Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Transkript

1 Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska siffrorna. Det talsystem som vi använder oss vanligen av är det som kallas decimala talsystemet. Om vi i det romerska talsystemet vill skriva ut talet 137 skriver vi det CXXXVII Romersk siffra I V X L C D M Decimal motsvarighet = = (100) + ( )+(5)+(1+1) = CXXXVII Det romerska talsystemet blir lätt ganska krångligt när man ska skriva ned och räkna på tal, vårt decimala talsystem som vi använder oss av och som vi har lärt oss känns mer naturligt och enklare att använda när vi räknar och skriver ner tal. 137 = (100) + (30) + (7) Varje siffra i vårt tal har därmed ett värde siffran 1 i början av 137 är värd 100, siffran 3 är värd 30 och siffran 7 är värd 7. Talsystem är alltså det system som vi använder oss av när vi läser & räknar ut olika tal, det är också sättet som vi skriver ner siffror till dessa tal.

2 Talsystem och datorer Datorer räknar inte tal som vi människor gör för en dator kommer inte det decimala talsystemet naturligt. Dvs en dator har svårt att förstå talet 137 om vi skriver det på vårt talsystem. Vi måste omvandla talet så att datorn förstår. I början när man programmerade datorer fick datoransvariga sitta och konvertera talen till datorerna, nuförtiden så görs oftast detta automatiskt av en dator. När man jobbar med datorer behöver man fortfarande idag kunna talsystem och veta hur andra talsystem fungerar. Talsystem används bland annat när vi jobbar med IP adresser. Och talsystem är det som ligger till grund för allting i datorer. Du kanske har undrat vad en bit egentligen är i en dator. Det är relaterat till ett talsystem som en dator använder. Datorer är baserade på något som kallas för digital teknik. Detta är något helt annorlunda än analog teknik, men vi ska inte gå in på det ämnet just nu. Digital teknik fungerar på sättet att en elektrisk komponent känner av om den får en strömsignal eller om den inte får en signal. Och detta är då grunden för det talsystem som datorer använder. Datorer använder därmed ett talsystem med enbart 2 siffor, 0 och 1. Där 0 representerar när den inte får strömsignal och 1 representerar när den får strömsignal. Varje siffra dvs 0 eller 1 är en bit, 8 bitar som nedan är det man kallar för en byte. Talet 137 skriver en dator ut såhär = = 137 Varje siffra dvs 1:a har ett värde den första har därmed värdet 128 den andra 1:an har värdet 8 och den sista har värdet 1. Vi kommer gå in närmare hur vi kan räkna ut värdet på dessa siffror

3 Basen i talsystem Talsystem har något som kallas för baser, baser är det som berättar hur många siffor som finns i talsystemet. Exempelvis använder vi i vårt talsystem 10 siffror siffrorna 0-9 och därmed har det basen 10. En dator som använder siffrorna 0-1 dvs 2 siffror har därmed basen 2. En dator använder även 2 andra talsystem ett med siffrorna 0-F dvs 16 siffror och därmed basen 16. Och ett med sifforna 0-7, dvs 8 siffror och därmed basen 8 jag kommer förklara närmare hur dessa talsystem fungerar. Det decimala talsystemet Siffrorna 0-9, Basen 10 Det decimala talsystemet är det system som vi normalt använder för att skriva ut våra tal. Det är det som från ung ålder får lära oss och därmed är vi bekanta och kan räkna ut och se tal skrivna med detta system väldigt lätt. Exempelvis har vi svårt att se vad det romerska talet CXXXVII betyder utan att leta upp en tabell som vi kan använda för att tolka det. Medan talet 137 kan vi förstå och tolka automatiskt. Det binära talsystemet Siffrorna 0-1, Basen 2 Det binära talsystemet är det system som kommer naturligt för datorer, datorer kan förstå talet lika lätt som vi förstår talet 137. Och därmed är detta det naturliga språket för datorer. Och varje siffra som vi använder kallas också för bit. 8 bitar är därmed 8 siffror. 16 bitar är 16 siffror osv. Med hjälp av att vi vet hur många bitar något är kan vi räkna ut antalet kombinationer, som går att få med bitarna. Vi kan ta 8 bitar som exempel. 8 bitar är alltså 8 siffror som antingen kan vara 0 eller 1. Dvs till Om vi kollar hur många olika kombinationer vi får av detta kan vi använda matematik dvs 2 siffror ger 2 olika kombinationer och 8 i antal ger oss 2⁸ för er som kommer ihåg hur lite från matematiken. Detta ger oss 256 olika kombinationer. 256 som ni kanske vet är ett vanligt tal i datorer, och vi kan hitta igen alla dessa datortal i det binära talsystemet. Just eftersom det är med detta system som datorer räknar.

4 Oktala talsystemet Siffrorna 0-7, Basen 8 Det oktala talsystemet är också ett system som vi använder inom datorer. Det oktala talsystemet är samma sak som 3 bitar, eftersom 3 binära siffor är 2³ = 8. Detta gör att en dator lätt kan omvandla ett oktalt tal till ett binärt tal. Eftersom man enkelt kan säga att dessa talsystem är besläktade. Det oktala talsystemet används inte så mycket i moderna datorer idag, men vissa applikationer och program använder fortfarande det oktala talsystemet. Detta talsystem har dock delvis övergetts för det mer populära hexadecimala talsystemet. Det hexadecimala talsystemet Siffrorna 0-F, Basen 16 Det hexadecimala talsystemet skiljer sig från dom andra som jag har gått igenom. Detta till stor del för att det har mer än 10 siffor. I vårt talsystem som vi fått använda oss av och det skriftspråk som vi använder har enbart 10 siffror, 0-9. Vilket innebär att när vi använder talsystem som har ett större antal siffror än 10 måste vi låna bokstäver för att representera siffror. I det hexadecimala talsystemet visar det sig på detta sätt. Bokstaven A är siffran 10, B är siffran 11, C är siffran 12, D är siffran 13, E är siffran 14 och F är siffran 15. Detta innebär om vi skriver siffran C på det hexadecimala talsystemet betyder det 12, lite likt dom romerska bokstäverna där bokstäverna betyder något annat än själva bokstaven. Om vi använder vårt tal 137 som exempel och skriver om det till det hexadecimala ser det därmed ut på detta sätt. 89 = (8*16) + 9 = = 137 Exakt hur man räknar detta kommer jag gå igenom närmare senare. Det hexadecimala talsystemet är som sagt ett talsystem som är vanligt i datorer, detta för att 2 stycken hexadecimala siffror utgör 8 bitar. En hexadecimal siffra har som sagt 16 kombinationer och 16 kombinationer är samma sak som 2⁴ = 16. Det innebär att en byte består av 2 hexadecimala siffror.

5 Adresser till datorer och talsystem Det hexadecimala talsystemet används vanligen när datorer försöker prata med varandra. Varje dator, mobil, surfplatta eller liknande har en unik adress som används för att hitta den. Precis som en lägenhet eller en villa har adress, postnummer och liknande. Detta kallas för mac-adresser och dessa adresser skrivs ut med hexadecimala siffror exempelvis 00:0a:95:9d:68:16. Denna adress används när Ittekniker ibland konfigurerar nätverk, servrar och liknande. En annan datoradress som använder det hexadecimala talsystemet är IPv6, där en adress kan se ut som detta 2001:0db8:85a3:0000:0000:8a2e:0370:733. Det är lätt att man tycker att en IPv6 adress er väldigt konstig ut i början men när man förstår att den är uppbyggd av hexadecimala siffror blir det lite lättare att förstå. Vilket självklart är en viktig sak om man ska arbeta med datorer i framtiden. Världen har nu börjat gå över till IPv6 systemet eftersom det som vi tidigare använt IPv4 börjar få slut adresser. IPv4 är en adress som kan se ut såhär Denna talserie är baserat på det binära talsystemet istället för på det hexadecimala även om det enkelt går att konvertera däremellan. IPv4 är baserat på bitar, för tidigare så lärde vi oss att 8 bitar är 256 kombinationer, vilket innebär att IPv4 är 256 kombinationer upphöjt till 4 vilket ger oss ca 4,3 miljarder adresser. Och dessa ska räcka till alla världens datorer, mobiler, surfplattor, tv-apparater och alla andra saker som är uppkopplade på internet. Självklart räcker inte alla dessa adresser till utan vi använder något som kallas för natade nätverk där man helt enkelt har datorer och enheter som inte är direkt uppkopplade till internet utan måste kommunicera genom en annan enhet och därmed dela på internetadressen. En del av dessa 4,3 miljarder adresser är också reserverade till olika ändamål och det gör att det finns ca 3,7 miljarder adresser som kan användas för att kommunicera direkt ut mot internet. IPv6 som ni tidigare såg är uppbyggt av 4 hexadecimala siffror i 8 par. Detta är samma sak som 16 bitar i varje par eftersom en hexadecimal siffra är 4 bitar. Det innebär att en IPv6 adress är 16 x 8 = 128 bitar. Vi kan använda många olika sätt för att se hur många IP-adresser detta är exempelvis 2¹²⁸ eftersom varje bit är 2 siffror och 128 bitar ger 128 positioner som antingen kan vara 0 eller 1. Detta ger oss ca ³⁸ (340 sextiljoner) unika IPv6 adresser.

6 Talsystem i praktiken Hur räknar man lättast mellan talsystem? Det finns olika metoder som går att använda när man räknar mellan talsystem. Det första metoder baserar sig precis som vi använda i exemplet med det romerska talsystemet på en tabell som förklarar vad vare siffra är värd. Om vi räknar i datorernas värld och omvandlar tal mellan binära, oktala eller hexadecimala kan vi använda oss av bitmetoden där vi enkelt och snabbt kan omvandla mellan dessa 3 talsystem. En viktig sak när man räknar i flera olika talsystem är att man alltid måste visa vilket talsystem som ett tal står i. Om vi skriver som i exemplet med 137 att det är samma sak som 89 som det är i det hexadecimala talsystemet, är det lätt att vi gör någon förvirrad. För att bestämt hävda att 137 = 89 ser väldigt konstigt ut om vi inte förklarar detta närmare. Det som vi använder oss av i dessa fall är basen, vi skriver basen som nedsänkt vid varje tal för att visa vilket talsystem som talet står i. 137 står i det decimala talsystemet och har basen 10 och 89 som står i det hexadecimala har basen 16. Detta innebär att vi skriver talet på detta sätt. 137₁₀ = 89₁₆ detta får oss att framstå som mindre galna och mer som att vi håller på med matematiska uträkningar. Därmed är det viktigt att du alltid anger basen på de tal som du räknar i när du omvandlar mellan talsystem. Om du inte gör detta går det inte att utläsa och förstå vilket tal du har skrivit.

7 Positioner När vi räknar med talsystem så använder vi oss av positioner. En position är egentligen bara en plats för en siffra. Vi kan ta vårt exempel 137 igen det har 3 positioner. 3 stycken olika siffror. När vi räknar på positioner så är den första positionen den siffra som har det lägsta värdet. I 137 har 1 värdet 100, 3 värdet 30 och 7 värdet 7. Pos. 3 Pos. 2 Pos Vi måste veta vad positioner är för att kunna använda oss av tabellmetoden när vi räknar mellan talsystem. Om det finns fler tal så använder man bara mer positioner, på riktigt stora tal finns det väldigt många positioner och ett stort antal positioner är vanliga på binära tal. Som ni kanske kommer ihåg är det 137₁₀ samma sak som ₂ vilket innebär att det binära talet har 8 positioner.

8 Tabellmetoden Nu när vi lärt oss om positioner kan vi börja att förstå hur vi ska göra våra tabeller. Tabeller går att använda på alla talsystem. Position Tabellerna fungerar enligt principen att varje Värde position har ett värde eller en vikt som den Tal också kallas. Talet 137 har 3 positioner, de 3 Värde x Tal 100 x 1 10 x 3 1 x 7 positionerna har vikterna 100,10 och 1. Summa Här ser vi att varje positions värde gångras med siffran som finns i den positionen för att få ut summan. Exempelvis siffran 3 gångras med positions 2 s vikt som är 10 och ger summan 30. Svårare än så är det inte. Vi tar sedan summan från de olika positionerna och räknar ihop dom =137 så fungerar det ungefär när vi tänker, fast vi gör det så fort och med så stor vana att vi oftast inte reflekterar över det. Vikter i positioner För att kunna använda en tabell måste man självklart kunna räkna ut vikten i varje position. Annars vet vi inte vad varje siffra i vårt tal har får för värde eller summa. Det går att förklara detta på olika sätt. Den matematiska förklaringen är att man tar basen upphöjt till (positionen -1). Om vi gör en tabell för det decimala talsystemet ser den ut på detta sätt. Vi vet att siffrorna i det decimala är 0-9 dvs 10 stycken olika vilket ger basen 10. Och vi tar sedan positionen -1 i en upphöjning och ser då summan. Position Vikt (1 1) el 10 0 Summa I mindre matematiska varianten utgår vi ifrån att första positionen i alla talsystem har vikten 1. Och att alla positioner efter den första gångras summan av positionen med basen för att få ut summan på positionens vikt. Med hjälp av detta kan vi då räkna ut alla positionstabeller för alla talsystem, gör gärna positionstabellsövningarna för att öva på att räkna ut summan på positionerna. Om du kan räkna ut vikten samt summan på alla positioner i talsystemen du arbetar med kan du räkna ut i stort sett alla tal. Position Vikt 100x10 10x10 1x10 1 Summa

9 Räkneexempel i tabellmetoden omvandling till decimala tal Om vi nu använder vårt tidigare binära tal dvs ett 8 bitars tal eller en datorbyte. Om vi ska räkna ut vad detta tal betyder i vårt vanliga talsystem börjar vi då självklart med att skapa en tabell. Vi ser att det är 8 positioner vilket innebär att vår tabell måste ha 8 positioner. Efter att vi har gjort tabellen positionerar vi in talet i tabellen. Position Potens Vikt 64x2 32x2 16x2 8x2 4x2 2x2 1x2 1 Viktsumma Tal Talräkning 128x1 64x0 32x0 16x0 8x1 4x0 2x0 1x1 Talsumma Efter detta räknar vi då ihop dom olika talsummorna vilket blir 137. Denna metod kan användas i alla talsystem för att räkna ut alla tal vi kan även ta det hexadecimala talet 89 och visa hur uträkningen ser ut. Det hexadecimala talsystemet hade siffrorna 0-F dvs 16 olika siffror och har därmed basen 16. Position Potens Vikt 16x16 1x16 1 Viktsumma Tal 8 9 Talräkning 16x8 9x1 Talsumma Vi slår sedan ihop dom olika talsummorna 128 och 9 vilket blir 137. Har vi en större positionstabell än talet som i detta fall behöver vi helt enkelt inte räkna på dom positionerna som inte används. Gör gärna några övningar med tabellmetoden och omvandla några tal till det decimala talsystemet.

10 Räkneexempel tabellmetoden omvandling från decimala tal Precis som när man omvandlar från andra talsystem till vårt decimala talsystem så använder man sig av tabeller. Däremot gör vi detta på ett litet annorlunda sätt vi kan ta talet 137 och omvandla det till binärt. Vi börjar med att rita upp en tabell för detta så att vi enkelt kan omvandla talet. Position Potens Vikt 128 x2 64x2 32x2 16x2 8x2 4x2 2x2 1x2 1 Viktsumma Steg Steg Steg Omvandlat Steg 1. Vi tar talet 137 och börjar på den högsta viktsumman i detta fall är det 256 vi kollar om viktsumman får plats i talet. Dvs vi ser direkt att det blir ett negativt tal och därmed får talet 256 inte plats i 137, vi antecknar en 0, talet får inte plats. Vi fortsätter till nästa position (8) och viktsumman 128 där ser vi att går utmärkt, vi får inget negativt tal. Vi antecknar därmed en 1 på den positionen för att markera att vi reserverar 128 i vikt i den positionen. Det innebär att vi nu har kvar = 9. Steg 2. Vi har nu kvar 9 av vårt tal och för detta över tabellen vi gör samma sak på position 7,6 och 5. I position 7 ser vi att 64 inte får plats i 9 (9-64). I position 6 ser vi att 32 inte får plats (9-32) i position 5 ser vi att 16 inte får plats (9-16). Men i position 4 ser vi att viktsumman 8 får plats (9-1), vi antecknar en 1 där och ser att vi nu har kvar 9-8=1 av vårt tal då vi nu reserverad 8 i position 4. Steg 3. Vi har nu kvar 1 av vårt tal och 3 positioner, vi kollar först om position 3 dvs viktsumman 4 får plats i 1 (4-1), vilket det självklart inte gör. Vi fortsätter med position 2 (2-1) och ser att även där får viktsumman inte plats. Sista positionen position 1 ser vi däremot att viktsumman får plats dvs (1-1) vi antecknar en etta på positionen och vi har sedan kvar 1-1= 0 av vårt tal vilket innebär att vi har omvandlat talet till ett binärt tal. Vi har nu omvandlat det decimala talet 137 till det binära talet Vi ska dock tänka på precis som när vi räknar våra vanliga tal att om talet börjar med siffran 0 så ska den inte skrivas ut. Precis som att vi inte skriver utan istället skriver 137 skriver vi istället för Dvs alla nollor innan den första talsiffran tar vi bort precis som när vi räknar vanlig tal.

11 Ett till exempel med tabellmetoden oktalt till decimalt Vi kan ta ett till exempel när vi omvandlar ett decimalt tal till ett oktalt tal. Vi vet att det oktala talsystemet har siffrorna 0-7 dvs 8 siffror och därmed basen 8. Vi börjar som vanligt med att göra en tabell. Position Potens Vikt 8x8 1x8 1 Viktsumma Steg 1 2 Steg 2 1 Steg 3 1 Omvandlat Vi gör precis som förra gången vi börjar med det decimala talet 137 som då har den totala vikten 137, vi ska nu försöka placera ut den på rätt positioner i tabellen. Steg 1. Vi börjar med position 3 och kollar om viktsumman 64 får plats i talet 137, dvs Vi ser att det får plats = 73, vi ser då också att talet 73 också får plats i position = 9. Vi Kunde alltså placera talet ggr i position 3, vi antecknar då en 2:a på position 3. Och vi ser nu att vi har använd 64 2 ggr från det ursprungliga talet dvs 137-(64+64)=9 Steg 2. Nu har vi kvar 9 och ser om vi kan placera in det i position 2 som har viktsumman 8. Vi ser direkt att 9-8 går utmärkt dvs vi kan placera in det en gång under position 2. Vi antecknar då en 1:a på den positionen och vet att vi har kvar 9-8=1. Steg 3. Vi är nu vid position 1 och har kvar 1 av vårt tal. Position 1 har viktsumman 1 och vi ser att vårt tal går in en gång i den positionen 1-1 = 0. Vi antecknar då även där en etta och eftersom vi har 0 kvar av talet har vi omvandlat det klart. Det decimala talet 137 omvandlas därmed till det oktala talet 211 när vi omvandlar det som vi gjorde i denna tabellmetod. Gör nu några omvandlingsövningar där du omvandlar några oktala, binära och hexadecimala tal till decimala tal.

12 Bitmetoden omvandling mellan binära, hexadecimala och oktala När vi omvandlar hexadecimal, oktala och binära tal mellan varandra kan vi använda bitmetoden. Där kan vi enkelt omvandla dessa tal på ett smidigt sätt. Vi vet att ett oktalt tal är 3 bitar och ett hexadecimalt tal är 4 bitar. Bitarna är som tidigare förklarat baserat på de binära talsystemet. Ett oktalt med sina 3 bitar kan alltså representeras av 3 stycken binära siffror Det hexadecimala talet med sina 4 bitar kan representeras av 4 stycken binära siffror Detta innebär att vi lätt kan omvandla hexadecimala och oktala tal till binära och tvärt om. Det enda vi behöver vita är den positionstabellen för Position de 4 första binära talen om vi jobbar med hexadecimalt till Viktsumma binärt eller med de 3 första talen om vi jobbar med oktalt till binärt. Vi kan ta det binära talet och omvandla det till hexadecimalt på följande sätt. Vi placerar 4 siffror i varje position eftersom varje hexadecimal siffra är 4 binära siffror. Det binära talet 1000 ser vi snabbt på Position 2 1 Binärt Hexadecimalt 8 9 en liten tabell att det betyder 8 decimalt och därmed också 8 hexadecimalt. Samma med talet 1001 där ser vi snabbt att det betyder 9. Vi kan använda samma sätt när vi omvandlar det binära talet till oktalt. Här vet vi att varje oktal siffra motsvarar 3 binära siffror. Vi Position lägger till en nolla framför talet så att varje tal precis som Binärt i datorer representeras av 3 binära bitar. Vi använder oss av tabellen och omvandlar talet snabbt. Oktalt Det är därmed enkelt att omvandla binära tal till oktala och hexadecimala tal eller tvärtom. Så länge vi kommer ihåg att en oktal siffra motsvarar 3 binära siffror och att en hexadecimal siffra motsvarar 4 binära siffror. Detta underlättar väldigt mycket när vi omvandlar större tal mellan dessa system. Det går också utmärkt att använda denna metod till att omvandla binära, oktala och hexadecimala tal till ett system som man anser sig vara lätta att sedan omvandla till decimalt. Men det går inte att direkt omvandla till decimalt med detta system.

13 Addition med andra talsystem Det är inte bara omvandling av tal som är vanligt när man jobbar med talsystem, även addition och subtraktion är vanliga räknesätt. Exempelvis använder vi subtraktion när vi konfigurerar datornätverk. Det enklaste sättet att använda sig av är att ställa upp talen precis som man kan göra i vårt vanliga decimala talsystem. Vi kan ställa upp dom oktala talen 25 och 47 dvs Vi gör precis på samma sätt som vi räknar vanligtvis det viktiga vi måste komma ihåg är att vi enbart har siffrorna 0-7 vilket innebär att när vi plussar ihop 2 tal och siffran kommer till 8 eller över så ska denna placeras i minnet Här har vi plussat ihop talet = 12, vi vet att så fort vi kommer över 8 ska vi flytta upp en siffra till minnet i positionen framför och dra av 8 för varje siffra vi flyttar upp. Vid addition av flera tal kan det hända att flera siffror flyttas upp till en högre position. Nu lägger vi ihop och får talet 7, eftersom det inte är högre än 8 skriver vi ner det direkt. Vi har nu räknat klart vår oktala addition 25+47= På samma sätt kan vi räkna binära tal. Vi gör på samma satt men i det binära har vi enbart 2 siffror 0-1. Det innebär att vi lägger ihop talen och för upp ett tal om talet blir mer än 2. Här är ett exempel med binära talen Först flyttar vi upp en siffra Sedan flyttar vi upp och behåller en siffra Sedan flyttar vi upp en siffra till Till sist skriver vi ner sista siffran Lägger vi ihop de binära talen får vi alltså svaret Gör gärna några övningar så du lättare lär dig hur man gör.

14 Subtraktion med andra talsystem Som tidigare berättat används subtraktion i andra talsystem när det kommet till datorer. Delvis används subtraktion och addition när vi jobbar med färger enligt den 24 bitars färgskala som finns. Där kan vi genom att öka eller minska talet. Blanda olika färger och få våra skärmar att lysa på olika sätt. När vi subtraherar använder vi oss av samma metod som när vi lägger ihop tal. Skillnaden här är att vi ibland måste ta tal från dom högre positionerna för att sedan använda dom till lägre positioner. Här har vi det hexadecimala talet A7-5F. I detta exempel har vi 7-F vilket innebär 7-15=-8 vi måste vi ta en siffra från positionen ovanför och dela upp den. Siffran som vi tar har värdet 16 eftersom en siffra i andra positionen i ett hexadecimalt system, vilket innebär att det är A som vi minskar med 1 så att det återstår 9 (A(10)- 1=9). Vi har nu fått 16 extra i värde och tar då dom återstående -8 och drar bort om från detta och får då kvar 8. Nu gäller det bara för oss att dra bort 5 från 9 för att ha räknat klart allting. Vilket är precis lika enkelt som det låter. A7-5F är alltså 48 i det hexadecimala talsystemet. 9 A 7-5 F 8 9 A 7-5 F 4 8 Öva nu på att göra några subtraktionsövningar så att du lättare kan förstå hur subtraktion i andra talsystem fungerar.