Kandidatarbete. Zakbaser. Handledare: Ingemar Bengtsson. Av: Emma Jakobsson

Transkript

1 Kandidatarbete Zakbaser Av: Emma Jakobsson Handledare: Ingemar Bengtsson

2

3 Sammanfattning Inom kvantmekaniken används oftast x - eller p-representationen för att beskriva kvantmekaniska tillstånd. I det här arbetet kommer en alternativ bas i det oändligtdimensionella Hilbertrummet beskrivas. Denna baseras på de två koordinaterna q och k, vilka motsvarar position respektive rörelsemängd kända så när som på en additativ multipel av en konstant. Denna representation introducerades av den israeliske fysikern Joshua Zak och kallas således Zakrepresentationen. Hos Zaktillstånden är väntevärdena av position och rörelsemängd o- denierade och följaktligen är osäkerheterna hos dessa godtyckligt stora. Detta föranleder en jämförelse med koherenta tillstånd, vilka minimerar produkten i Heisenbergs osäkerhetsrelation. Denna skillnad till trots kommer vi se att dessa två typer av tillstånd skapas av snarlika operatorer. Slutligen ges ett konkret exempel på hur Zakrepresentationen kan användas för att visa hur koherenta tillstånd på ett gitter i fasrummet utgör en fullständig bas. Zak bases The most often used representations in quantum mechanics are the x - and p-representations. In this paper an alternative basis in the innite dimensional Hilbert space will be described. This basis is specied by the coordinates q and k, representing position and momentum respectively, although only known within an additative multiple of a constant. This basis was rst introduced by the Israeli phycisist Joshua Zak and is therefore called the Zak basis. In the Zak representation the expectation values of position and momentum are undened and accordingly the uncertainties of these are arbitrarily large. This motivates a comparison with coherent states, which minimize the product of these uncertainties in the Heisenberg uncertainty relation. Despite of this dierence between the two types of states, we will see that they are built up by similar operators. Finally the Zak representation will be used to prove the completeness of coherent states on a phase plane lattice.

4

5 Innehåll 1 Inledning Representationer inom kvantmekaniken Fouriertransformation Operatorerna ˆx och ˆp Heisenbergs osäkerhetsrelation Elektroner i periodiska potentialer Translationsoperatorn Blochs teorem Zakbaser Operatorn Ŝ(b) Zakbaser Operatorerna ˆx och ˆp i Zakrepresentationen Koherenta tillstånd Denition Egenskaper En jämförelse mellan Zaktillstånd och koherenta tillstånd 20 6 Koherenta tillstånd på ett gitter i fasrummet 21 A Appendix 22 A.1 Osäkerhetsrelationen A.2 Baker-Hausdors formel A.3 Diracs deltafunktion A.3.1 Bevis av ekvation (3.21) A.3.2 Bevis av ekvation (3.27) A.4 De koherenta tillstånden som överkomplett bas A.5 Vakuumtillståndet i x-representationen A.6 Väntevärdet av ˆx 2 för koherenta tillstånd

6

7 1 Inledning I vår vardag är vi vana vid föremål såsom bollar, klossar och dylikt. Dessa föremål är för oss konkreta; vi kan se dem, vi kan ta på dem och vi har en känsla för hur de kommer bete sig. En intuition grundad på erfarenhet. I jämförelse med de beståndsdelar som bygger upp dessa föremål, är bollarna och klossarna makroskopiska system. När vi försöker visualisera de små beståndsdelarna, såsom elektroner och protoner, tänker vi gärna på dem som om de vore små bollar. Men en elektron eller en proton beter sig inte som en boll. Vi måste ta till kvantmekanik för att beskriva dem. Vi säger att en partikel benner sig i ett visst kvantmekaniskt tillstånd. 1.1 Representationer inom kvantmekaniken Låt ψ beteckna något kvanttillstånd. Detta ψ ses som en vektor i Hilbertrummet, vilket är det rum som utgörs av alla kvadratiskt integrerbara funktioner. Vi kan t.ex. välja att beskriva tillståndet ψ som en funktion av positionen x, genom att beräkna den inre produkten x ψ = ψ(x), (1.1) där tillståndet x är egentillstånden till ˆx-operatorn. Dessa har egenvärdena x, dvs ˆx x = x x. (1.2) Tillstånden x är inte normerbara, vilket innebär att de inte bebor Hilbertrummet, och representerar därför inte ett möjligt fysikaliskt tillstånd. Men de utgör ändå en bas i det oändligtdimensionella Hilbertrummet. De är ortogonala, ty och fullständiga, då x x = δ(x x ), (1.3) dx x x = 1. (1.4) Att dessa tillstånd utgör en fullständig ortogonal bas enligt ekvationerna (1.3) och (1.4), innebär att varje godtyckligt tillstånd ψ kan beskrivas som en funktion av x enligt ekvation (1.1). Denna funktion, även kallad vågfunktionen, är sannolikhetsamplituden att nna en partikel i tillståndet ψ i positionen x. Alternativt kan vi välja att uttrycka ett kvanttillstånd som en funktion av rörelsemängden p: ψ(p) = (p ψ. (1.5) Här betecknas egentillstånden till ˆp-operatorn p) 1, för vilka gäller att ˆp p) = p p). Liksom alla tillstånd kan beskrivas som en funktion av positionen x kan 1 Valet av notation här kommer att få sin förklaring i avsnitt 3.3, där vi behöver kunna skilja egentillstånden till ˆp-operatorn från egentillstånden till ˆx-operatorn. 6

8 de också väljas att beskrivas som en funktion av rörelsemängden p, då även tillstånden p) är ortogonala, och fullständiga, (p p ) = δ(p p ), (1.6) dp p) (p = 1, (1.7) och därmed uppfyller kraven på en fullständig ortogonal bas. 1.2 Fouriertransformation Vi kan alltså välja att beskriva ett tillstånd ψ som antingen en funktion av positionen x eller rörelsemängden p. Förhållandet mellan dessa två representationer ges av Fouriertransformation. Enligt ekvation (1.7) har vi x ψ = Eller som vi är vana vid att se det uttryckt ψ(x) = 1 2π dp x p) (p ψ. (1.8) vilket vi får då den inre produkten x p) ges av dp e ipx ψ(p), (1.9) x p) = 1 2π e ipx. (1.10) Ekvationen ovan talar således om för oss hur vi gör transformationen ψ(x) ψ(p). I samtliga ekvationer ovan har Plancks konstant för enkelhetens skull satts lika med ett, vilket även fortsättningsvis kommer gälla. 1.3 Operatorerna ˆx och ˆp Med hjälp av Fouriertransformation kan vi ta reda på hur operatorerna ˆp och ˆx ser ut i x- respektive p-representationerna. Vi får ˆp = i d dx (1.11) ˆx = i d dp. (1.12) Operatorn ˆx sägs utgöra en fullständig uppsättning kommuterande operatorer. Detta innebär att alla operatorer som kommuterar med ˆx, nödvändigtvis är funktioner av x, och är en förutsättning för att dess egentillstånd ska kunna utgöra en fullständig bas. På samma sätt utgör även operatorn ˆp en fullständig 7

9 uppsättning kommuterande operatorer. Operatorerna ˆx och ˆp kommuterar således inte med varandra. Vi har [ˆx, ˆp] = i, (1.13) vilket man lätt kommer fram till med hjälp av ekvationerna (1.11) och (1.12). Att kommutatorn ovan ser ut som den gör är något vi kommer ha anledning att återkomma till senare. 1.4 Heisenbergs osäkerhetsrelation Som en följd av att operatorerna ˆx och ˆp inte kommuterar, kan inte position och rörelsemängd vara exakt bestämda samtidigt. Rent konkret ser vi detta om vi, givet en vågfunktion ψ(x), beräknar osäkerheten x i positionen, som ges av ( x) 2 = ˆx 2 ˆx 2, (1.14) och sedan gör motsvarande räkning för p. Resultatet kommer aldrig bli annat än x p 0. Om vi för en godtycklig hermitsk operator  (dvs. en operator som svarar mot någon observerbar storhet, för vilken gäller att  = Â) denierar operatorn A ˆ =  Â, (1.15) så gäller generellt att ( ˆ A) 2 ( ˆ B) [Â, ˆB] 2, (1.16) där även ˆB är en hermitsk operator. Detta visas i Appendix A.1. Speciellt får vi i fallet med position och rörelsemängd, där kommutatorn ges av ekvation (1.13), Detta är Heisenbergs osäkerhetsrelation. x p 1 2. (1.17) Syftet med det här arbetet är att beskriva en alternativ bas i det oändligtdimensionella Hilbertrummet. Här utgörs basen av tillstånden q, k, där koordinaterna q och k motsvarar position och rörelsemängd kända så när som på en additativ multipel av en konstant. Det intressanta här är att vi har en uppsättning tillstånd som är funktioner av två variabler vilka upptar punkter på en torus, snarare än tillstånd som är funktioner av en variabel som antar värden på den reella tallinjen, vilket är fallet i x- och p-representationerna. Dessa tillstånd kallas Zaktillstånd efter den israeliske fysikern Joshua Zak som var först med att introducera dem [1, 2, 3]. 8

10 2 Elektroner i periodiska potentialer Ursprungligen introducerades Zakrepresentationen som ett praktiskt sätt att beskriva elektroners rörelse i fasta material. I fasta material sitter ofta atomkärnorna ordnade i ett regelbundet mönster, ett gitter, och elektroner som rör sig i materialet känner av en elektrisk potential från dessa atomkärnor. Låt oss därför börja med att ta en titt på Blochmodellen som grundar sig på rörelsen hos en laddad partikel i en periodisk potential. 2.1 Translationsoperatorn Vi börjar med att introducera operatorn ˆT (a) = e iˆpa. (2.1) Denna är en translationsoperator, då den genererar en translation a i x-koordinaten på följande vis: ˆT (a)f(x) = f(x + a). (2.2) För att visa detta börjar vi med att titta närmare på operatorn ˆT (a). Vi har att ˆT (a) = e iˆpa = e a d dx, (2.3) då operatorn ˆp i x-representationen ges av ekvation (1.11) på sida 7. Vi har nu e a d dx = 1 + a d = I vänsterledet i ekvation (2.2) står alltså ˆT (a)f(x) = dx + a2 2! d 2 dx a n d n n! dx n. (2.4) a n d n f(x), (2.5) n! dxn vilket inte är något annat än Taylorutvecklingen av f(x + a). Så om funktionen f(x) är sådan att Taylorsumman ovan konvergerar mot f(x + a) ser vi att (2.2) gäller. 2.2 Blochs teorem Låt oss betrakta en elektron som benner sig i en potential med perioden a. Det kan exempelvis vara ett gitter av atomkärnor i ett fast material, där varje atomkärna benner sig på avståndet a från sina närmaste grannar. Detta innebär att Hamiltonoperatorn Ĥ är periodisk i x med perioden a, och således kommuterar med translationsoperatorn ˆT (a). Det ser vi om vi verkar med kommutatorn 9

11 [Ĥ(ˆx, ˆp), ˆT (a)] på en testfunktion f(x): [Ĥ(ˆx, ˆp), ˆT (a)]f(x) = Ĥ(ˆx, ˆp) ˆT (a)f(x) ˆT (a)ĥ(ˆx, ˆp)f(x) = Ĥ(ˆx, ˆp)f(x + a) Ĥ(ˆx + a, ˆp)f(x + a) = 0, (2.6) då Hamiltonoperatorn är periodisk i x. Detta innebär att det nns en uppsättning tillstånd som är egentillstånd till såväl Hamiltonoperatorn som translationsoperatorn, som utgör en fullständig bas i Hilbertrummet. Enligt Blochs teorem kan då varje sådan egenfunktion, låt oss kalla den φ(x), skrivas på formen φ(x) = e ikx u(x), (2.7) där k [0, 2π/a) och funktionen u(x) har perioden a. Beviset, som det presenteras av G. Lindblad [4], är enkelt. Antag att φ(x) är egenfunktion till ˆT (a) med egenvärdet e iα, α [0, 2π): Vi ser då att funktionen ˆT (a)φ(x) = φ(x + a) = e iα φ(x). (2.8) u(x) = e iαx/a φ(x) (2.9) är periodisk med perioden a. Följaktligen kan φ(x) skrivas på formen (2.7) med k = α/a. Eftersom α tillhör intervallet [0, 2π), väljer vi k på intervallet [0, 2π/a). Rörelsemängden p ges då av k + n2π/a, för något n Z. Som vi såg i avsnitt 1.1 utgör egentillstånden till operatorn ˆx en fullständig bas, liksom egentillstånden till ˆp-operatorn. Detsamma gäller inte för de tillstånd som endast är egentillstånd till translationsoperatorn ˆT (a). Våra φ(x) utgör en fullständig bas om de samtidigt bestäms av att de är egenfunktioner till Hamiltonoperatorn, vilket är möjligt endast då Hamiltonoperatorn kommuterar med translationsoperatorn. Translationsoperatorn och Hamiltonoperatorn utgör tillsammans en fullständig uppsättning kommuterande operatorer. 3 Zakbaser Låt oss behålla fokus på translationsoperatorn ˆT (a). I föregående avsnitt utnyttjades att translationsoperatorn kommuterar med Hamiltonoperatorn om denna är periodisk, och ett generellt uttryck för deras gemensamma egenfunktioner härleddes. Vi kommer här dock välja att gå en annan väg och frågar oss om vi kan hitta en annan operator som kommuterar med ˆT (a), så att deras gemensamma egentillstånd utgör en bas. 3.1 Operatorn Ŝ(b) Betrakta följande operator, låt oss kalla den Ŝ(b): Ŝ(b) = e iˆxb. (3.1) 10

12 Vi ser att helt analogt med operatorn ˆT (a) genererar denna en translation b i p-representationen, då operatorn ˆx i denna representation ges av ekvation (1.12) på sida 7. Enligt Baker-Hausdors formel gäller för två operatorer  och ˆB som båda kommuterar med kommutatorn [Â, ˆB] att eâe ˆB = e 1 2 [Â, ˆB] eâ+ ˆB = e [Â, ˆB] e ˆBeÂ, (3.2) vilket visas i Appendix A.2. Detta ger, tillsammans med att [ˆp, ˆx] = i, att ˆT (a)ŝ(b) = eiˆpa e iˆxb = e iab e iˆxb e iˆpa = e iab Ŝ(b) ˆT (a). (3.3) Vi ser i ekvation (3.3) att för ab = 2π gäller [ ˆT (a), Ŝ(b)] = 0, och vi denierar därför konstanten b som b 2π/a. Att operatorerna ˆT (a) och Ŝ(b) kommuterar är alltså en följd av att [ˆx, ˆp] = i. Generellt kan vi för två operatorer Ĉ och ˆD, för vilka gäller att [Ĉ, ˆD] = i, alltid välja en godtycklig konstant a och deniera operatorerna ˆT (a) och Ŝ(2π/a). 3.2 Zakbaser Som vi redan vet är funktionen φ(x) på formen (2.7) på sida 10 en allmän egenfunktion till ˆT (a) med egenvärden e ika, k [0, b). Vi frågar oss hur funktionen u(x) i ekvation (2.7) ska se ut för att φ även ska vara en egenfunktion till Ŝ(b). Vi noterar att egentillståndet q till operatorn ˆx, med egenvärden q, även är egentillstånd till Ŝ(b): Vi kan välja q på intervallet [0, a), och då gäller e iˆxb q = e iqb q, q R. (3.4) e iˆxb q + na = e iqb q + na, q [0, a). (3.5) n Z n Z Nu var det en funktion av x vi var ute efter, så låt oss skriva dessa egentillstånd som funktioner av x: x q + na = δ(x q na), (3.6) n Z n Z enligt ekvation (1.3) på sida 6. Funktionen (3.6) ovan uppfyller de krav vi ställde på funktionen u(x); den är periodisk med perioden a. Insättning i ekvation (2.7) ger att funktionen φ(x) = f(q, k) n Z e ikna δ(x q na), (3.7) 11

13 där funktionen f(q, k) innehåller en normeringskonstant och en eventuell fasfaktor, är egenfunktion till såväl ˆT (a) som Ŝ(b). Vi kan välja att beteckna våra egentillstånd q, k. Då ekvation (3.7) är uttrycket för dessa tillstånd som funktion av x, dvs den inre produkten x q, k, ser vi att q, k = f(q, k) n Z e ikna q + na. (3.8) Ovanstående uttryck ger oss verktyget att beskriva ett tillstånd ψ som en funktion av q och k. Låt oss kalla denna funktion ϕ(q, k) q, k ψ. Vi har ϕ(q, k) = q, k ψ = f (q, k) n Z e ikna q + na ψ = f (q, k) n Z e ikna ψ(q + na). (3.9) Här har vi alltså en vågfunktion av två koordinater, q och k. Vi kan se det som att punkterna (q, k) ligger på den rektangel i fasrummet vars sidor har längderna a och b och vars area är ab = 2π. Denna rektangel täcker förstås inte alla punkter i fasrummet. Då ett tillstånd med positionen x i Zakrepresentationen beskrivs av samma koordinat q som det tillstånd med positionen x + a, vore det bättre att sluta rektangeln till en cylinder, så att varje föryttning a längs x-axeln motsvarar ett varvs föryttning runt cylindern. Dock har vi även en periodicitet i rörelsemängden p, vilket betyder att punkterna (q, k) bäst beskrivs som punkter på en torus, som ju har två periodiciteter. Perioderna bestäms av konstanten a, så låt oss kalla denna torus τ(a). Det återstår att normera tillstånden (3.8) och att visa att dessa utgör en fullständig ortogonal bas. Första steget är att visa att varje ψ i Hilbertrummet kan uttryckas i basen q, k, dvs att dq dk q, k q, k = 1. (3.10) τ(a) Låt oss applicera operatorn ovan på den inre produkten ψ ψ. Med hjälp av ekvation (3.9) har vi dq dk ψ q, k q, k ψ τ(a) = f(q, k) 2 = b f(q, k) 2 n m,n Z τ(a) a 0 dq dk e ik(n m)a ψ (q + na)ψ(q + ma) dq ψ (q + na)ψ(q + na). (3.11) Sista steget ovan följer av att integralen över k endast ger något bidrag för de termer i dubbelsumman där n = m. Faktorn f(q, k) kan lyftas ur integralen 12

14 då denna är en konstant. Vi har nu en summa av integraler från q = 0 till q = a över funktionen ψ(q + na) för alla n Z. Vi kan med andra ord uttrycka detta som en integral över hela reella tallinjen: dq dk ψ q, k q, k ψ = b f(q, k) 2 dq ψ (q)ψ(q) τ(a) = b f(q, k) 2 ψ ψ. (3.12) Sista steget följer av ekvation (1.4) på sida 6. Låter vi f(q, k) = 1 b gäller alltså ekvation (3.10). Vidare ger en räkning, liknande den ovan, att dq dk q, k q, k ϕ(q, k) = ϕ(q, k ), (3.13) vilket visar att τ(a) q, k q, k = δ(q q)δ(k k). (3.14) Sammanfattningsvis har vi nu, genom att visa ekvationerna (3.10) och (3.14), visat att tillstånden q, k = 1 e ikna q + na (3.15) b n Z utgör en fullständig ortonormal bas. Ett godtyckligt tillstånd ψ kan uttryckas i denna bas givet av ϕ(q, k) = 1 e ikna ψ(q + na). (3.16) b n Z Dessa är egentillstånd till operatorerna ˆT (a) och Ŝ(b). 3.3 Operatorerna ˆx och ˆp i Zakrepresentationen I avsnitt 3.2 såg vi att varje tillstånd ψ kan beskrivas som en funktion av koordinaterna q och k. Ekvation (3.15) ger oss verktyget för att göra transformationen ψ(x) ϕ(q, k). Låt oss kalla detta en Zaktransformation. Liksom ekvation (1.10) på sida 7 innehåller information om hur vi gör en Fouriertransformation har vi, givet av ekvation (3.15), x q, k = 1 e ikna δ(x q na), (3.17) b n Z som talar om hur vi gör en Zaktransformation. Det intressanta med den här transformationen är att den är bijektiv. För varje funktion ψ(x), nns en motsvarande funktion ϕ(q, k) som beskriver exakt samma tillstånd, och tvärtom. Men medan den ena funktionen, ψ, är en funktion av positionen x, vars värden ligger på den reella tallinjen, är den andra, ϕ, en funktion av två variabler, q och k, vilka utgör punkter på torusen τ(a). 13

15 Liksom Fouriertransformation av operatorerna ˆx och ˆp ger ekvationerna (1.11) och (1.12), kan vi ta reda på hur samma operatorer ser ut i Zak-representationen. Vi börjar med operatorn ˆx, genom att ta hjälp av x-representationen: ˆxϕ(q, k) = q, k ˆx ψ = = dx q, k ˆx x x ψ dx x q, k x x ψ = 1 dx e ikna xδ(x q na)ψ(x) b n Z = 1 e ikna (q + na)ψ(q + na) b n Z = (q + i )ϕ(q, k). (3.18) k Av räkningarna ovan ser vi att när operatorn ˆx verkar på ett tillstånd ϕ(q, k), är det detsamma som att verka med operatorn ˆq + i / k på detta tillstånd. Motsvarande räkning för ˆp-operatorn ger ˆp ϕ(q, k) = q, k ˆp ψ = dx q, k x x i d dx ψ = 1 e ikna b n Z dx δ(x q na)( i) dψ dx (3.19) Utför vi här en partiell integration, nner vi att då lim x ± ψ(x) = 0, vilket måste gälla då ψ(x) är normerbar, återstår endast en term. Vi har ˆp ϕ(q, k) = i e ikna b n Z = i e ikna b n Z dx δ(x q na)ψ(x) x dx δ(x q na)ψ(x) q = i ϕ(q, k). (3.20) q Här har utnyttjats att för deltafunktionen gäller x δ(x x ) = x δ(x x ), (3.21) se Appendix A.3.1 för bevis. Sammanfattningsvis har vi för operatorerna ˆx och ˆp i Zakrepresentationen: ˆx = ˆq + i / k, (3.22) ˆp = i / q. (3.23) 14

16 Det kan tyckas lite lustigt att uttrycken för dessa operatorer är asymmetriska. Vi provar att närma oss problemet från ett annat håll, och ser vad som händer. I avsnitt 3.2 härleddes uttrycket för tillstånden q, k genom att utgå från tillstånden x. Det påpekas av Arvind m. [5] att vi lika gärna skulle kunna utgå från egentillstånden p) till ˆp-operatorn och komma fram till att tillstånden q, k) = 1 e iqnb k + nb) (3.24) a n Z är egentillstånd till operatorerna ˆT (a) och Ŝ(b), vilket lätt kan prövas. Denna bas är likvärdig basen q, k som vi tidigare arbetat med. Så hur förhåller sig basen q, k) till basen q, k? Vi har enligt ekvationerna (3.15) och (3.24) q, k q, k) = 1 2π = 1 2π n,m Z n,m Z I räkningarna ovan har använts att uttryckt som en Fourierserie, och e ik na e iqmb q + na k + mb) e ik na e iqmb e i(q +na)(k+mb) = 1 2π eiq k e i(k k )na e i(q q)mb n Z m Z = e iqk δ(k k)δ(q q). (3.25) δ(x) = 1 2π e inx, (3.26) n Z δ(cx) = 1 δ(x), (3.27) c där c är någon (nollskild) reell konstant. Det senare förhållandet visas i Appendix A.3.2. Ekvation (3.25) antyder att q, k) = e iqk q, k, (3.28) då tillstånden q, k är ortogonala enligt ekvation (3.14). De två baserna q, k och q, k) skiljer sig alltså åt med en fasfaktor. En konsekvens av denna fasskillnad ser vi om vi nu beräknar operatorerna ˆx och ˆp i basen q, k). Vi får ˆx = i / k (3.29) ˆp = ˆk i / q. (3.30) En jämförelse med uttrycken för samma operatorer i ekvationerna (3.22) och (3.23) visar att valet av fas för tillstånden q, k och q, k) är avgörande för hur operatorerna ˆx och ˆp ser ut i Zakrepresentationen. Dessa behöver inte vara asymmetriska i q och k om fasen väljs på rätt sätt. 15

17 4 Koherenta tillstånd En intressant egenskap hos tillstånden q, k är att väntevärdena av positionen x och rörelsemängden p är helt odenierade. Koordinaterna q och k ger viss information om position respektive rörelsemängd, men säger inget om vilket intervall som är mest sannolikt. Osäkerheterna i dessa storheter är således godtyckligt stora. Detta motiverar en jämförelse med en annan typ av tillstånd, de koherenta tillstånden, som minimerar produkten mellan osäkerheterna x och p i Heisenbergs osäkerhetsrelation. Dessa beskrivs av såväl Leonhardt [6] som Bengtsson och yczowski [7]. 4.1 Denition Först tar vi en titt på hur de koherenta tillstånden byggs upp. De koherenta tillstånden är egentillstånd till förintelseoperatorn â. Beteckna de koherenta tillstånden z och vi får â z = z z, (4.1) där z är något komplext egenvärde till det koherenta tillståndet. Skapelse- och förintelseoperatorerna denieras som vanligt som â = 1 2 (ˆx iˆp), â = 1 2 (ˆx + iˆp), (4.2) för vilka gäller [â, â ] = 1. (4.3) Nu introducerar vi föryttningsoperatorn ˆD(z): ˆD(z) = e zâ z â. (4.4) För denna gäller ˆD (z)â ˆD(z) = â + z. (4.5) Detta visas genom att betrakta en innitesimal föryttning δz. Taylorutveckling av ˆD(δz) ger i första ordningen av δz vilket, om vi ignorerar högre ordningar av δz, ger ˆD(δz) = 1 + δzâ δz â, (4.6) ˆD (δz)â ˆD(δz) = â + [â, â δz âδz ] = â + δz. (4.7) Sista steget följer av ekvation (4.3). Då ˆD(z) = ˆD(δz), med z = δz, och eftersom operatorn ˆD är unitär, dvs ˆD(z) ˆD (z) = 1, (4.8) 16

18 kan denna innitesimala föryttning utföras upprepade gånger och vi får att ekvation (4.5) gäller. Deniera nu vakuumtillståndet 0 som det tillstånd för vilket gäller Enligt ekvationerna (4.5) och (4.8) har vi â 0 = 0. (4.9) â ˆD( z) z = ˆD( z) ˆD ( z)â ˆD( z) z = ˆD( z)(â z) z, (4.10) vilket måste vara lika med noll enligt denitionen (4.1) av de koherenta tillstånden. Med andra ord måste vakuumtillståndet 0 vara lika med just ˆD( z) z. De koherenta tillstånden kan således skrivas som z = ˆD ( z) 0 = ˆD(z) 0. (4.11) Nu går vi vidare genom att med hjälp av Baker-Hausdors formel skriva om uttrycket för ˆD(z) som ˆD(z) = e z 2 /2 e zâ e z â. (4.12) Den tredje faktorn i uttrycket ovan har ingen verkan på vakuumtillståndet. Enligt denitionen (4.9) av vakuumtillståndet försvinner alla termer i Taylorutvecklingen av denna faktor, utom den inledande ettan. Vi har alltså ˆD(z) 0 = e z 2 /2 e zâ 0 = e z 2 /2 (zâ ) n 0. (4.13) n! Här känner vi igen uttrycket för tillstånden n för en harmonisk oscillator. Dessa tillstånd skapas utifrån vakuumtillståndet med hjälp av skapelseoperatorn: n = â n n! 0. (4.14) De är egentillstånd till operatorn â â. Vi drar oss till åminnes att för dessa gäller n n = 1, (4.15) m n = δ mn, (4.16) â n = n n 1, (4.17) â n = n + 1 n + 1. (4.18) Här betecknar δ mn som brukligt Kroneckerdeltat, för vilket gäller { 1 för m = n δ mn = 0 för m n. (4.19) 17

19 Kombinerar vi nu ekvationerna (4.13) och (4.14) får vi z = e z 2 /2 z n n! n. (4.20) Ovan har vi nu de koherenta tillstånden uttryckta i det komplexa talet z, som är egenvärde till förintelseoperatorn. Låt oss dela upp detta komplexa tal i dess reella och imaginära del: z = 1 2 (x 0 + ip 0 ), (4.21) och använda denitionen (4.2) av skapelse- och förintelseoperatorerna. Vi får att operatorn ˆD(z) motsvarar Û(x 0, p 0 ) = e i(p0 ˆx x0 ˆp). (4.22) Vi kan välja att beteckna våra koherenta tillstånd x 0, p 0, som denieras av x 0, p 0 = Û(x 0, p 0 ) 0, (4.23) enligt ekvation (4.11). Varje koherent tillstånd denieras därmed av en punkt (x 0, p 0 ) i ett tvådimensionellt plan, inte helt olikt vad vi från den klassiska mekaniken känner som fasrummet. 4.2 Egenskaper Vilka egenskaper har då dessa tillstånd? För de koherenta tillstånden gäller 1 dx 0 dp 0 x 0, p 0 x 0, p 0 = 1, (4.24) 2π där integrationen är över hela x 0 p 0 -planet. Detta kommer man fram till genom att använda uttrycket (4.20) för z = x 0, p 0, utföra integrationen och sedan utnyttja det faktum att tillstånden (4.14) utgör en fullständig bas enligt (4.15). Denna räkning kräver en del utrymme och visas därför explicit i Appendix A.4. De koherenta tillstånden utgör en överkomplett bas, då de inte är ortogonala. Vi har x 0, p 0 x 0, p 0 = e [(x0 x 0 )2 +(p 0 p 0 )2 ]/4+i(x 0p 0 x 0 p0)/2. (4.25) Detta ger att x 0, p 0 x 0, p 0 = 1, (4.26) men x 0, p 0 x 0, p 0 0 då x 0 x 0, p 0 p 0. Vi ser däremot i ekvation (4.25) att då avståndet mellan punkterna (x 0, p 0 ) och (x 0, p 0) ökar, går den inre produkten x 0, p 0 x 0, p 0 snabbt mot noll. Att de koherenta tillstånden är överkompletta innebär att om man väljer ut en del av dem skulle dessa ändå kunna bilda en fullständig bas, vilket vi återkommer till i avsnitt 6. 18

20 Så vad har koordinaterna x 0 och p 0 med position och rörelsemängd att göra? Vi börjar med att titta på hur operatorerna Û(x 0, p 0 ) verkar på en funktion f(x). Om vi återigen utnyttjar Baker-Hausdors formel (3.2) på sida 11 får vi e i(p0 ˆx x0 ˆp) = e ix0p0/2 e ip0 ˆx e ix0 ˆp. (4.27) I x-representationen utförs således först en föryttning i x-koordinaten, och sedan läggs en fasfaktor till, så att Û(x 0, p 0 )f(x) = e ip0(x x0/2) f(x x 0 ). (4.28) Operatorn Û är alltså en translationsoperator, liksom operatorn ˆT (a) som vi bekantade oss med i avsnitt 2.1. Nu är vi nykna på hur tillstånden x 0, p 0 ser ut i x-representationen. Vi får I Appendix A.5 visas att och vi får x x 0, p 0 = x Û(x 0, p 0 ) 0 (4.29) = e ip0(x x0/2) x x 0 0. (4.30) x 0 = π 1/4 e x2 /2, (4.31) x x 0, p 0 = π 1/4 e (x x0)2 /2+ip 0(x x 0/2). (4.32) Detta ger sannolikheten att mäta partikeln i positionen x: x x 0, p 0 2 = π 1/2 e (x x0)2. (4.33) Detta är en Gausskurva centrerad kring x = x 0. Upprepade positionsmätningar av ett sådant tillstånd ger alltså värden normalfördelade kring x 0, och på så sätt denieras positionen utifrån koordinaten x 0. Därför kan vi göra analogin med det klassiska fasrummet. Låt oss nu titta på Heisenbergs osäkerhetsrelation. Utifrån uttrycket (4.20) för ett koherent tillstånd kan vi räkna ut väntevärdet av ˆx och ˆx 2 genom att skriva om dessa uttryckt i förintelse- och skapelseoperatorerna och använda att deras verkan på tillstånden n ges av ekvationerna (4.17) och (4.18), samt utnyttja ortogonaliteten (4.16). Detta ger ˆx = x 0, p 0 ˆx x 0, p 0 = x 0, (4.34) 2 ˆx = x 0, p 0 ˆx 2 x 0, p 0 = x (4.35) Den senare räkningen visas mer explicit i Appendix A.6. För ett koherent tillstånd får vi då ( x) 2 = ˆx 2 ˆx 2 = 1 2. (4.36) En motsvarande uträkning med ˆp-operatorn ger samma resultat, ( p) 2 = 1/2, och av det följer x p = 1/2. Att de koherenta tillstånden ger minsta möjliga 19

21 osäkerhet i bestämningen av position och rörelsemängd innebär att dessa tillstånd kan sägas vara de mest klassiska tillstånd vi har. Enligt samma logik skulle man kunna säga att Zaktillstånden q, k är maximalt kvantmekaniska, i och med att vi över huvud taget inte har någon gräns för inom vilket intervall position eller rörelsemängd ligger, trots att vi känner till koordinaterna q och k som denierar tillståndet. 5 En jämförelse mellan Zaktillstånd och koherenta tillstånd Vi har redan snuddat vid likheterna mellan Zaktillstånden och de koherenta tillstånden. Ett vaket öga har kunnat lägga märke till att de operatorer vi använde oss av för att bygga upp basen q, k är specialfall av de operatorer Û(x 0, p 0 ) som skapar de koherenta tillstånden x 0, p 0. Som vi såg i avsnitt 4.2 är operatorerna Û(x 0, p 0 ) translationsoperatorer. Vid närmare eftertanke ser vi att de operatorer vi tidigare arbetat med inte är något annat än just ˆT (a) = Û( a, 0) (5.1) Ŝ(b) = Û(0, b). (5.2) Omvänt kan operatorn Û(x 0, p 0 ) uttryckas i operatorerna ˆT och Ŝ. Vi kan skriva om ekvation (4.27) som Û(x 0, p 0 ) = e ix0p0/2 Ŝ(p 0 ) ˆT ( x 0 ) = e ix0p0/2 ˆT ( x0 )Ŝ(p 0). (5.3) Vi är nu rustade för att titta på hur Zakfunktionerna ϕ(q, k) är uppbyggda. I avsnitt 3.2 ville vi ta reda på hur dessa funktioner, som är egenfunktioner till såväl operatorn ˆT (a) som operatorn Ŝ(b), ser ut, och kom fram till uttrycket (3.16) för funktionerna ϕ(q, k). Vi har även sett att dessa operatorer är specialfall av Û-operatorn. Nu tittar vi på hur Zaktillstånden är uppbyggda av likartade operatorer [5]. Vi har q, k = 1 e ikna q + na b n Z = ˆT ( q) 1 e ikna na b n Z = ˆT ( q)ŝ(k) 1 na b n Z = e iqk/2 Û(q, k) 0, 0. (5.4) I sista steget har relation (5.3) använts. Helt analogt har vi q, k) = e iqk/2 Û(q, k) 0, 0). (5.5) 20

22 Skillnaden i fas mellan uttrycken (5.4) och (5.5) är en konsekvens av den fas som förekommer i (5.3). Vi ser nu att fasskillnaden mellan tillstånden q, k och q, k) i ekvation (3.28) på sida 15 har samma ursprung. Enligt ekvation (3.28) gäller 0, 0 = 0, 0). Detta är vårt motsvarande vakuumtillstånd. Zaktillstånden kan således liknas vid de koherenta tillstånden, i den mening att de skapas av operatorn Û utifrån ett denierat vakuumtillstånd. 6 Koherenta tillstånd på ett gitter i fasrummet Låt oss nu återkomma till de koherenta tillstånd som studerades i avsnitt 4. Där konstaterades att dessa utgör en överkomplett bas. Antag att vi nu vill välja ut ett antal punkter i x 0 p 0 -planet, som denierar en uppsättning tillstånd som tillsammans utgör en fullständig bas. Bacry m. [8] visar med hjälp av Zakrepresentationen att om punkterna (x 0, p 0 ) väljs så att dessa benner sig på ett gitter, x 0 = na, p 0 = mb för alla heltal n, m, så utgör de koherenta tillstånden z mn, z mn = 1 2 (na + imb), en fullständig bas om ab = 2π. Låt φ vara ett godtyckligt tillstånd och betrakta nu den uppsättning tillstånd som ges av φ mn = e i(mbˆx naˆp) φ = ( 1) mn e imbˆx e inaˆp φ. (6.1) Då ab = 2π kommuterar de två operatorerna e imbˆx och e inaˆp. Vi ser till och med att dessa inte är något annat än just operatorerna Ŝ(mb) och ˆT ( na). Det faller sig därför naturligt att uttrycka tillstånden φ mn i Zakbaserna, då motsvarande egenvärden till ovan nämnda operatorer är e imbq respektive e inak i denna bas. Vi har φ mn (q, k) = ( 1) mn e i(mbq nak) φ(q, k). (6.2) Antag nu att det nns en funktion χ(q, k) ortogonal mot funktionerna φ mn (q, k), så att ( 1) mn c mn dq dk χ (q, k)( 1) mn e i(mbq nak) φ(q, k) = 0, (6.3) τ(a) där c mn är Fourierkoecienterna till funktionen χ (q, k)φ(q, k) uttryckt som en Fourierserie: χ (q, k)φ(q, k) = c mn e imbq e inak. (6.4) m,n Z Om dessa alla är lika med noll följer att χ (q, k)φ(q, k) = 0. (6.5) Låter vi φ vara lika med vakuumtillståndet, ges de koherenta tillstånden på gittret av just ekvation (6.1) enligt denitionen. Med hjälp av ekvationerna 21

23 (3.17) på sida 13 och (4.31) på sida 19 kan vi ta reda på hur φ(q, k) = q, k 0 ser ut: φ(q, k) = q, k 0 (6.6) = = 1 π 1/4 = 1 π 1/4 dx q, k x x 0 (6.7) 1 b e ikla dx δ(x q la)e x2 /2 l Z (6.8) 1 b e ikla e (q+la)2 /2. (6.9) l Z Denna funktion är endast lika med noll i punkten (q, k) = (a/2, b/2). Enligt ekvation (6.5) måste därför χ(q, k) vara lika med noll. Det existerar alltså inte någon funktion ortogonal mot uppsättningen φ mn. Därmed har visats att tillstånden φ mn (q, k) = 1 1 b e i(mbq nak) e ikla e (q+la)2 /2 (6.10) π 1/4 l utgör en fullständig bas. Med hjälp av Zakrepresentationen har vi nu visat att dessa koherenta tillstånd på ett gitter i fasrummet utgör en fullständig bas. Beviset är betydligt mindre komplicerat än tidigare bevis av exempelvis Bargmann m. [9]. Förutom att Zakrepresentationen kan vara ett kraftfullt verktyg, som i exemplet ovan, är det en fascinerande representation inom kvantmekaniken. Vi har sett att en uppsättning tillstånd som beskrivs av punkter på en torus utgör en bas i samma Hilbertrum som en annan uppsättning bastillstånd som beskrivs av punkter på den reella tallinjen. Beviset, som här har presenterats, är konkret och kan härledas helt utifrån en enda ekvation, nämligen ekvation (3.15) på sida 13. A Appendix A.1 Osäkerhetsrelationen Vi ska här visa att ( ˆ A) 2 ( ˆ B) [Â, ˆB] 2, (A.1) där operatorerna A ˆ och B ˆ är desamma som de vi denierade i avsnitt 1.4. Beviset följer det som är beskrivet av Sakurai [10]. Till att börja med behöver vi tre hjälpsatser. Den första är Schwarz olikhet α α β β α β 2, (A.2) där α och β är två godtyckliga tillstånd. För ett godtyckligt tillstånd γ gäller alltid γ γ 0. Med γ = α + λ β, där λ är något komplext tal, får 22

24 vi då ( α + λ β )( α + λ β ) 0. (A.3) Särskilt gäller ekvation (A.3) med λ = β α / β β, vilket ger ekvation (A.2). Den andra hjälpsatsen vi behöver säger att väntevärdet för en hermitsk operator alltid är reellt. Beviset är enkelt, då  =  = Â. (A.4) Sista steget gäller om operatorn  är hermitsk. Väntevärdet är alltså lika med sitt komplexa konjugat, vilket innebär att det är reellt. Den tredje hjälpsatsen säger att väntevärdet av en antihermitsk operator, för vilken gäller att Ĉ = Ĉ, alltid är rent imaginärt. Beviset är snarlikt det ovan. Vi har Ĉ = Ĉ = Ĉ, (A.5) vilket innebär att Ĉ är rent imaginär. Låt oss nu bevisa ekvation (A.1). Vi utnyttjar ekvation (A.2) med α = A ˆ, β = B ˆ, där betecknar något godtyckligt tiilstånd. Detta ger Nu har vi att ( ˆ A) 2 ( ˆ B) 2 ˆ A ˆ B 2. A ˆ B ˆ = 1 2 [ A, ˆ B] ˆ { A, ˆ B}, ˆ (A.6) (A.7) där klammerparenteserna betecknar antikommutatorn {Â, ˆB} =  ˆB + ˆBÂ. Vi ser även att [ A, ˆ B] ˆ = [Â, ˆB], (A.8) utifrån denitionerna av operatorerna A ˆ och B. ˆ Denna kommutator är antihermitsk, vilket enkelt kan kontrolleras. Det innebär att väntevärdet av kommutatorn [ A, ˆ B] ˆ är rent imaginärt. Antikommutatorn { A, ˆ B} ˆ är däremot hermitsk, vilket innebär att dess väntevärde är reellt. Enligt ekvation (A.7) har vi då A ˆ B ˆ = 1 2 [Â, ˆB] { A, ˆ B}, ˆ (A.9) där den första termen är rent imaginär och den andra termen reell. Detta ger Det vill säga ˆ A ˆ B 2 = 1 4 [Â, ˆB] { ˆ A, ˆ B} 2. ˆ A ˆ B [Â, ˆB] 2, (A.10) (A.11) vilket tillsammans med ekvation (A.6) visar olikheten (A.1). 23

25 A.2 Baker-Hausdors formel Enligt Baker-Hausdors formel gäller eâe ˆB = e [Â, ˆB] e ˆBeÂ, (A.12) där operatorerna  och ˆB är sådana att dessa båda kommuterar med kommutatorn [Â, ˆB]. Vi ska här visa detta genom en metod som beskrivs av Glauber [11]. Börja med att deniera funktionerna f(t) och g(t) som nedan { f(t) = etâe ˆBe tâ g(t) = e t[â, ˆB] e ˆB. (A.13) Vi ska nu visa ekvation (A.12) genom att visa att funktionerna f(t) och g(t) löser samma dierentialekvation. Till att börja med har vi Derivering av f(t) ger dg dt = [Â, ˆB]e t[â, ˆB] e ˆB = [Â, ˆB]g(t). (A.14) df dt = etââe ˆBe tâ e tâe ˆB Âe tâ = e tâ[â, e ˆB]e tâ. (A.15) Låt oss titta närmare på kommutatorn [Â, e ˆB]. Vi har e ˆB = ˆB n n!, (A.16) vilket ger [Â, e ˆB] = Genom att utnyttja kommutatorregeln 1 n! [Â, ˆB n ]. (A.17) [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ], (A.18) för godtyckliga operatorer Â, ˆB och Ĉ, samt att operatorn ˆB kommuterar med [Â, ˆB] har vi [Â, ˆB 2 ] = [Â, ˆB] ˆB + ˆB[Â, ˆB] = 2[Â, ˆB] ˆB. (A.19) Enligt samma procedur kan vi fortsätta analysera kommutatorerna [Â, ˆB 3 ], [Â, ˆB 4 ] o.s.v., genom upprepad användning av ekvation (A.18), och ser att generellt gäller [Â, ˆB n ] = n[â, ˆB] ˆB n 1, n = 0, 1, 2,... (A.20) 24

26 Sätter vi nu in ovanstående resultat i ekvation (A.17) får vi [Â, e ˆB] = = = n=1 n n 1 [Â, ˆB] ˆB n! 1 n 1 [Â, ˆB] ˆB (n 1)! 1 n [Â, ˆB] ˆB n! Slutligen ger då insättning i ekvation (A.15) = [Â, ˆB]e ˆB. (A.21) df = etâ[â, ˆB]e ˆBe tâ dt = [Â, ˆB]e tâe ˆBe tâ då Â kommuterar med [Â, ˆB]. Vi har nu visat att = [Â, ˆB]f(t), (A.22) { df dt dg dt = [Â, ˆB]f(t) = [Â, ˆB]g(t) (A.23) och tillsammans med begynnelsevillkoret f(0) = g(0) har därmed visats att f(t) = g(t) och ekvation (A.12) gäller. På samma sätt kan visas att e tâe t ˆB = e t2 [Â, ˆB]/2 e t(â+ ˆB). A.3 Diracs deltafunktion A.3.1 Bevis av ekvation (3.21) I avsnitt 3.3 påstås att x δ(x x ) = x δ(x x ). (A.24) Detta vill säga att för två funktioner f(x) och g(x) gäller dx dx f(x)g(x ) x δ(x x ) = dx dx f(x)g(x ) x δ(x x ). (A.25) Vi kommer se att för att detta ska gälla måste vi lägga kravet på funktionerna f(x) och g(x) att lim f(x) = lim g(x) = 0. (A.26) x ± x ± 25

27 Låt oss börja med vänsterledet i ekvation (A.25) genom att utföra en partiell integration i x: = dx dx f(x)g(x ) x δ(x x ) ( [f(x)δ(x x )] dx g(x ) Av kravet (A.26) på funktionen f(x) följer ) dx df dx δ(x x ). (A.27) och vi får då [f(x)δ(x x )] = 0, = = dx dx f(x)g(x ) x δ(x x ) dx dx df dx g(x )δ(x x ) dx df dx g(x). (A.28) (A.29) Enligt samma procedur, med partiell integration i x, får vi för högerledet dx dx f(x)g(x ) x δ(x x ) = dx f(x) dg dx. (A.30) Genom ytterligare en partiell integration visas att dx f(x) dg dx = dx df dx g(x), (A.31) och därmed har likhet mellan höger- och vänsterled i ekvation (A.25) visats. A.3.2 Bevis av ekvation (3.27) Här vill vi visa att det vill säga att δ(cx) = 1 δ(x), c 0, (A.32) c dx f(x)δ(cx) = 1 dx f(x)δ(x). c (A.33) Låt nu y cx, så att dx = 1 c dy. För c > 0 har vi dx f(x)δ(cx) = 1 c dy f(y/c)δ(y) = 1 c f(0). (A.34) 26

28 För c < 0 har vi dx f(x)δ(cx) = 1 c = 1 c dy f(y/c)δ(y) dy f(y/c)δ(y) = 1 f(0). (A.35) c I båda fallen gäller Därmed är beviset klart. dx f(x)δ(cx) = 1 c f(0) = 1 dx f(x)δ(x). c A.4 De koherenta tillstånden som överkomplett bas Vi börjar här med att visa att 1 dx 0 dp 0 x 0, p 0 x 0, p 0 = 1. 2π (A.36) (A.37) Från ekvation (4.20) har vi x 0, p 0 = e (x2 0 +p2 0 )/4 1 2n n! (x 0 + ip 0 ) n n. (A.38) Detta ger att vänsterledet i ekvation (A.37) är lika med 1 2π m=0 n m 2 n+m n!m! dx 0 dp 0 e (x2 0 +p2 0 )/2 (x 0 + ip 0 ) n (x 0 ip 0 ) m, (A.39) där integrationen är över hela x 0 p 0 -planet. Nu gör vi variabelsubstitutionen x 0 = r cos θ, p 0 = r sin θ, vilket ger 1 2π m=0 Integrationen över θ ger n m dr dθ e r2 /2 r n+m+1 e i(n m)θ. 2 n+m n!m! 0 r 0 θ 2π (A.40) Så vi har kvar 2π 0 dθ e i(n m)θ = 1 2 n n n n! 0 { 0 n m 2π n = m. (A.41) dr r 2n+1 e r2 /2. (A.42) 27

29 För integralen över r har vi 0 dr r 2n+1 e r2 /2 = 2 n Γ(n + 1), där Γ(n) är gammafunktionen, vilken denieras av (A.43) Γ(n) = 0 dt t n 1 e t, (A.44) för positiva reella n. Då n är ett positivt heltal gäller Γ(n + 1) = n!, vilket ger 0 dr r 2n+1 e r2 /2 = 2 n n!. Insättning av ovanstående i ekvation (A.42) ger slutligen 1 2π dx 0 dp 0 x 0, p 0 x 0, p 0 = n n = 1, (A.45) (A.46) då tillstånden n utgör en fullständig bas. Därmed är ekvation (A.37) visad. Däremot är inte de koherenta tillstånden ortogonala. Vi har z z = e ( z 2 + z 2 )/2 = e ( z 2 + z 2 )/2 Eller uttryckt i koordinaterna x 0 och p 0 : m=0 (z z ) n n! z m z n m!n! m n = e ( z 2 + z 2 )/2 e z z. (A.47) x 0, p 0 x 0, p 0 = e [(x0 x 0 )2 +(p 0 p 0 )2 ]/4+i(x 0p 0 x 0 p0)/2. (A.48) A.5 Vakuumtillståndet i x -representationen Här ska vi visa hur man kommer fram till uttrycket för funktionen x 0, låt oss kalla denna ψ 0 (x) x 0, där vakuumtillståndet 0 denieras som det tillstånd för vilket gäller â 0 = 0. (A.49) Villkoret ovan ger âψ 0 (x) = 0. Förintelseoperatorn â ges i x-representationen av (A.50) â = 1 2 (ˆx + d dx ). (A.51) 28

30 Detta ger dierentialekvationen 1 2 (xψ 0 (x) + dψ 0 dx ) = 0, (A.52) vilken har lösningen ψ 0 (x) = Ae x2 /2, (A.53) där A är någon normeringskonstant. Kräver vi att ψ 0 (x) ska vara normerat, dvs att ψ 0 ψ 0 = 1, får vi ψ 0 (x) = π 1/4 e x2 /2. (A.54) A.6 Väntevärdet av ˆx 2 för koherenta tillstånd Operatorn ˆx kan uttryckas i skapelse- och förintelseoperatorerna. Vi har enligt ekvation (4.2) ˆx = 1 (â + â ). (A.55) 2 Detta ger ˆx 2 = 1 2 (â2 + ââ + â â + â 2 ). (A.56) Då de koherenta tillstånden är egentillstånd till förintelseoperatorn, enligt ekvation (4.1), får vi direkt z â 2 z = z 2 z z = z 2, (A.57) då z z = 1 enligt ekvation (4.26) på sida 18. Enligt uttrycket (4.20) för tillståndet z har vi vidare z ââ z = e z 2 m=0 z m z n m!n! m ââ n. (A.58) Utnyttjar vi nu skapelse- och förintelseoperatorernas verkan på tillståndet n får vi z ââ z = e z 2 = e z 2 m=0 m=0 n + 1 z m z n m!n! m â n + 1 (n + 1) z m z n m!n! m n = e z 2 (n + 1) z 2n. (A.59) n! 29

31 Nu delar vi upp summan i två och utnyttjar att e x = Likartade räkningar ger z ââ z = e z 2 [ = e z 2 [ n=1 = e z 2 n z 2n n! + xn n! ] z 2n z 2n (n 1)! + 2 e z z 2n+2 n! + 1 n! ]. Det ger = z (A.60) z â â z = z 2, z â 2 z = z 2. (A.61) (A.62) Slutligen har vi då z ˆx 2 z = 1 2 z â2 + ââ + â â + â 2 z = 1 2 (2 z 2 + z 2 + z 2 + 1) = x , (A.63) vilket är vad vi ville visa. 30

32 Referenser [1] J. Zak, Phys. Rev. Lett. 19, 1385 (1967). [2] J. Zak, Phys. Rev. 168, 686 (1968). [3] J. Zak, The kq-representation in the Dynamics of Electrons in Solids, in H. Ehrenreich, F. Seitz och D. Turnbull (Eds.) Solid State Physics, Academic Press, New York (1972), Vol. 27, p.1. [4] G. Lindblad, Symmetries in Physics, Lecture Notes [5] Arvind, S. Chaturvedi, N. Mukunda, R. Simon, The Sampling Theorem and Coherent State Systems in Quantum Mechanics, arxiv:quantph/ v1. [6] U. Leonhardt, Measuring the Quantum State of Light, Cambridge University Press (1997) [7] I. Bengtsson and K. yczowski, Geometry of Quantum States, Cambridge University Press (2006) [8] H. Bacry, A. Grossman and J. Zak, Phys. Rev. B 12, 1118 (1975) [9] V. Bargmann, P. Butera, L. Girardello and J. R. Klauder, Rep. on Math. Phys. 2, 221 (1971) [10] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company (1994) [11] R. J. Glauber, Phys. Rev. 84, 395 (1951) 31