ASYMPTOT. Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

Transkript

1 ASYMPTOT Horisontal (lodrät) Vertikal (vågrät) Sned och Hål

2 Definition av en asymptot En asymptot är en rak linje som agera som en gräns i grafen av en funktion När en funktion har en asymptot (alla funktioner har inte dem) funktionen kommer närmare och närmare asyptoten när värdet som går in mot ett visst värde antingen ifrån positiv eller negativt oändlighet Funktionera som kommer troligen att ha asymptot är rationella funktioner

3 Vertikal Asymptot Vertikal asymptot händer när följade ske: Nämnaren av den förenklade rationella funktionen är lika med noll. Kom ihåg att en förenklade rationella funktion har alla gemensamma faktorer bortagna. Vertikala asymptot är heliga! Till skillnaden ifrån de horisontella asymptot kommer grafen att aldrig nå linjen.

4 Att hitta Vertikal Asymptot Exempel 1 Given funktionen: f ( x )= 2 5x 2+2x Första steget är att förkorta bort gemensamma faktorer I både täljaren och nämnaren. Andra steget är att kolla var den förenklade nämnare är like med noll. 2+2x=0 2 (1+x )=0 1+x= 0 x= 1 Då är asymptoten x = - 1 Dvs grafen kommer att gå mot denna värde men aldrig nå ditt

5 Graf av Exempel 1 Den strekade linje x = 1 är den vertikala asymptoten. Den här funktionen har även en horisontell asymptot vid y = -6/5.

6 Att hitta Vertikal Asymptot Exempel 2 Om f ( x )= 2x2 +10 x+12 x 2 9 Först förenkla funktionen. Fatorisera både täljaren och nämnare och förkorta bort gemensamma faktorer. 2x x+12 x 3 9 2x+4 x 3 x 3=0 x=3 = ( x+3)(2x+4) ( x+3)( x 3) Sedan sätta den förkortade nämnare like med noll.

7 Graf av Exempel 2 Den vertikala strekade linje x = 3 är den vertikala asymptot. Lägg märke till att det finns ett s.k. hål vid x = -3. Funktionen kan inte ha det som värde eftersom den fortfarande gör funktionen odefinerbart. Vi återkommer till hål lite senare...

8 Horisontella Asymptot Horisontella asymptot händer när en av följande händer: * Graden av täljaren är mindre än graden av nämnaren. I sådana fall är asymptoten den horisontella linjen y = 0. * Om graden av täljaren är lika med graden av nämnaren. I detta fall är asymptoten lika med y = a/b där a är koefficienten i täljaren och b är koefficenten i nämnaren på termen som har den gemensamma graden. När graden av täljaren är högre än nämnaren så finns det inga horisontella asymptot.

9 Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 1 Om f ( x )= x2 +3x 5 x 3 27 är den horisontella asymptot vid linjen y = 0 eftersom graden av täljaren (2) är mindre än graden av nämnare (3).

10 Graf of Exempel 1 Den horisontella linjen y = 0 är asymptoten. Lägg märke till att den vänstra delen verkar inte bryr sig om asymptoten. Horisontella asymptot kan korsas av grafen men har en tendens att går mot dem ändå.

11 Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 2 Om g ( x)= 6x2 3x+5 5x 2 +7x 9 kommer funktionen att ha en horisontal asymptot vid linje y= 6 / 5 eftersom täljarens grad (2) är lika med nämnarens grad (2). Kan du hitta några vertikala asymptot?

12 Graf av Exempel 2 Den horisontella linjen y = 6 / 5 är den horisontella asymptoten.

13 Att hitta Horisontella Asymptot Exempel 2 Om f ( x )= 2x3 +5x 9 x 2 +1 Finns det inga horisontal asymptot eftersom graden av täljaren är större än nämnaren.

14 Graf of Exempel 2

15 Sned Asymptot Sned asymptot händer när täljarens grad är exakt en större än nämnaren. I sådana fall lutar funktionens asymptot.

16 Att hitta Sned Asymptot Exempel 1 Om f ( x )= x3 +2x 2 +5x 9 x 2 x+1 Kommer det att finnas en asymptot eftersom graden av täljaren (3) är exakt en större än nämnaren (2).

17 Att hitta Sned Asymptot Exempel 1 Oftast kommer funktionen att presenteras i ett annat form än ovan där täljaren har redan delats med nämnaren som t.ex. y=x+3+ 7x 12 x 2 x+1 I de flesta fall kommer den rationella delen att gå mot noll vilket gör att den sneda asymptoten är resten av ekvationen.

18 Graf av Exempel 1 Den lutande linjen y = x + 3 är en s.k. sned asymptot.

19 Hål Hål händer det grafen av en rationell funktion där man har en eller flera gemensamma faktorer i både nämnare och täljaren som kan förkortas bort. När man ritar grafen på din miniräknare kommer du förmodligen inte att se hålet men funktionen men funktionen är inte kontinuerligt i denna punkt.

20 Hitta hål Kom ihåg funktionen f ( x )= 6x2 +10 x+12 x 2 9 = ( x+3)(2x+4) ( x+3)( x 3) Här kunde vi forkorta bort (x + 3) i täljaren och nämnaren innan vi hittade en vertikal asymptot. Eftersom (x + 3) är en gemensam faktor kommer det att finnas ett hål vid denna punkt där: x+3=0 x= 3

21 Graf av Exampel Lägg märke till att det finns ett hål I grafen vid x = -3. Du kommer förmodligen inte att se detta med din grafräknaren men den finns där ändå.

22 Hitta hål Om f ( x )= x3 8 x 2 4 Faktorisera både täljaren och nämnaren för att se om det finns gemensamma faktorer. (täljaren skulle förmoligen presenteras redan faktoriserat för denna kurs) f ( x )= x3 8 x 2 4 =( x 2)( x2 +2x+4) ( x 2)( x+2) Eftersom det finns en gemensam faktor av x - 2 kommer det att finnas ett hål vid x = 2.

23 Graf Det finns ett hål I kurvan där x = 2. Kurvan har också en vertikal asymptot vid x = -2 och en sned sådan vid y = x.

24 Uppgifter Hitta de vertikal, horisontell och sned asymptot samt hål till följande funktionen. f x ( ) = x x x x + 10 Vertikal: x = -2 Horisontell : y = 1 Sned: inga Hål: vid x = - 5

25 Sammanfattning Vertikal (lodrät) : inträffar där den förkortade nämnare är like med noll Horisontal (vågrät): inträffar där täljarens grad är mindre än nämnarens där y = 0 inträffare där täljarens och nämnarens grad är lika vid y = a/b Sned: inträffar när täljarens grad är exakt en större än nämnaren Hål: inträffar där bortförkortade faktorer är like med 0