Digital Aritmetik Unsigned Integers Signed Integers"

Transkript

1 Digital Aritmetik Unsigned Integers Signed Integers" Slides! Per Lindgren! EISLAB! Original Slides! Ingo Sander! KTH/ICT/ES!

2 Talrepresentationer" Ett tal kan representeras binärt på många sätt.! De vanligaste taltyperna som skall representeras är:! Heltal, positiva heltal (eng. integers)! ett-komplementet, två-komplementet, sign-magnitude! Decimala tal med fix tal-område! Fix-tal (eng. fixed-point)! Decimala tal i olika talområden! Flyt-tal (eng. floating-point)! 2!

3 Positiva Heltal" Positiva Heltal: = 1* * * * *2 0 = 109 3!

4 Addition" Carry-out = 0 resultatet OK C 4 = !

5 Addition" Carry-out = 1 resultatet fel c 4 =1 c 3 =1 5!

6 Heltal" Positiva Heltal: = 1* * * * *2 0 = 109 Men hur representerar vi negativa tal??? 6!

7 Två-komplementet" X x X R n n n n n n -1 Talområde: -(2 n-1 )..+(2 n-1-1) Decimal komplementering (2 siffror): =51 Binär komplementering (5 siffor): =17 Vid två-komplementering inverteras ingående digits, och talet 1 läggs till, dvs (d 1 d 0 ) i basen b representeras som (b-1-d 1 )(b-1-d 0 )+1. Två-komplementet har den egenskapen att addition och subtraktion enkelt kan utföras. Tecken-bit Fördel: En nolla. Nackdel: Risk för overflow 7!

8 Talkonvertering Positiva till Negativa tal" invertera Lägg till ett !

9 Talkonvertering Negativa till Positiva tal" Invertera Lägg till ett

10 Talkonvertering Positiva till Negativa tal" !

11 Talkonvertering Negativa till Positiva tal"

12 Heltal (2-komplement)" Representation med 2-komplement! B=b N-1 b N-2...b 1 b 0 där b i {0,1} b N-1 b N-2... b 1 b 0 Tecken-Bit (Sign Bit) Decimalvärde D(B)=-b N-1 2 N-1 +b N-2 2 N b b !

13 Heltal: (2-komplement)" !

14 Sign-extension" Heltal: = -1* *2 5 +1* * *2 0 = n-1 2 n Teckenbiten har negativ vikt Kopiera teckenbiten för att utvidga talområdet genom att använda flera bitar! 14!

15 Addition av två heltal" X x X R n n n n n n -1 X R =x mod 2 n Y R =y mod 2 n ADD(x,y)= x+y mod 2 n = X R +Y R mod 2 n Overflow uppkommer om additionen hamnar utanför talområdet 15!

16 Addition" (+5) + (+2) (+7) !

17 Addition" (-5) + (+2) (-3) !

18 Addition" (+5) + (-2) (+3) Carry-biten kan ignoreras! 18!

19 Addition" (-5) + (-2) (-7) Extra carry-biten kan ignoreras! 19!

20 Overflow" (+5) + (+5) (-6) Overflow teckenbiten stämmer inte överens med ingående tal... 20!

21 Overflow (2)" (-5) + (-5) (+6) Overflow teckenbiten stämmer inte överens med ingående tal... 21!

22 För 4-bit-tal! Logik för att detektera overflow" Overflow om a 3 = b 3 och b 3 r 3!! Overflow = a 3 b 3 r 3 + a 3 b 3 r 3 Overflow = a n 1 b n 1 r n 1 + a n 1 b n 1 r n 1 22!

23 Subtraktion" Hur gör man subtraktionen på ett enkelt sätt? A - B = A +(-B)= A +(2 s complement B) = A +(NOT B) !

24 Subtraktion" (+5) - (+2) (+3) ???? I stället för subtraktion, gör en addition med 2-komplementet! 24!

25 Subtraktion" (-5) - (+2) (-7) ???? !

26 Subtraktion" (+5) - (-2) (+7) ???? !

27 Subtraktion" (-5) - (-2) (-3) ???? !

28 Tvåkomplementsrepresentation, en sammanfattning" Område: -2 N-1 upp till 2 N-1 1! Negation: Invertera varje bit (det boolska komplementet), addera sedan 1.! Expansion av bitlängd: Lägg till ytterligare bit positioner till vänster om teckenbiten, med samma värde som teckenbiten.! Overflow-regeln: Om två nummer med samma tecken adderas, så har det blivit overflow om resultatet har ett motsatt tecken.! Subtraktionsregeln: För att subtrahera B från A, ta två-komplementet av B och addera till A." 28!

29 (Alternativt sätt att detektera overflow)" (+7) + (+2) (+9) c 4 =0 c 3 = Overflow eftersom c 4 och c 3 är olika! 29!

30 (Alternativt sätt att detektera overflow)" (-7) + (+2) (-5) c 4 =0 c 3 = Inte overflow eftersom c 4 och c 3 är lika! 30!

31 (Alternativt sätt att detektera overflow)" (+7) (-2) (+5) c 4 =1 c 3 =1 Inte overflow eftersom c 4 och c 3 är lika! 31!

32 (Alternativt sätt att detektera overflow)" (-7) (-2) (-9) c 4 =1 c 3 =0 Overflow eftersom c 4 och c 3 är olika! 32!

33 För 4-bit-tal! (Logik för att detektera overflow)" Overflow om c 3 och c 4 är olika! Annars är det inte overflow!! Overflow = c 3 c 4 + c 3 c 4 = c 3 c 4 För n-bit-tal! Overflow = c n 1 c n 33!

34 Aritmetisk Hårdvara" 34!

35 Halv-adderaren (eng. Half adder)" c 0a + 0b cs a b c s a b a b c = a b s =a b a b HA s c a b s c 35!

36 Hel-adderaren (eng. Full adder)" c ut c in 0 a + 0 b c ut s a b c in c ut s c in c in ab c ut = a b + c in a + c in b ab a b c in FA s c ut s = a b c in 36!

37 Hel-adderare Komposition med halv-adderare" Vi kan även konstruera en hel-adderare mha två halv-adderare och en ELLERgrind! a b c in FA s c ut a b c in HA HA s cut Komposition tillåter att konstruera nya system med hjälp av kända byggblock! 37!

38 Hel-adderaren (eng. Full adder)" c ut c in 0 a + 0 b c ut s a b c in c ut s c in c in ab c ut = a b + c in a + c in b ab a b c in FA s c ut a b c in HA (s) (c ut ) HA s cut s = a b c in 38!

39 Mer komposition" Komposition kan även användas för att konstruera n-bit-adderare! Man behöver n hel-adderare för att konstruera en n-bit-adderare! 39!

40 Ripple-Carry Adderaren (RCA) " a n-1 b n-1 a 1 b 1 a 0 b 0 c utn-1 FA c inn-1 FA c in1 c ut0 FA c in0 s n-1 s 1 s 0 a n-1 b n-1... a 0 b 0 c utn-1 n-bit ADD c in0 T D =n*t FA (c in -> c out ) A=n*A FA s n-1... s 0 40!

41 Subtraktion" Subtraktion kan göras genom addition med två komplementet! Invertera alla bitar av den andra operanden! Addera 1! 41!

42 Add/sub-enheten" y n 1 y 1 y 0 Add/Sub = 0: Addition Add/Sub = 1: Subtraktion Add Sub control x n 1 x 1 x 0 c n n -bit adder c 0 s n 1 s 1 s 0 42!

43 EXEMPEL" y n 1 y 1 y 0 Add/Sub = 0: Addition Add/Sub = 1: Subtraktion Add Sub control x n 1 x 1 x 0 c n n -bit adder c 0 s n 1 s 1 s 0 x = 1010 y = 0110 Add = 0 (addition) 43!

44 EXEMPEL" y n 1 y 1 y 0 Add/Sub = 0: Addition Add/Sub = 1: Subtraktion Add Sub control x n 1 x 1 x 0 c n n -bit adder c 0 s n 1 s 1 s 0 x = 1010 y = 0110 Add = 1 (subraktion) 44!

45 Arithmetic Logic Unit (ALU)" Funktionsväljare f 0 f 1 AU LU A/L MUX f 0 f 1 A/L x ALU y c in A/L f1 f0 Funktion x+y x-y x and y x or y x xor y x nor y 45!

46 EXEMPEL" Funktionsväljare f 0 f 1 AU LU A/L MUX f 0 f 1 A/L x ALU y c in x = 1001 y = 0110 A/L f1 f0 Funktion x+y x-y x and y x or y x xor y x nor y 46!

47 (Komparator)" Komparatorn implementeras som subtraktionskrets! 47!

48 A<B (unsigned)" A < B -> A B < 0 R = A B -> A + (-B)! Inspektera Carry-out, 1 -> A<B false e.g 7<2! (+7) (-2) (+5) c 4 =1 48!

49 A<B (unsigned)" A < B -> A B < 0 R = A + (-B)! Inspektera Carry-out, 0 -> A<B true e.g 2<7! (+2) (-7) (+5) C 4 =0 49!

50 A<B (signed)" A < B -> A B < 0 R = A + (-B)! Inspektera N, 1 -> A<B true e.g 2<7! (+2) (-7) (+5) N=1 50!

51 A<B (signed)" A < B -> A B < 0 R = A + (-B)! Inspektera N, 1 -> A<B true, men det stämmer inte (+7) 0111 e.g 7< -5! + (-(-5)) (+5) N=1 51!

52 A<B (signed)" Vi måste även ta hänsyn till overflow! Dvs, A<B -> A-B<0, N xor V = 1! V=1 (A,B samma tecken R motsatt tecken) (+7) + (-(-5)) (+5) N=1 52!

53 A<B " Olika beteende om vi betraktar talen som signed eller unsigned! Unsigned, kolla carry-out! Signed, kolla V xor N! Därför två olika instruktioner i MIPS! SLTU (unsigned)! SLT (signed)! (se MIPS instruktionsuppsättning för fler varianter)! 53!

54 Sammanfattning" Addition och subtraktion av heltal! Två-komplementet! Subtraktion av ett tal implementeras som addition med dess två-komplement! ALU utför både! aritmetiska (ADD,SUB, SLT/SLTU etc.) och! logiska operationer (AND, OR, etc.)!! D0011E, Digitalteknik!