1.4 En fluga sitter på botten av en burk med stängt lock som står på en våg. Ändras vågens utslag om flugan lyfter och börjar flyga runt i burken?

Transkript

1 Uppgifter 1.1 Figurerna nedan illustrerar jordklotet. Det skuggade skiktet representerar jordens befolkning, 5 miljarder människor med vardera massan 50 kg. I den vänstra figuren är alla människor jämnt fördelade över jordens yta och vi har fullständigt sfärisk symmetri. Systemets masscentrum sammanfaller då med jordens mittpunkt. I den högra figuren tänker vi oss att alla människor har samlats på samma ställe (på Öland) för att fira midsommar. Beräkna hur långt ifrån jordens mittpunkt som masscentrum har flyttats. 1.2 En sumobrottare, massa 300 kg, sitter i mitten av en 10 m lång båt. Själva båten har massan 600 kg, och ligger med fören intill en brygga. Sumobrottaren går fram till fören. Hur stort är nu avståndet mellan fören och bryggan? (Vi bortser från friktion mot såväl luft som vatten.) 1.3 Två personer, A och B med massorna 80 kg respektive 10 kg, är ute på mycket hal is. Mellan sig har de ett 100 m långt rep. På given signal börjar båda två hala in repet så att de rör sig mot varandra. Hur långt har B åkt när de möts? 1.4 En fluga sitter på botten av en burk med stängt lock som står på en våg. Ändras vågens utslag om flugan lyfter och börjar flyga runt i burken? 1.5 En astronaut med massa 100 kg är på rymdpromenad och har kommit en bit ifrån sitt rymdskepp. Astronauten försöker ta sig tillbaka genom att lysa med en medhavd ficklampa. Vilken acceleration får astronauten om ficklampan ger e ekten 1 W?

2 1.6 Nedan gör vi ett tankeexperiment. Även om det är helt orealistiskt så är det ändå klargörande för vad Newtons mekanik egentligen säger. En person med massa M vill hålla sig kvar i luften i höjd med trätopparna. Istället för att klamra sig fast vid en gren vill personen hålla sig på konstant höjd genom att kasta saker nedåt. Vi antar att personen har tillgång till obegränsat antal kottar, där varje kotte har massan m. Varje sekund kastas kottar rakt nedåt, dvs personen accelererar dem så att farten blir v 0. Beräkna ett uttryck för farten v 0 som fordras för att personen ska kunna hålla sig kvar på konstant höjd. Bestäm även ett uttryck för den e ekt som man måste utveckla för att detta skall vara möjligt, om M = 100 kg, m =0,1 kg, = 10 s 1 och tyngdaccelerationen sätts till 10 m/s 2.

3 2.1 De dynamometrar som brukar användas i skolorna innehåller fjädrar som ofta kan betraktas som masslösa. När man hänger en viss massa i fjädern förlängs den med 2,0 cm. Beräkna svängningstiden då massan svänger kring detta nya jämviktsläge. 2.2 I kursen hävdas att nästan allt är fjädrar. Innebörden av detta påstående är att många, men inte alla, potentialminima uppför sig som en ideal fjäder med fjäderkonstant k, förutsatt att svängningarnas amplitud är tillräckligt liten. Nedan anges ett antal exempel på potentiella energier, E p, som alla har ett minimum för x = 0. Konstanten E 0 har dimensionen energi och a anger en längd. i) E p = E 0 1 cos x a ii) E p = E 0 x 2 a 2 iii) E p = E 0 x a iv) E p = E 0 x 4 v) E p = E 0 e x/a + e x/a x 2 vi) E p = E 0 a sin x a r! x 2 vii) E p = E a a 4 a) Ange vilken eller vilket av dessa potentialminima som inte uppför sig som en fjäder för små svängningar. b) Ange fjäderkonstanten, k, för den eller de potentialminima som uppför sig som en fjäder för små svängningar. Fjäderkonstanten ska uttryckas i E 0 och a. 2.3 En partikel utför en perfekt harmonisk svängning kring ett jämviktsläge, x = 0. Vilken av nedanstående grafer återger bäst hur den återförande kraften F beror av läget, x, under rörelsen? (A) F (B) F (C) F (D) F x x x x

4 2.4 Beräkna reducerade massan, m,för nedanstående molekyler. Uttryck svaret i atommassenheten u (= 1, kg). Jämför ditt svar med den lättare atomens massa. a) O 2 b) CO c) HCl 2.5 IO 2 -molekylen kan man tänka sig bindningen som en mekanisk fjäder, med fjäderkonstant 0,84 kn/m. Bestäm ett värde på svängsfrekvensen då O 2 -molekylen vibrerar med sin egenfrekvens. 2.6 En kolmonoxidmolekyl, CO, vibrerar med frekvensen 65 THz. a) Bestäm motsvarande fjäderkonstant för bindningen. b) Mätningar visar att svängningsenergin är 2, J och att jämviktsavståndet mellan jonerna är 113,8 pm. Uppskatta hur stor svängningsamplituden är, uttryckt i jämviktsavståndet. Ditt resultat är en enkel uppskattning. En mer noggrann beräkning kräver kvantmekanik.

5 T 1964 upptäcktes av en slump den kosmiska bakgrundsstrålningen av Arno Allan Penzias och Robert Woodrow Wilson, vilket ledde till Nobelpris Den består av fotoner från universums tidiga utveckling som fyller universum. I och med universums expansion minskar temperaturen. I november 1989 sköts COBE-satteliten (COsmic Background Explorer) upp. Ett av dess mätinstrument, FIRAS-instrumentet (Far Infrared Absolute Spectrophotometer), resulterade i mätdatan som visas i figuren nedan. Den kosmiska bakgrundsstrålningen har med oerhörd noggrannhet samma spektralfördelning som en svartkropp, vilket visas i figuren nedan m / (m ) max [mm] Man kan alltså betrakta rymden som en fotongas med samma energifördelning som i en svartkropp. År 2006 tilldelades John C. Mather och George F. Smoot Nobelpriset i fysik med motiveringen: för upptäckten av den kosmiska bakgrundsstrålningens svartkroppsform och anisotropi. a) Bestäm den temperatur som motsvarande svartkropp skulle ha. b) Antag att bakgrundsstrålningen är homogen och faller in mot jordytan under rät vinkel. Beräkna ett värde på hur mycket energi som en horisontell cirkelskiva med radien 1 m tar emot varje sekund.

6 3.2 En avlägsen stjärna, som vi har anledning att tro uppför sig som en svart kropp har maximal emittans per våglängdsenhet vid 0,2 µm. Beräkna stjärnans yttemperatur. 3.3 I Max Plancks beskrivning av energiinnehållet i svartkroppens hålrum kommer medelenergin per svängning att få ett annat utseende än i klassisk fysik. Vi betecknar svängningens frekvens och hålrummets temperatur T. a) Ange uttrycket i Plancks beskrivning. b) Visa att i den klassiska gränsen, dvs då Plancks konstant går mot noll, övergår Plancks uttryck i det enklare uttrycket kt. 3.4 Tänk dig en sfärisk rymdkapsel med radien 3 m. Kapseln är helt svart, men väggarna har ingen värmeisolering. a) Vilken e ekt åtgår för att hålla kapseln på den konstanta temperaturen 300 K? Vi bortser från all mottagen strålning från stjärnor, planeter och omgivande rymd. b) Antag att kapseln innehåller 1 astronaut per m 3, och att varje astronaut utvecklar värmee ekten 80 W. Vilken radie skulle kapseln behöva ha för att de ska kunna hålla värmen utan extra uppvärmning? (Här inser man kanske varför små djur, t ex möss, har problem att hålla värmen och varför stora djur, som elefanter, lätt blir överhettade. Möss behöver sin päls, men hur kan myggor klara sig utan?) 3.5 Med vilken kraft trycks jorden bort från solen på grund av solens svartkroppstrålning? Jorden antas vara helt svart. Bestäm först ett analytiskt uttryck och därefter ett numeriskt värde på kraften.

7 3.6 Nedanstående uttryck anger hur ljuset från en stjärna (svart kropp) fördelar sig på olika ljusvåglängder. Storheten m ( ) betecknar emittans per våglängdsenhet: 2 hc 2 m ( )= 5 (e hc/( kt ) 1) a) Vad blir m ( )då! 0? b) För stora värden på våglängden kan våglängdsberoendet approximativt skrivas m ( ) 1/. Bestäm.

8 4.1 En partikel med massa m är instängd i en endimensionell låda med längd a. I klassisk fysik väntar vi oss att partikeln kan vara i vila, dvs ha kinetisk energi noll. Kvantmekaniskt blir det inte så. a) Ange ett uttryck för den minsta kinetiska energi partikeln kan ha enligt kvantfysiken. b) Beräkna ett numeriskt värde på den fart som denna minsta rörelseenergi motsvarar om m =0,5 kgocha =1m. c) Hur många år tar det innan ett föremål med denna fart flyttat sig 1 mm? 4.2 Den fullständiga, tidsberoende vågfunktionen för en partikel i en endimensionell låda är: r 2 (x,t) = a sin a x e iet/~ a) Ange, i så enkel form som möjligt, ett uttryck för sannolikheten per längdenhet att hitta partikeln. b) Beräkna sannolikheten att hitta partikeln i intervallet 0 apple 0 apple a/ En vågfunktion för ett endimensionellt problem har lösningen (x,t) =Ae x/a e iet/~ Vågfunktionen är definierad på hela x-axeln, och konstanten a är ett givet avstånd. (Den diskontinuerliga derivatan i origo beror på den idealiserade potentialen i problemet.) a) Normera vågfunktionen, dvs bestäm konstanten A. b) Beräkna sannolikheten att hitta partikeln i området a apple x apple a.

9 4.4 En allmän vågfunktion för en partikel i endimensionell låda är r 2 n n = A a sin a x där lådan sträcker sig från x =0tillx = a. a) Beräkna sannolikheten att hitta partikeln i intervallet 0 apple x apple b, där b är ett positivt tal som är mindre än a. Kalla denna sannolikhet P n (b). b) Beräkna P n (b) dån!1 Jämför resultatet med vad man förväntar sig i klassisk fysik.

10 Svar m 1.2 1,7 m m 1.4 Nej m/s v 0 = Mg m Mg och e ekten 500 kw, dvs cirka 700 hästkrafter (!) 2 m 2.1 0,28 s 2.2 a) iii och iv uppför sig inte som en fjäder. b) i: E 0 /a 2, ii: 2E 0 /a 2, v: 2E 0 /a 2, vi: 2E 0 /a 2, vii: E 0 /a A 2.4 a) m =8,0 u= mo 2 b) m =6,9 u<m C c) m =0,98 u. m H 2.5 4, Hz. 2.6 a) 1,9 kn/m b) 4,2% 3.1 a) 2,7 K b) 9,5 µj K h 3.3 a) e h /(kt ) +1 b) a) 52 kw b) 17 m 3.5 Ts 4 R 2 R s j 2 Med Stefan-Boltzmanns lag: d 2 5, N. c där T s är solens yttemperatur, R s solens radie, d avståndet solen-jorden och Rj 2 R s jordens radie. Med solarkonstanten P s får vi P s 5, N c 3.6 a) 0 b) =4 h a) 8ma 2 b) m/s c) ca år. 4.2 a) 2 = 2 a sin2 a x b) 1 p , a) A 2 = 1 1, vilket ger t ex A = p a a b) 1 e 2 0, a) b sin (2n b/a) a 2n b) b/a