Analys o Linjär algebra.. p.1/106

Transkript

1 Analys o Linjär algebra. p.1/106

2 Analys o Linjär algebra Lektion 1. p.2/106

3 Kurstema Tema: Hitta! vad menas? varför? hur?. p.3/106

4 Grundläggande begrepp: variabler samband modell funktion ekvation lösning beräkning. p./106

5 Vidare existens entydighet stabilitet residual - fel. p.5/106

6 Exempel För cirklar verkar gälla o r h a b där är en konstant.. p.6/106

7 Exempel För trianglar gäller där arean. Här variabler, där t.ex. resp. och kan betraktas som oberoende variabler, varvid resp. blir beroende variabler.. p.7/106

8 Exempel För en fjäder verkar gälla (Hooke) l 0 l x där spänningen/reaktionskraften, längdförändringen/töjningen, konstant.. p.8/106

9 # " $ # "! #! " $ Variabelsambandet är en matematisk modell av sambandet mellan töjning och spänning (Hookes lag). Exempel Vid fritt fall gäller där är tiden, är (fall)hastigheten, är sträckan, och är en konstant,.. p.9/106

10 # $! # # # # # # $ #! # # #. p.10/106. Kan uttryckas funktioner av och Här är # ( där (! resp. # ) där $ eller kortare, # ) # utgår alltså från ett -värde och ger motsv. resp. sträcka. resp. hastighet ( $ (!

11 Funktioner kan visualiseras med grafer: v s v = f 1(t) = 10 t s = f 2(t) = 5 t t t. p.11/106

12 #! " Sambandet kan åskådligas: σ σ = f(l) l 0 l Vilka samband är linjära? Vilket är icke-linjärt? Variablerna och är proportionella (med proportionalitetsfaktor ).. p.12/106

13 * En ekvation är en likheter som vill bli uppfylld : Exempel Bestäm den töjning om : som motsvarar spänningen * Att lösa en ekv. + att hitta det/de som passar i ekv. Här. p.13/106

14 # ) #, # " Exempel Bestäm den tid som motsvarar fallsträckan : Vilket/vilka passar i denna ekv.? Finns lösning? Finns flera? Är den/de felkänsliga ( )? y y = t 2 2?? t. p.1/106

15 - # # " # # Felkällor Exempel Hur lång tid tar ett fritt fall på meter? Modell:., dvs. Lösning: / Modelleringfel: Friktion försummad, och Beräkningsfel:. / 3 0 / löser inte ekv. exakt, ty. p.15/106

16 # # # # # # # Residual: Idealt gäller residualen. / / uppfyller. För vårt, som kallas residualfelet, eller bara Vad säger residualen om felet i -värdet?, dvs vad säger -felet om -felet? Finns samband? /. p.16/106

17 ; : 9 Omskrivning av ekvation Ekvationer med samma lösningar kallas ekvivalenta. Exempel,? <>= Speciellt: En ekv. kan alltid skrivas på formen.. p.17/106

18 @. p.18/106 Omvänt gäller t.ex.:,, 3 med 2@ " där " Kommer att utnyttjas vid s.k. fixpunktsiteration senare.

19 1 1 Notera: Vid oförsiktig kan lösningar tillkomma:, A B 3 eller eller försvinna:, A C 3 Vad är problemet här?. p.19/106

20 F G G Funktioner av flera variabler Exempel DE ger arean av. Exempel resistans ger effektutv. i ett motstånd med vid ström G G replacements. p.20/106

21 H I L N M N M I Q O # Q # O Exempel och volym H Exempel Tempen, dvs ( ger trycket i en gas med temp., mol, gaskonstant.) J K varierar med lägeskoord.. och tiden. p.21/106

22 R R ; U Definitionsmängd Tillåtna/avsedda input till, eller. betecknas Exempel Funktionen kan sägas ha definitionsmängd, dvs mängden av alla rationella tal utom talet, eftersom divition med inte kan definieras på ett naturligt sätt. T S VXW Y 3. p.22/106

23 I I I I H I I L Exempel Betrakta tryckfunktionen. Av matematiska skäl kan inte variabelkombinationer med ingå i definitionsmängden. Men dessutom måste man ju här tänka sig att både och är positiva tal. Varför? Vidare kan man tänkas vilja inskränka definitionsmängden ytterligare (ganska mycket) för att skall kunna ge ett någorlunda rimligt/noggrannt värde på trycket. H H Det är alltså upp till konstruktören av en funktion att bestämma dess definitionsmängd, dvs vilka argument den kan matas med. I matematisk mening brukar man annars tänka sig att definitionsmängden är den störsrta möjliga, som för funktionen S ovan. H J K H. p.23/106

24 N N N ; [/ [ Y Z R ^ N _ Värdemängd Resulterande output. Värdemängden för en funktion betecknas, eller ( för range. Exempel Funktionen T W 1 med definitionsmängden är helt enkelt. Exempel Lösningarna till ekvationen brukar ju betecknas och, dvs betecknar det positiva tal för vilket. Man skulle förstås lika gärna kunna ha bestämt sig för att låta beteckna motsvarande negativa tal. Men för gäller alltså speciellt. ]\. p.2/106

25 ` + W Monom, polynom och rationella funktione De enklaste funktionerna: y y = x y y = x 2 x x y y = x 3 y y = x x x kan (tillsammans med ) användas till att konstruera mer komplicerade fknr, monom, polynom och rationella fknr:. p.25/106

26 + + + W Monom: a, olynom: a,... dvs summor av multipler, s.k. linjärkombinationer, av,,,,... p.26/106

27 M M + * M år kapitalet Exempel Insatskapital, årsränta, ger efter. Kapitaltillväxten ges av b b För : * * + : rta på rta där sista resp. de två sista termerna utgörs av ränta på ränta.. p.27/106

28 ; 9 Exempel Om insatskapitalet lyfts efter ett år, men räntan kvarstår ytterligare år erhålls. För vilket erhålls?, dvs? <>= x f(x) ? 1 x. p.28/106

29 Linjära polynom/fknr Egentligen funktioner där och är proportionella, dvs y=k x men i dagligt tal även: y=k x+m : y = k x y = k x + m y y = 2 x y 1 y = x m 1 y = x 2 x x y = 3 x. p.29/106

30 c c c. p.30/106 motsvaras av linje i planet. Om och en punkt på linjen kända, dvs ett och motsvarande, så kan beräknas: 2c c på linjen givna så kan Om två punkter och både och beräknas: c c ger 2c c dvs

31 c 2 1 y y 1 2 x x 1 2 varefter fås som ovan.. p.31/106

32 c * * c. p.32/106. och gäller c Exempel För : och Bestäm c c ger dvs varav ) * dvs Kontrollera!!! ) *

33 olynom av grad 2 kan skrivas på formen Underlättar visualisering/plottning bl.a.. p.33/106

34 Exempel ) konstruerad i tre steg: y y = (x+1) 2 y 1 x 1 x y = 0.5 (x+1) 2 y 2 y = 0.5 (x+1) x. p.3/106

35 ) ) * * ) * * * / Omskrivningen bygger på kvadratkomplettering: Exempel Kvadratkomplettering ligger till grund för lösn. proceduren för 2:a gradsekv.:. p.35/106

36 Exempel ), * * ), * * ), * d * ), * d * ). p.36/106

37 M ` + * Har mött polynom-funktioner b b (av grad om ) där är givna tal/konstanter, dvs linjärkombinationer av de enklaste funktionerna av hela polynom ger nya polynom. Exempel b 3 b. Linjärkombinationer + * + * *. p.37/106

38 Även multiplikation av polynom ger nya polynom. Kvoter mellan polynom ger däremot en ny typ av fkn, s.k. rationella fknr. Exempel y x. p.38/106

39 + + " ` + " ;? e ; Y " R U. p.39/106 Dvs polynom kan i sin tur adderas (allmännare linjärkombineras), multipliceras o. divideras. Division ger s.k. rationella fknr. ger * ", Exempel W " W * " = gf W j hi= + =? e <>= ; <>= eär Den naturliga definitionsmängden för funktionen. 3 " lk R W T förstås

40 artialbråksuppdelning: Exempel: m n där m S * och n ) S *, ty m n m n m n f m n vilket ger m och n.. p.0/106

41 o Generellt: Allmänt följer man schemat om täljarens gradtal polynomdivision nämnaren faktoruppdelas lämplig ansats ställs upp koefficienterna identifieras nämnaren utförs först. p.1/106

42 p m + m p n Exempel: n varefter, och beräknas som förut. Observera att linjär täljare måste ansättas om nämnaren av grad 2!. p.2/106

43 m p R n + + m R Exempel: varefter.. beräknas som förut. Observera att multipla nämnarfaktorer kräver speciell ansats!. p.3/106

44 M c 1 M p./106, så finns. av grad q av grad och sådana att L olynomdivision Givet polynom och polynom q L. har grad och där restpolynomet Exempel:? <>= s? < = r beräknas som följer: och olynomen

45 Kommer även att jobba mkt med funktioner som styckvis är polynom, s.k. styckvis polynom. Exempel y y y = x x x. p.5/106

46 t " u " Sammansättning av fknr " t Den sammansatta funktionen betecknas även.. p.6/106

47 / " ". p.7/106 ger, Exempel / / " i allmänhet. (Vad u " 3 " u dvs observera speciellt att betyder i allmänhet här?).

48 w v y x Hur lösa? Har mött ekv. I * motsv given spänning 2 och styvhet 3, och och sökt töjning, II motsv fritt fall I har lösning (m) med sökt falltid. * vad menas?. p.8/106

49 M b { z * S M Lättare greppa ändliga decimalutvecklingar: 6:or Har att + hurdå b. Jo, b f Z b * dvs kan få hur nära som helst! (genom att välja tillräckligt stort för aktuellt behov). b. p.9/106

50 T 9. p.50/106 Säger att följden, vilket +, konvergerar mot Y} b b betecknad kortfattat skrivs * b ~} b lim eller ibland _ t M då * t b Notera likhetstecknet i limesvarianten!

51 eriodiska decimalutvecklingar Rationella tal som och decimalutvecklingar (AM:BS sid. 58). Exempel: + har periodiska Omvänt, (AM:BS sid ) eriodiska decimalutvecklingar motsvarar rationalla tal! Men, det finns ju... p.51/106

52 Icke-periodiska decimalutvecklingar Exempel Detta måste alltså vara ett icke rationellt, eller irrationellt, tal.. p.52/106

53 q L q L L L q / q Talet antag, om det nu finns, måste också vara irrationellt, ty med och heltal, och att vi förkortat så att r s ej båda jämna. Då gäller dvs måste vara jämnt, dvs för ngt heltal, dvs varav följer att även måste vara jämnt. Kommer alltså till en motsägelse som visar att ej kan vara rationellt. r s, dvs. p.53/106

54 / A * A ) ` ) [) ^ ) `? och. p.5/106 Hur beräkna /. dvs hitta decimalerna i Bisektion, eller intervallhalvering. Finner att. Söker mellan och. Kollar. Finner att. Koncentrarar oss på och kollar nya mittpunkten :, osv... 1 Söker s.a. att mittpunkten ) ` + intervallet 1

55 G ƒ a ) * * a ) * / a ) * / a ) * / ) / ) ƒ ƒ. p.55/106 ƒ ) ) ) ) Ser att skillnaden blir mindre o. mindre, och att fler och fler decimaler överensstämmer i och. ƒ ƒ

56 ) a ) ) ƒ Uppgift: Skriv ett matlab program som succesivt beräknar talen (och ), här ekvation med givna och sådana att och har olika tecken. ƒ * /, för godtycklig. p.56/106

57 function int = MyBisect(f, int, tol) Solves f(x) = 0, that is, given f = f(x) and an interval int = [a,b] on which f changes sign, and a tolerance tol, the solver uses succesive bisection of the given interval int to finds a subinterval int of length at most tol, containing a solution x.. p.57/106

58 input arguments: f a string (such as sin(x) ) representing f(x) int an interval [a,b] such that f(a)*f(b)<0, that is, on which f(x) changes sign tol a given (positive) tolerance (such as 0.001) while diff(int) > tol. p.58/106

59 while diff(int) > tol x = int(1); leftvalue = eval(f); x = int(2);... x = sum(int)/2; midpointvalue = eval(f); if leftvalue * midpointvalue < 0 int(2) = x; elseif... int(1) = x; else... p.59/106

60 while diff(int) > tol.. if leftvalue * midpointvalue < 0 int(2) = x; elseif... int(1) = x; else disp( Check that f changes sign on given interval! ) return end end. p.60/106

61 komplettera koden enligt angivna specifikationer kör ett antal testexempel komplettera med data-check komplettera med auto-stop vid icke-konvergens skriv variant som levererar en approximtiv rot som utdata. p.61/106

62 Y} 9 ƒ a * Konvergens Noterar att följden vad? Jo, mot T ƒ försöker konvergera, men mot * ) * / / roblemet är nu: Hur räknar man med sådana tal? Multiplicerar med t.ex.? Återkommer till detta!. p.62/106

63 @ e : 9 " " " " " f Fixpunktsiteration Skriver om ekv med ngt 3? <>= Söker s.a. ", dvs lämnar fixt! Idé: Tag godtyckligt och mata in i. Kalla resultatet, dvs. Om är allt klart; är en fixpunkt, eller hur? Annars, mata in i och kalla resultatet, osv, dvs sätt ƒ ƒ. p.63/106

64 W " t f f Dvs, iterationen ƒ ƒ ƒ ger följd Om följden mindre skiljer sig åt, ger detta fler och fler decimaler i en lösning till. ƒ ƒ f ƒ + h. konvergerar, dvs talen i följden allt ". p.6/106

65 " " Q Z " Q " Q När konvergens? Frågar oss först: Ligger?: ger " närmare och än vad ligger nära " " Om nu är en fkn sådan att för alla möjliga till konvergens! med 1 så blir svaret ja, vilket leder. p.65/106

66 " Har sökt lösn till med bisektion, och till med fixpunktsiteration, dvs " Har också noterat att kan skrivas med, och omvänt att, t.ex. med, " " " 3, t.ex. kan skrivas Ekvationen " uppkommer ofta naturligt:. p.66/106

67 ) ) * * Exempel Du säljer jultidningar för (tusen) kr. Förlaget tar, plus i fast avgift. Hur mycket måste du sälja för att nå break even? Jo, så att ŠW inkomsten / / kostnaderna dvs + * (tusen) kr.. p.67/106

68 Vad ger fixpunktsiteration i detta fall? Tar som exempel. Får " ` ` ` " ` ` ` + " ` ` ` ` ` ` + ` ` ` ` f ` ` S.k. geometrisk summa eller dito serie.. p.68/106

69 Allmänt: $ + f beräknas genom multiplikation med : $ + h h dvs $ h för 3 Analogt: $ ƒ ƒ h Œ f Ž gf. p.69/106

70 / S / S * 9 * S * S. p.70/106 För fixpunktiteration ovan gäller alltså : h * t / * * / S / S _ t. då Y} T konvergent med gränsvärdet Säger att följden : * S ~} lim löser den och har redan noterat att gränsvärdet givna ekvationen. "

71 Geometriskt har följande hänt: y y = x g(x 1 ) g(x ) 0 y = x + 1 g(x) _ 1 x 0 x 1 x. p.71/106

72 function x = MyFixed(g, x, tol)... while abs(dx) > tol... dx =... x = x + dx;... end dx x x + dx x. p.72/106

73 Supply comments data checks non-convergence auto-stop system version g as sting/eval or as function testing, double root applications. p.73/106

74 * S Y} f Z A o Z Följden T konvergent med gränsvärdet 9 ty / * dvs kan fås att överensstämma med med godtyckligt många decimaler, genom att ta tillräckligt stort. Brukar uttryckas: Till godtyckligt litet finns s.a. om bara. p.7/106

75 Y} A o G Z Kan man veta om en följd är konvergent utan att känna dvs dess ev. gränsvärde? Defintion En följd litet finns s.a. T är en Cauchy följd om till godt. 9, ƒ om bara. p.75/106

76 A Z Z o G En konvergent följd måste vara Cauchy, ty givet då hitta s.a. kan vi ƒ ƒ för tal).. Har här utnyttjat triangelolikheten (för rationella. p.76/106

77 o G o G Omvänt definierar en Cauchyföljd en entydigt bestämd decimalutveckling, ty om t.ex. vi tar så finns s.a. alla talen och med skiljer sig åt först i 7:e decimalen, och om vi tar så finns (gissningsvis större än det förra) s.a., med alla överensstämmer i de 50 första decimalerna, osv. ƒ ƒ f f. p.77/106

78 [ [ \ h Y} 9 [ o G U f Z A o G Z Y} 9 Åter till bisektionsalg. applicerad på ekv. vilken med, genererar följd av intervall mer och ( delmängd av/innehållet i). Följden för gäller ju och därmed f ƒ ^ ^ T h [ \ ^ ^ bildar då en Cauchyföljd, ty, ƒ dvs givet finns s.a. ƒ om bara tillr. stora Men då måste följden (rationellt eller irrationellt) gränsvärde T vara konvergent och ha ett.. p.78/106

79 ~} ~} T ~} T Men vet vi nu att detta löser den givna ekvationen, dvs att Notera att vi inte kan beräkna t.ex. för irrationalla löser problemet genom att helt enkelt definiera. Vi lim lim om detta är möjligt, dvs om följden konvergent så att den har ett gränsvärde Y} 9 visar sig lim Noterar att är väldefinierat rationellt tal. Alltså gäller det nu bara att visa att Y} 9 är en Cauchyföljd.. p.79/106

80 / Z Y G. p.80/106 Z Z med V U Men för funktionen och alla gäller Z, ty med / Z högst. Men härav följer att dvs (L) gäller med / ƒ Z ƒ T om bara tillr. stora, dvs Cauchyföljd ty Cauchyföljd Lipschitskontinuerlig (uppfyller (L)). Y T

81 Y Sats Om Lipschitzkontinuerlig på så konvergerar följden bisektionsalgoritmen mot en rot till. 1 ^ [ T och i, dvs s.a.. p.81/106

82 Y} 9 Y} T 9 Y} T Y} 9 ~} Har sett hur bisektion tillämpad på ekv (med t.ex. och ) ger en följd följd, s.a. T 9 och en 1 1 Följden (liksom ) är en Cauchy följd, vilken definierar ett entydigt bestämt (rationellt eller irrationallt) reellt tal med T lim. p.82/106

83 ~} [ ^ [ ^ Z T / ~} ~} Ställde frågan: Löser detta den givna ekv., dvs gäller lim Eftersom funk. fanns vara Lipschitz kontinuerlig i det aktuella intervallet, dvs s.a. för alla med, följer att även följden funktionsvärden är Cauchy. Vi kan därför definiera Y} i 9 av motsvarande lim lim dvs vi har lyckats ge mening åt, dvs att. Nu återstår att kolla att. p.83/106

84 Z A ~} lim? Men enl. (*) har vi Z / f / Z tillr. stort, dvs, om bara för godtyckligt litet _ t då t eller QED ~} lim. p.8/106

85 Lipschitz kontinuitet Exempel Linjära funktioner är Lipschitz kontinuerliga: y y = g(x) = 2 x g(b) g(a) y = f(x) = _ 1 x 2 a b x. p.85/106

86 I exemplet: Z S " " Z Mera allmänt: Lipschitz kont. med.. p.86/106

87 [ ^ / ^ [ * + Z är Lipschitz kont. Exempel Har redan visat att på med., med är Lipschitz kont. på + Exempel ty + * Z. p.87/106

88 Exempel olynom b b är Lipschitz kont. på begränsade intervall ^ [ (för givna rationella coefficienter ). Exempel Funktionen är Lipschitz med : Z T.ex. gäller om 1 : Z Z dvs Z. p.88/106

89 + š [/ ^ ) š š Enl. ovan har vi för Lipschitz kontinuerliga funktioner kunnat ge mening åt även för irrationella. Speciellt kan vi då ge mening åt sånt som och, eftersom är Lipschitz, liksom på begränsade intervall, som t.ex. innehållande det irrantionella talet (som figurerar i vårt allra första exempel i formen ). / * 0 + ". p.89/106

90 š Men hur beräknar man då sådant som involverar mer än ett irrationellt tal, som t.ex.? Det visar sig att nyckeln till ett svar på sådana frågor är att betrakta funktioner av flera variabler, i det aktuella fallet vill vi för irrationella tal och kunna beräkna lim lim lim lim. p.90/106

91 T Vi definerar som för en Lipschitz kontinuerlig funktion av en variabel: lim lim ~} lim Som tidigare är detta ok om bildar en Cauchyföljd. Vi undersöker därför om Lipschitz, dvs om Y Z. och för alla aktuella. p.91/106

92 Z œ finner vi att För max Z Z : 9 d (b, b ) 1 2 (a, a ) 1 2 d c c. p.92/106

93 ƒ Z ƒ Z ƒ Y G A Byt nu följer att mot ƒ och mot, och det ƒ ƒ för godtyckligt litet är en Cauchyföljd. om bara tillr. stora, dvs T x y x y j j j j π x 2 π 2. p.93/106

94 x S o A q L q L " o o " ", Z " o Funktionen w vž Vill här för. Ÿ rationellt med och definera Exempel. Definierar som den entydigt bestämda lösningen till (eller ). Har sett att sådan lösning finns för. Analogt för andra rationella. Entydigheten följer av att är strängt växande med växande, dvs, dvs två olika -värden kan ej ha samma kvadrat. 1 1 o l. p.9/106

95 A p.95/106 Implikationen följer av att 1 Z för 2 y 2 2 y 1 y y 2 y 1

96 s r S Ÿ L q L s h N t h V h N t h N. p.96/106 som definieras A q, till A l För allmänt lösningen r vilken sedan kan genom Ÿ W Ÿ W Detta definierar utvidgas till ~} lim som tidigare!

97 otenslagarna: Har för A, A och rationella L S q och O $ S # (som för heltalspotenser) att Ÿ Ÿ h Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ. p.97/106

98 Ÿ Ÿ s r s r r s Ÿ Ÿ! r s r r s s! p.98/106 Bevis av potenslagarna: Ÿ och och, dvs. Ledvis multiplikation ger att! Sätt?? <>= 9 <> 9 dvs Ÿ! QED.

99 ! - r s Ÿ!! s s - s!!. p.99/106 Bevis av potenslagarna: Ÿ Ÿ. Härav och, dvs och! Sätt r r s - s! dvs Ÿ «ª QED. Övning: Bevisa den återstående potenslagen.

100 f f f Invers funktion Om till varje finns ett entydigt bestämt sådant att så betecknas detta även, dvs om entydigt bestäms ax på detta sätt kan kan ses som värdet av en funktion av betecknad, dvs. y y = f(x) y 1 x = f (y) x. p.100/106

101 " " " " vara en kontraktion, dvs en funktion sådan att När funkar fixpunktsiteration? Låt Z. 1, för något och för alla. sådant att Söker Genererar följd h ƒ ƒ f ƒ h f. Visar att följden är en Cauchy följd. h W " sådan att. p.101/106

102 " " f f Z Z f f f ƒ Z f ƒ Z Har att Z h Z Analogt h Z h h o.s.v. Dvs ƒ ƒ h Z ƒ h h h. p.102/106

103 Y " " " " h Alltså är följden T konvergent med ett gränsvärde. Återstår att visa att. Men lim lim lim QED. p.103/106

104 " " Z " " Kan det finnas flera fixpunkter? Nej, ty antag att både och. Då och är fixpunkter, dvs att vilket endast är möjligt om finnas två (olika) fixpunkter! ty 1. Dvs det kan inte. p.10/106

105 N t N "W " h Har nu bevisat följande: En kontraktion har en entydigt bestämd fixpunkt, vilken kan beräknas med iterationsmetoden W.. p.105/106

106 " [ ^ [ ^ " " Resultatet kan generaliseras till det fall är en kontraktion på ett givet intervall, dvs avbildar alla i på -värden i samma intervall, och sådan att är Lipschitzkontinuerlig med på intervallet. Då finns ett entydigt bestämt i intervallet sådant att. " y 1 b y = g(x) a a b x. p.106/106