Kapitel. Numeriska beräkningar
|
|
- Bengt Fransson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 3 Numeriska beräkningar 3-1 Före beräkning 3-2 Differentialräkning 3-3 Räkning med kvadratiska differentialer 3-4 Räkning med integraler 3-5 Beräkning av maximi/minimivärde 3-6 Summaberäkningar (Σ)
2 3-1 Före beräkning Det följande beskriver posterna som återfinns på menyerna som används för beräkningar med lösningar, differentialer/kvadratiska differentialer, integraler, maximi/minimivärden och Σ. Sid. 27 Uppvisa alternativmenyn på skärmen och tryck på 4 (CALC) för att uppvisa funktionsanalysmenyn. Posterna på denna meny används för att utföra specifika typer av beräkningar. {Solve}/{d/dx}/{d 2 /dx 2 }/{ dx}... beräkning med {lösning}/{differential}/ {kvadratisk differential}/{integration} {FMin}/{FMax}/{Σ(}... beräkning med {minimivärde}/{maximivärde}/ {Σ (sigma)} Lösningsberäkningar Följande syntax gäller för användning av lösningsfunktion i ett program. Sid. 394 Sid. 107 Solve( f(x), n, a, b) Övre gräns Nedre gräns Ursprungligt uppskattat värde ` Två olika inmatningsmetoder kan användas för lösningsberäkningar: direkttilldelning och inmatning av variabeltabell. Med direkttilldelningsmetoden (som beskrivs här) tilldelar du värden direkt till variablerna. Denna typ av inmatning är densamma som vid användning av lösningskommandot i läget PRGM. Inmatning av variabeltabell används med lösningsfunktionen i läget EQUA. Denna inmatningsmetod rekommenderas för de flesta normala lösningsfunktioner. 54
3 3-2 Differentialräkning [OPTN]-[CALC]-[d/dx] Utför differentialräkning genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan mata in värdena i formeln nedan. 2(d/dx) f(x),a,a x) d d/dx ( f (x), a, Ax) f (a) dx ökning/minskning av x Punkten för vilken du vill bestämma derivatan Differentialen för denna typ av beräkning definieras som: f (a + Ax) f (a) f '(a) = lim Ax 0 Ax I denna definition ersätts oändligt liten av ett tillräckligt litet Ax, med ett ungefärligt värde på f ' (a) beräknat som: f (a + Ax) f (a) f '(a) Ax För att sörja för bästa möjliga exakthet använder sig enheten av en centraldifferens för att utföra differentialkalkyler. Det följande illustrerar centraldifferensen. A A A A A A A Lutningarna för punkt a och punkt a + Ax, och för punkt a och punkt a Ax i funktionen y = f(x) är följande: f (a + Ax) f (a) Ay f (a) f (a Ax) y =, = Ax Ax Ax x I det ovanstående kallas Ay/Ax för framdifferens, medan y/ x är bakdifferens. Vid beräkning av derivata tar enheten medeltalet mellan värdet av Ay/Ax och y/ x, och sörjer därmed för att derivata blir mera exakta. 55
4 3-2 Differentialräkning Detta medeltal, som kallas centraldifferensen, uttrycks som: 1 f (a + Ax) f (a) f (a) f (a Ax) f '(a) = + 2 Ax Ax f (a + Ax) f (a Ax) = 2Ax uatt utföra differentialkalkyl Exempel Bestäm derivata vid punkten x = 3 för funktionen y = x 3 + 4x 2 + x 6, när ökningen/minskningen hos x definieras som Ax = 1E 5 Mata in funktionen f(x). AK4(CALC)2(d/dx)vMd+evx+v-g, Mata in punkt x = a för vilken du vill bestämma derivata. d, Mata in Ax, vilken är ökningen/minskningen för x. be-f) w I funktionen f(x) kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Inmatning av Ax och en slutparentes kan utelämnas. Om du utelämnar Ax kommer räknaren automatiskt att använda ett värde för Ax som passar det derivatvärde som du försöker bestämma. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. 56
5 Differentialräkning 3-2 k Hur differentialkalkyler tillämpas Differentialer kan adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras med varandra. Följaktligen: d d f (a) = f '(a), g (a) = g'(a) dx dx f '(a) + g'(a), f '(a) g'(a) o.s.v. Resultat av differentialkalkyler kan användas vid addition, subtraktion, multiplikation och division samt i funktioner. 2 f '(a), log ( f '(a)) o.s.v. Funktioner kan användas i valfri term ( f (x), a, Ax) hos en differential. d (sinx + cosx, sin0,5) o.s.v. dx Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en differentialberäkningsterm. Ett tryck på A under beräkning av en differential (medan markören ej visas på skärmen) avbryter beräkningen. Utför alltid trigonometriska differentialer med radianer (läget Rad) som vinkelenhet. 57
6 3-3 Räkning med kvadratiska differentialer [OPTN]-[CALC]-[d 2 /dx 2 ] Uppvisa funktionsanalysmenyn och mata sedan in kvadratiska differentialer med ett av följande två format. 3(d 2 /dx 2 ) f(x),a,n) d 2 d 2 ( f (x), a, n) f (a) dx 2 dx 2 Slutgräns (n = 1 till 15) Differentialens koefficientpunkt Räkning med kvadratiska differentialer framställer ett ungefärligt differentialvärde med hjälp av följande differentialformel av andra ordningen, vilken är baserad på Newtons polynomtolkning. f(x 2h) + 16 f(x h) 30 f(x) + 16 f(x + h) f(x + 2h) f''(x) = 12h 2 I detta uttryck beräknas tillräckligt små ökningar av x i ordningsföljd med följande formel, där värdet av m ersätts som m = 1, 2, 3 o.s.v. 1 h = 5 m Räkningen är avslutad när värdet av f"(x) baserat på värdet av h beräknat med det sista värdet för m, samt värdet av f"(x) baserat på värdet av h beräknat med det nuvarande värdet för m, är identiska innan den övre siffran n nås. Normalt sett ska du inte mata in något värde för n. Vi rekommenderar att du matar in ett värde för n enbart när det krävs för räkningens exakthet. Inmatning av ett större värde för n leder inte automatiskt till större exakthet. uatt utföra räkning av en kvadratisk differential Exempel Bestäm den kvadratiska differentialens koefficient vid punkten där x = 3 för funktionen y = x 3 + 4x 2 + x 6 Här använder vi ett slutgränsvärde på n = 6. Mata in funktionen f(x). AK4(CALC)3(d 2 /dx 2 ) vmd+ evx+v-g, 58
7 Räkning med kvadratiska differentialer 3-3 Mata in 3 som punkt a, vilken är differentialens koefficientpunkt. d, Mata in 6 som n, vilken är slutgränsen. g) w I funktionen f(x) kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Inmatning av slutgränsvärdet n och en slutparentes kan utelämnas. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. k Tillämpning av kvadratiska differentialer Aritmetiska operationer kan utföras med två kvadratiska differentialer. Följaktligen: d 2 d 2 f (a) = f ''(a), g (a) = g''(a) dx 2 dx 2 f ''(a) + g''(a), f ''(a) g''(a) o.s.v. Resultatet av räkning med kvadratisk differential kan användas i en efterföljande aritmetisk beräkning eller funktionsberäkning. 2 f ''(a), log ( f ''(a) ) o.s.v. Funktioner kan användas inom termerna ( f(x), a, n ) hos ett kvadratiskt differentialuttryck. d 2 (sin x + cos x, sin 0,5) o.s.v. dx 2 Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en kvadratdifferentialberäkningsterm. Använd endast heltal från 1 till 15 för slutgränsvärdet n. Ett värde utanför detta omfång framställer ett fel. Pågående beräkning av kvadratisk differential kan avbrytas med ett tryck på tangenten A. Använd alltid radianer (läget Rad) som enhet för vinkelmätning när du utför räkning av trigonometriska kvadratiska differentialer. 59
8 3-4 Räkning med integraler [OPTN]-[CALC]-[ dx] Utför integralräkning genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan mata in värdena i formeln nedan. Gauss-Kronrods regel 4( dx) f(x), a, b, tol ) ( f(x), a, b, tol) b f(x)dx a Tolerans Slutpunkt Startpunkt Formeln vbaf a b f(x)dx för areans beräkning Simpsons regel 4( dx) f(x), a, b, n ) ( f(x), a, b, n) a b f(x)dx, N = 2 n Antal indelningar (värde för n i N = 2 n, n är ett heltal från 1 till 9) Slutpunkt Startpunkt Såsom framgår av illustrationen ovan utförs integralberäkningar genom att räkna ut integralvärden från a till b för funktionen y = f (x) där a < x < b, och f (x) > 0*. Detta räknar ut ytan på det skuggade området i illustrationen. * När f (x) < 0 på a < x < b, kommer beräkningen av ytan att framställa ett negativt värde (yta under x-axeln). k Att ändra metod för integralberäkning Sid.6 Denna räknare använder antingen Gauss-Kronrods regel eller Simpsons regel för att utföra integralberäkning. Välj metod genom att visa uppsättningsskärmen och välja Gaus (Gauss-Kronrods regel) eller Simp (Simpsons regel) för integralposten (Integration). Alla förklaringar i denna bruksanvisning använder Gauss-Kronrods regel. 60
9 Räkning med integraler 3-4 uatt utföra integralkalkyl Exempel Utför integralberäkning för funktionen nedan med en tolerans på tol = 1E (2x 2 + 3x + 4) dx 1 Mata in funktionen f (x). AK4(CALC)4( dx)cvx+dv+e, Mata in startpunkten och slutpunkten. b,f, Mata in toleransvärdet. be-e)w I funktionen f(x), kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Det går att utelämna inmatning av tol i Gauss-Kronrods regel, n i Simpsons regel och slutparentes för båda reglerna. Om tol utelämnas använder räknaren automatiskt 1E - 5. Ifråga om n väljer räknaren automatiskt det lämpligaste värdet. Integrationsberäkningar kan ta ganska lång tid i anspråk. k Hur integralkalkyl tillämpas Integraler kan användas i addition, subtraktion, multiplikation eller division. b d f(x) dx + a c g(x) dx o.s.v. Resultat av integralkalkyler kan användas i addition, subtraktion, multiplikation eller division, samt i funktioner. 2 a b f(x) dx o.s.v. log ( a b f(x) dx) o.s.v. Funktioner kan användas i var och en av termerna ( f(x), a, b, n) i en integral. cos 0,5 (sin x + cos x) dx = (sin x + cos x, sin 0,5, cos 0,5, 5) sin 0,5 Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en integralberäkningsterm. 61
10 3-4 Räkning med integraler Ett tryck på A under beräkning av en integral (medan markören ej visas på skärmen) avbryter beräkningen. Vid trigonometrisk integralkalkyl måste radian (läget Rad) alltid anges som vinkelenhet Faktorer såsom typen av funktion som används, positiva och negativa värden inom divisioner och division där integrering utförs kan orsaka betydande fel i integralvärdena och ge felaktiga räkneresultat. Observera det följande för att få fram korrekta värden vid integralkalkyler. (1) När periodiska funktioner för integralvärdena blir positiva eller negativa för olika delar: Dela upp räkningen genom att räkna ut värdena för en period eller dela upp i negativa och positiva grupper. Addera sedan ihop delsvaren. Positiv delt (S) Negativ del (S) b c b f(x)dx = f(x)dx + ( f(x)dx) a c a Positiv delt (S) Negativ del (S) (2) När ringa variationer i intervalldelar blir anledning till stora variationer i värdena: Beräkna delarna individuellt (dela upp områdena med stora variationer i mindre delar) och addera sedan ihop svaren. b x1 x2 b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx f(x)dx a x1 x4 a 62
11 3-5 Beräkning av maximi/minimivärde [OPTN]-[CALC]-[FMin]/[FMax] Uppvisa funktionsanalysmenyn och mata in maximi/minimiberäkningar med formaten nedan för att lösa maximum och minimum för en funktion inom intervallet a < x < b. uminimivärde 6(g)1(FMin) f(x), a, b, n ) umaximivärde 6(g)2(FMax) f(x), a, b, n ) uatt utföra beräkning av maximi/minimivärde Exempel 1 Bestäm minimivärdet för intervallet som definieras av startpunkten a = 0 och slutpunkten b = 3, med en exakthet på n = 6 för funktionen y = x 2 4x + 9 Mata in f(x). AK4(CALC)6(g)1(FMin) vx-ev+j, Mata in intervallet a = 0, b = 3. a,d, Mata in exaktheten n = 6. g) w Exakthet (n = 1 till 9) Intervallets slutpunkt Intervallets startpunkt Exakthet (n = 1 till 9) Intervallets slutpunkt Intervallets startpunkt 63
12 3-5 Beräkning av maximi/minimivärde Exempel 2 Bestäm maximivärdet för intervallet som definieras av startpunkten a = 0 och slutpunkten b = 3, med en exakthet på n = 6 för funktionen y = x 2 + 2x + 2 Mata in f(x). AK4(CALC)6(g)2(FMax) -vx+cv+c, Mata in intervallet a = 0, b = 3. a,d, Mata in exaktheten n = 6. g) w I funktionen f(x), kan enbart X användas som en variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m Z, r, θ) betraktas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat denna variabel tillämpas under beräkningen. Inmatning av n och en slutparentes efter värdet för exakthet kan utelämnas. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, integration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en maximi/ minimiberäkningsterm. Om du matar in ett större värde för n minskar det felmarginalen i beräkningen, men det ökar också den tid som behövs för att genomföra beräkningen. Värdet som inmatades för intervallets slutpunkt (b) måste vara större än värdet som inmatades för startpunkten (a). I annat fall uppstår ett fel. Pågående beräkning av maximi/minimivärde kan avbrytas med ett tryck på tangenten A. Du kan mata in ett heltal inom omfånget 1 till 9 för värdet n. Om du använder ett värde utanför detta omfång kommer det att förorsaka fel. 64
13 3-6 Summaberäkningar (Σ) [OPTN]-[CALC]-[Σ(] Utför beräkningar med Σ genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan inmata värdena i formeln nedan. 6(g)3(Σ() ak, k, α, β, n ) Avstånd mellan delningar Sista termen för sekvens ak Första termen för sekvens ak Variabel som används av sekvens ak Σ (ak, k, α, β, n) Σ ak k = α β Σ-beräkning är beräkningen av delsumman av sekvens ak, med hjälp av följande formel. S = aα + aα aβ = Σ ak β k = α k Exempel på Σ-beräkning Exempel Beräkna det följande: 6 Σ (k2 3k + 5) k = 2 Använd n = 1 som avstånd mellan delningar. Mata in sekvens ak. AK4(CALC)6(g)3(Σ()aKx-daK+f, Mata in variabel som används av sekvens ak. ak, Mata in den första termen för sekvens ak och sista termen för sekvens ak. c,g, Mata in n. b) w 65
14 3-6 Summaberäkningar (Σ) Det går bara att använda en variabel i funktionen för den inmatade sekvensen ak. Mata bara in heltal för den första termen för sekvens ak och den sista termen för sekvens ak. Inmatning av n och en slutparentes kan utelämnas. Om n utelämnas använder räknaren automatiskt n = 1. k Tillämpning av Σ-beräkningar Aritmetiska operationer med Σ-beräkningsuttryck Uttryck: Möjliga operationer: n n Sn = Σ ak, Tn = Σ bk k = 1 k = 1 Sn + Tn, Sn Tn o.s.v. Aritmetiska och funktionsoperationer som använder Σ räkneresultat. 2 Sn, log (Sn) o.s.v. Funktionsoperationer med Σ-beräkningstermer (ak, k) Σ (sink, k, 1, 5) o.s.v. Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en Σ beräkningsterm. Kontrollera att värdet som används för den sista termen β är större än värdet för den första termen α. I annat fall uppstår ett fel. Avbryt en pågående Σ-beräkning (när markören inte återfinns på skärmen) med tangenten A. 66
Kapitel Ekvationsräkning
Kapitel Ekvationsräkning Din grafiska räknare kan lösa följande tre typer av beräkningar: Linjära ekvationer med två till sex okända variabler Högregradsekvationer (kvadratiska, tredjegrads) Lösningsräkning
Läs merKapitel. 1. Listoperationer 2. Redigering och omplacering av listor 3. Hantering av listdata 4. Aritmetiska beräkningar med listor
Kapitel En lista är en slags behållare som kan användas för att lagra flera dataposter. Denna räknare tillåter dig att ha upp till sex listor i minnet, och innehållen i dessa kan användas i aritmetiska
Läs merfx-100ms fx-115ms (fx-912ms) Instruktionshäfte 2 (Ytterligare funktioner)
Sw fx-100ms fx-115ms (fx-912ms) Instruktionshäfte 2 (Ytterligare funktioner) CA 310079-001V07 http://world.casio.com/edu_e/ Viktigt! Förvara din bruksanvisning och all övrig information nära till hands
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merKapitel. 6-1 Före matrisräkning 6-2 Matriscelloperationer 6-3 Modifiering av matriser med matriskommandon 6-4 Matrisräkning
Kapitel Matrisräkning 26 matrisminnen (A t.o.m. Z) plus ett matrissvarsminne (MatAns) kan användas för att utföra följande matrisoperationer. Addition, subtraktion, multiplikation Räkning med skalär multiplikation
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs merKapitel Rekursionstabell och graf
Kapitel 16 Rekursionstabell och graf Det går att mata in två formler för de tre typerna av rekursion nedan och sedan använda dem för att framställa en tabell och rita grafer. Generell term av sekvensen
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merKapitel 2. Manuella beräkningar
Kapitel 2 Manuella beräkningar 2-1 Grundläggande beräkningar 2-2 Specialfunktioner 2-3 Specificering av vinkelenhet och visningsformat 2-4 Funktionsberäkningar 2-5 Numeriska beräkningar 2-6 Räkning med
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merInnehåll SVENSKA Display... s.3 Komma Lgång Mata in Uttryck och Värden Inmatningsområde... s.10 Grundläggande Beräkningar
SVENSKA Innehåll Display... s.3 Komma Lgång Strömknapp... s.4 Justering av Visningsfönstrets Kontrast... s.4 Lägesval... s.4 Inställningsmeny för av Funktioner ( Nyckel)... s.5 Räknarens Inställningsmeny...
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merKapitel. Elementnummer Visningsintervall Cell. Listnamn. Rad. Spalt
Kapitel 17 Listfunktion En lista är en slags behållare som kan användas för att lagra flera dataposter. Denna räknare gör det möjligt att lagra upp till sex listor i en enskild fil och upp till sex filer
Läs merMinimanual CASIO fx-9750gii
Minimanual CASIO fx-9750gii Vanliga beräkningar Vanliga beräkningar görs som vanligt, fast du trycker EXE istället för lika med. Innehåll 3 maj 2017 1 Skriver du fel i en beräkning kan du radera med DEL.
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs merNamn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merMoment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e
Moment 0.,0. Viktiga exempel 0.-0.5 Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merKapitel Dynamisk graf
Kapitel 13 Dynamisk graf Läget för dynamisk graf på denna räknare ger dig framställning i realtid av ändringar i en graf efter hand som koefficienter och termer ändras. Du kan således se vad som händer
Läs merKapitel Grafer för koniska sektioner
Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5. hp, 215-3-17 Skrivtid: 14 17 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merockså en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x )
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 017-0-14 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merLektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln
Lektion 3 Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln Innehål 1. Partiella derivator (12.3) 2. Differentierbarhet och tangentplan till
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs mer3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition
3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs merLaboration 2, M0043M, HT14 Python
Laboration 2, M0043M, HT14 Python Laborationsuppgifter skall lämnas in senast 19 december 2014. Förberedelseuppgifter Läs igenom teoridelen. Kör teoridelens exempel. Teoridel 1 Att arbeta med symboliska
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merLite extramaterial i anslutning till boken
Lite extramaterial i anslutning till boken Kapitel 1 Elementär algebra Prioritetsregler för räknesätten Det är av avgörande betydelse i vilken ordning räkneoperationer utförs. För att på ett otvetydigt
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merMVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 07-08-4 kl. 4.00 8.00 Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman 03 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merEkvationer & Funktioner Ekvationer
Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs mer2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar
Läs merAnsvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet
FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merEn vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.
Max och min för trigonometriska funktioner En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas. Ta t.ex y = 12 sin(3x-90) När man ska studera
Läs merHelsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning
Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs mer