UPP TILL BEVIS! Cirkelns omkrets är 2 π r och arean är π r 2. Hur vet du det att det gäller alla cirklar? Hur
|
|
- Ingrid Isaksson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPP TILL BEVIS! Cirkelns omkrets är 2 π r och arean är π r 2 Hur Hur vet du det att det gäller alla cirklar? Matematikbiennetten i Malmö 9 mars 2013 Marie Jacobson, Malmö högskola
2 Matematisk bevisföring förknippas ofta med Euklides och geometri.. Hjärnan i mig vrides när jag tänker på Euklides och på de trianglarna ABC och CBA. Svetten ur min panna gnides värre än på Golgata (C-M Bellman)
3 1889 års kursplan Två nedslag i kursplanernas historia Mål: förbereda eleverna att klara problem med praktisk anknytning i dagligt liv. Praktiska uppgifter viktigare än mekanisk räkning. inte nedsjunka till endast mekaniskt räknande Geometri läses endast av pojkar! 1962 års kursplan Grundskolan införs Mål: Inommatematiska. Kompromiss mellan folkskola och realskola Euklides geometri tas i princip bort.
4 Läroböcker i matematik i Sverige 1614 Arithmetica (Aurelius). Första tryckta läroboken i aritmetik på svenska 1642 (Stjernhjelm m fl) Decimaltal för första gången 1643 (Björk) Den första boken som skriver om algebra. Den som lär sig algebra får ett kvitto på att man kan förstå allt 1721 (Gabriel Duhre) Första geometriboken. Innehöll även Sannolikhetslära 1744 Euklides elementa (översättning Mårten Strömer)
5 Vilka mål och krav ställs i Lgr11 kring bevisföring? Mål i syftestexten Undervisningen ska se till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang Centralt innehåll 7-9 Geometriska satser och formler och behovet av argumentation för deras giltighet Kunskapskrav 7-9 E-nivå: I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt. A-nivå: I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar och breddar dem. Ur Lgr11:s kommentarmaterial: De ska också ges möjlighet att resonera om och hur man inom matematiken avgör om något är sant eller inte. På så vis lägger kursplanen grunden för elevernas förståelse av innebörden i begreppen sats och bevis i framtida studier.
6 Vilka mål och krav ställs i Lgy11 kring bevisföring? Mål i syftestexten Undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågan att: Följa, föra och bedöma matematiska resonemang Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling Centralt innehåll 1bc2a Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik inklusive implikation och ekvivalens samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden (naturvetenskapliga ämnen),(yrkesmässiga sammanhang) 1bc Illustration av begreppen definition, sats och bevis, tex med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma 3c Bevis och användning av cosinus-, sinus- och areasatsen för en godtycklig triangel 4. Användning och bevis av de Moivres formel Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri 5. Induktionsbevis med konkreta exempel från till exempel talteoriområdet
7 Lgy11 Kunskapskrav 1abc, 2abc E-nivå: Eleven kan föra enkla matematiska resonemang, värdera med enkla omdömen värdera egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden A-nivå: Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. 3bc,4,5 E-nivå: Eleven kan föra enkla matematiska resonemang, värdera med enkla omdömen värdera egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden C-nivå: E-nivån + Vidare kan eleven genomföra enkla matematiska bevis A-nivå: E-nivån + Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis
8 Vad är ett matematiskt bevis? Definition: Övertygande argumentation för att ett matematiskt resultat skall accepteras som sant (Matematiktermer i skolan, Mouwitz Lars, Kiselman Christer)
9 Övertyga 1) dig själv 2) en vän 3) vem som helst
10 ÅSNEBRYGGAN (lat. pons asinorum, "åsnornas bro") Namnet syftar på de studenter som inte kom så långt i sina matematikstudier, alltså inte kom över (den smala) bron. [ Användes som inträdesprov Sats ur Euklides Elementa: De vinklar, som står vid basen i en likbent triangel, är lika stora. C Bevis. Antag att AC = BC i ABC. Bilda CD som är en bisektris till Λ C CAD är kongruent med CBD, eftersom AC = BC och Λ ACD = Λ BCD A D B Alltså Λ A = Λ B (VSB)
11 Elever har ofta uppfattningen att bevis huvudsakligen består av symboler. Därför krävs en påminnelse om att man kan bevisa både med ord, gestaltning och beräkningar Det viktigaste är du (och även din fiende ) blir övertygad!
12 Vad är ett axiom? Ett grundläggande påstående som vi alla kan vara överens om är rimligt och som kan accepteras utan bevis. Exempel 1: Parallellaxiomet: genom en punkt går en och endast en linje parallell med en given rät linje.
13 AXIOM - Exempel 2 Vertikalvinklar och alternatvinklar Vertikalvinklar (motstående vinklar) är lika stora. Vid parallella linjer är alternatvinklar (och därmed även likbelägna vinklar) lika stora.
14 KONGRUENS Kongruenta figurer är identiskt lika. De överensstämmer helt. De har samma storlek och form.
15 KONGRUENSFALLEN ( Grundsatser, axiom)
16 KONGRUENTA? Nej! De överensstämmer i två sidor och en vinkel, men den är inte mellanliggande
17 KONGRUENTA? Nej! De överensstämmer i två vinklar och en sida, vilken inte är motsvarande
18 Fråga till eleverna: Hur vet vi att vinkelsumman i en triangel är 180? Vinkelsumman är väl 3? Vad skulle ni säga om en ny lärare påstod att vinkelsumman är 179 och 59?
19 Triangelns vinkelsumma som exempel på olika typer av bevisföring..
20 1) Rita några trianglar och mät vinklarna!
21 2) Visa dynamiskt med ett rep!
22
23 Hur nära kan vi gå?
24 3) Demonstration med en papperstriangel. Klipp av hörnen och lägg dem längs en rak linje!
25 4) Vandring med en penna inuti en triangel (håll fast spetsen i hörnorna)
26 Vandring med en penna inuti en triangel
27 Vandring med en penna inuti en triangel
28 Vandring med ett föremål inuti en triangel Pilen har vridit sig 180 efter vandringen
29 5) Vandring utanför triangeln ABC (tex en groda) Grodan har vridit sig 3 ggr när den gått runt, vilket motsvarar ett helt varv alltså är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = 360 andra vridningen E C första vridningen F A tredje vridningen B D
30 Vandring utanför triangeln ABC (tex en groda) Grodan har vridit sig 3 ggr när den gått runt, vilket motsvarar ett helt varv alltså är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = 360 Vi vet att ΛCBD = ΛABC ΛACE = ΛBCA ΛFAB = ΛCAB andra vridningen E C Då är ΛCBD + ΛACE + ΛFAB = (180 - ΛABC) + (180 - ΛBCA) + ( ΛCAB)= (ΛABC + ΛBCA + ΛCAB) = 360 Alltså är triangelns innervinklar ΛABC + ΛBCA + ΛCAB = 180 första vridningen F A tredje vridningen B D
31 6) Användning av axiom Konstruera linjen XY som är parallell med AC Då blir ΛA = ΛXBA och ΛC = ΛCBY (alternatvinklar) Triangelns vinkelsumma = ΛA + ΛABC + ΛC = ΛXBA + ΛABC + ΛCBY = 180 (rak vinkel) X B Y Pröva gärna på geobräde med olika triangelstorlekar! A C
32 Vilka exempel där vi visat triangelns vinkelsumma är BEVIS? 1) Rita några trianglar och mät vinklarna Inget bevis eftersom vi inte har visat för alla trianglar 2) Visa dynamiskt med ett rep! Inget bevis eftersom vi inte vet om ökningen och minskningen av triangelns vinklar är lika stora när eleverna förflyttar sig 3) Demonstration. Riv av hörnen i en triangel och lägg dem längs en rak linje Inget bevis eftersom det inte kan genomföras med alla trianglar 4) Vandring inuti triangeln Är ett (experimenterande, intuitivt) bevis 5) Vandring utanför triangeln (kan användas för alla polygoner) Är ett bevis 6) Godtycklig triangel som kompletteras med en parallell linje till en av sidorna Är ett bevis byggt på axiom
33 Pythagoras sats På följande bilder finns fyra exempel på hur satsen kan visas på olika sätt. Men. vilka är helt övertygande? Varför? I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateternas längder lika med kvadraten på hypotenusans längd a c a 2 + b 2 = c 2 b
34 Förslag 1 (cm) Vi utgår från en rätvinklig triangel med sidorna 3,4 och 5 cm Summan av kateternas kvadrater: = 25 Kvadraten på hypotenusan : 5 2 = 25 Alltså är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kateternas kvadrater. Pythagoras sats är bevisad!
35 Förslag 2 (cm) Utgå från en rätvinklig triangel med sidorna 3,4 och 5 cm 2 Kvadrater ritas på kateterna. Kvadraternas areor jämförs. Vi får = 5 2 cm 2 Pythagoras sats är sann!
36 Förslag 3 : Geometri och algebra b a a b c c b b c c a a b Arean av den stora kvadraten kan uttryckas på två sätt: Arean av den största kvadraten = Den inre kvadraten + 4 rätvinkliga trianglar (a+ b) 2 = c ab/2 a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ab (första kvadreringsregeln) a 2 + b 2 = c 2 Pythagoras sats är bevisad!
37 Förslag 4 b a c b a c b c c a a b
38 a a b b a a b b c c c c a b b b a a a b Bildbevis med pusselbitar och algebra Vi jämför de vita områdena i de två stora kvadraterna med sidorna (a+b) vilket ger c 2 = a 2 + b 2 Pythagoras sats är bevisad!
39 Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband. ur Lgy11
40 Tre exempel på hur man kan tänka ut det generella mönstret Olika sätt att se tändsticksmönstret Figur Antal stickor Antal stickor Vågräta stickor Lodräta stickor Totalt 1 4 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 13 n 4 + 3(n-1) n 2 n 1 + n 3n + 1
41 Hur många kvadrater finns i figuren? Figur nr Antal kvadrater Algebraiskt n n Retoriskt: kvadrera längd och addera med ett
42 Figur nr Antal kvadrater n n Konstant i andradifferensen tyder på ett andragradspolynom!
43 Gauss upptäckt: = = = = 101 Antalet termer Gäller detta samband för alla tal, n om differensen mellan termerna är konstant? Första termen Sista termen Resultat: Summan = (1 100)
44
45 Intuitivt bildbevis av Gauss summaformel (aritmetisk summa) I vårt exempel har vi en bild av summan Två identiska talföljder bildar en rektangel med sidorna 5 och 1+5 Rektangelns area : 5 (1+5) Vi får tillbaka summan genom att halvera rektangeln 5(1+5)/2 = 15 Det verkar som S n = (n-1) + n = n (1 + n)/2
46 BORDTENNIS Alla möter alla Hur många matcher behöver spelas? Marie Jacobson 9 mars 2013
47 Antal matcher? Marie Jacobson 9 mars 2013
48 Kan vi upptäcka ett mönster i talföljden? Antal personer Antal matcher ?? Marie Jacobson 9 mars 2013
49 Talen går att lägga som trianglar! = = = = = 21 6(1+6)/2 Marie Jacobson 9 mars 2013
50 Vi visar sambandet på ett annat geometriskt sätt och låter n betyda antalet spelare istället för triangeltalets nummer Marie Jacobson - 7 sep 2012
51 Marie Jacobson - 7 sep 2012
52 2 spelare 2 1 Antal matcher motsvarar halva rektangeln 3 spelare spelare spelare 5 4 n spelare behöver spela n(n-1)/2 Marie Jacobson - 7 sep 2012
53 Alla möter alla! Hur många matcher måste 30 personer spela? Resultat: (30 29)/2= 435 st! Marie Jacobson - 7 sep 2012
54 Vad är summan av de första udda heltalen? = =? =? =? =?
55 Vad är summan av de första udda heltalen? = = = = = 36 Kan du se ett mönster i talen?
56 Vad är summan av de första udda heltalen? 1 = = 4 = = 9 = = 16 = = 25 = = 36 = 6 2 Summan ser ut att vara kvadraten på antalet termer. Gäller detta generellt?
57 Summan av de konsekutiva udda heltalen visas med en annan bild.
58
59 Hur många slutna områden kan du maximalt finna i cirkeln om du ritar kordor mellan punkterna på cirkelperiferin? (Högst två kordor får skära varandra i samma punkt) Antal punkter (n) n Antal områden (y) 1 2 4?
60 Antal punkter (n) n Antal områden (y) ??
61
62
63 n y Konstant vid fjärde differensen, vilket tyder på ett fjärdegradspolynom! Antal områden vid n punkter: y= (n 4-6n n 2-18n + 24)/ 24
64 Dra inte förhastade slutsatser! Ibland måste man använda sig av induktionsbevis.. Faller en faller alla
65 Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande
66 Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2
67 Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2
68 Exempel på induktionsbevis för bordtennisproblemet S n n( n 1) ( n 1) 2 1(1 1) 2 1. Formeln gäller för n= 1 eftersom S Antag, att formeln gäller för n= k dvs S k k( k 1) 2 Induktionsantagande S k 1 S k (( k 1) 1) k( k 1) 2 k k( k 1) 2 2k ( k 1) k 2 1 och 2 visar att formeln gäller
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition
Läs merUndervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:
Matematik Skolverkets förslag, redovisat för regeringen 2010-09-23. Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans
Läs merKonkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11)
Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) ( www.skolverket.se) Kunskapskraven i matematik kan delas in i följande områden: problemlösning, begrepp, metod, kommunikation och resonemang.
Läs merEn parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant?
En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant? P har större omkrets än Q. P har mindre omkrets än Q. P har mindre area än Q Q och P har
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merProblemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F
På jakt efter förmågor i undervisningen Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F Aktivitetens namn: Triangelmatte Syfte Undervisningen ska
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs mer8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
8A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs mer7F Ma Planering v2-7: Geometri
7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merMa7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs mer8F Ma Planering v2-7 - Geometri
8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merGeometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data
Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,
Läs mer9 Geometriska begrepp
9 Geometriska begrepp Rita figurer som visar vad vi menar med... 261 a) 4 cm och 4 cm 2 b) 5 cm och 5 cm 2 262 Rita två olika figurer som båda har arean 8 cm 2 263 Rita tre olika figurer som alla har arean
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer9E Ma Planering v2-7 - Geometri
9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar
Läs merGeometri med fokus på nyanlända
Geometri med fokus på nyanlända Borås 17 januari 2017 Madeleine Löwing Tala matematik Bygga och Begripa Begrepp i Geometri Använda förklaringsmodeller som hjälper eleven att bygga upp långsiktigt hållbara
Läs mer9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.
9A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B
Läs merKängurutävlingen Matematikens hopp
Kängurutävlingen Matematikens hopp Arbeta vidare med Cadet 2017 Årets Känguruproblem kan direkt kopplas till innehållet i kursplanerna för åk 9 samt för Ma1. Få av problemen är direkta rutinuppgifter utan
Läs merStudiehandledning. kurs Matematik 1b
Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merArbeta vidare med Junior 2010
Arbeta vidare med Junior 010 Känguruproblemen är kanske inte av samma karaktär som de problem eleverna möter i läroboken. De är inga rutinuppgifter utan bygger på förståelse och grundläggande kunskaper.
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merDelprov A Muntligt delprov
Delprov A Muntligt delprov Äp6Ma15 Delprov A 15 Beskrivning av delprov A, muntligt delprov Det muntliga delprovet kan genomföras fr.o.m. vecka 11 och resten av vårterminen. Det muntliga delprovet handlar
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik
ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband
Läs merLathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)
Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merMätning och geometri
Mätning och geometri LMN100 Matematik, del 2 I den här delen av kursen skall vi gå igenom begrepp som längd, area och volym. Vi skall också studera Euklidisk geometri och bevisa satser om och lära oss
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merKursplanen i matematik 2011 - grundskolan
Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust
Läs merKursplan Grundläggande matematik
2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs
Läs merCentralt innehåll. I årskurs 1.3
3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Läs merMÖNSTER OCH TALFÖLJDER
MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll
Läs merExtramaterial till Matematik X
LIBR PROGRMMRING OH DIGITL KOMPTNS xtramaterial till Matematik X NIVÅ TT NIVÅ TVÅ NIVÅ TR Geometri LÄRR I den här uppgiften får du och dina elever bekanta er med det digitala verktyget Geoboard. leverna
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
Prövning i Matematik 4 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT04 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 4 Skriftligt prov (4h) Muntligt prov Bifogas Provet består av två delar.
Läs merMatematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP
Geometri Syftet undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp och samband
Läs merDel ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan
Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merformler Centralt innehåll
Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merKongruens och likformighet
Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs mer2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ
Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska
Läs merMATEMATIK 5.5 MATEMATIK
5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merGeometriska konstruktioner
Stockholms Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Lisa Nicklasson Gustav Zickert Institutionen för matematik KTH och Matematiska institutionen Stockholms universitet 2017 2018 Innehåll 1 Vad är
Läs merBetyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik
Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs
Läs merämnesområden. Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att undersöka förändring, förändringstakt och andra samband.
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merUppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner
Uppsalas Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Matematiska institutionen Uppsala universitet Våren 2019 Några ord om Uppsalas Matematiska Cirkel Uppsalas Matematiska Cirkel bildades hösten 2018
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merKurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600
Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Geometri ELEV Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och
Läs merDetta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning
Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del
Läs merMatematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON
Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON MÅL Grundkurs Mäta (med gradskiva) och beräkna vinklar Känna till triangelns vinkelsumma och använda den för att räkna ut vinklar Kunna namnen på några
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs merMatematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer
Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna
Läs merArea och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem
Area och volym hos Euklides och Hilberts tredje problem Torbjörn Tambour Mullsjö den 20 juni 2018 Inledning Att arean av en triangel ges av formeln A = b h 2, där b är (längden av) basen och h (längden
Läs merGruppledtrådar. Gruppledtrådarna ingår i lärarhandledningen till Prima Formula 6 Får kopieras! Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Gruppledtrådar Som hjälp för dina elevgrupper att utveckla sin förmåga att tala matematik, samarbeta och lära i grupp finns övningar som vi kallar Gruppledtrådar. Dessa går ut på att elever tillsammans
Läs merUnder en forskningscirkel, som vi matematikutvecklare i Göteborg har
Britt Holmberg Analysera mera i geometri Inom undervisningen i geometri behöver vi utmana elevernas nyfikenhet med frågeställningar och ge dem tid att undersöka geometriska objekt. Praktiskt arbete där
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merSyfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik
prövning grundläggande matematik Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer.
Läs merMatematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra
Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2014
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs mer9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att:
9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera
Läs merSvar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet
Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd
Läs merFörslag den 25 september Matematik
Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBR PROGRAMMRING OH DIGITAL KOMPTNS xtramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Geometri LÄRAR Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och göra
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Läs merMatematik CD för TB = 5 +
Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merMA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs
MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning
Läs mer2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.
Kängurutävlingen 018 Cadet svar och kommentarer Facit Cadet 1: C 19 0 + 18 = 8 = 19 : E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas
Läs merProblemlösning med hjälp av nycklar
Problemlösning med hjälp av nycklar I denna problemavdelning finns förutom ett antal geometriproblem även förslag på ett arbetssätt som avser underlätta för elever att komma igång med problemlösning och
Läs mer