Dagens Teori Något om kryptering med RSA

Transkript

1 Dagens Teori 14.1 Något om kryptering med RSA Kryptologi kallas läran om krypteringssystem. I ett sådant system krypterar (chiffrerar) sändaren sitt meddelande, så att förhoppningsvis endast mottagaren senare kommer att kunna dekryptera (dechiffrera) det. Vi lämnar all krypteringshistoria bakom oss och tittar närmare på RSA, som är en modern teknik. Omöjlig att knäcka? Först behöver vi två primtal p och q. Dessa ska i praktiken vara rejält stora. Här väljer vi lite mindre tal, p = 3221 och q = och bestämmer z = p q = = Tanken är att den som får se z inte ska ha en chans att ta reda på vilka två primtal z är en produkt av. För vårt lilla z behöver inte Mathematica och FactorInteger någon tid alls för att hitta faktorerna. I verkligheten ska de två primtalen ha > 100 siffror. Vi behöver också talet φ = (p 1)(q 1) = = Sedan ska vi välja ett n sådant att gcd(n,φ) = 1. Ofta väljer man ett primtal till n. Vi väljer n = 41. Slutligen behöver vi också ett tal s,0 < s < φ, sådant att n s mod φ = 1. Det tog en stund att hitta ett tal 41 s mod = 1, men jag lyckades så småningom hitta s = Med hjälp av Euklides algoritm kan man på ett smartare sätt hitta ett lämpligt värde på s. Nu har vi följande tal Namn Värde Användning p 3221 Hemlig q Hemlig z Publik φ Hemlig n 41 Publik s Endast mottagaren Jag vill nu skicka meddelande a =HEJ och väljer att ersätta tecknen i meddelandet med ascii-värdena och får ett tal a = Nu bestämmer jag c = a n mod z = mod = och skickar över talet c, som det krypterade meddelandet. Mottagaren bestämmer nu c s mod z = mod = Att bestämma c s mod z kostar mycket kraft, om man gör det på ett osofistikerat sätt. c s innehåller i vårt lilla exempel cirka 100 miljoner siffror. Lösningen heter a b mod z = ((a mod z)(b mod z)) mod z Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 14.1. NÅGOT OM KRYPTERING MED RSA Jag hoppas vi kan återkomma till detta senare. Här är koden i Maple. c^s mod z, ska man alltså inte ge sig på att bestämma direkt. Den kod jag använt, längst ned, tar ändå 2.5 minuter att exekvera, men svaret är korrekt. p = 3221 q = pi = (p - 1)*(q - 1) z = p*q n = 41 s = Här är alltså de tal som ingår i systemet. z känner både krypteraren och dekrypteraren till. s behöver endast dekrypteraren och n endast krypteraren. a = ; kryptera[a_, n_, z_] := PowerMod[a^n, z] c = kryptera[a, n, z] a är meddelandet som ska krypteras. c är det krypterade meddelandet som skickas till dekrypteraren. Med det krypterade meddelandet c, med mottagarens s och med det publika z kan vi dekryptera c. dekryptera[c_, s_, z_] := PowerMod[c, s, z] dekryptera[c, s, z] Som tur är, för oss, har Mathematica funktionen PowerMod som blixtsnabbt beräknar c s mod z och som gör hela jobbet. Första gången RSA nämndes i tryck var 1977 i en artikel i Scientific American. Där gavs som exempel ett kodat meddelande samt de publika nycklarna z och n, där z var en produkt av ett 64-siffrigt och ett 65-siffrigt primtal och med n = Ett pris på $100 utlovades till den som först kunde knäcka meddelandet. Vid den tiden då artikeln skrevs uppskattade man att det skulle ta 40 kvadriljoner (10 24 ) år att faktorisera z. Trots det lyckades Lenstra, Leyland, Graff och Atkins i april 1994 tillsammans med assistenter och 600 volontärer från 25 länder och med över 1600 datorer att knäcka koden. Vill man fördjupa sig i RSA, måste man först och främst sätta sig in i matematiken och förstå att ett krypterat meddelande alltid dekrypteras till samma ursprungsmeddelande. Sedan gäller det att kunna skriva ett effektivt (snabbt) program för både kryptering och dekryptering. Programmet ska kunna hantera mycket stora heltal. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 14.2 Färgning De problem och den teknik vi ska presentera här berör uppdelningen av mängder i delmängder. Uppdelningen utförs genom att färga varje objekt i en delmängd med samma färg. Det mest klassiska problemet i denna kategori handlar om ett schackbräde och ett antal dominobrickor som till storleken täcker två rutor på brädet lyckades M E Fisher lösa det berömda och mycket tuffa problemet: På hur många sätt kan man täcka ett 8 8 stort schackbräde med 32 dominobrickor (2 1). Han visade att det finns lösningar. Låt oss nu förändra problemet en aning, genom att klippa bort två diagonalt placerade hörnrutor och ställa frågan: På hur många sätt kan man täcka detta bräde med 31 dominobrickor? Vid första anblicken kan man tycka att problemet är än mer komplicerat än det Fisher löste. Men i själva verket är problemet trivialt! Det finns ingen lösning. Vi inser att varje dominombricka kommer att täcka en svart och en vit ruta. Det betyder att 31 brickor kommer att täcka 31 svarta och 31 vita rutor. Betraktar vi figuren ser vi att det finns 32 vita och 30 svarta rutor. Alltså är problemet olösligt. Problem 1 Ett rektangulärt golv är täckt av 2 2 och 1 4 bitar. En bit visar sig ha gått sönder. Den enda reservdelen som finns tillgänglig är dock av den andra typen. Visa att golvet inte kan läggas om med denna uppsättning bitar. Problem 2 Figur 14.1: Bitarna i figur 14.1 kallas tetrominoes. Man kan sammanfoga fyra kvadrater på fem olika sätt till lika många pusselbitar. Frågan är nu, är det möjligt att sammanfoga bitarna till en rektangel? Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 14.2. FÄRGNING Problem 3 Visa att ett schackbräde av storleken kan inte täckas av 25 stycken T-bitar. Problem 4 Visa att ett schackbräde av storleken 8 8 inte kan täckas av 15 stycken T-bitar och en O-bit. Problem 5 Visa att ett schackbräde av storleken inte kan täckas av 25 stycken I-bitar. Problem 6 Betrakta ett schackbräde av storleken n n med de fyra hörnrutorna avlägsnade. För vilka värden på n kan man täcka brädet med L-bitar Problem 7 Finns det ett sätt att packa klotsar att i en låda? Problem 8 En a b rektangel kan täckas av 1 n bitar om och endast om n a eller n b. Problem 9 Ett hörn på ett schakbräde av storleken (2n+1) (2n +1) har skurits bort. För vilket n värde på n kan man täcka de återstående rutorna med dominobrickor (2 1), så att hälften av rutorna ligger horisontellt? Problem 10 Figur 14.2: Figur 14.2 visar fem tunga klotsar, som kan flyttas endast genom att tippa dem över kanten. Toppen på klotsarna är märkta med ett T. Till höger i figuren ser vi samma klotsar rullade till en ny position. Vilken av klotsarna i raden låg ursprungligen mitt i korset? Problem 11 Figur 14.3 visar en karta med 14 städer och ett antal vägar som förbinder städerna. Finns det en tur som går genom samtliga städer exakt en gång? Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Figur 14.3: Problem 12 På varje ruta på ett schackbräde av storleken 9 9 sitter en skalbagge. På en given signal kryper alla skalbaggarna till en diagonalt angränsande ruta. På det sättet kan det hända att en del rutor kommer att rymma fler än en skalbagge. Sök det minsta antalet tomma rutor efter förflyttningen. Problem 13 Figur 14.4: Visa att det inte finns någon väg som går genom husets (i figur 14.4) samtliga dörrar exakt en gång. Problem 14 I en ruta på ett schackbräde med storleken 5 5 skriver vi 1. I de andra 24 rutorna skriver vi +1. I ett drag kan kan man välja ut en delkvadrat a a,a 2 på brädet med, där alla talen byter tecken. Målet är att nå +1 i samtliga 25 rutorna. Var ska man placera 1 från start för att lyckas? Problem 15 Alla hörnen i en konvex pentagon ligger i en heltalskoordinat och dess sidor har heltalslängder. Visa att omkretsen är ett jämnt tal. Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 14.2. FÄRGNING Problem 16 Vi har en mängd kvadrater, 1 1. Du kan färga kanterna med en av fyra färger. Uppgiften består nu i att sammanfoga kvadraterna till en rektangel med måtten m n. Vid sammanfogandet ska kanterna som läggs mot varandra ha samma färg. För vilka m och n är detta möjligt? Problem 17 Vi har ett antal kuber med sidan 1 och 6 olika färger. Du ska måla varje kub med de 6 färgerna och sammanfoga dem till ett rätblock med måtten l b h, där varje sida har en färg skild från de andra fem sidorna. Sammanfogningarna får bara göras då de båda sidorna mot varandra har samma färg. För vilka l,b och h är detta möjligt? Problem 18 Talet 6 är ett perfekt tal därför att det har delarna 1,2,3,6 och summan av alla delarna är = 12, som är 2 6. Hos ett perfekt tal n är summan av alla delare 2n. Ta reda på alla perfekta tal < Funktionen Divisors i Mathematica är värd att titta närmare på. Problem 19 Ta reda på vilka tal < 10 9 i Fibonacci s sekvens som är primtal Problem 20 Här är vi på jakt efter tal a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9, där var och en av de 9 siffror finns med precis en gång och som är delbart med 9. När man tar bort sista siffran och får talet a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 ska det vara delbart med 8. Talet a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ska vara delbart med 7 och så vidare ned till a 1 a 2 som ska vara delbart med 2. Problem 21 När talet 1089 multipliceras med 9 blir produkten Finns det fler fyrsiffriga tal, som när de multipliceras med ett annat, ger en produkt med det ursprungliga talet vänt bak och fram? Problem 22 Ta reda på alla tal p < som är palindromer (har samma värde när de läses baklänges) som förblir palindromer även då de konverteras till binär form. Ett exempel = Problem 23 Vi söker de tre minsta, konsekutiva (på varandra följande) udda heltal, a,b,c sådana att a 2 +b 2 +c 2 är unidigital, det vill säga består av en upprepning av samma siffra. Problem 24 Låt n vara en produkt av fem olika udda primtal. Om a, b, c är siffror och n har de fem siffrorna abcab, där 4 < a < 8, kan du då bestämma n? Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Problem 25 Fibonacci s talföljd definieras F 1 = 1, F 2 = 1, F n+2 = F n + F n+1. Vilka av de 100 första Fibonaccitalen är primtal? Problem 26 Två tal, a i och a j kallas vänskapliga om σ(m) = σ(n) = m +n, där σ(n) är summan av alla x Z +,x n tals sådana par (m,n) är kända, bland annat förstås det minsta, som redan omnämns i bibeln. Vilket är det? Problem 27 Ange alla möjligheter att uppnå summan 1000 med hjälp av ett antal konsekutiva (på varandra följande) heltal. Problem 28 Bestäm summan n ( ) n k k k=0 för olika värden på n. Använd sedan dessa resultat för att finna en generell formel uttryckt i n som direkt kan användas för att finna summor för olika n > 0. Problem 29 Låt n vara ett femsiffrigt positivt heltal och m det fyrsiffriga heltal som erhålls då den mittersta siffran i n tas bort. Bestäm antalet positiva femsiffriga tal n sådana att m n. Problem 30 Vilken siffra är vanligast i utvecklingen av Problem 31 För en familj gäller följande: Åldern i år för Farden, Mordern, Sonen och Dottern är alla heltalskvadrater. Faderns ålder är lika med summan av Morderns, Sonens och Dotterns ålder. Farfars ålder är summan av Faderns, Moderns och Dotterns ålder. Farfars ålder är ett primtal Bestäm de fem personernas ålder. Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 14.2. FÄRGNING Problem diskmaskiner ska transporteras från fabriken till ett stormaknad utanför stan. Till buds står två olika lastbilar Den stora som kan lasta 18 maskiner åt gången och som kostar 3500 kr/tur Den mindre som kan ta 13 diskmaskiner, men som endast kostar 2500 kr/tur Hur många turer ska man köra med varje bil, för att få transporten så billig som möjligt och vad kostar transporten total? Problem 33 I landet Lillrike finns det sex städer. Mellan varje par av städer tänker man starta en busslinje. Tre bussbolag är aktuella. Regeringen tänker lösa landets persontrafikproblem genom att fördela de olika busslinjerna mellan de bussbolagen på följande sätt: Varje busslinje får endast trafikeras av ett bussbolag. Alla busslinjer måste trafikeras av något bussbolag. Inget bussbolag får trafikera fler än sju busslinjer Inget bussbolag får trafikera färre än två busslinjer Eftersom statsministerns kusin äger ett av bussbolagen, så får inget av de andra bussbolagen trafikera lika många eller fler busslinjer än kusinens bussbolag. På hur många sätt kan de olika busslinjerna fördelas mellan bussbolagen? Problem 34 Bestäm summan till för alla positiva heltal n. n k=0 ( n k) ( 2n 1 ) k Problem 35 Vilken siffersumma är vanligast bland femsiffriga heltalskvadrater? Problem 36 För vilket värde på a, 1 a 50 ger polynomet p(n) = n 2 +n+a flest primtal för heltalen 1 n 50 och hur många? Problem 37 För vilka rader r i Pascals triangel kan summan av talen skrivas som en tvåpotens (2 n )? Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Problem 38 Beräkna för 1 n 20 hur många tal i rad från och med (n+1)!+2 som inte är primtal. Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Figur 14.5: Färgar vi golvet som i figur 14.5, ser vi att en 4 1 bit alltid kommer att täcka 4 eller 0 rutor. En 2 2 bit täcker allti 1 svart och 3 vita. Detta visar att det är omöjligt att byta ut en bit av ena typen mot en av den andra. Lösning Teoriuppgift 2 Tre rektanglar är tänkbara 1, 2 10 och 4 5. Den första och kanske även den andra, ser man direkt att de är omöjliga. Återstår så rektangeln 4 5, som kan målas med schackmönster med 10 vita och 10 svarta rutor. Fyra av bitarna täcker 2 svarta och 2 vita rutor. De återstående 2 svarta och 2 vita rutor kan inte täckas med T-biten, som antingen täcker 3 svarta och 1 vit eller tvärt om. Lösning Teoriuppgift 3 Figur 14.6: En T-bit täcker 3 svarta och 1 vit ruta eller tvärt om, se figur För att täcka hela brädet behövs då lika många bitar av de två typerna. Detta är omöjligt när det totala antalet bitar är 25. Lösning Teoriuppgift 4 Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 14.2. FÄRGNING 0-biten täcker 2 svarta och 2 vita rutor. Återstår att täcka 30 svarta och 30 vita rutor. För att klara det behövs det lika många bitar som täcker 3 svarta och en 1 vit ruta, som det behövs bitar som täcker 3 vita och 1 svart. Nu finns det 15 T-bitar vilket gör det hela omöjligt. Lösning Teoriuppgift 5 Vi färgar brädet diagonalt som i tabellen nedan med färgerna 0,1,2, Hur man nu än placerar en I-bit kommer den att täcka en ruta av varje färg. 25 I-bitar täcker därför 25 färger av varje slag, men det finns 26 rutor med färgen 1. Lösning Teoriuppgift 6 Figur 14.7: Brädet innehåller n 2 4 rutor. För att kunna täckas med L-bitar måste 4 (n 2 4), vilket är sant då n är jämnt. Men detta är inte tillräckligt. För att se det färgar vi bordet som i figur 14.7 En L-bit 3 vita och 1 svart ruta eller tvärt om. Eftersom det finns ett jämnt antal svarta och vita kvadrater, så måste en lösning innehålla lika många L-bitar av varje sort. Om till exempel är n = 12 går det åt 35 L-bitar, som inte kan fördelas lika mellan de två typerna av L-bitar. Därför måste 8 (n 2 4), så n = 4k+2 för k > 0. Om n har något av dessa värden är det också enkelt att se att detta villkor är tillräckligt för att det ska finnas en lösning. Lösning Teoriuppgift 7 Tilldela koordinater (x,y,z),1 x,y,z 10 till cellerna i lådan. Färga cellerna i fyra färger betecknade med 0, 1, 2, 3. Cellen (x, y, z) tilldelas delas (x + y + z) mod 4. Detta leder till Håkan Strömberg 10 KTH STH

11 att varje klots, var den än finns i lådan, går genom celler med tillsammans alla fyra färgerna. Sålunda, om lådan kunde fyllas med 250 stycken bitar så betyder det att lådan innehåller 250 celler av varje färg. Vi kontrollerar om detta gäller. Tabellen nedan visar det nedersta lagret i lådan Det innehåller 26,25,24,25 av färg 0,1,2 respektive 3. Nästa lager erhålles genom att addera 1 mod 4 till färgen i cellen under. I detta lager få vi 26,25,24,25 celler med färgerna 1,2,3 respektive 0. Lager tre ger med samma metod 26,25,24,25 för färgerna 2,3,0 respektive 1. Det fjärde lagret i sin tur ger 26,25,24,25 för färgerna 3,0,1 respektive 2. För varje färg finns det i dessa fyra lager 100 celler. Vi får nu ytterligare fyra lager med samma fördelningar som i de fyra första lagren. Därefter kommer två lager med samma fördelning som i lager 1 och 2. Summerar vi så antalet celler med färgen 0 får vi 2( ) = 251. Därför finns det ingen önskad packning. Lösning Teoriuppgift 8 Om n a eller n b är det trivialt att rektangeln a b kan täckas av 1 n bitar. Antag att n a, a = q n+r,0 < r < n, måla brädet i denna anda, där n = 4. Det finns b q + b rutor av varje färg 0,1,...,r 1 och det finns b q rutor av var och en av färgerna 0,1,...n 1. De horisontella 1 n bitarna täcker en ruta av varje färg. De vertikala täcker n rutor av samma färg. Efter att de h horisontella bitarna är placerade återstår b q + b h rutor av färgerna 0,1,...,r 1 and b q h rutor av färgerna r,...n 1. Alltså n (bq+b h) and n b q h. Men om n delar dessa två tal delar de även skillnaden (b q+b h) (b q h) = b. Alltså n b. Håkan Strömberg 11 KTH STH

12 14.2. FÄRGNING Lösning Teoriuppgift 9 Figur 14.8: Färga bordet som i figur Det finns 2n 2 +n vita rutor och 2n 2 +3n svarta rutor. Totalt 4n 2 + 4n. 2n dominobrickor ska behövs för att täcka dessa rutor. Eftersom hälften n 2 +n av dessa ska ligga horisontellt ska lika många ligga vertikalt. Varje vertikal dominobricka täcker en svart och en vit ruta. När alla vertikala brickor har placerats täcker de n 2 +n svarta och lika många vita rutor. De återstående n 2 vita rutorna och de återstående n 2 +2n svarta rutorna ska täckas med horisontella brickor. En horisontell bricka täcker två rutor med samma färg. För att kunna täcka n 2 vita rutor måste n vara jämnt. Det är enkelt att visa att detta nödvändiga villkor också är tillräckligt. Alltså finns det en lösning för bräden med dimensionerna (4n + 1) (4n + 1). Men lösning saknas för dimensionerna (4n 1) (4n 1) Lösning Teoriuppgift 10 Antag att golvet på vilket klotsarna rullas är schackrutigt. Antag vidare att klotsen i mitten ligger på en svart ruta. De övriga fyra klotsarna ligger då på en vit ruta. Det är enkelt att se att för att komma från T T krävs ett jämnt antal tippningar. För att komma från T krävs ett udda antal tippningar. Därför har klotsarna (från vänster) 1, 3, 4, 5 alla ursprungligen stått på samma färg som de står på nu. Klotsarna 1,3,5 står nu inbördes på samma färg. Eftersom de startat på samma färg som de står på nu, måste de ha startat på en vi ruta. Klots 2 har tippats ett udda antal gånger och står inte på samma färg som den stod på från början. Eftersom den nu står på en svart ruta måste den ursprungligen ha stått på en vit. Återstår att klots 4 urspugligen fanns på svart ruta. Lösning Teoriuppgift 11 Färga städerna blå och vita så att grannstäder har olika färg som i Varje väg genom de 14 städerna har mönstret bvbvbvbvbvbvbv eller vbvbvbvbvbvbvb så den passerar genom 7 vita och 7 blå städer. Men kartan har 6 vita och 8 blå städer, så därför finns igen väg genom de 14 städerna. Håkan Strömberg 12 KTH STH

13 Figur 14.9: Lösning Teoriuppgift 12 Färga kolumnerna alternativt svarta och vita. Vi har då 45 svarta och 36 vita rutor. Varje skalbagge byter färg när den kryper till nästa ruta. Det betyder att minst 9 rutor blir tomma. Det är enkelt att verifiera att exakt 9 rutor också kan blir tomma. Lösning Teoriuppgift 13 Betrakta rummen som noder och dörrarna som bågar. Vi vet då att det inte finns någon eulerian väg då fler än två noder har udda gradtal. Lösning Teoriuppgift 14 Figur 14.10: Färga brädet som i figur Varje godkänd delkvadrat har ett jämnt antal svarta rutor. Om 1 inledningsvis finns på en svar ruta så kommer det alltid att finnas ett udda antal 1 på svarta rutor. Genom att rotera figuren 90 förstår vi att det endast är mittenrutan som kan fungera med 1 från start. Om så är fallet kan vi nå målet i fem drag: 1 Byt tecken på kvadraten 3 3 i nedre vänstra hörnet 2 Byt tecken på kvadraten 3 3 i övre högra hörnet 3 Byt tecken på kvadraten 2 2 i övre vänstra hörnet 4 Byt tecken på kvadraten 2 2 i nedre högra hörnet 5 Byt tecken på hela kvadraten 5 5 Håkan Strömberg 13 KTH STH

14 14.2. FÄRGNING Laboration Laborationsuppgift 1. Antalet taxibilar (2) En hemlig agent skickas till fiendens huvudstad med uppdraget att ta reda på antalet taxibilar i staden. Detta antal n är dock, en av fienden, strängt bevarad hemlighet. Man vet dock att bilarna är numrerade från 1 till n och att varje bil bär sitt nummer väl synligt på en skylt på taket. Vidare vet man att bilarna rör sig fritt över hela staden. Agenten, som har ont om tid, ställer sig vid en starkt trafikerad gata och antecknar numren på 20 förbipasserande taxibilar. När han kommer hem överlämnar han dessa data till landets underrättelsetjänst. Hjälp till att uppskatta hur många bilar som ingår i taxiflottan. Till din hjälp har du programmet AntalTaxi, som du kan ladda ned från hemsidan. Genom att klicka på knappen Samla in 20 observationer slumpar datorn fram 20 taxi nummer. Innan dess har programmet med slumpens hjälp bestämt hur många bilar det verkligen finns. Dessutom levererar programmet två uppskattningar med olika metoder samt det verkliga antalet. Din uppgift blir nu att hitta en egen metod, eller möjligtvis beskriva en av de som programmet använder, med vilken du kan uppskatta det verkliga antalet. Laborationsuppgift 2. Antalet fiskar i sjön (2) Vi ska bestämma antalet fiskar i en liten sjö. Följande gäller Sjön inte kan torrläggas All fisk kan inte fiskas upp Man får ta upp ett begränsat antal n fiskar All fisk måste släppas tillbaka levande. Man har kommit överens om att använda sig av följande metod. Fiska upp n < 100 fiskar, märk dem och släpp tillbaka dem. Därefter väntar man en tid fångar in n fiskar och räknar hur många av dem som är märkta, för att åter släppa dem fria. Denna fångst av n fiskar görs 10 gånger. Med hjälp av dessa data ska man sedan uppskatta antalet fiskar i sjön. Till din hjälp har du programmet FiskarISjon, som du kan ladda ned från hemsidan. Börja med att bestämma n, hur många fiskar du vill märka och fånga in vid vart och ett av de 10 försöken. Använd sedan presenterade data för att uppskatta antalet fiskar i sjön. Programmet använder sig av två metoder för att uppskatta antalet och presenterar dessutom det verkliga antalet. Ett tal i intervallet Håkan Strömberg 14 KTH STH