Första ordningens logik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Första ordningens logik"

Transkript

1 Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att ta del av en kopia av licensen besök följande by-nc-nd/3.0/deed.sv.

2 Förord Det finns ett stort antal introduktionsböcker till mer eller mindre formell logik. Det finns dock få sådana på svenska och det finns knappast någon introducerande text på svenska som tränger djupare in i ämnet. Det finns också få böcker, även på engelska, som presenterar de formella grunderna för första ordningens logik, utan att antingen förutsätta att läsaren är eller har varit matematikstuderande eller nöjer sig med en skissartad framställning av logik utöver elementär satslogik. Tanken är alltså att föreliggande text skall fylla ett tomrum; den förutsätter inga faktakunskaper över gymnasienivå och den presenterar på ett rigoröst sätt första ordningens logik, inklusive en del metateorem som Gödels fullständighetssats, kompakthetssatsen och Gödels ofullständighetssatser. Den tänkte läsaren kan ha sitt huvudintresse inom lingvistik, matematik, datavetenskap eller filosofi, eller ha ett allmänt intresse av en introduktion till formella språk och teoribildning. Texten har följande uppläggning: Efter ett inledande kapitel presenteras i kapitlen 2 och 3 grundläggande syntax för första ordningens logik, formalisering och en intuitiv semantik. Kapitlen 4 och 5 behandlar den formella semantiken, inklusive begreppen logisk sanning och logisk konsekvens, via Tarskis definition av satisfiering. I kapitel 6 introduceras ett formellt härledningssystem i form av ett naturligt deduktionssystem först introducerat av Benson Mates. Här presenteras också satslogiken som ett formellt system. I kapitel 7 bevisas Gödels fullständighetssats och kompakthetssatsen och begreppet avgörbarhet diskuteras. Kapitel 8 är ägnat åt andra logiker än första ordningens logik; dels i form av fragment till predikatlogiken, dels i form av utvidgningar av predikatlogiken och alternativa logiker. I kapitel 9 ges ett antal exempel på teorier formaliserade främst i första ordningens logik. I anslutning till exemplen diskuteras begrepp som fullständighet, avgörbarhet och axiomatiserbarhet. Bland annat ges här en ingående re-

3 ii Första ordningens logik dogörelse för Gödels ofullständighetssatser. Slutligen utgör kapitel 10 närmast ett appendix till den övriga texten i form av en kort introduktion till elementär mängdteori. Detta kapitel avslutas med en presentation av Zermelo-Fraenkels mängdteori ZFC. Bortsett från enstaka exempel och övningar krävs inga egentliga förkunskaper. Detta innebär å andra sidan inte att texten nödvändigtvis är lättillgänglig, även om jag parallellt med formella definitioner och bevis, informellt presenterar idéer och begrepp bland annat via ett stort antal exempel. Logik är ett synnerligen abstrakt ämne och kräver att varje nytt avsnitt studeras aktivt och med stor omsorg. Devisen Träning ger färdighet är i högsta grad relevant och kan här kompletteras med Färdighet ger insikt. Det är med andra ord viktigt att läsaren successivt ägnar tid åt de övningar som finns insprängda i texten och i separata övningsavsnitt. De få exempel eller övningar som kräver förkunskaper inom något område, det kan vara matematik, mängdlära eller lingvistik, är försedda med en asterisk och dessa kan man naturligtvis hoppa över utan att förståelsen av texten i övrigt blir lidande. Alla texter har en historia så även denna. Utgångspunkten för boken är ett kompendium i logik, det blå, författat av Björn Haglund och Dag Westerståhl i Göteborg för oändligt länge sedan. Detta skrevs sedan om av Christian Bennet, Björn Haglund och Dag Westerståhl och utökades väsentligt till ytterligare ett kompendium, det gula, i mitten av 1980-talet. I slutet av 1990-talet gjordes ännu en omarbetning, nu av Cecilia Sönströd. Och under alla dessa år har kompendierna troget tjänat som litteratur till inledningskurser i logik vid Göteborgs och Lunds universitet, för logikstudenter, datalingvister och systemvetare. Föreliggande bok är i sin tur en väsentligt omarbetad och utökad version av det gula kompendiet. Björn Haglund och Dag Westerståhl har alltså en stor del i förarbetet till den här boken och dem vill jag förstås tacka alldeles särskilt. Jag vill också rikta ett varmt tack till Åsa Wedberg, Martin Kaså och Jörgen Sjögren för hjälp med korrekturläsning och sund kritik, men också till Alan Turing, John von Neumann och Donald E. Knuth utan vars hjälp denna bok aldrig hade blivit skriven. I denna upplaga har rättelser införts i februari Tack Rasmus Blanck och tack Martin, igen. Tack också till anonyma studenter och kollegor som föreslagit rättelser av olika slag.

4 Innehåll Förord i Innehåll iii Kapitel 1: Inledning Kapitel 2: Grundläggande syntax : Basala syntaktiska kategorier : Fler kategorier : Övningar Kapitel 3: Formalisering : Atomära satser : Sanningsfunktionella operatorer : Kvantifikatoruttryck : Fler kvantifikatoruttryck : Övningar Kapitel 4: Grundläggande semantik : Lite mer syntax : Strukturer och sanningsvillkor : Satisfiering : Några metateorem Kapitel 5: Sanning och konsekvens : Definitionerna : Ytterligare några metateorem : Övningar Kapitel 6: Härledningar : Några första exempel : Satslogiken som formellt system : Predikatlogiken som formellt system : Övningar Kapitel 7: Metalogik : Uppvärmning

5 iv Första ordningens logik 7.2: Fullständighet : Kompakthet : Avgörbarhet Kapitel 8: Andra logiker : Monadisk logik : Nya kvantifikatoruttryck : Andra ordningens logik : Intensional logik : Intuitionistisk logik : Övningar Kapitel 9: Första ordningens teorier : Geometrier : Grupper : De komplexa talen : Elementär aritmetik Kapitel 10: Mängder : Naiv mängdteori och Russells paradox : Några grundläggande begrepp : Strukturerade mängder : Binära relationer : Om oändliga mängder : Mängdteorin som teori Tips och lösningar Vidare läsning Det grekiska alfabetet Index

6 1 Inledning Logik är studiet av formella språk, ungefär som lingvistik är studiet av naturliga språk. Med naturliga språk menar vi då språk som svenska eller japanska, medan formella språk kan vara dataspråk eller de formalismer i vilka matematik eller naturvetenskapliga teorier ofta uttrycks. Till skillnad från de naturliga språken har de formella språken en väldefinierad syntax och semantik. Detta innebär att det är välbestämt precis vilka uttryck som är meningsbärande, dvs vilka symbolsekvenser som tillhör språket, och vilken betydelse som tilldelas de olika språkliga uttrycken. Det senare sker via en formell sanningsdefinition som bland annat eliminerar vaghet och flertydighet. Det finns flera anledningar till att studiet av formella språk är intressant, men låt oss här bara helt kort illlustrera en sådan. En vetenskapsman som vill beskriva en del av verkligheten gör ofta det genom att formulera en teori. Exempelvis är Newtons mekanik en teori som är tänkt att beskriva kroppars rörelse i det fysiska universum. Med hjälp av teorin kan man besvara frågor av typen När inträffar nästa totala solförmörkelse i Göteborg? och kan alltså få veta saker som inte direkt kan observeras. Avsikten med en teori är att så bra som möjligt beskriva den del av världen som man för tillfället intresserar sig för, exempelvis för att kunna göra förutsägelser. Om vi kallar denna del av världen för V och teorin för T, vill vi att ett godtyckligt påstående φ skall följa ur teorin om och endast om φ är sann i V. Som vetenskapsfilosof, och kanske också som vetenskapsman, är det naturligtvis av intresse att i enskilda fall ta reda på om detta resultat har uppnåtts, eller om det ens kan uppnås. Givet V och T, vill vi alltså kunna svara på frågor som Är φ sann i V om och endast om φ följer ur T?. Ibland kanske vi, givet V, frågar oss om det överhuvudtaget finns en teori som beskriver V. Skall dessa frågor göras precisa, krävs förstås att de ingående begrep-

7 2 Första ordningens logik pen preciseras. Vi måste alltså definiera begrepp som följer ur, teori, påstående etcetera, något som i sin tur kräver att vi definierar vad ett formellt språk är. Utan att ännu gå in i detaljer, tänker vi oss att ett språk ges en väldefinierad syntax, dvs vi preciserar vilka symboler som får användas, hur uttryck och satser bildas etc. Vi definierar också en semantik för språket, dvs vi bestämmer exakt vad det innebär att en väldefinierad sats är sann i en väldefinierad värld eller struktur. Slutligen definierar vi vad det innebär att en sats φ följer ur en uppsättning premisser T. Tanken är här att φ följer ur T när φ är sann i varje struktur i vilken premisserna i T är sanna. Ett av de enklaste exemplen på ett formellt språk i den här meningen är satslogiken. Intressantare exempel är klassen av första ordningens språk, dvs de språk som används i de allra flesta matematiska och naturvetenskapliga discipliner, olika extensioner till dessa språk och olika så kallade intensionala språk, som modal satslogik eller tidslogik. En fördel med just första ordningens språk är att de har stor uttryckskraft kombinerat med att det finns en metod för att påvisa när en sats följer ur en viss teori. Denna metod är rent mekanisk till sin natur och benämns ofta att härleda eller att bevisa. Till klassen av första ordningens språk finns alltså ett begrepp härledning eller bevis. Kurt Gödel bevisade 1929 att ett system med bevisregler, som David Hilbert definierat, är fullständigt, dvs för första ordningens språk gäller att en sats följer ur en uppsättning premisser om och endast om satsen är härledbar ur samma premisser. Detta innebär bland annat att, om man vet vilka axiom man utgår från och man håller sig till första ordningens språk och en viss sats faktiskt följer ur premisserna så kan detta alltid påvisas genom att man hittar ett bevis för satsen. Matematikerns metod att försöka bevisa satser från givna antaganden är med andra ord heltäckande i den meningen att varje konsekvens faktiskt går att bevisa, åtminstone i princip. Därmed inte sagt att det är enkelt att hitta bevis. Tvärtom finns det många exempel i historien på problem som fått vänta länge på en lösning. Det senaste i raden är kanske att det tog flera hundra år att bevisa Fermats sats, att x n + y n = z n saknar heltalslösning för n > 2, trots att många matematiker försökte. Problemet härrör från 1630-talet men satsen bevisades först Ett annat sådant exempel är Goldbachs hypotes, att alla jämna tal större än 2 kan skrivas som summan av två primtal, som ännu ingen har lyckats bevisa. I det fallet vet man ännu inte heller om hypotesen verkligen är sann eller om den, även om den vore sann, följer ur de axiom man utgår från i talteorin. Längre fram i texten ger vi flera exempel på

8 1 Inledning 3 teorier formulerade i olika formella språk och på hur intressanta problem kan formuleras och lösas med hjälp av den formalism vi definierar. Av vad vi hittills sagt torde det framgå att begreppet logisk följd är ett i sammanhanget centralt begrepp. Detta begrepp är också intressant ur en något annan aspekt, nämligen när vi vill klassificera slutledningar. Ända sedan antiken har man inom retoriken intresserat sig för vad som utmärker övertygande argumentation. Steget är då inte långt till att försöka skilja ut logiskt bindande argumentation från argumentation som, även om den kanske kan vara övertygande, inte är bindande i en mer absolut mening. Betrakta exempelvis följande slutledningar: Om det regnar eller blåser så vantrivs humlorna Det regnar Alltså: Humlorna vantrivs Inget primtal är delbart med är ett primtal Alltså: 9373 är inte delbart med 57 De flesta människor tycker om musik Totte är en människa Alltså: Totte tycker om musik Alla skulle här hålla med om att de första två av dessa slutledningar är korrekta eller bindande i den meningen att det knappast går att bejaka premisserna utan att samtidigt bejaka slutsatsen. Detta gäller däremot inte den sista slutledningen; det kan mycket väl vara så att de flesta människor tycker om musik samtidigt som Totte, som är människa, inte tycker om musik. I själva verket är nästan alla människor synnerligen bra på att klassificera slutledningar, även betydligt mer komplexa sådana än de ovan, som korrekta respektive inkorrekta. Däremot är det inte helt enkelt att beskriva precis vilken egenskap hos en slutledning som gör den korrekt eller inkorrekt. Tittar vi på den mellersta slutledningen ovan, är det lätt att se att vissa saker inte är relevanta. Exempelvis är det inte relevant att veta om premisserna är sanna eller inte. Vi ser att slutledningen är korrekt utan att först behöva avgöra om 9373 är ett primtal eller ej, ja, utan att ens behöva fundera över vad ett primtal är eller vad det innebär att ett tal är delbart med ett annat. Det verkar alltså snarare vara den form slutledningen har, än betydelsen hos de ingående begreppen, som spelar roll för huruvida slutledningen är giltig. Å andra sidan är det förstås av betydelse vad exempelvis Inget i den första premissen betyder. Vi skulle känna igen samma form hos slutledningen

9 4 Första ordningens logik Ingen hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns men inte hos Någon hund tycker om Måns Pompe är en hund Alltså: Pompe tycker inte om Måns. Betydelsen hos vissa uttryck, som primtal, eller Måns, är alltså irrelevant i sammanhanget, medan betydelsen hos andra, som Ingen eller Någon, i högsta grad är relevant. Betraktar vi det första exemplet ovan är det igen klart att betydelsen hos uttryck som om... så och eller är relevant för om slutledningen är korrekt eller ej, medan det inte verkar spela någon roll vad exempelvis Det regnar eller Humlorna vantrivs betyder. Snarare är alla slutledningar på formen Om A eller B så C A Alltså: C i en intuitiv mening logiskt giltiga; det kan helt enkelt inte vara så att premisserna är sanna utan att slutsatsen också är sann. Ett sätt att bringa reda i precis vad vi menar med en slutlednings form ovan, är nu att översätta vårt naturliga språk till ett formellt språk, eller en logik, i vilken vi skiljer mellan logiska respektive ickelogiska symboler. Dessa begrepp kommer att definieras senare, men avsikten är att de logiska symbolerna är de uttryck vars betydelse bestäms i en sanningsdefinition, medan de ickelogiska symbolernas betydelse tillåts att variera från fall till fall inom ramen för en rent syntaktisk kategorisering. Vi kan till exempel införa två symboler och för eller och om... så samtidigt som vi låter A, B och C stå för vilka påståenden som helst och definiera en syntax som ger slutledningen ovan formen A B C A Alltså: C. Sedan kan vi definiera ett formellt begrepp logisk följd och bevisa att slutsatsen ovan formellt följer ur de två premisserna. Begreppet logisk följd blir då beroende av vilka uttryck vi väljer att betrakta som logiska och vilka vi väljer att betrakta som ickelogiska.

10 1 Inledning 5 I själva verket är det precis så vi skall gå till väga. Vi kommer att välja ut en naturlig uppsättning logiska begrepp och basera ett formellt språk, eller snarare en klass av sådana språk, på detta val. Dessa språk går under benämningen första ordningens språk eller predikatlogik. Som ett fragment av predikatlogiken urskiljer vi satslogiken som har färre logiska begrepp, men vi kommer också att ge exempel på extensioner till första ordningens logik med fler logiska begrepp. Dessutom kommer vi att ge exempel på andra typer av formella språk, exempelvis modallogik och intuitionistisk logik. Det säger sig självt att de begrepp vi inför måste ges språkliga definitioner, dvs att de definieras i termer av andra begrepp. Men den begreppshierarki som då uppstår måste på något sätt bottnas i en grundläggande, intuitivt klar begreppsapparat som inte i sin tur behöver någon ytterligare precisering. Det är då brukligt att låta mängdbegreppet spela rollen av sådant grundbegrepp. Även här kommer vi alltså ytterst att definiera alla begrepp inom en mängdteoretisk ram. Särskilt påtagligt blir detta när vi skall definiera semantiken för första ordningens språk, där begreppet godtycklig struktur spelar en central roll. En viss grundläggande mängdteoretisk begreppsapparat är också praktisk att använda när vi diskuterar exempelvis relationer och funktioner. Därför finns i slutet av boken ett särskilt kapitel som behandlar grundläggande mängdteori och som vi kommer att hänvisa till vid behov. Mängdteorin kommer också i ett avslutande avsnitt att användas som exempel på en formell första ordningens teori.

11 6 Första ordningens logik

12 2 Grundläggande syntax 2.1 Basala syntaktiska kategorier Att definiera ett språks syntax består till att börja med i att bestämma vilka symboler som får användas. Varje symbol är här av endera av tre typer: logiska symboler, ickelogiska symboler och markörer. Generellt kommer de logiska symbolerna att ges en fix betydelse med hjälp av en sanningsdefinition medan de ickelogiska symbolernas betydelse kan variera inom de gränser som bestäms av deras respektive syntaktiska kategori. Exempelvis kan vissa symboler bara beteckna objekt, andra bara relationer etc. Markörernas huvudsakliga roll är, med ett undantag, att öka läsbarheten hos formler. Informellt är det förstås ingenting som hindrar att man använder vilka symboler som helst inom respektive kategori, så länge man bara själv är klar över vilken formalism man väljer. Här skall vi dock, för varje syntaktisk kategori, bestämma en begränsad uppsättning tillåtna symboler, vilket i hög grad förenklar våra formella definitioner. Vi börjar med att räkna upp de ickelogiska symboler som kan förekomma i ett första ordningens språk: Satssymboler A 0, A 1, A 2,... Individkonstanter c 0, c 1, c 2,... Funktionssymboler f n 0, f n 1, f n 2,..., för varje heltal n > 0 Predikatsymboler P n 0, P n 1, P n 2,..., för varje heltal n > 0. Avsikten är att satssymboler svarar mot hela satser på svenska, individkonstanter svarar mot egennamn och betecknar alltså enskilda objekt, funktionssymboler betecknar funktioner och predikatsymboler betecknar

13 8 Första ordningens logik egenskaper och relationer. När det gäller funktions- och predikatsymboler har dessa en ställighet i form av ett heltal större än 0. Ställigheten hos en funktionssymbol svarar då mot ställigheten hos den funktion den betecknar, dvs antalet argument funktionen har, och ställigheten hos en predikatsymbol svarar mot ställigheten hos den relation den betecknar. Exempelvis är addition en tvåställig funktion, <-relationen är en tvåställig relation och relationen x ligger mellan y och z är en treställig relation. Egenskaper betraktas som enställiga relationer. Informellt kommer vi, när detta inte kan missförstås, också att använda andra symboler än de som är strikt formellt tillåtna. Om vi exempelvis skall beskriva de naturliga talen, 0, 1, 2,..., är det naturligt att använda vanliga matematiska symboler som +, och <, snarare än att introducera nya symboler som f 2 0, f 2 1 och P 2 5 för att beteckna addition, multiplikation och <-relationen. De logiska symboler som är tillåtna i första ordningens språk är följande: Syntaktisk kategori symbol tänkt betydelse Konnektiver negation: inte konjunktion: och, samt disjunktion: eller implikation: om... så... ekvivalens: om och endast om Kvantifikatorer { allkvantifikator: för alla existenskvantifikator: det finns Identitetssymbol = identitet Slutligen har vi tre sorters markörer: Individvariabler x 0, x 1, x 2,... Parenteser ), ( Kommatecken, Här är parenteser och kommatecken bara till för att strukturera våra formler så att läsbarheten ökar, medan variablerna har en central roll i kombination med kvantifikatorerna, något vi återkommer till så småningom. Lägg också märke till att, även om vi redan nu informellt

14 2 Grundläggande syntax 9 ger de olika symbolerna en betydelse, så är kategoriseringen ovan rent syntaktisk. Definition 1.1: Ett lexikon är en mängd av ickelogiska symboler. Ett lexikon är relationellt om det inte innehåller några funktionssymboler. Så småningom blir det nödvändigt att precisera mängdbegreppet, men här använder vi mängd synonymt med ord som uppsättning eller klass. Redan nu kommer vi dock att använda oss av vissa enkla beteckningar hämtade från mängdläran och hänvisar den läsare som så behöver till de första avsnitten i kapitel 10. Tanken är att vi väljer lexikon efter den del av verkligheten vi vill beskriva. Lexikonet kan då innehålla individkonstanter för de objekt vi vill benämna, predikatsymboler för de egenskaper och relationer vi är intresserade av och funktionssymboler för de funktionella samband vi vill kunna tala om. Eventuellt inkluderar vi också satssymboler i lexikonet om vi enkelt vill kunna beskriva vissa satslogiska samband. Detta lexikon bestämmer sedan, som vi strax kommer till, entydigt ett första ordningens språk. Observera alltså att alla första ordningens språk använder markörerna och de logiska symbolerna utan att dessa inkluderas i lexikonet. Generellt använder vi L, L, L 1 etc för att beteckna lexikon. Exempel 1.2: Antag att vi vill skapa en teori för att bedriva aritmetik, dvs vi vill ha ett språk i vilket vi kan uttrycka påståenden om de naturliga talen med avseende på storlek, addition, multiplikation osv. Vi kan då låta vårt lexikon vara L = {P0 2, f0 2, f1 2, c 0, c 1, c 2,...}, där P 0 skall beteckna <-relationen, f 0 addition, f 1 multiplikation och där varje c i skall beteckna talet i. En annan, och mer välbekant, variant är att vi i stället använder matematiska symboler, låter L = {<, +,, 0, 1, 2,...} och ger varje symbol sin vanliga betydelse. Övning 1.3: (a) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de olika relationer som råder mellan dig och dina släktingar. (b) Ange ett lämpligt lexikon för att beskriva de reella talen. 2.2 Fler kategorier Vi skall nu definiera ytterligare två syntaktiska kategorier: termer och formler. Särskilt i matematiska sammanhang är det vanligt att referera till enskilda tal med hjälp av komplexa uttryck som är uppbyggda med hjälp av siffror, dvs individkonstanter, och funktionssymboler: 3 (5 + 7),

15 10 Första ordningens logik (9+23) ((8 + 32) (7 + 29)), osv. Alla sådana uttryck kallas för termer och vi ger nu en generell syntaktisk definition av detta begrepp. Av skäl som kommer att framgå senare tillåter vi inte bara individkonstanter utan även individvariabler i termer. Definition 2.1: Givet ett lexikon L definierar vi mängden av L-termer enligt följande: (a) Alla individvariabler är L-termer (b) Alla individkonstanter i L är L-termer (c) Om t 1,..., t n är L-termer och f är en n-ställig funktionssymbol i L så är f(t 1,..., t n ) en L-term. Detta är ett exempel på en induktiv definition, något som vi kommer att använda oss av ett flertal gånger framöver. Till skillnad från en explicit definition där man direkt anger karaktäristikum för det begrepp som definieras, anger vi här hur mängden av termer byggs upp från enkla termer, angivna i (a) och (b) ovan, med hjälp av upprepade tillämpningar av en regel. Formellt går det att bevisa att definitionen ovan entydigt bestämmer en minsta mängd som innehåller alla individvariabler och alla individkonstanter i L och som är sluten under den regel som beskrivs i (c). Detta är mängden av alla L-termer. Exempel 2.2: Låt L = {f 1 0, f 3 5, c 3 }. Då är följande symbolsekvenser L- termer: c 3, x 0, f 0 (c 3 ), f 0 (f 0 (c 3 )), f 5 (x 3, f 0 (c 3 ), f 5 (x 3, f 0 (x 1 ), c 3 )). Exempel 2.3: Låt, åter med viss brist på formalism, L = {0, 1, 2, +, }. Låt oss vidare skriva (a + b) i stället för +(a, b) och a b i stället för (a, b). Då är följande välbekanta uttryck exempel på L-termer: (x 0 + 1), (x 0 + 1) (2 + (x 3 + 0)). När en funktionssymbol förekommer i en term är det klart att man kan utläsa vilken ställighet symbolen har. Vi kommer därför, närhelst detta inte ger upphov till flertydighet, att utelämna övre index på funktionssymboler. Vi kommer också att informellt använda oss av vanligt matematiskt språkbruk i analogi med exemplet ovan. Nu är vi redo att definiera begreppet L-formel. Tanken här är väsentligen att L-formler är de uttryck i våra formella språk som motsvarar påståenden eller villkor formulerade på svenska. Igen är definitionen induktiv:

16 Definition 2.4: Låt L vara ett godtyckligt lexikon. (1) Följande uttryck är atomära L-formler: (a) (b) (c) varje satssymbol i L t 1 = t 2, där t 1 och t 2 är L-termer 2 Grundläggande syntax 11 P (t 1,..., t n ), där P är en n-ställig predikatsymbol i L och t 1,..., t n är L-termer. (2) Vidare definieras L-formel enligt: (a) (b) (c) (d) Varje atomär L-formel är en L-formel Om φ är en L-formel så är φ en L-formel Om φ och ψ är L-formler så är följande uttryck L-formler: (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) Om φ är en L-formel och x en variabel så är xφ och xφ L-formler. Vi identifierar sedan formelmängder med språk, dvs ett första ordningens språk är mängden av L-formler för ett godtyckligt lexikon L. Än så länge har vi förstås bara definierat syntaxen för dessa språk. I nästa kapitel skall vi dock föregå den formellt definierade semantiken, som presenteras i kapitel 4, och ge uttryck i första ordningens språk en informell betydelse. 2.3 Övningar Övning 3.1: Låt L = {P 1 1, P 3 2, f 1 0, f 2 2, c 0, c 1, A 0, A 3 }. Avgör om följande uttryck är L-termer, L-formler eller ingetdera: (a) P(x 7 ) (e) (A 0 x 3 P2 3 (c 1, x 3, c 0 )) (b) P 3 2(c 0, c 0 ) (f) x 8 x 0 P3 3 (x 0, x 8, c 1 ) (c) P 3 2(c 0, c 0, f0 1 (c 1 )) (g) x 5 A 3 (d) f 2 2(f0 1 (c 1 ), f2 2 (c 1, f0 1 (c 0 ))) (h) (f 1 0(x 0 ) = c 1 f2 2 (x 0, c 1 )). Övning 3.2: Definitionen av ett lexikon L tillåter att L är tom. Vilka är då L-termerna respektive L-formlerna? I följande övning, liksom i resten av boken är omm en förkortning för om och endast om.

17 12 Första ordningens logik Övning 3.3: För den mängdteoretiska terminologin i den här övningen hänvisar vi till kapitel 10. Låt F ml L vara mängden av L-formler. Visa att (a) L L omm F ml L F ml L, (b) F ml L F ml L F ml L L (c) F ml L F ml L = F ml L L. (d) Kan likhet råda i (b)? *Övning 3.4: Ange, för ett fixt ändligt lexikon L, en kontextfri grammatik som genererar (a) Mängden av L-termer (b) Mängden av L-formler.

18 3 Formalisering Många satser i naturligt såväl som vetenskapligt språk kan översättas till första ordningens språk med lämpliga lexikon. Här ger vi exempel på hur detta går till och förklarar samtidigt informellt betydelsen hos de olika logiska symbolerna. Detta hjälper oss att hitta en logisk struktur i språket vid sidan av språkets grammatiska struktur. Det är sedan med hjälp av den logiska strukturen som vi definierar begrepp som logiskt giltig slutledning eller logiskt sann sats. Den formella sanningsdefinitionen sparar vi till kapitel 4. I stället för termen översättning använder vi här den i sammanhanget mer vanliga termen formalisering. Vi kommer också redan nu att genomgående slopa alla index på exempelvis predikat- och funktionssymboler, närhelst detta är möjligt. Vi kommer också att tillåta oss att använda andra symboler än de som formellt är tillåtna. Exempelvis använder vi c, d och e som individkonstanter, P, Q och R som predikatsymboler, f, g och h som funktionssymboler, A, B och C som satssymboler och x, y och z som variabler. Ibland sätter vi även index eller prim på dem. Däremot håller vi oss, när det gäller de logiska symbolerna, strikt till den angivna formalismen. 3.1 Atomära satser Enligt det sätt vi nu skall betrakta vårt naturliga språk, är de enklaste satserna, de atomära, de satser som saknar motsvarigheten till våra logiska symboler, förutom möjligen identitetssymbolen. Exempel på sådana satser är enkla subjekt-predikat-satser av typen (a) Pelle hostar (b) Lisa springer

19 14 Första ordningens logik (c) 2 är ett primtal. Men även satser som innehåller objekt kan vara logiskt atomära: (d) Pelle älskar Lisa (e) Olle är bror till Lisa (f) 7 > 3. Alla dessa satser kan, med lämpligt val av lexikon formaliseras med hjälp av atomära satser: (a*) P (c) (d*) R(c, d) (b*) Q(d) (e*) R (e, d) (c*) P (c 0 ) (f*) 7 > 3. Här betecknar c Pelle, d Lisa, e Olle, c 0 talet 2, P egenskapen att hosta, Q egenskapen att springa, P egenskapen att vara ett primtal, R relationen x älskar y och R relationen x är bror till y. I den sista formaliseringen har vi helt enkelt låtit de vanliga matematiska symbolerna ingå i vårt lexikon och betraktar (f*) som en förkortning av formeln > (7, 3). Observera att valet av ickelogiska symboler är godtyckligt, så länge vi håller oss inom rätt syntaktisk kategori. Det finns alltså inget formellt skäl att beteckna Lisa med samma individkonstant i (a*) och (d*), även om det kanske är praktiskt i vissa sammanhang. Valet av ickelogiska konstanter beror alltså helt av kontexten. Exempelvis är (c*) en lika korrekt formalisering av (a) som (a*) är och (f*) är en tillåten formalisering av (d). Det är oftast lätt att hitta lämpliga syntaktiska kategorier när man formaliserar, men det kan vara värt att påpeka att individkonstanterna inte alltid svarar mot egennamn, utan även andra uttryck kan användas på svenska för att benämna enskilda individer och ting. Betrakta satserna (g) Lisa ser Pelle i spegeln (h) Lisa ser sig i spegeln. Den första av dessa kan formalisera som (g*) R(c, d) där R är relationen x ser y i spegeln, c är Lisa och d är Pelle, och den andra formaliseras då rimligen (h*) R(c, c). Pronomen fungerar dock på flera olika sätt. Satsen

20 (i) Lisa slår sig 3 Formalisering 15 har sällan samma logiska form som (h), även om detta naturligtvis är möjligt i vissa kontexter, utan formaliseras naturligt med ett enställigt predikat: (i*) P (c). Funktionssymboler används sällan i allmänspråkliga sammanhang, men desto oftare i exempelvis matematisk text och det är också främst då som identitetssymbolen kommer till användning. Satser som = 11 eller 16 = 4 kan förstås mer eller mindre betraktas som formaliserade. Men också en sats som e π π 3 = sin π 3 + cos π 2 5 π 2 1 kan, utan alltför stort besvär, betraktas som en atomär formel i ett lämpligt första ordningens språk. Avslutningsvis poängterar vi bara att ett atomärt uttryck på svenska inte måste vara grammatiskt enkelt. Exempelvis kan satsen Vi anser nog att de flesta studenter som har läst så här långt rimligen bör ha kommit till slutsatsen att det är nödvändigt med många timmars färdighetsträning om man skall få en god förståelse för den grundläggande logiska strukturen hos ett naturligt språk. knappast formaliseras på annat sätt än med en satssymbol, A. Satsbokstäver kommer alltså väl till pass när man inte kan, eller vill, hitta en lämplig inre struktur hos de satser man formaliserar. Övning 1.1: Formalisera följande satser med hjälp av lämpliga lexikon. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Det regnar Lisa åker tåg från Göteborg till Oslo Pompe skäller på Måns Ingen skäller på Måns Pompe skäller på brevbäraren Göteborg ligger mellan Lund och Oslo Lisa är gift med Olle

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

Logik och modaliteter

Logik och modaliteter Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.

Läs mer

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Logik: sanning, konsekvens, bevis Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax

Läs mer

En introduktion till logik

En introduktion till logik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 3)

Semantik och pragmatik (Serie 3) Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom

Läs mer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas: FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I. v. 2.0, den 24/4 2013 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar I v. 2.0, den 24/4 2013 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet är

Läs mer

Logik en introduktion. Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl

Logik en introduktion. Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl Logik en introduktion Christian Bennet Björn Haglund Dag Westerståhl 1980 Innehåll I Satslogik 3 1 Inledning till satslogiken 4 A Satser...................................... 4 B Satsoperationer.................................

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

Logik och bevisteknik lite extra teori

Logik och bevisteknik lite extra teori Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar

Läs mer

Tal till Solomon Feferman

Tal till Solomon Feferman Ur: Filosofisk tidskrift, 2004, nr 1. Dag Westerståhl Tal till Solomon Feferman (Nedanstående text utgör det tal som Dag Westerståhl höll på Musikaliska Akademien i oktober 2003, i samband med att Feferman

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Något om logik och logisk semantik

Något om logik och logisk semantik UPPSALA UNIVERSITET Semantik och pragmatik (HT 08) Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv08/sempht/ Något om logik och logisk semantik 1 Språk och sanning

Läs mer

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och KTH Matematik B.Ek SF1642 LOGIK för D och IT, övningarna vt08 Exempel från gamla tentor (i 5B1928) Ö1, kungar och narrar 23.5-01:1a) Det är marknadsdag på Knarrön och många invånare från den närbelägna

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

Generellt kan vi säga att för att vi ska värdera ett argument som bra bör det uppfylla åtminstone följande kriterier:

Generellt kan vi säga att för att vi ska värdera ett argument som bra bör det uppfylla åtminstone följande kriterier: FTEA12:2 Föreläsning 3 Att värdera en argumentation I: Vad vi hittills har gjort: beaktat argumentet ur ett mer formellt perspektiv. Vi har funnit att ett argument kan vara deduktivt eller induktivt, att

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II TEA12:2 ilosofisk Metod Grundläggande argumentationsanalys II Dagens upplägg 1. Kort repetition. 2. Logisk styrka: några intressanta specialfall. 3. ormalisering: översättning från naturligt språk till

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.

I kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman

Läs mer

Semantik och pragmatik (serie 5)

Semantik och pragmatik (serie 5) Semantik och pragmatik (serie 5) (Predikat)logik Mängdlära överkurs (och repetition för en del). Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 41 Korsning av två egenskaper E 1

Läs mer

9. Predikatlogik och mängdlära

9. Predikatlogik och mängdlära Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik

Läs mer

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik? DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik

Läs mer

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v , den 24/ Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar v. 2.1.1, den 24/11 2014 Om detta kompendium: Filosofiska institutionen, Lunds Universitet staffan.angere@fil.lu.se Förberedande Det här kompendiet

Läs mer

Kompositionell semantik och λ-kalkyl

Kompositionell semantik och λ-kalkyl UPPALA UIVERITET http://stp.ling.uu.se/~matsd/uv/uv05/ads1/ Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf mats.dahllof@lingfil.uu.se Algoritmer för datorlingvistisk semantik I, Föreläsningsanteckningar,

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna

Läs mer

3 Relationer och funktioner

3 Relationer och funktioner UPPSALA UNIVERSITET Föreläsningsanteckningar Institutionen för lingvistik och filologi Grundläggande datalogi II Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/~matsd/uv/uv04/gd2/ Augusti 2004 3 Relationer och funktioner

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar

Läs mer

Logik och semantik. Mats Dahllöf, Plan. Semantik och pragmatik

Logik och semantik. Mats Dahllöf, Plan. Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik Logik och semantik Mats Dahllöf, 2005-05-20. Plan Sanning och logik. Logik i lexikala begreppssystem. Logik i satsinnehåll. Aristotelisk logik. (En enkel typ av formalisering. För

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Föreläsningar. Gruppövning, grupp A: Måndag 26/ sal 318 Gruppövning, grupp B: Måndag 26/ sal 318

Föreläsningar. Gruppövning, grupp A: Måndag 26/ sal 318 Gruppövning, grupp B: Måndag 26/ sal 318 Föreläsningar 1. Onsdag 14/11 13-15 sal 203 2. Torsdag 15/11 13-15 sal 203 3. Måndag 19/11 13-15 sal 203 4. Tisdag 20/11 13-15 sal 203 5. Onsdag 21/11 13-15 sal 203 6. Torsdag 22/11 13-15 sal 203 Gruppövning,

Läs mer

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Rekonstruktion av argument

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Rekonstruktion av argument Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05 Rekonstruktion av argument Utvärdering av definitioner Problem (generella) Cirkularitet (definiendum ingår i definiens) (i) Direkt cirkularitet Exempel: Frihet är rätten

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

4 Något om logik och semantik

4 Något om logik och semantik Mats Dahllöf. http://stp.lingfil.uu.se/ matsd/uv/uv09/sempht/ 4 Något om logik och semantik Att kunna ett språk innebär att man begriper skillnaden mellan sanna och falska yttranden. Det innebär givetvis

Läs mer

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann

Mängder. 1 Mängder. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Grundläggande begrepp. 1.2 Beskrivningar av mängder. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 Diskret matematik handlar om diskreta strukturer. I denna lektion kommer vi att behandla den mest elementära diskreta strukturen, som alla andra diskreta strukturer bygger på: mängden.

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Anteckningar om logik och semantik

Anteckningar om logik och semantik UPPSALA UNIVERSITET Semantik och pragmatik (VT 2012) Institutionen för lingvistik och filologi Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv12/semp/ Anteckningar om logik och semantik 1 Inledning 1.1

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR 8: Repetition TRE CENTRALA BEGREPP (i) Sanning: en egenskap som tillkommer utsagor, inte slutledningar. (ii) Logisk styrka: en egenskap som tillkommer slutledningar, inte

Läs mer

Introduktion till logik

Introduktion till logik Introduktion till logik Av Johan Johansson Johan.johansson@guldstadsgymnasiet.se Logik sägs som många andra saker komma från de grekiska filosoferna, och ordet kommer också därifrån. Grekerna kallade det

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 6 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv13/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2013 Tillämpningar av semantik allmänt Analys av grammatik:

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen?

7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen? FTEA12:2 Föreläsning 4 Att värdera en argumentation II Inledning Förra gången konstaterade vi att argumentationsutvärdering involverar flera olika steg. Den som ska värdera en argumentation behöver åtminstone

Läs mer

Malmö högskola 2012/2013 Teknik och samhälle

Malmö högskola 2012/2013 Teknik och samhälle Laboration 6 Till pseudokoduppgifterna och aktivitetsdiagrammen ges inga direkta lösningar då dessa går att göra på så väldigt många olika sätt. Pseudokod Skriv pseudokod för följande problem Åka tåg Du

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Grundläggande semantik II

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Grundläggande semantik II Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05 Grundläggande semantik II Deskriptiv vs. värderande/känslomässig mening Ords betydelser kan ha både deskriptiva och värderande/känslomässiga komponenter. Det blir tydligt

Läs mer

Kunskap. Evidens och argument. Kunskap. Goda skäl. Goda skäl. Två typer av argument a) deduktiva. b) induktiva

Kunskap. Evidens och argument. Kunskap. Goda skäl. Goda skäl. Två typer av argument a) deduktiva. b) induktiva Kunskap Evidens och argument Sören Häggqvist Stockholms universitet Den s k klassiska definitionen: Kunskap är sann, välgrundad tro. Ekvivalent: S vet att p om och endast om p S tror att p S har goda skäl

Läs mer

8 MODAL SATSLOGIK. omöjligt - inte omöjligt. tänkbart - inte tänkbart

8 MODAL SATSLOGIK. omöjligt - inte omöjligt. tänkbart - inte tänkbart 8 MODAL SATSLOGIK 8.1 BEGREPPEN MÖJLIG OCH NÖDVÄNDIG Att det finns en skillnad mellan att ett påstående är möjligen sant, sant och nödvändigtvis sant är uppenbart. Det är möjligen sant att Aristoteles

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 12: Logikprogrammering Henrik Björklund Umeå universitet 16. oktober, 2014 Prolog Prolog har två klasser av formler. Atomära formler: country(sweden, 9000000).

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström 1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall

Läs mer

Moralfilosofi. Föreläsning 5

Moralfilosofi. Föreläsning 5 Moralfilosofi Föreläsning 5 Naturalism Naturalism Form av kognitivism Naturalismen säger att värdesatser är påståenden om empiriska fakta Värdeomdömen kan (i princip) testas empiriskt och vara sanna eller

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Quine. Det förekommer två versioner av kritiken mot analyticitet i Quines artikel.

Quine. Det förekommer två versioner av kritiken mot analyticitet i Quines artikel. Quine Den intuitiva betydelsen av analytiskt sann sats är sats som är sann enbart i kraft av sin mening. Dessa brukar ställas mot syntetiskt sanna satser som är sanna inte enbart som ett resultat av vad

Läs mer

7. FORMELL SATSLOGIK (SL)

7. FORMELL SATSLOGIK (SL) 7. FORMELL SATSLOGIK (SL) 7.1 VEM BEHÖVER FORMELL LOGIK? Ingen använder formell logik i det dagliga livet. Den logik vi använder, den naturliga eller intuitiva logiken, är, som vi sett, varierande och

Läs mer

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande

Vad är semantik? LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN. Språkteknologi semantik. Frågesbesvarande LITE OM SEMANTIK I DATORLINGVISTIKEN (FORMELL SEMANTIK) Vad är semantik? Form (abstrakt struktur): grammatik Innehåll (betydelse): semantik Användning: pragmatik/diskurs Mats Dahllöf Språkteknologisk motivation

Läs mer

729G11 Artificiell Intelligens Marcus Johansson Marjo581. Fuzzy logic. Marcus Johansson Marjo581

729G11 Artificiell Intelligens Marcus Johansson Marjo581. Fuzzy logic. Marcus Johansson Marjo581 Fuzzy logic 880328-2535 Innehåll Fuzzy logic... 1 1. Inledning... 4 2. Jämförelse mellan fuzzy logic och tvåvärdeslogik.... 4 3. Fuzzy sets.... 4 4. Linvistiska variabler... 5 5. Operatorer... 5 6. If-

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Utvärdering av argument

Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05. Utvärdering av argument Kritiskt tänkande HTXF04:3 FTEB05 Utvärdering av argument Utvärdering av argument Två allmänna strategier Felslutsmetoden: Man försöker hitta felslut, formella och informella, från en lista över vanliga

Läs mer