Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
|
|
- Jakob Martinsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 KOMIHÅG 8: Centrala raka/sneda stötar Flera partiklar - masscentrum Föreläsningar 9-10: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan F Rörelsens ekvationer: Enligt momentlagen (med kraftmoment noll): H O = 0 " H O = mr # e z = konstant vektor Vilken är den kinematiska (rörelse-) betydelsen av detta? Den mekaniska energin för planeten kommer att bevaras om kraften är konservativ: T + V = konstant. Den första ekvationen: Betrakta planetrörelsens vektorer:
2 Eftersom vektorn H O är konstant måste de rörliga vektorerna r och v, som ingår i definitionen av H O, vara sådana att r "H O och v "H O hela tiden, dvs plan rörelse (med H O -riktningen som normalriktning till planet). Fler konsekvenser av att H O är konstant kommer senare. Med polära koordinater i rörelsens plan blir rörelsemängdsmomentet: H O = ( r" mv # )e z = ( mr # )e z, som skall vara en konstant vektor (längd och riktning) enligt tidigare analys av centralkrafter. Nu ser vi en ny detalj hos rörelsen: r " = h (konstant). Kan vi tolka detta? En dimensionsanalys ger dim(h) = L T -1, dvs yta per tid, möjligen ortsvektorns sektorhastighet? Ortsvektorns ändring av läge under tiden d t.
3 3 Den lilla sektorytan d A blir momentant en likbent triangelyta, och vi ser: d A d t = 1 d" r d t = 1 h. Sektorhastigheten är konstant och r " betyder dubbla sektorhastigheten (= h). Den andra (och sista) ekvationen: Den kinetiska energin uttryckt i cylindersystemets komponenter är alltid: T = 1 mv = 1 m ( r + r " ). OBS: Planetens rörelse sker i ett plan där z = z = z = 0! Den potentiella energin för planeterna, dvs V, beror av gravitationskraftens utseende. Vi behöver sätta oss in i detta närmare innan vi kan förstå annu fler detaljer i planetrörelsen. Gravitationskraften och potentiella energin Med solen i origo kan gravitationskraften på planeten skrivas F = "G Mm r e r, riktad mot solens masscentrum (origo). Om solen hade varit ett brinnande skal med samma massa hade kraften varit densamma, så länge planeten är utanför skalet.
4 4 Gravitationens potentiella energi: r # V ( r) = " %"G Mm & ) e $ r ( dr = "G Mm + konst ' r r ref r Man brukar alltid låta den godtyckliga konstanten vara noll, så att potentiella energins noll-nivå ligger på oändligt avstånd från solen. Alltså: V ( r) = "G Mm. r Grafisk illustration av gravitationens potential. V r ( ) = "G Mm r
5 5 Historisk sammanfattning Den flitige Kepler sammanfattar Tycho Brahes sifferdata till följande 'experimentella lagar'. Keplers 3 lagar ( ): 1) Varje planet rör sig i en plan ellipsbana med solen i ena fokus. ) Ortsvektorn från solen till en planet sveper över lika stora ytor under varje tidsintervall av samma längd. 3) Varje planets omloppstid T (period) runt solen beror av ellipsens (halva) storaxel a så att T = ka 3, där k är samma för alla planeter.
6 6 Problem: Vilken fart v måste rymdfärjan ha för att kunna släppa ut rymdteleskopet 'Hubble' i en cirkulär bana på höjden H=590 km ovanför jordytan? Jordradien är R=6371 km och tyngdaccelerationen på jorden är g=9.8 m/s. Lösning: Gravitationskraften kan skrivas: F = "G mm r e r = "m GM { R =g R r e r = "mg R r e r. Radiella kraftekvationen ger för önskad cirkelrörelse "m v = "m gr " v = gr. r c r c r c där r c = R + H.
7 KOMIHÅG 15: rörelsekonstanter. Keplers 3 lagar-observationer Gravitationskraften och dess potentiella energi Föreläsning 16 Sammanfattning av de två rörelsekonstanterna Centralrörelsen av massan m sker i ett plan kring kraftcentrum (t.ex. solen) så att: 7 rv " = h (konstant) 1 mv r + 1 m h " % $ ' (m GM # r & r = E (konstant) Anmärkningar: Rörelsekonstanternas värden kan bestämmas av begynnelseläge och begynnelsehastighet för rörelsen, eller ur motsvarande information vid annan tidpunkt. Rörelseenergin är ingen vektorstorhet, men har två bidrag från hastighetens vektorkomponenter: en från radiell hastighetskomponent och en från transversell hastighetskomponent. h tolkas som, och kallas för dubbla sektorhastigheten. v r = r är den radiella hastighetskomponenten.
8 8 Teoriproblem: Visa hur den mekaniska energin beror av storaxeln a i en ellipsbana, där a = r + + r " i figuren. Lösning: De radiella vändlägena (max och minavstånd) fås ur energiekvationen, för i vändlägena försvinner den radiella hastigheten (v r = 0): 1 m " h % $ ' # r ± & (m GM = E " Er ± + mgmr ± " 1 r ± mh = 0 " r ± + mgm E r ± " 1 E mh = 0 " r ± = " mgm E ± # mgm & % ( + 1 $ E ' E mh Vi ser direkt att summan av vändlägena eliminerar rottecknet, dvs r + + r " = " mgm E. Energin i rörelsen kan alltså bestämmas geometriskt av enbart stora symmetriaxelns längd enligt: E = " mgm (banenergiformeln). a OBS: Detta är en bra formel att minnas vid problemlösning (utöver de två rörelsekonstanterna)!!
9 9 Problem: Bilden illustrerar begynnelsefasen av ett återinträde i jordatmosfären. Vad har vi för sektorhastighet, alternativt rörelsemängdsmoment för rymdfarkosten i detta fall? Lösning: Det ser ut som hastighetsvektorn är riktad mot jordens centrum. Rörelsemängdsmomentet och sektorhastigheten kring jordens centrum blir då noll. Ellipsbanor för jordsatelliter och planeter Rita så här: Ett snöre med längd a fästes i två punkter på avstånd c, och en penna spänner snöret och ritar.
10 Ellipsens egenskaper: 10 Geometriska termer: Stora och lilla symmetriaxlarna har längderna a respektive b. (Dubbla) fokalavståndet är c. Excentricitet: e = c a, 0 " e <1. Samband: b = a " c = a ( 1" e ). Ellipsens ekvation med polära koordinater i ena fokus: " b a( 1" e) % $ ' # a & r = 1+ e cos# eller r = 1+ e cos(. Ellipsens area: A = "ab. Banans ellipsform (se Keplers 1:a lag): Den geometriska formen av bankurvan för en planet kan nu definitivt visas vara identisk med ellipsens form. Vi ska göra ett 'geometriskt bevis' som bygger på kännedom om alla cirklars gemensamma egenskap: Geometriska cirkelekvationen: Betrakta två termer X och Y som varierar så att X + Y = R, där R (radien) är konstant. Figuren nedan visar hur X och Y måste hänga ihop :
11 11 Det som inte ses i cirkelekvationen, är vinkeln ". Ellipsens ursprungliga geometriska ekvation (*) kan skrivas: 1 r " a b = a b e cos#. (**) Vi definierar: X = 1 r " a b och R = a e, så att (**) skrivs b X = R cos". Vinkelderivatan av samma ekvation (**) kan skrivas " d $ & 1 ' ) = d# % r ( a b esin#. Vänsterledet definieras nu som Y, dvs Y = " d $ & 1 ' ) d# % r (, så att (***) blir Y = Rsin". Cirkelekvationen X + Y = R är nu väldefinierad från ellipsens geometri. Dynamiska cirkelekvationen (enligt Newton): Vi dividerar energiekvationen i polära koordinater (z=0) med h och får: 1 m r " % $ ' + 1 # h& m " $ 1% ' (m GM # r& h r = E, h eller förenklat " $ r % # h & ' + " $ # 1% r ' & ( 1 r ) GM h = E mh (&). Termen längst till vänster i (&) kan skrivas (utan kvadraten)
12 r h = # 1 dr & % $ r ( = ) d #% 1 & ( och blir det dynamiska Y:et. d" ' d" $ r ' Det behövs en kvadratisk term till. I vänsterledet av (&) kan vi sedan kvadratkomplettera :a och 3:e termerna (lägga till " GM % och dra ifrån en konstant $ ' ) så att: # h & " r % $ ' + 1 # h& r ( GM " % $ ' = E # h & mh + GM " % $ ' (&&). # h & Om andra termen är X, första termen är Y och konstanten i högerledet är R, kan vi sätta göra en fullständig identifiering med den geometriska motsvarigheten. Först radien: R = E mh + " GM % $ # h ' (= a & b e ). Sedan ur X-likheten: a b = GM h, så att man får excentriciteten e ur ovan ekvation för R, dvs e = 1+ Eh ( GM) m. Vi har nu visat: r = h GM Eh ( GM) m cos" Detta är ekvationen för plantebanors form (inte bara ellips). Om nämnaren inte blir noll för något ", så får man en ellips. Annars erhålls andra banor som inte är slutna: Dynamisk definition av excentriciteten: e = 1+ Eh ( GM) m. Om e<1: banan är elliptisk och därmed sluten. Om e=1: banan är parabolisk och öppen i bortre änden.
13 13 Om e>1: banan är hyperbolisk, öppen och med helt raka bortre ändar av banan. Geometri och dynamik: Jämförelse av vår banformel med ellipsens: " b % $ # a ' & r = 1+ ecos( ger omedelbart: b a = h GM och e = 1+ Eh GM ( ) m. Vi löser ut dubbla sektorhastigheten som funktion av geometriska egenskaperna hos banan och får då: h = b a GM (o) Omloppstiden (Keplers 3:e lag): Ortsvektorn kommer att svepa över hela ellipsens yta (A) under denna tid (T). Vi får med hjälp av dubbla sektorhastigheten: h = A T = "ab T. Om vi kvadrerar denna ekvation och löser ut omloppstiden erhålls T = 4" a b. h Tillsammans med uttrycket för h i (o) på förra sidan blir omloppstiden i kvadrat: T = 4" a b = 4" a 3 GM. # b % $ a GM & ( '
14 14 Vi har bevisat Keplers 3:e lag: # T = 4" & % ( a 3. $ GM ' Proportionalitetskonstanten är som synes oberoende av vilken planetmassa m det gäller. Problem: En modersatellit med massan m kretsar kring Mars med massan M på samma tid T som Mars roterar ett varv kring sin egen axel. Det gör det möjligt att komma nära landningsplatsen för marslandaren vid 'samma tid på dygnet'. Landningsplatsen ligger vid banans periapsis r ", som antas vara känt. Bestäm apoapsis r + för samma bana. Lösning: Den önskade omloppstiden T bestämmer entydigt ellipsbanans storaxel: a = GMT 1/ 3 # & % ( $ % ( " ). '( Om nu minimiavståndet r " är känt, så följer omedelbart att: r + = GMT 1/ 3 # & % ( ) r $ % ( " ) ). '(
15 15 Problem: Bestäm stora symmetriaxeln för kometen Hale-Bopp uttryckt i omloppstiden. Bestäm även sektorhastigheten om perihelionavståndet är känt. Lösning: a) Vi tar Keplers 3:e lag för planeter och kometer kring solen: T = " GM a a. Den ger oss storaxeln som funktiona av omloppstiden: a = GMT 1/ 3 # & % (, $ 4" '
16 16 b) Nu kan vi använda energin uttryckt i storaxeln E = " mgm a som också skall vara lika med 1 mv " "m GM = E. r " Löser därför ut hastigheten som sen ger dubbla sektorhastigheten: # v " = GM 1 " 1 & # % ( " h = r " GM 1 " 1 & % (. $ r " a' $ r " a' Teoriproblem 1: Visa ellipsens polära ekvation ( ) a 1" e r = 1+ ecos# utgående ifrån r = r 0 1+ ecos" samt definitioner av c och e. Lösning: Om man bara kommer ihåg att ellipsen kan r skrivas som r = 0, kan man senare bestämma vad 1+ ecos" r 0 är: a! r 0 r 0 c ( a! r 0 ) = r 0 + 4c Vi använder dubbla focalavståndet..
17 Teoriproblem : Visa hur ellipsens a, e och b kan uttryckas i max- och minavstånden i banan. Lösning: Betrakta den polära ekvationen för ellipsen. Min- och maxavstånd till fokus (sol/jord) ges av: r " = a( 1" e), då " = 0(perihelion/perigeum), r + = a( 1+ e), då " = # (aphelion/apogeum). r " + r + = a " a = r + + r ", r " = 1" e " e = r " r + ". r + 1+ e r " + r + Lillaxeln (ur triangel abc): b = a " c = a 1" e ( ) = r + r ". Sammanfattning av formler med information om apogeum och perigeum: 17 h : E : E : r A v A = r P v P 1 mv A "m GM r A E = " GmM r A + r P = 1 mv P "m GM r P
Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
KOMIHÅG 17: 1 Centrala raka/sneda stötar relativ separationsfart Studstalet e = relativ kollisionsfart Föreläsning 18: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet:
Läs merSolsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan
1 KOMIHÅG 16: Centrala raka/sneda stötar relativ separationsfart Studstalet e = relativ kollisionsfart Föreläsning 17: Centralkrafter och solsystemet Centralkrafter: Inga kraftmoment på massan Solsystemet:
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen
010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merOmtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen
2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merKOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merFuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden. Jan-Erik Björk och Jan Boman
Fuglesangs skiftnyckel och Möten i rymden Jan-Erik Björk och Jan Boman Det sägs att Christer Fuglesang tappade en skiftnyckel under sin rymdpromenad nyligen. Enligt Keplers första lag kom skiftnyckeln
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merOm den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)
1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merObs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!
1) m M Problemlösningar µ α α Lösning: Frilägg massorna: T N N F µ T Mg mg Jämvikt för M kräver T Mgsin α = 0 (1) a) Gränsfall F µ = µ N men jämvikt för m kräver: N mg cosα = 0 (2) T µ N mgsinα = 0 (3)
Läs merNEWTONS 3 LAGAR för partiklar
wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir
Läs merRedan på 1600-talet upptäckte Johannes Kepler att planeternas banor
Thomas Lingefjärd & Sture Sjöstedt Heltalspunkter på ellipsen Att undersöka matematiska samband har alltid varit en drivkraft inom matematiska vetenskaper och ibland leder en sådan undersökning fram till
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs merTentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!
2015-06-08 Tentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. KTH Mekanik OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen 1. Ett homogent halvcylinderskal hålls i jämvikt på ett
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-03-17 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten
Läs mer. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:
KOMIHÅG 19: ------------------------------------------------------ Dämpade vibrationer: Fria fallet Kritisk dämpningsrörelse x(t) = e "# nt ( B + Ct) + x j Svag dämpningsrörelse x(t) = e "#$ nt ( Bcos(
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen
010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs merSG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)
Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs mer=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs
1 Föreläsning 7: Fiktiva (tröghets-)krafter (kap A) Komihåg 6: Absolut och relativ rörelse för en partikel - hastighetssamband: v abs = v O' + # r 1 42 4 3 rel + v rel =v sp - accelerationssamband, Coriolis
Läs merFöreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Läs merPlanetrörelser. Lektion 4
Planetrörelser Lektion 4 Äldre tiders astronomer utvecklade geocentriska (jorden i centrum) modeller för att förklara planeternas rörelser retrograd rörelse direkt rörelse Liksom solen och månen så rör
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen
013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på
Läs mer9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU
9, 10 Kulkanor Två kulor åker friktionsfritt nedför olika kanor. Vilken kula kommer ner till kanans slut först? Vilken kula har högst fart vid kanans slut? h A B Fredrik Karlsson, 9 W = F r Exempel: Partikel
Läs merInre krafters resultanter
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter
Läs merEnda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.
KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merLösningar till problemtentamen
KTH Meani 2006 05 2 Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, 2006 05 2, l 08.00-2.00 Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs meratt båda rör sig ett varv runt masscentrum på samma tid. Planet
Tema: Exoplaneter (Del III, banhastighet och massa) Det vi hittills tittat på är hur man beräknar radien och avståndet till stjärnan för en exoplanet. Omloppstiden kunde vi exempelvis få fram genom att
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merHärled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB
. Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse
Läs merKomihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA
1 Föreläsning 6: Relativ rörelse (kap 215 216) Komihåg 5: ( ) Accelerationssamb: a A = a B + " # r BA + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A = a B " d BA # 2 e r + d BA # e # Rullning på plan
Läs merBasala kunskapsmål i Mekanik
Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,
Läs merNFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.
1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller
LEDNINR TILL ROBLEM I KITEL 4 L 4. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller v = r v = 5be O t Eftersom och r O är vinkelräta bestäms storleken av kryssprodukten
Läs merRepetition Mekanik, grundkurs
Repetition Mekanik, grundkurs Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt F= Fe + F e + Fe x x y y z z Kraften kan flytta längs sin verkninglinje Addera krafter Moment i planet
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
010-05-6 Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1 En cylinder med massan M vilar på en homogen horisontell planka med
Läs merFöreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system
1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla
Läs merLinnéuniversitetet Matematik Hans Frisk
Linnéuniversitetet Matematik Hans Frisk Diskreta Dynamiska System, del I 1. Inledning. Denna föreläsningen handlar om diskreta dynamiska system vilket här innebär punkter som hoppar runt i planet. Även
Läs mer! &'! # %&'$# ! # '! &!! #
56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet
Läs merMer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merFÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN
FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN Repetera de övningsuppgifter som kännts besvärliga. Om du behöver mera övning så kan du välja fritt bland de övningsuppgifter i Problemsamlingen som överhoppats.
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merTentamen i Mekanik för D, TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Carl Hemmingsson/Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYY68 Fredag 2018-08-23 kl. 8.00-13.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4
LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs mer(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).
STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när
Läs merInstitutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: Rotationsrörelse
Rotationsrörelse I denna laboration kommer vi att undersöka dynamik rotationsrörelse för stela kroppar. Experimentellt kommer vi att undersöka bevarandet av kinetisk rotationsenergi och rörelsemängdsmoment
Läs merRelativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi
Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2011-10-22 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Den kvadratiska skivan i den plana mekanismen i figuren har
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merFöreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A
1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap 212-215) Komihåg 4: Vinkelhastighetsvektorn " = # e z Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r BA = " # r BA Sambandet
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merMekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297
Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs mer1. Stela kroppars mekanik
1. Stela kroppars mekanik L1 Med en stel kropp menas ett föremål som inte böjer sig eller viker sig på något sätt. (Behandlingen av icke stela kroppar hör inte till gymnasiekursen) 1.1 Kraftmoment, M Ett
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merProv Fysik 2 Mekanik
Prov Fysik 2 Mekanik Instruktion för elevbedömning: Efter varje fråga finns tre rutor. Rutan till vänster ska ha en lösning på E-nivå. Om det går att göra en lösning som är klart bättre - på C-nivå - då
Läs merMer om texter i MATLAB och om iterativ lösning av linjära ekvationssystem
Mer om texter i MATLAB och om iterativ lösning av linjära ekvationssystem Texter (strängar) i MATLAB skrivs omgivna av '' och behandlas som vektorer, med samma operationer: text = 'iss'; disp(['m' text
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merEn sammanfattning av. En första kurs i mekanik
En sammanfattning av En första kurs i mekanik Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 0.04 april 2005 Förord Denna lunta är en sammanfattning av kursboken, A First Course in Mechanics
Läs merDenna vattenmängd passerar också de 18 hålen med hastigheten v
FYSIKTÄVLINGEN KVLIFICERINGS- OCH LGTÄVLING 3 februari 000 LÖSNINGSFÖRSLG SVENSK FYSIKERSMFUNDET 1. a) Den vattenängd so passerar slangen per sekund åste också passera något av de 18 hålen. Den vattenängd
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs mer