Detta kapitel förklarar lösning av de fyra typer av differentialekvationer som anges nedan.

Transkript

1 Kapitel Differentialekvationer Detta kapitel förklarar lösning av de fyra typer av differentialekvationer som anges nedan. 3 Differentialekvationer av första ordningen Linjära differentialekvationer av andra ordningen Differentialekvationer av N:e ordningen System för differentialekvationer av första ordningen 3-1 Användning av läget DIFF EQ 3-2 Differentialekvationer av första ordningen 3-3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen 3-4 Differentialekvationer av N:e ordningen 3-5 System för differentialekvationer av första ordningen

2 3-1-1 Användning av läget DIFF EQ 3-1 Användning av läget DIFF EQ Det går att lösa differentialekvationer numeriskt och rita grafer över lösningarna. Den generella proceduren för lösning av en differentialekvation förklaras nedan. Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Välj typ av differentialekvation. 1(1st)... Fyra typer av differentialekvationer av första ordningen 2(2nd)... Linjära differentialekvationer av andra ordningen 3(N-th)... Differentialekvationer av första t.o.m. nionde ordningen 4(SYS)... System för differentialekvationer av första ordningen 5(RCL)... Visar en skärm för återkallning av en tidigare differentialekvation För 1(1st) behöver du göra ytterligare val av differentialekvationstyp. Se Differentialekvationer av första ordningen för närmare detaljer. För 3(N-th) behöver du också specificera ordningen för differentialekvation, från 1 till 9. För 4(SYS) behöver du också specificera antalet okända, från 1 till Mata in differentialekvationen. 4. Specificera utgångsvärdena. 5. Tryck på 5(SET) och välj b(param) för att visa parameterskärmen. Specificera beräkningsomfång. Utför önskade parameterinställningar. h... Stegstorlek för den klassiska Runge-Kutta metoden (fjärde ordningen) Step... Antal steg för grafritning* 1 och datalagring i LIST. SF... Antal lutningsfältspalter som visas på skärmen (0 100). Lutningsfält kan bara visas för differentialekvationer av första ordningen. * 1 Vid grafritning för första gången ritas en funktion alltid för varje steg. Vid ny ritning av funktionen ritas den dock enligt ett värde för Step. När Step t.ex. ställts på 2 ritas funktionen för vartannat steg.

3 3-1-2 Användning av läget DIFF EQ 6. Specificera variabler för grafritning eller för lagring i LIST. Tryck 4på 5(SET) och välj c(output) för att visa listinställningsskärmen. x, y, y (1), y (2),..., y (8) står för den oberoende variabeln, den beroende variabeln, derivata av första ordningen, derivata av andra ordningen,..., respektive derivata av den åttonde ordningen. 1st, 2nd, 3rd,..., 9th står för utgångsvärdena i ordning. Specificera en variabel för grafritning genom att välja den med markörtangenterna (f, c) och sedan trycka på 1(SEL). Specificera en variabel att lagra i LIST genom att välja den med markörtangenterna (f, c) och sedan trycka på 2(LIST). 7. Tryck på!k(v-window) för att visa tittfönstrets inställningsskärm. Före lösning av en differentialekvation är det nödvändigt att ställa in tittfönstret. Xmin x-axelns minimivärde max x-axelns maximivärde scale x-axelns värdemellanrum dot värde motsvarande en x-axelpunkt Ymin y-axelns minimivärde max y-axelns maximivärde scale y-axelns värdemellanrum 8. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen. Det beräknade resultatet ritas eller lagras i listan. # Enbart lutningsfälten visas om du ej matar in utgångsvärden eller om fel typ av utgångsvärden matas in. #Ett fel uppstår om SF ställs på noll och utgångsvärden ej matas in, eller om utgångsvärden matas in felaktigt. # Mata lämpligtvis in parenteser och ett multiplikationstecken mellan ett värde och ett uttryck för att förhindra beräkningsfel. #Ta inte fel på tangenten - och tangenten -. Ett syntaxfel uppstår om tangenten - används som subtraktionssymbol. #Ett fel uppstår om variabeln y matas in i funktionen f(x). Variabeln x behandlas som en variabel. Övriga variabler (A till Ζ, r, θ, exklusive X och Y) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln används i beräkningen. #Ett fel uppstår om variabeln x matas in i funktionen g(y). Variabeln y behandlas som en variabel. Övriga variabler (A till Ζ, r, θ, exklusive X och Y) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln används i beräkningen.

4 3-2-1 Differentialekvationer av första ordningen 3-2 Differentialekvationer av första ordningen k Skiljbar ekvation Beskrivning Lös en skiljbar ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. dy/dx = f(x)g(y) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan b(separ). 3. Specificera f(x) och g(y). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget. 7. Specificera stegstorlek för h. 8. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 9. Utför inställningar för tittfönstret. 10. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

5 3-2-2 Differentialekvationer av första ordningen Exempel Rita grafer över lösningarna för den skiljbara ekvationen dy/dx = y 2 1, x0 = 0, y0 = {0, 1}, 5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 2 1(1st)b(Separ) 3bw a-(y)mc-bw 4aw!*( { )a,b!/( } )w 5 5(SET)b(Param) 6 -fw fw 7 a.bwi 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 9!K(V-Window)1(INIT)i 0 6(CALC) Resultatskärm (x0, y0) = (0,1) (x0, y0) = (0,0) # Mata in en lista på utgångsvillkor för att rita en skara av lösningar

6 3-2-3 Differentialekvationer av första ordningen k Linjär ekvation Lös en linjär ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. dy/dx + f(x)y = g(x) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan c(linear). 3. Specificera f(x) och g(x). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget. 7. Specificera stegstorlek för h. 8. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 9. Utför inställningar för tittfönstret. 10. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

7 3-2-4 Differentialekvationer av första ordningen Exempel Rita en graf över lösningen för den linjära ekvationen dy/dx + xy = x, x0 = 0, y0 = 2, 5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 2 1(1st)c(Linear) 3 vw vw 4aw -cw 5 5(SET)b(Param) 6 -fw fw 7 a.bwi 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 9!K(V-Window)1(INIT)i 0 6(CALC) Resultatskärm

8 3-2-5 Differentialekvationer av första ordningen k Bernoulli-ekvation Lös en Bernoulli-ekvation genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera potensen av y och utgångsvärdena. dy/dx + f(x)y = g(x)y n Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan d(bern). 3. Specificera f(x), g(x) och n. 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget. 7. Specificera stegstorlek för h. 8. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 9. Utför inställningar för tittfönstret. 10. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

9 3-2-6 Differentialekvationer av första ordningen Exempel Rita en graf över lösningen för Bernoulli-ekvationen dy/dx 2y = y 2, x0 = 0, y0 = 1, 5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 2 1(1st)d(Bern) 3 -cw -bw cw 4aw bw 5 5(SET)b(Param) 6 -fw fw 7 a.bwi 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 9!K(V-Window)1(INIT)i 0 6(CALC) Resultatskärm

10 3-2-7 Differentialekvationer av första ordningen k Övriga Lös en generell differentialekvation av första ordningen genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. Använd de procedurer som beskrivs ovan för typiska differentialekvationer av första ordningen. dy/dx = f(x, y) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 1(1st) för att visa menyn för differentialekvationer av första ordningen och välj sedan e(others). 3. Specificera f(x, y). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0. 5. Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget. 7. Specificera stegstorlek för h. 8. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 9. Utför inställningar för tittfönstret. 10. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

11 3-2-8 Differentialekvationer av första ordningen Exempel Rita en graf över lösningen för differentialekvationen av första ordningen dy/dx = cos x, x0 = 0, y0 = 1, 5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 2 1(1st)e(Others) 3 -cvw 4aw bw 5 5(SET)b(Param) 6 -fw fw 7 a.bwi 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 9!K(V-Window)1(INIT)i 0 6(CALC) Resultatskärm

12 3-3-1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen 3-3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen Beskrivning Lös en linjär differentialekvation av andra ordningen genom att helt enkelt mata in ekvationen och specificera utgångsvärdena. Lutningsfält visas inte för en linjär differentialekvation av andra ordningen. y + f(x) y + g(x)y = h(x) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 2(2nd). 3. Specificera f(x), g(x) och h(x). 4. Specificera utgångsvärdet för x0, y0, y Tryck på 5(SET)b(Param). 6. Specificera beräkningsomfånget. 7. Specificera stegstorlek för h. 8. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 9. Utför inställningar för tittfönstret. 10. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

13 3-3-2 Linjära differentialekvationer av andra ordningen Exempel Rita en graf över lösningen för den linjära differentialekvationen av andra ordningen y + 9y = sin 3x, x0 = 0, y0= 1, y 0 = 1, 0 < x < 10, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 Procedur 1 m DIFF EQ 2 2(2nd) 3aw jw sdvw 4aw bw bw 5 5(SET)b(Param) 6aw baw 7 a.bw* 1 i 8 5(SET)c(Output)4(INIT)i 9!K(V-Window) -bw bbw bwc -d.bw d.bw bw* 2 i 0 6(CALC) * 1 * 2 Resultatskärm

14 3-4-1 Differentialekvationer av N:e ordningen 3-4 Differentialekvationer av N:e ordningen Det går att lösa differentialekvationer av den första t.o.m. nionde ordningen. Antalet utgångsvärden som krävs för att lösa differentialekvationen beror på dess ordning. Mata in de beroende variablerna y, y, y, y (3),..., y (9) på följande sätt. y... a-(y) y... 3(y(n))b(Y1) y... 3(y(n))c(Y2) y (3) (=y )... 3(y(n))d(Y3) y (8)... 3(y(n))i(Y8) y (9)... 3(y(n))j(Y9) k Differentialekvation av fjärde ordningen Följande exempel visar lösning av en differentialekvation av fjärde ordningen. y (4) = f(x, y,..., y (3) ) Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 3(N-th). 3. Tryck på 3(n)e för att välja differentialekvation av fjärde ordningen. 4. Specificera y (4). 5. Specificera utgångsvärdet för x0, y0, y 0, y 0 och y (3) Tryck på 5(SET)b(Param). 7. Specificera beräkningsomfånget. 8. Specificera stegstorlek för h. 9. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 10. Utför inställningar för tittfönstret. 11. Tryck på 6(CALC) för att lösa differentialekvationen.

15 3-4-2 Differentialekvationer av N:e ordningen Exempel Rita en graf över lösningen för differentialekvationen av fjärde ordningen nedan y (4) = 0, x0 = 0, y0 = 0, y 0 = 2, y 0 = 0, y (3) 0 = 3, 5 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 6.3, Xmax = 6.3, Xscale = 1 Ymin = 3.1, Ymax = 3.1, Yscale = 1 (grundinställningar) Procedur 1 m DIFF EQ 2 3(N-th) 3 3(n)ew 4aw 5aw aw -cw aw dw 6 5(SET)b(Param) 7 -fw fw 8 a.bw* 1 i 9 5(SET)c(Output)4(INIT)i 0!K(V-Window)1(INIT)i! 6(CALC) * 1 Resultatskärm

16 3-4-3 Differentialekvationer av N:e ordningen k Omvandling av en differentialekvation av hög ordning till ett system för differentialekvationer av första ordningen Det går att omvandla en enskild differentialekvation av N:e ordningen till ett system för differentialekvationer av första ordningen. Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt (N = 3) 2. Tryck på 3(N-th). 3. Tryck på 3(n)d för att välja differentialekvation av tredje ordningen. 4. Utför ersättningarna på följande sätt. y Y1 (3(y(n))b) y Y2 (3(y(n))c) 5. Specificera utgångsvärdet för x0, y0, y 0 och y Tryck på 2( SYS). 7. Tryck på w(yes). Den inmatade differentialekvationen omvandlas till ett system för tre differentialekvationer av första ordningen. Utgångsvärdena omvandlas också på motsvarande sätt

17 3-4-4 Differentialekvationer av N:e ordningen Exempel Uttryck differentialekvationen nedan som en omgång differentialekvationer av första ordningen. y (3) = sinx y y, x0 = 0, y0 = 0, y 0 = 1, y 0 = 0. Procedur 1 m DIFF EQ 2 3(N-th) 3 3(n)dw 4 sv-3(y(n)) b-3(y(n))cw 5aw aw bw aw 6 2( SYS) 7 w(yes) Differentialekvationen omvandlas till en omgång differentialekvationer av första ordningen såsom anges nedan. (y1) = dy/dx = (y2) (y2) = d 2 y/dx 2 = (y3) (y3) = sin x (y2) (y3). Utgångsvärdena omvandlas också till (x0 = 0), ((y1)0 = 0), ((y2)0 = 1) och ((y3)0 = 0)). Resultatskärm # På skärmen över systemet för differentialekvationer av första ordningen uttrycks beroende variabler på följande sätt. (y1) (Y1) (y2) (Y2) (y3) (Y3)

18 3-5-1 System för differentialekvationer av första ordningen 3-5 System för differentialekvationer av första ordningen Ett system för differentialekvationer av första ordningen har t.ex. de beroende variablerna (y1), (y2),..., och (y9) samt den oberoende variabeln x. Exemplet nedan visar ett system för differentialekvationer av första ordningen. (y1) = (y2) (y2) = (y1) + sin x Uppsättning 1. Uppvisa huvudmenyn och gå in i läget DIFF EQ. Tillvägagångssätt 2. Tryck på 4(SYS). 3. Mata in antalet okända. 4. Mata in uttrycket på nedanstående sätt. (y1) Y1 (3(yn)b) (y2) Y2 (3(yn)c) (y9) Y9 (3(yn)j) 5. Specificera utgångsvärdet för x0, (y1)0, (y2)0 o.s.v. om så behövs. 6. Tryck på 5(SET)b(Param). 7. Specificera beräkningsomfånget. 8. Specificera stegstorlek för h. 9. Tryck på 5(SET)c(Output). Välj variabel för grafritning och välj sedan en lista för lagring av räkneresultaten. 10. Utför inställningar för tittfönstret. 11. Tryck på 6(CALC) för att lösa systemet för ekvationer av första ordningen för y1, y2, o.s.v.

19 3-5-2 System för differentialekvationer av första ordningen Exempel 1 Rita en graf över lösningen för differentialekvationer av första ordningen med två okända nedan (y1) = (y2), (y2) = (y1) + sin x, x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 0,1, 2 < x < 5, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 3, Xmax = 6, Xscale = 1 Ymin = 2, Ymax = 2, Yscale = 1 Procedur 1 m DIFF EQ 2 4(SYS) 3 2(2) 4 3(yn)cw -3(yn)b+svw 5aw bw a.bw 6 5(SET)b(Param) 7 -cw fw 8 a.bw* 1 i 9 5(SET)c(Output)4(INIT) cc1(sel) (Välj (y1) och (y2) för grafritning)* 2 i 0!K(V-Window) -dw gw bwc -cw cw bwi! 6(CALC) * 1 * 2 Resultatskärm

20 3-5-3 System för differentialekvationer av första ordningen Exempel 2 Rita en graf över lösningen för systemet för differentialekvationer av första ordningen nedan (y1) = (2 (y2)) (y1) (y2) = (2 (y1) 3) (y2) x0 = 0, (y1)0 = 1, (y2)0 = 1/4, 0 < x < 10, h = 0,1. Använd följande tittfönsterinställningar. Xmin = 1, Xmax = 11, Xscale = 1 Ymin = 1, Ymax = 8, Yscale = 1 Procedur 1 m DIFF EQ 2 4(SYS) 3 2(2) 4 (c-3(yn)c)*3(yn) bw (c*3(yn)b-d )*3(yn)cw 5aw bw b/ew 6 5(SET)b(Param) 7aw baw 8 a.bw* 1 i 9 5(SET)c(Output)4(INIT) cc1(sel) (Välj (y1) och (y2) för grafritning.) ff2(list)bw(välj LIST1 för att lagra värden för x i LIST1) c2(list)cw (Välj LIST2 för att lagra värden för (y1) i LIST2) c2(list)dw (Välj LIST3 för att lagra värden för (y2) i LIST3)* 2 i 0!K(V-Window) -bwbbwbwc -bwiwbwi! 6(CALC) * 1 * 2 Resultatskärm (y1) (y2)

21 3-5-4 System för differentialekvationer av första ordningen k Vidare analys För att analysera resultatet vidare kan vi rita en graf över relationen mellan (y1) och (y2). Procedur 1 m STAT 2 List 1, List 2 och List 3 innehåller värden för x, (y1) respektive (y2). 3 1(GRPH)f(Set) 4 1(GPH1) 5 c2(xy) 6 c1(list)cw (XLIST = LIST2: (y1)) 7 c1(list)dw (YLIST = LIST3: (y2)) i 8 1(GRPH)b(S-Gph1) Resultatskärm (y2) (y1)

22 3-5-5 System för differentialekvationer av första ordningen Viktigt! Räknaren kan avbryta en beräkning halvvägs när det uppstår ett överflöd en bit in i beräkningen då de beräknade resultaten gör att lösningskurvan sträcks in i en diskontinuerlig region, när ett beräknat värde är uppenbarligen falskt o.s.v. Vi rekommenderar att du utför följande steg när räknaren avbryter en beräkning på ovanstående sätt. 1. Om du på förhand kan bestämma punkten där lösningskurvan kommer att flöda över ska du stoppa beräkningen innan denna punkt nås. 2. Om du på förhand kan bestämma punkten där lösningskurvan kommer att sträckas in i en diskontinuerlig region ska du stoppa beräkningen innan denna punkt nås. 3. I övriga fall ska du reducera storleken på beräkningsomfånget och värdet för h (stegstorlek) och sedan försöka på nytt. 4. Vid behov att utföra en beräkning med ett väldigt brett beräkningsomfång ska du lagra delresultaten i en lista och utföra en ny beräkning med början från steg 3 där de lagrade resultaten används som utgångsvärden. Upprepa detta flera gånger om så behövs. k Posterna SET UP G-Mem {G-Mem 20}/{1 20}... Specificerar ett minne {G-Mem No.} för lagring av de senaste graffunktionerna. Observera det följande för inställningarna på skärmen SET UP när läget DIFF EQ används. Läget DIFF EQ lagrar temporärt data i grafminnet när räkning av en differentialekvation utförs. Före beräkningen lagrar DIFF EQ de senaste graffunktionerna i det nu specificerade grafminnet (G-Mem). Efter beräkningen återkallas graffunktionerna från det specificerade grafminnet utan att radera minnesdatan. Du bör därför specificera grafminnet (G-Mem nr.) där läget DIFF EQ lagrar graffunktionerna.