Kapitel Grafer för koniska sektioner

Transkript

1 Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före grafritning av en konisk sektion 14-2 Grafritning av en konisk sektion 14-3 Grafanalys för koniska sektioner

2 14-1 Före grafritning av en konisk sektion k Att gå in i läget CONICS 1. Välj ikonen CONICS på huvudmenyn för att gå in i läget CONICS. Följande inbyggda funktionsmeny visas då på skärmen. 2. Använd f och c för att framhäva önskad funktion och tryck sedan på w. Följande nio inbyggda funktioner kan användas. Graftyp Parabel Funktion X = A (Y K) 2 + H X = AY 2 + BY + C Y = A (X H) 2 + K Y = AX 2 + BX + C Cirkel (X H) 2 + (Y K) 2 = R 2 AX 2 + AY 2 + BX + CY + D = 0 Ellips (X H) 2 (Y K) 2 + = 1 A 2 B 2 Hyperbel (X H) 2 (Y K) 2 = 1 A 2 B 2 (Y K) 2 (X H) 2 = 1 A 2 B 2 194

3 14-2 Grafritning av en konisk sektion Exempel 1 Rita cirkeln (X 1) 2 + (Y 1) 2 = 2 2 Xmin = 6.3 Ymin = 3.1 Xmax = 6.3 Ymax = Välj funktionen vars graf du vill rita. cccc 2. Tryck på w för att uppvisa variabelinmatningsskärmen. Graffunktion Funktionsvariabler Värdena som visas är de värden som nu är tilldelade varje variabel, vilka är generella variabler som används av räknaren. Om värdet inkluderar en imaginär del visas endast den reella delen. 3. Tilldela värden till varje variabel. bwbwcw Det går även att använda f och c för att framhäva en variabel och sedan mata in ett värde. 4. Tryck på 6 (DRAW) för att rita grafen. Sid. 136 Vissa tittfönsterparametrar kan göra att cirkelgrafen ter sig elliptisk. I detta läge går det att använda grafkorrigeringsfunktionen (SQR) för att göra korrigeringar och framställa en perfekt cirkel. 195

4 14-2 Grafritning av en konisk sektion (X 3) 2 (Y 1) 2 Exempel 2 Rita hyperbeln = Xmin = 8 Ymin = 10 Xmax = 12 Ymax = Välj funktionen vars graf du vill rita. ccccccc 2. Tryck på w för att uppvisa variabelinmatningsskärmen. 3. Tilldela värden till varje variabel. cwcwdwbw 4. Tryck på 6 (DRAW) för att rita grafen. k Att observera vid grafritning av koniska sektioner Det uppstår ett fel om du tilldelar följande typer av värden till variablerna i de inbyggda funktionerna. (1) Parabelgraf A = 0 (2) Cirkelgraf R = 0 för (X H) 2 + (Y K) 2 = R 2 A = 0 för AX 2 + AY 2 + BX + CY + D = 0 (3) Ellips/hyperbelgraf A = 0 eller B = 0 196

5 Grafritning av en konisk sektion 14-2 CFX Koniska sektionsgrafer kan bara ritas i blått. Koniska sektionsgrafer kan inte överskrivas. Räknaren tömmer automatiskt skärmen före ritning av en ny konisk sektionsgraf. Det går att använda sökning, rullning, zoomning eller skissning efter ritning av en konisk sektionsgraf. Det går dock inte att använda rullning under pågående sökning. Grafritning av en konisk sektion kan inte införlivas i ett program. En parabel är den geometriska orten för punkter som är lika långt från den fasta linjen l och den fasta punkten F som ej är på linjen. Den fasta punkten F är fokus, den fasta linjen l är ledlinje, den horisontella linje som passerar genom fokusledlinjen är symmetriaxeln, längden hos en rak linje som skär parabeln, passerar genom den geometriska orten och är parallell till den fasta linjen l är latus rectum, och punkten där parabeln skär symmetriaxeln är spetsen. Ledlinje l Symmetriaxel Latus rectum Spets A Fokus F (p, 0) En ellips är geometrisk ort för punkter som är summan av avstånd vars två fasta punkter F och F är konstanta. Punkterna F och F är fokus, punkterna A, A, B och B där ellipsen skär x- och y-axlarna är spetsar, x-koordinatvärden för spets A och A kallas för x-skärningspunkt, och y-koordinatvärden för spetsarna B och B kallas y-skärningspunkt. y-skärningspunkt B x-skärningspunkt A Fokus F Fokus F x-skärningspunkt A y-skärningspunkt B 197

6 14-2 Grafritning av en konisk sektion En hyperbel är geometrisk ort för punkter relaterade till två givna punkter F och F så att skillnaden i avstånd för varje punkt från de två givna punkterna är konstant. Punkterna F och F är fokus, punkterna A och A där hyperbelen skär x-axeln är spetsar, x-koordinatvärden för spetsarna A och A kallas x- skärningspunkt, y-koordinatvärden för spetsarna A och A kallas y- skärningspunkt, och de raka linjerna l och l', som kommer närmare hyperbelen när de avlägsnar sig från fokus, är asymptoter. Asymptot l Fokus F Spets A Spets A Fokus F Asymptot l' 198

7 14-3 Grafanalys för koniska sektioner Det går att bestämma approximationer för följande analysresultat med koniska sektionsgrafer. Beräkning av fokus/spets Beräkning av latus rectum Beräkning av mittpunkt/radie Beräkning av x-/y-skärningspunkt Ritning och analys av ledlinje/symmetriaxel Ritning och analys av asymptot Rita en graf över en konisk sektion och tryck sedan på för att uppvisa grafanalysmenyn. Analys av parabelgraf {FOCS}... {bestämmer fokus} {SYM}/{DIR}... ritar {symmetriaxeln}/{ledlinjen} {VTX}/{LEN}... bestämmer {spetsen}/{latus rectum} Analys av cirkelgraf {CNTR}/{RADS}... bestämmer {mittpunkt}/{radie} Analys av ellipsgraf {FOCS}/{X-IN}/{Y-IN}... bestämmer {fokus}/{x-skärningspunkt}/ {y-skärningspunkt} Analys av hyperbelgraf {FOCS}/{X-IN}/{Y-IN}/{VTX}... bestämmer {fokus}/{x-skärningspunkt}/ {y-skärningspunkt}/{spetsen} {ASYM}... {ritar asymptot} De efterföljande exemplen visar hur ovanstående menyer ska användas med olika typer av koniska sektionsgrafer. uatt beräkna fokus och spets [G-Solv]-[FOCS]/[VTX] Exempel Bestäm fokus och spets för parabeln X = (Y 2) Xmin = 1 Ymin = 5 Xmax = 10 Ymax = 5 199

8 14-3 Grafanalys för koniska sektioner 1 (FOCS) (Beräknar fokus) 4 (VTX) (Beräknar spetsen) Tryck på e för att beräkna den andra fokusen vid beräkning av två fokusar för en ellipsgraf eller hyperbelgraf. Ett tryck på d återgår till den första fokusen. Tryck på e för att beräkna den andra spetsen vid beräkning av två spetsar för en hyperbelgraf. Ett tryck på d återgår till den första spetsen. uatt beräkna latus rectum [G-Solv]-[LEN] Exempel Bestäm latus rectum för parabeln X = (Y 2) Xmin = 1 Ymin = 5 Xmax = 10 Ymax = 5 5 (LEN) (Beräknar latus rectum) uatt beräkna mittpunkt och radie [G-Solv]-[CNTR]/[RADS] Exempel Bestäm mittpunkt och radie för cirkeln X 2 + Y 2 2X 2Y 3 = 0 Xmin = 6.3 Ymin = 3.1 Xmax = 6.3 Ymax =

9 Grafanalys för koniska sektioner (CNTR) (Beräknar mittpunkt) 2 (RADS) (Beräknar radie) uatt beräkna x- och y-skärningspunkter [G-Solv]-[X-IN]/[Y-IN] Exempel Beräkna x- och y-skärningspunkt för hyperbeln (X 1) 2 (Y 1) 2 = Xmin = 6.3 Ymin = 3.1 Xmax = 6.3 Ymax = (X-IN) (Beräknar x-skärningspunkt) 3 (Y-IN) (Beräknar y-skärningspunkt) Tryck på e för att beräkna den andra omgången x-/y-skärningspunkter. Ett tryck på d återgår till den första omgången. 201

10 14-3 Grafanalys för koniska sektioner uatt rita och analysera symmetriaxel och ledlinje [G-Solv]-[SYM]/[DIR] Exempel Rita symmetriaxel och ledlinje för parabeln X = 2(Y 1) Xmin = 6.3 Ymin = 3.1 Xmax = 6.3 Ymax = (SYM) (Ritar symmetriaxel) 3 (DIR) (Ritar ledlinje) uatt rita och analysera asymptoter [G-Solv]-[ASYM] Exempel Rita asymptoter för hyperbeln (X 1) 2 (Y 1) 2 = Xmin = 6.3 Ymin = 5 Xmax = 6.3 Ymax = 5 5 (ASYM) (Ritar asymptoter) 202

11 Grafanalys för koniska sektioner 14-3 Vissa tittfönsterparametrar kan framställa fel i värdena som framställs som grafanalysresultat. Meddelandet Not Found visas på skärmen när grafanalysen inte kan framställa ett resultat. Det följande kan leda till felaktiga analysresultat eller göra det omöjligt att erhålla något resultat alls. När lösningen är tangent till x-axeln. När lösningen är en tangentpunkt mellan två grafer. 203