samma ekvation. Om vi vill beräkna c så kan x n + = c x n + = x2 n + c vi lösa ekvationen x 2 = c. Prova med x n eller 2x n. Vilken konvergerar snabbast? (Jämför även <

8 Linjära ekvationssystem och matriser Kom ihåg att linjära ekvationssystem i praktiska tillämpningar ofta är väldigt stora, många tusen ekvationer och obekanta är inte ovanligt. För att förstå vilka problem detta innebär kan man behöva titta på små idealiserade fall. 35. Lös ekvationssystemen a) x + y = 0 x + y =! b) x + 0.9y = 0.x + y =!c) 0.9x + y = 0 x +.y = 0.9 A = 36a) Bestäm inversen A till matrisen.. a ε b + ε b) Stör nu värdena i inversen så att du i stället får matrisen A* = c + ε d ε där a, b, c, d är de korrekta värdena och ε är en avvikelse med ungefär 5 %. Beräkna matrisen A*A. c) Ungefär hur många procent avviker värdena i A*A från A A? d) Bestäm determinanten för A. 37. Vi har ekvationssystemet AX = B, där A = 3 3, X = 3 x y, B = z 3 3. (Man ser att x = y = z =, men det är bara för att det skall bli enkla räkningar). Matrisen A kallas diagonaldominant. Det innebär att absolutbeloppet av diagonalelementet är större än summan av beloppen för de övriga elementen på samma rad. a) Lös ut x ur den första, y ur den andra och z ur den tredje ekvationen. Ansätt sedan x n + f (y n,z n ) y n + = g(x n,z n ) någon startvektor, säg x = y = z = 0, och iterera enligt z n + h(x n,y n ). Några steg räcker (vi vet ju svaret så det intressanta är hur snabbt det verkar konvergera). b) Jämför med om du har iterationsformeln x n + y n + z n + = f (y n,z n ) g(x n +,z n ) h(x n +,y n + ). Denna metod konvergerar för diagonaldominanta matriser.

9 0 x 2 5 y = I systemet 5 z 7 har vi inte en diagonaltung matris. Kan vi likafullt använda metoden från föregående uppgift? 0 x y = I ekvationen 0 z 2 har vi inte heller en diagonaldominant koefficientmatris. Däremot är diagonalelementet i andra kolumnen större än summan av de båda övriga i samma kolumn. Man kan fixa en diagonaltung matris genom att först x + 3 y + 2 z = 7 skriva om ekvationen till 0 2. Hur skall man fortsätta? 40) Lös ekvationssystemet x + 3y 4z = 2x + y + z = 5 Övningar ε x = 4a) Lös ekvationssystemet y 2 där ε är ett mycket litet tal som inte är noll. b) Reflektera kring noggrannheten i svaret. Kan den förbättras? 42) Utför övningen 36abcd men ersätt A med B =. x y 43) Skriv ekvationssystemet i uppgift 37 på formen z = * * * x * * * * y + * * * * z * 44) Låt A = 2 3, B = C = 2 A och 0 Beräkna matrisen A A C C B. a a n x b = 45) Vi har ett ekvationssystem a n a nn x n b n. Hur många operationer krävs ungefär för att lösa det med vanlig radreducering. Som operation räknas en addition (add) eller en multiplikation (div). Uppskatta grovt som funktion av n. Antag att det tar ungefär

10 2 sekunder att lösa systemet. Hur lång tid skulle det det ta om n vore tre gånger så stort (förutsatt att arbetsminnet klarar att hantera datamängden i bägge fallen)? 2x + 3y 4z = 46) Lös ekvationssystemet 5x + 8y + z = 20 2 A = 0 47) Vi vill bestämma inversen till 3 3. Vi vet att A = LR där L = 0 R = 0 och 0 0. Vi kan använda att L är vänstertriangulär (elementen under huvuddiagonalen är noll) och R är högertriangulär och beräkna R L i stället. a) Ungefär hur mycket tid sparar vi med denna metod om A är en n n matris? (Bortse från den tid det tar att bestämma L och R.) 2 2 A = 0 5 b) Studera systemet AX = B där 3 3 och B är känd, säg ) Bestäm inversen till matrisen Reflektera kring resultatet ) Hur många nollor finns det i inversmatrisen till ? Facit vissa uppgifter: 26) x > 4 0 konvergens mot x = 6; x < 4 0 konv mot x = 2; x 0 = 4 ger en horisontell tangent ( f ʹ = 0 i nämnaren) dvs ej konvergens. 27) En rot x Antalet decimaler blir ungefär dubbelt så stort för varje steg.! 28a) NR ger lätt två rötter; en nära x = e och en nära x = π. I en polynomekvation med reella koefficienter uppträder dock alltid icke-reella rötter parvis. En tredjegradare

11 har alltså en eller tre reella rötter. Det måste alltså finnas en reell rot till. Om man söker maxoch minställen inser man att det finns en rot till som är större än 400. NR ger att den är ungefär b) NR ger en funktion med ett minimum mellan 0 och. Detta ligger dock en aning över x-axeln så ekvationen har bara en reell rot. Startvärde t.ex. 0 ger snabbt denna.! 29) Det blir oanvändbart långsam konvergens. Orsaken är att derivatan är mycket nära noll. NR fungerar dåligt eller inte alls vid multipelrötter.! 30) Vi får x = φ(x ) = 2x ʹ n + n n, dvs. φ = 2. NR divergerar. 0.9x + y = Ändra 35c) till x +.y =. Då blir rötterna helt olika i 35b och 35c. 36. A * A och A A är två helt olika matriser. Att A är så störningskänslig beror på att determinanten är nära noll ( det A = 0.0.) x n + = ( y n + z n + 3) /3 y n + = (x n + z n + ) /3 37a) Vi får ekvsyst z n + = ( x n + y n + 3) /3. x 0 0 x x 2.07 x 3 y 0 = 0 y 3 = y 2 = 0.99 y 3 z 0 0 ger z ! b) Redan z är bättre än z 3 i b). 38. Byt plats på andra och tredje raden i ekvationssystemet y 2 x + 3 y + 2 z = 7 2 x Skriv om till z = y Sätt u = 2 och lös detta system som är diagonaldominant. x 2 y = + t 40) z 0! 4) Om ε är tillräckligt litet blir /ε väldigt stort och både / ε och 2 /ε blir lika med /ε i datorn. Detta ger x = 0, y =. Om vi i stället byter första och andra raden får vi en bättre lösning: x = y =. A * A = ) Den störda inversen A* ger 0, ett mycket bättre värde än i 36c. Determinanten är 2. x x y = y ) z z. (Notera nollorna i koefficientmatrisens diagonal.) AC + AB = AC + CB ) Det fungerar att multiplicera blocken. Vi får 6 22.

12 45. För att få en nolla först i en rad under en annan rad där bägge har k element krävs k mult och k add. Grovt handlar det om 2n2 + 2(n ) operationer. Nu är n k 2 n3 k= 3 så (fortfarande en grov uppskattning) antalet operationer är c:a 3. Den sökta tiden blir ungefär en minut. x y = z t 95 3 (OBS! Svaren kan se olika ut beroende på hur man räknar.) 47. Det blir uppskattningsvis 2n 2 operationer. Vi går inte in djupare på LR-faktorisering i kursen men att ersätta en matris A med två triangulära matriser L och R är ett viktigt hjälpmedel i många sammanhang då matrisen A återkommer många gånger. Att 2n 3 bestämma L och R kräver visserligen c:a 3 operationer men då detta väl är gjort har man en användbar faktorisering som förenklar många beräkningar. 2n 3 b) Metod Bestäm inversen. Multiplicera denna med B så får du X. Nackdelar med metoden: (i) Om A är gles (dvs har många nollor) så är inversen sällan gles. Vill du spara inversen för att kunna använda på en ny B-matris i morgon så kan den ta stort minnesutrymme i anspråk. (I just detta fall är A varken stor eller gles så här är denna nackdel inte aktuell.) (ii) Om determinanten för A är nära noll så blir inversberäkningen numeriskt instabil. Metod 2. Vanlig radreducering. Det är ungefär samma operationer som då man bestämmer inversen. Skillnaden är att du inte har inversen kvar då du löst systemet utan måste göra om jobbet om du får en ny B-matris i morgon. Metod 3. Faktorisera A. I exempel 47 ges en LR-faktorisering (Left-Right; kallas också LU L = 0 R = 0 för Lower-Upper): och 0 0. Fördelar: (i) Om A är gles (t.ex. en bandmatris) bevaras i allmänhet glesheten i faktorerna. Glesa matriser tar mindre minnesutrymme om du vill använda dem igen. (ii) Mer numeriskt stabil än inversberäkning. En av mina kollegor hade en liknelse: Du vill lösa ekvationen 3x = 8. LR-metoden motsvaras här av att du utför divisionen 8/3.

13 Inversmetoden motsvaras av att du beräknar inversen 3 och lagrar det som 0.3. Därefter multiplicerar du högerledet med 0.3 och får x = 5.4. Det finns andra faktoriseringsmetoder, till exempel QR-metoden som ofta är bra vid minsta kvadratmetoden för att undvika instabilitetsproblem. Nu går vi till lösningen av ekvationssystemet AX = B ovan. Steg : Faktorisera A till LR (vi har inte gått igenom just detta). Steg 2: Nu har vi ekvationen LRX = B. Sätt RX till Y och lös systemet LY = B. Detta går 2 Y = 7 fort eftersom L är en diagonalmatris. Det skall bli 4. 2 X = 3 Steg 3: Lös RX = Y. Det går också fort (triangulärt igen). Det blir 4. 48) Jämför inversen med den ursprungliga matrisens transponat (spegelbild i huvuddiag.) En matris vars transponat är lika med inversen kallas ortogonal. 49) Jag räknade ganska slarvigt men fick fyra stycken. Poängen är att en gles matris (med många nollor) sällan har en gles invers.(jfr Pohl s. 6.) Kompletterande övningar x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 x 4 + x = 2 x + x 2 = 2 x 2 + x = 2 x + x 3 = 2 x 3 + x = 2 50) Jämför ekvationssystemen x + x 4 = 2! och x 4 + x 2 + x 3 + x = 4 (Vi ser kanske lösningen direkt, men antag att vi inte gör det.) Systemen måste vara ekvivalenta för vi har bara bytt plats på rad och rad 4 samt ordningen mellan variablerna så att x -termerna hamnar sist och x 4 -termerna först. Jämför lösningarna om vi använder vanlig radreducering. 5) Gör om systemen 0 x 5 y 5 z = 2 0 x y 7 och 0 z = så att de blir x (y) diagonaldominanta och skriv dem på formen z = * * * x * * * * (y) + * * * * z *.

14 Bestäm inversen till 3 4. a) Jämför med om vi sätter 3 = 0,33. Hur ändras inversen? Determinanten? b) Samma fråga om vi sätter 3 = 0,3 Extra övningar: 58. Använd faktoriseringen i uppgift 45 för att lösa AX = B då 3 3 B = 7 B = a) 8!b) L =, U = ) Vi har A = LU där Om B =, lös AX = B. Facit: 58a) X = ( 2 5 ) T!! b) X = ( ) T! 59) X = ( ) T

15 Integraler 53a) En fyrhörning har hörn i (3, 0), (5, 0), (3, 4), (5, 7). Vad är fyrhörningens area? b) En polygon har en sida från (3, 0) till (0, 0), en från (3, 0) till (3, 4) och en från (0, 0) till (0, 5). De övriga sidorna går från (3, 4) till (4, 5) och vidare via hörnen (5, 7), (6, 8), (7, 9), (8, 0), (9, 3) till (0, 5). Vilken area har denna tiohörning? 54. Uppskatta arean mellan x-axeln och grafen till f (x) = (2 x)(x 6) mellan x = 2 och x = 6 genom att ersätta grafen med a) räta linjer mellan de punkter grafen passerar för x = 2, 4 och 6. b) räta linjer mellan de punkter grafen passerar för x = 2, 3, 4, 5 och 6. c) rät linje mellan de punkter grafen passerar för x = 2 och Beräkna exakta värdet av integralen. Om man jämför med de värden som vi fick i 54 ser vi att c)-svaret var sämst och b)-svaret var närmast. Skulle man ha kunnat göra en intelligent gissning från svaren i 54abc som hade kommit i närheten av det exakta värdet? 56. Vi vill uppskatta integralen 4 f (x)dx 0 för f (x) = x4. a) Först ersätter vi den med en triangel som har hörn i (0, f (0)), (4, 0), (4, f (4)). Vilken uppskattning ger det? b) Prova sedan med att lägga till hörnet (2, f(2)). Vad ger det? c) Använd sedan även hörnen (, f()) och (3, f(3)). Vi ser att våra uppskattningar sjunker mot vad som bör vara det korrekta värdet. Innan du beräknar detta, försök gissa var det skall hamna. d) Beräkna nu integralen exakt. Hur bra var gissningen? Den metod vi skall gå igenom bygger på att man studerar förändringarna då intervallen successivt görs allt smalare. Sedan gör man en extrapolation för att uppskatta var vi skulle hamna med intervallbredden noll. 57) Alternativet vore att uppskatta integralen med mycket smala intervall. Ge två nackdelar med den metoden. Observera att jag avsiktligt valt integraler som vi kan beräkna exakt (och där den exakta metoden är avsevärt enklare). Det är meningen; på det sättet kan vi studera hur effektiva π sin x 2 våra metoder är. Om vi i stället hade provat med dx 0 så hade det varit svårare att veta hur nära det sanna värdet vi befunne oss.

16 Fortsättning integraler 60. Vi vill beräkna 0.8 f (x)dx numeriskt. Vi har följande tabellvärden för f (x) 0 x! 0! 0.!! 0.2!! 0.3!! 0.4!! 0.5! f(x)!! ! ! ! ! x! 0.6!! 0.7!! 0.8 f! ! ! a) Uppskatta integralen med trapetsformeln för h = 0.8, 0.4, 0.2, 0.. Detta ger fyra värden som vi kallar A 00, A 0, A 20 respektive A 30. b) Beräkna de successiva differenserna Δ och lägg Δ /3 till respektive sämre värde. Vi får nu tre nya värden A, A 2, A 3. c) Beräkna åter differenserna Δ. Senna gång skall vi korrigera med Δ /5. d) Nu har vi två värden, A 22 och A 32. Vi skulle kunna fortsätta och beräkna differensen mellan dem för en ytterligare korrektion, men i detta fall kan vi avstå. Varför? 6. Vi vill uppskatta f ʹ (2) då f (x) =! a)! x 2!! b) x 4 Beräkna f (4) f (0) 4 och f (3) f () 2. Använd Richardsonextrapolation och jämför med respektive exakt värde. Gör eventuellt en halvering till. 62. Motivera varför Richardsonextrapolationen fungerar i uppgift 6. Extra övningar 63) Vi har följande värden för en funktionerna f och g: x!! 2!! 3!! 4!! 5!! 6!!!! f(x)! 0! ! 0,477225! ! ! g(x)! 0! ! ! ! ! x! 7!! 8!! 9 f! ! ! g! ! ! Uppskatta f ʹ (5), g ʹ (5), 9 f (x)dx och 9 g(x)dx

17 facit 63) Uppskattning av f ʹ (5):!!!!!! Δ! A + Δ i0 A i + Δ 3! Δ! 5 f (9) f () A 00 = 8! !!!!! A 0 = f (7) f (3) 4! !!! !!!!! !!! A 20 = f (6) f (4) 2! !!! !!! Konvergensen är ganska dålig. Funktionen var f (x) = lgx så Uppskattning av ʹ g (5) : f ʹ (5) = 5ln A 00 = g(9) g() 8! !!!!! 6282 A 0 = g(7) g(3) 4! 0.283!!! 9089!!!!! 909!!!! 882 A 20 = g(6) g(4) 2! !!! 997!!!! Här är resultatet bättre. Funktionen här var g(x) = lnx så g ʹ (5) = Man kan misstänka ett räknefel då det gäller f ʹ (5) ovan. (Kontrollera gärna. OBS! Metoden är vansklig med så stora h-värden, särskilt då h > 0)

18 facit 63 forts. Uppskattning av 9 f (x) dx : T = h f (x ) f (x ) + f (x 2 ) + + f (x n ) + f (x n ) 2 där h = x k x k ger!!!! Δ!! T = T + Δ i i0 3 Δ!! T = T + Δ i2 i 5 Δ T 00 = T h = !!!! T 0 = T h = !!! !!!! !!! ! T 20 = T h = 2 4, !!! !!! !!!! !!! !!! T 30 = T h = !!! !!! som ger T 33 = T 32 + Δ / Inte heller så imponerande med tanke på att 9 lgx dx = [ ln 0 xln x x ] Prova att uppskatta g ʹ (5) och 5.4 g(x) dx 4.6 utifrån följande värden: x! 4.6!! 4.7!! 4.8!! 4.9!! 5.0!! 5.!!! g(x)! ! !.56866! ! ! x! 5.2!! 5.3!! 5.4 g! ! ! Jämför sedan med de exakta värdena om du vet att g(x) = ln x g(x) Jämför även precisionen mellan uppskattningarna av dx g(x)dx 4.6 och från 63.

19 Taylorutveckling Taylors formel är viktig för att motivera olika approximationer inom numeriken. Här ges en mycket kort sammanfattning av den teoretiska bakgrunden (Se även Rodhe - Sollervall 5.8). Förutsättning Vi har en funktion f(x). Vi känner värdena f (0), f ʹ (0), Du vill hitta ett polynom p(x) så att p(n) (0) = f (n) (0) n = 0,, (Ett polynom med oändligt många termer kallas en potensserie.) f ʹ ʹ (0),, f (n) (0),. Metod: Sätt p(x) = a + a x + a 0 2 x2 + + a n x n +. Det gäller att uttrycka koefficienterna a 0, a, a 2, a 3, med hjälp av de kända värdena f (0), f ʹ (0), f ʹ ʹ (0),, f (n) (0),. Om vi deriverar ett antal gånger får vi p ʹ (x) = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + p ʹ ʹ (x) = 2a a 3 x + 3 4a 4 x 2 + p ʹ ʹ ʹ (x) = 2 3a a 4 x a 5 x ) Om vi sätter in x = 0 så kan vi identifiera a, a, a, a, Visa att vi får a = f (k) (0) k k! (Anm. Vi definierar 0! = och k! = (k )!k, dvs.! =, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 20 osv.) f (x) = f (0) + f ʹ (0) x + f ʹ ʹ (0) x 2 + f ʹ ʹ ʹ (0) x 3 + f (4) (0) x Använd formeln! 2! 3! 4! för att skriva följande funktioner som polynom: a) f (x) = cosx! b) f (x) = e x! c) f (x) = x! d) f (x) = ln( x) 68) Uppskatta ln 0.9 med hjälp av utvecklingen i föregående uppgift. Hur många termer behöver du ta med för att få fyra decimalers noggrannhet? Jämför med räknaren. 69. Med metoden i 67 får man att sin x = x x3 6 + x5 20 x x Använd ett grafritande program för att rita a) y = x x3 6! b) y = x x3 6 + x5 20 c) y = x x3 6 + x5 20 x7 5040! d) y = x x3 6 + x5 20 x x e) Jämför med grafen för y = sin x. Hur stor är avvikelsen som mest i intervallet < x < i a, b, c respektive d? (OBS! radianer; radian 57.3.)

20 70. Eftersom ex = + x + x2 2 + x3 6 + x så kan vi direkt skriva en utveckling av f (t) = e t 2. f (t) dt a) Använd denna utveckling för att uppskatta 0.4. Tag med termer till och med grad 6 (dvs t 6 ). 0.4 f (t) dt b) Använd följande värdetabell för att uppskatta 0.4 med trapetsregeln och extrapolation: t! 0.4! 0.3! 0.2! 0. 0! 0.! 0.2! 0.3! 0.4 e t 2! ! !!!! c) Jämför metoderna i a och b. 0.4 Metoden ovan byggde på att vi kände värdena för f(x) och dess derivator för x = 0. Metoden kan också utnyttjas om vi känner motsvarande värden för något annat x = c. Vi får då Taylors formel: f (x) = f (c) + f ʹ (c) (x c) +! f ʹ ʹ (c) (x c) 2 + 2! f ʹ ʹ ʹ (c) 3! (x c) f (n) (c) (x c) n + R n! Resttermen R är lika med f (n +) (ξ) (n + )! (ξ c) n + för något ξ mellan c och x. Anm. Den tidigare formeln i 67 är samma men med c = 0. Den kallas Maclaurins formel. 7a) Derivera f (x) = x = x 2 ( ) två gånger. Vi vet att 00 = 0. Använd detta för att uppskatta 0 och jämför med räknarens värde. b) Derivera g(x) = cosx två gånger och utnyttja att cos π 3 = 0.5 för att bestämma ett närmevärde till cos 6. Jämför med det värde som Maclaurinutveckling kring x = 0 ger. Kommentar: Med hjälp av Taylors formel kan man förstå varför Richardsonextrapolation f (0 + h) f (0 h) fungerar. Om vi uppskattar f ʹ (0) [ f (h) f ( h)] = med uttrycket 2h = 2h f ʹ ʹ (0) f ʹ ʹ ʹ (0) f ʹ ʹ (0) f ʹ ʹ ʹ (0) = f (0) + hf ʹ (0) + h 2 + h 3 + f (0) hf ʹ (0) + h 2 h 3 + 2h 2! 3! 2! 3! = f ʹ ʹ ʹ (0) = 2hf ʹ (0) + 2h3 + = a + h 2 a 3 + h 4 a 5 + 2h 3!.

21 Här är a = f ʹ (0) det sökta värdet. Om h är litet så är h2, h 4, h 6, en snabbt avtagande följd. Om vi approximerar a + h2 a 3 + h 4 a 5 + med a + h2 a 3 och halverar h så blir felet en fjärdedel så stort. Skillnaden mellan dessa värden motsvarar alltså ungefär tre gånger felet för det mindre värdet på h. Vi korrigerar för detta fel genom att lägga till en tredjedel av differensen i tabellen. Och har vi två korrigerade värden så är felet i dessa främst styrt av termen h4 a 5 som blir en sextondel så stor vid halvering av h. Vi korrigerar genom att lägga till en femtondel av andradifferensen. Jag är medveten om att denna förklaring är svår att ta till sig. Texten blir väldigt komprimerad. Men vad man kanske kan ana är varför Richardsonextrapolationen gav exakta värden då vi beräknade derivator eller integraler av polynom. Deras Taylorutveckling är ju samma som de själva, så för t.ex ett fjärdegradspolynom är a n = 0 för alla n > 4. 72) Vi vill skriva funktionen f (x) = 2x3 + 5x 2 + 4x på formen A 3 (x ) 3 + A 2 (x ) 2 + A (x ) + A 0. Använd Taylorutveckling för att bestämma konstanterna A 3, A 2, A och A 0. De tre vanligaste Maclaurinutvecklingarna e x = x k = + x + x2 k! 2 + x3 3! + k=0 x cosx = 2 k ( ) k = x2 (2k)! 2 + x4 4! k=0 sin x = ( ) k x 2k+ = x x3 (2k + )! 3! + x5 5! k=0 T = h f (x 0 ) facit 60a) 2 + f (x ) + f (x 2 ) + + f (x n ) + f (x n ) 2 där h = x k x k ger!!!! Δ!! T = T + Δ i 0i 3! Δ!! T = T + Δ 2i i 5 T 00 = T h = !!!! 0080 T 0 = T h = !!!! 77220!!!! 2502!!!!! 24 T 02 = T h = !!!! !!!! !!!! 625!!!!! T 03 = T h = !!!! !!!!

22 facit 65) derivatan: !! !! !! (75) integralen: ! ! ! ! ! [ ] 4.6 Korrekt värde: xln x x facit 70a) b) ! ! ! ! ! ! facit 7a) Beräkningen ger Jämför med cos 7b) π 3 2 2! π Jämför med cos (räknare) och med Maclaurin: cos 2 2 = π Felet vid approximation kring x = 0 är c:a ; vid appr. kring 3 är det c:a facit 72) f (x) = (x ) + (x )2 + 2(x ) 3

23 Minsta kvadratmetoden och polynomapproximation i intervall. 73) Bestäm den räta linje som i minsta kvadratmetodens mening bäst approximerar punkterna ( 2, 3), (, 0), (0, 2). a 2b = 3 a b = 0 Lösning: Ansätt a + bx = y. Det ger ekvationssystemet a = 2. Systemet har två obekanta och tre ekvationer. De två understa ekvationerna ger att a = b = 2 vilket inte satisfierar den översta ekvationen. Systemet saknar alltså exakt lösning. (Genom att rita en figur hade vi kunnat säga det direkt; ingen rät linje går genom alla tre punkterna.) Det gäller alltså att hitta den lösning som ligger närmast punkterna. Hur ligger närmast skall tolkas är inte självklart men vanligen försöker man minimera summan av felens kvadrater. En stor avvikelse är alltså värre än två små. Metoden ser ut så här: Skriv om ekvationssystemet på matrisform: 2 a 3 = 0 0 b 2 Multiplicera sedan bägge led från vänster med koefficientmatrisens 2 a = 0 transponat: 0 b a = Genom att multiplicera ihop får vi ett system som är lösbart: 3 5 b 6. a = 3 6 b Detta ger 5 2, dvs den sökta linjen är y = 5 2 x 3 6. OBS! Om möjligt, rita alltid in den lösning du räknat fram och kontrollera att den ser rimlig ut. 74) Bestäm den räta linje som bäst approximerar punkterna ( 3, 0), ( 2, 0), (, 2), (0, 0), (, ), (2, 0), (3, 0). 75) Bestäm det andragradspolynom som bäst approximerar punkterna ( 2, 0), (, 3), (0, 0), (, 4). 76a) Anpassa kurvan y = a ebx till punkterna (0, e2 ), (, e 3 ), (2, e 5 ) genom att använda omskrivningen ln y = ln a + ln ebx. b R) Som a) men med punkterna (0, ), (, 2), (2, 5), (3, 20).

24 77) Bestäm det tredjegradspolynom som bäst approximerar punkterna (, 2), (0, 0), (, 2), (2, 0). 78 RD) Skissa kurvan f (x) = 64( 2 x 2 ). Markera de punkter som svarar mot x = 0, ±, ±2 och ±3. Det finns ett och endast ett sjättegradspolynom p(x) som går genom just dessa punkter. Bestäm detta och jämför med f (x). Är p(x) en lämplig approximation av f (x)? Bergsskolan Lp /2007!!!!! föreläsning 8 H3B MAA034 Peter Mogensen facit: 74) y = 3x 28 7! 75) y = x x (? ej så noga räknat)! 76a) a = e 6, b = 3 2! b) 77) x ( 2 x ) x 3 y = 0.85 e0.990x ( )! (obs 4 punkter ger exakt anslutning) 78) p(x) = 0.53x6 8.22x ,7x 2 Om detta är en bra approximation till f(x) beror förstås på vad den skall användas till. Men p(x) har två maxpunkter som sticker ut och förmodligen gör den mindre lämplig i de flesta fall.

25 Differentialekvationer. Eulers metod 79. Många differentialekvationer (DE) kan inte lösas med exakta metoder. Vi börjar i alla fall med en där det går:! y ʹ = y y(0) =. Denna DE kan lösas på många sätt. Variabelseparation, integrerande faktor, karakteristisk ekvation. a) Välj något av dessa sätt för att få fram lösningen som är y = e x. Skissa kurvan. b) Den numeriska metod vi skall använda är krångligare än den exakta. Dessutom har den nackdelen att vi inte får fram y som funktion av x utan den ger y-värdet för något i förväg bestämt x-värde. Problemet vi skall lösa är: Givet y ʹ = y y(0) = Bestäm ett närmevärde till y(). (Om vi löst a så vet vi att svaret skall bli e Men nu låtsas vi att lösningen är okänd.) (i) Ersätt kurvan med dess tangent för x = 0. Där är y =. Alltså är ʹ y = y = så tangentens k-värde är. Det ger att tangentens ekvation är y = x + och y() = 0. Detta är en dålig uppskattning av det korrekta (ii) Vi halverar steglängden. För tangenten i (i) gäller y(0.5) = 0.5. En uppskattning av funktionens y ʹ (0.5) är alltså 0.5. En uppskattning av tangenten till kurvan där x = 0.5 blir alltså y 0.5 = 0.5(x 0.5). Vi får nu ett nytt värde på y(). Vilket? (iii) Halvera igen. Beräkna succesivt approximationer till y(0.25), y(0.5), y(0.75) och y(). Hur bra blev det? (iv) Vi halverar ytterligare en gång så att h = /8. Vi kan förenkla beräkningsformeln till y(x + h) = y(x) + h y ʹ (x). Det ger approximationen y 8 = 7 8, y 2 8 = 49 64, y 3 = , y och slutligen 8. Fortfarande är vi en bra bit från det önskade värdet e För att få en någotsånär säker uppfattning om tredje decimalen behövs ungefär 400 steg, dvs h = Kan vi snabba upp processen litet? Känner vi igen situationen? 80. Gör Richardsonextrapolation på de värden vi fått fram i 79: h! y () h "" "! 0 0.5! 0.25!! ! ! ! ! ! ! !

26 Här gör vi tre observationer OBS! )Differenserna skall här inte delas med 3, 5, 63, 255,, 4 n utan med, 3, 7, 5,, 2 n. Detta beror på att felet ungefär halveras då steglängden halveras. OBS! 2) I varje rad är det näst högraste värdet bättre än det högraste. I understa raden är felen cirka 0.00 resp De högraste värdena är alla påverkade av det värde som steglängden h = gav. Misstanken blir att det är en så stor steglängd att den stör mer än den hjälper. OBS! 3) Med steglängderna 0.5, 0.25 och 0.25 (2+4+8 steg) får vi med extrapolation ett värde som visserligen är ganska dåligt, men i alla fall ungefär lika bra som dem vi skulle ha fått med steglängden (dvs 200 steg) utan extrapolation. n n Anm. Med n steg får vi approximationen n som går mot e då n. Anm 2. Metoden att stega sig fram på detta sätt kallas Eulers metod. Leonhard Euler ( ) var en av historiens mest produktiva matematiker. Han löste många knepiga diffekv genom att stega sig fram i små steg. Detta blev förstås tidsödande att göra för hand, så om han hade upptäckt extrapolationsmetoden skulle han ha kanske varit ännu mer produktiv. Anm 3. Det finns olika extrapolationsmetoder, Heuns metod, Runge-Kuttametoder osv. Vi går inte in på alla dessa. Det viktiga är att förstå extrapolationsidén. 8a) Bestäm ett närmevärde till y(0.5) då y ʹ = 2xy och y(0.2) =.3. Använd steglängder 0., 0.05 och b) Hur bra blev det? Lös exakt och jämför. 82a) Som 8a men approximera y(0.2) då y ʹ = x 2 y 2 och y(0) =. b) Som 82a men approximera y() då y ʹ = x 2 y + 2x och y(0) = 0. Gå 2, 4, 8 och 6 steg. Lösning av diffekv med serier 83a) Betrakta åter DE i ex 79: y ʹ = y y(0) =. Av ekvationen framgår att y ʹ (0) =. Deriverar vi bägge led ett antal gånger får vi att y ʹ ʹ = y ʹ, y ʹ ʹ ʹ = y ʹ ʹ, y (4) = y ʹ ʹ ʹ osv. Bestäm med ledning av detta exakta värden för y ʹ ʹ (0), y ʹ ʹ ʹ (0), y (4) (0). b) Använd de värden du fick i a för att skriva y(x) som en Taylorserie (Maclaurinserie). Hur många termer behöver du minst för att bestämma y() med 6 korrekta decimaler? c) Vilken funktion svarar serien mot? 84. Använd serieutveckling för att bestämma a) y(0.2) med ett fel mindre än 0 8 om y ʹ = xy, y(0) =. b) y(0.2) med fyra korrekta decimaler om ʹ y = e x 2, y(0) =.

27 (Feluppskattning utan att du bestämmer exakt lösning.) facit: 8b) exakt lösning.3 e a) med två korrekta decimaler är svaret b) med tre korrekta decimaler är svaret a) ± 0 8!! b).973 OM FEL Hittills har vi talat ganska litet om feluppskattningar. Det är förstås ett mycket viktigt kapitel. Tyvärr är det svårt och krångligt så jag kommer bara göra några nedslag. 2. Richardsonextrapolation. Vi har ett typiskt extrapolationsschema: h" A h/2! B" E h/4" C" F" I h/8! D" G" J" K Vanligtvis är K det bästa närmevärdet. Vi har dock sett att J kan vara bättre (se 80 OBS 3). Om vi bortser från avrundningsfel ligger normalt det korrekta värdet i intervallet K ± I J. 3. Newton-Raphson Man brukar säga att de siffror som är lika i två på varandra följande iterationer är korrekta. Ofta dubblas antalet korrekta siffror vid varje iteration. 4. Matriser, linjära ekvationssystem Detta är ett jätteområde men allmänt bör man vara försiktig med matriser som har determinant nära 0. Till exempel matrisen med determinant 8640 är extremt känslig för störningar vid inversbestämning. (Jfr övn 52.) Jag har inte provat men misstänker att inversen till denna matris skiljer sig till oigenkännelighet från den man får om man sätter / och /6 = 0.7.

28 NÅGRA REPETITIONSUPPGIFTER LR-faktorisering Denna används vid stora matriser och då finns det arbetsbesparande metoder. Vi går inte in på dessa utan nöjer oss med att titta på idén vid små matriser. 0 89) Bestäm a, b, c, d b c = 2 så att a 0 d 4 5. x + 2y = 3 Använd resultatet för att lösa ekvsyst 4x + 5y = d e f a 0 0 g h 90. Bestäm a, b, c, d, e, f, g, h, i så att b c 0 0 i = ( ) T (= A) a) Använd resultatet för att lösa ekvsyst Ax = b där b = x y =, 8, 8 9 b) Lös ekvationssystemen 3 2 z b för b = 0 8 resp. 9 genom att utnyttja LR-faktoriseringen i a) a. LR-faktorisera A = 8 9 och använd den för att lösa systemet Ax = b) Bestäm LR-faktorisering av A = så att L = a. Utnyttja faktoriseringen för 5 5 att lösa Ax = b då b är (i) 8! (ii) 9. Algoritmer 92. Vi har fyra algoritmer A, B, C och D för att lösa ett problem som innehåller n variabler. Tiden för att lösa problemet beror av n enligt följande: A! t = k n (sek) B! t = k 2 n3 C" t = k 3 2n D! t = k 4 lgn

29 Om n = 000 så tar det sekund med algoritm A, 0.0 s med B, 0 9 sekunder med C och minut med D. Uppskatta tidsåtgången för de fyra algoritmerna då a) n = 0 000!! b) n = ! c) n = 0 6! d) n = 0 9!! e) n = Jämför algoritmen B i föregående uppgift med E: t = k 5 0n2. Om B tar hälften så lång tid som E för n = 000, vilken är bäst för n = 0 000? 94a) Vi har två algoritmer F och G. Deras tider för att lösa ett problem med n variabler är F:! t = k 6 ln n!! G:! t = k 7 n Då n = 00 så tar G halva den tid som det tar för F. Ungefär för vilket n tar algoritmerna samma tid? b) Som 94a men ersätt tiden för F med t = k 8 ln(n2 + n) och den för G med t = k 9 n n. Basbyten 95. Skriv följande tal i bas två.! a) 49! b) 58! c) 490! d) 0.7 e) AFFE sexton 96. Repetera basbytesuppgifterna 3 7 på den första stencilen. Feluppskattningsformeln 97. Vi har funktionen f (x,y) = x2 y 3. Beräkna f (5, 2) a) Bestäm de partiella derivatorna f x ʹ ʹ och f y. Vilket värde har de i (5, 2)? b) Vi vet att x 0 = 5.00±0.02 och y 0 = 2.00± Använd resultatet i b för att ge en feluppskattning av f (x 0,y 0 ). c) Repetera 2 och 20 på tidigare stencil. Ekvationslösning 98a) Var skär kurvan y = e x den räta linje som går genom (6, 0) och (0, 0)? Svara med fem decimalers noggrannhet. b) Titta t.ex. på 27 och 28 på tidigare stencil. 99a) Använd lämplig algoritm för att iterera fram ett närmevärde till lösningen av x + x 2 + 5x 3 = 2 0x x 2 + x 3 = 8 x + 20x 2 + x 3 = 7 Använd startvektorn x 0 = och bestäm x 3. b) Repetera 37 39, 43, 5 på tidigare stencil.

30 x x x 00a) Lös ekvationssystemet x 4 = utan att multiplicera ihop de triangulerade matriserna. b) Repetera 47, Integraler 0. e x sin xdx 0. Bestäm 0 a)med Maclaurinutveckling så att det blir sex korrekta decimaler. b) med trapetsregeln och Richardsonextrapolation. Använd steglängderna 0., 0.05 och Vilken noggrannhet ger detta? c) Repetera 60, 63, 65, a) Bestäm a) det andragradspolynom! b) det sjättegradspolynom som bäst ansluter sig till punkterna (±3, 0.), (±2, 0.2), (±, 0.5), (0, ). b) Repetera Differentialekvationer 03. Bestäm ett närmevärde till y(0.2) om man vet att y ʹ = y 2 och y(0) = a) med Eulers metod och Richardsonextrapolation. h = 0.2, 0. och 0.05 b) genom att Taylorutveckla y kring x = 0. c) Förklara varför det inte fungerar för y(.2). d) Repetera Facit: (Om dina svar inte stämmer med facit kan jag ha räknat fel. Anmäl gärna om du upptäcker felaktigheter.) x = x = 9a) y 0 ger y x y = b) faktoriseringen ger med z 7 x =.2 och y t 2 + t 3.5 2t 3 2t (i) t (ii) t

31 92)!!! A" " B" " C" " D! t 000!! s!! 0.0s!! 0 9 s!! 60s! 0 000! 0s!! 0s!! *)!! 80s ! 00s! c:a 3h!!! 00s! ! c:a 20 min! c:a 4 mån!! 2 min 0 9! c:a 2 dygn c:a år! 3 min 0 2! c:a 32 år! c:a år 4 min *) Med tanke på att universums nuvarande livslängd är av storleksordningen 0 0 år blir C-algoritmen ganska snart ointressant för praktiskt bruk. Redan n = ger värden kring , om man sedan räknar i nanosekunder eller år spelar mindre roll. Det är i alla fall mer än gånger universums nuvarande ålder. 93) Då n = 2000 är algoritmerna lika snabba. För n = tar B 500 gånger så lång tid. 94a) Ungefär vid n = 000.!! b) Ungefär vid n = 70 (ej så noga räknat) 95a) 0 00! b) 00! c) 0 00!d) e) 00 0! 97) 200±(.6+.5) 200±4 98a) (5.9985, ) och ( (49), 4.453) ( den andra punkten kräver mer än fem decimaler i x-värdet för att ge fem decimaler i y-värdet). ( ) T! 00a) ( 2 2 3) T 99a).99(57) 0.99(7) 0.99(63) 0a) ± (tre termer)! b) ± a) y = 3 45! b) y = 0.64x x 4 0.0x 6 03) Exakt: y = x ; x <. x =.2 ligger på andra sidan asymptoten x =.

32 cψ ln t f (t) = 05) Betrakta λe ρ +ψ π där ψ är en konstant, c =.27, λ = och ρ = Experiment har visat att f (2048) =.65. Bestäm f (024). 06) Beräkna a) !! b) a x x a a x 07. På femton år ökar befolkningen i ett land med 8%. Hur mycket ökar den på a) trettio år! b) fyrtiofem år! c) 20 år! d) 7.5 år om ökningen antas exponentiell. 08a) Ett radioaktivt preparat har minskat med 35 % på 787 år. Hur många procent minskar det på 4000 år? Svara med tre gällande siffror. b) Ett annat radioaktivt ämne minskar med 5 % på sju minuter. Hur många procent återstår efter sju sekunder? 09a) Antag att jorden är ett matematiskt klot med omkrets 4000 mil. Ett snöre dras millimeter norr om ekvatorn. Hur mycket kortare är det än ekvatorn? b) Ett annat snöre ligger längs ekvatorn. Det förlängs med en meter. Om man lyfter upp det så att det ligger lika högt över jordytan hela varvet, hur högt blir det? 0) Du kör båt och kan välja mellan två vägar. Den ena är 25 % längre men där kan du köra fortare och tjänar 20 % i tid. Antag att bensinförbrukningen per mil är proportionell mot hastigheten i kvadrat. Med vilken faktor ändras bensinförbrukningen för hela sträckan om man väljer den längre vägen i stället för den kortare? a) Beräkna b) Kan uttrycket ( x a) ( x b) ( x c) ( x ä) ( x ö) förenklas. Hur i så fall?

33 Kommentarer 05 05) Nästan alla försöker lösa ut ψ vilket är krångligt (och omöjligt om man vill ha ett cψ ln 024 f (024) = λe ρ +ψ π f (2048) cψ ln 2048 exakt värde). Mycket enklare är att ställa upp sambandet λe ρ +ψ π. f (024) ln 024 = Det ger efter förkortning och insättning.65 ln Nu klarar man sig till och med utan räknare, med logaritmlagarna får man att f(024) =.5. Kommentar. Man bör alltså se hela klumputtrycket cψ λe ρ +ψ π som en konstant, säg k. Då blir den ursprungliga funktionen f (t) = k ln t som är lättare att handskas med. Vad k har för värde spelar ingen roll i detta fall. 06) Det enklaste vid denna typ av dubbelbråk är alltid att multiplicera täljare och nämnare med den minsta gemensamma nämnaren för alla nämnarna. I a - uppgiften 6 4 förlänger man alltså med 96 vilket genast ger 9 0. I b) får man (x+a). 07. Nästan alla börjar med att beräkna tillväxtfaktorn för ett år:.08 / Då måste man vara försiktig med avrundningsfel. Bättre är att se 5 år som en tidsenhet. På en tidsenhet är tillväxtfaktorn.08. Eftersom 30 år är 2 tidsenheter blir tillväxtfaktorn , dvs ökningen är knappt 7 %. Samma ide ger i de övriga uppgifterna tillväxtfaktorerna.083, respektive a) Samma ide som i 07. Beräkna inte minskningen på ett år utan se 787 år som en 4000 tidsenhet. Då är 4000 år lika med 787 t.e. och förändringsfaktorn vilket ger en minskning på 88 %. b) Här kan man få litet stilpoäng om man ser att sju sekunder är en sextiondel av 7 minuter , minskningen blir c:a 0.27 %. 09a) Det svåra är att räknaren ger cos v för v nära noll. Snöret är alltså ungefär lika långt som ekvatorn. Det visste vi redan, frågan var hur mycket kortare. Poängen är att man kan använda Maclaurinutveckling cosv v2 2 (radianer!). Svaret blir c:a mm (om jag minns rätt). b) Denna uppgift är betydligt enklare än a. Det förvånande är att svaret blir detsamma oavsett om snöret ligger runt jordklotet eller runt en apelsin; knappt 6 cm.

34 0) De flesta blir överraskade. Om det går liter för den korta vägen går det drygt 3 liter för den längre vägen. En typiskt praktisk ingenjörsuppgift, men förvånande svår. a) Lättare utan räknare svaret är 0.0 (exakt). b) Kräver nästan inga mattekunskaper alls. Svaret är 0 för alla x.