*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW
|
|
- Ingvar Jonasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 *USS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW 8SSJLIW Här kommer några teoretiska frågor, skriv svaren med egna ord, dvs skriv inte av ohbilderna: a. Vad är en beslutsprocedur? En algoritm som terminerar och som svarar ja eller nej på frågan om en formel A till hör en klass av formler. b. Är följande en beslutsprocedur för validitet i predikatlogiken 1. Linjär resolution. 2. Input resolution. 3. SLD-resolution. 4. Set-of-support resolution. 5. Svarsextraktion. 6. Sanningstabeller 7. mgu-unifierings-algoritmen. 1-5 bygger på resolution som inte är en beslutsprocedur i predikatlogik. Sanningstabeller kan man inte göra i predikatlogik och mgu-algoritmen avgör inte om formler är valida eller ej. c. Är de 7 procedurerna i uppgift 1b fullständiga, sunda? Inputresolution är inte fullständig. 5 beror på vilken resolution som används. 6 är sunt och fullständigt för satslogik. Ej tillämpbart på 7 d. Ge några nackdelar med resolution (minst 4). Kan ta lång tid att exekvera En klausul kan skapas fler änen gång Logisk svagare klausuler kan skapas Återvändsgränder, dvs klausuler som inte leder någonstans kan skapas. 8SSJLIW Antag att vi låter klausulen p q r kollidera med klausulen p z. Visa för exemplet att om de ursprungliga klausulerna var satisfierbara så blir resultatet av kollisionen satisfierbart. (generella resolutionsregeln för satslogik). C1 = p q r och C2 = p z samt resolventen C = q r z Vi vet att v(c1) = v(c2) = T för en tolkning v och vill visa att v(c) = T. 2 fall: v(p) = T I så fall är v( p) = F och detta innebär att v(q r) = T för att v(c1) = T eftersom q r är en del av C så är även v(c) = T. v(p) = F Detta innebär att v(z) = T för att v(c2) = T eftersom z är en del av C så är även v(c) = T.
2 8SSJLIW Undersök om följande stämmer genom att använda en semantisk tablå: a. = (p p) (q q) Kolla först validitet genom att negera formeln Tablån stängd. Formeln valid. b. = ( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) Negera formel för att kolla validitet [( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] ( xp(x) xq(x)), x(p(x) q(x)) xp(x), xq(x), x(p(x) q(x)) xp(x), xq(x), (p(a) q(a)) [(p p) (q q)] (p p), (q q) p, p, (q q) [( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] [ x(p(x) q(x)) ( xp(x) xq(x))] x(p(x) q(x)), xp(x) xp(x), xq(x), p(a) xp(x), xq(x), q(a) xp(x), p(a) xq(x), p(a) Formel valid. x(p(x) q(x)), ( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x)), p(b) x(p(x) q(x)), xq(x) x(p(x) q(x)), q(c) x(p(x) q(x)), p(b) q(b), p(b) x(p(x) q(x)), p(c) q(c), q(c) xp(x), xq(x), q(a), q(a) x(p(x) q(x)), p(b), q(b), p(b) x(p(x) q(x)), p(c), q(c), q(c)
3 c. = x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) Negera formeln och kolla validitet A = x(p(x) q(x)), B = x(p(x) xq(x)) [ x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x))] [ x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x))] [ x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] x(p(x) q(x)), x(p(x) xq(x)) x(p(x) xq(x)), x(p(x) q(x)) A, B, (p(a) xq(x)) p(b) xq(x), x(p(x) q(x)) A, B, p(a), xq(x) p(b) xq(x), (p(c) q(c)) A, B, p(a), xq(x), q(a) p(b) xq(x), p(c), q(c) A, p(a) q(a), B, p(a), xq(x), q(a) p(b), p(c), q(c) xq(x), p(c), q(c) O A, p(a), B, p(a), xq(x), q(a) A, q(a), B, p(a), xq(x), q(a) q(d), p(c), q(c) O Formeln inte valid eftersom det finns öppna löv. Kolla om motsägelse A = x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) B = x(p(x) q(x)) C = x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) q(x)), A x(p(x) xq(x)), A (p(a) q(a)), A p(b) xq(x), A p(a), q(a), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) p(b), A xq(x), A p(a), q(a), x(p(x) xq(x)) p(a), q(a), x(p(x) q(x)) p(a), q(a), C, (p(a) xq(x)) p(a), q(a), B, p(a) q(a) p(a), q(a), C, xq(x)) p(a), q(a), B, p(a) p(a), q(a), B, q(a) p(a), q(a), C, xq(x)), q(a)
4 p(b), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) p(b), x(p(x) xq(x)) p(b), x(p(x) q(x)) p(b), C, (p(b) xq(x)) p(b), B, p(b) q(b) p(b), C, p(b), xq(x) p(b), B p(b), B, q(b) oändlig oändlig xq(x), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) q(c), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) q(c), x(p(x) xq(x)) q(c), x(p(x) q(x)) q(c), C, (p(c) xq(x)) q(c), B, p(c) q(c) q(c), C, p(c), xq(x) q(c), B, p(c) q(c), B q(c), C, p(c), xq(x), q(c) oändlig oändlig Vi får oändliga grenar. Vi hittar ingen gren som är öppen och kan därför inte avgöra om formeln är satisfierbar eller ej. d. Eftersom det finns en variabel x som ej binds, är ej formeln en wff och har därmed ej något sanningsvärde överhuvudtaget. e. Ge motexempel på de fall i a-d som inte är valida. Den enda vi vet säkert inte är valid är c) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) Domän = alla människor p(x) x har en fru, q(x) x är en kvinna. Tittar vi på x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) får vi: x(p(x) q(x)) För alla människor gäller att om x har en fru så är x en kvinna. Detta är falskt men hela implikationen blir sann. Då måste även x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) vara sann för att formeln ska gälla. x(p(x) xq(x)) Det finns minst en person som om denne har en fru så är denne en kvinna. Alltså sant. Men x(p(x) q(x)) är falskt då har vi T F en falsk implikation och då gäller inte formeln.
5 f. Vad skulle det göra för skillnad om man bytte = mot? Semantiska tablåer tittar på tolkningar och är därmed en semantisk metod. - betyder att man ska kunna bevisa något syntaktiskt utan att tänka på tolkningar. Då kan inte semantiska tablåer användas. Men man kan invända att semanstiska tablåer kan ses som en syntaktisk metod eftersom vi aldrig direkt ser på formler utan omvandlar enligt formelmönster. Vi vet också att semantiska tablåer är sunda och fullständiga dvs - A = A och = A - A så därför skulle man kunna använda tablåerna och sedan hänvisa till detta och dra slutsatser ändå. 8SSJLIW Gäller följande uttryck? a. x y p(x, y) x q(x, x,) x y(p(x,y) q(x,y)) = x y (x = y) A1 x y p(x, y) p(a, y) p(a, b) A2 x q(x, x,) A3 q(x1, x1) x y(p(x,y) q(x,y)) x y( p(x,y) q(x,y)) p(x2,y2) q(x2,y2) A x y (x = y) x y(x = y) (x3 = y3) OK! 1. p(a, b) 2. q(x1, x1) 3. p(x2,y2) q(x2,y2) 4. (x3 = y3) 5. p(x1, x1) {x2/x1, y2/x1} 2 och 3 6. p(y3, x1) {x3/x1} PM 4 och 5 (byter medvetet bara den ena!) 7. [] {y3/a, x1/b} 1 och 6
6 b. x y(p(x,y) p(y, x)) = x y(p(x,y) (x=y)) A1 x y(p(x,y) p(y, x)) x y( p(x,y) p(y, x)) p(x1,y1) p(y1, x1) A x y(p(x,y) (x=y)) x y ( p(x,y) (x=y)) x y(p(x,y) (x=y)) y(p(a, y) (a=y)) p(a, b) (a = b) 1. p(x1,y1) p(y1, x1) 2. p(a, b) 3. (a = b) 4. p(b, a) {x1/a, y1/b} 1 och 2 5. p(a, a) PM 3 och 4 6. p(a, b) PM 3 och 5 7. [] 2 och 7 c. x yp(y,x) x y z((p(x,y) p(x,z) y = z) = x yp(x,y) A1 x yp(y,x) x p(f(x), x) A2 x y z((p(x,y) p(x,z) y = z) x y z(( p(x,y) p(x,z) y = z) A x yp(x,y) x y p(a, y) y p(a, b) 1. p(f(x1), x1) 2. p(x2, y2) p(x2,z2) y2 = z2 3. p(a, b) 4. p(f(x1),z2) x1 = z2 {x2/f(x1), y2/x1} 1 och 2 5. Ny 1: p(f(x3), x3) 6. x3 = x3 {x1/x3, z2/x3} 5 och 4 Man kan fortsätta ett tag till men inte hitta tomma klausulen
7 8SSJLIW a. Uttryck följande i predikatlogik: En man i staden rakar alla och enbart de som inte rakar sig själva. Antag att domänen är alla män i staden. (Då slipper man ett predikat man(x) ) rakar(x, y) = x rakar y Låt mannen vara en konstant a x([rakar(a, x) \/ rakar(x, x)] /\ [rakar(x, x) rakar(a, x)]) (1) b. Använd valfri metod för att undersöka vem som rakar mannen. (OBS: Alla blir alltså rakade i den här staden.) Vi gör om (1) till PCNF: Vi får då: x([rakar(a, x) \/ rakar(x, x)] /\ [ rakar(x, x) \/ rakar(a, x)]) Vi vet också att antingen rakar han sig själv eller också gör någon annan det. rakar(a,a) \/ x rakar(x,a) Efter skolemisering får vi: rakar(a,a) \/ rakar(b,a) Finns det någon som rakar barberaren? d.v.s. x rakar(x, a) (2) negering av slutsats ger: x rakar(x,a) Vi undersöker om (1) -> (2) är satisfierbart eller motsägelse genom resolution. 1. rakar(a, x1) \/ rakar(x1, x1) 2. rakar(x2, x2) \/ rakar(a, x2) 3. rakar(x3,a) 4. rakar(a,a) \/ rakar(b,a) 5. rakar(a,a) \/ -rakar(a,a) 1,2{x2/a, x1/a} 6. -rakar(a,a) 5,3{x3/a} 7. rakar(b,a) 7,3{x3/b} 8. [] tomma klausulen!! Ovanstående innebär att det inte finns någon som rakar barberaren, men eftersom alla skulle rakas i staden är detta en paradox!! c.en gåta lyder som följer: En man ser på en tavla föreställande en person. Han utbrister, hans far är min fars enda son. Använd svarsextraktion för att utröna vem som var far till personen på tavlan.
8 Vad har vi för fakta? För enkelhetens skull har vi en domän där alla fäder har bara en son Om x är far till y så är y son till x. x y([far(x, y) son(y, x)] [son(y, x) far(x, y)]) Personen på tavlan kallar vi för TP (TavlanPerson), personer framför tavlan för FTP (FramförTavlanPerson). FTP säger hans far är min fars enda son dvs, FTP säger TPs far är FTPs fars enda son eller i logik: far(x, TP) far(y, FTP) son(x, y) Vem är far till personen på tavlan? x far(x, TP) Klausuler 1. far(x1, y1) son(y1, x1) 2. son(y2, x2) far(x2, y2) 3. far(x3, TP) 4. far(y4, FTP) 5. son(x5, y) 6. far(x6, TP) (Finns en uppenbar lösning, undviker den ) 7. son(tp, x2) 2 och 6 {x6/x2, y2/tp} 8. [] 5 och 7 {x5/tp, x2/ftp} Svarsextraktion: 9. far(x1, y1) son(y1, x1) 10. son(y2, x2) far(x2, y2) 11. far(x3, TP) 12. far(y4, FTP) 13. son(x5, y) 14. far(x6, TP) ans(x6) 15. son(tp, x2) ans(x2) 2 och 6 {x6/x2, y2/tp} 16. ans(ftp) 5 och 7 {x5/tp, x2/ftp} Aha det är personen framför tavlan som är far till personen på tavlan!!
9 8SSJLIW Tony, Shi-Kuo och Ellen är medlemmar i Hoofers Club. Varje medlem av Hoofers Club är antingen en skidåkare eller en bergsbestigare eller bägge. Inga bergsbestigare gillar regn och alla skidåkare gillar snö. Ellen ogillar det som Tony gillar och hon gillar det som Tony ogillar. Tony gillar regn och snö. Finns det en medlem av Hoofers Club som är en bergsbestigare men inte en skidåkare? Predikat: medlem(x) x är med i Hoofers Club, skidåkare(x) x är skidåkare, bestigare(x) x är bergsbestigare, gillar(x, y) x gillar y Fakta: Tony, Shi-Kuo och Ellen är medlemmar i Hoofers Club. medlem(tony) medlem(shi-kuo) medlem(ellen) Varje medlem av Hoofers Club är antingen en skidåkare eller en bergsbestigare eller bägge. x(medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) Inga bergsbestigare gillar regn och alla skidåkare gillar snö. x(bestigare(x) gillar(x, regn)) x(skidåkare(x) gillar(x, snö)) Ellen ogillar det som Tony gillar och hon gillar det som Tony ogillar. x(gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) x( gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) Tony gillar regn och snö. gillar(tony, regn) gillar(tony, snö) Frågan: Finns det en medlem av Hoofers Club som är en bergsbestigare men inte en skidåkare? x(medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) Gör om till klausulform medlem(tony) medlem(shi-kuo) medlem(ellen) { medlem(tony), medlem(shi-kuo), medlem(ellen) } x(medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) x( medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) { medlem (x1) skidåkare(x1) bestigare(x1)} x(bestigare(x) gillar(x, regn)) { bestigare(x2) gillar(x2, regn)}
10 x(skidåkare(x) gillar(x, snö)) { skidåkare(x3) gillar(x3, snö)} x(gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) { gillar(tony, x4) gillar(ellen, x4)} x( gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) {gillar(tony, x5) gillar(ellen, x5)} gillar(tony, regn) gillar(tony, snö) {gillar(tony, regn), gillar(tony, snö)} Frågan negeras! x(medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) x( medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) { medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6)} Resolvera! 1. medlem(tony) 2. medlem(shi-kuo) 3. medlem(ellen) 4. medlem(x1) skidåkare(x1) bestigare(x1) 5. bestigare(x2) gillar(x2, regn) 6. skidåkare(x3) gillar(x3, snö) 7. gillar(tony, x4) gillar(ellen, x4) 8. gillar(tony, x5) gillar(ellen, x5) 9. gillar(tony, regn) 10. gillar(tony, snö) 11. medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6) 12. medlem(x6) skidåkare(x6) {x1/x6} 4 och medlem(x6) gillar(x6, snö) {x3/x6}6 och medlem(ellen) gillar(tony, snö) {x6/ellen, x4/snö} 7 och gillar(tony, snö) 3 och [] 10 och 15 Jo det finns en sådan medlem! Svarsextraktion ger vilken: 1. medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6) ans(x6) 2. medlem(x6) skidåkare(x6) ans(x6) {x1/x6} 4 och medlem(x6) gillar(x6, snö) ans(x6) {x3/x6}6 och medlem(ellen) gillar(tony, snö) ans(ellen) {x6/ellen, x4/snö} 7 och gillar(tony, snö) ans(ellen) 3 och ans(ellen) 10 och 15 Ellen är det!
11
Föreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar
Föreläsning 8 Logik med tillämpningar 000413 Innehåll Lite mer om värderingar och tolkningar Semantiska tablåer i predikatlogiken Kapitel 3.5 Satisfierbarhet hos en formel En formel A är satisfierbar om
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst
Läs merLogik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren
Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För
Läs merInnehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar
Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merPredikatlogik: Normalformer. Klas Markström
1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall
Läs merp /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 12: Logikprogrammering Henrik Björklund Umeå universitet 16. oktober, 2014 Prolog Prolog har två klasser av formler. Atomära formler: country(sweden, 9000000).
Läs merNormalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler
Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 7: SAT-lösare Henrik Björklund Umeå universitet 29. september, 2014 SAT En instans av SAT är en mängd av mängder av literaler. Exempel: {{p, q, r}, {p, q, s},
Läs merFÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Läs merLektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler
Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Till denna lektion hör uppgift 2, 6 och 0 i lärobokens avsnitt.6 (sid. 255). Lös uppgift 2 genom att konstruera en semantisk tablå. Följande
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merInnehåll. Föreläsning 4-5. Logiska system. Alfabet. Calculus. Well-formed formulas. Vanliga termer i logik Satslogik. Första ordningens predikatlogik
Innehåll Föreläsning 4-5 Logik med tillämpningar 010220 Vanliga termer i logik Satslogik syntax och semantik beslutsprocedurer Första ordningens predikatlogik syntax och semantik Kapitel 3-5: Topic 8-11
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta
Läs merAvslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?
Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna
Läs merK3 Om andra ordningens predikatlogik
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket
Läs merFÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är
Läs merUtsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2
Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion
Läs merDatorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella
Läs merEn introduktion till predikatlogik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm HT15
DD1361 Programmeringsparadigm HT15 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Innehåll Logikprogrammering Kontrollflöde Unifiering Backtracking Negation Snitt Induktiva datatyper och rekursion Inbyggda datatyper:
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm HT16
DD1361 Programmeringsparadigm HT16 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Delkursinnehåll Logikprogrammering Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde Unifiering, Backtracking, Snitt Negation Induktiva
Läs merTentamen i logik 729G06 Programmering och logik
Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna
Läs merDD1350 Logik för dataloger
DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.
Läs merLogik och bevisteknik lite extra teori
Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.
Läs merDD1361 Programmeringsparadigm HT17
DD1361 Programmeringsparadigm HT17 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, KTH Delkursinnehåll Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde: Unifiering, Backtracking, Snitt Induktiva datatyper och rekursion
Läs merSatslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)
Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merFormell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte
Läs merMS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I
MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser
Läs merFlera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R
Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.
Läs merLogik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013
Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera
Läs merLogisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1
Läs merVad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system
Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets
Läs merEn introduktion till logik
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument
Läs merFöreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori
Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs mer729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-12-09 Sal (1) TER1 Tid 14-18 Kurskod 729G06 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal
Läs mer:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och
KTH Matematik B.Ek SF1642 LOGIK för D och IT, övningarna vt08 Exempel från gamla tentor (i 5B1928) Ö1, kungar och narrar 23.5-01:1a) Det är marknadsdag på Knarrön och många invånare från den närbelägna
Läs merBooleska variabler och översättning mellan programuttryck och booleska variabler
Vad är Boolesk algebra Lite förenklat kan man säga att Boolesk algebra är räkneregler konstruerade av den engelske matematikern Gerge Boole för att kunna räkna med logiska uttryck. I den booleska algebran
Läs merF. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik
F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras
Läs merDetta är ett ofärdigt utdrag ur ovanstående text. Vänligen sprid inte!
Filosofiska institutionen Göteborgs universitet UTKAST Resolution, unifiering och syntaktiska modeller En introduktion till logikprogrammeringens teori Björn Haglund Detta är ett ofärdigt utdrag ur ovanstående
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merSats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena
Läs merInduktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen
Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merFUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087
FUZZY LOGIC 900223-1554 Innehållsförteckning INLEDNING...2 HUR DET FUNGERAR...3 Crisp Sets och Fuzzy Sets...3 Operatorer...5 IF THEN regler...7 FUZZY INFERENCE...7 Fuzzification...8 Regelsättning...8
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs merBakgrund. Bakgrund. Bakgrund. Håkan Jonsson Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige
Är varje påstående som kan formuleras matematiskt*) alltid antingen sant eller falskt? *) Inom Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige Exempel: 12 = 13 nej, falskt n! >
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merFTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I
FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:
Läs merde var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva.
OBS! För flervalsfrågorna gäller att flera alternativ eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervalsfrågorna kan man bara ha rätt eller fel, dvs frågan måste vara helt korrekt besvarad. Totalt kan
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General
Läs merInnehåll. Föreläsning Ett exempel. Svarsextraktion. Träden i läsematerialet
Innehåll Föreläsning 13-14 ÿsvarsextraktion ÿsundhet och fullständighet för resolution i redikatlogiken. Logik med tillämningar 02-03-12 och 02-03-14 ÿavsnitt 3, Kaitel 4.1 (Obs inte 2.7!) och 7.8 Svarsextraktion
Läs merLogik och modaliteter
Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.
Läs merFöreläsning 9: NP-fullständighet
Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion
DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General
Läs merKompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och
Läs merVarför är logik viktig för datavetare?
Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.
Läs merProbabilistisk logik 1
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)
Läs merLogik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra
Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merK2 Något om modeller, kompakthetssatsen
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen
Läs merFuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping
Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs merFormella metoder. Loop-program som statetransformers. Betrakta följande problem. specifikationen.
8Att bevisa egenskaper om program Formella metoder... 1 Loop-program som statetransformers... 1 Några exempel... 2 Partiell korrekthet och total korrekthet... 3 Programspecifikation... 3 Hoarelogik och
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merRobin Stenwall Lunds universitet
Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 14.1 Numerisk kvantifikation Kvantifikatorerna i FOL är begränsade till och. Detta innebär att vi kan uttrycka satser som säger någonting om allting och någonting.
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merKunskapsbaserad agent. Kunskapsrepresentation. Wumpus-världen. Wumpusvärlden. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Stank. Stank.
Kunskapsrepresentation Kunskapsbaserad agent! Introduktion! Wumpus-världen! FOPL, Inferens! Resolution, Unifiering! Representation av kunskap! Ontologi! Strukturerad representation/semantiska nät def KBagent(percept):
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merFöreläsning 7+8: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?
Formalisering av rimlig tid Föreläsning 7+8: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss
Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs mer