Några utvalda lösningar till. Kvantvärldens fenomen. -teori och begrepp. Del 1: Partiklar och vågor. Magnus Ögren

Transkript

1 Några utvalda lösningar till vantvärldens fenomen -teori och begrepp Del : Partiklar och vågor Magnus Ögren

2 Här följer ett urval av lösningar till några problem från del av boken vantvärldens fenomen - teori och begrepp, Gunnar Ohlén, denna kan rekvireras från Studentlitteratur (ISBN ). I detta dokument refererar vi konsekvent till Gunnars bok som läroboken. Uppgifterna är numrerade enligt kapitel.uppgift. Jag tar tacksamt emot kommentarer och påpekanden gällande innehållet ( magnus@ogren.se). För ett utsökt arbete med gurerna tackar jag Johnny vistholm. Ett stort tack för värdefulla kommentarer går till Magnus Borgh, Sara Bargi, Ragnar Bengtsson och Gunnar Ohlén vid avdelningen för Matematisk fysik, samt Carina Fasth vid FTF, alla i Lund. Lund i augusti 6 Magnus Ögren Version:7

3 .3 Solljusets intensitet vid jordytan är ungefär kw/m. Antag för enkelhets skull att solljuset är monokromatiskt med våglängden 6 nm. a) Hur många fotoner infaller per sekund mot en yta som har storleken m? b) Beräkna ljustrycket mot en spegel riktad mot solen. c) [Disk.] an man använda ljustrycket för att låta rymdfarkoster segla i rymden? Lösning.3 a): Vi beräknar först energin för en foton E foton = hc/λ = π c/λ = π /6 9 = J. Totala energin som träar m under s är ( kw = 3 J/s) E total = 3 = 3 J. Antalet fotoner är således N = E total /E foton = 3 /3.3 9 = 3.. Lösning.3 b): Låt oss för enkelhets skull räkna på en m stor perfekt reekterande spegel vänd vinkelrätt mot det infallande ljuset. Tryck denieras som kraft per ytenhet, och (reaktions-) kraft är rörelsemängdsförändring per sekund. Rörelsemängden för en infallande foton är p = h/λ = π /λ = π.5 34 /6 9 =. 7 Ns. Eftersom en spegel reekterar fotonerna blir rörelsemängdsändringen dubbelt så stor som den infallande rörelsemängden, därför får vi en faktor. Antalet fotoner för m per sekund beräknade vi i a), så totala trycket blir nu P = p N = p N = = N/m (= Pa). Lösning.3 c): Se t.ex. [*] I detta exempel ska vi behandla det interferensförsök som nns beskrivet i bilden nedan. 3

4 ABCD bildar en kvadrat med sidan 3 mm. Anordningen kan vridas kring en horisontell axel som sammanfaller med sträckan DC. Låt φ vara sträckan DA:s vinkel mot horisontalplanet. Figuren nedan visar räknehastigheten i detektorn som funktion av φ. Bestäm neutronernas våglängd och energi. Lösning.7: Det är skillnaden i potentiell energi orsakad av gravitationen mellan sträckorna AB och DC som ger upphov till interferens mönstret. När skillnaden motsvarar ett helt antal våglängder får vi (konstruktiv) interferens. De respektive våglängderna är (icke-relativistisk beräkning) λ DC = h/ me kin, λ AB = h/ m (E kin mga sin φ). Notera att den kinetiska energin för sträckan AB är lika med den kinetiska energin för sträckan DC (som vi betecknar E kin ) minus den potentiella energi 4

5 som skiljer mellan position A och D. Skillnaden i antalet våglängder är (a = 3 mm är kvadraten ABCD:s sida) n = a/λ DC a/λ AB = a ( mekin ) m (E kin mga sin φ) = h = a me kin h ( ) mga sin φ. E kin Genom att nu använda första termen i en serieutveckling av roten ( x x/) får vi n a me kin h mga sin φ E kin = a m 3/ g sin φ. () h Ekin Ur guren (nederst på sidan 3 i läroboken) utläser vi att skillnaden mellan 6 interferens toppar är ca 4 och vi kan då lösa ut E kin ur sambandet () ovan med n = 6 och sin får vi ( a m 3/ ) g.669 E kin = h J =.4 ev, där vi använt a = 3 3 m, h = π = Js, m = m n =.67 7 kg, g = 9, 8 N/kg. Vi kan nu beräkna våglängden ur följande samband E kin = p m = m h λ λ.4 m =.4 nm..8 Vid en viss tidpunkt ges en partikels vågfunktion av { Nx exp ( x/a), x > ψ (x, ) =, x <. a) Bestäm konstanten N så att vågfunktionen blir normerad. b) Vad är sannolikheten att vid denna tidpunkt nna partikeln i följande intervall x <, < x < a och x > a? Lösning.8 a): Att vågfunktionen är normerad innebär att ψ (x, ) dx =. 5

6 Således får vi N x e x/a dx = N = } {{ } a 3 /4 4 a 3. Lösning.8 b): I intervallet x < är vågfunktionen identiskt så här är sannolikheten att hitta partikeln. För intervallet < x < a använder vi den 'vanliga' sannolikhetstolkningen P ( < x < a) = a ψ (x, ) dx = 4 a a 3 x e x/a dx. Integralen ovan kan t.ex. beräknas m.h.a. (upprepad) partialintegration a x e x/a dx = ] a [x e x/a + a /a a ] a xe x/a dx = a3 e + a [x e x/a + /a + a a Alltså får vi e x/a dx = a3 e a3 e a3 ( e ) = a3 ( 5e ). 4 4 P ( < x < a) = 4 a 3 ( 5e ) a 3 = 5e. 4 I det sista intervallet skulle vi kunna göra på samma sätt. Men vi kan också utnyttja att den totala sannolikheten är, så att sannolikheten för det sista intervallet är P (a < x) = P ( < x < a) = ( 5e ) = 5e. 3. En jämn ström av elektroner har den kinetiska energin.ev (per elektron). I medeltal passerar 5 partiklar per sekund en punkt på x axeln. Ange den vågfunktion som beskriver denna ström på formen φ + (x) = A exp (ikx). Lösning 3.: Vågtalet blir k = me/ = / ( ) = =.6 9 m =.6 (nm). 6

7 Om vi räknar ut farten v = k/m = /9. 3 = 859 ms, vet vi att: '859 m vågfunktion innehåller 5 elektroner'. Således blir normeringen 5 = 859 φ + (x) dx = 859 A A =.5 m / 3.6 [Dator] I texten har vi givit ett approximativt uttryck för transmittansen vid tunneleekten. Den eekt vi har försummat är interferensen mellan den infallande vågen och den våg som reekteras vid 'bakkanten'. Denna eekt bör vara mycket liten eftersom endast en liten del av vågen penetrerar så långt in. Genom att ställa upp passningsvillkor både för fram- och bakkant av potentialsteget kan man få ett mer korrekt uttryck. Gör detta för potentialbarriären { V, < x < a V (x) =, x <, x > a. Bestäm T genom att lösa Schrödingerekvationen för alla x. Plotta sedan T = T (E) både för denna exakta lösning och för approximationen enligt läroboken sidan 57. Lösning 3.6: I gur har vi plottat den exakta formeln (med = m (V E)/ ) T = samt approximationen (för E < V ) ( V ) + sinh (a), () 4 V E E T 6 (V E) E V exp ( a), (3) som även åternns i lärobokens facit på sidan (observera skillnaden i notation för k och ). Vi ger här en härledning av den exakta analytiska formeln (), ett liknande förfarande kan även användas för att lösa uppgift 3.4 c) analytiskt. Passning av vågfunktionen (jämför med uppgift 3.4 där vågfunktionen var oscillerande i alla områden) Ψ = Ae ikx + Be ikx, x < Ψ = Ce x + De x, < x < a Ψ = te ikx, a < x, { k = me/ = m (V E)/, och dess derivata i punkterna x = och x = a leder till fyra ekvationer med 7

8 Figure : Heldragen kurva visar den exakta formeln () för transmittansen som funktion av energin (V = 5 ev, a =.5 nm, m = m e ). Den streckade kurvan visar den approximativa formeln (3), vilken syns vara en god approximation i området E < V då a. fem obekanta A }{{} e ik +B e } ik {{} = C }{{} e +D e } {{} Ce a + De a = te ika Aik }{{} e ik Bik } e ik {{} = C }{{} e D e } {{} Ce a De a = tike ika. (4) Efter att ha satt A = (ekvivalent med att införa nya variabler B = B/A osv) kan vi mera kortfattat skriva ekvationssystemet (4) på matrisform med fyra obekanta, B, C, D och t, där den sökta transmitansen T sedan beräknas som T = t e a e a e ika i/k i/k e a e a ike ika B C D t =. (5) Denna matrisekvation kan t.ex. lösas numeriskt med hjälp av dator. Den analytiska lösningen fås lämpligen med formell Gausselimination och då är matrisekvationen (5) ekvivalent med uppställningen [ ik III II, II IV, ] IV III, ik 8

9 ik ik ik ea ik e a e ika e a e a e ika. De romerska sirorna inom den övre hakparantesen symboliserar operationer med olika radnummer i respektive steg. De följande eliminationsstegen lyder [II I II, ik IV III IV ], ik + ik + ik ea ik e a ( e ika ) ik e a ik e ika, [( ) ik + III ik ea II III, ] IV IV, ik + ik + (( ik e a ik + ) + ( ) ) ik e a ik e a ( ( ik + ) ) e ika ik e ika ik ea. En sista elimination [(( ik + ) + ( ) ) ik e a IV + III IV ] leder då till en ekvation för den komplexa variabeln t e ika { ( ) [( ) ik ik + + ( ) ] ( )} e a ik ik + t = ik ea. (6) Efter att ha multiplicerat med ik e a i (6), gör vi följande omskrivningar av vänsterledet eika { ( ik ) (( ) ( ik + e a + ) ) e a ik 9

10 ( + + ik ) } e a t = ( { k ) } eika cosh (a) + i sinh (a) t. k Vi kan då beräkna transmittansen enligt följande, där vi först antar att är reell (E < V ) = cosh (a) }{{} +sinh (a) T = t 4 = ( cosh (a) + i ) k k sinh (a) 4 k sinh (a) = + ( +k ) 4 k sinh (a). + ( k ) Genom att nu sätta in = m (V E)/ och k = me/ får vi T = V + 4(V E)E sinh (a). (7) För fallet då = i är imaginär (E > V ) får vi T = + (k ) 4 k sinh (a) = V 4(V E)E sin ( a). (8) Vi kan sammanfatta de två dellösningarna (7) och (8) på formen given i ekvation (). ommentar: Den approximativa formeln (3) som bara är av intresse då E < V följer direkt ur en undersökning gränsvärdet då a T + V exp(a) 4(V E)E 4 i överensstämmelse med sidan 57 i läroboken. 6 (V E) E V exp ( a), 4.5 En partikel med massan m benner sig i en ändlig potentialbrunn { V, x < b V (x) =, x > b. Man har valt konstanterna så att grundtillståndets energi är

11 E = V /. a) Ställ upp Schrödingerekvationen både i och utanför brunnen. b) Härled passningsvillkoret för x = b. c) Vilket samband måste råda mellan konstanterna b och V i detta fall? d) Rita vågfunktionen. Lösning 4.5 a): Grundtillståndets energi är given som E = V /. I brunnen gäller V (x) = V, vilket ger följande (tidsoberoende) Schrödingerekvation m φ V φ = V φ. Utanför brunnen är V (x) =, vilket ger ekvationen m φ = V φ. Lösning 4.5 b): Grundtillståndet har jämn paritet, således gäller (se sidan 74 i läroboken) ( ) tan mb (E + V ) / = ( E) / (E + V ), vilket ger med E = V / ( ) tan mb V / = mb V / = π/4. (9) Lösning 4.5 c): Sambandet mellan b och V erhålls direkt ur (9) och blir V b = π 6m. Lösning 4.5 d) Se gur. 4.8 [*] En partikel med massan m påverkas av potentialen

12 Figure : En skiss av vågfunktionen., x < V (x) = V, < x < a, x > a. a) Antag att det nns tre bundna tillstånd. Skissera vågfunktionerna för dessa tillstånd! b) Ställ upp en relation ur vilken energierna för bundna tillstånd kan bestämmas. c) För vissa värden på V har partikeln bara ett bundet tillstånd. Bestäm dessa värden på V. Ledning: Vilket randvillkor ska gälla för x =? Jämför med den oändliga brunnen! Lösning 4.8 a): Se gur 3. Lösning 4.8 b): Vågfunktionen kan skrivas, x < φ (x) = A sin (kx), < x < a Be κx, x > a. Passning av vågfunktionen och dess derivata i punkten x = a (i punkten x = får vi det vanliga villkoret på k för E > V ) ger { A sin (ka) = Be κa Ak cos (ka) = Bκe κa Ak cos (ka) = κa sin (ka) tan (ka) = k κ. ()

13 Figure 3: En skiss av de tre bundna vågfunktionerna. Då vi har κ = m ( E) / och k = m (E + V ) / gäller k/κ = (E + V ) / ( E), så att ekvation () ger ( ) tan ma (E + V ) / = (E + V ) / ( E). () ommentar: Inte helt oväntat (spegla vågfunktionen i x och y axeln) är denna formel identisk med villkoret för bundna udda tillstånd i en brunn med bredden a, jämför med uppgift 4.4. Lösning 4.8 c): I enlighet med kommentaren till uppgift b) svarar detta mot en ändlig brunn med bredden a som har två bundna tillstånd (varav ett är udda). I uppgift 4.7 gav vi ett exempel på detta, vi ger nu en allmänn lösning. Att ekvation () skall ha precis en lösning i intervallet V < E < betyder att tangensfunktionen i vänsterledet av () skall divergera precis en gång (högerledet i () är en monotont avtagande funktion som uppfyller > (E + V ) / ( E) > i det aktuella intervallet). Då det gäller att tan (x) för x = π/ + nπ, n Z, får vi från () villkoret att det för alla värden på E ( V < E < ) skall gälla att vilket svarar mot π/ < ma (E + V ) / < 3π/, π 8ma < V < 9 π 8ma. 3