ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

Transkript

1 Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen i följden betecknar vi med F 0, F 1, F 2, F 3 och så vidare. De definieras på följande sätt: Alltså är och så vidare. F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 för n 2. (1) F 2 = F 1 + F 0 = = 1 F 3 = F 2 + F 1 = = 2 F 4 = F 3 + F 2 = = 3 F 5 = F 4 + F 3 = = 5 F 6 = F 5 + F 4 = = 8 Uppgift 1: Beräkna talen F n för alla n 15. Talföljden F 0, F 1, F 2,... är uppkallad efter den italienske matematikern Fibonacci eller Leonardo av Pisa, som levde ca Den var dock känd långt tidigare. Uppgift 2: Använd t ex Internet för att ta reda på mer om Fibonacci. Han studerade talföljden i ett speciellt sammanhang; vilket? Ta reda på några andra sammanhang i vilka följden förekommer. Det finns många problem som involverar följden på ett eller annat sätt. Tag reda på något sådant och visa vad Fibonaccitalen har med det att göra. Fibonaccitalen har mängder av intressanta egenskaper. Om du löste Uppgift 1 kanske du lade märke till att det verkar som om SGD(F n+1, F n ) = 1, dvs att två på varandra följande Fibonaccital inte har några gemensamma delare 2. Det är sant att det är så och inte så svårt att bevisa. Vi har enligt definitionen F n+1 = F n + F n 1, så SGD(F n+1, F n ) = SGD(F n + F n 1, F n ) = SGD(F n 1, F n ) = SGD(F n, F n 1 ). Uppgift 3: Här använde vi att SGD(a + b, b) = SGD(a, b) för positiva heltal a och b. Motivera utförligt varför det är så. 1

2 Vi upprepar: SGD(F n+1, F n ) = SGD(F n, F n 1 ) = SGD(F n 1, F n 2 ) = SGD(F n 2, F n 3 ) och så vidare. Så småningom kommer vi till SGD(F 2, F 1 ), som är 1. Alltså är SGD(F n+1, F n ) = 1 för alla n 1. Ett annat samband som vi kan visa på ett liknande sätt är F 2 n = F n+1 F n 1 + ( 1) n 1. Kontrollera gärna detta med hjälp av talen du räknade ut i uppgift 1. För beviset gör vi så här: F 2 n F n+1 F n 1 = F 2 n (F n + F n 1 )F n 1 = F 2 n F n F n 1 F 2 n 1 = F n (F n F n 1 ) F 2 n 1 = F n (F n 1 + F n 2 F n 1 ) F 2 n 1 = F n F n 2 F 2 n 1 = (F 2 n 1 F n F n 2 ). (Var har vi använt definitionen av Fibonaccitalen?) Låt oss för enkelhetens skull sätta a n = F 2 n F n+1 F n 1 för n = 1, 2, 3,.... Då är a n 1 = F 2 n 1 F n 1+1 F n 1 1 = F 2 n 1 F n F n 2 och det vi har visat är att a n = a n 1. Om vi använder detta upprepade gånger så får vi varför a n = a n 1 = ( 1) 2 a n 2 = ( 1) 3 a n 3 =... = ( 1) n 1 a 1 = ( 1) n 1 (F1 2 F 2 F 0 ) = ( 1) n 1 ( ) = ( 1) n 1, F 2 n F n+1 F n 1 = a n = ( 1) n 1 och F 2 n = F n+1 F n 1 + ( 1) n 1. Låt oss gå tillbaka till definitionen (1) av Fibonaccitalen. Det är inget som hindrar att vi använder sambandet F n = F n 1 +F n 2 baklänges och definierar F n även för negativa index. Vi skriver då F n 2 = F n F n 1 eller, om vi byter n mot n + 2, F n = F n+2 F n+1. Observera alltså att vi ska använda detta för negativa värden på n. Vi får F 1 = F 1 F 0 = 1 F 2 = F 0 F 1 = 0 1 = 1 F 3 = F 1 F 2 = 1 ( 1) = 2 F 4 = F 2 F 3 = ( 1) 2 = 3 2

3 Uppgift 4: Beräkna F n för 15 n 5. Ser du något samband mellan F n och F n? Uppgift 5: Förmodligen lade du märke till att det verkar som om F n = ( 1) n 1 F n för n 0. Bevisa att det verkligen är på det sättet genom att göra så här: Sätt, för n 0, G n = F n + ( 1) n F n. Visa att G 0 = G 1 = 0 och att G n+2 + G n+1 = G n. Vad kan du dra för slutsats av detta? I definitionen F n = F n 1 + F n 2 kan vi förstås ersätta F n 1 med F n 2 + F n 3 och får därvid F n = 2F n 2 + F n 3. Om vi sätter in F n 2 = F n 3 + F n 4 så får vi F n = 2(F n 3 + F n 4 ) + F n 3 = 3F n 3 + 2F n 4. Vi fortsätter två steg till: F n 3 = F n 4 + F n 5 ger F n = 3(F n 4 + F n 5 ) + 2F n 4 = 5F n 4 + 3F n 5. Nu ger F n 4 = F n 5 + F n 6 att F n = 5(F n 5 + F n 6 ) + 3F n 5 = 8F n 5 + 5F n 6. Känner du igen koefficienterna framför Fibonaccitalen i högerleden? Visst, de är också Fibonaccital och det förefaller som om I nästa uppgift ska du bevisa att det är så. Uppgift 6: Låt k vara ett fixt tal och sätt F n = F k+1 F n k + F k F n k 1. (2) H n = F k+1 F n k + F k F n k 1. Bevisa att H 0 = 0, H 1 = 1 samt att H n = H n 1 + H n 2. Vilken slutsats drar du av detta? Likheten (2) kan man använda för att visa det intressanta resultatet att SGD(F n, F m ) = F d, där d = SGD(n, m). (3) Innan vi bevisar detta ska vi använda (2) för att visa att d n F d F n. (4) Säg att n = qd. Använder vi (2) och räknar modulo F d så får vi F n = F d+1 F n d + F d F n d 1 F d+1 F n d F 2 d+1f n 2d =... = F q d+1 F n qd F q d+1 F 0 0 modulo F d. Detta visar (4). Nu kan vi bevisa (3). Låt oss anta att n > m. Då har vi enligt (2) SGD(F n, F m ) = SGD(F m+1 F n m + F m F n m 1, F m ) = SGD(F m+1 F n m, F m ) = SGD(F n m, F m ). 3

4 Säg att Euklides algoritm tillämpad på n och m ser ut så här: n = q 1 m + r 1 m = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 r 2 = q 4 r 3, så att SGD(n, m) = r 3. Då kan vi upprepa och får SGD(F n, F m ) = SGD(F n q1m, F m ) = SGD(F r1, F m ) = SGD(F r1, F m q2r 1 ) = SGD(F r1, F r2 ) = SGD(F r1 q 3r 2, F r2 ) = SGD(F r3, F r2 ) = F r3, där den sista likheten följer av (4) och att r 3 r 2. Eventuellt frågar man sig om det finns någon annan formel för Fibonaccitalen än själva definitionen (1). Som avslutning på det här avsnittet ska vi härleda en sådan. Det är naturligtvis inte lätt att gissa en formel: vilka funktioner ska den innehålla? Låt oss undersöka om det finns något tal α 0 sådant att talen α n uppfyller samma relation som Fibonaccitalen, dvs F n+2 = F n+1 + F n. I så fall ska vi alltså ha α n+2 = α n+1 + α n. Förkortar vi med α n så ser vi att α måste uppfylla sambandet α 2 = α + 1. Om α är en rot till ekvationen x 2 = x + 1 så uppfyller med andra ord talen a n = Aα n relationen a n+2 = a n+1 +a n för alla A. Men Fibonaccitalen uppfyller ju också begynnelsevillkoren F 0 = 0, F 1 = 1. Kan vi bestämma konstanten A så att a n = Aα n uppfyller samma villkor? Nej, för a 0 = A, så vi skulle i så fall få A = 0, vilket ger a n = 0 för alla n. Men ekvationen x 2 = x + 1 har ju faktiskt två rötter! Låt oss beteckna dem med α och β och fråga oss om vi kan bestämma talen A och B så att a n = Aα n + Bβ n uppfyller a 0 = 0, a 1 = 1 och a n+2 = a n+1 + a n. Uppgift 7: Lös ekvationen x 2 = x + 1. Uppgift 8: Visa att a n = Aα n + Bβ n uppfyller sambandet a n+2 = a n+1 + a n för alla A och B. Visa att villkoren a 0 = 0, a 1 = 1 ger A = 1 α β, B = 1 α β. Talen a n = αn β n α β uppfyller tydligen samma villkor som Fibonaccitalen, men kan vi av detta dra slutsatsen att F n = a n? 4

5 Uppgift 9: Sätt b n = F n a n, där a n är som nyss. Visa att b 0 = b 1 = 0 och att b n+2 = b n+1 + b n. Vad kan du säga om värdet av b n? Hur kan du nu dra slutsatsen att Uppgift 10: Bevisa (2) genom att använda (5). F n = a n = αn β n α β? (5) Uppgift 11: Ovan härledde vi en formel för den talföljd F n som uppfyller villkoren F 0 = 0, F 1 = 1, F n+2 = F n+1 + F n. Härled på samma sätt en formel för den talföljd a n som uppfyller a 0 = 4, a 1 = 7, a n+2 = 5a n+1 6a n. 5