Dagens Teori. a 1,a 2,a 3,...a n
|
|
- Rickard Jan Ström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Dagens Teori 10.1 Summor och talföljder Talföljder En talföljd är en uppräkning av tal a 1,a,a 3,...a n här n stycken. Ofta kan talföljder skrivas på ett mer kompakt sätt, som dessa oändliga talföljder 1,,3,4,5,... {n} 1,4,9,16,5,... {n } 1,9,7,81,43,... {3 n } 1,r,r,r 3,r 4,... {r n } Ibland har talföljder namn, främst för att de är ofta förekommande, som till exempel: Fibonacci, Catalan eller Binomial. Vi återkommer till dessa längre fram. Om talföljden är ändlig skriver man den ibland på denna kompakta form {i } 5 = 1,4,9,16,5 För en oändlig talföljd används tecknet för oändligheten,, som till exempel {i} = 1,,3,4,5... Speciell hemsida för talföljder Följder av heltal klassificeras på hemsidan The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Idag finns fler än talföljder registrerade. När jag skriver in mitt telefonnummer 7,1,,8,4,0,5 svarar sökmotorn med: Håkan Strömberg 1 KTH STH
2 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Search:7,1,,8,4,0,5 A01068 Decimal expansion of cube root of 57 3, 8, 4, 8, 5, 0, 1, 1, 3, 1,, 7, 6, 8, 0, 5, 0, 6, 8, 7, 0,,, 9, 0,, 5, 9, 5,, 5, 0,, 5, 3, 1, 7, 1,, 8, 4, 0, 5, 5,,, 7, 7, 5, 4, 6, 1,, 1, 0, 6,, 6, 7, 9, 7, 7,, 0, 1, 3, 6, 7, 6, 8, 9, 1, 8,, 7, 6, 9,, 3, 4, 5, 6, 9, 6, 9, 9, 8, 6,, 0, 7, 4, 3,, 5,, 8, 6, 5 Tittar man närmare i utskriften, så kan man konstatera att som en delsekvens från den 37:e talet och framåt. Några andra roliga (?) talföljder 3 57 mycket riktigt innehåller a) M0679,3,5,7,3,67,89,4567,78901,678901, b) M1041 1,,4,7,11,16,,9,37... c) M0180 1,0,0,1,,1,6,1,46,9, d) A ,1,7,,5,8,16,3,19,6,14,9,9,17... a Primtal med konsekutiva siffror. Efter 9 kommer 0. Det största kända i den givna följden är b Ger det maximala antalet bitar man kan få genom att snitta en pannkaka n gånger c Antalet möjligheter att placera ut n damer på ett n n stort schackbräde. så att inga damer står i slag för varandra. d Antal steg i Ulam s problem innan n når 1 Figur 10.1: Ett av 184 olika sätt att placera två löpare av olika färg på ett 4 4 bräde, så att de inte står i slag för varandra Exempel 1 Vi vill ta reda på antalet sätt att placera ut två olikfärgade löpare, som inte står i slag för varandra, på ett n n stort bräde. Kanske skriver vi ett C-program för detta. Hur som helst får vi följande talföljd för 1 n 14 0,8,5,184,480,1040,1988,347,5664,8760,1980,18568,579,34944 Vi söker nu ett sätt att skriva denna talföljd på ett kompaktare sätt och tar Mathematica till hjälp Håkan Strömberg KTH STH
3 m = {{1, 0}, {, 8}, {3, 5}, {4, 184}, {5, 480}, {6, 1040}, {7, 1988}, {8, 347}, {9, 5664}, {10, 8760}, {11, 1980}, {1, 18568}, {13, 579}, {14, 34944}}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] *10^ x + 1. x^ x^ x^4 Vi har här, i minsta kvadratmetodens mening, anpassat de 14 mätpunkterna (1, 0),(, 8),(3, 5),...(14, 34944) till ett fjärdegradspolynom, f(n) = a+b n+c n +d n 3 +e n 4 där vårt svar är polynomets koefficienter a,b,c,d,e. Svaret kan (med hög sannolikhet) skrivas exakt som: f(n) = 3n4 4n 3 +3n n 3 Testar vi denna funktion för de givna värdena stämmer de alla exakt. f[n_] := (3 n^4-4 n^3 + 3 n^ - n)/3 Table[f[n], {n, 1, 14}] f[34] {0, 8, 5, 184, 480, 1040, 1988, 347, 5664, 8760, 1980, 18568, 579, 34944} Dessutom har vi ett extra värde, f(34) = , och när även detta stämmer tror vi oss kunna skriva talföljden { 3n 4 4n 3 +3n } n 3 n=1 Men observera att vi inte har bevisat något. Vi lyckades här därför att vi gissade att talföljden skulle kunna beskrivas som ett polynom. Det hade inte varit någon större skada skedd om vi gissat att polynomet var av 5:e graden, eftersom motsvarande koefficient i så fall blivit 0. Kan man lita på sådana resultat? Nej, formeln ovan måste bevisas, för att kunna användas i matematiken. Till detta använder man ofta induktionsbevis Vi tar ett exempel: Vi har en rekursionsformel a n+1 = a n +a n 1 +a n +a n 3 +a n 4 där a 4 = a 3 = a = a 1 = 0 och a 0 = 1. Sätter vi n = 0 får vi a 1 = a 0 +a 1 +a +a 3 +a 4 = = 1 a 1 = 1. Nu kan vi räkna ut a genom Vi fortsätter med a 3 a = a 1 +a 0 +a 1 +a +a 3 = = a 3 = a +a 1 +a 0 +a 1 +a = = 4 Håkan Strömberg 3 KTH STH
4 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER och a 4 = a 3 +a +a 1 +a 0 +a 1 = = 8 Vi gissar nu att a 5 = 16 och a 6 = 3 och kollar bara för säkerhets skull a 5 = a 4 +a 3 +a +a 1 +a 0 = = 16 a 6 = a 5 +a 4 +a 3 +a +a 1 = = 31 3 Vi drog alltså förhastade slutsatser Rekursiva definitioner av talföljder En talföljd kan framställas med en rekursiv definition. Här ett exempel a n = 3a n 1 a n där a 1 = 3 och a = 7. nu kan vi bestämma a 3 a 3 = 3a a 1 = = 1 6 = 15 När vi nu har a 3 = 15 kan vi bestämma a 4 och så vidare så långt vi vill. En iterativ funktion i Mathematica ger oss de 10 första talen i följden. f[] := Block[{a1 = 3, a = 7, a3, L = {3, 7}}, While[Length[L] < 10, a3 = 3 a - a1; AppendTo[L, a3]; a1 = a; a = a3; ]; L ] f[] {3, 7, 15, 31, 63, 17, 55, 511, 103, 047} En rekursiv funktion i Mathematica som bestämmer a n g[1] := 3 g[] := 7 g[n_] := 3 g[n - 1] - g[n - ] Table[g[n], {n, 1, 10}] {3, 7, 15, 31, 63, 17, 55, 511, 103, 047} Rekursion kommer vi att syssla mer med i kursen Algoritmer och Datastrukturer. Normalt tycker man att det är bättre med en sluten funktion som direkt ger a n och som endast beror av n. Håkan Strömberg 4 KTH STH
5 Exempel Rekursionsformeln där a 0 = 0 ger talföljden Med formeln får vi direkt a n. a n = a n 1 +n 1,3,6,10,15,... a n = n(n+1) Det kan vara svårt att lösa rekursionsformeln. Speciellt i den här kursen har vi inte tid att fördjupa oss i hur man utför detta. Istället har vi i Mathematica RSolve som utför jobbet. RSolve[{a[n] == a[n - 1] + n, a[0] == 0}, a[n], n] {{a[n] -> 1/ n (1 + n)}} eller snyggare a n = n(n+1) Exempel 3 Vi löser vårt inledande exempel med RSolve där a 1 = 3 och a = 7. a n = 3a n 1 a n RSolve[{a[n] == 3a[n-1] - a[n-], a[1] == 3, a[] == 7}, a[n], n] som ger a n = n Fibonacci talföljd Definition 1 F n = F n 1 +F n där F 0 = 0 och F 1 = 1. Här de första talen i följden 0,1,1,,3,5,8,13,1,... Leonardo från Pisa eller Fibonacci, som han oftare kallas, betraktas som Europas förste matematiker. Han har bland annat givit sitt namn till denna talföljd. Ett problem i kapitel tre av Fibonaccit s Liber abbaci ledde till introduktionen av talföljden: Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER En man lät placera ett par kaniner i en inhägnad trädgård. Hur många par av kaniner kan under ett år produceras, med utgång från detta par, om vi antar att varje par nedkommer med ett nytt par varje månad från och med att paret uppnått två månaders ålder? Första och andra månaden finns bara det ursprungliga paret, 1,1. Månad tre och fyra föds ett nytt par. Vi har nu 1,1,,3. Den femte månaden föds två par och månad sex tre par... Eftersom alla kaninerna överlever kommer det att finnas f 11 = 144 par med kaniner efter ett år Löser vi rekursionsekvationen med hjälp av rsolve får vi det överraskande svaret ( 1+ ) n 5 1 ( ) n 5 F n = 5 Den slutna formen för Fibonacci talföljd som direkt ger oss F n för önskat n. Ett resultat vi kan få genom RSolve[{f[n] == f[n+1] + f[n+], f[0] == 0, f[1] == 1}, f[n], n] En rekursiv variant är inte speciellt effektiv f[0] := 0 f[1] := 1 f[n_] := f[n-1] + f[n-] f[10] Catalanska tal De Catalanska talen, uppkallade av Eugene Catalan dyker upp i en mängd olika kombinatoriska strukturer. Definition Rekursionsformel för de catalanska talen är för n 1 och med C 0 = 1 Exempel 4 Vi räknar fram några C n. C n = C 0 C n 1 +C 1 C n +C C n C n 1 C 0 C 1 = C 0 C 0 = 1 1 = 1 C = C 0 C 1 +C 1 C 0 = = C 3 = C 0 C +C 1 C 1 +C C 0 = = 5 C 4 = C 0 C 3 +C 1 C +C C 1 +C 3 C 0 = = 14 Här har vi de 11 första catalanska talen 1,1,,5,14,4,13,49,1430,486,16796,58786 Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 Exempel 5 Här illustrerar vi fem till synes olika kombinatoriska strukturer där man använder catalanska tal för att bestämma antalet kombinationer. Figur 10.: Antalet möjligheter att utföra en triangulering av en konvex polygon med n sidor är C n. C 3 = 5 Figur 10.3: Antalet möjligheter att förbinda n punkter på en cirkel så att ingen korda skär någon annan är C n. C 3 = 5 Figur 10.4: Antalet olika binära träd med n noder är C n. C 3 = 5 Antalet möjligheter att kombinera n parentespar till välformade uttryck är C n. C 3 = 5 ()()() ()(()) (())() (()()) ((())) Med n loopar konstruerade som i exemplet nedan kommer s att till slut få värdet C n. C 3 = 5 int a,b,c,s=0; for(a=1;a<=1;a++) for(b=1;b<=a+1;b++) for(c=1;c<=b+1;c++) s++; Det finns några mer direkta sätt att bestämma C n C n = 1 ( ) n n+1 n eller C n = ( ) ( ) n n n n 1 Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER En annan rekursiv formel för att bestämma C n där endast C n 1 behövs Euler tal C n = (n+1) n+ C n 1 π = (3,5,1,4,6,) talföljden ovan är en permutation av 1,,3,4,5,6. Om vi räknar antalet tillfällen då π i < π i+1, som vi kallar för stigning, hittar vi 3 stycken, 3 < 5,1 < 4,4 < 6. Skulle vi gå igenom samtliga 6! = 70 permutationer av talen 1,,3,4,5,6 skulle vi hitta 30 permutationer med precis 3 stigningar. Vi skriver då E(6,3) = 30. Skrivs också 6 = 30 3 Talen n k kan liksom ( n k) visas i en triangel För n kan man bestämma en rad i triangeln med hjälp av raden ovanför. n n 1 n 1 = (k+1) +(n k) k k k 1 Summan av elementen i rad n är förstås n!. Här följer en funktion i Mathematica, som tar fram den n:te raden i triangeln ovan. f[n_] := Block[{P, R, p, i, s}, P = Permutations[Range[n]]; R = Table[0, {i, 1, n}]; For[i = 1, i <= Length[P], i++, s = 0; p = P[[i]]; For[j = 1, j <= n-1, j++, If[p[[j]] < p[[j+1]], s++; ] ]; R[[s+1]]++; ]; R ] f[6] {1, 57, 30, 30, 57, 1} Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 Graykoder En Gray kod av storleken n, är en ordnad lista av n binära strängar av längden n, där två på varandra följande strängar skiljer sig i endast ett tecken. Här är graykod för n = 3. Med hjälp av Mathematica får vi 000,100,110,010,011,111,101,001 << Combinatorica m = GrayCode[{1,, 3}] {{}, {3}, {,3}, {}, {1,}, {1,,3}, {1,3}, {1}} Vi kan se hur element försvinner och kommer till. Endast en förändring från mängd till mängd. Vill vi ha det utskrivet som binära strängar får vi skriva lite mer f[n_] := Block[{i, j, t, s, L = {}, m}, m = GrayCode[Range[n]]; For[i = 1, i <= Length[m], i++, t = m[[i]]; s = Characters[IntegerString[0,, n]]; For[j = 1, j <= Length[t], j++, s[[t[[j]]]] = "1"; ]; AppendTo[L, StringJoin[s]]; ]; L ] f[3] {"000", "001", "011", "010", "110", "111", "101", "100"} Villkoren är uppfyllda, men en annan lösning än den inledande Talföljder med geometrisk bakgrund Triangeltal Figur 10.5: En formel som ger T(n) för givet n 1,3,6,10,15,... T(n) = n(n+1) Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Figur 10.6: Pyramidtal med triangulär bas 1,4,10,0,35,56,... Vi söker en formel som direkt ger P T (n) där n är pyramidens höjd. m = {{1,1}, {,4}, {3,10}, {4,0}, {5,35}, {6,56}}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] x +0.5x x x 4 Av detta resultat är det mycket troligt att formeln har följande utseende Pyramidtal med kvadratisk bas P T (n) = n3 6 + n + n 3 = n(n+1)(n+) 6 Figur 10.7: 1,5,14,30,55,91,... Vi söker en formel som direkt ger P K (n) där n är pyramidens höjd. Vi väljer här en annan metod än den ovan T K (n) är summan av n heltalskvadrater, till exempel T K (4) = = 30. Med hjälp av Mathematica kan vi direkt skriva f[n_] := Sum[i^, {i, 1, n}] f[n] ger T K (n) = n3 3 + n + n 6 Håkan Strömberg 10 KTH STH
11 Serier eller summor är en serie vars summa är 55. Inom matematiken använder man en mer koncist sätt att uttrycka denna summa 10 i Summan n Följande historia berättas om Carl Friedrich Gauss, en av historiens största matematiker: Självklart visade Gauss redan under tidiga skolår sin matematiska förmåga och när han som vanligt snabbt klarat av dagens uppgifter, gav den irriterade läraren honom i uppgift att summera alla tal från 1 till 100. Carl Friedrich behövde inte mer än någon minut för att på sin griffeltavla direkt skriva ned talet Hur bar han sig åt? Om vi skriver om följden av termer som (1+99)+(+98)+(3+97)+(4+96)+...+(49+51) kan detta enkelt skrivas som = 5050 Vi påstår nu att serien i rubriken kan skrivas som n i = n(n+1) Detta ska vi nu bevisa med hjälp av induktion. a Vi ser direkt att formeln stämmer för n = 1 b Antag att den stämmer för n = k, då får vi formeln från ovan k i = k(k+1) Om vi nu lägger till k+1 på båda sidor för att visa att formeln gäller även för k+1, får vi k (i)+k+1 = k(k+1) +k+1 Kan vänstra sidan skrivas om till och högra sidan till k(k+1) k+1 (i) +k+1 k(k+1) Därmed har vi bevisat att denna formel alltid gäller + (k+1) (k+1)(k+) Håkan Strömberg 11 KTH STH
12 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Mathematica I Mathematica använder vi funktionen Sum. För några av summorna i exemplen ovan skriver vi Sum[i, {i, 1, 100}] Sum[ i, {i, 1, 6}] Sum[i^, {i, 1, 6}] Funktionen kan även användas för den övre gränsen n Sum[i,{i,1,n}] Sum[i^, {i, 1, n}] n(n+1) Vi får här formeln för n Dessa två formler kan bevisas med induktion. i = n3 3 + n + n 6 Teoriuppgifter Problem 1 1,,4,8,16,31,... Förekommer denna talföljd, som vi presenterade i teorin, någonstans? Du kan kanske inte direkt avgöra det och behöver fler tal i följden. Använd C, Mathematica eller räkna för hand, för att ta reda på fler tal. Har talföljden något egenvärde enligt Uppslagsverket över heltalssekvenser? Håkan Strömberg 1 KTH STH
13 Problem Bestäm det fjärdegradspolynom, som exakt går genom punkterna p(x) = a x 4 +b x 3 +c x +d x+e (10, 65),(18, 6737),(, 59337),(50, ),(54, ),(100, ) Problem 3 Ta med hjälp av Uppslagsverket över heltalssekvenser på internet reda på nästa tal i följden 97465, , Problem 4 En talföljd börjar,1,111,311,1311, ,... Vilket är nästa tal? Använd Uppslagsverket över heltalssekvenser om du inte kan komma på det! Problem 5 Ta reda på vad talföljden 1,1,1,,5,1,35,108,369,... har för bakgrund. Mer specifikt, vad står talet 5 för? Använd i första hand Uppslagsverket över heltalssekvenser med angivna länkar men även Google. Problem 6 Ta reda på lite om talföljden 1,1,,4,9,1,51,17,33,835,188,... Rita upp de 9 fall då det finns n = 4 punkter på cirkeln. Klipp ut och klistra in lämplig Mathematica-kod från sidan och se att du kan generera följden. Observera att vi ännu inte berört alla de funktioner som finns i koden. Problem 7 Bestäm med hjälp av Mathematica en formel för n i 3 Håkan Strömberg 13 KTH STH
14 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Problem 8 Bestäm med Mathematica en formel för b i i=a I en aritmetisk serie är differensen mellan en term oh närmast föregående konstant. Problem 9 Bestäm en formel för (n+1) Problem 10 Bestäm med Mathematica och sum Försök nu bestämma en formel för en serie a 1 +a +...+a n där a j+1 a j = d och a 1 är givet. Bestäm med hjälp av denna formel summan av serien ovan. Problem 11 Använd Mathematica för att bestämma hur många termer man behöver ta med i Harmoniska serien för den ska ha en summa som överstiger Problem 1 Uttryck den rekursiva formeln på sluten form där a 0 = 7 och a 1 = 16. a n = 5a n 1 6a n Problem 13 Fibonaccitalet F n är medelvärdet av två andra Fibonaccital vilka? Håkan Strömberg 14 KTH STH
15 Problem 14 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet Problem 15 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet Problem 16 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet Problem 17 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet Problem 18 Uttryck summan med hjälp av summationstecknet Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Vi tar till en rekursiv funktion och skriver ut 10 tal f[0] := 1 f[-4] := 0 f[-3] := 0 f[-] := 0 f[-1] := 0 f[n_] := f[n-1] + f[n-] + f[n-3] + f[n-4] + f[n-5] Table[f[n],{n, 1, 10}] {1,, 4, 8, 16, 31, 61, 10, 36, 464} Detta räcker för att ta reda på att talföljden kallas Pentanacci numbers. a n 1 bestämmer antalet möjligheter att skriva n som en summa av tal där inget tal får överskrida 5. n = 8 är tre av 61 möjligheter = 8, = 8 och 5+3 = 8 Håkan Strömberg 15 KTH STH
16 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift m = {{10, 65}, {18, 6737}, {, 59337}, {50, }, {54, }, {100, }}; Fit[m, {1, x, x^, x^3, x^4}, x] x +. x^ *10^-1 x^ x^4 f[x_] := 5-10x+x^+x^4/4; Map[f, {10, 18,, 50, 54, 100}] {65, 6737, 59337, , , } Lösning Teoriuppgift ett fibonaccital. Lösning Teoriuppgift som är en beskrivning av föregående tal , som består av 3 stycken 1:or, 1 stycken 3:a, 1 stycken 1, stycken :or, stycken 1:or och 1 stycken 1:a, som bildar vårt tal! Lösning Teoriuppgift 5 Antalet möjligheter att sätta samman n kvadrater till olika pusselbitar. Figur 10.8: För fyra kvadrater finns det fem möjligheter. Man får alltså både vrida och vända på bitarna. Håkan Strömberg 16 KTH STH
17 Lösning Teoriuppgift 6 Figur 10.9: Ett annat sätt att visa ett Motzkin tal Lösning Teoriuppgift 7 Expand[Sum[i^3, {i, 1, n}]] n i 3 = n4 +n 3 +n 4 Lösning Teoriuppgift 8 Sum[i, {i, a, b}] b i=a i = a+b (b+1 a) Lösning Teoriuppgift 9 Sum[ i + 1, {i, 0, n}] Sum[i, {i, 1, n + 1, }] (n+1) = (n+1) Håkan Strömberg 17 KTH STH
18 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift 10 Sum[a + b*d, {d, 1, n}] f[a_, b_, n_] := a*n + b*n^/ + b*n/ f[0,,4] 0 n a+i b = an+ bn + bn Lösning Teoriuppgift 11 f[n_] := Block[{summa = 0, tal = 0}, While[summa < n, tal++; summa = summa + 1/tal; ]; tal ] f[4] 31 g[n_] := Block[{summa = 0, tal = 0}, While[summa < n, tal++; summa = summa + N[1/tal, 100]; ]; tal ] g[1] Håkan Strömberg 18 KTH STH
19 Lösning Teoriuppgift 1 RSolve[{a[n] == 5a[n-1] - 6a[n-],a[0] == 7,a[1] == 16}, a[n], n] a n = 5 n + 3 n Lösning Teoriuppgift 13 Koll F n = F n +F n+1 Table[{Fibonacci[n],(Fibonacci[n-]+Fibonacci[n+1])/},{n,1,0}] Lösning Teoriuppgift 14 9 k k=5 Lösning Teoriuppgift 15 6 i Lösning Teoriuppgift 16 6 n=1 n Lösning Teoriuppgift 17 6 ( 1) i+1 i Håkan Strömberg 19 KTH STH
20 10.1. SUMMOR OCH TALFÖLJDER Lösning Teoriuppgift 18 6 i+1 i 1 ( 1) i+ Laboration Laborationsuppgift 1. Udda catalanska tal () Vad kan sägas om n då C n är ett udda tal? Laborationsuppgift. Summan av fibonaccital () Uttryck denna summa n k=0 i en formel med hjälp av bland annat ett fibonaccital. F n Laborationsuppgift 3. En summa till av fibonaccital () Uttryck denna summa n k=0 i en formel med hjälp av ett fibonaccital. F k+1 Laborationsuppgift 4. Näst sista summan av fibonaccital () Uttryck denna summa n i en formel med hjälp av fibonaccital. k=0 F k Laborationsuppgift 5. En sista summa av fibonaccital () Uttryck denna summa n F k 1 F k k=1 i en formel med hjälp av bland annat ett fibonaccital. Laborationsuppgift 6. Vilket fibonaccital () Vilket fibonaccital ska stå på frågetecknets plats? F n +F n+1 =? Håkan Strömberg 0 KTH STH
21 Laborationsuppgift 7. Fibonacci i Pascals triangel () Fibonacci tal dyker upp som summor i Pascals triangel. Visa på exempel. Laborationsuppgift 8. Sista siffran () Om man bara studerar sista siffran i fibonacci talen, följer de ett mönster som upprepas efter n tal. Bestäm n. Laborationsuppgift 9. En matrispotes () Beräkna ( och upptäck något som har med fibonacci tal att göra. I Mathematica definieras matrisen A på följande sätt a={{1, 1},{1, 0}} MatrixPower[a,n] ) n Laborationsuppgift 10. Definiera funktion () Definiera följande funktion i Mathematica f(a,b) = b ( ) a+1 ( 1) j (b+1 j) a j j=0 Ta fram några värden och försök identifiera dem Laborationsuppgift 11. Ett gränsvärde () I första matematikkursen lärde du dig att beräkna till exempel I Mathematica löser vi detta problem genom (3x+1)(5x+) lim = 15 x > x(x+1) Limit[(3*x+1)*(5*x+)/(x*(x+1)), x->infinity] 15 Bestäm nu gränsvärdet F n+1 lim n > F n Vad heter detta gränsvärde? Sök talet på nätet med lagom många decimaler. Laborationsuppgift 1. Strängar med 0:or och 1:or (3) Generera och räkna antalet binära strängar med n tecken och där aldrig två 0:or följer på varandra. Uttryck detta antal med hjälp av ett fibonacci tal Håkan Strömberg 1 KTH STH
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merÖVNINGSTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 10:15-13:15. Torsdagen 20 maj Tentamen består av 4 sidor.
ÖVNINGSTENTAMEN HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik Skrivtid 10:15-13:15 Torsdagen 20 maj 2010 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar,
Läs merProblemdemonstration 1
Problemdemonstration 1 Divisorsummor och perfekta tal Låt oss för ett givet positivt naturligt tal x, summera alla naturliga tal d som x är delbar med, och som är mindre än x. Talen d kallas divisorer
Läs merTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 8:15-13:15. Måndag 8 juni Tentamen består av 4 sidor.
TENTAMEN HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik Skrivtid 8:15-13:15 Måndag 8 juni 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar, programlistningar
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:15. Torsdagen 7 juni Tentamen består av 5 sidor.
TENTAMEN HF00, 6H0, 6H7 Diskret Matematik Skrivtid :5-8:5 Torsdagen 7 juni 0 Tentamen består av 5 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar, programlistningar
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour
Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merDagens Teori Något om kryptering med RSA
Dagens Teori 14.1 Något om kryptering med RSA Kryptologi kallas läran om krypteringssystem. I ett sådant system krypterar (chiffrerar) sändaren sitt meddelande, så att förhoppningsvis endast mottagaren
Läs merCatalantal för gymnasieelever
Institutionen för naturvetenskap och teknik Catalantal för gymnasieelever Emma Nimelius Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C Catalantal för gymnasieelever Emma Nimelius
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merEn av matematikhistoriens mest berömda trianglar är Pascals triangel,
Michael Naylor Okända skrymslen i Pascals triangel Pascals triangel, som har varit känd av indiska, persiska, arabiska och kinesiska matematiker i mer än tusen år, fick sitt nuvarande namn i mitten av
Läs merTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 13:15-18:00. Fredag 28 maj Tentamen består av 4 sidor.
TENTAMEN HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik Skrivtid 13:15-18:00 Fredag 28 maj 2010 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar, programlistningar
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Läs merArbeta vidare med Junior 2010
Arbeta vidare med Junior 010 Känguruproblemen är kanske inte av samma karaktär som de problem eleverna möter i läroboken. De är inga rutinuppgifter utan bygger på förståelse och grundläggande kunskaper.
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merAlgoritmer och datastrukturer H I HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T
Algoritmer och datastrukturer H I 1 0 2 9 HÅKAN S T R Ö M B E R G N I C K L A S B R A N D E F E L T Föreläsning 1 Inledande om algoritmer Rekursion Stacken vid rekursion Rekursion iteration Möjliga vägar
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x
Läs merKryssuppgifter 5, Inledande diskret matematik D/DI, HT2016 Lösningar
Kryssuppgifter, Inledande diskret matematik D/DI, HT2016 Lösningar Basuppgifter 1. Det finns två fall: FALL 1: Styrelsen har kvinnor och 3 män. I så fall finns det ) val för kvinnorna och ( 9 ) val för
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merMatematik 5 Kap 2 Diskret matematik II
Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merÖvningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor
LMA100 VT2006 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor Övning A 1. Kan ni fortsätta följden 1,3,5,7,9,11,...? 2. Vilket är det 7:e talet i följden? Vilket är det 184:e?
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merLotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning
Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel
Läs merUPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.
UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. Varje lördag året om spelar tusentals svenskar på travspelet V75. Spelet går ut på att finna sju vinnande hästar i lika många lopp. Lopp 1: 5 7 Lopp 2: 1 3 5 7 8 11 Lopp 3: 2 9 Lopp
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merBlock 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merSCB :-0. Uno Holmer, Chalmers, höger 2 Ex. Induktiv definition av lista. // Basfall
Rekursiva funktioner Föreläsning 10 (Weiss kap. 7) Induktion och rekursion Rekursiva funktioner och processer Weiss 7.1-3 (7.4, 7.5.3 utgår) Fibonaccital (7.3.4) Exempel: Balansering av mobil (kod se lab
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merExplorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION
Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merFöreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis
ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:
Läs merMÖNSTER OCH TALFÖLJDER
MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merVilka formler ska stå i cellerna D2 till D5? Hur får man tal skrivna med två decimaler?
Uppsala universitet Matematiska institutionen Anna-Lisa Dyrelius Skriva formler i Excel Ex ) Telefonräkning Fast avgift kr 5 Avgift per markering 0, Antal markeringar 000 Total kostnad kr =B+B*B Ex ) Beräkna
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs mer1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta
1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merProgramkonstruktion och Datastrukturer
Programkonstruktion och Datastrukturer VT 2012 Tidskomplexitet Elias Castegren elias.castegren.7381@student.uu.se Problem och algoritmer Ett problem är en uppgift som ska lösas. Beräkna n! givet n>0 Räkna
Läs merMS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I
MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merKombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1
Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merKapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Att beräkna en sannolikhet I många slumpförsök gäller att alla utfall i S är lika sannolika. Exempel: Tärningskast, slantsingling.
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merUppgift 1. Kylskåpstransporter
Uppgift 1. Kylskåpstransporter 1. Här kan du se de två bilarna lastade med kylskåp på väg mot stormarknaden En fabrik som tillverkar kylskåp ska leverera ett större parti med n, 1 n 1000, kylar till en
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merStudent för elever på kurs Ma 4 och Ma 5
Till läraren Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 16 mars 2017 Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5 Tävlingen genomförs under perioden 16 24 mars. Uppgifterna får inte användas tidigare.
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merNÄMNARENs. problemavdelning
NÄMNARENs problemavdelning För problemavdelningen svarar denna gång Bernt Leonardsson och Bo Söderberg från Örebro. Problemen är snarare kluriga än svåra så ge inte upp i tron att du inte kan matematik.
Läs merFöreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Läs merTräd och koder. Anders Björner KTH
27 Träd och koder Anders Björner KTH 1. Inledning. Det är i flera sammanhang viktigt att representera information digitalt (d.v.s omvandla till sviter av nollor och ettor). Beroende på vilka villkor som
Läs mer4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.
Uppvärmningsproblem. Hur kan man se på ett heltal om det är delbart med, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 respektive? Varför? 2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 0. Bilda abcabc genom att skriva talet två
Läs merUppgift 1 ( Betyg 3 uppgift )
2005-06-09.kl.08-13 Uppgift 1 ( Betyg 3 uppgift ) Ett plustecken kan se ut på många sätt. En variant är den som ses nedan. Skriv ett program som låter användaren mata in storleken på plusset enligt exemplen
Läs mer