Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki"

Transkript

1 Kapitel V Praktiska exempel: Historien om en droppe Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

2 Kapitel V - Praktiska exempel: Historien om en droppe Partiklar i atmosfa ren Atmosfa rens sammansa ttning I I Uto ver de typiska gaserna inneha ller luften vi andas en stor ma ngd partiklar i fast- eller va tskeform Dessa inverkar pa klimatet, sikten och va r ha lsa 2,5 miljoner do dsfall fo rknippas a rligen med luftfo roreningar, 2,1 milj. av dessa direkt med partiklar I Partiklar produceras ba de naturligt och av ma nniskan

3 Partiklar i atmosfären Partiklarnas klimatinverkan Internationella klimatpanelen (IPCC) anger atmosfärens partiklar som de näststörsta klimatpåverkande utsläppen som människan producerar efter växthusgaserna Osäkerheten gällande deras påverkan är dock t.o.m. större än växthusgasernas!

4 Partiklar i atmosfären Hur relaterar det här till termofysiken? Hur partiklar i vätskeform, dvs droppar, reagerar på förändringar i deras omgivning är av yttersta vikt för att förstå partiklarnas klimateffekter Droppmodellen som används flitigast inom området baserar sig på klassisk termodynamik Vi börjar med att se på jämvikten för en plan vätskeyta och därefter för en krökt yta av en droppe

5 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Vi har ett isolerat system som innehåller ett ämne i gas- och vätskefas enligt bilden nedan En yta tillför också energi till ett system p.g.a. ytspänningen (σ) Vi ska studera (reversibla) processer som leder till att ytans läge förflyttas

6 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Då ytan förflyttas ändras ytans, gasens och vätskans energier enligt du y = T y ds y + σda + i µ i,y dn i,y du g = T g ds g p g dv g + i µ i,g dn i,g du v = T v ds v p v dv v + i µ i,v dn i,v Entropins förändring blir ds y = 1 T y (du y σda i µ i,y dn i,y ) ds g = 1 T g (du g + p g dv g i µ i,g dn i,g ) ds v = 1 T v (du v + p v dv v i µ i,v dn i,v )

7 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Vi söker jämviktstillståndet där entropin når sitt maximum, dvs där ds tot = ds g + ds y + ds v = 0 Vi kan förenkla uttrycket genom att komma ihåg att totala energin, volymen, partikelantalet och ytans area hålls konstanta du tot = du p + du g + du v = 0 du y = (du g + du v ) dv tot = dv g + dv v = 0 dv n = dv g dn i,tot = dn i,y + dn i,g + dn i,v = 0 dn i,y = (dn i,g + dn i,v ) da = 0

8 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta M.h.a gränsvillkoren får vi totala entropiförändringen ( 1 ds tot = 0 = 1 ) ( 1 du g + 1 ) du v T g T y T v T y ( ) pg + dv g i T g p v T v ( µi,g T g µ i,y T y ) dn i,g i ( µi,v T v µ ) i,y dn i,v T y Varje parentes ovan måste vara noll vid jämvikt, alltså får vi följande kriterier för jämvikt T g = T y = T v P g = P v µ i,g = µ i,y = µ i,v

9 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Vi har ett isolerat system som innehåller ett ämne i gas- och vätskefas enligt bilden nedan I det här fallet är da 0 om partiklar flyttar mellan gas- och vätskefasen

10 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Vi kan här följa samma argumentation som ovan, förutom att arean inte längre kan antas hållas konstant ( 1 0 = ds tot = 1 ) ( 1 du g + 1 ) du v T g T y T v T y ( pg + p ) v dv g T g T v ( µi,g µ ) i,y dn i,g ( µi,v µ ) i,y dn i,v T i g T y T i v T y σ T y da Vi har dock inte ännu använt alla gränsvillkor, nämligen V y = 4/3πr 3 samt A = 4πr 2 som ger dv v = 4πr 2 dr samt da = 8πrdr och följdaktligen da = 2 r dv v = 2 r dv g

11 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Slutligen får vi 0 = ds tot = + ( 1 T g 1 T y ( pg i ) ( 1 du g + ) dv g p v + 2σ T g T v rt y ( µi,g T g µ i,y T y T v 1 T y ) dn i,g i ) du v ( µi,v T v µ ) i,y dn i,v T y Vid jämvikt gäller nu också Young-Laplace-ekvationen p v = p g + 2σ r Trycket inne i droppen kan alltså vara mycket högre än lufttrycket

12 Termodynamiska potentialer Fria energier Vi vill nu studera skillnaden mellan ett utgångstillstånd med enbart gas, och ett sluttillstånd med gas och en vätskedroppe, m.h.a. termodynamiska potentialer Vårt system är i kontakt med ett värmebad och vi antar att gasens tryck och sammansättning inte förändras från starttillståndet (som indexeras med 0) Ett homogent systems (gas eller vätska) energi kan skrivas och för en yta utan volym som U = T 0 S pv + µ i N i U = T 0 S + Aσ + µ i N i

13 Termodynamiska potentialer Fria energier I början har vi endast gasens energi I sluttillståndet har vi U 0 = T 0 S 0 p 0 V 0 + µ 0 i,gn 0 i,g U = T 0 (S g + S y + S v ) p g V g p v V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y + µ i,v N i,v = T 0 S tot p g V g p v V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y + µ i,v N i,v, I det här fallet kan vi välja på tre likvärdiga potentialer: stora potentialen, Helmholtz och Gibbs fria energier Vilken som är bäst beror på det verkliga experimentets randvillkor

14 Termodynamiska potentialer Stora potentialen Först antar vi att gasens kemiska potential (dvs i kontakt med partikelbad med µ 0 i ) och systemets totala volym hålls konstanta I början Φ 0 = U 0 T 0 S 0 µ 0 i,gn 0 i,g = p 0 V 0 = p 0 (V v + V g ) I sluttillståndet har vi Φ = U T 0 S tot µ 0 i,gn i,tot = U T 0 S tot µ 0 i,g(n i,g + N i,v + N i,y ) = p g V g p v V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

15 Termodynamiska potentialer Stora potentialen Förändringen blir således Φ = (p 0 p v )V v + (p 0 p g )V g + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y där det sista steget följer från att trycket i gasen hölls konstant

16 Termodynamiska potentialer Gibbs fria energi Vi antar nu att partikelantalet hålls konstant I början G 0 = U 0 T 0 S 0 + p 0 V 0 = µ 0 i,gni,g 0 I sluttillståndet har vi G = U T 0 S tot + p 0 V tot = U T 0 S tot + p 0 (V g + V v ) = (p 0 p v )V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y Och således G = (p 0 p n )V n + σa + µ i,g N i,g + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y µ 0 i,gni,g 0

17 Termodynamiska potentialer Gibbs fria energi Från Maxwells relationer kan vi se att konstant tryck och partikeltal innebär konstant kemisk potential, dvs µ i,g = µ 0 i,g G = (p 0 p v )V v + σa + µ 0 i,g(n i,g N 0 i,g) + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y = (p 0 p v )V v + σa + µ 0 i,g( N i,v N i,y ) + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

18 Termodynamiska potentialer Helmholtz fria energi Vi antar nu att partikelantalet och totala volymen hålls konstanta I början F 0 = U 0 T 0 S 0 = p 0 (V v + V g ) + µ 0 i,gni,g 0 I sluttillståndet har vi F = U T 0 S tot = p g V g p n V v + σa + µ i,v N i,v + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y Och således F = (p 0 p v )V v + (p 0 p g )V g + σa + (µ i,g µ 0 i,g)n i,g + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

19 Termodynamiska potentialer Helmholtz fria energi Maxwells relationer ger återigen att konstant tryck och partikeltal innebär konstant kemisk potential F = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y Vi har nu beräknat förändringarna i stora potentialen, Gibbs fria energi samt Helmholtz fria energi och erhållit Φ = G = F Våra antaganden har i praktiken varit desamma, dvs att gasvolymen är stor och att bildandet av droppen inte märkbart förändrat gasen

20 Termodynamiska potentialer Jämviktskriterierna Tidigare härledde vi kriterierna för jämvikt direkt från entropins differential, men nu kan vi göra samma genom att söka nollställena för fria energiernas förändringar (detta ger samma resultat som om vi deriverat sluttillståndenas fria energier eftersom starttillståndena är konstanter) Derivering med avseende på r ger p v = p 0 + 2σ r och med avseende på partikeltalen ger µ i,g = µ i,y = µ i,v Temperturkriteriet kan vi inte beräkna, eftersom vi började med att anta att temperaturen var konstant

21 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Jämviktskriterierna i mätbara storheter Vårt mål i denna sista del är att formulera jämviktskriterierna som hittills härletts i mätbara (och kontrollerbara) storheter Vi kommer att använda oss av de fria energierna och av historiska orsaker håller vi oss tills Gibbs fria energi, trots att vi just sett att samma resultat skulle nås också med andra potentialer Vi begränsar oss för enkelhetens skull till ett enkomponentssystem

22 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Från tidigare (vid jämvikt) där v = V/N och s = S/N dµ = vdp sdt Ekvationen ovan gäller för både gasen och vätskan, och dessutom minns vi att dµ g = dµ v och dt = 0 v v dp v = v g dp g dp v = v g v v dp g Genom att differentiera Young-Laplace-ekvationen får vi vidare ( ) 2σ dp v dp g = d r och därmed ( vg v v v v ) ( ) 2σ dp g = d r

23 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Guggenheim (1945) har påvisat det empiriska förhållandet σ(t ) = σ 0 (1 T/T c ) n, där σ 0 och n är anpassade parametrar och T c temperaturen i den kritiska punkten För en droppe är ytspänningen också en funktion av radien Då v v v g är v g v v v g och om vi antar att gasen beter sig som en idealgas v g = kt/p g får vi k B T v v dp g p g = d ( ) 2σ r Vätskor är i praktiken inkompressibla och därför kan v v antas vara oberoende av trycket

24 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Då vi ännu glömmer ytspänningens storleksberoende kan vi integrera ekvationen från r = (en plan yta) till droppens radie r kt v v pg,sat(r) p g,sat( ) vilket ger Kelvinekvationen dp g p g = 2σ p g,sat (r) = p g,sat ( ) exp r d ( ) 1 r ( ) 2σvv kt r Kelvinekvationen visar att jämviktstrycket ovanför en krökt yta alltid är större än ovanför en plan yta Detta kan förstås genom att molekyler vid droppens yta känner attraktionen från färre grannmolekyler än om ytan vore plan, och därför kan dessa molekyler lättare fly från droppen

25 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Kelvinekvationen kan också skrivas i formen r = 2σv v kt ln(p g /p g,sat ( )) Detta innebär att endast droppar med denna specifika radie kan vara i jämvikt med gas vid ett visst tryck: större droppar fortsätter växa, mindre droppar avdunstar Kelvineffekten är av yttersta vikt då man studerar atmosfärens aerosolpartiklar, speciellt vid storlekar mindre än 50 nm Jämviktstermodynamik gäller strikt taget endast system där V och N, men detta gäller alltså inte för vår droppe Därför måste vi också tänka droppen som en teoretisk konstruktion Trots detta beskriver konstruktionen en verklig droppe tillräckligt bra för att vara av nytta

26 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi vill nu modifiera fria energin som krävs för att bilda en droppe till en funktion av droppens radie för att se hur stora droppar är i jämvikt under olika förhållanden Resultatet måste förstås stämma överens med Young-Laplace- och Kelvinekvationerna Genom den fria energin får vi dock mera information om energin som krävs, varifrån man också kan beräkna bildningssannolikheter

27 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi integrerar dµ = vdp (dt = 0) för vätskan från gasens tryck till vätskans tryck och får pv p g dµ v = pv p g v v dp µ v (p v ) µ v (p g ) = v v (p v p g ) Vi multiplicerar med antalet molekyler i vätskan N v och minns N v v v = V v och får [µ v (p v ) µ v (p g )]N v = V v (p g p v ) Just denna term finns i vårt uttryck G = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

28 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi kan förenkla vårt uttryck för fria energin till G = (p g p v )V v + σa + (µ v µ g )N v + (µ y µ g )N y = [µ v (p v ) µ v (p g )]N v + σa + (µ v (p v ) µ g )N v + (µ y µ g )N y = (µ v (p g ) µ g )N v + σa + (µ y µ g )N y En droppes exakta radie är i verkligheten inte väldefinierad och valet av r är till viss mån arbiträr, detta öppnar för antagandet N y = 0 vilket vidare ger G = (µ v (p g ) µ g )N v + σa Det som kvarstår är att slippa de kemiska potentialerna

29 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi utför två vidare integreringar av dµ = vdp från p g,sat till p g, både för vätskan och gasen pg dµ v p g,sat = pg v v dp p g,sat µ v (p g ) µ v (p g,sat ) = v v (p v p g,sat ) pg p g,sat dµ g = pg p g,sat v g dp = µ g (p g ) µ g (p g,sat ) = kt ln p g p g,sat pg p g,sat kt dp p g Eftersom µ v (p g,sat ) = µ g (p g,sat ) får vi efter subtraktion av ovanstående uttryck för kemiska potentialerna i G µ v (p g ) µ g (p g ) = kt ln p g p g,sat + v v (p g p g,sat )

30 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi En snabb överslagsräkning under atmosfäriska förhållanden ger p g p g,sat 10 4 Pa och v v = m 3 vilket innebär att kt ln J och v v (p g p g,sat ) J pg p g,sat Vi kan alltså negligera den senare termen och får G = N v kt ln p g p g,sat + σa Om vi ännu uttrycker V n = N n v n = 4/3πr 3 och A = 4πr 2 får vi G som funktion av ångtrycket och radien G = 4 kt πr3 ln p g + 4πσr 2 3 v v p g,sat Saturationsångtryck och ytspänningar som funktion av temperaturen finns tabulerade för en stor mängd ämnen

31 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Om vi ritar upp kurvor för G som funktion av radien ser vi att dom uppvisar maxima och inte minima Jämviktstillståndet (som bestäms av Kelvinekvationen) är alltså instabilt: om partiklar förvinner kommer droppen att avdunsta, om den växer kommer den att växa tills antingen gasen/ångan tar slut eller droppen blir stor nog att den faller till marken Den första termen är proportionell mot r 3 och är negativ vid supersaturation, men den senare termen ( r 2 ) är positiv och symboliserar energin som krävs för att bilda en yta mellan faserna Först då droppen växt tillräckligt stor börjar den första termen vinna Då partiklar träffar ytan och avdunstar från den slumpmässigt kan droppen växa till den kritiska storleken trots att det innebär en energetisk uppförsbacke

32 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Då ångtrycket ökar, minskar den kritiska storleken och energivallen blir lägre Om p g < p g,sat har kurvorna inga maxima, utan fortsätter växa vilket innebär att vätskefasen inte är en stabil fas under dessa förhållanden Om p g är tillräckligt högt förvinner maximet också, och kurvan är konstant sjunkande vilket å sin sida innebär att gas inte är en stabil fas

33 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Om vi deriverar Gibbs fria energi med avseened på r ( ) G = 4π kt 3r2 ln p g + 8πσr r 3 v v p g,sat p g,t = 4πr 2 kt ln p g + 8πσr. v v p g,sat Vi sätter det här lika med noll och löser ut r d.v.s. Kelvinekvationen. r = 2σv v kt ln(p g /p g,sat ) Tidigare härledde vi Kelvinekvationen via Young-Laplace-ekvationen där vi startade från entropins differential, nu kom vi fram till samma resultat genom att söka upp nollstället för derivatan av bildandets fria energi

34 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi kan även beräkna höjden på energivallen genom att sätta in Kelvinekvationens värde på r i G G = 4 3 πr 3 1 v v 2σv v r + 4πσr 2 = 4 3 πr 2 σ G kan ännu deriveras med avseene på p g (eller för enkelhetens skull ln p g ) som slutligen ger ( ) G ln p g T = kt N v

35 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi I formen ( ) G kt ln p g har vi nu det första nukleationsteoremet T = N v M.h.a. kinetisk gasteori (en del av termofysik, men inte termodynamik) kan man visa att nukleationshastigheten J e G kt Vi kan alltså från en mätning av gaskoncentrationen samt nukleationshastigheten beräkna antalet partiklar i det kritiska klustret ln J ln p g N n

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln.

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Maj 7, 2013, KoK kap. 6 sid 171-176) och kap. 8 Centrala ekvationer i statistisk mekanik

Läs mer

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser 7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser Sedan 1800 talet har man forskat i hur energi kan överföras och omvandlas så effektivt som möjligt. Denna forskning har resulterat i ett antal begrepp som bör

Läs mer

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Även för de som läste KFK080 för B hösten 2010 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH GRUNDLÄGGANDE BEGREPP System (slutet system) = en viss förutbestämd och identifierbar massa m. System Systemgräns Omgivning. Kontrollvolym (öppet system) = en volym som avgränsar ett visst område. Massa

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00 CHALMERS 1 (3) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω)

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω) FUKTIG LUFT Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft Normalt är ω 1 (ω 0.02) ω = m v /m a m = m a (1 + ω) Luftkonditionering, luftbehandling:

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Meddelande. Föreläsning 2.5. Repetition Lv 1-4. Kemiska reaktioner. Kemi och biokemi för K, Kf och Bt 2012

Meddelande. Föreläsning 2.5. Repetition Lv 1-4. Kemiska reaktioner. Kemi och biokemi för K, Kf och Bt 2012 Energi Kemi ch bikemi för K, Kf ch Bt 2012 Föreläsning 2.5 Kemiska reaktiner Meddelande 1. Justerat labschema Lv5-7. Berör K6, Bt6, Bt2, Kf3 2. Mittmötet. Rättning av inlämningsuppgifter. Knstruktiv kritik

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag CALMERS 1 (3) Kemi- och bioteknik/fysikalk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag jälpmedel: Kursböckerna

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00 CHALMERS 1 (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi Termodynamik (KVM091/KVM090) TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner Solen Lektion 7 Solens energi alstras genom fusionsreaktioner i dess inre När solen skickar ut ljus förlorar den också energi. Det måste finnas en mekanism som alstrar denna energi annars skulle solen

Läs mer

Grundläggande energibegrepp

Grundläggande energibegrepp Grundläggande energibegrepp 1 Behov 2 Tillförsel 3 Distribution 4 Vad är energi? Försök att göra en illustration av Energi. Hur skulle den se ut? Kanske solen eller. 5 Vad är energi? Energi används som

Läs mer

Vad är vatten? Ytspänning

Vad är vatten? Ytspänning Vad är vatten? Vatten är livsviktigt för att det ska finnas liv på jorden. I vatten finns något som kallas molekyler. Dessa molekyler går inte att se med ögat, utan måste ses med mikroskop. Molekylerna

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V CHLMERS 1 (3) TENTMEN I TERMODYNMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Kursböckerna Elliott-Lira: Introductory Chemical Engineering Thermodynamics och P. tkins, L. Jones:

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 7 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30 CHALMERS 1 (3) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Tentamen Joakim Wren Exempeltentamen 8 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära, miniräknare.

Läs mer

Tentamen KFKA05, 2014-10-29

Tentamen KFKA05, 2014-10-29 Denna tentamen gäller om du haft Molecular Driving Forces av Dill & Bromberg som kursbok. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall

Läs mer

Värmelära. Fysik åk 8

Värmelära. Fysik åk 8 Värmelära Fysik åk 8 Fundera på det här! Varför kan man hålla i en grillpinne av trä men inte av järn? Varför spolar man syltburkar under varmvatten om de inte går att få upp? Varför hänger elledningar

Läs mer

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1

2 NEWTONS LAGAR. 2.1 Inledning. Newtons lagar 2 1 Newtons lagar 2 1 2 NEWTONS LAGAR 2.1 Inledning Ordet kinetik används ofta för att beteckna läranom kroppars rörelse under inflytande av krafter. Med dynamik betcknar vi ett vidare område där även kinematiken

Läs mer

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3)

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Introduktion En cell eller en organism måste syntetisera beståndsdelar, hålla koll på vilka signaler som kommer utifrån, och reparera skador som uppkommit.

Läs mer

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten0 Ladokkod: TT05A Tentamen ges för: Årskurs Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 202-08-30 Tid: 9.00-3.00 7,5 högskolepoäng

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

grundämne När man blandar två eller flera ämnen till ett nytt ämne

grundämne När man blandar två eller flera ämnen till ett nytt ämne Namn: Kemiprov åk 4 Datum: Para ihop ord och förklaring grundämne När man blandar två eller flera ämnen till ett nytt ämne hypotes När ett ämne försvinner i ett annat ämne och man ser det inte men kan

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

Fotoelektriska effekten

Fotoelektriska effekten Fotoelektriska effekten Bakgrund År 1887 upptäckte den tyska fysikern Heinrich Hertz att då man belyser ytan på en metallkropp med ultraviolett ljus avges elektriska laddningar från ytan. Noggrannare undersökningar

Läs mer

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått.

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. 12) Terminologi Brandflöde Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. Medelbrandflöde Ökningen av luftvolymen som skapas i brandrummet när rummet

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Sammanfattning: Fysik A Del 2

Sammanfattning: Fysik A Del 2 Sammanfattning: Fysik A Del 2 Optik Reflektion Linser Syn Ellära Laddningar Elektriska kretsar Värme Optik Reflektionslagen Ljus utbreder sig rätlinjigt. En blank yta ger upphov till spegling eller reflektion.

Läs mer

Labbrapport. Isingmodel

Labbrapport. Isingmodel Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Simulering och reglerteknik för kemister

Simulering och reglerteknik för kemister Simulering och reglerteknik för kemister Gå till http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm och gå igenom några av följande exempel. http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm Följ gärna de beskrivningarna

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Energitekniska formler med kommentarer

Energitekniska formler med kommentarer Energitekniska formler med kommentarer Energiteknik del 2 Anders Bengtsson 19 januari 2011 Sammanfattning Det finns egentligen inga formler som alltid kan användas. Med en formel tänker man sig ofta en

Läs mer

Klimatscenarier för Sverige beräkningar från SMHI

Klimatscenarier för Sverige beräkningar från SMHI Klimat- och miljöeffekters påverkan på kulturhistoriskt värdefull bebyggelse Delrapport 1 Klimatscenarier för Sverige beräkningar från SMHI Klimatscenarier för Sverige beräkningar från SMHI 2 För att öka

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen 013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på

Läs mer

Kinetik. Föreläsning 1

Kinetik. Föreläsning 1 Kinetik Föreläsning 1 Varför kunna kinetik? För att till exempel kunna besvara: Hur lång tid tar reaktionen till viss omsättningsgrad eller hur mycket produkt bildas på viss tid? Hur ser reaktionens temperaturberoende

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker

Läs mer

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27

Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet. Skrivet av: Hans Beijner 2003-07-27 Poler och nollställen, motkoppling och loopstabilitet Skrivet av: Hans Beijner 003-07-7 Inledning All text i detta dokument är skyddad enligt lagen om Copyright och får ej användas, kopieras eller citeras

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Stationer för Gymnasiecentrum-Work Shop Fysik 30-31/1 2008 Jonn Lantz

Stationer för Gymnasiecentrum-Work Shop Fysik 30-31/1 2008 Jonn Lantz Stationer för Gymnasiecentrum-Work Shop Fysik 30-31/1 008 Jonn Lantz 1. Kastmaskin. Ballonger 3. Kraft & acceleration 4. Accelerometer 5. PET-bil 6. Rörelsedetektor 7. Småexperiment snurrstol trådrulle

Läs mer

Var i en nöjespark får man uppleva de starkaste krafterna? Enligt

Var i en nöjespark får man uppleva de starkaste krafterna? Enligt Ann-Marie Pendrill & David Eager Studsmattematte fritt fall och harmonisk svängningsrörelse Studsmattor finns i många trädgårdar och lekplatser. Under studsandet rör man sig huvudsakligen i vertikalled

Läs mer

The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition

The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition The 43 rd International Physics Olympiad Theoretical Competition Tartu, Estonia Tuesday, July 17 th 2012 Skrivtiden är 5 timmar, med 3 uppgifter om totalt 30 poäng. Du får inte öppna kuvertet med uppgiftstexterna

Läs mer

Räkneövning/Exempel på tentafrågor

Räkneövning/Exempel på tentafrågor Räkneövning/Exempel på tentafrågor Att lösa problem Ni får en formelsamling Huvudsaken är inte att ni kan komma ihåg en viss den utan att ni kan använda den. Det finns vissa frågor som inte kräver att

Läs mer

PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden

PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden PM. Prognosticerade klimateffekter i Sverige för perioden 2071 2100 på dagvattenflöden - för dimensionering av transportsystem (kortare regnvaraktighet) och fördröjningsvolymen i utjämningsanläggningar

Läs mer

Luftföroreningars klimatpåverkan Synergier och konflikter i åtgärdsarbete. HC Hansson, Stefan Åström ITM, IVL

Luftföroreningars klimatpåverkan Synergier och konflikter i åtgärdsarbete. HC Hansson, Stefan Åström ITM, IVL Luftföroreningars klimatpåverkan Synergier och konflikter i åtgärdsarbete HC Hansson, Stefan Åström ITM, IVL Bakgrund Utsläpp av luftföroreningar och växthustgaser härstammar till stor del från samma utsläppskällor

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

V-Cone montage. Typiska installationssätt. Ånga & våta gaser. Gas (torr) (sida 2) (sida 3)

V-Cone montage. Typiska installationssätt. Ånga & våta gaser. Gas (torr) (sida 2) (sida 3) Typiska installationssätt Vätska (sida 1) Gas (torr) (sida 2) Ånga & våta gaser (sida 3) Vertikala rör, Ånga & våta gaser (sida 4) Varje är en individ med ett kalibreringscertifikat som är knutet till

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Fotosyntesen. För att växterna ska kunna genomföra fotosyntesen behöver de: Vatten som de tar upp från marken genom sina rötter.

Fotosyntesen. För att växterna ska kunna genomföra fotosyntesen behöver de: Vatten som de tar upp från marken genom sina rötter. Fotosyntesen Fotosyntensen är den viktigaste process som finns på jorden. Utan fotosyntesen skulle livet vara annorlunda för oss människor. Det skulle inte finnas några växter. Har du tänkt på hur mycket

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

Koldioxid Vattenånga Metan Dikväveoxid (lustgas) Ozon Freoner. Växthusgaser

Koldioxid Vattenånga Metan Dikväveoxid (lustgas) Ozon Freoner. Växthusgaser Växthuseffekten Atmosfären runt jorden fungerar som rutorna i ett växthus. Inne i växthuset har vi jorden. Gaserna i atmosfären släpper igenom solstrålning av olika våglängder. Värmestrålningen som studsar

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Gauss Linsformel (härledning)

Gauss Linsformel (härledning) α α β β S S h h f f ' ' S h S h f S h f h ' ' S S h h ' ' f f S h h ' ' 1 ' ' ' f S f f S S S ' 1 1 1 S f S f S S 1 ' 1 1 Gauss Linsformel (härledning) Avbilding med lins a f f b Gauss linsformel: 1 a

Läs mer

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 1 december 2011

Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 1 december 2011 Räkneövning 6 Vågrörelselära & Kvantfysik, FK2002 december 20 Problem 36.23 Avståndet mellan två konvexa linser i ett mikroskop, l = 7.5 cm. Fokallängden för objektivet f o = 0.8 cm och för okularet f

Läs mer

Materia Sammanfattning. Materia

Materia Sammanfattning. Materia Materia Sammanfattning Material = vad föremålet (materiel) är gjort av. Materia finns överallt (består av atomer). OBS! Materia Något som tar plats. Kan mäta hur mycket plats den tar eller väga. Materia

Läs mer

Projektarbeten på kursen i Fysik för C & D

Projektarbeten på kursen i Fysik för C & D Projektarbeten på kursen i Fysik för C & D Målsättning: Projekten syftar till teoretisk- och i vissa fall experimentell fördjupning inom områdena termodynamik, klimatfysik och förbränning, med en tydlig

Läs mer

tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod T0002N Kursnamn Logistik 1 Datum 2012-10-26 Material Fördjupningsuppgift Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Försättsblad inlämningsuppgift

Läs mer

Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1

Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1 Vindkraft Anton Repetto 9b 21/5-2010 1 Vindkraft...1 Inledning...3 Bakgrund...4 Frågeställning...5 Metod...5 Slutsats...7 Felkällor...8 Avslutning...8 2 Inledning Fördjupningsveckan i skolan har som tema,

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Vad gör växten med vattnet?

Vad gör växten med vattnet? Innehåll ver.2 Vad gör växten med vattnet? Du har säkert undrat över varför dina växter behöver så mycket vatten. Det är inte mera märkligt än att du själv behöver 1-3 liter vatten om dagen. Du får det

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning del 2 i Fysik A för Basåret Tisdagen den 10 april 2012 kl. 9.00-13.00 (Denna tentamen avser andra halvan av Fysik A, kap 2 och 7-9 i Heureka. Fysik A)

Läs mer

Biobränsle. Effekt. Elektricitet. Energi. Energianvändning

Biobränsle. Effekt. Elektricitet. Energi. Energianvändning Biobränsle X är bränslen som har organiskt ursprung, biomassa, och kommer från de växter som lever på vår jord just nu. Exempel på X är ved, rapsolja, biogas och vissa typer av avfall. Effekt Beskriver

Läs mer

Fanerfuktkvot och klimat i produktionslokaler vid Åberg & Söner AB Dick Sandberg Växjö University, School of Technology & Design

Fanerfuktkvot och klimat i produktionslokaler vid Åberg & Söner AB Dick Sandberg Växjö University, School of Technology & Design Fanerfuktkvot och klimat i produktionslokaler vid Åberg & Söner AB Dick Sandberg Växjö University, School of Technology & Design Working paper no. 6:17 Sammanfattning I den nu genomförda undersökningen

Läs mer

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1.

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Solar cells 2.0 Inledning Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Figure 2.1 Utrustning som används i experiment E2. Utrustningslista (se Fig. 2.1): A, B: Två solceller C: Svart plastlåda

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q

1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q 2.1 Gauss lag och elektrostatiska egenskaper hos ledare (HRW 23) Faradays ishinksexperiment Elfältet E = 0 inne i en elektrostatiskt laddad ledare => Laddningen koncentrerad på ledarens yta! Elfältets

Läs mer