Kapitel. 6-1 Före matrisräkning 6-2 Matriscelloperationer 6-3 Modifiering av matriser med matriskommandon 6-4 Matrisräkning

Transkript

1 Kapitel Matrisräkning 26 matrisminnen (A t.o.m. Z) plus ett matrissvarsminne (MatAns) kan användas för att utföra följande matrisoperationer. Addition, subtraktion, multiplikation Räkning med skalär multiplikation Determinanträkning Matristransponering Matrisinvertering Upphöjning av matris i kvadrat Höjning av matris till en specifik potens Absolut värde, utdragning av heltalsdel, utdragning av bråktalsdel, räkning med maximalt heltal Matrismodifiering med matriskommandon Före matrisräkning 6-2 Matriscelloperationer 6-3 Modifiering av matriser med matriskommandon 6-4 Matrisräkning

2 6-1 Före matrisräkning Uppvisa huvudmenyn och välj ikonen MAT för att gå in i matrisläget och uppvisa dess grundskärm. Matris med 2 (rader) 2 (spalter) {DEL}/{DEL A}... raderar {en specifik matris}/{alla matriser} Inget förinställt mått En matris kan bestå av maximalt 255 rader och 255 spalter. k Matrissvarsminnet (MatAns) Sid. 91 Räknaren lagrar automatisk resultat av matrisberäkningar i matrissvarsminnet. Observera det följande angående matrissvarsminnet. Närhelst du utför en matrisberäkning ersätts det nuvarande innehållet i matrissvarsminnet med det nya resultatet. Det tidigare innehållet raderas och kan ej återhämtas. Inmatning av värden i en matris påverkar inte innehållet i matrissvarsminnet. k Att skapa en matris Skapa en matris genom att först ange dess mått (storlek) i listan MATRIX. Därefter går det att mata in värden i matrisen. uatt specificera matrismått Skapa en matris på 2 rader 3 spalter i området Mat B. Framhäv Mat B. c 80

3 Före matrisräkning 6-1 Specificera antalet rader. cw Specificera antalet spalter. d w Alla celler i en ny matris innehåller värdet 0. Om Mem ERROR visas intill matrisområdesnamnet efter inmatning av måttet, innebär det att det inte förekommer tillräckligt med ledigt minne för att skapa den önskade matrisen. uinmatning av cellvärden Mata in följande data i Matris B: 3 4 Välj Mat B. c w bwcwdw ewfwgw (Datan matas in i den framhävda cellen. Vart tryck på w, flyttar framhävningen till nästa cell till höger.) Framhävd cell (upp till sex siffror kan visas) Värde i nu framhävd cell Uppvisade cellvärden visar positiva heltal på upp till sex siffror och negativa heltal på upp till fem siffror (en siffra används för minustecknet). Exponentvärden visas med upp till två siffror för exponenten. Bråktal visas inte. Använd markörtangenterna för att framhäva önskad cell när du vill titta på hela värdet i cellen. Minnesmängden som krävs för en matris är tio bytes per cell. En matris på 3 3 upptar således 90 bytes av minnet ( = 90). 81

4 6-1 Före matrisräkning k Radering av matriser Det går att radera en specifik matris eller alla matriser i minnet. uradering av en specifik matris 1. Uppvisa listan MATRIX på skärmen och använd f och c för att framhäva matrisen som ska raderas. 2. Tryck på 1 (DEL). 3. Tryck på 1 (YES) för att radera matrisen eller på 6 (NO) för att avbryta utan att radera något. Indikeringen None ersätter måtten för den raderade matrisen. uradering av alla matriser 1. Uppvisa listan MATRIX på skärmen och tryck på 2 (DEL A). 2. Tryck på 1 (YES) för att radera alla matriser i minnet eller på 6 (NO) för att avbryta utan att radera något. Indikeringen None visar för alla matriser. 82

5 6-2 Matriscelloperationer Gör på följande sätt för att preparera en matris för celloperationer. 1. Uppvisa listan MATRIX på skärmen och använd f och c för att framhäva namnet på matrisen som ska användas. 2. Tryck på w för att uppvisa funktionsmenyn med följande poster. {R OP}... {radräkningsmeny} {ROW}/{COL}... {rad}/{spalt} operationsmeny Alla efterföljande exempel använder Matris A som återkallades med ovanstående operation. k Radberäkningar Följande meny visas när du trycker på 1 (R OP) då en återkallad matris visas på skärmen. {Swap}... {radbyte} { Rw}... {skalär multiplikation av specificerad rad} { Rw+}... {addition av skalär produkt av specificerad rad till annan rad} {Rw+}... {addition av specificerad rad till annan rad} uatt byta två rader Byt plats för rad 2 och 3 i följande matris: 1(R OP)1(Swap) Mata in numren på raderna som ska byta plats. cwdw 83

6 6-2 Matriscelloperationer uatt beräkna skalär multiplikation för en rad Beräkna skalär multiplikation för rad 2 i följande matris genom att multiplicera med 4: 1(R OP)2( Rw) Mata in multiplikatorvärdet. ew Specificera radnummer. cw uatt beräkna skalär multiplikation för en rad och addera resultatet till en annan rad Beräkna skalär multiplikation för rad 2 i följande matris genom att multiplicera med 4 och addera resultatet till rad 3: 1(R OP)3( Rw+) Mata in multiplikatorvärdet. ew Specificera radnummer vars skalära multiplikation ska beräknas. cw Specificera radnummer dit resultatet ska adderas. dw uatt addera två rader Addera rad 2 till rad 3 i följande matris: 1(R OP)4(Rw+) Specificera radnumret som ska adderas. cw Specificera radnumret det ska adderas till. dw 84

7 Matriscelloperationer 6-2 k Radoperationer Följande meny visas när du trycker på 2 (ROW) då en återkallad matris visas på skärmen. {DEL}... {radera rad} {INS}... {infoga rad} {ADD}... {lägga till rad} uatt radera en rad Radera rad 2 i följande matris: 2(ROW)c 1(DEL) uatt infoga en rad Infoga en ny rad mellan rad 1 och 2 i följande matris: 2(ROW)c 2(INS) 85

8 6-2 Matriscelloperationer uatt lägga till en rad Lägg till en ny rad nedanför rad 3 i följande matris: 2(ROW)cc 3(ADD) k Spaltoperationer Följande meny visas när du trycker på 3 (COL) då en återkallad matris visas på skärmen. {DEL}... {radera spalt} {INS}... {infoga spalt} {ADD}... {lägga till spalt} uatt radera en spalt Radera spalt 2 i följande matris: 3(COL)e 1(DEL) 86

9 Matriscelloperationer 6-2 uatt infoga en spalt Infoga en ny spalt mellan spalt 1 och 2 i följande matris: 3(COL)e 2(INS) uatt lägga till en spalt Lägg till en ny spalt till höger om spalt 2 i följande matris: 3(COL)e 3(ADD) 87

10 6-3 Modifiering av matriser med matriskommandon [OPTN]-[MAT] uatt uppvisa matriskommandon 1. Uppvisa huvudmenyn, välj ikonen RUN och tryck på w. Sid Tryck på K för att uppvisa alternativmenyn. 3. Tryck på 2 (MAT) för att uppvisa matrisoperationsmenyn. Det följande beskriver endast poster på matriskommandomenyn som används för att skapa matriser och inmata matrisdata. Sid. 91 {Mat}... {kommandot Mat (matrisspecificering)} {M L}... {kommandot Mat List (tilldelar innehållet i vald spalt till listfilen)} {Aug}... {kommandot Augment (länkar två matriser)} {Iden}... {kommandot Identity (inmatning av identitetsmatris)} {Dim}... {kommandot Dim (måttkontroll)} {Fill}... {kommandot Fill (identiska cellvärden)} k Matrisdatans inmatningsformat Det följande visar formatet som ska användas vid inmatning av data för att skapa en matris med kommandot Mat på matrisoperationsmenyn. a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn = [ [a11, a12,..., a1n] [a21, a22,..., a2n]... [am1, am2,..., amn] ] Mat [bokstav A t.o.m. Z] Det maximala värdet för både m och n är Mata in följande data som Matris A: K2(MAT)![![b,d,f!]![c,e,g!]!]a1(Mat)aA 88

11 Modifiering av matriser med matriskommandon 6-3 w Matris namn Ett fel uppstår om minnet blir fullt under datainmatning. Ovanstående format kan även användas i ett program för att inmata matrisdata. uinmatning av en identitetsmatris Använd kommandot Identity (1) på matrisoperationsmenyn för att skapa en identitetsmatris. 2 Skapa en identitetsmatris på 3 3 som Matris A K2(MAT)6(g)1(Iden) da6(g)1(mat)aaw Antal rader/spalter ukontroll av matrismått Använd kommandot Dim (2) på matrisoperationsmenyn för att kontrollera måtten för en existerande matris. 3 Kontrollera mått för Matris A, som inmatades i 1 K2(MAT)6(g)2(Dim)6(g) 1(Mat) aaw Antal rader Antal spalter Skärmen visar att Matris A består av två rader och tre spalter. Det går också att använda {Dim} för att specificera måttet för en matris. 4 Specificera måttet 2 rader och 3 spalter för matris B!{c,d!}aK 2(MAT)6(g)2(Dim)6(g) 1(Mat)aBw 89

12 6-3 Modifiering av matriser med matriskommandon k Modifiering av matriser med matriskommandon Matriskommandon kan också användas för att tilldela värden till och återkalla värden från en existerande matris, att fylla i alla celler i en existerande matris med samma värde, att kombinera två matriser till en matris och att tilldela innehållet i en matrisspalt till en listfil. uatt tilldela värden till och återkalla värden från en existerande matris Använd följande format tillsammans med kommandot Mat (1) på matrisoperationsmenyn för att specificera en cell för tilldelning eller återkallning av värden. Mat X [m, n] X... matrisnamn (A t.o.m. Z eller Ans) m... radnummer n... spaltnummer 1 Tilldela värdet 10 till cellen i rad 1, spalt 2 i följande matris: baak2(mat)1(mat) aa![b,c!]w 2 Multiplicera värdet i cellen i rad 2, spalt 2 i matrisen ovan med 5 K2(MAT)1(Mat) aa![c,c!] *fw uatt fylla i en matris med identiska värden och kombinera två matriser till en matris Använd kommandot Fill (3) på matrisoperationsmenyn för att fylla i alla celler i en existerande matris med samma värde eller kommandot Augment (5) för att kombinera två existerande matriser till en enskild matris. 1 Att fylla i alla celler i Matris A med värdet 3 K2(MAT)6(g)3(Fill) d,6(g)1(mat)aaw Ifyllt värde 90

13 Modifiering av matriser med matriskommandon Att kombinera följande två matriser: 1 3 A = B = 2 4 K2(MAT)5(Aug)1(Mat) aa,1(mat)abw De två matriserna som kombineras måste ha samma antal rader. Ett fel uppstår vid försök att kombinera två matriser med olika antal rader. uatt tilldela innehållet i en matrisspalt till en listfil Använd följande format tillsammans med kommandot Mat List (2) på matrisoperationsmenyn för att specificera en spalt och en listfil. Mat List (Mat X, m) List n X = matrisnamn (A t.o.m. Z eller Ans) m = spaltnummer n = listnummer Tilldela innehållet i spalt 2 i följande matris till listfil 1: K2(MAT)2(M L)1(Mat) aa,c)a Spaltnummer K1(LIST)1(List)bw Det går att använda matrissvarsminnet för att tilldela resultaten av ovanstående matrisinmatning och redigeringsåtgärder till en matrisvariabel. Använd i så fall följande syntax. Fill (n, Mat α) Mat β Augment (Mat α, Mat β) Mat γ I det ovanstående är α, β och γ valfritt variabelnamn A t.o.m. Z, och n är valfritt värde. Detta påverkar inte innehållet i matrissvarsminnet. 91

14 6-4 Matrisräkning [OPTN]-[MAT] Använd matriskommandomenyn för att utföra beräkningar med matriser. uatt ta fram matriskommandon 1. Uppvisa huvudmenyn, välj ikonen RUN och tryck på w. Sid Tryck på K för att uppvisa alternativmenyn. 3. Tryck på 2 (MAT) för att uppvisa matriskommandomenyn. Det följande beskriver endast poster på matriskommandomenyn som används för aritmetiska matrisoperationer. {Mat}... {kommandot Mat (matrisspecificering)} {Det}... {kommandot Det (erhålla determinant)} {Trn}... {kommandot Trn (omkastning av matriser)} {Iden}... {kommandot Identity (inmatning av identitetsmatris)} Alla efterföljande exempel förutsätter att matrisdata redan lagrats i minnet. k Aritmetiska matrisoperationer Aritmetisk Matris 1 operationstangent Matris 2 Mat A Mat Z MatAns Mat A + - w Mat Z * MatAns 1 Addera följande två matriser (Matris A + Matris B) A = B = 2 1 1(Mat)aA+ 1(Mat)aBw 2 Multiplicera de två matriserna i 1 (Matris A Matris B). 1(Mat)aA* 1(Mat)aBw 92

15 Matrisräkning 6-4 De två matriserna måste ha samma mått för att kunna utföra addition eller subtraktion. Ett fel uppstår vid försök att addera eller subtrahera matriser med olika mått. För multiplikation måste antalet spalter i Matris 1 vara lika med antalet rader i Matris 2. I annat fall uppstår ett fel. Det går att använda en identitetsmatris istället för Matris 1 eller Matris 2 i formatet för aritmetiska matrisoperationer. Använd kommandot Identity (1) på matriskommandomenyn för att mata in en identitetsmatris. 3 Multiplicera Matris A (från 1) med en identitetsmatris på 2 2 1(Mat)aA* 6(g)1(Iden)cw Antal rader och spalter k Matrisens skalär multiplikation Följande format används för att beräkna skalär multiplikation av en matris, vilken multiplicerar värdet i varje cell med samma värde. Skalärt värde Matris k Mat A Mat Z MatAns w Beräkna skalär multiplikation av följande matris med multiplikatorvärdet 4: Matris A = 3 4 e1(mat)aaw k Determinant Matris Mat A 3 (Det) Mat Z w MatAns 93

16 6-4 Matrisräkning Erhåll determinanten för följande matris: 3 Matris A = (Det)1(Mat)aAw Determinanter kan erhållas enbart för kvadratiska matriser (samma antal rader och spalter). Ett fel uppstår vid försök att erhålla en determinant för en matris som ej är kvadratisk. Determinanten av en matris på 2 2 beräknas på nedanstående sätt. A = a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22 Determinanten av en matris på 3 3 beräknas på nedanstående sätt. a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 k Matristransponering En matris transponeras (kastas om) när dess rader blir spalter och dess spalter blir rader. Följande format används för matristransponering. Matris Mat A 4 (Trn) Mat Z w MatAns Transponera följande matris: 4(Trn)1(Mat)aAw 94

17 Matrisräkning 6-4 k Matrisinvertering Matris Mat A Mat Z MatAns!X w Invertera följande matris: Matris A = 3 4 1(Mat)aA!Xw Enbart kvadratiska matriser (samma antal rader och spalter) kan inverteras. Ett fel uppstår vid försök att invertera en matris som ej är kvadratisk. En matris med ett värde på noll kan inte inverteras. Ett fel uppstår vid försök att invertera en matris med värdet noll. Beräkningens exakthet påverkas för matriser vars värden ligger nära noll. En matris som inverteras måste uppfylla nedanstående villkor. A A 1 = A 1 A = E = Det följande visar formeln som används för att invertera Matris A till den inverterade matrisen A 1. a b A = c d A 1 = 1 d b ad bc c a Lägg märke till att ad bc G 0. 95

18 6-4 Matrisräkning k Att upphöja en matris i kvadrat Matris Mat A Mat Z MatAns x w Upphöj följande matris i kvadrat: Matris A = 3 4 1(Mat)aAxw k Att höja en matris till en potens Matris Naturligt tal Mat A Mat Z MatAns M k w Höj följande matris till den tredje potensen: Matris A = 3 4 1(Mat)aAMdw k Att bestämma absolut värde, heltalsdel, bråktalsdel och maximalt heltal för en matris Funktionskommando Abs Frac Int Intg Matris Mat A Mat Z MatAns w 96

19 Matrisräkning 6-4 Bestäm det absoluta värdet av följande matris: 1 2 Matris A = 3 4 K6(g)4(NUM)1(Abs) K2(MAT)1(Mat)aAw Determinanter och inverterade matriser beräknas genom en uteslutningsmetod, så det kan uppstå vissa fel (t.ex. tappade siffror). Matrisoperationer utförs individuellt för varje cell, så beräkningarna kan ta ganska lång tid. Felmarginalen för det visade resultatet vid matrisräkning är ±1 vid den minst signifikanta siffran. Ett fel uppstår om ett matrisräkneresultat är för stort för att passa i matrissvarsminnet. Följande operation kan användas för att överföra innehåll i matrissvarsminnet till en annan matris (eller när matrissvarsminnet innehåller en determinant till en variabel). MatAns Mat α I det ovanstående är α ett valfritt variabelnamn A t.o.m. Z. Det ovanstående påverkar inte innehållet i matrissvarsminnet. 97