1 Speciell relativitetsteori

Transkript

1 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Speciell relativitetsteori 1.1 Einsteins postulat 1. Fysikens lagar är desamma i alla inertialramar. 2. Ljusets hastighet är densamma (c m/s) i alla inertialramar. 1.2 Lorentztransformationen där { x = γ(x vt) t = γ ( ) t vx c 2 γ = 1 1 β 2 { x = γ(x + vt t = γ ( ) t + vx c 2 och β = v c 1.3 Egenskaper 1. Reduceras till Galileitransformationen för v c. 2. Uppfyller Einsteins postulat. 3. Helt relativ, dvs den inversa transformen har samma form, men ombytt tecken på hastigheter. 4. Linjär (rum och tid är homogena), dvs { x = γ( x v t) t = γ ( ) t v x c 2 { x = γ( x + v t t = γ ( ) t + v x c 2 (Genom lämpliga val bland ovanstående ekvationer följer såväl längdkontraktion som tidsdilation direkt.) Hastighetstransformationer { u u = v u 1 u v/c 2 = u = u γ(1 u v/c 2 ) u = u +v 1+u v/c2 u γ 1+u v/c Dopplereffekt f app = f 1+β 1 β f rep = f 1 β 1+β

2 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Speciell relativitetsteori dynamik 2.1 Definitioner E 0 = mc 2 (2.1) E tot = K + E 0 (2.2) mu p = 1 u2 /c 2 (2.3) 2.2 Följder Med hjälp av (2.1), (2.2) och (2.3) kan man visa att E tot = γmc 2 (2.4) och E 2 tot =(pc)2 + E 2 0. (2.5) Observera att begreppet relativistisk massa skall undvikas, eller för att citera Einstein: It is not good to introduce the concept of mass M = m/(1 v 2 /c 2 ) 1/2 of a body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass than the rest mass m. Instead of introducing M, it is better to mention the expression for the momentum and the energy of a body in motion. 2.3 Bevarandelagar I ett slutet system är energin och rörelsemängden bevarade, dvs E f = E e och p f = p e.

3 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Ljusets partikelnatur Experimentellt: Svartkroppsstrålning 1880 och Fotoelektrisk effekt Planck visar att svartkroppsstrålning kan förklaras om strålningen antas vara kvantiserad, E n = nhν, n =0, 1, Einstein antar att energikvantiseringen föreslagen av Planck är en universell egenskap hos strålning. Strålning utsänds i kvanta, fotoner, med energi E = hν och röreslemängd p = h/λ. 3.1 Fotoelektrisk effekt ν e, K metallyta, utträdesarbeteφ ν = frekvensför den infallande fotonen K = kinetisk energi för den emitterade elektronen hν =φ + K max 3.2 Comptonspridning foton in foton ut E, p θ 1 E 1 E = 1 (1 cos θ) m e c2 E, p elektron ut E e, p e e 3.3 Bromsstrålning (Brehmsstralung) Κ hν K K ν h hν =K K K>K >K λ min = hc K 3.4 Skapande och annihilation av partiklar En foton med tillräckligt hög energi kan, tillsammans med en massiv partikel eller en annan foton, simultant skapa en partikel och dess antipartikel. Om en partikel och dess antipartikel kommer tillräckligt nära varandra kan de annihilera (förinta) varandra under utsändande av minst två fotoner.

4 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Materiens vågnatur 4.1 de Broglie-våglängd 1924 lade Louis de Broglie fram sin teori om partiklars vågegenskaper. En partikel med rörelsemängd p kanbeskrivassomenvåg med våglängd λ, de Broglie-våglängden, där λ = h p Eftersom p m får tunga föremål korta våglängder. Experimentellt är därför de Broglie-våglängden intressant endast för lätta partiklar; protoner, elektroner etc. 4.2 Braggreflektion Villkor för konstruktiv interferens θ 2d sin θ = nλ, n =1,2,3,... d där d är avståndet mellan två atomplan. d sin θ 4.3 Heisenbergs osäkerhetsrelationer Att en partikel har vågegenskaper medför bl.a. att dess läge blir mer obestämbart ju mer information man har om dess våglängd och vice versa. Detta resulterar i Heisenbergs osäkerhetsrelationer x x p x 2 E t 2

5 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Kvantmekanik formalism 5.1 Schrödingerekvationen Materien beskrivs av den tidsberoende Schrödingerekvationen, ) ( 2 2m 2 + V (r,t) ψ(r,t) Hψ(r,t)=i t ψ(r,t), en vågekvation där ψ(r,t) är en materievåg och H är systemets Hamiltonian Egenskaper och krav Systemets energi bevaras Schrödingerekvationen är linjär och homogen ψ (och oftast ψ) är kontinuerlig Tolkning ψ 2 dv tolkas som sannolikheten att finna partikeln i volymen dv. Detta leder direkt till normeringskravet R 3 ψ 2 dv = Tidsoberoende Schrödingerekvationen Om potentialen är tidsoberoende är även Hamiltonianen tidsoberoende och vågfunktionen är då separabel i rum och tid enligt ψ(r,t)=ψ(r)exp( iet/ ), där ψ(r) är lösningen till den tidsoberoende Schrödingerekvationen ) ( 2 2m 2 + V (r) ψ(r) Hψ(r) =Eψ(r) Klassisk fysik Kvantmekanik Till varje observabel i klassisk fysik finns i kvantmekaniken en motsvarande operator, t.ex. r ˆr och p ˆp = i. P.g.a. att kvantmekaniken ger upphov till en sannolikhetstolkning ersätts de klassiska mätvärdena av väntevärden. För en godtycklig operator  ges väntevärdet av  = ψ ÂψdV. R 3

6 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Kvantmekanik, fortsättning 6.1 Egenvärden och mätvärden Om ψ n är egenfunktioner till operatorn A med tillhörande egenvärden a n,så är a n de enda möjliga mätvärden av den storhet som A representerar. 6.2 Egenfunktioner Egenfunktionerna till Hamiltonianen, ψ n (x), bildar en komplett funktionsmängd. Vilket innebär att en godtycklig vågfunktion, Ψ(x), kan skrivas som en linjärkombination av dessa, Ψ(x) = n c n ψ n (x) där c n = ψ nψdv 6.3 Sannolikhetsamplituder Egenfunktionerna, ψ n, till en operator A, är inbördes ortogonala, dvs ψn ψ ndv 0och ψmψ n dv =0för n m. Om egenfunktionerna dessutom är normerade kan väntevärdet av operatorn skrivas, A = c n 2 a n, c n 2 =1 n n där a n är egenvärdena till A, dvsdemöjliga mätvärdena. Sannolikhetsamplituden, P n = c n 2, tolkas som sannolikheten att vid mätning av A erhålla värdet a n.

7 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Väteatomen 7.1 Bohrmodellen 1913 postulerade Niels Bohr att en en-elektronatom kan beskrivas som en kärna omkring vilken elektronen snurrar i cirkelbanor. Dessa cirkelbanor har kvantiserat rörelsemängdsmoment L = n, där n =1, 2, 3,... -e m +Ze M E n = µz 2 e 4 32π 2 ε n 2 µ = mm, reducerad massa m + M För väteatomen (Z =1)erhålls 7.2 Kvantmekaniskt E n = n 2 ev. Kvantmekaniskt beskrivs en-elektronatomen ovan av potentialen V (r, θ, φ) = Ze2 4πεr. Genom att ansätta en separabel lösning Ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ) erhålls R(r) =N nl e r/2 r l L 2l+1 n+l (r) Θ(θ)Φ(φ) =Y lm (θ, φ) n {1, 2, 3,...} huvudkvanttal l {0, 1, 2,...,n 1} rörelsemängdsmomentskvanttal m l { l, l +1,...,l 1,l} magnetiskt kvanttal L 2l+1 n+l (r) associerade Laguerrepolynomet av ordning n l 1 Y lm (θ, φ) klotytefunktioner Detta resulterar i energinivåerna E n = me4 Z 2 8ε 2 0 h2 n = E Z 2 2 H, n {1, 2, 3,...} n2

8 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Magnetiska moment och flerelektronatomer 8.1 Magnetiskt moment Den potentiella energin för ett magnetiskt moment i ett pålagt magnetfält, B =(0, 0,B z ), fås från E = µ z B z vilket innebär att en atom som befinner sig i ett magnetfält kommer få sina energinivåer skiftade, detta kallas Zeemaneffekt. Det magnetiska momentet för elektroner bundna i en atom kan delas upp i en banrörelsedel och en spinndel Banrörelse En elektron runt en atomkärna ger upphov till ett magnetiskt moment pga sin rörelse runt kärnan. Det magnetiska momentet blir, Spinn µ Lz = e 2m L z e 2m m l En kvantmekanisk partikel har ett inre rörelsemängdsmoment, spinn. Spinnet specificeras av kvanttalet s och magnetiska spinnkvanttalet m s = s, s +1,...,s 1,s.För en elektron är s =1/2. Det magnetiska momentet ges av, µ Sz = e m S z e m m s 8.2 Flerelektronatomer 2p Schrödingerekvationen för atomer med fler än två laddade partiklar går inte att lösa exakt. En god approximation är att placera in elektronerna en efter en i orbitalerna från väteatomlösningen Pauliprincipen Två elektroner i samma system kan inte ha samma uppsättning kvanttal. 2s 1s

9 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Notation Ett kvantmekaniskt tillstånd specificeras av kvanttalen (n, l, m l,m s ). En vanlig notation för att ange tillstånd är n namn(l) med värde på l = namn = s p d f g h... t. ex. skrivs grundtillståndets elektronkonfiguration för väte som 1s 1 och för litium som 1s 2 2s 1. En annan notation är att ange huvudkvantalet, n, atomens totala spinn, S, totala banrörelsemängsmoment, L, och det totala rörelsemängsmomentet, J = L + S, enligt, n 2S+1 L J där L = S (L =0), P(L =1), D(L =2), F(L =3)... grundtillståndet för litium skrivs 2 2 S 1/ Urvalsregler En atom som befinner sig i ett exciterat tillstånd kommer att, för att minimera sin totala energin, återgå till sitt grundtillstånd. Alla övergångar är inte tillåtna, kraven på S, L och J är, L = ±1 S =0 J =0, ±1 (inte 0 0)

10 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Molekylfysik och kemisk bindning Molekyl en samling atomer bundna till varandra. 9.1 Born Oppenheimer approximationen Hamiltonianen för en molekyl kan tecknas enligt H = T n + T e + V nn + V ne + V ee där T är rörelseenergibidragen, V är de olika elektrostatiska potentialerna och n respektive e indikerar om det är kärnor eller elektroner som avses. Eftersom kärnorna är mycket tyngre än elektronerna kan man införa approximationen att T n =0,dvskärnorna är fixerade. Detta medför vidare att termen V nn endast tillfär en konstant till totalenergin och därför kan utelämnas vid lösning av Schrödingerekvationen. Således är det endast intressant att betrakta Hamiltonianen 9.2 Kovalent bindning H = T e + V ne + V ee En kovalent bindning uppstår då atomer närmar sig varandra och deras atomorbitaler börjar överlappa och bildar en gemensam molekylorbital. Dessa orbitaler kan antingen vara bindande eller antibindande beroende på om de är energimässigt fördelaktiga eller inte. 9.3 Jonbindning Atomer är olika benägna att avge eller uppta elektroner, detta beskrivs av atomernas jonisationsenergi respektieve elektron affinitet. Om olika atomslag förs samman och det är energimässigt gynnsamt för dem att bilda joner för att sedan bindas samman av elektrostatiska krafter kommer detta att ske. Man har en s.k. exoterm reaktion.

11 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Molekyler vibrationer och rotationer Om inte Born Oppenheimer approximationen görs tillåts alltså kärnorna för de aktuella atomerna att röra på sig. Hamiltonianen för kärnorna i en diatomär molekyl kan skrivas 2 H kärna = 2 2µ R + L2 2 2µR + U(R) 2 där µ är den reducerade massan och R är avståndet mellan kärnorna. Schrödingerekvationen för den ovanstående Hamiltonianen kan lösas om följande approximationer görs: 1. R = R 0 i den andra termen Hamiltonianen separabel i R,θ och φ. 2. Tredje termen antas vara kvadratisk i R, U(R) = µω2 0 2 (R R 0) 2 där R 0 är jämviktsavståndet. Med dessa approximationer erhålls vågfunktionen ψ kärna = ψ harm. osc. (R)Y lm (θ, φ) Den totala energin för kärnrörelsen blir, E kärna = E vibration + E rotation E vibration = ω 0 (ν + 1 ), ν =0, 1, 2,... 2 E rotation = l(l +1) 2 2µR 2 0, l =0, 1, 2,... Under förutsättningen att elektrontillståndet är oförändrat, är övergångsreglerna vid absorption följande: ν = ±1 l = ±1

12 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Fasta tillståndets fysik Kristaller består av atomer ordnade i periodiska strukturer. Tre av de vanligaste är simple cubic (sc), body-centered cubic (bcc) och face-centered cubic (fcc). simple cubic (sc) body centered cubic (bcc) face centered cubic (fcc) 11.1 Molekylkristall En molekylkristall uppstår genom att molekylers dipolmoment samverkar för att sänka kristallens totala energi. Ett sätt för att detta skall ske är om molekylerna som bygger upp materialet är dipoler, dvs elektroner har delvis överförts från en atom till en annan för att skapa bindningen. Ett annat sätt är om molekyler eller atomer har alternerande dipolmoment med tidsmedelvärde 0. Totalt sett är dessa inga dipoler, men de tidsvarierande dipolerna kan komma att samverka och en bindning skapas genom den s.k. van der Waals kraften Jonkristall Byggs upp av positiva och negativa joner som hålls samman av Coulombkrafter. I kristaller sitter jonerna ordnade och kommer att känna av samtliga joner i kristallen. För att beräkna energin i ett sådant system måste man summera bidragen från alla andra joner, denna summering över positioner kommer att ge upphov till den s.k. Madelungkonstanten, α. På korta avstånd mellan jonerna uppträder repulsiva krafter pga Paulirepulsion. Den totala energin som funktion av avståndet kan tecknas e2 E(R) = A R α n 4πɛ 0 R, där A är en konstant som bestäms av jämviktsavståndet. Detta ger bindningsenergin ( E B = α e2 1 1 ). 4πɛ 0 R 0 n

13 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Elektrontillstånd i metaller 12.1 Fri-elektronmodellen V=0 Den Coulombväxelverkan som finns mellan elekroner i en metall ignoreras. Den enda växelverkan som beaktas är att elektronerna uppfyller Pauliprincipen. Kristallen som elektronerna finns i, beskrivs genom periodisk upprepning av en kub med sidlängd L. Eftersom ingen växelverkan beaktas är potentialen, V, noll. L Inför följande, ψ k (x, y, z) = ce ik r ψ ki (0) = ψ ki (L) k i = 2πn i L n i = ±1, ±2,...; i = x, y, z E = 2π2 2 ml 2 (n2 x + n2 y + n2 z }{{} ) n 2 = 2 2m (k2 x + k2 y + k2 z ) }{{} k 2 N(E) = Antal tillstånd med en maximal energi E D(E) = Tillståndstäthet vid energin E = dn de dåkanmedelvärdet av en storhet A beräknas enligt, A = 1 A(E)f(E,T)D(E)dE N Fermi Dirac statistik f(e,t) 1 0K 300 K 900 K µ E Videngodtyckligtemperatur, T,kanfördelning av ockuperade tillstånd skrivas f(e,t)= 1 e E µ k B T +1 Fermi Dirac statistik gäller för fermioner.

14 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Halvledarfysik När man löser Schrödngerekvationen för fasta material, dvs för periodiska strukturer av atomer eller molekyler, kommer man att få delskvasikontinuerliga energinivår, s.k. band, samt otillåtna energiintervall, s.k. bandgap. Band med elektroner vid T = 0 K kallas för valensband och tomma band kallas ledningsband. E E E Bandgap > 1 ev < 1 ev Metall Isolator Halvledare 13.1 Dopning För att förbättra ledningsförmågan i halvledare kan man introducera störatomer med en annan valens än halvledaren själv. Om störatomen har fler elektroner kallas det en donator, materialet n-dopas, medan man säger att materialet p-dopas mo störatomen har färre elektroner, då kallad acceptor. Dessa extra laddningsbärare kommer att ha energinivåer nära valens- och ledningsbandet för donatorer respektive acceptorer, dvs det är enkelt att termiskt excitera elektroner från eller till dessa nivåer för att åstadkomma fira laddningsbärare. Om störatomerna bidrar med en laddningsbärare var, kan deras energinivåer enkelt räknas ut mha en väteliknande modell pn-övergång Om ett p- och ett n-dopat material sammanförs skapas en pn-övergång. I gränsskiktet kommer laddningar att överföras mellan de båda materialen. Regionen omkring övergången kommer att utarmas på laddningsbärare (utarmningsområde) och detta kommer och succesivt bygga upp en potential. I jämvikt kommer denna potential att förhindra fortsatt överföring av laddningsbärare mellan de båda materialen. Detta är principen för en diod. För att få dioden att leda måste denna potential (eller utarmningsområdets bredd) minskas så att laddningsbärare åter kan färdas genom gränsskiktet. Detta görs genom att man ansluter en positiv potential till p-sidan av materialet.

15 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Kärnfysik 14.1 Kärnans sammansättning En atomkärna består av Z positivt laddade protoner och N neutrala neutroner. Masstalet, A = Z + N, anger antalet nukleoner (samlingsnamn för protoner och neutroner). Atomer med samma antal protoner men med olika antal neutroner kallas isotoper. Olika isotoper av ett grundämne har samma egenskaper förutom de som beror på massan, exempelvis stabilitet. En atoms storlek kan uppskattas utifrån dess masstal enligt, R = R 0 A 1/3, R 0 1.2fm Atomkärnan hålls samman av den starka kärnkraften. Bindningsenergin erhålls genom att jämföra viloenergin för neutroner och protoner separerade med viloenergin för atomkärnan. U B = Nm n c 2 + Zm p c 2 m X c 2 Om man försummar elektronbindningsenergin kan kärnans bindningsenergi uttryckas i atommassor, 14.2 Radioaktivitet U B = Nm n c 2 + Zm( 1 1 H 0)c 2 m( A Z X N)c 2 Alla kombinationer av protoner och neutroner som bildar en kärna är inte stabila, de sönderfaller. De finns olika sönderfallskanaler, A α: Z X A 4 Z 2 X He β: n p + e + ν e, β p n + e + + ν e, β + p + e n + ν e, EC= Electron capture γ: Deexcitation från ett exciterat tillstånd hos kärnan. En foton emitteras Den maximala rörelseenergi som sönderfallsprodukterna kan ha fås från reaktionens Q-värde Q =[m kärna (X) m kärna (X ) m kärna (x)]c 2, X X + x Sönderfallshastighet benämns aktivitet, A. Aktiviteten beror på antalkärnor och sannolikheten att en kärna skall sönderfalla, λ. Man kan visa att, A = A 0 e λt τ 1/2 = ln 2 λ, halveringstid.

16 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Kärnreaktioner En kärnreaktion kan typiskt teckans x + X y + Y + Q, där x växelverkar med X och ger upphov till y och Y och Q är den energi som frigörs i processen. Om Q>0 är processen exoterm och om Q<0 är den endoterm. Dessa processer sker under så kort tid att antalet neutroner och protener är bevarade Tvärsnitt För att beskriva sannolikheten för en kärnreaktion att inträffa definierar man tvärsnittet σ. Detta motsvarar den effektiva area av kärnan som en infallande partikel med kinetisk energi E k ser. Tvärsnitt anges ofta i enheten barn, där 1 barn = m 2. Ommålkärnorna befinner sig i ett tunt skikt, kan processen beskrivas enligt Nσ S = R I, där I är antalet infalland partiklar per sekund, N är antalet målkärnor, S är den area de upptar och R är den detekterade intensiteten av produktkärnor. Om processen däremot sker i ett material av tjocklek x kan andelen infallande partiklar som passerar målkärnorna teckans enligt N N 0 =exp( nσx), där n = ρn A M.

17 TFFY17 Modern fysik Y: Lektion Elementarpartiklar Förutom de vanliga elementarpartiklarna proton, neutron och elektron finns det många andra, t.ex. pion och olika neutriner. Dessa förekommer i olika sönderfall och som fältkvanta. Diverse olika klassificeringar förekommer för att beskriva de olika typerna av partiklar. Historiskt sett placerades partiklarna i olika fack beroende på vilken vikt de har. Denna klassificering leder till: Typ Exempel Spinn Påverkas av krafterna leptoner (lätt) e ν e, µ ν µ, s =1/2 svag, EM τ ν τ mesoner (medel) π +, π 0,K s =0, 1,... svag, EM, stark baryoner (tung) p, n, Ξ 0 s =1/2, 3/2,... svag, EM, stark Till varje partikel finns en antipartikel som har identisk massa, livslängd och spinn som partikeln i fråga. Det som skiljer dem åt är ombytt tecken på t.ex. laddning, leptontal, baryontal och särtal (se nedan) Leptontal, Baryontal och Särtal (Strangeness) Förutom att energi, rörelsemängd, rörelsemängdsmoment och elektrisk laddning ska vara konserverade i en sönderfallsreaktion, måste nya kvantal införas bl.a. Leptontal L, Baryontal B och Särtal (Strangeness) S. Dessa införs pga att händelser som borde inträffa men som inte observeras måste vara förbjudna enligt någon naturlag. För L, B och S gäller följande konserveringslagar: e ν e L e = 1, andra } L e =0 µ ν µ L µ = 1, andra L µ =0 L e,l µ och L τ bevaras var för sig. τ ν τ L τ = 1, andra L τ =0 B=1för baryoner och 0 för andra partiklar. B bevaras. S = S bevaras i processer som styrs av stark eller EM kraft, men kan vara oförändrat eller ändras med ±1 isvagväxelverkan (se tabell) Kvarkar 1964 upptäcktes en underliggande struktur för de lätta mesonerna och baryonerna. Dessa kunde ses som uppbyggda av tre fundamentala partiklar; uppned- och särkvarken med olika kvanttal och laddning, samt deras antikvarkar. Mesoner är uppbyggda av ett par av en kvark och en antikvark och baryoner av tre kvarkar. För att kunna beskriva tyngre partiklar har modellen utökats med tre ytterligare kvarkar; topp- botten- och charmkvarken. Med dessa sex kvarkar kan alla dagens kända partiklar beskrivas.