Datorsystemteknik DVG A03 Föreläsning 3

Transkript

1 Datorsystemteknik DVG A03 Föreläsning 3 Datoraritmetik Större delen av materialet framtaget av :Jan Eric Larsson, Mats Brorsson och Mirec Novak IT-inst LTH

2 Hur stora tal kan vi få med N bitar? Största talet = 2 n n = 2 n -1 8 bitar (byte): 0<= x <= bitar: 0<= x <= bitar: 0<= x <=

3 Men negativa tal då? Alla heltal är ju inte naturliga tal. Hur representas negativa tal? Det har funnits försök (1-komplement) med att låta biten längst till vänster vara teckenbit (1: neg. tal) Nackdelar: Två nollor, addition och subtraktion blir konstiga Den bästa (?) representationen: 2- komplement

4 2-komplementrepresentation av negativa tal Idé: Representera (-1) så att (-1)+1 = 0 på enkelt sätt Exempel: 4 bitars tal. 1=0001. Hur bör (-1) se ut så att (-1)+1=0000 (4bit)? abcd = Lösning: d=1,c=1,b=1,a=1 (-1)=1111 (4bitar) 111 (minnessiffror) abcd (1) 0000

5 Relationen mellan positiva och negativa tal i 2-komplementrepresentation Låt x vara det binära talet x med alla bitpositioner inverterade. Då består x+x av bara ettor! Alltså är x+x =-1 i 2-komplement Förenkla: -x=x +1

6 2-komplement exempel Hitta 2-komplementrepr av -x då x=18 i 6- bits repr. x = x = x +1 = = (-18) Tillbaka: > = = 18

7 Operationer på binära tal - Addition och subtraktion Addera 17 och 13 i 6-bits 2-komp representation: = 30

8 Operationer på binära tal Addition och subtraktion Addera 17 och 15 i 6-bits 2-komp representation: = -32 (Jättefel) Vi har fått OVERFLOW. Hårdvaran kan kolla detta!

9 Overflow vid addition och subtraktion Overflow kan detekteras om : Addition: två positiva tal ger negativt resultat eller två negativa tal ger positivt resultat Subtraktion: Positivt-negativt-> negativt resultat eller negativt-positivt -> positivt resultat.

10 Fördelarna med 2-komplement Entydig nolla Addition mm blir konsekvent Teckenbit längst till vänster lätt att testa om <0 Enkelt att förlänga ett tal till flera bitar: Ex: ett 8-bits tal förlängs till 32 genom att teckenbiten kopieras till de 24 nya positionerna till vänster. Detta kallas teckenförlängning (sign extension).

11 MIPS-instruktioner - addition add $s1,$s2,$s3 #Addera 2-kompl talen i #register $s2 och $s3, lägg i $s1 #Kollar overflow addi $s1,$s2,k #Addera konstant K till reg #$s2, lägg i $s1. Kollar #overflow addu $s1,$s2$s3 #Addera positiva tal - kollar ej #overflow. När används den?

12 MIPS-instruktioner - subtraktion sub $s1,$s2,$s3 #Subtrahera $s2-$s3, lägg i $s1 #Kollar overflow subu $s1,$s2,$s3 #Subtrahera positiva tal - #kollar ej overflow

13 Operationer på decimala tal Multiplikation och division Multiplikationsalgoritmen från småskolan: Multiplicera (101) 10 (multiplikand) med (110) 10 multiplikatorn (OBS! Basen 10) 101 * (0*multiplikanden) 101 (skifta vänster, 1* mult.) 101 (skifta vänster, 1*mult.) (addera)

14 Multiplikation av binära tal För binära tal kan det aldrig vara annat än 0 eller 1 i skiften! Annars likadant! 101 * (0*multiplikanden) 101 (skifta vänster, 1* mult.) 101 (skifta vänster, 1*mult.) (addera)

15 Multiplikation Multiplikation av binära tal består av en serie additioner och skiftningar! Kan göras relativt snabbt (men långsammare än addition )

16 MIPS-instruktioner för multiplikation och division mult $s1,$s2 #Multiplicera innehållet i #register $s1 med $s2 och lägg #resultatet i specialregister HI #och LO div $s1,$s2 #Dividera $s1/$s2, lägg kvoten #i LO och resten i HI Specialregister HI och LO. Läses på speciellt vis.

17 Uppdaterad modell av MIPS Generella register $0 $1 $2 $3... $30 $31 Programräknare PC Specialregister HI LO

18 Hur representeras reella tal? 2, Lagförslag i county i mellanvästern: pi = 4! 6, , Sådana tal kallas ofta för flyttal -- decimalkommat flyter i representationen. Motsats: fixpunktsrepresentation (används i snabba implementationer av tex bildkodningsalgoritmer).

19 Flyttal Normaliserade flyttal: t.ex. 1, Ej normaliserat flyttal: 0, Normaliserat: 2, En siffra till vänster om kommat hos signifikanden

20 Ett normaliserat flyttal Ett decimalt flyttal: tecken Ett binärt flyttal: tecken signifikand -6, signifikand exponent bas exponent bas

21 Representation av flyttal (IEEE 754) tecken exponent signifikand 1 8 bitar 23 bitar Basen är underförstått lika med 2 Exponenten representeras i excess-127 Signifikanden är ett fixtal x, 0 x < 1 Värdet = (-1) tecken (1.0 + signifikand) 2 (exponent-127) En implicit etta i signifikanden ökar noggrannheten En exponent i excess-format tillåter jämförelser av två flyttal med heltalsinstruktioner

22 Addition/subtraktion av flyttal Algoritm: 1. Jämför de båda talens exponenter. Skifta det minsta talets signifikand (inkl. implicit etta) till höger så att de båda talens exponenter blir lika stora 2. Addera/subtrahera signifikanderna 3. Normalisera summan (skifta, ändra exponent) 4. Om det blir exponent overflow är det aritmetiskt fel 5. Avrunda signifikanden 6. Om avrundningen medför att talet blir onormaliserat, gå till steg 3 VI BEHÖVER EXEMPEL!

23 Multiplikation av flyttal är enklare! Algoritm: 1. Addera exponenterna och dra ifrån en excess 2. Multiplicera signifikanderna 3. Normalisera produkten 4. Om det blir exponent overflow är det aritmetiskt fel 5. Avrunda signifikanden 6. Om avrundningen medför att talet blir onormaliserat, gå till steg 3 7. Beräkna produktens tecken