Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki"

Transkript

1 Kapitel V Praktiska exempel: Historien om en droppe Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

2 Kapitel V - Praktiska exempel: Historien om en droppe Partiklar i atmosfa ren Atmosfa rens sammansa ttning I I Uto ver de typiska gaserna inneha ller luften vi andas en stor ma ngd partiklar i fast- eller va tskeform Dessa inverkar pa klimatet, sikten och va r ha lsa 2,5 miljoner do dsfall fo rknippas a rligen med luftfo roreningar, 2,1 milj. av dessa direkt med partiklar I Partiklar produceras ba de naturligt och av ma nniskan

3 Partiklar i atmosfären Partiklarnas klimatinverkan Internationella klimatpanelen (IPCC) anger atmosfärens partiklar som de näststörsta klimatpåverkande utsläppen som människan producerar efter växthusgaserna Osäkerheten gällande deras påverkan är dock t.o.m. större än växthusgasernas!

4 Partiklar i atmosfären Hur relaterar det här till termofysiken? Hur partiklar i vätskeform, dvs droppar, reagerar på förändringar i deras omgivning är av yttersta vikt för att förstå partiklarnas klimateffekter Droppmodellen som används flitigast inom området baserar sig på klassisk termodynamik Vi börjar med att se på jämvikten för en plan vätskeyta och därefter för en krökt yta av en droppe

5 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Vi har ett isolerat system som innehåller ett ämne i gas- och vätskefas enligt bilden nedan En yta tillför också energi till ett system p.g.a. ytspänningen (σ) Vi ska studera (reversibla) processer som leder till att ytans läge förflyttas

6 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Då ytan förflyttas ändras ytans, gasens och vätskans energier enligt du y = T y ds y + σda + i µ i,y dn i,y du g = T g ds g p g dv g + i µ i,g dn i,g du v = T v ds v p v dv v + i µ i,v dn i,v Entropins förändring blir ds y = 1 T y (du y σda i µ i,y dn i,y ) ds g = 1 T g (du g + p g dv g i µ i,g dn i,g ) ds v = 1 T v (du v + p v dv v i µ i,v dn i,v )

7 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta Vi söker jämviktstillståndet där entropin når sitt maximum, dvs där ds tot = ds g + ds y + ds v = 0 Vi kan förenkla uttrycket genom att komma ihåg att totala energin, volymen, partikelantalet och ytans area hålls konstanta du tot = du p + du g + du v = 0 du y = (du g + du v ) dv tot = dv g + dv v = 0 dv n = dv g dn i,tot = dn i,y + dn i,g + dn i,v = 0 dn i,y = (dn i,g + dn i,v ) da = 0

8 Fasjämvikt vid en plan yta Fasjämvikt vid en plan yta M.h.a gränsvillkoren får vi totala entropiförändringen ( 1 ds tot = 0 = 1 ) ( 1 du g + 1 ) du v T g T y T v T y ( ) pg + dv g i T g p v T v ( µi,g T g µ i,y T y ) dn i,g i ( µi,v T v µ ) i,y dn i,v T y Varje parentes ovan måste vara noll vid jämvikt, alltså får vi följande kriterier för jämvikt T g = T y = T v P g = P v µ i,g = µ i,y = µ i,v

9 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Vi har ett isolerat system som innehåller ett ämne i gas- och vätskefas enligt bilden nedan I det här fallet är da 0 om partiklar flyttar mellan gas- och vätskefasen

10 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Vi kan här följa samma argumentation som ovan, förutom att arean inte längre kan antas hållas konstant ( 1 0 = ds tot = 1 ) ( 1 du g + 1 ) du v T g T y T v T y ( pg + p ) v dv g T g T v ( µi,g µ ) i,y dn i,g ( µi,v µ ) i,y dn i,v T i g T y T i v T y σ T y da Vi har dock inte ännu använt alla gränsvillkor, nämligen V y = 4/3πr 3 samt A = 4πr 2 som ger dv v = 4πr 2 dr samt da = 8πrdr och följdaktligen da = 2 r dv v = 2 r dv g

11 Fasjämvikt vid en krökt yta Fasjämvikt vid en krökt yta Slutligen får vi 0 = ds tot = + ( 1 T g 1 T y ( pg i ) ( 1 du g + ) dv g p v + 2σ T g T v rt y ( µi,g T g µ i,y T y T v 1 T y ) dn i,g i ) du v ( µi,v T v µ ) i,y dn i,v T y Vid jämvikt gäller nu också Young-Laplace-ekvationen p v = p g + 2σ r Trycket inne i droppen kan alltså vara mycket högre än lufttrycket

12 Termodynamiska potentialer Fria energier Vi vill nu studera skillnaden mellan ett utgångstillstånd med enbart gas, och ett sluttillstånd med gas och en vätskedroppe, m.h.a. termodynamiska potentialer Vårt system är i kontakt med ett värmebad och vi antar att gasens tryck och sammansättning inte förändras från starttillståndet (som indexeras med 0) Ett homogent systems (gas eller vätska) energi kan skrivas och för en yta utan volym som U = T 0 S pv + µ i N i U = T 0 S + Aσ + µ i N i

13 Termodynamiska potentialer Fria energier I början har vi endast gasens energi I sluttillståndet har vi U 0 = T 0 S 0 p 0 V 0 + µ 0 i,gn 0 i,g U = T 0 (S g + S y + S v ) p g V g p v V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y + µ i,v N i,v = T 0 S tot p g V g p v V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y + µ i,v N i,v, I det här fallet kan vi välja på tre likvärdiga potentialer: stora potentialen, Helmholtz och Gibbs fria energier Vilken som är bäst beror på det verkliga experimentets randvillkor

14 Termodynamiska potentialer Stora potentialen Först antar vi att gasens kemiska potential (dvs i kontakt med partikelbad med µ 0 i ) och systemets totala volym hålls konstanta I början Φ 0 = U 0 T 0 S 0 µ 0 i,gn 0 i,g = p 0 V 0 = p 0 (V v + V g ) I sluttillståndet har vi Φ = U T 0 S tot µ 0 i,gn i,tot = U T 0 S tot µ 0 i,g(n i,g + N i,v + N i,y ) = p g V g p v V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

15 Termodynamiska potentialer Stora potentialen Förändringen blir således Φ = (p 0 p v )V v + (p 0 p g )V g + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y där det sista steget följer från att trycket i gasen hölls konstant

16 Termodynamiska potentialer Gibbs fria energi Vi antar nu att partikelantalet hålls konstant I början G 0 = U 0 T 0 S 0 + p 0 V 0 = µ 0 i,gni,g 0 I sluttillståndet har vi G = U T 0 S tot + p 0 V tot = U T 0 S tot + p 0 (V g + V v ) = (p 0 p v )V v + σa + µ i,g N i,g + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y Och således G = (p 0 p n )V n + σa + µ i,g N i,g + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y µ 0 i,gni,g 0

17 Termodynamiska potentialer Gibbs fria energi Från Maxwells relationer kan vi se att konstant tryck och partikeltal innebär konstant kemisk potential, dvs µ i,g = µ 0 i,g G = (p 0 p v )V v + σa + µ 0 i,g(n i,g N 0 i,g) + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y = (p 0 p v )V v + σa + µ 0 i,g( N i,v N i,y ) + µ i,v N i,v + µ i,y N i,y = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

18 Termodynamiska potentialer Helmholtz fria energi Vi antar nu att partikelantalet och totala volymen hålls konstanta I början F 0 = U 0 T 0 S 0 = p 0 (V v + V g ) + µ 0 i,gni,g 0 I sluttillståndet har vi F = U T 0 S tot = p g V g p n V v + σa + µ i,v N i,v + µ i,g N i,g + µ i,y N i,y Och således F = (p 0 p v )V v + (p 0 p g )V g + σa + (µ i,g µ 0 i,g)n i,g + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

19 Termodynamiska potentialer Helmholtz fria energi Maxwells relationer ger återigen att konstant tryck och partikeltal innebär konstant kemisk potential F = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y Vi har nu beräknat förändringarna i stora potentialen, Gibbs fria energi samt Helmholtz fria energi och erhållit Φ = G = F Våra antaganden har i praktiken varit desamma, dvs att gasvolymen är stor och att bildandet av droppen inte märkbart förändrat gasen

20 Termodynamiska potentialer Jämviktskriterierna Tidigare härledde vi kriterierna för jämvikt direkt från entropins differential, men nu kan vi göra samma genom att söka nollställena för fria energiernas förändringar (detta ger samma resultat som om vi deriverat sluttillståndenas fria energier eftersom starttillståndena är konstanter) Derivering med avseende på r ger p v = p 0 + 2σ r och med avseende på partikeltalen ger µ i,g = µ i,y = µ i,v Temperturkriteriet kan vi inte beräkna, eftersom vi började med att anta att temperaturen var konstant

21 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Jämviktskriterierna i mätbara storheter Vårt mål i denna sista del är att formulera jämviktskriterierna som hittills härletts i mätbara (och kontrollerbara) storheter Vi kommer att använda oss av de fria energierna och av historiska orsaker håller vi oss tills Gibbs fria energi, trots att vi just sett att samma resultat skulle nås också med andra potentialer Vi begränsar oss för enkelhetens skull till ett enkomponentssystem

22 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Från tidigare (vid jämvikt) där v = V/N och s = S/N dµ = vdp sdt Ekvationen ovan gäller för både gasen och vätskan, och dessutom minns vi att dµ g = dµ v och dt = 0 v v dp v = v g dp g dp v = v g v v dp g Genom att differentiera Young-Laplace-ekvationen får vi vidare ( ) 2σ dp v dp g = d r och därmed ( vg v v v v ) ( ) 2σ dp g = d r

23 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Guggenheim (1945) har påvisat det empiriska förhållandet σ(t ) = σ 0 (1 T/T c ) n, där σ 0 och n är anpassade parametrar och T c temperaturen i den kritiska punkten För en droppe är ytspänningen också en funktion av radien Då v v v g är v g v v v g och om vi antar att gasen beter sig som en idealgas v g = kt/p g får vi k B T v v dp g p g = d ( ) 2σ r Vätskor är i praktiken inkompressibla och därför kan v v antas vara oberoende av trycket

24 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Då vi ännu glömmer ytspänningens storleksberoende kan vi integrera ekvationen från r = (en plan yta) till droppens radie r kt v v pg,sat(r) p g,sat( ) vilket ger Kelvinekvationen dp g p g = 2σ p g,sat (r) = p g,sat ( ) exp r d ( ) 1 r ( ) 2σvv kt r Kelvinekvationen visar att jämviktstrycket ovanför en krökt yta alltid är större än ovanför en plan yta Detta kan förstås genom att molekyler vid droppens yta känner attraktionen från färre grannmolekyler än om ytan vore plan, och därför kan dessa molekyler lättare fly från droppen

25 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Kelvinekvationen Kelvinekvationen kan också skrivas i formen r = 2σv v kt ln(p g /p g,sat ( )) Detta innebär att endast droppar med denna specifika radie kan vara i jämvikt med gas vid ett visst tryck: större droppar fortsätter växa, mindre droppar avdunstar Kelvineffekten är av yttersta vikt då man studerar atmosfärens aerosolpartiklar, speciellt vid storlekar mindre än 50 nm Jämviktstermodynamik gäller strikt taget endast system där V och N, men detta gäller alltså inte för vår droppe Därför måste vi också tänka droppen som en teoretisk konstruktion Trots detta beskriver konstruktionen en verklig droppe tillräckligt bra för att vara av nytta

26 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi vill nu modifiera fria energin som krävs för att bilda en droppe till en funktion av droppens radie för att se hur stora droppar är i jämvikt under olika förhållanden Resultatet måste förstås stämma överens med Young-Laplace- och Kelvinekvationerna Genom den fria energin får vi dock mera information om energin som krävs, varifrån man också kan beräkna bildningssannolikheter

27 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi integrerar dµ = vdp (dt = 0) för vätskan från gasens tryck till vätskans tryck och får pv p g dµ v = pv p g v v dp µ v (p v ) µ v (p g ) = v v (p v p g ) Vi multiplicerar med antalet molekyler i vätskan N v och minns N v v v = V v och får [µ v (p v ) µ v (p g )]N v = V v (p g p v ) Just denna term finns i vårt uttryck G = (p 0 p v )V v + σa + (µ i,v µ 0 i,g)n i,v + (µ i,y µ 0 i,g)n i,y

28 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi kan förenkla vårt uttryck för fria energin till G = (p g p v )V v + σa + (µ v µ g )N v + (µ y µ g )N y = [µ v (p v ) µ v (p g )]N v + σa + (µ v (p v ) µ g )N v + (µ y µ g )N y = (µ v (p g ) µ g )N v + σa + (µ y µ g )N y En droppes exakta radie är i verkligheten inte väldefinierad och valet av r är till viss mån arbiträr, detta öppnar för antagandet N y = 0 vilket vidare ger G = (µ v (p g ) µ g )N v + σa Det som kvarstår är att slippa de kemiska potentialerna

29 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi utför två vidare integreringar av dµ = vdp från p g,sat till p g, både för vätskan och gasen pg dµ v p g,sat = pg v v dp p g,sat µ v (p g ) µ v (p g,sat ) = v v (p v p g,sat ) pg p g,sat dµ g = pg p g,sat v g dp = µ g (p g ) µ g (p g,sat ) = kt ln p g p g,sat pg p g,sat kt dp p g Eftersom µ v (p g,sat ) = µ g (p g,sat ) får vi efter subtraktion av ovanstående uttryck för kemiska potentialerna i G µ v (p g ) µ g (p g ) = kt ln p g p g,sat + v v (p g p g,sat )

30 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi En snabb överslagsräkning under atmosfäriska förhållanden ger p g p g,sat 10 4 Pa och v v = m 3 vilket innebär att kt ln J och v v (p g p g,sat ) J pg p g,sat Vi kan alltså negligera den senare termen och får G = N v kt ln p g p g,sat + σa Om vi ännu uttrycker V n = N n v n = 4/3πr 3 och A = 4πr 2 får vi G som funktion av ångtrycket och radien G = 4 kt πr3 ln p g + 4πσr 2 3 v v p g,sat Saturationsångtryck och ytspänningar som funktion av temperaturen finns tabulerade för en stor mängd ämnen

31 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Om vi ritar upp kurvor för G som funktion av radien ser vi att dom uppvisar maxima och inte minima Jämviktstillståndet (som bestäms av Kelvinekvationen) är alltså instabilt: om partiklar förvinner kommer droppen att avdunsta, om den växer kommer den att växa tills antingen gasen/ångan tar slut eller droppen blir stor nog att den faller till marken Den första termen är proportionell mot r 3 och är negativ vid supersaturation, men den senare termen ( r 2 ) är positiv och symboliserar energin som krävs för att bilda en yta mellan faserna Först då droppen växt tillräckligt stor börjar den första termen vinna Då partiklar träffar ytan och avdunstar från den slumpmässigt kan droppen växa till den kritiska storleken trots att det innebär en energetisk uppförsbacke

32 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Då ångtrycket ökar, minskar den kritiska storleken och energivallen blir lägre Om p g < p g,sat har kurvorna inga maxima, utan fortsätter växa vilket innebär att vätskefasen inte är en stabil fas under dessa förhållanden Om p g är tillräckligt högt förvinner maximet också, och kurvan är konstant sjunkande vilket å sin sida innebär att gas inte är en stabil fas

33 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Om vi deriverar Gibbs fria energi med avseened på r ( ) G = 4π kt 3r2 ln p g + 8πσr r 3 v v p g,sat p g,t = 4πr 2 kt ln p g + 8πσr. v v p g,sat Vi sätter det här lika med noll och löser ut r d.v.s. Kelvinekvationen. r = 2σv v kt ln(p g /p g,sat ) Tidigare härledde vi Kelvinekvationen via Young-Laplace-ekvationen där vi startade från entropins differential, nu kom vi fram till samma resultat genom att söka upp nollstället för derivatan av bildandets fria energi

34 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi Vi kan även beräkna höjden på energivallen genom att sätta in Kelvinekvationens värde på r i G G = 4 3 πr 3 1 v v 2σv v r + 4πσr 2 = 4 3 πr 2 σ G kan ännu deriveras med avseene på p g (eller för enkelhetens skull ln p g ) som slutligen ger ( ) G ln p g T = kt N v

35 Jämviktskriterierna i mätbara storheter Bildandets fria energi I formen ( ) G kt ln p g har vi nu det första nukleationsteoremet T = N v M.h.a. kinetisk gasteori (en del av termofysik, men inte termodynamik) kan man visa att nukleationshastigheten J e G kt Vi kan alltså från en mätning av gaskoncentrationen samt nukleationshastigheten beräkna antalet partiklar i det kritiska klustret ln J ln p g N n

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl. 4.00-8.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

YTKEMI. Föreläsning 8. Kemiska Principer II. Anders Hagfeldt

YTKEMI. Föreläsning 8. Kemiska Principer II. Anders Hagfeldt YTKEMI. Föreläsning 8. Kemiska Principer II. Anders Hagfeldt Under föreläsningarna 8 och 9 kommer vi att gå igenom ett antal koncept som är viktiga i ytkemi och försöka göra en termodynamisk beskrivning

Läs mer

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen. 9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de

Läs mer

10. Kinetisk gasteori

10. Kinetisk gasteori 10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för

Läs mer

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln.

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Maj 7, 2013, KoK kap. 6 sid 171-176) och kap. 8 Centrala ekvationer i statistisk mekanik

Läs mer

Termodynamik och inledande statistisk fysik

Termodynamik och inledande statistisk fysik Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från

Läs mer

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen

Lite fakta om proteinmodeller, som deltar mycket i den här tentamen Skriftlig deltentamen, FYTA12 Statistisk fysik, 6hp, 28 Februari 2012, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4 anteckningsblad, skrivdon. Totalt 30 poäng. För godkänt: 15 poäng. För väl godkänt: 24

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Kapitel I Introduktion och första grundlagen Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal

Läs mer

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser 7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser Sedan 1800 talet har man forskat i hur energi kan överföras och omvandlas så effektivt som möjligt. Denna forskning har resulterat i ett antal begrepp som bör

Läs mer

Räkneövning 2 hösten 2014

Räkneövning 2 hösten 2014 Termofysikens Grunder Räkneövning 2 hösten 2014 Assistent: Christoffer Fridlund 22.9.2014 1 1. Brinnande processer. Moderna datorers funktion baserar sig på kiselprocessorer. Anta att en modern processor

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen Kapitel I Introduktion och första grundlagen Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler,...) i vilka temperaturen

Läs mer

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j.

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j. Föreläsning 4. 1 Eulers ekvationer i ska nu tillämpa Newtons andra lag på en materiell kontrollvolym i en fluid. Som bekant säger Newtons andra lag att tidsderivatan av kontrollvolymens rörelsemängd är

Läs mer

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Även för de som läste KFK080 för B hösten 2010 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Teknisk termodynamik repetition

Teknisk termodynamik repetition Först något om enheter! Teknisk termodynamik repetition Kom ihåg att använda Kelvingrader för temperaturer! Enheter motsvarar vad som efterfrågas! Med konventionen specifika enheter liten bokstav: E Enhet

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Arbetet beror på vägen

Arbetet beror på vägen VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:

Läs mer

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar Repetition Termodynamik handlar om energiomvandlingar Termodynamikens första huvudsats: (Energiprincipen) Energi kan inte skapas och inte förstöras bara omvandlas från en form till en annan!! Termodynamikens

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.

Läs mer

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Om trycket hålls konstant och temperaturen höjs kommer molekylerna till slut att bryta sig ur detta mönster (sublimation eller smältning).

Om trycket hålls konstant och temperaturen höjs kommer molekylerna till slut att bryta sig ur detta mönster (sublimation eller smältning). EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN Enhetligt ämne (eng. pure substance): ett ämne som är homogent och som har enhetlig kemisk sammansättning, även om fasomvandling sker. Vid jämvikt för ett system av ett enhetligt

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH GRUNDLÄGGANDE BEGREPP System (slutet system) = en viss förutbestämd och identifierbar massa m. System Systemgräns Omgivning. Kontrollvolym (öppet system) = en volym som avgränsar ett visst område. Massa

Läs mer

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2) Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Rena ämnen/substanser Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

530117 Materialfysik vt 2007. 5. Kinetik 5.1 Allmänt om kinetik. [Mitchell 3.0; lite ur Porter-Easterling 5.4]

530117 Materialfysik vt 2007. 5. Kinetik 5.1 Allmänt om kinetik. [Mitchell 3.0; lite ur Porter-Easterling 5.4] 530117 Materialfysik vt 2007 5. Kinetik 5.1 Allmänt om kinetik [Mitchell 3.0; lite ur Porter-Easterling 5.4] Definition Med kinetik avses tidsberoendet av processer, hur snabbt de sker Avgörande storhet

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

där vi introducerat Nu förändras även de övriga termodynamiska potentialernas derivator:

där vi introducerat Nu förändras även de övriga termodynamiska potentialernas derivator: IV. Faser Viktiga målsättningar med detta kapitel där vi introducerat µ ( E N ) S,V (2) = systemets kemiska potential = energiökningen per tillförd partikel Kunna behandla partikeltalet som termodynamisk

Läs mer

III. Klassisk termodynamik. Termofysik, Kai Nordlund 2006 1

III. Klassisk termodynamik. Termofysik, Kai Nordlund 2006 1 III. Klassisk termodynamik Termofysik, Kai Nordlund 2006 1 III.1. Termodynamikens II grundlag i differentialform Termodynamikens II grundlag var ju Entropin i ett isolerat system kan endast öka och antar

Läs mer

Termodynamik FL3. Fasomvandlingsprocesser. FASER hos ENHETLIGA ÄMNEN. FASEGENSKAPER hos ENHETLIGA ÄMNEN. Exempel: Koka vatten under konstant tryck:

Termodynamik FL3. Fasomvandlingsprocesser. FASER hos ENHETLIGA ÄMNEN. FASEGENSKAPER hos ENHETLIGA ÄMNEN. Exempel: Koka vatten under konstant tryck: Termodynamik FL3 FASEGENSKAPER hos ENHETLIGA ÄMNEN FASER hos ENHETLIGA ÄMNEN Enhetligt ämne: ämne med välbestämd och enhetlig kemisk sammansättning. (även luft och vätske-gasblandningar kan betraktas som

Läs mer

Allmän kemi. Läromålen. Viktigt i kap 17. Kap 17 Termodynamik. Studenten skall efter att ha genomfört delkurs 1 kunna:

Allmän kemi. Läromålen. Viktigt i kap 17. Kap 17 Termodynamik. Studenten skall efter att ha genomfört delkurs 1 kunna: Allmän kemi Kap 17 Termodynamik Läromålen Studenten skall efter att ha genomfört delkurs 1 kunna: n - använda de termodynamiska begreppen entalpi, entropi och Gibbs fria energi samt redogöra för energiomvandlingar

Läs mer

Temperatur T 1K (Kelvin)

Temperatur T 1K (Kelvin) Temperatur T 1K (Kelvin) Makroskopiskt: mäts med termometer (t.ex. volymutvidgning av vätska) Mikroskopiskt: molekylers genomsnittliga kinetiska energi Temperaturskalor Celsius 1 o C: vattens fryspunkt

Läs mer

Räkneövning i termodynamik, hösten 2000

Räkneövning i termodynamik, hösten 2000 October 3, 000 Räkneövning i termodynamik, hösten 000 Räkneövning 1: första huvudsatsen (kapitel 1) Jan Lagerwall E-post: jpf@fy.chalmers.se 1. (1.1) Visa att det för en kvasistatisk, adiabatisk process

Läs mer

Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi

Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi Version: 16 maj 201. TFYA12, Rickard Armiento, Föreläsning 1 Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi April 2, 201, KoK kap. 1-2 Formalia Föreläsare och kursansvarig:

Läs mer

Kap 11 kylcykler. 2-fas. ånga

Kap 11 kylcykler. 2-fas. ånga Kap 11 kylcykler Verkliga kylcykler Den vanligaste kylcykeln i tillämpningar innehåller förångning och kompression, dvs kylmediet byter fas. Problem som uppstår liknar de som finns i ångcykler (med vatten

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation Innehållsförteckning Notera: denna förteckning uppdateras under kursens lopp, men stora förändringar är inte att vänta. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation I.1.1. Vad behandlar

Läs mer

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt

Läs mer

Kinetik. Föreläsning 2

Kinetik. Föreläsning 2 Kinetik Föreläsning 2 Reaktioner som går mot ett jämviktsläge ALLA reaktioner går mot jämvikt, här avses att vid jämvikt finns mätbara mängder av alla i summaformeln ingående ämnen. Exempel: Reaktion i

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Kapitel II. Termodynamikens statistiska bas

Kapitel II. Termodynamikens statistiska bas Kapitel II Termodynamikens statistiska bas Introduktion Termodynamik vs. Statistik mekanik En gas består av ett stort antal atomer Termodynamiken beskriver gasens jämviktstillståndet med ett fåtal tillståndsvariabler

Läs mer

Repetition F10. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F10. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F10 Gibbs fri energi o G = H TS (definition) o En naturlig funktion av P och T Konstant P och T (andra huvudsatsen) o G = H T S 0 G < 0: spontan process, irreversibel G = 0: jämvikt, reversibel

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft

Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik Av grekiska θηρµǫ = värme och δυναµiς = kraft Termodynamik = läran om värmets natur och dess omvandling till andra energiformer (Nationalencyklopedin, band 18, Bra Böcker, Höganäs, 1995) 1

Läs mer

Räkneuppgifter i Vattenreningsteknik - 2

Räkneuppgifter i Vattenreningsteknik - 2 Bengt Carlsson last rev September 21, 2010 Kommunal och industriell avloppsvattenrening Räkneuppgifter i Vattenreningsteknik - 2 1) Betrakta en totalomblandad biologisk reaktor enligt Figur 1. Q, Sin,

Läs mer

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen

Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med inre frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen Föreläsning 12: Ideal gas i klassiska gränsen med frihetsgrader, ekvipartitionsprincipen April 26, 2013, KoK kap. 6 Centrala ekvationer i statistisk mekanik Mikrokanonisk ensemble (U,,N konst):p s = 1/g,

Läs mer

Kap 5 mass- och energianalys av kontrollvolymer

Kap 5 mass- och energianalys av kontrollvolymer Kapitel 4 handlade om slutna system! Nu: öppna system (): energi och massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: pumpar, munstycken, turbiner, kondensorer mm Konstantflödesmaskiner (steady-flow devices)

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

Meddelande. Föreläsning 2.5. Repetition Lv 1-4. Kemiska reaktioner. Kemi och biokemi för K, Kf och Bt 2012

Meddelande. Föreläsning 2.5. Repetition Lv 1-4. Kemiska reaktioner. Kemi och biokemi för K, Kf och Bt 2012 Energi Kemi ch bikemi för K, Kf ch Bt 2012 Föreläsning 2.5 Kemiska reaktiner Meddelande 1. Justerat labschema Lv5-7. Berör K6, Bt6, Bt2, Kf3 2. Mittmötet. Rättning av inlämningsuppgifter. Knstruktiv kritik

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00 CHALMERS 1 (3) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω)

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω) FUKTIG LUFT Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft Normalt är ω 1 (ω 0.02) ω = m v /m a m = m a (1 + ω) Luftkonditionering, luftbehandling:

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Tryck. www.lektion.se. fredag 31 januari 14

Tryck. www.lektion.se. fredag 31 januari 14 Tryck www.lektion.se Trycket är beroende av kraft och area Om du klämmer med tummen på din arm känner du ett tryck från tummen. Om du i stället lägger en träbit över armen och trycker med tummen kommer

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2014-01-14 kl. 08.30-12.30

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2014-01-14 kl. 08.30-12.30 CHALMERS (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM09/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM09 och KVM090) 204-0-4 kl. 08.30-2.30

Läs mer

Fysikalisk kemi KEM040. Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2)

Fysikalisk kemi KEM040. Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2) GÖTEBORGS UNIVERSITET INSTITUTIONEN FÖR KEMI Fysikalisk kemi KEM040 Laboration i fysikalisk kemi Clausius-Clapeyronekvationen Bestämning av ångtryck och ångbildningsentalpi för en ren vätska (Lab2) ifylls

Läs mer

Kapitel 6. Termokemi. Kapaciteten att utföra arbete eller producera värme. Storhet: E = F s (kraft sträcka) = P t (effekt tid) Enhet: J = Nm = Ws

Kapitel 6. Termokemi. Kapaciteten att utföra arbete eller producera värme. Storhet: E = F s (kraft sträcka) = P t (effekt tid) Enhet: J = Nm = Ws Kapitel 6 Termokemi Kapitel 6 Innehåll 6.1 6.2 6.3 6.4 Standardbildningsentalpi 6.5 Energikällor 6.6 Förnyelsebara energikällor Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Energi Kapaciteten att

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

6. Värme, värmekapacitet, specifik värmekapacitet (s. 93 105)

6. Värme, värmekapacitet, specifik värmekapacitet (s. 93 105) 6. Värme, värmekapacitet, specifik värmekapacitet (s. 93 105) Termodynamikens nollte huvudsats säger att temperaturskillnader utjämnas i isolerade system. Med andra ord strävar system efter termisk jämvikt

Läs mer

Repetition F11. Molär Gibbs fri energi, G m, som funktion av P o Vätska/fasta ämne G m G m (oberoende av P) o Ideal gas: P P. G m. + RT ln.

Repetition F11. Molär Gibbs fri energi, G m, som funktion av P o Vätska/fasta ämne G m G m (oberoende av P) o Ideal gas: P P. G m. + RT ln. Repetition F11 Molär Gibbs fri energi, G m, som funktion av P o Vätska/fasta ämne G m G m (oberoende av P) o Ideal gas: G m = G m + RT ln P P Repetition F11 forts. Ångbildning o ΔG vap = ΔG P vap + RT

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

1. Entropin för ett system i ett jämviktstillstånd, karakteriserat av t.ex. tillståndsvariablerna T och V, kan enligt termodynamiken definieras som

1. Entropin för ett system i ett jämviktstillstånd, karakteriserat av t.ex. tillståndsvariablerna T och V, kan enligt termodynamiken definieras som CHALMERS EKISKA HÖGSKOLA OCH GÖEBORGS UIVERSIE eoretisk fysik och mekanik Göran iklasson entamen i ermodynamik och statistisk fysik för F (FF140) id och plats: Onsdagen den 18 december 00 kl. 8.45 1.45

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc. Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel

Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc. Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel Linköpings Universitet 2010-12-14 IFM - Kemi Yt- och Kolloidkemi - NKEC21 NOP/Kontaktvinkel_10.doc Lab. 1 Mätning av ytspänning och kontaktvinkel Mätning av ytspänning. Många olika metoder finns för att

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Onsdagen den /, kl 4.-8. i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Miljöfysik. Föreläsning 1. Information om kursen Miljöfysik Viktiga termodynamiska storheter Jordens energibudget

Miljöfysik. Föreläsning 1. Information om kursen Miljöfysik Viktiga termodynamiska storheter Jordens energibudget Miljöfysik Föreläsning 1 Information om kursen Miljöfysik Viktiga termodynamiska storheter Jordens energibudget Miljöfysik FKU200 7.5 hp Kursbok : Miljöfysik : Energi för hållbar utveckling (M. Areskoug

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.

NFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. 1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 2 IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 2

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 2 IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 2 Exempeltentamen 2 (OBS! Uppgifterna nedan gavs innan kursen delvis bytte innehåll och omfattning. Vissa uppgifter som inte längre är aktuella har därför tagits bort, vilket medför att poängsumman är

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

14. Sambandet mellan C V och C P

14. Sambandet mellan C V och C P 14. Sambandet mellan C V och C P Vi skriver tillståndsekvationen i de alternativa formerna V = V (P, T ) och S = S(T, V ) (1) och beräknar ds och dv genom att dela upp dem i partiella derivator ds = (

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag CALMERS 1 (3) Kemi- och bioteknik/fysikalk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag jälpmedel: Kursböckerna

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen 2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)

Läs mer

Kemisk Dynamik för K2, I och Bio2

Kemisk Dynamik för K2, I och Bio2 Kemisk Dynamik för K2, I och Bio2 Fredagen den 11 mars 2005 kl 8-13 Uppgifterna märkta (GKII) efter uppgiftens nummer är avsedda både för tentan i Kemisk Dynamik och för dem som deltenterar den utgångna

Läs mer

Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank

Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank Projektarbete i kursen Simulering och optimering av energisystem, 5p Handledare: Lars Bäckström Tillämpad fysik och elektronik 005-05-7 Bakgrund Umeå

Läs mer

LABORATION 2 TERMODYNAMIK BESTÄMNING AV C p /C v

LABORATION 2 TERMODYNAMIK BESTÄMNING AV C p /C v Fysikum FK4005 - Fristående kursprogram Laborationsinstruktion (1 april 2008) LABORATION 2 TERMODYNAMIK BESTÄMNING AV C p /C v Mål Denna laboration är uppdelad i två delar. I den första bestäms C p /C

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2013-01-15 kl. 08.30-12.30

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2013-01-15 kl. 08.30-12.30 CHALMERS 1 (5) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2013-01-15 kl. 08.30-12.30

Läs mer