*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW"

Transkript

1 *USS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW 8SSJLIW Här kommer några teoretiska frågor, skriv svaren med egna ord, dvs skriv inte av ohbilderna: a. Vad är en beslutsprocedur? En algoritm som terminerar och som svarar ja eller nej på frågan om en formel A till hör en klass av formler. b. Är följande en beslutsprocedur för validitet i predikatlogiken 1. Linjär resolution. 2. Input resolution. 3. SLD-resolution. 4. Set-of-support resolution. 5. Svarsextraktion. 6. Sanningstabeller 7. mgu-unifierings-algoritmen. 1-5 bygger på resolution som inte är en beslutsprocedur i predikatlogik. Sanningstabeller kan man inte göra i predikatlogik och mgu-algoritmen avgör inte om formler är valida eller ej. c. Är de 7 procedurerna i uppgift 1b fullständiga, sunda? Inputresolution är inte fullständig. 5 beror på vilken resolution som används. 6 är sunt och fullständigt för satslogik. Ej tillämpbart på 7 d. Ge några nackdelar med resolution (minst 4). Kan ta lång tid att exekvera En klausul kan skapas fler änen gång Logisk svagare klausuler kan skapas Återvändsgränder, dvs klausuler som inte leder någonstans kan skapas. 8SSJLIW Antag att vi låter klausulen p q r kollidera med klausulen p z. Visa för exemplet att om de ursprungliga klausulerna var satisfierbara så blir resultatet av kollisionen satisfierbart. (generella resolutionsregeln för satslogik). C1 = p q r och C2 = p z samt resolventen C = q r z Vi vet att v(c1) = v(c2) = T för en tolkning v och vill visa att v(c) = T. 2 fall: v(p) = T I så fall är v( p) = F och detta innebär att v(q r) = T för att v(c1) = T eftersom q r är en del av C så är även v(c) = T. v(p) = F Detta innebär att v(z) = T för att v(c2) = T eftersom z är en del av C så är även v(c) = T.

2 8SSJLIW Undersök om följande stämmer genom att använda en semantisk tablå: a. = (p p) (q q) Kolla först validitet genom att negera formeln Tablån stängd. Formeln valid. b. = ( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) Negera formel för att kolla validitet [( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] ( xp(x) xq(x)), x(p(x) q(x)) xp(x), xq(x), x(p(x) q(x)) xp(x), xq(x), (p(a) q(a)) [(p p) (q q)] (p p), (q q) p, p, (q q) [( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] [ x(p(x) q(x)) ( xp(x) xq(x))] x(p(x) q(x)), xp(x) xp(x), xq(x), p(a) xp(x), xq(x), q(a) xp(x), p(a) xq(x), p(a) Formel valid. x(p(x) q(x)), ( xp(x) xq(x)) x(p(x) q(x)), p(b) x(p(x) q(x)), xq(x) x(p(x) q(x)), q(c) x(p(x) q(x)), p(b) q(b), p(b) x(p(x) q(x)), p(c) q(c), q(c) xp(x), xq(x), q(a), q(a) x(p(x) q(x)), p(b), q(b), p(b) x(p(x) q(x)), p(c), q(c), q(c)

3 c. = x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) Negera formeln och kolla validitet A = x(p(x) q(x)), B = x(p(x) xq(x)) [ x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x))] [ x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x))] [ x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x))] x(p(x) q(x)), x(p(x) xq(x)) x(p(x) xq(x)), x(p(x) q(x)) A, B, (p(a) xq(x)) p(b) xq(x), x(p(x) q(x)) A, B, p(a), xq(x) p(b) xq(x), (p(c) q(c)) A, B, p(a), xq(x), q(a) p(b) xq(x), p(c), q(c) A, p(a) q(a), B, p(a), xq(x), q(a) p(b), p(c), q(c) xq(x), p(c), q(c) O A, p(a), B, p(a), xq(x), q(a) A, q(a), B, p(a), xq(x), q(a) q(d), p(c), q(c) O Formeln inte valid eftersom det finns öppna löv. Kolla om motsägelse A = x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) B = x(p(x) q(x)) C = x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) x(p(x) q(x)), A x(p(x) xq(x)), A (p(a) q(a)), A p(b) xq(x), A p(a), q(a), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) p(b), A xq(x), A p(a), q(a), x(p(x) xq(x)) p(a), q(a), x(p(x) q(x)) p(a), q(a), C, (p(a) xq(x)) p(a), q(a), B, p(a) q(a) p(a), q(a), C, xq(x)) p(a), q(a), B, p(a) p(a), q(a), B, q(a) p(a), q(a), C, xq(x)), q(a)

4 p(b), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) p(b), x(p(x) xq(x)) p(b), x(p(x) q(x)) p(b), C, (p(b) xq(x)) p(b), B, p(b) q(b) p(b), C, p(b), xq(x) p(b), B p(b), B, q(b) oändlig oändlig xq(x), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) q(c), x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) q(c), x(p(x) xq(x)) q(c), x(p(x) q(x)) q(c), C, (p(c) xq(x)) q(c), B, p(c) q(c) q(c), C, p(c), xq(x) q(c), B, p(c) q(c), B q(c), C, p(c), xq(x), q(c) oändlig oändlig Vi får oändliga grenar. Vi hittar ingen gren som är öppen och kan därför inte avgöra om formeln är satisfierbar eller ej. d. Eftersom det finns en variabel x som ej binds, är ej formeln en wff och har därmed ej något sanningsvärde överhuvudtaget. e. Ge motexempel på de fall i a-d som inte är valida. Den enda vi vet säkert inte är valid är c) x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) Domän = alla människor p(x) x har en fru, q(x) x är en kvinna. Tittar vi på x(p(x) q(x)) x(p(x) xq(x)) får vi: x(p(x) q(x)) För alla människor gäller att om x har en fru så är x en kvinna. Detta är falskt men hela implikationen blir sann. Då måste även x(p(x) xq(x)) x(p(x) q(x)) vara sann för att formeln ska gälla. x(p(x) xq(x)) Det finns minst en person som om denne har en fru så är denne en kvinna. Alltså sant. Men x(p(x) q(x)) är falskt då har vi T F en falsk implikation och då gäller inte formeln.

5 f. Vad skulle det göra för skillnad om man bytte = mot? Semantiska tablåer tittar på tolkningar och är därmed en semantisk metod. - betyder att man ska kunna bevisa något syntaktiskt utan att tänka på tolkningar. Då kan inte semantiska tablåer användas. Men man kan invända att semanstiska tablåer kan ses som en syntaktisk metod eftersom vi aldrig direkt ser på formler utan omvandlar enligt formelmönster. Vi vet också att semantiska tablåer är sunda och fullständiga dvs - A = A och = A - A så därför skulle man kunna använda tablåerna och sedan hänvisa till detta och dra slutsatser ändå. 8SSJLIW Gäller följande uttryck? a. x y p(x, y) x q(x, x,) x y(p(x,y) q(x,y)) = x y (x = y) A1 x y p(x, y) p(a, y) p(a, b) A2 x q(x, x,) A3 q(x1, x1) x y(p(x,y) q(x,y)) x y( p(x,y) q(x,y)) p(x2,y2) q(x2,y2) A x y (x = y) x y(x = y) (x3 = y3) OK! 1. p(a, b) 2. q(x1, x1) 3. p(x2,y2) q(x2,y2) 4. (x3 = y3) 5. p(x1, x1) {x2/x1, y2/x1} 2 och 3 6. p(y3, x1) {x3/x1} PM 4 och 5 (byter medvetet bara den ena!) 7. [] {y3/a, x1/b} 1 och 6

6 b. x y(p(x,y) p(y, x)) = x y(p(x,y) (x=y)) A1 x y(p(x,y) p(y, x)) x y( p(x,y) p(y, x)) p(x1,y1) p(y1, x1) A x y(p(x,y) (x=y)) x y ( p(x,y) (x=y)) x y(p(x,y) (x=y)) y(p(a, y) (a=y)) p(a, b) (a = b) 1. p(x1,y1) p(y1, x1) 2. p(a, b) 3. (a = b) 4. p(b, a) {x1/a, y1/b} 1 och 2 5. p(a, a) PM 3 och 4 6. p(a, b) PM 3 och 5 7. [] 2 och 7 c. x yp(y,x) x y z((p(x,y) p(x,z) y = z) = x yp(x,y) A1 x yp(y,x) x p(f(x), x) A2 x y z((p(x,y) p(x,z) y = z) x y z(( p(x,y) p(x,z) y = z) A x yp(x,y) x y p(a, y) y p(a, b) 1. p(f(x1), x1) 2. p(x2, y2) p(x2,z2) y2 = z2 3. p(a, b) 4. p(f(x1),z2) x1 = z2 {x2/f(x1), y2/x1} 1 och 2 5. Ny 1: p(f(x3), x3) 6. x3 = x3 {x1/x3, z2/x3} 5 och 4 Man kan fortsätta ett tag till men inte hitta tomma klausulen

7 8SSJLIW a. Uttryck följande i predikatlogik: En man i staden rakar alla och enbart de som inte rakar sig själva. Antag att domänen är alla män i staden. (Då slipper man ett predikat man(x) ) rakar(x, y) = x rakar y Låt mannen vara en konstant a x([rakar(a, x) \/ rakar(x, x)] /\ [rakar(x, x) rakar(a, x)]) (1) b. Använd valfri metod för att undersöka vem som rakar mannen. (OBS: Alla blir alltså rakade i den här staden.) Vi gör om (1) till PCNF: Vi får då: x([rakar(a, x) \/ rakar(x, x)] /\ [ rakar(x, x) \/ rakar(a, x)]) Vi vet också att antingen rakar han sig själv eller också gör någon annan det. rakar(a,a) \/ x rakar(x,a) Efter skolemisering får vi: rakar(a,a) \/ rakar(b,a) Finns det någon som rakar barberaren? d.v.s. x rakar(x, a) (2) negering av slutsats ger: x rakar(x,a) Vi undersöker om (1) -> (2) är satisfierbart eller motsägelse genom resolution. 1. rakar(a, x1) \/ rakar(x1, x1) 2. rakar(x2, x2) \/ rakar(a, x2) 3. rakar(x3,a) 4. rakar(a,a) \/ rakar(b,a) 5. rakar(a,a) \/ -rakar(a,a) 1,2{x2/a, x1/a} 6. -rakar(a,a) 5,3{x3/a} 7. rakar(b,a) 7,3{x3/b} 8. [] tomma klausulen!! Ovanstående innebär att det inte finns någon som rakar barberaren, men eftersom alla skulle rakas i staden är detta en paradox!! c.en gåta lyder som följer: En man ser på en tavla föreställande en person. Han utbrister, hans far är min fars enda son. Använd svarsextraktion för att utröna vem som var far till personen på tavlan.

8 Vad har vi för fakta? För enkelhetens skull har vi en domän där alla fäder har bara en son Om x är far till y så är y son till x. x y([far(x, y) son(y, x)] [son(y, x) far(x, y)]) Personen på tavlan kallar vi för TP (TavlanPerson), personer framför tavlan för FTP (FramförTavlanPerson). FTP säger hans far är min fars enda son dvs, FTP säger TPs far är FTPs fars enda son eller i logik: far(x, TP) far(y, FTP) son(x, y) Vem är far till personen på tavlan? x far(x, TP) Klausuler 1. far(x1, y1) son(y1, x1) 2. son(y2, x2) far(x2, y2) 3. far(x3, TP) 4. far(y4, FTP) 5. son(x5, y) 6. far(x6, TP) (Finns en uppenbar lösning, undviker den ) 7. son(tp, x2) 2 och 6 {x6/x2, y2/tp} 8. [] 5 och 7 {x5/tp, x2/ftp} Svarsextraktion: 9. far(x1, y1) son(y1, x1) 10. son(y2, x2) far(x2, y2) 11. far(x3, TP) 12. far(y4, FTP) 13. son(x5, y) 14. far(x6, TP) ans(x6) 15. son(tp, x2) ans(x2) 2 och 6 {x6/x2, y2/tp} 16. ans(ftp) 5 och 7 {x5/tp, x2/ftp} Aha det är personen framför tavlan som är far till personen på tavlan!!

9 8SSJLIW Tony, Shi-Kuo och Ellen är medlemmar i Hoofers Club. Varje medlem av Hoofers Club är antingen en skidåkare eller en bergsbestigare eller bägge. Inga bergsbestigare gillar regn och alla skidåkare gillar snö. Ellen ogillar det som Tony gillar och hon gillar det som Tony ogillar. Tony gillar regn och snö. Finns det en medlem av Hoofers Club som är en bergsbestigare men inte en skidåkare? Predikat: medlem(x) x är med i Hoofers Club, skidåkare(x) x är skidåkare, bestigare(x) x är bergsbestigare, gillar(x, y) x gillar y Fakta: Tony, Shi-Kuo och Ellen är medlemmar i Hoofers Club. medlem(tony) medlem(shi-kuo) medlem(ellen) Varje medlem av Hoofers Club är antingen en skidåkare eller en bergsbestigare eller bägge. x(medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) Inga bergsbestigare gillar regn och alla skidåkare gillar snö. x(bestigare(x) gillar(x, regn)) x(skidåkare(x) gillar(x, snö)) Ellen ogillar det som Tony gillar och hon gillar det som Tony ogillar. x(gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) x( gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) Tony gillar regn och snö. gillar(tony, regn) gillar(tony, snö) Frågan: Finns det en medlem av Hoofers Club som är en bergsbestigare men inte en skidåkare? x(medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) Gör om till klausulform medlem(tony) medlem(shi-kuo) medlem(ellen) { medlem(tony), medlem(shi-kuo), medlem(ellen) } x(medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) x( medlem (x) skidåkare(x) bestigare(x)) { medlem (x1) skidåkare(x1) bestigare(x1)} x(bestigare(x) gillar(x, regn)) { bestigare(x2) gillar(x2, regn)}

10 x(skidåkare(x) gillar(x, snö)) { skidåkare(x3) gillar(x3, snö)} x(gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) { gillar(tony, x4) gillar(ellen, x4)} x( gillar(tony, x) gillar(ellen, x)) {gillar(tony, x5) gillar(ellen, x5)} gillar(tony, regn) gillar(tony, snö) {gillar(tony, regn), gillar(tony, snö)} Frågan negeras! x(medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) x( medlem(x) bestigare(x) skidåkare(x)) { medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6)} Resolvera! 1. medlem(tony) 2. medlem(shi-kuo) 3. medlem(ellen) 4. medlem(x1) skidåkare(x1) bestigare(x1) 5. bestigare(x2) gillar(x2, regn) 6. skidåkare(x3) gillar(x3, snö) 7. gillar(tony, x4) gillar(ellen, x4) 8. gillar(tony, x5) gillar(ellen, x5) 9. gillar(tony, regn) 10. gillar(tony, snö) 11. medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6) 12. medlem(x6) skidåkare(x6) {x1/x6} 4 och medlem(x6) gillar(x6, snö) {x3/x6}6 och medlem(ellen) gillar(tony, snö) {x6/ellen, x4/snö} 7 och gillar(tony, snö) 3 och [] 10 och 15 Jo det finns en sådan medlem! Svarsextraktion ger vilken: 1. medlem(x6) bestigare(x6) skidåkare(x6) ans(x6) 2. medlem(x6) skidåkare(x6) ans(x6) {x1/x6} 4 och medlem(x6) gillar(x6, snö) ans(x6) {x3/x6}6 och medlem(ellen) gillar(tony, snö) ans(ellen) {x6/ellen, x4/snö} 7 och gillar(tony, snö) ans(ellen) 3 och ans(ellen) 10 och 15 Ellen är det!

11

Föreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar

Föreläsning 8. Innehåll. Satisfierbarhet hos en formel. Logik med tillämpningar Föreläsning 8 Logik med tillämpningar 000413 Innehåll Lite mer om värderingar och tolkningar Semantiska tablåer i predikatlogiken Kapitel 3.5 Satisfierbarhet hos en formel En formel A är satisfierbar om

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst

Läs mer

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},

Läs mer

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström 1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall

Läs mer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 12: Logikprogrammering Henrik Björklund Umeå universitet 16. oktober, 2014 Prolog Prolog har två klasser av formler. Atomära formler: country(sweden, 9000000).

Läs mer

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 7: SAT-lösare Henrik Björklund Umeå universitet 29. september, 2014 SAT En instans av SAT är en mängd av mängder av literaler. Exempel: {{p, q, r}, {p, q, s},

Läs mer

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Till denna lektion hör uppgift 2, 6 och 0 i lärobokens avsnitt.6 (sid. 255). Lös uppgift 2 genom att konstruera en semantisk tablå. Följande

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 4-5. Logiska system. Alfabet. Calculus. Well-formed formulas. Vanliga termer i logik Satslogik. Första ordningens predikatlogik

Innehåll. Föreläsning 4-5. Logiska system. Alfabet. Calculus. Well-formed formulas. Vanliga termer i logik Satslogik. Första ordningens predikatlogik Innehåll Föreläsning 4-5 Logik med tillämpningar 010220 Vanliga termer i logik Satslogik syntax och semantik beslutsprocedurer Första ordningens predikatlogik syntax och semantik Kapitel 3-5: Topic 8-11

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är

Läs mer

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

En introduktion till predikatlogik

En introduktion till predikatlogik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT15

DD1361 Programmeringsparadigm HT15 DD1361 Programmeringsparadigm HT15 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Innehåll Logikprogrammering Kontrollflöde Unifiering Backtracking Negation Snitt Induktiva datatyper och rekursion Inbyggda datatyper:

Läs mer

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT16

DD1361 Programmeringsparadigm HT16 DD1361 Programmeringsparadigm HT16 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, TCS Delkursinnehåll Logikprogrammering Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde Unifiering, Backtracking, Snitt Negation Induktiva

Läs mer

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.

Läs mer

Logik och bevisteknik lite extra teori

Logik och bevisteknik lite extra teori Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT17

DD1361 Programmeringsparadigm HT17 DD1361 Programmeringsparadigm HT17 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, KTH Delkursinnehåll Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde: Unifiering, Backtracking, Snitt Induktiva datatyper och rekursion

Läs mer

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Logik: sanning, konsekvens, bevis Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet

Läs mer

Föreläsning 5. Deduktion

Föreläsning 5. Deduktion Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske

Läs mer

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Om semantisk följd och bevis

Om semantisk följd och bevis Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 014 1 / 44 Mängder (naiv, inte

Läs mer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

En introduktion till logik

En introduktion till logik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument

Läs mer

Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori

Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1

Läs mer

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n. ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och

Läs mer

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-12-09 Sal (1) TER1 Tid 14-18 Kurskod 729G06 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal

Läs mer

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och KTH Matematik B.Ek SF1642 LOGIK för D och IT, övningarna vt08 Exempel från gamla tentor (i 5B1928) Ö1, kungar och narrar 23.5-01:1a) Det är marknadsdag på Knarrön och många invånare från den närbelägna

Läs mer

Booleska variabler och översättning mellan programuttryck och booleska variabler

Booleska variabler och översättning mellan programuttryck och booleska variabler Vad är Boolesk algebra Lite förenklat kan man säga att Boolesk algebra är räkneregler konstruerade av den engelske matematikern Gerge Boole för att kunna räkna med logiska uttryck. I den booleska algebran

Läs mer

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik F Drewes 2002-05-23 Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras

Läs mer

Detta är ett ofärdigt utdrag ur ovanstående text. Vänligen sprid inte!

Detta är ett ofärdigt utdrag ur ovanstående text. Vänligen sprid inte! Filosofiska institutionen Göteborgs universitet UTKAST Resolution, unifiering och syntaktiska modeller En introduktion till logikprogrammeringens teori Björn Haglund Detta är ett ofärdigt utdrag ur ovanstående

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena

Läs mer

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen

Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer

Läs mer

FUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087

FUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087 FUZZY LOGIC 900223-1554 Innehållsförteckning INLEDNING...2 HUR DET FUNGERAR...3 Crisp Sets och Fuzzy Sets...3 Operatorer...5 IF THEN regler...7 FUZZY INFERENCE...7 Fuzzification...8 Regelsättning...8

Läs mer

Lineära system av differentialekvationer

Lineära system av differentialekvationer Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems

Läs mer

Bakgrund. Bakgrund. Bakgrund. Håkan Jonsson Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige

Bakgrund. Bakgrund. Bakgrund. Håkan Jonsson Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige Är varje påstående som kan formuleras matematiskt*) alltid antingen sant eller falskt? *) Inom Institutionen för systemteknik Luleå tekniska universitet Luleå, Sverige Exempel: 12 = 13 nej, falskt n! >

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:

Läs mer

de var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva.

de var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva. OBS! För flervalsfrågorna gäller att flera alternativ eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervalsfrågorna kan man bara ha rätt eller fel, dvs frågan måste vara helt korrekt besvarad. Totalt kan

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General

Läs mer

Innehåll. Föreläsning Ett exempel. Svarsextraktion. Träden i läsematerialet

Innehåll. Föreläsning Ett exempel. Svarsextraktion. Träden i läsematerialet Innehåll Föreläsning 13-14 ÿsvarsextraktion ÿsundhet och fullständighet för resolution i redikatlogiken. Logik med tillämningar 02-03-12 och 02-03-14 ÿavsnitt 3, Kaitel 4.1 (Obs inte 2.7!) och 7.8 Svarsextraktion

Läs mer

Logik och modaliteter

Logik och modaliteter Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.

Läs mer

Föreläsning 9: NP-fullständighet

Föreläsning 9: NP-fullständighet Föreläsning 9: NP-fullständighet Olika typer av problem: 1. Beslutsproblem: A(x) =Ja. 2. Optimeringsproblem: A(x) =m Vanligen max/min. 3. Konstruktionsproblem: A(x) =En struktur. Vanligen lösningen till

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Dagens föreläsning Informella bevismetoder för kvantifikatorer Universell elimination Existentiell introduktion Existentiell elimination Universell introduktion General

Läs mer

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och

Läs mer

Varför är logik viktig för datavetare?

Varför är logik viktig för datavetare? Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.

Läs mer

Probabilistisk logik 1

Probabilistisk logik 1 729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)

Läs mer

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra

Logik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

Fuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping

Fuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett

Läs mer

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från

Läs mer

Formella metoder. Loop-program som statetransformers. Betrakta följande problem. specifikationen.

Formella metoder. Loop-program som statetransformers. Betrakta följande problem. specifikationen. 8Att bevisa egenskaper om program Formella metoder... 1 Loop-program som statetransformers... 1 Några exempel... 2 Partiell korrekthet och total korrekthet... 3 Programspecifikation... 3 Hoarelogik och

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 14.1 Numerisk kvantifikation Kvantifikatorerna i FOL är begränsade till och. Detta innebär att vi kan uttrycka satser som säger någonting om allting och någonting.

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

Kunskapsbaserad agent. Kunskapsrepresentation. Wumpus-världen. Wumpusvärlden. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Stank. Stank.

Kunskapsbaserad agent. Kunskapsrepresentation. Wumpus-världen. Wumpusvärlden. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Bris. Stank. Stank. Kunskapsrepresentation Kunskapsbaserad agent! Introduktion! Wumpus-världen! FOPL, Inferens! Resolution, Unifiering! Representation av kunskap! Ontologi! Strukturerad representation/semantiska nät def KBagent(percept):

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Föreläsning 7+8: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning?

Föreläsning 7+8: NP-problem. Begreppet effektiv algoritm är alltså synonymt med går i polynomisk tid i den här kursen. Är detta en rimlig uppdelning? Formalisering av rimlig tid Föreläsning 7+8: NP-problem En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1 är för långsam.

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer