Kapitel 12: Plotta polärekvationer

Transkript

1 Kapitel 12: Plotta polärekvationer 12 Översikt över polärplottning Översikt över stegen i att plotta polärekvationer Skillnader mellan polär- och funktionsplottning I det här kapitlet beskrivs hur du plottar polärekvationer. Innan du läser detta kapitel bör du känna till innehållet i kapitel 3: Grundläggande funktionsplottning. Tänk dig en punkt (x,y) som den i bilden nedan. I en polärekvation är punktens avstånd (r) från origo en funktion av dess vinkel (q) med den positiva x-axeln. Polärekvationer uttrycks som r = f(q). Y x r (x,y) y Så här konverterar du mellan rektangulära koordinater (x,y) och polärkoordinater (r,q): x = r cos q y = r sin q rñ = xñ + yñ q = ìtan 1 x y + sign(y)øp 2 θ X Obs! Du hittar q genom att använda funktionen angle (x+iy), som automatiskt utför beräkningen ovan. Du kan visa koordinaterna för en punkt i antingen polär (r,q) eller rektangulär (x,y) form. Kapitel 12: Plotta polärekvationer 227

2 Översikt över polärplottning Grafen för polärekvationen A sin Bq bildar formen av en ros. Plotta rosen för A=8 och B=2.5. Utforska sedan utseendet av rosen för andra värden av A och B. Steg Tangenter Teckenfönster 1. Visa dialogrutan MODE. För grafläget väljer du POLAR. Som vinkelenhet (Angle) väljer du RADIAN. 3 B 3 DDDB1 2. Visa och rensa Y= Editor. Definiera därefter polärekvationen r1(q) = A sin Bq. Skriv 8 och 2.5 för A och B, respektive. # ƒ8 8W2.5Ïd 3. Välj visningsfönstret ZoomStd, som plottar ekvationen. Grafen visar endast fem kronblad på rosen. I standardvisningsfönstret är Windowvariabeln qmax = 2p. De återstående kronbladen har q värden som är större än 2p. Rosen ser inte ut att vara symmetrisk. Både x- och y-axeln sträcker sig från ì10 till 10. Detta intervall sträcker sig dock över ett längre avstånd längs x- axeln än y-axeln Visa Window Editor och ändra qmax till 4p. 4p kommer att beräknas till ett tal när du stänger Window Editor. 5. Välj ZoomSqr, som plottar om ekvationen. ZoomSqr ökar intervallet längs x-axeln så att grafen visas i korrekt proportion. $ D 42T 5 6. Du kan ändra värden för A och B om du behöver och sedan plotta om ekvationen. 228 Kapitel 12: Plotta polärekvationer

3 Översikt över stegen i att plotta polärekvationer När du vill plotta polärekvationer använder du samma allmänna steg som för y(x)-funktioner som beskrivs i kapitel 3: Grundläggande funktionsplottning. Skillnader som gäller för polärekvationer beskrivs på följande sidor. Plotta polärekvationer Ställ in grafläget (3) till POLAR. Ställ in vinkelenheten, om det behövs. Definiera polärekvationen i Y= Editor ( #). Tips! För att avmarkera statistiska plottningar (kapitel 9), trycker du på 5 eller använder för att avmarkera dem. Välj ( ), vilket markerar vilka ekvationer som ska plottas. Tips! (Valfritt) Om du ska plotta flera funktioner är det lättare att skilja dem åt. Ställ in visningsformatet (ˆ) för en ekvation. Tips! Zoom ändrar också visningsfönstret. Definiera visningsfönstret ( $). Tips! För att visa r och q, ställer du in Coordinates = POLAR. Ändra grafformatet ( F eller ƒ 9), om det behövs. Plotta de markerade ekvationerna ( %). Utforska grafen Du kan göra följande från graffönstret: Visa koordinaterna för en bildpunkt genom att använda den rörliga markören, eller för en plottad punkt genom att spåra en polärekvation. Använd menyn Zoom för att zooma in eller ut på en del av grafen. Använd menyn Math för att hitta derivatan, tangenter osv. Vissa menyalternativ är inte tillgängliga för polärgrafer. Kapitel 12: Plotta polärekvationer 229

4 Skillnader mellan polär- och funktionsplottning I detta kapitel antas att du känner till hur du plottar y(x)- funktioner (beskrivs i kapitel 3 Grundläggande funktionsplottning). I detta avsnitt beskrivs skillnader som gäller för polärekvationer. Ställa in grafläget Använd 3 för att ställa in Graph = PARAMETRIC innan du definierar ekvationer eller ställer in Window-variabler. Med Y= Editor och Window Editor kan du endast mata in information för det aktuella grafläget. Du bör också ställa in vinkelenheten (Angle) till de enheter (RADIAN eller DEGREE) du vill använda på q. Definiera polärekvationer i Y= Editor Du kan definiera polärekvationer för r1(q) t om r99(q). Tips! Du kan använda kommandot Define från grundfönstret (se bilaga A) för att definiera funktioner och ekvationer för vilket grafläge som helst, oavsett vilket det aktuella läget är. Y= Editor underhåller en oberoende funktionslista för varje inställning av grafläget. Anta exempelvis följande: Du definierar i grafläget FUNCTION en uppsättning y(x)- funktioner. Du byter till grafläget POLAR och definierar en uppsättning r(q)-ekvationer. När du återgår till grafläget FUNCTION är y(x)-funktionerna fortfarande definierade i Y= Editor. När du återgår till grafläget POLAR är r(q)-ekvationerna fortfarande definierade. Välja visningsformat Formaten Above och Below är inte tillgängliga för polärekvationer och är därför nedtonade på menyn ˆ Style i Y= Editor. 230 Kapitel 12: Plotta polärekvationer

5 Window-variabler Window Editor underhåller en oberoende uppsättning Windowvariabler för varje inställning av grafläget (på samma sätt som Y= Editor underhåller oberoende Window-variabler. Obs! Du kan använda negativt qstep. Om du gör det måste qmin vara större än qmax. Variabel qmin, qmax qstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Beskrivning Minsta och största q-värden att beräkna. Ökningen av q-värdet. Polärekvationer beräknas vid: r(qmin) r(qmin+qstep) r(qmin+2(qstep))... får inte överskrida... r(qmax) Gränser för visningsfönstret. Avstånd mellan skalstreck på x- och y-axeln. Standardvärdena (ställs in när du väljer 6:ZoomStd på menyn Zoom) är: qmin = 0. xmin = ë10, ymin = ë10, qmax = 2p (6, radianer eller 360 grader) xmax = 10, ymax = 10, qstep = p/24 (, radianer eller 7,5 grader) xscl = 1, yscl = 1, Du kanske måste ändra standardvärdena för q-variablerna (qmin, qmax, qstep) för att försäkra att tillräckligt många punkter plottas. Ställa in grafformatet Visa koordinaterna som r- och q-värden genom att använda F eller ƒ 9 för att ange Coordinates = POLAR. Om Coordinates = RECT, kommer polärekvationerna att plottas korrekt, men koordinaterna kommer att visas som x och y. När du spårar en polärekvation visas q-koordinaten även om Coordinates = RECT. Kapitel 12: Plotta polärekvationer 231

6 Skillnader mellan polär- och funktionsplottning (fortsättning) Utforska en graf Tips! Under en spårning kan du även beräkna r(q) genom att skriva q-värdet och trycka på. Tips! Du kan använda QuickCenter när som helst under en spårning, även om markören fortfarande befinner sig i fönstret. Liksom med funktionsplottning kan du utforska en graf med hjälp av följande verktyg. Koordinater som visas i polärform eller rektangulärform enligt inställningen för grafformat. Verktyg För polärgrafer: Rörlig markör Fungerar som med funktionsplottning. Zoom Fungerar som med funktionsplottning. Endast x- (xmin, xmax, xscl) och y- (ymin, ymax, yscl) Window-variabler påverkas. q-window-variablerna (qmin, qmax, qstep) påverkas inte, såvida du inte väljer 6:ZoomStd (som ställer in qmin = 0, qmax = 2p och qstep = p/24). Trace Du kan flytta markören längs grafen ett qstep i taget. När du påbörjar en spårning befinner sig markören på den först markerade ekvationen vid qmin. QuickCenter gäller för alla riktningar. Om du flyttar markören utanför fönstret trycker du på för att centrera visningsfönstret vid markörens position. Automatisk panorering är inte tillgänglig. Om du flyttar markören utanför fönstrets vänstra eller högra sida kommer visningsfönstret inte automatiskt att panoreras. Du kan däremot använda QuickCenter. Math Endast 1:Value, 6:Derivatives, 9:Distance, A:Tangent och B:Arc är tillgängliga för polärekvationer. Dessa verktyg baseras på q-värden. Exempel: 1:Value visar ett r-värde (eller x och y, beroende på grafformatet) för ett angivet q-värde. 6:Derivatives hittar dy/dx eller dr/dq vid en punkt som definieras för ett angivet q-värde. 232 Kapitel 12: Plotta polärekvationer