Första ordningens logik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Första ordningens logik"

Transkript

1 Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att ta del av en kopia av licensen besök följande by-nc-nd/3.0/deed.sv.

2 Förord Det finns ett stort antal introduktionsböcker till mer eller mindre formell logik. Det finns dock få sådana på svenska och det finns knappast någon introducerande text på svenska som tränger djupare in i ämnet. Det finns också få böcker, även på engelska, som presenterar de formella grunderna för första ordningens logik, utan att antingen förutsätta att läsaren är eller har varit matematikstuderande eller nöjer sig med en skissartad framställning av logik utöver elementär satslogik. Tanken är alltså att föreliggande text skall fylla ett tomrum; den förutsätter inga faktakunskaper över gymnasienivå och den presenterar på ett rigoröst sätt första ordningens logik, inklusive en del metateorem som Gödels fullständighetssats, kompakthetssatsen och Gödels ofullständighetssatser. Den tänkte läsaren kan ha sitt huvudintresse inom lingvistik, matematik, datavetenskap eller filosofi, eller ha ett allmänt intresse av en introduktion till formella språk och teoribildning. Texten har följande uppläggning: Efter ett inledande kapitel presenteras i kapitlen 2 och 3 grundläggande syntax för första ordningens logik, formalisering och en intuitiv semantik. Kapitlen 4 och 5 behandlar den formella semantiken, inklusive begreppen logisk sanning och logisk konsekvens, via Tarskis definition av satisfiering. I kapitel 6 introduceras ett formellt härledningssystem i form av ett naturligt deduktionssystem först introducerat av Benson Mates. Här presenteras också satslogiken som ett formellt system. I kapitel 7 bevisas Gödels fullständighetssats och kompakthetssatsen och begreppet avgörbarhet diskuteras. Kapitel 8 är ägnat åt andra logiker än första ordningens logik; dels i form av fragment till predikatlogiken, dels i form av utvidgningar av predikatlogiken och alternativa logiker. I kapitel 9 ges ett antal exempel på teorier formaliserade främst i första ordningens logik. I anslutning till exemplen diskuteras begrepp som fullständighet, avgörbarhet och axiomatiserbarhet. Bland annat ges här en ingående re-

3 ii Första ordningens logik dogörelse för Gödels ofullständighetssatser. Slutligen utgör kapitel 10 närmast ett appendix till den övriga texten i form av en kort introduktion till elementär mängdteori. Detta kapitel avslutas med en presentation av Zermelo-Fraenkels mängdteori ZFC. Bortsett från enstaka exempel och övningar krävs inga egentliga förkunskaper. Detta innebär å andra sidan inte att texten nödvändigtvis är lättillgänglig, även om jag parallellt med formella definitioner och bevis, informellt presenterar idéer och begrepp bland annat via ett stort antal exempel. Logik är ett synnerligen abstrakt ämne och kräver att varje nytt avsnitt studeras aktivt och med stor omsorg. Devisen Träning ger färdighet är i högsta grad relevant och kan här kompletteras med Färdighet ger insikt. Det är med andra ord viktigt att läsaren successivt ägnar tid åt de övningar som finns insprängda i texten och i separata övningsavsnitt. De få exempel eller övningar som kräver förkunskaper inom något område, det kan vara matematik, mängdlära eller lingvistik, är försedda med en asterisk och dessa kan man naturligtvis hoppa över utan att förståelsen av texten i övrigt blir lidande. Alla texter har en historia så även denna. Utgångspunkten för boken är ett kompendium i logik, det blå, författat av Björn Haglund och Dag Westerståhl i Göteborg för oändligt länge sedan. Detta skrevs sedan om av Christian Bennet, Björn Haglund och Dag Westerståhl och utökades väsentligt till ytterligare ett kompendium, det gula, i mitten av 1980-talet. I slutet av 1990-talet gjordes ännu en omarbetning, nu av Cecilia Sönströd. Och under alla dessa år har kompendierna troget tjänat som litteratur till inledningskurser i logik vid Göteborgs och Lunds universitet, för logikstudenter, datalingvister och systemvetare. Föreliggande bok är i sin tur en väsentligt omarbetad och utökad version av det gula kompendiet. Björn Haglund och Dag Westerståhl har alltså en stor del i förarbetet till den här boken och dem vill jag förstås tacka alldeles särskilt. Jag vill också rikta ett varmt tack till Åsa Wedberg, Martin Kaså och Jörgen Sjögren för hjälp med korrekturläsning och sund kritik, men också till Alan Turing, John von Neumann och Donald E. Knuth utan vars hjälp denna bok aldrig hade blivit skriven. I denna upplaga har rättelser införts i februari Tack Rasmus Blanck och tack Martin, igen. Tack också till anonyma studenter och kollegor som föreslagit rättelser av olika slag.

4 Innehåll Förord i Innehåll iii Kapitel 1: Inledning Kapitel 2: Grundläggande syntax : Basala syntaktiska kategorier : Fler kategorier : Övningar Kapitel 3: Formalisering : Atomära satser : Sanningsfunktionella operatorer : Kvantifikatoruttryck : Fler kvantifikatoruttryck : Övningar Kapitel 4: Grundläggande semantik : Lite mer syntax : Strukturer och sanningsvillkor : Satisfiering : Några metateorem Kapitel 5: Sanning och konsekvens : Definitionerna : Ytterligare några metateorem : Övningar Kapitel 6: Härledningar : Några första exempel : Satslogiken som formellt system : Predikatlogiken som formellt system : Övningar Kapitel 7: Metalogik : Uppvärmning

5 iv Första ordningens logik 7.2: Fullständighet : Kompakthet : Avgörbarhet Kapitel 8: Andra logiker : Monadisk logik : Nya kvantifikatoruttryck : Andra ordningens logik : Intensional logik : Intuitionistisk logik : Övningar Kapitel 9: Första ordningens teorier : Geometrier : Grupper : De komplexa talen : Elementär aritmetik Kapitel 10: Mängder : Naiv mängdteori och Russells paradox : Några grundläggande begrepp : Strukturerade mängder : Binära relationer : Om oändliga mängder : Mängdteorin som teori Tips och lösningar Vidare läsning Det grekiska alfabetet Index

6 1 Inledning Logik är studiet av formella språk, ungefär som lingvistik är studiet av naturliga språk. Med naturliga språk menar vi då språk som svenska eller japanska, medan formella språk kan vara dataspråk eller de formalismer i vilka matematik eller naturvetenskapliga teorier ofta uttrycks. Till skillnad från de naturliga språken har de formella språken en väldefinierad syntax och semantik. Detta innebär att det är välbestämt precis vilka uttryck som är meningsbärande, dvs vilka symbolsekvenser som tillhör språket, och vilken betydelse som tilldelas de olika språkliga uttrycken. Det senare sker via en formell sanningsdefinition som bland annat eliminerar vaghet och flertydighet. Det finns flera anledningar till att studiet av formella språk är intressant, men låt oss här bara helt kort illlustrera en sådan. En vetenskapsman som vill beskriva en del av verkligheten gör ofta det genom att formulera en teori. Exempelvis är Newtons mekanik en teori som är tänkt att beskriva kroppars rörelse i det fysiska universum. Med hjälp av teorin kan man besvara frågor av typen När inträffar nästa totala solförmörkelse i Göteborg? och kan alltså få veta saker som inte direkt kan observeras. Avsikten med en teori är att så bra som möjligt beskriva den del av världen som man för tillfället intresserar sig för, exempelvis för att kunna göra förutsägelser. Om vi kallar denna del av världen för V och teorin för T, vill vi att ett godtyckligt påstående φ skall följa ur teorin om och endast om φ är sann i V. Som vetenskapsfilosof, och kanske också som vetenskapsman, är det naturligtvis av intresse att i enskilda fall ta reda på om detta resultat har uppnåtts, eller om det ens kan uppnås. Givet V och T, vill vi alltså kunna svara på frågor som Är φ sann i V om och endast om φ följer ur T?. Ibland kanske vi, givet V, frågar oss om det överhuvudtaget finns en teori som beskriver V. Skall dessa frågor göras precisa, krävs förstås att de ingående begrep-

7 2 Första ordningens logik pen preciseras. Vi måste alltså definiera begrepp som följer ur, teori, påstående etcetera, något som i sin tur kräver att vi definierar vad ett formellt språk är. Utan att ännu gå in i detaljer, tänker vi oss att ett språk ges en väldefinierad syntax, dvs vi preciserar vilka symboler som får användas, hur uttryck och satser bildas etc. Vi definierar också en semantik för språket, dvs vi bestämmer exakt vad det innebär att en väldefinierad sats är sann i en väldefinierad värld eller struktur. Slutligen definierar vi vad det innebär att en sats φ följer ur en uppsättning premisser T. Tanken är här att φ följer ur T när φ är sann i varje struktur i vilken premisserna i T är sanna. Ett av de enklaste exemplen på ett formellt språk i den här meningen är satslogiken. Intressantare exempel är klassen av första ordningens språk, dvs de språk som används i de allra flesta matematiska och naturvetenskapliga discipliner, olika extensioner till dessa språk och olika så kallade intensionala språk, som modal satslogik eller tidslogik. En fördel med just första ordningens språk är att de har stor uttryckskraft kombinerat med att det finns en metod för att påvisa när en sats följer ur en viss teori. Denna metod är rent mekanisk till sin natur och benämns ofta att härleda eller att bevisa. Till klassen av första ordningens språk finns alltså ett begrepp härledning eller bevis. Kurt Gödel bevisade 1929 att ett system med bevisregler, som David Hilbert definierat, är fullständigt, dvs för första ordningens språk gäller att en sats följer ur en uppsättning premisser om och endast om satsen är härledbar ur samma premisser. Detta innebär bland annat att, om man vet vilka axiom man utgår från och man håller sig till första ordningens språk och en viss sats faktiskt följer ur premisserna så kan detta alltid påvisas genom att man hittar ett bevis för satsen. Matematikerns metod att försöka bevisa satser från givna antaganden är med andra ord heltäckande i den meningen att varje konsekvens faktiskt går att bevisa, åtminstone i princip. Därmed inte sagt att det är enkelt att hitta bevis. Tvärtom finns det många exempel i historien på problem som fått vänta länge på en lösning. Det senaste i raden är kanske att det tog flera hundra år att bevisa Fermats sats, att x n + y n = z n saknar heltalslösning för n > 2, trots att många matematiker försökte. Problemet härrör från 1630-talet men satsen bevisades först Ett annat sådant exempel är Goldbachs hypotes, att alla jämna tal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal, som ännu ingen har lyckats bevisa. I det fallet vet man ännu inte heller om hypotesen verkligen är sann eller om den, även om den vore sann, följer ur de axiom man utgår från i talteorin. Längre fram i texten ger vi flera exempel på

8 1 Inledning 3 teorier formulerade i olika formella språk och på hur intressanta problem kan formuleras och lösas med hjälp av den formalism vi definierar. Av vad vi hittills sagt torde det framgå att begreppet logisk följd är ett i sammanhanget centralt begrepp. Detta begrepp är också intressant ur en något annan aspekt, nämligen när vi vill klassificera slutledningar. Ända sedan antiken har man inom retoriken intresserat sig för vad som utmärker övertygande argumentation. Steget är då inte långt till att försöka skilja ut logiskt bindande argumentation från argumentation som, även om den kanske kan vara övertygande, inte är bindande i en mer absolut mening. Betrakta exempelvis följande slutledningar: Om det regnar eller blåser så vantrivs humlorna Det regnar Alltså: Humlorna vantrivs Inget primtal är delbart med är ett primtal Alltså: 9373 är inte delbart med 57 De flesta människor tycker om musik Totte är en människa Alltså: Totte tycker om musik Alla skulle här hålla med om att de första två av dessa slutledningar är korrekta eller bindande i den meningen att det knappast går att bejaka premisserna utan att samtidigt bejaka slutsatsen. Detta gäller däremot inte den sista slutledningen; det kan mycket väl vara så att de flesta människor tycker om musik samtidigt som Totte, som är människa, inte tycker om musik. I själva verket är nästan alla människor synnerligen bra på att klassificera slutledningar, även betydligt mer komplexa sådana än de ovan, som korrekta respektive inkorrekta. Däremot är det inte helt enkelt att beskriva precis vilken egenskap hos en slutledning som gör den korrekt eller inkorrekt. Tittar vi på den mellersta slutledningen ovan, är det lätt att se att vissa saker inte är relevanta. Exempelvis är det inte relevant att veta om premisserna är sanna eller inte. Vi ser att slutledningen är korrekt utan att först behöva avgöra om 9373 är ett primtal eller ej, ja, utan att ens behöva fundera över vad ett primtal är eller vad det innebär att ett tal är delbart med ett annat. Det verkar alltså snarare vara den form slutledningen har, än betydelsen hos de ingående begreppen, som spelar roll för huruvida slutledningen är giltig. Å andra sidan är det förstås av betydelse vad exempelvis Inget i den första premissen betyder. Vi skulle känna igen samma form hos slutledningen

9 4 Första ordningens logik Ingen hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns men inte hos Någon hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns. Betydelsen hos vissa uttryck, som primtal, eller Måns, är alltså irrelevant i sammanhanget, medan betydelsen hos andra, som Ingen eller Någon, i högsta grad är relevant. Betraktar vi det första exemplet ovan är det igen klart att betydelsen hos uttryck som om... så och eller är relevant för om slutledningen är korrekt eller ej, medan det inte verkar spela någon roll vad exempelvis Det regnar eller Humlorna vantrivs betyder. Snarare är alla slutledningar på formen Om A eller B så C A Alltså: C i en intuitiv mening logiskt giltiga; det kan helt enkelt inte vara så att premisserna är sanna utan att slutsatsen också är sann. Ett sätt att bringa reda i precis vad vi menar med en slutlednings form ovan, är nu att översätta vårt naturliga språk till ett formellt språk, eller en logik, i vilken vi skiljer mellan logiska respektive ickelogiska symboler. Dessa begrepp kommer att definieras senare, men avsikten är att de logiska symbolerna är de uttryck vars betydelse bestäms i en sanningsdefinition, medan de ickelogiska symbolernas betydelse tillåts att variera från fall till fall inom ramen för en rent syntaktisk kategorisering. Vi kan till exempel införa två symboler och för eller och om... så samtidigt som vi låter A, B och C stå för vilka påståenden som helst och definiera en syntax som ger slutledningen ovan formen A B C A Alltså: C. Sedan kan vi definiera ett formellt begrepp logisk följd och bevisa att slutsatsen ovan formellt följer ur de två premisserna. Begreppet logisk följd blir då beroende av vilka uttryck vi väljer att betrakta som logiska och vilka vi väljer att betrakta som ickelogiska.

10 1 Inledning 5 I själva verket är det precis så vi skall gå till väga. Vi kommer att välja ut en naturlig uppsättning logiska begrepp och basera ett formellt språk, eller snarare en klass av sådana språk, på detta val. Dessa språk går under benämningen första ordningens språk eller predikatlogik. Som ett fragment av predikatlogiken urskiljer vi satslogiken som har färre logiska begrepp, men vi kommer också att ge exempel på extensioner till första ordningens logik med fler logiska begrepp. Dessutom kommer vi att ge exempel på andra typer av formella språk, exempelvis modallogik och intuitionistisk logik. Det säger sig självt att de begrepp vi inför måste ges språkliga definitioner, dvs att de definieras i termer av andra begrepp. Men den begreppshierarki som då uppstår måste på något sätt bottnas i en grundläggande, intuitivt klar begreppsapparat som inte i sin tur behöver någon ytterligare precisering. Det är då brukligt att låta mängdbegreppet spela rollen av sådant grundbegrepp. Även här kommer vi alltså ytterst att definiera alla begrepp inom en mängdteoretisk ram. Särskilt påtagligt blir detta när vi skall definiera semantiken för första ordningens språk, där begreppet godtycklig struktur spelar en central roll. En viss grundläggande mängdteoretisk begreppsapparat är också praktisk att använda när vi diskuterar exempelvis relationer och funktioner. Därför finns i slutet av boken ett särskilt kapitel som behandlar grundläggande mängdteori och som vi kommer att hänvisa till vid behov. Mängdteorin kommer också i ett avslutande avsnitt att användas som exempel på en formell första ordningens teori.

11 6 Första ordningens logik

12 2 Grundläggande syntax 2.1 Basala syntaktiska kategorier Att definiera ett språks syntax består till att börja med i att bestämma vilka symboler som får användas. Varje symbol är här av endera av tre typer: logiska symboler, ickelogiska symboler och markörer. Generellt kommer de logiska symbolerna att ges en fix betydelse med hjälp av en sanningsdefinition medan de ickelogiska symbolernas betydelse kan variera inom de gränser som bestäms av deras respektive syntaktiska kategori. Exempelvis kan vissa symboler bara beteckna objekt, andra bara relationer etc. Markörernas huvudsakliga roll är, med ett undantag, att öka läsbarheten hos formler. Informellt är det förstås ingenting som hindrar att man använder vilka symboler som helst inom respektive kategori, så länge man bara själv är klar över vilken formalism man väljer. Här skall vi dock, för varje syntaktisk kategori, bestämma en begränsad uppsättning tillåtna symboler, vilket i hög grad förenklar våra formella definitioner. Vi börjar med att räkna upp de ickelogiska symboler som kan förekomma i ett första ordningens språk: Satssymboler A 0, A 1, A 2,... Individkonstanter c 0, c 1, c 2,... Funktionssymboler f n 0, f n 1, f n 2,..., för varje heltal n > 0 Predikatsymboler P n 0, P n 1, P n 2,..., för varje heltal n > 0. Avsikten är att satssymboler svarar mot hela satser på svenska, individkonstanter svarar mot egennamn och betecknar alltså enskilda objekt, funktionssymboler betecknar funktioner och predikatsymboler betecknar

13 8 Första ordningens logik egenskaper och relationer. När det gäller funktions- och predikatsymboler har dessa en ställighet i form av ett heltal större än 0. Ställigheten hos en funktionssymbol svarar då mot ställigheten hos den funktion den betecknar, dvs antalet argument funktionen har, och ställigheten hos en predikatsymbol svarar mot ställigheten hos den relation den betecknar. Exempelvis är addition en tvåställig funktion, <-relationen är en tvåställig relation och relationen x ligger mellan y och z är en treställig relation. Egenskaper betraktas som enställiga relationer. Informellt kommer vi, när detta inte kan missförstås, också att använda andra symboler än de som är strikt formellt tillåtna. Om vi exempelvis skall beskriva de naturliga talen, 0, 1, 2,..., är det naturligt att använda vanliga matematiska symboler som +, och <, snarare än att introducera nya symboler som f 2 0, f 2 1 och P 2 5 för att beteckna addition, multiplikation och <-relationen. De logiska symboler som är tillåtna i första ordningens språk är följande: Syntaktisk kategori symbol tänkt betydelse Konnektiver negation: inte konjunktion: och, samt disjunktion: eller implikation: om... så... ekvivalens: om och endast om Kvantifikatorer { allkvantifikator: för alla existenskvantifikator: det finns Identitetssymbol = identitet Slutligen har vi tre sorters markörer: Individvariabler x 0, x 1, x 2,... Parenteser ), ( Kommatecken, Här är parenteser och kommatecken bara till för att strukturera våra formler så att läsbarheten ökar, medan variablerna har en central roll i kombination med kvantifikatorerna, något vi återkommer till så småningom. Lägg också märke till att, även om vi redan nu informellt

14 2 Grundläggande syntax 9 ger de olika symbolerna en betydelse, så är kategoriseringen ovan rent syntaktisk. Definition 1.1: Ett lexikon är en mängd av ickelogiska symboler. Ett lexikon är relationellt om det inte innehåller några funktionssymboler. Så småningom blir det nödvändigt att precisera mängdbegreppet, men här använder vi mängd synonymt med ord som uppsättning eller klass. Redan nu kommer vi dock att använda oss av vissa enkla beteckningar hämtade från mängdläran och hänvisar den läsare som så behöver till de första avsnitten i kapitel 10. Tanken är att vi väljer lexikon efter den del av verkligheten vi vill beskriva. Lexikonet kan då innehålla individkonstanter för de objekt vi vill benämna, predikatsymboler för de egenskaper och relationer vi är intresserade av och funktionssymboler för de funktionella samband vi vill kunna tala om. Eventuellt inkluderar vi också satssymboler i lexikonet om vi enkelt vill kunna beskriva vissa satslogiska samband. Detta lexikon bestämmer sedan, som vi strax kommer till, entydigt ett första ordningens språk. Observera alltså att alla första ordningens språk använder markörerna och de logiska symbolerna utan att dessa inkluderas i lexikonet. Generellt använder vi L, L, L 1 etc för att beteckna lexikon. Exempel 1.2: Antag att vi vill skapa en teori för att bedriva aritmetik, dvs vi vill ha ett språk i vilket vi kan uttrycka påståenden om de naturliga talen med avseende på storlek, addition, multiplikation osv. Vi kan då låta vårt lexikon vara L = {P0 2, f0 2, f1 2, c 0, c 1, c 2,...}, där P 0 skall beteckna <-relationen, f 0 addition, f 1 multiplikation och där varje c i skall beteckna talet i. En annan, och mer välbekant, variant är att vi i stället använder matematiska symboler, låter L = {<, +,, 0, 1, 2,...} och ger varje symbol sin vanliga betydelse. Övning 1.3: (a) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de olika relationer som råder mellan dig och dina släktingar. (b) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de reella talen. 2.2 Fler kategorier Vi skall nu definiera ytterligare två syntaktiska kategorier: termer och formler. Särskilt i matematiska sammanhang är det vanligt att referera till enskilda tal med hjälp av komplexa uttryck som är uppbyggda med hjälp av siffror, dvs individkonstanter, och funktionssymboler: 3 (5 + 7),

15 10 Första ordningens logik (9+23) ((8 + 32) (7 + 29)), osv. Alla sådana uttryck kallas för termer och vi ger nu en generell syntaktisk definition av detta begrepp. Av skäl som kommer att framgå senare tillåter vi inte bara individkonstanter utan även individvariabler i termer. Definition 2.1: Givet ett lexikon L definierar vi mängden av L-termer enligt följande: (a) Alla individvariabler är L-termer (b) Alla individkonstanter i L är L-termer (c) Om t 1,..., t n är L-termer och f är en n-ställig funktionssymbol i L så är f(t 1,..., t n ) en L-term. Detta är ett exempel på en induktiv definition, något som vi kommer att använda oss av ett flertal gånger framöver. Till skillnad från en explicit definition där man direkt anger karaktäristikum för det begrepp som definieras, anger vi här hur mängden av termer byggs upp från enkla termer, angivna i (a) och (b) ovan, med hjälp av upprepade tillämpningar av en regel. Formellt går det att bevisa att definitionen ovan entydigt bestämmer en minsta mängd som innehåller alla individvariabler och alla individkonstanter i L och som är sluten under den regel som beskrivs i (c). Detta är mängden av alla L-termer. Exempel 2.2: Låt L = {f 1 0, f 3 5, c 3 }. Då är följande symbolsekvenser L- termer: c 3, x 0, f 0 (c 3 ), f 0 (f 0 (c 3 )), f 5 (x 3, f 0 (c 3 ), f 5 (x 3, f 0 (x 1 ), c 3 )). Exempel 2.3: Låt, åter med viss brist på formalism, L = {0, 1, 2, +, }. Låt oss vidare skriva (a + b) i stället för +(a, b) och a b i stället för (a, b). Då är följande välbekanta uttryck exempel på L-termer: (x 0 + 1), (x 0 + 1) (2 + (x 3 + 0)). När en funktionssymbol förekommer i en term är det klart att man kan utläsa vilken ställighet symbolen har. Vi kommer därför, närhelst detta inte ger upphov till flertydighet, att utelämna övre index på funktionssymboler. Vi kommer också att informellt använda oss av vanligt matematiskt språkbruk i analogi med exemplet ovan. Nu är vi redo att definiera begreppet L-formel. Tanken här är väsentligen att L-formler är de uttryck i våra formella språk som motsvarar påståenden eller villkor formulerade på svenska. Igen är definitionen induktiv:

16 Definition 2.4: Låt L vara ett godtyckligt lexikon. (1) Följande uttryck är atomära L-formler: (a) (b) (c) varje satssymbol i L t 1 = t 2, där t 1 och t 2 är L-termer 2 Grundläggande syntax 11 P (t 1,..., t n ), där P är en n-ställig predikatsymbol i L och t 1,..., t n är L-termer. (2) Vidare definieras L-formel enligt: (a) (b) (c) (d) Varje atomär L-formel är en L-formel Om φ är en L-formel så är φ en L-formel Om φ och ψ är L-formler så är följande uttryck L-formler: (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) Om φ är en L-formel och x en variabel så är xφ och xφ L-formler. Vi identifierar sedan formelmängder med språk, dvs ett första ordningens språk är mängden av L-formler för ett godtyckligt lexikon L. Än så länge har vi förstås bara definierat syntaxen för dessa språk. I nästa kapitel skall vi dock föregå den formellt definierade semantiken, som presenteras i kapitel 4, och ge uttryck i första ordningens språk en informell betydelse. 2.3 Övningar Övning 3.1: Låt L = {P 1 1, P 3 2, f 1 0, f 2 2, c 0, c 1, A 0, A 3 }. Avgör om följande uttryck är L-termer, L-formler eller ingetdera: (a) P(x 7 ) (e) (A 0 x 3 P2 3 (c 1, x 3, c 0 )) (b) P 3 2(c 0, c 0 ) (f) x 8 x 0 P3 3 (x 0, x 8, c 1 ) (c) P 3 2(c 0, c 0, f0 1 (c 1 )) (g) x 5 A 3 (d) f 2 2(f0 1 (c 1 ), f2 2 (c 1, f0 1 (c 0 ))) (h) (f 1 0(x 0 ) = c 1 f2 2 (x 0, c 1 )). Övning 3.2: Definitionen av ett lexikon L tillåter att L är tom. Vilka är då L-termerna respektive L-formlerna? I följande övning, liksom i resten av boken är omm en förkortning för om och endast om.

17 12 Första ordningens logik Övning 3.3: För den mängdteoretiska terminologin i den här övningen hänvisar vi till kapitel 10. Låt F ml L vara mängden av L-formler. Visa att (a) L L omm F ml L F ml L, (b) F ml L F ml L F ml L L (c) F ml L F ml L = F ml L L. (d) Kan likhet råda i (b)? *Övning 3.4: Ange, för ett fixt ändligt lexikon L, en kontextfri grammatik som genererar (a) Mängden av L-termer (b) Mängden av L-formler.

18 3 Formalisering Många satser i naturligt såväl som vetenskapligt språk kan översättas till första ordningens språk med lämpliga lexikon. Här ger vi exempel på hur detta går till och förklarar samtidigt informellt betydelsen hos de olika logiska symbolerna. Detta hjälper oss att hitta en logisk struktur i språket vid sidan av språkets grammatiska struktur. Det är sedan med hjälp av den logiska strukturen som vi definierar begrepp som logiskt giltig slutledning eller logiskt sann sats. Den formella sanningsdefinitionen sparar vi till kapitel 4. I stället för termen översättning använder vi här den i sammanhanget mer vanliga termen formalisering. Vi kommer också redan nu att genomgående slopa alla index på exempelvis predikat- och funktionssymboler, närhelst detta är möjligt. Vi kommer också att tillåta oss att använda andra symboler än de som formellt är tillåtna. Exempelvis använder vi c, d och e som individkonstanter, P, Q och R som predikatsymboler, f, g och h som funktionssymboler, A, B och C som satssymboler och x, y och z som variabler. Ibland sätter vi även index eller prim på dem. Däremot håller vi oss, när det gäller de logiska symbolerna, strikt till den angivna formalismen. 3.1 Atomära satser Enligt det sätt vi nu skall betrakta vårt naturliga språk, är de enklaste satserna, de atomära, de satser som saknar motsvarigheten till våra logiska symboler, förutom möjligen identitetssymbolen. Exempel på sådana satser är enkla subjekt-predikat-satser av typen (a) Pelle hostar (b) Lisa springer

19 14 Första ordningens logik (c) 2 är ett primtal. Men även satser som innehåller objekt kan vara logiskt atomära: (d) Pelle älskar Lisa (e) Olle är bror till Lisa (f) 7 > 3. Alla dessa satser kan, med lämpligt val av lexikon formaliseras med hjälp av atomära satser: (a*) P (c) (d*) R(c, d) (b*) Q(d) (e*) R (e, d) (c*) P (c 0 ) (f*) 7 > 3. Här betecknar c Pelle, d Lisa, e Olle, c 0 talet 2, P egenskapen att hosta, Q egenskapen att springa, P egenskapen att vara ett primtal, R relationen x älskar y och R relationen x är bror till y. I den sista formaliseringen har vi helt enkelt låtit de vanliga matematiska symbolerna ingå i vårt lexikon och betraktar (f*) som en förkortning av formeln > (7, 3). Observera att valet av ickelogiska symboler är godtyckligt, så länge vi håller oss inom rätt syntaktisk kategori. Det finns alltså inget formellt skäl att beteckna Lisa med samma individkonstant i (a*) och (d*), även om det kanske är praktiskt i vissa sammanhang. Valet av ickelogiska konstanter beror alltså helt av kontexten. Exempelvis är (c*) en lika korrekt formalisering av (a) som (a*) är och (f*) är en tillåten formalisering av (d). Det är oftast lätt att hitta lämpliga syntaktiska kategorier när man formaliserar, men det kan vara värt att påpeka att individkonstanterna inte alltid svarar mot egennamn, utan även andra uttryck kan användas på svenska för att benämna enskilda individer och ting. Betrakta satserna (g) Lisa ser Pelle i spegeln (h) Lisa ser sig i spegeln. Den första av dessa kan formalisera som (g*) R(c, d) där R är relationen x ser y i spegeln, c är Lisa och d är Pelle, och den andra formaliseras då rimligen (h*) R(c, c). Pronomen fungerar dock på flera olika sätt. Satsen

20 (i) Lisa slår sig 3 Formalisering 15 har sällan samma logiska form som (h), även om detta naturligtvis är möjligt i vissa kontexter, utan formaliseras naturligt med ett enställigt predikat: (i*) P (c). Funktionssymboler används sällan i allmänspråkliga sammanhang, men desto oftare i exempelvis matematisk text och det är också främst då som identitetssymbolen kommer till användning. Satser som = 11 eller 16 = 4 kan förstås mer eller mindre betraktas som formaliserade. Men också en sats som e π π 3 = sin π 3 + cos π 2 5 π 2 1 kan, utan alltför stort besvär, betraktas som en atomär formel i ett lämpligt första ordningens språk. Avslutningsvis poängterar vi bara att ett atomärt uttryck på svenska inte måste vara grammatiskt enkelt. Exempelvis kan satsen Vi anser nog att de flesta studenter som har läst så här långt rimligen bör ha kommit till slutsatsen att det är nödvändigt med många timmars färdighetsträning om man skall få en god förståelse för den grundläggande logiska strukturen hos ett naturligt språk. knappast formaliseras på annat sätt än med en satssymbol, A. Satsbokstäver kommer alltså väl till pass när man inte kan, eller vill, hitta en lämplig inre struktur hos de satser man formaliserar. Övning 1.1: Formalisera följande satser med hjälp av lämpliga lexikon. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Det regnar Lisa åker tåg från Göteborg till Oslo Pompe skäller på Måns Ingen skäller på Måns Pompe skäller på brevbäraren Göteborg ligger mellan Lund och Oslo Lisa är gift med Olle

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Något om logik och logisk semantik

Något om logik och logisk semantik UPPSALA UNIVERSITET Semantik och pragmatik (HT 08) Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv08/sempht/ Något om logik och logisk semantik 1 Språk och sanning

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen?

7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen? FTEA12:2 Föreläsning 4 Att värdera en argumentation II Inledning Förra gången konstaterade vi att argumentationsutvärdering involverar flera olika steg. Den som ska värdera en argumentation behöver åtminstone

Läs mer

8 MODAL SATSLOGIK. omöjligt - inte omöjligt. tänkbart - inte tänkbart

8 MODAL SATSLOGIK. omöjligt - inte omöjligt. tänkbart - inte tänkbart 8 MODAL SATSLOGIK 8.1 BEGREPPEN MÖJLIG OCH NÖDVÄNDIG Att det finns en skillnad mellan att ett påstående är möjligen sant, sant och nödvändigtvis sant är uppenbart. Det är möjligen sant att Aristoteles

Läs mer

John Perrys invändning mot konsekvensargumentet

John Perrys invändning mot konsekvensargumentet Ur: Filosofisk tidskrift, 2008, nr 4. Maria Svedberg John Perrys invändning mot konsekvensargumentet Är handlingsfrihet förenlig med determinism? Peter van Inwagens konsekvensargument ska visa att om determinismen

Läs mer

Malmö högskola 2012/2013 Teknik och samhälle

Malmö högskola 2012/2013 Teknik och samhälle Laboration 6 Till pseudokoduppgifterna och aktivitetsdiagrammen ges inga direkta lösningar då dessa går att göra på så väldigt många olika sätt. Pseudokod Skriv pseudokod för följande problem Åka tåg Du

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik

Datorlingvistisk grammatik Datorlingvistisk grammatik Kontextfri grammatik, m.m. http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv11/dg/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2011 Denna serie Formella grammatiker,

Läs mer

Föreläsning 6. pseudokod problemlösning logik algoritmer

Föreläsning 6. pseudokod problemlösning logik algoritmer Föreläsning 6 pseudokod problemlösning logik algoritmer Inledning Logik är läran om korrekt resonemang att kunna dra korrekta slutledningar utifrån det man vet. Vi gör detta ständigt utan att tänka på

Läs mer

Anna: Bertil: Cecilia:

Anna: Bertil: Cecilia: Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p

PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (070-6527523) PROV I MATEMATIK Automatateori och formella språk DV1 4p 19 mars 2004 SKRIVTID: 15-20. POÄNGGRÄNSER: 18-27 G, 28-40 VG. MOTIVERA ALLA

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Operatorer Tilldelning Kodblock { } if satsen Logiska uttryck Att programmera

Operatorer Tilldelning Kodblock { } if satsen Logiska uttryck Att programmera Föreläsning 2 Operatorer Tilldelning Kodblock if satsen Logiska uttryck Att programmera En operator tar ett eller två data och producerar ett svar. Typexemplet är +. Den tar t.ex två heltal och producerar

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

TDDA94 LINGVISTIK, 3 poäng tisdag 19 december 2000

TDDA94 LINGVISTIK, 3 poäng tisdag 19 december 2000 Lars Ahrenberg, sid 1(5) TENTAMEN TDDA94 LINGVISTIK, 3 poäng tisdag 19 december 2000 Inga hjälpmedel är tillåtna. Maximal poäng är 36. 18 poäng ger säkert godkänt. Del A. Besvara alla frågor i denna del.

Läs mer

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan

Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Karin Kairavuo Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Den kinesiska författaren och nobelpristagaren i litteratur, Gao Xingjian, använder en spännande metod i sitt arbete. Han talar in sina blivande

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI. Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern.

LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI. Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern. LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern. En natt i februari av Staffan Göthe Lärarhandledning Syftet

Läs mer

Matematik för språkteknologer

Matematik för språkteknologer 1 / 27 Matematik för språkteknologer 2.3 (Relationer och funktioner) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 27 Dagens nya punkter Relationer Definitioner Egenskaper hos

Läs mer

Objektorienterad programmering Föreläsning 4

Objektorienterad programmering Föreläsning 4 Objektorienterad programmering Föreläsning 4 Copyright Mahmud Al Hakim mahmud@dynamicos.se www.webbacademy.se Agenda Introduktion till objektorientering Klasser och Objekt Instansvariabler Metoder Introduktion

Läs mer

Riktlinjer för bedömning av examensarbeten

Riktlinjer för bedömning av examensarbeten Fastställda av Styrelsen för utbildning 2010-09-10 Dnr: 4603/10-300 Senast reviderade 2012-08-17 Riktlinjer för bedömning av Sedan 1 juli 2007 ska enligt högskoleförordningen samtliga yrkesutbildningar

Läs mer

Andra relationella språk

Andra relationella språk Andra relationella språk Kapitel 5 Andra relationella språk sid Tupelrelationskalkyl 1 Domänrelationskalkyl 6 Query-by-Example (QBE) 8 Andra relationella språk, tupelrelationskalkyl 5-1 Tupelrelationskalkyl

Läs mer

Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå

Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå Anvisningar till rapporter i psykologi på B-nivå En rapport i psykologi är det enklaste formatet för att rapportera en vetenskaplig undersökning inom psykologins forskningsfält. Något som kännetecknar

Läs mer

Att visa kunskap genom argumentation Muntlig examination inom etik och logik

Att visa kunskap genom argumentation Muntlig examination inom etik och logik Att visa kunskap genom argumentation Muntlig examination inom etik och logik Kristina von Hausswolff senior universitetsadjunkt i datavetenskap, fil kand. datalogi, ämneslärare i filosofi och matematik,

Läs mer

Talhandlingsteori. Talhandlingar. Performativa yttranden. Semantikens fyrkantigt logiska syn på språket

Talhandlingsteori. Talhandlingar. Performativa yttranden. Semantikens fyrkantigt logiska syn på språket Talhandlingsteori Talhandlingar (talakter) analyserades i filosofiska teorier under 1950- och 1960-talet av filosoferna Austin och Searle. Talhandlingsteori betonar att språket används till mycket mer

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Objektorientering/1.2. 3 Klasser

Objektorientering/1.2. 3 Klasser 3 Klasser 3.1 Att hantera många objekt 3.2 Klasser 3.3 Krav för att bilda en klass 3.4 Får två objekt vara helt identiska? 3.5 Måste vi använda klasser i objektorientering? 3.6 En klassbeskrivning 3.7

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. "reflektionsprincipen" (dock ej av H). Den säger följande: för att

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. reflektionsprincipen (dock ej av H). Den säger följande: för att Syftet med denna del är att utveckla och försvara en form av preferensutilitarism, vilken kan identifieras med kritiskt tänkande. Den huvudsakliga framställningen är i kap. 5-6. En senare kort sammanfattning

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

Relationer och funktioner

Relationer och funktioner Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer

Läs mer

Lever du ditt liv fullt ut eller väntar du på att livet ska börja?

Lever du ditt liv fullt ut eller väntar du på att livet ska börja? Lever du ditt liv fullt ut eller väntar du på att livet ska börja? Vi lever i en värld där mycket handlar om ägande och prestationer. Definitionen på att ha lyckats i sitt liv är att haft och gjort mycket,

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Bakgrund och motivation. Definition av algoritmer Beskrivningssätt Algoritmanalys. Algoritmer. Lars Larsson VT 2007. Lars Larsson Algoritmer 1

Bakgrund och motivation. Definition av algoritmer Beskrivningssätt Algoritmanalys. Algoritmer. Lars Larsson VT 2007. Lars Larsson Algoritmer 1 Algoritmer Lars Larsson VT 2007 Lars Larsson Algoritmer 1 1 2 3 4 5 Lars Larsson Algoritmer 2 Ni som går denna kurs är framtidens projektledare inom mjukvaruutveckling. Som ledare måste ni göra svåra beslut

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Kommunikation. Språk och språkteknologier. Semiotik. Kommunikationsmodell. Saussures strukturalism. Finns betydelse? Teckenkod.

Kommunikation. Språk och språkteknologier. Semiotik. Kommunikationsmodell. Saussures strukturalism. Finns betydelse? Teckenkod. Kommunikation Språk och språkteknologier Rickard Domeij domeij@nada.kth.se Teckenkod ljud, skrift, gester, programkod... Verktyg kil, penna, tryckpress, dator... Medium lerplattor, böcker, radio, TV, internet...

Läs mer

31 tips som gör din text lättare att förstå

31 tips som gör din text lättare att förstå 31 tips som gör din text lättare att förstå Innehållsförteckning Texten 1 Det enkla raka spåret 2 Nyhetsartikeln 3 Skriv rubriker inte överskrifter 3 Glöm inte bildtexten 4 Så börjar du din text 4 Tänk

Läs mer

Perspektiv på kunskap

Perspektiv på kunskap Perspektiv på kunskap Alt. 1. Kunskap är något objektivt, som kan fastställas oberoende av den som söker. Alt. 2. Kunskap är relativ och subjektiv. Vad som betraktas som kunskap är beroende av sammanhanget

Läs mer

Kommunikation. Tror du att det finns något universellt kroppsspråk? Vilket kroppsspråk brukar du använda?

Kommunikation. Tror du att det finns något universellt kroppsspråk? Vilket kroppsspråk brukar du använda? Kommunikation Vi människor kommunicerar på många olika sätt. Vi ringer, mejlar och pratar med varandra. Men vi använder också kroppen väldigt mycket. När personer kommunicerar är all kommunikation inte

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...

Läs mer

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner

Introduktion till programmering D0009E. Föreläsning 5: Fruktbara funktioner Introduktion till programmering D0009E Föreläsning 5: Fruktbara funktioner 1 Retur-värden Funktioner kan både orsaka en effekt och returnera ett resultat. Hittills har vi ej definierat några egna funktioner

Läs mer

1) FRÅGOR OM RESPONDENTENS SOCIAL-DEMOGRAFISKA DATA: - Hur gammal är du?... år (= öppen fråga)

1) FRÅGOR OM RESPONDENTENS SOCIAL-DEMOGRAFISKA DATA: - Hur gammal är du?... år (= öppen fråga) 1. Typer av enkätfrågor - När man gör en frågeformulär, vill man gärna få den att påminna om vanlig interaktion dvs man frågar inte svåra och/eller delikata frågor i början, utan först efter att ha samtalat

Läs mer

Kan vi handla omoraliskt mot. Är det rätt eller fel med abort?

Kan vi handla omoraliskt mot. Är det rätt eller fel med abort? Kan vi handla omoraliskt mot Ska vi kvotera för jämställdhet? Är det rätt eller fel med abort? djur och natur? Bör vi äta kött? Är det någonsin rätt att döda en annan människa? Hur mycket pengar bör vi

Läs mer

Filosofi 26.3.2010. Fråga 2. Det sägs att ändamålen för och konsekvenserna av en handling helgar medlen. Diskutera giltigheten i påståendet.

Filosofi 26.3.2010. Fråga 2. Det sägs att ändamålen för och konsekvenserna av en handling helgar medlen. Diskutera giltigheten i påståendet. Filosofi 26.3.2010 Fråga 1. Vad grundar sig sanningen i vart och ett av följande påståenden på? a) En triangel har tre hörn. b) I Finland bor det fler än tio människor. c) Rökare dör vid yngre år än icke-rökare.

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

ETIK VT2013. Moraliskt språkbruk

ETIK VT2013. Moraliskt språkbruk ETIK VT2013 Moraliskt språkbruk DELKURSENS STRUKTUR Moralisk Kunskap (epistemologi) Relativism och Emotivism Moraliskt språkbruk (semantik) Moralisk verklighet (ontologi) Meta-etisk frågestund - skicka

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Sverige under Gustav Vasa

Sverige under Gustav Vasa Sverige under Gustav Vasa Detta lektionsupplägg är planerat och genomfört av Daniel Feltborg. Upplägget är ett resultat av en praktiskt tillämpad uppgift i kursen Historiedidaktik då, nu och sedan, Malmö

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Ge sitt liv för sina vänner

Ge sitt liv för sina vänner Ge sitt liv för sina vänner Predikan av pastor Göran Appelgren (Läsningar: Joh 15:12-17; Himmel och helvete, nr 272, 278:2, 282. Se sista sidan!) Detta är mitt bud att ni skall älska varandra så som jag

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Retorik - våra reflektioner. kring. Rätt sagt på rätt sätt, Berättarens handbok samt www.retorik.com

Retorik - våra reflektioner. kring. Rätt sagt på rätt sätt, Berättarens handbok samt www.retorik.com Berättare blir man genom att göra två saker så ofta som möjligt: 1. Lyssna. 2. Berätta. I den ordningen. Och omvänt. Om och om igen. Retorik - våra reflektioner kring Rätt sagt på rätt sätt, Berättarens

Läs mer

Kursplan Samhällskunskap

Kursplan Samhällskunskap Kursplan Samhällskunskap Undervisning motsvarande Samhällskunskap 1b respektive Samhällskunskap A Kursen syftar till att ge deltagarna ökad förståelse och insyn i hur samhället fungerar och i förlängningen

Läs mer

BAS A01 Baskurs för universitetsstudier! Jeanette Emt, Filosofiska institutionen! Att skriva uppsats

BAS A01 Baskurs för universitetsstudier! Jeanette Emt, Filosofiska institutionen! Att skriva uppsats BAS A01 Baskurs för universitetsstudier! Jeanette Emt, Filosofiska institutionen! Att skriva uppsats ATT SKRIVA UPPSATS inte bara en sak utan (minst) tre Förarbete Förarbete forskningsprocessen Förarbetet

Läs mer

En ansats till behovsstyrd applikationsutveckling

En ansats till behovsstyrd applikationsutveckling Datavetenskap Opponenter: Daniel Mester Pirttijärvi Hampus Skystedt Respondent: Johan Björlin En ansats till behovsstyrd applikationsutveckling Oppositionsrapport, C-nivå 2011:05 1 Sammanfattat omdöme

Läs mer

Vetenskap tre typer. Vanlig vetenskap Matematik & logik Hermeneutik. Vet vi hur vi vet om vi vet att vi vet det vi vet? Vardagskunskap.

Vetenskap tre typer. Vanlig vetenskap Matematik & logik Hermeneutik. Vet vi hur vi vet om vi vet att vi vet det vi vet? Vardagskunskap. Vet vi hur vi vet om vi vet att vi vet det vi vet? Vad är kunskap och sanning, och hur vet vi det? Sverker Johansson Vad kallar vi kunskap och sanning i vardagen? Vardagskunskap Kunskap som funkar Bygger

Läs mer

Progressionsuttryck i kunskapskraven Kommentarerna till progressionsuttrycken i kunskapskraven gäller för moderna språk 1 7.

Progressionsuttryck i kunskapskraven Kommentarerna till progressionsuttrycken i kunskapskraven gäller för moderna språk 1 7. Progressionsuttryck i kunskapskraven Kommentarerna till progressionsuttrycken i kunskapskraven gäller för moderna språk 1 7. Eleverna ska ges möjlighet att utveckla de förmågor som uttrycks i målen genom

Läs mer

Tummen upp! Matte ÅK 6

Tummen upp! Matte ÅK 6 Tummen upp! Matte ÅK 6 Tummen upp! är ett häfte som kartlägger elevernas kunskaper i förhållande till kunskapskraven i Lgr 11. PROVLEKTION: RESONERA OCH KOMMUNICERA Provlektion Följande provlektion är

Läs mer

Individuellt PM3 Metod del I

Individuellt PM3 Metod del I Individuellt PM3 Metod del I Företagsekonomiska Institutionen Stefan Loå A. Utifrån kurslitteraturen diskutera de två grundläggande ontologiska synsätten och deras kopplingar till epistemologi och metod.

Läs mer

Exempel på observation

Exempel på observation Exempel på observation 1 Jag gjorde en ostrukturerad, icke deltagande observation (Bell, 2005, s. 188). Bell beskriver i sin bok ostrukturerad observation som något man tillämpar när man har en klar uppfattning

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Människan och samhället. Det resonemang som förs i denna bok går ut på att ett bra samhälle är ett samhälle där människor

Människan och samhället. Det resonemang som förs i denna bok går ut på att ett bra samhälle är ett samhälle där människor Människan och samhället Det resonemang som förs i denna bok går ut på att ett bra samhälle är ett samhälle där människor mår bra. I ett bra samhälle överensstämmer människan och samhället. Överensstämmelsen

Läs mer

Moralfilosofi. Föreläsning 11

Moralfilosofi. Föreläsning 11 Moralfilosofi Föreläsning 11 Kants etik Immanuel Kant (1724-1804) är en av mest betydelsefulla moderna filosoferna Kant utvecklade inte bara en teori om moralen utan också teorier i metafysik, epistemologi,

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

Tillämpad experimentalpsykologi [2] Tillämpad experimentalpsykologi [1] Empirisk forskningsansats. Tillämpad experimentalpsykologi [3] Variabler

Tillämpad experimentalpsykologi [2] Tillämpad experimentalpsykologi [1] Empirisk forskningsansats. Tillämpad experimentalpsykologi [3] Variabler Tillämpad experimentalpsykologi [1] Ett tillvägagångssätt för att praktiskt undersöka mänskliga processer Alltså inget forskningsområde i sig! (I motsats till kognitiv, social- eller utvecklingspsykologi.)

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period.

Innehållsförteckning. Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period. 2 Resultat Innehållsförteckning Installation Inledning Pedagogisk bakgrund Arbeta med Matematik Screening Basnivå Kalkylator Inställningar Namn Period Screeningmoment Talserier Jämnt - udda Tal och obekanta

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Analys av BI-system och utveckling av BIapplikationer

Analys av BI-system och utveckling av BIapplikationer Computer Science Fredrik Nilsson, Jonas Wånggren Daniel Strömberg Analys av BI-system och utveckling av BIapplikationer Opposition Report, C/D-level 2005:xx 1 Sammanfattat omdöme av examensarbetet Vi tycker

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Litet analytisk-filosofiskt manifest av Kalle Grill

Litet analytisk-filosofiskt manifest av Kalle Grill Litet analytisk-filosofiskt manifest av Kalle Grill Den analytiska filosofin innehåller några av de bästa verktyg vi har för att förstå världen. Analys är sönderdelning, eller mer positivt uppdelning.

Läs mer

Matematikundervisningen har under

Matematikundervisningen har under bengt aspvall & eva pettersson Från datorernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematiken visa delar av datorns funktioner? Författarna visar hur man kan introducera

Läs mer

Med koppling till EmiWeb

Med koppling till EmiWeb Datavetenskap Opponent(er): Jonas Brolin Mikael Hedegren Respondent(er): David Jonsson Fredrik Larsson Webbaserad släktträdsmodul Med koppling till EmiWeb Oppositionsrapport, C/D-nivå 2005:xx 1 Sammanfattat

Läs mer

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv

Om ämnet Engelska. Bakgrund och motiv Om ämnet Engelska Bakgrund och motiv Ämnet engelska har gemensam uppbyggnad och struktur med ämnena moderna språk och svenskt teckenspråk för hörande. Dessa ämnen är strukturerade i ett system av språkfärdighetsnivåer,

Läs mer

UPPGIFT 1 EURO. Utdata: Två rader, som för indata ovan, ser ut som följer: Före resan: bank 1 Efter resan: bank 3

UPPGIFT 1 EURO. Utdata: Två rader, som för indata ovan, ser ut som följer: Före resan: bank 1 Efter resan: bank 3 UPPGIFT 1 EURO Harry ska åka till Portugal och behöver växla till sig 500 Euro från svenska kronor. När han kommer tillbaka från Portugal kommer han att ha 200 Euro över som han vill växla tillbaka till

Läs mer

ENGA01: Engelska grundkurs, 30 högskolepoäng Studiebeskrivning

ENGA01: Engelska grundkurs, 30 högskolepoäng Studiebeskrivning ENGA01: Engelska grundkurs, 30 högskolepoäng Studiebeskrivning Kursen består av följande delkurser vilka beskrivs nedan: Litteratur, 6 högskolepoäng Grammatik och översättning, 9 högskolepoäng Skriftlig

Läs mer

Lexikal semantik & Kognitiv semantik. Semantik: Föreläsning 2 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet

Lexikal semantik & Kognitiv semantik. Semantik: Föreläsning 2 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet Lexikal semantik & Kognitiv semantik Semantik: Föreläsning 2 Lingvistik: 729G08 HT 2012 IKK, Linköpings universitet 1 Dagens föreläsning Saeed 2009, kap.3, 11 Lexikal semantik Lexikala relationer Kognitiv

Läs mer

räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet

räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet räkna med vasa övningar att genomföra i vasamuseet lärarhandledning 2 (av 2) övningar att genomföra i vasamuseet Denna handledning riktar sig till läraren som i sin tur muntligt instruerar sina elever.

Läs mer

Kan utan tvekan säga att jag hade svårt för det här pusslet själv men med tiden så knäcker man koden och vet hur man skall lägga pusslet.

Kan utan tvekan säga att jag hade svårt för det här pusslet själv men med tiden så knäcker man koden och vet hur man skall lägga pusslet. Skapande skola Enligt grundskolans läroplan ska skolans elever fostras till medborgare som har en fri och kritisk analysförmåga. Skolans uppgift lär vara att förse dem med de kunskaper som de kan behöva.

Läs mer

Utveckling av simulator för ärendehanteringssystem

Utveckling av simulator för ärendehanteringssystem Datavetenskap Opponent(er): Emil Danielsson & Patrik Lundberg Respondent(er): Niclas Hanold & Samiar Saldjoghi Utveckling av simulator för ärendehanteringssystem Oppositionsrapport, C/D-nivå 2005:xx 1

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

10. Relativitetsteori Tid och Längd

10. Relativitetsteori Tid och Längd Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer