Angående kapacitans och induktans i luftledningar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Angående kapacitans och induktans i luftledningar"

Sven Ivarsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns längst bak. 1 Induktans i ledninga 1.1 I en enfas-ledae Induktansen i en isolead ledae ä summan av dess intena induktans och dess extena induktans. Båda beskivs nedan: Häledning av inten induktans (isolead ledae) mmf (magneto motive foce) i x-led ä: 2πxH x = I x [At] (1) dä Hx ä magnetiska fältintensiteten uttyckt i [At/m] och x ä avståndet fån centum i ledaen. Vi kan uttycka I x i fom av I genom: dä ä adien. Vi ha då I x = πx2 π 2 I (2) H x = x I [At/m] (3) 2π2 et magnetiska fältet ha enheten Tesla och skivs: B x = H x µ [T] (4) dä µ ä summan av den elativa pemeabiliteten µ och pemeabiliteten µ 0. I den hä kusen och i alla häledninga anta vi dock att µ = 1, vapå µ = µ 0 = 4π Häefte kan vi även beskiva det magnetiska flödet som och genom att använda oss av ekvation 3 få vi dφ dx = B x (5) dφ = µxi dx (6) 2π2 1

2 Flödeslänkningen, Flux linkage λ, ä summan av alla magnetflöden, φ, i systemet. Hä ä det baa stömmen i ledningen, dvs I, som osaka flödet vapå dλ = πx2 π 2 dφ Integeas denna fån 0 till så få vi uttycket vi söke, dvs intena flödeslänkningen: och slutligen få vi då induktansen genom λ int = µi 8π [Wbt/m] L int = {L = φ I } = µ 8π [H/m] (7) etta ä alltså uttycket fö den intena induktansen inuti ledaen. Som sagt tidigae så ä totala induktansen i en ledae summan av inten och exten induktans, så häledningen fö den extena komme i nästa avsnitt Häledning av exten induktans (isolead ledae) Vi ansätte två punkte utanfö ledaen på avståndet 1 och 2 ifån den. Eftesom magnetiska fältstykan, H, utanfö ledaen beo av hela stömmen I inuti ledaen skive vi: 2πH x = I. Obsevea skillnaden mellan denna ekvation och ekvation 1. Hä äkna vi med hela stömmen. Genom att använda ekvation 4 och den ovan få vi B x = µi 2πx [ Wb/m2 ]. (8) Använde vi sen ekvation 5 och integea dφ fån 1 till 2 få vi att λ = µ 2π I ln 2 1 L 12 = L ext = µ 2π ln 2 1 (9) Hä ha vi nu ekvationen fö en ledaes extena induktans fån punkt 1 till 2. Vi kan också sätta att punkt 1 =, dvs på ytan av ledaen. en totala induktansen ä summan av L int och L 1,2 1.2 Induktans mellan två ledae Hä anta vi att vi ha en ledae och dess åteledae dä båda ha samma adie. Fö totala induktansen mellan två ledae måste den intena induktansen fö båda ledana föst summeas, dvs ekvation 7 multipliceas med två: L int = L int,a + L int,b = µ 4π [H/m] 2

3 äefte måste den extena induktansen summeas som ä L ext = 2 µ ( ln ) [H/m] 2π ä ä avståndet mellan ledana och ä adien på ledaen. Inget flöde botanfö ledana länkas. Summea vi båda ekvationena få vi L tot = µ ( 1 ) π 4 + ln altenativt om 1 ä skiljt fån 2 L tot = µ π enna ekvationen finns i fomelsamligen. 1.3 Induktans mellan flea ledae ( ln 1 2 ) På liknande sätt som ovan kan man beäkna induktansen i vaje ledae om man ha fle ledae än två. I detta avsnitt hålle vi oss till att beäkna induktansen i vaje ledae, istället fö totala induktansen i alla ledae. Flödeslänkningen kan beskivas som λ 1 = µ ( 1 I 1 2π 4 + I 1ln( ) ) + I 2 ln( ) + I 3 ln( ) ,2 1,3 (ekvationen ha häletts genom att häleda alla ledaes länkning fån ledae till en punkt P. äefte ha P flyttat bot jättelångt, och då ha vi kunnat få denna ekvation.) dä 1,2 ä avståndet fån 1 till 2. Ekvationen ä alltså flödeslänkningen i ledae 1. Hä behöve vi alltså känns till stömmen i vaje ledae fö att få ut induktansen. et ä onekeligen me kompliceat nä vi ha me än två ledae. 1.4 Induktans mellan te symmetiskt placeade ledae Hä anta vi te konduktoe (tefas) symmetiskt placeade och vi äkna induktansen pe fas, föutsatt att alla ledae ha samma adie och att summan av alla stömmana ä lika med noll. Totala induktansen i fas a ä: L a = µ 2π ln s ä avståndet mellan ledana och s ä den geometiska medeladien och ä unikt fö en specific ledae. Alla ledae gjode av kompositmateial elle liknande ha ett specifikt s. en intena induktansen ä inbakad i detta väde. etta väde finns i tabelle (dock ej i physics handbook). Ges i uppgiften om det dyke upp en sån uppgift. 2 Kapacitans I detta avsnitt behandlas kapacitans i luftledninga. I alla häledninga anta vi att kapacitansen till jod ä så liten att den fösummas. et ä alltså baa mellan ledana vi kolla nu. et elektiska fältet i en ledae kan uttyckas: E = q 2πkx [V/m] 3

4 E och q kan vaa både momentanväde, phasos elle C-uttyck. Momentant spänningsfall mellan två punkte i en isolead ledae ä v 1,2 = 1 2 Edx = 1 2 q 2πkx dx = q 2πk ln 2 [V] (10) 1 dä k ä omgivande mediums pemativitet. Ekvationen komme att användas i häledningana i senae avsnitt. Kapacitansen mellan ledana definieas som C = q v dä q ä ledaens laddning, och v ä potentialskillnaden mellan ledana. 2.1 Potentialskillnad mellan två ledae Spänningen mellan två ledae beäknas genom att beäkna spänningsfallet osakat av laddningen i q a på ledning a, och subtahea spänningsfallet osakat av q b på ledning b. Båda beäknas med ekvation 10. V ab = V ab = q a 2 ln = q a 2πk a b πk ln a b men q a = q b q a 2πk ln a q b 2πk ln b [V] (11) I detta fall ä potentialskillnaden mellan vaje ledae och neutal lika med hälften av potentialskillnaden mellan ledana. V an = V ab 2 Om = a = b bli kapacitans till neutal C n = C an = q a /V an = Laddningsstömmen ä fö en enfasledae lika med 2.2 Tefasledae I chg = jωc ab V ab [V] 2πk ln(/) [F/m] Potentialskillnaden mellan te jämnt födelade ledae I detta fall anta vi att ledana ä på samma avstånd ifån vaanda samt att alla ledana ha samma adie. Spänningsfallet mellan två av ledana ä lika med V ab = q a 2πk ln q b 2πk ln q c 2πk ln. (12) 4

5 Sista temen i ekvationen ä noll, eftesom ln(1) = 0. Laddningen q c bida alltså inte till spänningen mellan a och b. etta p.g.a. symmetiskäl. V ab ä huvudspänningen. Fasspänningen V a ligge 30 efte och ä 3 gånge läge så att V ab kan uttyckas: V ab = 3V an 30 [V] På motsvaande sätt ä spänningen V ac Summan av dessa ä då V ac = 3V an 30 [V] V ab + V ac = 3V an ( ) = 3V an [V] Genom att summea V ab + V ac hitta vi uttycket fö V an : V an = q a 2πk ln [V] Vidae kan vi hitta kapacitansen genom C n = q a /V an [F/m] Fö en tefasledae ä laddningsstömmen pe fas: Ojämnt födelade ledae I chg = jωc an V an. å ledana inte ä symmetiskt placeade komme spänningsfallet mellan ledana att beo av alla te ledaes laddninga. Vi kan hitta ett uttyck fö spänningen mellan ledae a och b V ab = 1 ( q a ln 12 q b ln 12 q c ln ) 31. (13) 2πk 23 et hä gälle t.ex. ledae som ä placeade bedvid vaanda. Vid tansponeing: Ojämnt födelade ledae tansponeas i egel fö att medelkapacitansen i vaje ledae ska vaa ungefä lika. Medelvädet fö spänningsfallet vid tansposition ä dä V ab = 1 ( q a ln eq 2πk eq = q b ln ) eq Spänningen till neutal fö vaje fas likna uttycket som häleddes i föa avsnittet: V an = 1 2πk q aln eq 5

6 Induktans Kapacitans 1.1 En solid ledae Två ledae Vab a b 1.2 Två ledae Repesentation av kapacitans mellan ledae Van n Vbn 1.3 Induktans mellan flea ledae 2.2 Tefasledae, symmetiskt placead Induktans i en tefasledning (symmetisk) s s Tefasledae, osymmetiskt placead Vab 12 a b s c Figu 1: Illustation öve ledningsimpedans och kapacitans mellan ledae. 6

Relevanta dokument

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28 Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,