VEKTORANALYS Kursprogram VT 2009

Transkript

1 VEKTORANALYS Kursprogram VT 9 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika kurser. I kursen betonas det nära sambandet mellan matematik och olika delar av fysiken. Därför ingår som ett viktigt inslag i kursen diskussioner av olika fysikaliska problemställningar och de metoder som används för att kunna göra matematiska beräkningar för olika tillämpningar. Innehållet i kursen definieras av nedanstående kursprogram. De grundläggande matematiska begreppen gås igenom på föreläsningarna, som också kommer att ge exempel på ett antal olika fysikaliska tillämpningar. På övningarna ges praktisk övning i problemlösning. Detta kurshäfte har sammanställts på avdelningen för matematisk fysik och kan laddas ned från kursens hemsida: Utöver själva kursprogrammet innehåller häftet överskådliga sammanställningar av viktiga delar av kursinnehållet. Vidare innehåller häftet alla för kursen rekommenderade övningsexempel (fler repetitionsuppgifter kommer att finnas tillgängliga på hemsidan inför tentamen). Till några uppgifter finns lösningar, till de flesta andra svar. Kursen är helt definierad av kurshäftet, vilket innehåller litteraturhänvisningar till kursboken av Griffith samt för vissa avsnitt till Analysboken (Arne Persson och Lars-Christer Böiers, Flerdimensionell analys, tredje upplagan, 5) för bredvidläsning. Kursprogrammet upptar nio avsnitt. Dessa är definierade med tanke på innehållet. Ett avsnitt motsvarar därför inte exakt ett föreläsningstillfälle. Vissa av de enklare avsnitten kräver mindre tid, medan de avsnitt, som normalt brukar uppfattas som svåra, kommer att ges mera utrymme. Under varje avsnitt ges först en redovisning av vad avsnittet omfattar. Därefter ges en del allmänna kommentarer till avsnittet samt ett stycke som inleds med När du förstått detta avsnitt... Tanken är att du skall utnyttja detta stycke för att under kursens gång och i samband med kursinläsningen inför tentamen pricka av de olika kursmomenten efter hand som du anser dig behärska dem.. INLEDANDE AVSNITT Skalärer, skalärfält, vektorer, vektorfält, rymdkurvor, rymdytor, nivåyta (för skalärfält), fältlinjer (för vektorfält), olika typer av produkter, derivering av vektorvärda funktioner, partiella derivator, differential, ortsvektor, ortsvektordifferential, gradient, normal till yta, tangentplan, riktningsderivata, avstånd mellan nivåytor Detta avsnitt är i huvudsak en repetition av begrepp som redan är kända från matematiken. Stor vikt ges åt att ge fysikaliska tolkningar av de olika begreppen genom att diskutera ett antal fysikaliska problemställningar. När du förstått detta avsnitt skall du kunna beräkna och fysikaliskt tolka innebörden av gradienten, normalen till en yta, tangenten till en kurva, skärningsvinkeln mellan två ytor eller mellan en kurva och en yta. Du skall kunna beräkna nivåytor och fältlinjer samt ge dem en fysikalisk tolkning. Du skall också kunna derivera och integrera vektorvärda funktioner.

2 Griffith: sidorna Analysboken: sidorna, samt 9 8 Kurshäftet: Övningsexempel:..9. OPERATORKALKYL Räkneregler för operatorer, kommutator, nablaoperatorn, Laplaceoperatorn, sammansatta uttryck med nablaoperatorn Derivator, inte minst partiella derivator, spelar en stor roll inom fysiken. Därför är det i många sammanhang bekvämt att införa operatorer, som innebär att derivering skall göras enligt någon viss föreskrift. Den i vektoranalysen oftast förekommande deriveringsoperatorn är nabla, definierad som = (,, ). I detta avsnitt visas x y z hur nablaoperatorn och vissa sammansatta operatoruttryck, till exempel Laplace operatorn, =, kan utnyttjas för att förenkla beräkningar inom vektoranalysen. När du förstått detta avsnitt skall du kunna genomföra beräkningar med hjälp av nablaoperatorn. Speciellt skall du ha förstått och kunna härleda de viktigaste operatoruttrycken. Du skall också kunna tolka och använda fysikaliska formler och ekvationer, som innehåller operatorer. Griffith: sidorna Analysboken: sidorna Kurshäftet: Övningsexempel:..4. LINJE- OCH YTINTEGRALER Linjeelement, linjeintegraler, potential, ytelement, ytintegraler Även i detta avsnitt ingår en del moment som är en repetition av matematikkursen. Integralbegreppen utvidgas till att omfatta olika typer av linje och ytintegraler, t.ex A dr, A dr, Φdr Φdr, A ds, A ds, ΦdS, ΦdS. Ett antal fysikaliska exempel när de olika typerna av integraler kommer till användning diskuteras. När du förstått detta avsnitt skall du korrekt kunna beräkna linje- och ytelement samt lösa de olika typer av linje- och ytintegraler som kan förekomma. Du skall också kunna avgöra om ett vektorfält har en potential samt veta hur man utnyttjar potentialen för att beräkna en linjeintegral. Griffith: sidorna 4 Analysboken: sidorna 4, 5 4, samt 89 9 Kurshäftet: Övningsexempel: SYMMETRIER Exempel på symmetrier, utnyttjande av symmetrier vid problemlösning I många fysikaliska problem förekommer olika symmetrier. Dessa kan ofta utnyttjas för att underlätta lösningen av ett problem. Ganska vanligt är att man behöver beräkna en integral av en udda funktion över ett jämnt område. Värdet av en sådan

3 integral är noll. Har man insett symmetrin i problemet kan man direkt sluta sig till värdet av integralen utan att behöva göra några ytterligare beräkningar. Problem av detta slag dyker ofta upp i vektoranalysen. När du förstått detta avsnitt skall du kunna avgöra om ett problem innehåller symmetrier samt utnyttja dessa vid till exempel beräkning av integraler. Analysboken: sidorna 95 (Ex. 6) samt 66 (Ex. 6) Kurshäftet: Övningsexempel: GAUSS SATS Gauss sats, källor, sänkor, divergensfria fält, kontinuitetsekvationen I detta avsnitt härleds Gauss sats, vilken lyder S A ds = V div A dv. Man ersätter alltså integralen över en sluten yta av ett vektorfält A med en volymsintegral över den inneslutna volymen av divergensen av A. Satsen är användbar i ett stort antal fysikaliska sammanhang. Ett flertal exempel kommer att diskuteras. Vidare kommer den fysikaliska innebörden av källor, sänkor samt divergensfria fält att gås igenom. Kontinuitetsekvationen presenteras och tolkas fysikaliskt. När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna använda Gauss sats och kunna tillämpa kontinuitetsekvationen. Du skall kunna avgöra när det kan löna sig att sluta en öppen yta för att kunna använda Gauss sats för att beräkna en ytintegral över en öppen yta. Du skall också ha förstått att Gauss sats inte kan användas om den inneslutna volymen innehåller singulariteter. (Hur man handskas med singulariteter behandlas i ett senare avsnitt i kursen). Griffith: sidorna Analysboken: sidorna samt Kurshäftet: Övningsexempel: STOKES SATS Greens formel i planet, Stokes sats, virvelfria fält, vektorpotential I detta avsnitt behandlas först Greens formel i planet. Därefter härleds Stokes sats, vilken lyder L A dr = S rot A ds. Man ersätter här integralen över en sluten kurva av ett vektorfält A med en ytintegral av rotationen av A över en yta, som har den givna kurvan som randkurva. Ytan kan i övrigt väljas godtyckligt. Satsen är användbar i ett stort antal fysikaliska sammanhang. Ett flertal exempel kommer att diskuteras. Den fysikaliska innebörden av virvelfria fält diskuteras och begreppet vektorpotential införs. När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna använda Stokes sats. Framför allt skall du ha insett att valet av yta har stor betydelse för att du skall få en integral som är lätt att lösa. Du skall också ha förstått innebörden av en vektorpotential och kunna beräkna denna om den existerar. Griffith: sidorna 4 6 Analysboken: sidorna 5 4, samt 9 94 Kurshäftet: Övningsexempel:

4 7. ALLMÄNNA INTEGRALSATSER Generaliseringar av Gauss och Stokes satser, Greens satser, partiell integration Gauss och Stokes satser är specialfall av de generella integralsatsena S ds(...) = V dv (...) och L dr(...) = S (ds )(...). I detta avsnitt behandlas dessa generella integralsatser och exempel ges på olika fysikaliska situationer då de kommer till användning. De olika varianter som kan förekomma av de generella integralsatserna finns beskrivna i kursprogrammets övningsdel. I avsnittet ingår också Greens satser samt partiell integration. När du förstått detta avsnitt skall du utan svårighet kunna använda dig av de generella integralsatserna vid problemlösning. Du skall dessutom kunna använda Greens satser samt vid behov kunna utnyttja partiell integration. Griffith: sidorna 7, 8 Kurshäftet: Övningsexempel: KROKLINJIGA KOORDINATER Sfäriska koordinater, cylinderkoordinater, allmänna kroklinjiga koordinater. Ortogonala system: skalfaktorer, ortsvektordifferentialen, linjeelement, ytelement, volymselement, operatorer i kroklinjiga system. Som exempel på kroklinjiga koordinatsystem behandlas först sfäriska koordinater och cylinderkoordinater. Begreppet skalfaktorer införs och utnyttjas för att beräkna linjeelement, ytelement och volymselement i dessa koordinater. Därefter görs en generalisering till allmänna ortogonala kroklinjiga koordinatsystem. Vidare behandlas allmänna uttryck för vissa operatorer i kroklinjiga koordinater. När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna genomföra beräkningar i ett ortogonalt kroklinjigt koordinatsystem. En förutsättning för detta är att du kan avgöra om ett givet koordinatsystem är ortogonalt och om så är fallet också kan beräkna skalfaktorerna och med dessas hjälp bestämma ortsvektordifferentialen, linjeelement, ytelement, volymselement samt operatorer i det kroklinjiga koordinatsystemet. Griffith: sidorna 8 45 Analysboken: sidorna 7 9 (Ex. 9, ) och (Ex. ) samt 58, 9 Kurshäftet: Övningsexempel: (se även Formelblad i vektoranalys på kursens hemsida) 9. SINGULARITETER, Deltafunktionen Punktkällor, punktsänkor, dipolfält, virveltråden I många fysikaliska tillämpningar inträffar det att ett fält har singulariteter, dvs att dess värde går mot oändligheten i vissa punkter eller längs en viss kurva. Som ett exempel kan nämnas det elektriska fältet i närheten av en punktladdning. Vissa av de satser, som vi tidigare behandlat i kursen kan inte utan vidare tillämpas

5 om det förekommer singulariteter, bland annat Gauss sats (singulariteter får inte förekomma i den inneslutna volymen) och Stokes sats (singulariteter får inte förekomma på den yta, som har den givna kurvan som randkurva). I detta avsnitt visas hur man behandlar problem med singulariteter. Förutom punktkällor och punktsänkor behandlas dipolfält samt virveltråden. Ett antal fysikaliska exempel på fält med singulariteter diskuteras. När du förstått detta avsnitt skall du kunna lösa problem som innehåller singulariteter samt vara förtrogen med några i fysiken ofta förekommande fält, som innehåller singulariteter. Griffith: sidorna 45 5 Analysboken: sidorna (notera att δ här betyder ett litet tal!) Kurshäftet: Övningsexempel:

6 . INLEDANDE AVSNITT ÖVNINGSEXEMPEL Ett skalärfält Φ är en funktion av rumskoordinaterna Φ(x, y, z), som i varje punkt har något skalärt värde Φ(x, y, z ) = Φ, Φ(x, y, z ) = Φ. Exempel: Temperaturen T(x, y, z) i ett rum. Varm luft stiger så T ökar med z. Närheten till ett fönster eller ett element ger ett x- och y-beroende. Ett vektorfält A är en funktion av rumskoordinaterna A(x, y, z), som i varje punkt har något vektorvärde A(x, y, z ) = a, A(x, y, z ) = a. Exempel: Hastigheten hos vattnet i en å eller luftrörelser i ett rum. Man måste veta både storlek och riktning för att beskriva fenomenen. Att betrakta tvådimensionella fält är ganska enkelt, men tredimensionella fält är en utmaning. Metoder: Nivåytor. Den yta där ett skalärfält har ett visst konstant värde C. Rita dessa för ett antal olika konstantvärden. (I tex programmet Maple använder man implicitplot.) Tvådimensionellt exempel. På en karta anges skalärfältet höjd(x, y) av kurvor för konstant höjd. Där linjerna ligger tätt ändras höjden fort medan slätmark utmärks av stora kurvavstånd, se figurerna nedan y x - - y x - - Figure : Skalärfältet höjden(x,y) med konturer (vänster), endast konturerna (höger). Fältvektorer. I ett antal punkter ritas vektorer som dels anger riktningen dels storleken i den punkten. (I tex Maple används fieldplot.) Fältlinjer. En partikel i en viss punkt förs med av vektorfältet, hela tiden med vektorernas riktning i de punkter den kommer till. Vi får en kurva som har fältvektorerna som tangenter. (I Maple används spacecurve.)

7 Uppgifter:. Rita fälten A = (x, y, ) och B = (y, x, ). Bestäm de fältlinjer som startar i punkten (,,). Vi kommer att titta mer på dessa fält senare.. (G. s. 4, Problem.) Använd definitionerna i ekvationerna (.) och (.4) och lämpliga figurer i kursboken för att illustrera grafiskt att skalärprodukten och vektorprodukten (/kryssprodukten) är distributiva när alla tre vektorerna ligger i samma plan.. (G. s. 4, Problem.) Är vektorprodukten associativ? (A B) C =? = A (B C) Om så är fallet, bevisa det. Om inte, hitta ett motexempel..4 (G. s. 8, Problem.5) Bevisa regeln BAC CAB, genom att skriva ut båda sidor i komponent form..5 (G. s. 8, Problem.6) Bevisa att [A (B C)] + [B (C A)] + [C (A B)] =. Under vilka förutsättningar gäller A (B C) = (A B) C?.6 Vektorn R(u) satisfierar differentialekvationen dr(u) = A(u) R(u) där A(u) du är en given vektorvärd funktion. Visa att R:s absoluta belopp är konstant. Ledning: Derivera R R.7 (G. s. 5, Problem.) Beräkna gradienten för följande funktioner a) f (x, y, z) = x + y + z 4. b) f (x, y, z) = x y z 4. c) f (x, y, z) = e x sin (y)ln (z)..8 Temperaturen i ett rum beskrivs av skalärfältet T = x + yz z [ C]. En frusen mygga befinner sig i punkten (,,). a) I vilken riktning skall myggan flyga om den vill bli varm så fort som möjligt? b) Hur snabbt (uttryckt i C/s) ökar temperaturen om myggan flyger med hastigheten längdenheter/s i riktningen (,, )?.9 Andragradsytan x + xy + zx x + y + z = skärs av planet x y + z + =. Vilken vinkel bildar de båda ytorna med varandra i punkten (,,)?

8 . () (Ramg..) Ange en enkel parameterframstllning r = r (u) för kurvan { 4x y = x + y z =, från punkten (,, ) till (,, 5). Bestäm tangentriktningen i punkten (/4,, 7/6).

9 . OPERATORKALKYL Skalärprodukten är kommutativ (för reella vektorer), dvs A B = B A. Detta gäller emellertid inte då -operatorn är inblandad A = A. Direkt uträkning ger A = A x x + A y y + A z z, vilket är ett skalärfält. A = A x x + A y y + A z z, å andra sidan, är en deriveringsoperator. Tänk på detta då du löser uppgifterna.4 (a), (b), (c). Uppgifter:. Varför finns (B ) A men ej B ( A)?. (G. s. 8, Problem.5) Beräkna divergensen för följande vektorfunktioner a) v a = x ˆx + xz ŷ xzẑ. b) v b = xyˆx + yzŷ + zxẑ. c) v c = y ˆx + (xy + z )ŷ + yzẑ.. (G. s., Problem.8) Beräkna rotationen för vektorfunktionerna v a, v b och v c från uppgift...4 (G. s., Problem.4) (a) Kontrollera produktregeln (iv) på sidan i kursboken för vektorfunktionerna A = xˆx + yŷ + zẑ; B = yˆx xŷ. (b) Kontrollera på liknande sätt produktregel (ii) (sidan i kursboken). (c) Samma för produktregel (vi) (sidan i kursboken)..5 () Visa att rot grad φ =..6 () Visa att div rot A =..7 () Beräkna grad r samt div r och rot r.

10 . LINJE- OCH YTINTEGRALER. Undersök om följande vektorfält har en potential: a) A = (xyz, x z +, x y) b) B = (x z, yz, x + z).. Beräkna L F dr om F = (x,, yz) längs kurvan L : (t, t, t), t.. Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = (xyz, x z +, x y) från punkten (,,) till punkten (,, )..4 Beräkna integralen L F dr, där F = (yz, xz, xy) och L är kurvan x = a cosϕ y = b sin ϕ z = c sinh ϕ π från (a,,) till punkten ( a/, b/, c sinh(5/4))..5 Beräkna flödet av F = (, xy, ) genom ytan x = u + v, y = u v, z = u, u, v. Normalen i punkten (,,) går i positiv z-led..6 Beräkna SF nds om S är sfären x + y + z = 4 och F = (x, y, z). Välj normalen utåt..7 Beräkna flödet av vektorfältet A = (x, y, z) ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origo med hjälp av parametriseringen r = R(sin u cosv, sin u sinv, cosu)..8 Beräkna flödet av vektorfältet A = (x y, (x + y), (x y) ) genom ytan r = (u + v, u v, uv), u, v, n e z >.

11 4. SYMMETRIER 4. Beräkna 5 5 f(x)dx då a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x Vilka slutsatser kan man dra av detta. 4. Avgör om S f(x)dxdy = eller om S f(x)dxdy för de tre områdena S, S, S enligt figuren nedan då a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x d) f(x) = sin(x) e) f(x) = cos(x) f) f(x) = xy g) f(x) = xy h) f(x) = x y S S S 4. Låt V vara enhetsklotet. Beräkna nu utan integration a) V xdxdydz b) V (z + )dxdydz 4.4 Betrakta cirkelytan r, ϕ π. Hur stor är S y ds i förhållande till S r ds. 4.5 Räkna uppgift.7 utan att parametrisera genom att sätta n = R (x, y, z) samt använda symmetribetraktelser.

12 4.6 Förklara med hjälp av figurerna nedan varför y dxdy = (x + y )dxdy y x y x Figure : Funktionen y (vänster) och x +y (höger).

13 5. GAUSS SATS Med hjälp av Gauss sats kan man härleda den sk kontinuitetsekvationen. Man betraktar den tidsberoende strömningen av ett ämne i rummet. Ämnets densitet ρ (r, t) varierar i rummet och beror av tiden. Strömningshastigheten ges av vektorfältet v (r, t). Betrakta en liten volym V. Vid tiden t finns då mängden M (t) = ρ (r, t) dv V av ämnet i volymen V. Denna mängd beror på tiden och ändras då ämnet strömmar in och ut genom volymens begränsningsyta S. Mängden av ämnet kan också ändras genom att det finns sk källor (källtätheten betecknas κ (r, t)) och sänkor (med negativ källtäthet) i volymen V. Betrakta ett litet tidsintervall t, det måste då gälla att M (t + t) = M (t) + M t t = M (t) + ρ (r, t) dv t. V t Inströmningen genom ytan S under samma tidsintervall beräknas som O ρ (r, t) v ˆndS t. Produktionen av ämnet under samma tidsintervall pga källor i V är given av κdv t. V Följande samband måste nu gälla för att ändringen av mängden av ämnet i volymen V skall svara mot inströmningen och nyproduktion V ( ρ (r, t) dv t = O ρ (r, t) v ˆndS + t V κdv ) t. Vi använder nu Gauss sats för att skriva om ytintegralen till en volymintegral, vilket ger att ( ) ρ (r, t) + div (ρ (r, t)v) κ dv =. V t Detta skall gälla för en godtycklig volym V. Förutsätter vi dessutom att integranden är en kontinuerlig funktion måste integranden vara noll överallt. Detta innebär att ρ (r, t) t + div (ρ (r, t)v) = κ. Detta är kontinuitetsekvationen, den kan också tillämpas på strömning av elektrisk laddning, se Griffith sidan 4. Uppgifter: 5. Beräkna div(f) för a) F = (x, y, z) = r b) F = (sin(xy), e xy, cos (zx)) c) F = grad(φ) med Φ = xy z

14 5. Beräkna div(f) om F = xe x + ye y + ze z (x + y + z ) / = r r 5. Beräkna divergensen av vektorfälten A = (x, y, ) och B = (y, x, ), jämför med övningsexempel (G. s., Problem.) Kontrollera Gauss sats för funktionen v = xyˆx + yzŷ + zxẑ. Använd kuben i figur. i kursboken (s. 4) med sidlängder. 5.5 Beräkna flödet av F ut ur ytan S om S är ytan till området som begränsas av planen z = och z = och ytan x + y = 4. Tag F = (y x, x y, z ). 5.6 Beräkna det största värde som SB ds antar, då S är en sluten yta och B = (x x, y y, z z )/ Ange för vilken sluten yta S, som detta maximum antas. (686;) 5.7 Använd Gauss sats för att beräkna flödet i uppgift F = x e x + y e y + z e z Beräkna S F ds där S är ytan av halvsfären { x + y + z = R x + y 5.9 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet A = (xz, xy, z + ) ut ur den cylindriska burk som avgränsas av ytorna x + y =, z =, z =. Kontrollera resultatet genom att beräkna flödet direkt.

15 6. STOKES SATS 6. Beräkna rot(f) för a) F = (x, y, z) = r b) F = (sin(xy), e xy, cos (zx)) c) F = (xyz, x y z, y z ) 6. Bestäm rotationen av vektorfälten A = (x, y, ) och B = (y, x, ), jämför med övningsexempel.. 6. (G. s. 6, Problem.) Kontrollera Stokes sats för funktionen v = xyˆx+yzŷ +zxẑ. Använd den triangulära skuggade delen av figur.4 i kursboken (s. 6). 6.4 (G. s. 6, Problem.4) Kontrollera Corollary (kursboken s. 5) genom att använda samma funktion och rand som i exempel. (s. 5) men genom att integrera över de fem sidorna av kuben i figur.5 (s. 6). Kubens baksida är öppen. 6.5 Betrakta den övre vänstra ytan bland figurerna nedan (radien är ). Avgör för vilka av de andra tre ytorna som man får samma resultat av S rot F ds för fältet F = (x + y, yz y, 5z xy) y x z

16 6.6 Låt L vara ellipsen x + y =, z = y. F = (x, x + y, x + y + z). Beräkna L F dr om kurvans tangent i punkten (,, ) är parallell med e x. 6.7 Beräkna integralen L A dr, där A = e x (x a(y + z)) + e y (y az) + e z (z a(x + y)) och L är den kurva som utgör skärningslinjen mellan cylindern { (x a) + y = a z och sfären x + y + z = R (R > 4a ). Omloppsriktningen är sådan att vid x = är kurvans tangentvektor parallell med e y. 6.8 Använd Stokes sats för att beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = (yz + z, xy x + z, xy + 5y) längs skärningslinjen L mellan cylindern x + z = 4 och planet x + y =. Kurvan L är orienterad så att dess tangentvektor i punkten (,,) är (,,).

17 7. INTEGRALSATSER Uppgifter: 7. Beräkna S (x + x z)ˆnds, där S är en sfär med medelpunkten (,,) och radien. Normalen ˆn pekar utåt. 7. (G. s. 8, Problem.5) (a) Visa att f ( A) da = [A ( f)] da + S S P fa dl. (b) Visa att V B ( A) dτ = V A ( B)dτ + S (A B) da. 7. En kropp med den glatta begränsningsytan S har volymen V. Beräkna integralen SdS (a r), där r är ortsvektorn och a en konstant vektor.

18 7.4 Beräkna ytintegralen S(a r) ds, där a är en konstant vektor, r är ortsvektorn och S är ytan av en enhetssfär med centrum i punkten b. 7.5 Bestäm alla vektorfält A, för vilka gäller att SA ˆndS = sju gånger den av S omslutna volymen, oberoende av S:s läge och form.

19 8. KROKLINJIGA KOORDINATER Nedan illustreras koordinatytor (ytor där en koordinat är konstant) för sfäriska respektive cylindriska koordinater. 4 z y x z y 4 4 x

20 Uppgifter: 8. (G. s. 4, Problem.6) Uttryck r, θ, φ i koordinaterna x, y, z (dvs sök inversen till ekv. (.6) på sidan 8). 8. (G. s. 4, Problem.7) Härled ekv. (.64) på sidan 9, dvs uttryck enhetsvektorerna ˆr, ˆθ, ˆφ i vektorerna ˆx, ŷ, ẑ. Kontrollera resultatet genom att ta skalärprodukten för de olika basvektorerna. 8. (G. s. 4, Problem.8) (a) Kontrollera Gauss sats för funktionen v = r ˆr. Som testvolym använder du lämpligen en sfär med radie R centrerad i origo. (b) Gör samma sak för v = (/r )ˆr (jämför med Problem.6 sidan 8). 8.4 (G. s. 4, Problem.9) Beräkna divergensen för funktionen v = (r cos θ)ˆr + (r sin θ) ˆθ + (r sin θ cos φ) ˆφ. Testa Gauss sats för denna funktionen för volymen i figur.4 (sidan 4). 8.5 (G. s. 4, Problem.4) Beräkna gradienten och Laplacian för funktionen T = r (cosθ + sin θ cos φ). Kontrollera Laplacian genom att uttrycka T i Cartesiska koordinater och använda ekv..4 (sidan ). Testa även att beräkna linjeintegralen enligt figur.4 (sidan 4) direkt, samt mha potential från (,, ) till (,, ). 8.6 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet A = (x + xyz, yz 4, xz + z ) ut ur enhetssfären med medelpunkt i origo. (674;) 8.7 Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältet p = r sin θ cos ϕ. Punkten P har koordinaterna r =, θ = π, ϕ = π 4. Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ? I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är den maximala tryckökningen per längdenhet? Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater. 8.8 Ett vektorfält F ges av F = r (cos θ e θ sin θ e r ) a) Beräkna rot F. b) Beräkna div F (svaret kan förenklas mha additionsformeln för cosinus, cos (α + β) = cosαcosβ sin α sin β). c) Existerar ett skalärfält Ψ(r, θ, ϕ) så att F = grad Ψ? Motivera svaret och bestäm - om svaret är jakande - funktionen Ψ.

21 8.9 (G. s. 45, Problem.4) (a) Beräkna divergensen för funktionen v = s ( + sin φ ) ŝ + s sin φ cosφˆφ + zẑ. (b) Testa Gauss sats för denna funktionen för volymen i figur.4 (sidan 45). (c) Beräkna rot v. 8. Beräkna vinkeln mellan ytorna ρ = cosϕ och z = ρ sin ϕ i punkten ρ =, ϕ = π 4, z =. Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater. 8. Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältet T = ρ +z cos ϕ. Punkten P har koordinaterna ρ =, ϕ = π 4, z =. Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ e ϕ? I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor är den maximala temperaturökningen per längdenhet? 8. Visa att cirkulationen av vektorfältet cos ϕ e ρ ρ + sinϕ e ρ ϕ runt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.

22 9. SINGULARITETER 9. (G. s. 49, Problem.4) Beräkna följande integraler: (a) 6 (x x )δ (x )dx. (b) 5 cosx δ (x π)dx. (c) x δ (x + )dx. (d) ln (x + ) δ (x + )dx. 9. (G. s. 49, Problem.44) Beräkna följande integraler: (a) (x + )δ (x) dx. (b) (x + x + ) δ ( x) dx. (c) 9x δ (x + ) dx. (d) a δ (x b) dx. 9. (G. s. 49, Problem.45) (a) Visa att (använd tex partialintegration) x d (δ (x)) = δ (x). dx (b) Låt θ (x) vara stegfunktionen θ (x) { om x > om x, Visa att dθ/dx = δ (x). 9.4 (G. s. 5, Problem.47) Beräkna följande integraler: (a) all space (r + r a + a )δ (r a) dτ, där a är en fix vektor med längden a. (b) V r b δ (5r)dτ, där V är en kub med sidan, centrerad i origo, och b = 4ŷ + ẑ.

23 (c) V (r4 + r (r c) + c 4 ) δ (r c) dτ, där V är en sfär med radie 6 kring origo, och c = 5ˆx + ŷ + ẑ har längden c. (d) V r (d r)δ (e r)dτ, där V är en sfär med radie.5 centrerad kring punkten (,, ), och d = (,, ), e = (,, ). 9.5 (G. s. 5, Problem.48) Beräkna integralen J = V e r ( ˆr r )dτ där V är en sfär med radie R (centrerad i origo). Använd de två metoderna illustrerade i exempel.6 (sidan 5). 9.6 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet z ρ e ρ ρ ut ur området x + y + (z ) Polerna i en dipol har styrkorna ±q och sammanbinds av vektorn a (spetsen i pluspolen). Bestäm flödet av dipolfältet ut ur en sluten yta S som a) omsluter bägge polerna. b) omsluter endast pluspolen. c) inte omsluter någon pol.

24 . INLEDANDE AVSNITT SVAR TILL ÖVNINGSEXEMPEL. Fälten visas i figurerna nedan. Fältlinjerna blir linjen (t, t, ), t resp cirkeln med radien, medurs genomlöpt. y y - x - x - - Figure : Vektorfältet (x,y,) (vänster) och (y,-x,) (höger).. Du kan tex testa med A = B = ˆx och C = ŷ..6 d(r ) du = R (A R) =, dvs. R = konstant..7 a) f = xˆx + y ŷ + 4z ẑ. b) f = xy z 4ˆx + x y z 4 ŷ + 4x y z ẑ. c) f = e x sin (y)ln (z) ˆx + e x cos (y)ln (z)ŷ + ex sin(y) z ẑ..8 a) (, 4, ) b) 5 C/s.9 π/. OPERATORKALKYL. A är ett skalärfält.. a) v a =. b) v b = x + y + z. c) v c = x + y.

25 . a) v a = 6xzˆx + zŷ + z ẑ. b) v b = yˆx zŷ xẑ. c) v c = ˆx + ŷ + ẑ.. LINJE- OCH YTINTEGRALER. a) Φ = x yz + y + C b) potential saknas. dr = (, 4t, )dt, F = (t,, 6t ), L F dr = (t + 4t + 8t )dt = 4/6. Φ(,, ) Φ(,, ) =.4 Man inser att F = grad (xyz) dvs L F dr är oberoende av vägen och L F dr = (xyz) P (xyz) = ( ) ( ) a b c sinh 5 = abc sinh dr dr dr = (,, u), = (,, ), dr = (u, u, ) du dv du dv I punkten (,, ) har vi u = och v = dr dr = (,, ), Vi fann du dv alltså den motriktade normalen, byt tecken. n = ( u, u, ) F = (, u v, ), ( u u(u v ))dudv = 7/6.6 I varje punkt på sfären är normalen riktad ut från origo dvs riktad (x, y, z) = r. n = (x, y, z) (x + y + z ) / och F n = (x + y + z ) / = r, men r = på sfären. S F nds = S ds = 4π = π..7 4πR.8

26 4. SYMMETRIER 4. a), b) 5, c). Alla udda funktioner har värdet på integralen över ett symmetriskt intervall. 4. S : a), b) ej, c), d), e) ej, f), g), h). S : a), b) ej, c), d), e) ej, f) ej, g), h). S : a), b) ej, c), d), e) ej, f), g), h) ej. Det är viktigt att känna igen udda funktioner och symmetriska områden. 4. a), b) 4π. 4.4 Hälften så stor oavsett radiens gräns, dock viktigt att det är en hel cirkelyta πR 4.6 y dxdy = y dxdy + y dxdy + x dxdy = y dxdy =[rotation av koordinaterna] = (y + x )dxdy 5. GAUSS SATS 5. a) divf = Fx + Fy + Fz = + + =. x y z Detta är ett viktigt resultat. b) divf = y cos(xy) + xe xy x cos(xz) sin(xz). c) divf = div(y z, 6xyz, 9xy z ) = + 6xz + 8xy z. 5. divf = (x + y + z ) = / r. Detta skalärfält är singulärt i origo. 5. div(a) =, div(b) =. Vi ser på fältlinjerna att fältet A för ut partikeln, till skillnad mot fältet B.

27 5.4 Svar: divf = y + x + z SF n ds = V divf dv = V (y +x +z)dv = {integrera i z led} = = x +y 4 (y + x ) + 4dxdy = { inför nivåkurvor } = (r + 4)πrdr = π. 5.6 Ytan S bör omsluta alla källor hos B för att maximera flödesintegralen. B = ( x + y + z ) = ( (x +y +z )) x +y +z enhetssfären. SB ds = V BdV = V ( (x + y + z )dv = = V ( r )r sin θdrdϕdθ= 4π ( r )r dr = 8π πR

28 5.8 Ytan (vänster figur nedan) är ej sluten, så vi måste sluta den för att kunna använda Gauss sats. Om vi sluter den med en cirkelyta (högra figuren nedan), ser man att fältet på cirkelytan går i cirkelytans plan och bidraget från dess flödesintegral blir därmed. Vi ska alltså bara beräkna volymsintegral över halvklotet, men då fältet är sfäriskt symmetriskt, räknar man ut volymsintegral över hela klotet och tar hälften av det, dvs 6πR 5 /5.5 z z y y x x π/ 6. STOKES SATS e x e y e z 6. a) rotf = x y z =. x y z Detta är ett viktigt resultat. e x e y e z b) rotf = x y z sin(xy) e xy cos (xz) = (, z cos(xz) sin(xz), ye xy x cos(xy)). c) rotf = e x e y e z x y z xyz x y z y z = (yz x y z, xy, xy z xz). 6. rot(a) =, rot(b) = (,, ). Vi ser alltså att A är rotationsfritt men har divergens, medan B är divergensfritt och har rotation. Tänk på att fältet F = (x + y, y x, ) kan förstås lättare genom en sådan uppdelning. 6. Svar: 8/. 6.5 Alla ytor har samma rand och ger därmed samma resultat enligt Stokes sats.

29 6.6 rotf = (,, ). Normalen pekar i riktningen (,, ), normerad n = (,, ). L F dr = S rotf nds = S ds = π. Ellipsens area är πab, a och b halvaxlar, jämför cirkel (specialfall av ellips) a = b = r arean πr. Normalen behöver inte normeras om du parametriserar ytan för uträkningarna, ty nds = ds, dvs en skalning av normalen tas omhand av parametriseringen. 6.7 Skärningen mellan en cylinder och en sfär återges i figuren nedan. Vi kan välja valfri yta med denna rand. Då rota = ae z är ett lämpligt val cylinderns mantelyta ner till xy-planet där bottenytan läggs. Detta ger πa rot A = (x + 4,, y z) ˆn = (,, ) L A dr = 6 S (x + 6)dS = π = 4π 7. INTEGRALSATSER 7. S (x + x z)ˆnds = { Gauss sats } = V ( + x z,, x )dv = {symmetri i x, z} = V (,, )dv = (8π,, ) 7. Ledning: (a) Använd Stokes sats och formler från sidan. (b) Använd Gauss sats och formler från sidan. 7. S ds (a r) = {Gauss universalsats} = V (a r)dv = V (a( r) (a )r)dv = V adv = av

30 7.4 Med hjälp av Gauss universalsats erhålls S (a r) ds = V rot (a r)dv = a V dv = 8πa 7.5 Ekvationen div A = 7 har partikulärlösningen A p = 7xe x Ansätt den allmänna lösningen A = A p + R, där R satisfierar div R =. Alltså är R = rot B, där B är ett godtyckligt vektorfält. 8. KROKLINJIGA KOORDINATER 8. Ledning: Prova tex att förenkla y x. 8. Ledning: Enklast är ˆr = (x,y,z) x +y +z. ˆφ ligger helt i x y planet. ˆθ rita och projicera! 8. a) 4πR 4 b), 4π, Gauss sats gäller inte för singulära fält. 8.4 v = 5 cosθ sin φ, 5πR 8.5 T = ˆx+ẑ = (cosθ + sin θ cosφ) ˆr +(cosθ cosφ sin θ) ˆθ sin φˆφ, T = 8.6 SA ds = V AdV = V ( + yz + z4 + x + z)dv = [symmetri] = V ( + z4 )dv = π π ( + r 4 cos 4 θ)r sin θdθdϕdr = π ( + 5 r4 )r dr = 5π grad p = r sin θ cosϕe r + r cosθ cosϕe θ r sin ϕe ϕ (grad p) P = e r e ϕ Riktningsderivatan i den givna riktningen är dp = ( e ds r e ϕ ) (e r + e ϕ ) = ) ( dp ds max = grad p = om riktningen är grad p. 8.8 a) rot F = cos θ b) div F = r 4 sin θ c) Ja, eftersom rot { F =. Ψ grad Ψ = F ger = sin θ r r Ψ = cos θ r θ r vilket ger Ψ = sinθ + C r 8.9 a) 8 b) 4π c) 8. grad (ρ cosϕ) = e ρ + e ϕ sinϕ ρ grad (z ρ sin ϕ) = sin ϕ e ρ cosϕe ϕ + e z

31 I den givna punkten: ±ˆn = (e ρ + e ϕ ) ˆn ˆn = cos α = α = π 4 ±ˆn = (e ρ + e ϕ ) + e z 8. T = ρe ρ ρ z sin ϕ cosϕe ϕ + z cos ϕe z ( T) P = 4e ρ e ϕ + e z dt = ( T) ds P 5 (e ρ e ϕ ) = 5 ) ( dt ds max = ( T) P = 69 i riktn. ( T) P 8. rot A =, dvs. cirkulationen = för alla kurvor som ej omkretsar z-axeln, där fältet är singulärt. 9. SINGULARITETER 9. a) b) c) d) 9. a) b) 6 c) d) om b > a, om b < a 9.4 a) a b) 5 c) d) π 9.6 div A = z. Fältet är singulärt på z-axeln, varifrån området tillförs flödet lim + 4 ε ε z ε πε dz = 4 4 ε ε ( πz) dz = 6π 8π Totala flödet är V z dv 6π = 9.7 En dipol består av en punktkälla och en punktsänka. Flödena från dessa adderas så lösningen följer behandlingen av punktkällan i kompendiet. a) = 4πq + ( 4πq) = b) = 4πq + = 4πq c) = + =