ÖH kod. ( en variant av koden används i dag till butikernas streck-kod ) William Sandqvist

Transkript

1 ÖH kod Kodomvandlare kod till BCD-kod. Vid kodning av siffrorna 0 9 användes förr ibland en kod med vikterna i stället för den binära kodens vikter I de fall då en siffras kodord kan väljas på olika sätt väljs det kodord som innehåller minst antal ettor. ( en variant av koden används i dag till butikernas streck-kod )

2 Ex kod Kodomvandlare kod till BCD-kod. Vid kodning av siffrorna 0 9 användes förr ibland en kod med vikterna i stället för den binära kodens vikter I de fall då en siffras kodord kan väljas på olika sätt väljs det kodord som innehåller minst antal ettor. ( en variant av koden används i dag till butikernas streck-kod )

3 Ex kod Kodomvandlare kod till BCD-kod. Vid kodning av siffrorna 0 9 användes förr ibland en kod med vikterna i stället för den binära kodens vikter I de fall då en siffras kodord kan väljas på olika sätt väljs det kodord som innehåller minst antal ettor. ( en variant av koden används i dag till butikernas streck-kod )

4 8.4

5 8.4

6 8.4 y + 8 = x7x2 x7x1

7 8.4 8 = x7x2 x7x1 y 4 = x4 + x7 x2 x1 y +

8 8.4 8 = x7x2 x7x1 y 4 = x4 + x7 x2 x1 y 2 = x7 x2 + x7 x2 x1 y + y + 1 = x7 x1 + x7x2 x7 x2 x1

9 8.4 Gemensamma hoptagningar kan ge delade grindar! 8 = x7x2 x7x1 y 4 = x4 + x7 x2 x1 y 2 = x7 x2 + x7 x2 x1 y + y + 1 = x7 x1 + x7x2 x7 x2 x1

10 8.4 PLA-kretsar innehåller programerbara AND och OR grindar. (Detta visade sig vara onödigt komplext, så det vanliga blev PAL-kretsar med endast AND-nätet programmerbart). Grindarna har många programmerbara ingångsanslutningar. De många ingångarna ritas därför oftast med ett förenklat ritsätt.

11 8.4 Grind-delning!

12 8.4 Grind-delning!

13 8.4 Grind-delning!

14 Reella tal Decimalkomma, och Binärpunkt. 10, =

15 Ex 1.2b =

16 Ex 1.2b = = ( = ) = = 52,25 10

17 Komplementräkning Subtraktion med en additionsmaskin = komplementräkning = 46 Talet -17 slås in som med röda siffror 17 och blir då 82. När - tangenten trycks in adderas 1. Resultatet blir: = 146. Om bara två siffror visas: 46

18 2-komplement Binärtalet 3, 0011, blir negativt -3 genom att man inverterar alla bitar och lägger till ett, 1101.

19 Registeraritmetik Datorregister är ringar Ett fyra bitars register rymmer 2 4 = 16 tal. Antingen 8 positiva (+0 +7) och 8 negativa (-1-8) tal med tecken, eller 16 (0 F) teckenlösa tal. Om registret är fullt gör +1 att det slår runt.

20 Registerlängd 4 bitar kallas Nibble. Registret rymmer 2 4 = 16 tal. 0 15, bitar kallas Byte. Registret rymmer 2 8 = 256 tal , bitar kallas Word = tal , Vanliga registerstorlekar är idag 32 bitar (DoubleWord) och 64 bitar (QuadWord ). Dessa storleksbenämningar är de som används av Windows-programmet Calculator. Word kan ofta vara 32 bitar i stället.

21 Ex 1.8 Skriv följande tal med tecken med två-komplementsnotation, x = (x 6, x 5, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ). a) -23 b) -1 = c) +38 = d) -64 =

22 Ex 1.8 Skriv följande tal med tecken med två-komplementsnotation, x = (x 6, x 5, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ). a) -23 = ( = = ) = = b) -1 = c) +38 = d) -64 =

23 Ex 1.8 Skriv följande tal med tecken med två-komplementsnotation, x = (x 6, x 5, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ). a) -23 = ( = = ) = = b) -1 = (+1 10 = = ) = = c) +38 = d) -64 =

24 Ex 1.8 Skriv följande tal med tecken med två-komplementsnotation, x = (x 6, x 5, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ). a) -23 = ( = = ) = = b) -1 = (+1 10 = = ) = = c) +38 = ( ) = = d) -64 =

25 Ex 1.8 Skriv följande tal med tecken med två-komplementsnotation, x = (x 6, x 5, x 4, x 3, x 2, x 1, x 0 ). a) -23 = ( = = ) = = b) -1 = (+1 10 = = ) = = c) +38 = ( ) = = d) -64 = ( = är ett för stort positivt tal! men fungerar ändå ) = = 64 10

26 Ex 2.1 a) b) c) d)

27 Heladderaren

28 Heladderaren Ett grindnät som gör en binär addition på en valfri bitposition med två binära tal kallas för en Heladderare.

29 4-bits adderare En additionskrets för binära fyrbitstal består således av fyra heladderarkretsar.

30 Subtraktion? Subtraktion av binära tal kan ske genom sk. komplementräkning. Negativa tal representeras då av sannkomplementet, vilket innebär att alla bitar inverteras och en etta adderas till talet. Man utnyttjar då additionskretsen även till subtraktion. Rent kretsmässigt kan man lösa inverteringen med XOR-grindar, och man adderar en etta till talet genom att låta C IN = 1.

31 y n 1 y 1 y 0 Add Sub control x n 1 x 1 x 0 c n n -bit adder c 0 s n 1 s 1 s 0 Figure Adder/subtractor unit.

32 2-komplementet snabbt För att lätt ta fram 2-komplementet av ett binärtal kan man använda följande förfarande: Börja från höra sidan Kopiera alla bitar från binärtalet som är 0 och den första 1:an Invertera Invertera alla andra bitar Kopiera Exempel: 2-komplement från 110 är 010

33 Ex 2.2 Addera eller subtrahera (addition med motsvarande negativa tal) nedanstående tal. Talen skall representeras som binära 4-bitstal (Nibble) på två-komplementform. a) b) 4 1 c) 7 8 d) -3 5 Exemplets negativa tal: = (+1 10 = = ) = = (+8 10 = = ) = = (+3 10 = = ) = = (+5 10 = = ) =

34 = = = =

35 Ex 2.3 a,b Multiplicera för hand följande par av teckenlösa binära tal. a) b)

36 Ex 2.3 c,d Multiplicera för hand följande par av teckenlösa binära tal. = = (51,25 7,5 =384,376) (0,8125 0,875 = ) Fixpunktsberäkning är en heltalsmultiplikation, binärpunkten sätts in först i resultatet.

37 Ex 2.4 Dividera för hand följande par av teckenlösa binära tal. Trappan:

38 Ex 2.4 Dividera för hand följande par av teckenlösa binära tal. Trappan: Vid heltalsdivision blir svaret i stället 1.

39 Ex 2.4 Dividera för hand följande par av teckenlösa binära tal. Kort division: a) 110/010=(6/2=3)= = = =

40 Ex 2.4 Dividera för hand följande par av teckenlösa binära tal. Kort division: b) 1110/1001=(14/9=1,55 )= = = = =... Vid heltalsdivision blir svaret i stället 1.

41 IEEE 32 bit float Genom att exponenteten skrivs exess 127 kan flyttal storlekssorteras med vanlig heltalsaritmetik! Dec IEEE-754

42 2.5 Flyttalsformat IEEE 32 bit flyttal s eeeeeeee fffffffffffffffffffffff

43 2.5 Flyttalsformat IEEE 32 bit flyttal s eeeeeeee fffffffffffffffffffffff Vad blir: 4 0 C

44 2.5 Flyttalsformat IEEE 32 bit flyttal s eeeeeeee fffffffffffffffffffffff Vad blir: 4 0 C

45 2.5 Flyttalsformat IEEE 32 bit flyttal s eeeeeeee fffffffffffffffffffffff Vad blir: 4 0 C , = +6,25

46

47 32 bits S Sign 0 denotes + 1 denotes E 8-bit excess-127 exponent (a) Single precision M 23 bits of mantissa S E 64 bits M Sign 11-bit excess-1023 exponent (b) Double precision 52 bits of mantissa Figure IEEE Standard floating-point formats.

48 Overflow När man räknar med tal med tecken kan summan av två positiva tal felaktigt bli negativ (tex = -7 ), liksom summan av två negativa tal felaktigt kan bli positiv (tex = +3 ). Detta kallas för Overflow.

49 Figure A comparator circuit.

50 Logik för att detektera overflow För 4-bit-tal Overflow om c 3 och c 4 är olika Annars är det inte overflow XOR testar olikhet Overflow = c 3 c 4 + c 3 c 4 = c 3 c 4 För n-bit-tal Overflow = c n 1 c n

51 BV ex 5.10, < > = Flags, Comparator. Two four-bit signed numbers, X = x 3 x 2 x 1 x 0 and Y = y 3 y 2 y 1 y 0, can be compared by using a subtractor circuit, which performs the operation X Y. The three Flag-outputs denote the following: Z = 1 if the result is 0; otherwise Z = 0 N = 1 if the result is negative; otherwise N = 0 V = 1 if aritmetic overflow occurs; otherwise V = 0 Show how Z, N, and V can be used to determine the cases X = Y, X < Y, X >Y. Subtractor circuit

52 BV ex 5.10 X = Y? X V Z Y = c 4 c N = 1 s = ( s + s + s + s0) 3 X = Y?

53 BV ex 5.10 X = Y? X V Z Y = c 4 c N = 1 s = ( s + s + s + s0) 3 X = Y? X = Y Z =1

54 X < Y? Några testtal: BV ex 5.10 V X < Y X Y V N = = = = X Z Y = c 4 c N = 1 s = ( s + s + s + s ) 0 3

55 X < Y? BV ex 5.10 X V Z Y = c 4 c N = 1 s = ( s + s + s + s ) 0 3 Om X och Y har samma tecken kommer X - Y alltid att ligga inom talområdet. Dvs. V = 0. X, Y positiva tex. 3 4 N = 1. X, Y negativa tex. -4 (-3) N = 1. Om X neg och Y pos och X Y ligger inom talområdet, blir V = 0 och N = 1. Tex Om X neg och Y pos men X Y ligger utanför talområdet, blir V = 1. Då blir N = 0. Ex Vid X<Y blir flaggorna V och N således alltid olika. Detta kan indikeras med XOR.

56 X < Y? BV ex 5.10 X V Z Y = c 4 c N = 1 s = ( s + s + s + s ) 0 3 Om X och Y har samma tecken kommer X - Y alltid att ligga inom talområdet. Dvs. V = 0. X, Y positiva tex. 3 4 N = 1. X, Y negativa tex. -4 (-3) N = 1. Om X neg och Y pos och X Y ligger inom talområdet, blir V = 0 och N = 1. Tex Om X neg och Y pos men X Y ligger utanför talområdet, blir V = 1. Då blir N = 0. Ex Vid X<Y blir flaggorna V och N således alltid olika. Detta kan indikeras med XOR. X < Y N V

57 BV ex 5.10 ( 0) s s s s Z s N c c V Y X = = = 1 X Y Z X Y N V X Y X Y X Y = = < >

58 BV ex 5.10 ( 0) s s s s Z s N c c V Y X = = = V N Y X V N Z V N Z Y X V N Z Y X V N Y X Z Y X = + > + < = = ) ( 1

59 BV ex 5.10 ( 0) s s s s Z s N c c V Y X = = = V N Y X V N Z V N Z Y X V N Z Y X V N Y X Z Y X = + > + < = = ) ( 1 Så här kan en dator göra de vanligaste jämförelserna

60 Träslöjds adderaren Rippel carry kan åskådliggöras med denna video Marble adding machine

61 Ex 8.11 Multiply with 6?

62 Ex 8.11 Multiply with 6! x 1 0 0

63 Ex 8.11 Multiply with 6! x 2 0 x 1 0 0

64 Ex 8.11 Multiply with 6! x 2 0 x ( x 2 + x 1)

65 Ex 8.11 Multiply with 6! 15 6 = 90 x = 15 x ( x 2 + x 1) = 90

66