Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Transkript

1 Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta riktningar: Matti mot öster och Maija väster. Efter en timme är de på 5 kilometers avstånd från varandra, och Maija är en kilometer längre borta från startpunkten än Matti. Hur lång sträcka har Matti vandrat? (2 p.) s1 + s2 = 5 Vi skriver ekvationsparet {, där s1 den sträcka Matti gått och s2 den sträcka Maija gått (1 p.). Vi s2 s1 = 1 löser s2 ur den andra ekvationen s2 = 1 + s1 och sätter in värdet i den första ekvationen s1 + s1 + 1 = 5 dvs. s1 = 2 och s2 = Svar: Matti har vandrat 2 km. (1 p.) 7. b) Härefter fortsätter de med samma hastigheter som i fall a) rakt norrut. Hur länge måste de ännu vandra för att komma 10 km från varandra? ( p.) Först måste vi beräkna vandringshastigheterna i a-fallet; hastigheten = sträckan/tiden Mattis hastighet v1 = 2 km 1 h = 2 km/h och Maijas hastighet on v2 = km 1 h = km/h Då de vandrat tiden T mot norr, har de vandrat sammanlagt: Matti: X = 2km (öst-västlig riktning), Y = 2 km/h * T (nord-sydlig riktning) Maija: X = km (öst-västlig riktning), Y = km/h * T (nord-sydlig riktning) Härvid är deras avstånd från varandra (x) x = ( ( 2)) 2 + (T 2T) 2 = 25 + T 2 (2 p.) Vi sätter in x = T T 2 2 T 75 8,7 Svar: Efter ungefär 8,7 timmar eller 8 timmar och 40 minuter (1 p.)

2 8. a) Storheten y beskrivs av ekvationen y = 1 + 0,5exp ( At), där t är tiden och A är en konstant. För vilka värden på t är y = 1,25? (2 p.) Vi löser t ur ekvationen y = 1 + 0,5exp ( At) för y = 1,25 1,25 = 1 + 0,5 exp( At) 0,25 = 0,5exp ( At) 0,5 = exp ( At) ln(0,5) = At t = ln (0,5) A Svar: Vid tidpunkten t = ln (0,5) A (2 p.) 8. b) Storheten y beskrivs av ekvationen y = 10A t, där t är tiden och A är en konstant. Storheten y får värdet y = 500, vid tidpunkten t = 2. Vilket är värdet på storheten y vid tidpunkten t =? ( p.) Vi löser A, då t = 2 och y = 500: 500 = 10A 2 A = 50 1/2 eller A = 50 1/2 (1 p.) Vid tidpunkten t = y = 10A = /2 56 eller y = 10 ( 50) /2 56 (2 p.)

3 9. Fyra cirklar skär varandra och bildar det skuggade området i figuren. Cirklarnas medelpunkter befinner sig mitt på kvadratens sidor. Längden på kvadratens sidor och cirklarnas diameter är x. Vilken är ytan hos det skuggade området? (5 p.) Vi betraktar området A osa Ytan hos området A osa är 1/8 av hela det skuggade områdets yta A. Ytan hos området A osa är ytan hos en fjärdedels cirkel (vars radie är x/2) minus hälften av ytan hos en kvadrat (med sidan x/2). ( p.) A = 8A osa = 8 ( 1 4 π (x 2 )2 1 2 (x 2 )2 ) = 8 ( 1 16 πx2 1 8 x2 ) = 1 2 πx2 x 2 = ( 1 2 π 1) x2 (2 p.)

4 10. Låt f(x) = (90 x)( x + x 2 ). (5 p.) a) Bestäm funktionens (f) nollställen. b) I vilka intervall är funktionen (f) växande? c) För vilka värden på argumentet x är funktionens (f) derivata lika stor som vinkelkoefficienten till funktionens g, g(x) = x, tangentlinje? d) Bestäm funktionens (f) största och minsta värde i intervallen [20,100]. a) Funktionens nollställen får vi ur ekvationen f(x) = 0. Funktionens nollställen är alltså x = 90, x = 5, ja x = 45. (1 p.) b) Funktionens derivata är f (x) = x x Derivatan är större än eller lika med noll då x x (0,5 p.) Lösningsmängden till denna olikhet är intervallen [ , ]. Eftersom derivatan i denna intervall är större än eller lika med noll är funktionen växande i denna intervall. (0,5 p.) c) Funktionens g, g(x) = x, tangentlinje har vinkelkoefficienten 72. (0,5 p.) Funktionens derivata, f (x) = x x , får detta värde i de punkter som är lösningar till ekvationen x x = 72. (0,5 p) Lösningarna till denna ekvation är x = 27 ja x = 161 (1 p.) d) Funktionen f får i intervallen [20, 100] sitt största och minsta värde antingen i ändpunkterna eller i derivatans nollställen i intervallen. I punkten x = 20 är funktionens värde (0,25 p.), och i punkten x = 100 är värdet (0,25 p.). Av nollställena till funktionens derivata faller endast punkten x = inom den betraktade intervallen, och funktionens värde i den punkten är ungefär (0,25 p.). I den betraktade intervallen är funktionens största värde alltså ungefär det minsta värdet (0,25 p.)

5 11. a) I ett sampel finns n stycken observationer. Antag att siffervärdet för varje observation växer med ett. 1. Vad händer då med det aritmetiska medelvärdet för samplets observationer? Motivera. 2. Vad händer då med bredden hos samplets variationsintervall? Motivera.. Vad händer då med standardavvikelsen hos samplets observationer? Motivera. ( p.) Antag att de observerade talvärdena är x 1,, x n. 1. Det aritmetiska medelvärdet x beräknas med formeln x = n i=1 x i n. När man lägger till talet ett till varje observerat tal växer täljaren med talet n. Talet n delat med talet n är ett, så medelvärdet stiger med ett. (1 p.) 2. Antag att x min och x max är observationernas minsta och största värde i samplet. Variationsintervallens bredd är x max x min. Om alla observerade värden växer med ett gör även det minsta och största värdet det. Bredden hos variationsintervallen förändras inte. (1 p.). Standard deviationen beräknas med någondera av formlerna n i=1 (x i x ) 2 n tai n i=1 (x i x ) 2 n 1 där x är det aritmetiska medelvärdet. Eftersom varje observerat värde växer med ett växer även det aritmetiska medelvärdet med ett, så termerna som adderas förändras inte alls. Standard deviationen förändras alltså inte. (1 p.) 11. b) I ekvationen 4x = kx 1 är koefficienten k ögontalet som fås vid ett tärningskast, när tärningen är en vanlig tärning med sex ögon. Med vilken sannolikhet är lösningen till ekvationen positiv? (2 p.) Lösningen till ekvationen är x = 1 4+k. (1 p.) Eftersom k är ögontalet vid kast av en normal tärning är k alltid positiv. Lösningen till ekvationen är positiv med sannolikheten 1. (1 p.)

6 12. Fiskstammen i ett havsområde är i början av ett år 500 ton. Fiske är förbjudet varje år vid fiskarnas lektid. Efter lektiden har stammen vuxit med 10 procent. Efter leken fiskas varje år 60 ton. Hur stor är fiskstammen efter tio år? (5 p.) Låt A vara fiskstammens storlek i början och K den årliga fiskfångsten. Efter det första årets lek är fiskstammens storlek Aβ, där β är koefficienten 1,1. Efter det första årets fiskafänge är stammens storlek Aβ K. Efter det andra årets lek är stammens storlek (Aβ K)β, och efter fiskafänget (Aβ K)β K. Dvs. År 1: År 2: År : Aβ K (Aβ K)β K = Aβ 2 Kβ K ((Aβ K)β K)β K = Aβ Kβ 2 Kβ K och så vidare År 10: Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K, Formlerna anger fiskstammens storlek efter fisket varje år. (2 p.) Som känt är (geometrisk summa) Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K = Aβ 10 K 1 β10. (1 p.) 1 β Insättning av de givna uppgifterna (A = 500, β = 1,1 ja K = 60) i formeln ger fiskstammens storlek efter tio års fiske. Den är ungefär 41 ton. (2 p.) (Ett direktera sätt skulle ha varit att tolka K som annuiteten, β räntekoefficient och A som startkapitalet. Då hade man direkt kunna tillämpa den sista formelns högra del.)