Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl

Transkript

1 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl Examinator: Olle Edholm, tel , epost oed(a)kth.se. Komplettering: Komplettering av Fx till E sker efter överenskommelse med examinator senast den /8 1. Poängsättning: 1-4p per uppgift. otalt 4p + KS-bonus. Preliminär betygsskala: Fx 9, E 1, D 1, C 15, B 18 och A 1 1. En värmepump används för att hålla inomhustemperaturen o C. Hur stor del av uppvärmningseffekten måste tillföras som arbete om värmekällans temperatur är i) o C och ii) o C om man antar att pumpen fungerar idealt (Carnot-maskin)? (1p) Lösning: Om Q 1 är den effekt som tas från omgivningen med den lägre temperaturen 1, Q är den effekt som ger uppvärmning vid temperatur 93 K och W är den effekt som tillförs som arbete gäller: vilket ger W +Q 1 Q samt Q / Q 1 / 1, W Q 1 1. Det betyder 6, 8% respektive 13, 6% vid de två temperaturerna.. En van der Waals-gas har den konstanta värmekapaciteten (vid konstant volym), C,5k B, per molekyl. Den expanderar fritt (utan arbete) och värmeisolerat till den 1-dubbla volymen. Bestäm temperaturändringen som funktion av ursprungstätheten och de parametrar som ingår i tillståndsekvationen! (3p) Lösning: Det är den inre energin som bevaras i processen. Utnyttja därför: ( ) ( ) U(,) S(,) du ds pd eller p. Här kan Maxwellrelationen, FS 7.1: ( ) S(,) utnyttjas, vilket ger: ( ) U(,) ( ) p(,) ( ) p(,) ( ) N p a, där det sista ledet följer efter utnyttjande av tillståndsekvationen (FS 7.14). Intergration ger nu: U(,) a N +f(), 1

2 där f() bestäms ur att C,5Nk B ( U/ ) vilket ger U ger då temperaturändingen U(,) a N +,5Nk B. 9a N 5k B där N/ är ursprungstätheten. 3. attens dielektricitetskonstant har temperaturberoendet ǫ() 78, 5, 35( 3). Bestäm entropiändringen hos en vattenvolym,, när ett homogent elektriskt fält med fältstyrkan E kopplas på vid oförändrad temperatur! (p) Lösning: Betrakta differentialen av potentialen H F EP, där P är polariseringen och E det elektriska fältet: Ur denna fås Maxwellrelationen: ( ) S E dh(,e) Sd PdE som direkt vid konstant ger entropiändringen ( ) P ǫ E dǫ() d, E S 1 ǫ E dǫ() d,175ǫ E. 4. ärmekapaciteten hos ett system som bara har två energinivåer kommer att ha ett maximum som funktion av temperaturen. Bestäm värmekapaciteten som funktion av energiskillnaden, E, mellan de två odegenererade nivåerna och temperaturen. isa att den måste ha ett maximum som funktion av temperaturen (Du behöver inte bestämma det)! (p) Lösning: U Ee E/k B 1+e E E/k B 1+e, E/k B vilket ger värmekapaciteten ( ) E e E/k B C () k B k B (1+e E/k B ), som är positiv (eller noll) för alla värden på x E/k B. Både då x går mot noll och mot oändligheten går denna funktion mot noll. Det betyder att det måste finnas ett maximum någonstans där emellan. 5. Energiegenvärdena för en kvantmekanisk partikel med massan m som är instängd i en kubisk låda med volymen är E(n 1,n,n 3 ) h (n 1 +n +n 3 ) 8m /3,n i 1,,3,....

3 Bestäm ur detta den absoluta entropin hos en ideal gas av icke-särkskiljbara partiklar i den klassiska gränsen! Ge resultatet som en entropi per molekyl som funktion av de intensiva variablerna p och! (3p) Lösning: illståndssumman för en partikel blir: Z(N 1,,) e h 8m /3 k B (n 1 +n +n 3 ) e h 8m /3 k B (n 1 +n +n 3 ) dn 1 dn dn 3 n i 1 ( 8m /3 k B ) ) 3/( ) ( ) 3 3/ πmkb e x dx För icke-särkskiljbara partiklar blir då N-partikel-tillståndsssumman ( ) 3N/ πmkb. Z(N,,) 1 N! ZN (1,,) N! Detta ger entropin or with p Nk B S(N,,) ( ) F k B [ ln lnn!+ 3N ln ( πmkb Nk B [ 3 ln ( πmkb S Nk B [ 3 ln ( ) πmkb k B lnz +k B ( ) lnz )+ 3N ln ] )+ 5 ln +1 lnn/ ] + 5 ln +1+ln k B p (N 1) 6. Ett gummiband kan modelleras som en endimensionell kedja som består av N segment (N 1). arje segment kan vara orienterat antingen i kedjans positiva riktning eller vinkelrät mot denna. Bägge orienteringarna är lika sannolika. I det förra fallet har segmentet längden a i kedjans riktning, i det senare fallet längden noll. Detta betyder att om n segment pekar längs med kedjan så är dess längd L na. Bestäm entropin som funktion av n och ur detta en relation mellan spännkraften (f) som behövs för att hålla kedjan vid en viss längd (L) och temperaturen (). Anta att n 1 och att N n 1. ad krävs för att Hookes lag (att kraften är proportionell mot töjningen) ska gälla? (3p) Lösning: n segment i kedjans riktning av totalt N, ger längd L na. Antalet sådna tillstånd är N! Ω(n) (N n)!n! S(n) k B lnω(n) k B [ nln n N n (N n)ln N N ] F U S {U } k B a [Lln L Na L +(Na L)ln ] Na Na ( ) F δw rev fdl f k B L a ln L Na L 3 ]

4 L Na L 1 f L L Na L L +(L L ) L + L f k B a ln L + L L L L k B a L 1+ L ln 1 L. L Om L/L 1 kan detta serieutvecklas och vi får i lägsta ordningen f k B al (L L ), vilket är Hookes lag. 7. En volym innehåller elektromagnetisk strålning i jämvikt vid temperatur. Bestäm bidraget per foton till värmekapacitet (vid konstant )! Jämför med värmekapaciteten per molekyl hos en ideal gas av en-atomiga molekyler. (3p) Lösning: För fotonerna gäller (FS ): U 8π (hc) 3 Antalet fotoner är: N 8π (hc) 3 vilket ger energin per foton som: α 3 dα e α/k B 1 8π(k B) 4 (hc) 3 α dα e α/k B 1 8π(k B) 3 (hc) 3 x 3 dx e x 1 8π5 (k B ) 4 15(hc) 3 x dx e x 1 19.π(k B) 3 (hc) 3, U/N.7k B och värmekapaciteten per foton c,7k B, att jämföras med den klassiska gasens 1,5k B. 8. Bestäm trycket hos ideal Fermi-Dirac gas som funktion av tätheten och partiklarnas massa vid temperaturen samt i högtemperaturgränsen! ilket är kriteriet för att den senare approximationen ska gälla? (3p) Lösning: Formelsamlingen ger trycket: p k B lnξ 1 σ(α)dα e (α µ)/k B +1 där σ(α) ges av FS 8.4. id är µ ǫ F och vi får: p 8π(m)3/ 3h 3 där Fermienergin bestäms ut villkoret: ǫf α 3/ dα 16π(m)3/ ǫ 5/ 15h 3 F N σ(ǫ F ) 8π(m)3/ ǫ 3/ 3h 3 F eller: ǫ F ( 3N h )/3 8π m 4

5 vilket ger trycket vid : p 5 ( 3 8π )/3 ( N h )5/3 m id höga temperaturer ǫ F /k B gäller istället det klassiska resultatet p Nk B /. 9. En ideal Bose-Einstein-gas kan kondensera i grundtillståndet om temperaturen är tillräckligt låg. isa varför det blir så i tre dimensioner men inte i två! (4p) Lösning: I tre dimensioner gäller: ( ) m 3/ N π αdα e (α µ) k B 1 µ N(µ) är maximal för µ N max (πmk B) 3/ ζ(3/) där N max är det maximala antal partiklar som ryms i kontinuet av tillstånd med energi >. De övertaliga partiklarna kommer då att kondensera till grundtillståndet. Detta börjar ske vid ( ) /3 N c ζ(3/) πmk B I två dimensioner blir ρ(α) konstant och N (µ ) dα e α/k B 1 divergerar. Då ryms hur många partiklar som helst i kontinuet. h 3 dim 3 dim N(µ) N max µ 5