LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 7

Transkript

1 LÖIGAR TILL PROLEM I KAPITEL 7 LP 7.1 Hissen komme uppifån och bomsas så att acceleationen ä iktad uppåt. Filägg pesonen fån hissgolvet. Infö nomalkaften som golvet påveka föttena med. Tyngdkaften ä. Kaftekvationen F = m a ge fö pesonen i den vetikala iktningen ma = + () = m( g+ a) (3) Man kan känna sig "tynge" vid en acceleation uppåt. Man tycks mot hissgolvet. Enligt ewtons tedje lag, lagen om vekan och motvekan, ä kaften fån pesonen på golvet lika sto och motiktad, alltså = m( g+ a)

2 LP 7. Acceleationen söks. Den bestäms med kaftekvationen om kaftena ä kända. 1 YAMAHA Vid staten, då faten ä liten, kan luftmotståndet fösummas och ekipaget påvekas av tyngdkaften, nomalkafte 1 = vid bakhjul, 3 1 = vid famhjul. () 3 f 1 och fiktionskaft. akhjulet spinne. Det betyde att fiktionskaften ä fullt utvecklad så att f = µ (3) 1 1 Vi föutsätte hä att famhjulet ha makkontakt. Fö stot gaspådag komme ju det att lätta och poblemställningen bli en annan. Fiktionskaften vid famhjulet kan fösummas. Det finns hä egentligen en liten fiktionskaft bakåt som få famhjulet att otea snabbae men detta behandlas inte hä i baskusen. Alltså, masscentums acceleation ges av kaftekvationen vas komponent i öelseiktningen ä F = ma G (4) Insättning av (3) ge Ekv ge då va: Acceleationen ä F x = mx (5) G µ 1 = mx G (6) x = µ 1 g G m = µ µ = 3m 3 x = G g 3 µ (7) Kommenta: Eftesom fiktionstalet i detta fall knappast ä stöe än ett och nomalkaften 1 inte övestige kan acceleationen inte bli stöe än g.

3 LP 7.3 Unde den betaktade öelsen föflyttas baa skivstången. 1 m g m g x Filägg tyngdlyftaen fån hissgolvet. Tyngdkaftena ä 1 och. Infö den totala nomalkaften = 1 + som golvet påveka föttena med. eteckna föst skivstångens acceleation a. Masscentums lägeskoodinat x G ges av definitionen mx = m x + G 1 1 mx. Masscentums acceleation x G ges alltså av mx G = m x + m x 1 1. aa den del ma som ha acceleation komme alltså med i kaftekvationen. Kaftekvationen F = ma G ge fö hela systemet i den vetikala iktningen ma = 1 1 () = ma+ m1g+ m1 g (3) Den totala nomalkaften ä alltså lika med tyngden +massan gånge acceleationen fö den del som ha acceleation. u åtestå att bestämma acceleationen a. Kinematiksamband fö skivstången ge med begynnelsevillkoet vila vid x =. x = a ẋ = at x 1 at = x = h h= 1 a( t) a h omalkaften ä = m1g+ m g+ ( t ) h = ( t ) = umeiskt väde ä = k

4 LP 7.4 P f Filägg lådan fån golvet. Infö föutom dagkaften P tyngdkaften ä, nomalkaften som golvet påveka lådan med samt fiktionskaften f. Fiktionskaften ä vid glidning f Kaftekvationen F = µ. = m a ge fö lådan i komponentfom : ma = Pcos µ () : = Psin + (3) Ekv (3) ge nomalkaften = Psin. Insättning i ekv () ge ma = Pcos µ Psin (4) ma ( + µ g)= P( cos + µ sin ) (5) ma+ µ g P = cos + µ sin Täljaen ä en kaft. ämnaen ä dimensionslös. ma Om fiktion saknas ä P = cos

5 LP 7.5 a Den elativa acceleationen söks. Den absoluta, elativt ett inetialsystem, kan bestämmas med kaftekvationen om kaftena ä kända. Kulan påvekas av tyngdkaften och kontaktkaften fån stången. En kontaktkaft kan delas upp i en nomalkaft och en fiktionskaft f. Hä ä stången glatt så att fiktionskaften ä noll. Kulans totala absoluta acceleation ges alltså av kaftekvationen F = m a Om vi nu ta kaftekvationens hoisontella och vetikala komponent komme nomalkaftens komponente med i ekvationena, fastän den kaften ej eftefågas. Det ä en ba egel att edan fån böjan ta sådana pojektionsiktninga att en del kafte elimineas diekt. Vi skive däfö upp kaftekvationens komponent i stångens iktning snett neåt. Kulans acceleation elativt vagnen antas vaa a el neåt längs stången. Kaftekvationen bli då sin = m acos + a el () a gsin acos (3) el = va: Den elativa acceleationens stolek ä a gsin acos el = Kommenta: ambandet (3) visa att kulans acceleation ä gsin om vagnens acceleation ä noll. Detta ä ju tyngdacceleationens komponent i stångens iktning. Om vagnens acceleation ä a= gtan så bli den elativa acceleationen noll. Om vagnens acceleation ä stöe bli a el negativ. På gund av kulans töghet, dvs det faktum att den inte vill ända sin hastighet, komme den att åka uppåt längs stången fö en tilläckligt sto acceleation hos vagnen.

6 FARA 51-1 LP 7.6 L Hela systemet påvekas av tyngdkaften och lyftkaften L. Kaftekvationen F = m a fö ballongen skivs : + L = ma Antag att massan m måste kastas fö att acceleationen skall bli a uppåt. Detta påveka inte lyftkaftens stolek nämnvät. + = ( ) : m m g L m m a () Eftesom lyftkaften ä okänd eliminea vi den genom att subtahea ekv () fån ekv. Detta ge = ( ) + m m g ma m m a m g = ma + ma = g+ a m ma Massan m = ma g+ a skall kastas. LP 7.7 L F D T Flygplanet påvekas av dagkaften T, tyngdkaften, lyftkaften L och motståndskaften F D. Vi kalla den uspungliga totala kaften (elle nettokaften) i den hoisontella iktningen fö F. netto Kaftekvationen F = m a fö flygplanet skivs i den hoisontella iktningen x = : F ma netto x Piloten öka nu dagkaftens stolek med T utan att de anda kaftena ändas. Antag att den nya hoisontella acceleationen bli a 1. Då bli kaftekvationens komponent i den hoisontella iktningen : ( Fnetto) + Tcos = ma () 1 Dag nu ekv fån ekv() Tcos = ma ma T a1 = a + cos m x 1

7 LP 7.8 Filägg mannen med den lätta nedesta tissan. Dagkaften antas vaa. Eftesom den övissan ä lätt och lättölig ä kaften även på den anda (höga) sidan tissan. Av samma anledning ä kaften i tåden på båda sido av den undissan. Alltså, te kafte veka uppåt och tyngdkaften veka neåt. Kaftekvationen F = m a fö mannen skivs i den vetikala iktningen : 3 = ma m = g+ a 3

8 LP 7.11 x A c A m A g d b m g x Filägg koppana! Antag att tådkaften ä. Den ä lika sto i alla dela av tåden, eftesom tissona ä lätta och lättöliga. Antag att föflyttningen fö ä x då föflyttningen fö A ä x A. Kaftekvationen F = m a fö koppana skivs espektive : = m A x A : 3 = mx () Vi ha te obekanta, x A och x så att vi behöve en till ekvation. Kinematiken ge denna ekvation enligt följande. ambandet mellan föflyttningana x A och x ges av tvångsvillkoet som säge att tåden ha konstant längd L. Vi teckna föst tådens längd och tidsdeivea sedan. L= c xa + d+ x + b+ x + b+ x +konstant (3) Konstanten beo på att tåden gå unt tissona och att A ha en viss stolek. Tidsdeiveing ge hastighetssambandet = x + 3x A x x A = 3 (4) och acceleationssambandet x A = 3 x (5) ätt in (5) i och ()! Multiplicea ekv med te och addea ekv () 3= 9m x A 3= mx = 9m + m x A x = 9m + m A u ge ekv (4) x A = 3 9m + m A och ekv ge 3m A = 9m + m A

9 LP a 8a y A 3a C D a Antag att tådkaften ä. Den ä lika sto i alla dela av tåden, eftesom tissan vid C ä lätt och lättölig och dubben vid ä glatt. Kaftekvationen F = m a fö säcken skivs : = my Tådkaften kan alltså bestämmas om acceleationen y kan bestämmas på annat sätt. Eftesom acceleationen a ä given och tåden ä oelastisk kan man få ett samband mellan y och a. Tådens hela längd ä L= a+ 17a+ 8a= 44 a () Den kan också skivas L= x + x 7a 8a y + + (3) Tidsdeiveing ge hastighets- och acceleationssambanden ( x 7 ) a x = x + + y x 7a 8a = x + ( ) + x + ( 7 ) ( 7 ) x a x x a x ( x 7a) + ( 8a) ( x 7a) + ( 8a) [ ] 3 / + y (4) (5) I fösta ögonblicket ä x = a och ẋ = samt x = a Insättning i ekv (5) ge 15 = + + a a a + y (6) 17a y = a (7) 3a y = 17 (8) 3 Ekv ge då tådkaften = m g+ a 17

10 LP 7. R e b Om kulan ä i vila elativt cikelbågen ö den sig i en cikelbana med adien Rsin. Kulans hastighet ä vinkelät mot den givna figuens plan. Vi infö datuliga koodinatsystemet. Tangential- och nomaliktningen ges av basvektoena och. inomaliktningen ä neåt och ges av e b. Kulan påvekas av tyngdkaften och nomalkaften, som delas upp i komponentena 1 och i tangentialiktningen. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + e ρ n Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom: : ms = () : m s = 1 sin (3) Rsin e b : = 1 cos (4) Eftesom faten (adien gånge vinkelhastigheten) s = v = Rsin ω ä konstant bli ṡ = och = enligt ekv (). Ekv (4) ge nomalkaften = 1 cos (5) som kan sättas in i ekv (3). Vi sätte också in faten s = Rsin ω. m R sin ω Rsin = sin cos (6) mrsin ω = sin cos ω = g Rcos cos = g ω R

11 LP 7.3 y v Om satellitens massa ä m ge kaftekvationen F = m a sambandet mellan gavitationskaften och acceleationen. R a s x Infö i en godtycklig punkt på bankuvan basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + en ρ Gavitationskaften ä F = G Mm en () Detta ä ewtons allmänna gavitationslag. Hä ä G den allmänna gavitationskonstanten och M ä jodens massa. Dessa konstante gå att finna i tabelle. Poblemtexten ge emelletid tyngdacceleationen g vid jodytan och då kan vi skiva tyngdkaftens stolek vid jodytan på två olika sätt: G Mm = GM = gr R Faten ä konstant. Kaftekvationens komponent i nomaliktningen ä då (3) m s R ρ = (4) Kökningsadien ρ ä lika med cikelbankuvans adie. atellitens fat kan alltså bestämmas: m v R = v = g R (5) u lägge vi på villkoet att satellitens fat motsvaa att lägevekton ha en vinkelhastighet som måste vaa densamma som jodens: ω = v Insättning av (5) ge ω = 1 g R (6) (7) U denna ekvation bestäms : ω = g R 3 3 gr gr = = ω ω Insättning av numeiska väden: g = 981. m/s, R = 6371 km och vinkelhastighet π på ett dygn ge en adie 66. R. 1 3 (8)

12 LP 7.4 etakta föst cikelöelsen. 14FL CHEROKEEv Flygplanet påvekas av tyngdkaften och lyftkaften L. Luftmotståndet kunde fösummas. Infö i en godtycklig punkt på bankuvan basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. v L CHEROKEE 14FL h h Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom : ms = F t : m s F n ρ = ms = cos () m s = L sin (3) h Ekv () säge att faten öka ända ne till läget = π/. Ekv (3) säge att kaften L ä maximal då = π/, eftesom både ṡ och sin = ä maximala dä. Denna maximala kaft ä given i poblemtexten. Fö = π/ bli ekv (3) m v h 1 = 5 h v 4g = 1 Om du edan läst om enegiekvationen ä det nu enkelt att bestämma faten v 1 = i den nedesta punkten. Lyftkaften gö inget abete. Tyngdkaften ä konsevativ. Med potentiella enegin V 1 = i nedesta punkten fås (4) T1 + V1 = T + V mv 1 mv + = + h (5) v = v + gh (6) Resultatet fås om denna fat i kvadat sätts in i ekv (4). v h h = + 4g 1

13 LP 7.5 ω y O f P s x å längvättplagget ligge an mot tumman påvekas det av tyngdkaften och kontaktkaften. Kontaktkaften kan delas upp i en nomalkaft och en fiktionskaft f. Infö i en godtycklig punkt på bankuvan basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä s a = set + e ρ n Om tvättplaggets massa ä m ge komponenten av kaftekvationen F = m a i nomaliktningen m s = sin () ρ Kökningsadien ρ ä lika med cikelbankuvans adie. Hastigheten kan skivas på olika sätt. peciellt vill vi uttycka den i vinkelhastigheten ω : s = v = = ω (3) Fö en viss vinkel = upphö kontakten med tumman. Det matematiska villkoet fö detta ä kontaktvillkoet: = (4) Om vi nu sätte in (3) och (4) i huvudekvationen () fås m ω = sin (5) ω = gsin (6) va: ω = g sin

14 LP 7.6 ρ f v ilen påvekas av tyngdkaften, nomalkaften och fiktionskaften f = µ. Infö basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom : ms = F t : m s F n ρ = ms = µ m v R = () Lös ut nomalkaften u () m v = R v och sätt in i! ṡ = µ g R LP 7.7 ρ ilen påvekas av tyngdkaften, nomalkaften och fiktionskaften f = µ. Infö basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom f v : ms = F t : m s F n ρ = ms = µ m v R = () Lös ut nomalkaften u (): m v = + R v och sätt in i! ṡ = µ g+ R

15 LP 7.9 O etakta föst jämviktsfallet. Jämvikt foda att kaftsumman ä noll i den vetikala iktningen: T b 1 : sin = 1 = 1 sin () A ä den hoisontella tåden klipps av få kulan en acceleation i det fösta ögonblicket efte klippet. Kulan böja en cikelöelse och fö att bestämma tådkaften pojiceas kaftekvationen F = m a på nomaliktningen: A b O : m s F n ρ = (3) I nomaliktningen ä dock acceleationen noll i det fösta ögonblicket, eftesom hastigheten ṡ ä noll då. Insättning i (3) ge = sin (4) = sin (5) a) Vid jämvikt ä kaften i vajen 1 = = sin b) I fösta ögonblicket efte klippet ä kaften i vajen = sin = 5

16 LP 7.3 b a Pucken påvekas av tyngdkaften, nomalkaften och fjädekaften. Tyngdkaften och nomalkaften ä vinkeläta mot öelsens plan och behöve inte beaktas. c k(r-l) v Om utgångsfaten ä mycket sto fås bankuvan a, om utgångsfaten ä liten fås bankuvan c. Fö en viss fat v fås den cikuläa bankuvan. k R Infö basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Fjädekaften, vas stolek ä k l veka i nomaliktningen Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom : ms = F t mṡ = : m s F n ρ = m s = R kr l Ekv säge att faten ä konstant: ṡ () = v. ätt in detta i ekv ()! m v R v = kr l = kr m R l

17 hell LP 7.31 ilen påvekas av tyngdkaften och nomalkaften. ågon fiktionskaft skall inte behövas om man kö med en väl anpassad fat v. e b R Infö basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Tangentialiktningen peka i hastighetens iktning medan nomaliktningen peka in mot kökningscentum. inomaliktningen e b definieas med kysspodukten eb = et en Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom : ms = F t mṡ = : m s F n ρ = m v R = sin () e b : = F b = cos (3) Ekv säge att faten ä konstant: ṡ= v. Detta utnyttjas i ekv (). Lös ut nomalkaften u ekv (3) och sätt in det i ekv ()! m v R = sin cos v gr = tan

18 LP 7.3 f Infö det natuliga koodinatsystemet med koodinaten s = vid tiden t = och basvektoena och enligt figu. ilen påvekas av tyngdkaften, nomalkaften och fiktionskaften. Eftesom baa fiktionskaften ligge i öelsens plan måste den vaa lika med massan gånge acceleationen. R egynnelsevillkoet ä s = t = s = Vi använde beteckningen ṡ v fö hastigheten och beteckna fiktionskaftens komponente f t och f n. Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom d : ms = F t m v f t d t = : m s F n ρ = m v = f n () R Fiktionskaftens stolek ä alltså f f f m v m v v = t + n = m a t + 4 d = + (3) d R R Givet i poblemtext: dv d = a v v a dt d s = vdv = a ds v = as v = a s (4) Obsevea att det ä samma samband som fö fallhastigheten i tyngdkaftfältet ( v = gh). Insättning i (3) ge sambandet fö hu fiktionskaften växe med stäckan. 4a s f = m a + R (5) Den maximala fiktionskaften som kan poduceas av ytona ä f = µ max = µ. Det ge villkoet s 1 m a 4a s1 + = µ a R 4a s1 + = µ g R R g a R = µ s1= µ g a s 1 67 m 4a a

19 LP 7.33 ω f Pesonen beskive en cikelöelse med adien. Det ä fiktionskaften som hålle pesonen uppe. Den maximala fiktionskaften som kan poduceas ges av f = µ max. Infö basvektoena, och e b i det natuliga koodinatsystemet. Kaftekvationen F = m a bli i komponentfom : ms = F t m = F t : m s F n ρ = mω = () e b : = F b = f (3) Den maximala fiktionskaften som kan poduceas ges alltså av f = µ max. Ekv () och (3) ge mω = µ ω = g µ ω = g µ

20 FARA 51-1 LP 7.36 L D T v De ytte kaftena på flygplanet ä tyngdkaften, divkaften T och motståndskaften D i hastighetens iktning samt lyftkaften L vinkelät emot. Om kafte skall bestämmas ä det natuligt att skiva upp kaftekvationen. Föutom tangential- och nomaliktningen nämns också bankuvans kökningsadie ρ i poblemtexten. Det ä däfö kaftekvationen F = m a pojicead på det natuliga systemets basvektoe som ge lösningen. Det ä hä acceleationen hos flygplanets masscentum som avses. Infö i en godtycklig punkt på bankuvan basvektoena och i det natuliga koodinatsystemet. Det allmänna uttycket fö acceleationen ä I komponentfom fås s a = set + e ρ n : ms = T D sin () : m s = cos L (3) ρ I texten ä faten given: ṡ= v liksom fatökningen pe tid: ṡ = a t. Insättning i ekv () och (3) ge ma = T D sin (4) t m v = cos L (5) ρ och de sökta kaftena bli D= T m gsin + a t (6) v L= m gcos ρ Ekv (6) säge att motståndskaften ä lika sto som divkaften om hastigheten ä konstant och hoisontell. Om flygplanet dyke vetikalt utan luftmotstånd och divkaft ä acceleationen lika sto som tyngdacceleationen. Om flygplanet dyke vetikalt utan divkaft med konstant hastighet ä luftmotståndet lika med tyngdkaften. Ekv (7) säge att lyftkaften ä lika sto som tyngdkaften om bankuvan ä ätlinjig och hoisontell. (7)

21 LP 7.38 y ankuvan ä given x = R cosωt = 5 sinωt estäm, som funktion av tiden t, den adiella och tansvesella komponenten av den kaft som veka på den lilla koppen. Kaftekvationen F = m a ha i cylindekoodinate komponentena: F = m F = m + () Fö att kunna bestämma kaftkomponentena måste vi bestämma alla tidsdeivato i högeledet. Vi stata med den givna bankuvan = Rω( sinωt)= Rωsinωt = ωcosωt (3) Ett biesultat ä att koppens hastighet ä v = e + e = Rωsinωte Rωcosωt cosωt e (4) Ytteliggae en tidsdeiveing av (3) ge = Rω cosωt = ω ( sinωt)= ω sinωt Insättning i kaftekvationen () ge [ ( ) ] F = m R t R ω cosω cosωt ωcosωt F = m R( cosωt) ω sinωt+ Rωsinωt ωcosωt [ ] Föenkling ge slutligen F = mr t ω cosω 4 cos ωt cosωt F = mrω sinωt( 3cosωt) [ ] (5) (6) (7)

22 LP 7.39 y 1 et x De ytte kaftena på motocykeln ä tyngdkaften och nomalkaften. omalkaften skall bestämmas och det ä natuligt att skiva upp kaftekvationen. Kökningsadien ρ nämns i poblemtexten och den ingå i acceleationen i nomaliktningen. Kaftekvationen F = m a pojicead på det natuliga systemets basvektoiktninga ms = Ft m s = F ρ n ms = m s =± m L ρ Övecknet fö den högsta punkten på bankuvan, som ges av y bsin π x/ L () = ( 1 + y ) Kökningsadien bestäms u ρ = y 3 / (3) Deivatona bestäms u (3): y = b ( πx L) L π cos / (4) = π y b sin ( πx/ L) (5) L Fö max och min på kuvan () gälle y = (6) = π 1+ L y b ρ = L = π 4π b b L Insättning i ekv (b) ge fö högsta espektive lägsta punkten 3 / (7) m m 4 π b v = 1 m b v 1 = 4π L L 4 π b v = + m b v = + 4π L L

23 LP 7.4 e b f b ω å länge koppen ä i vila elativt den koniska ytan beskive den en cikelöelse med adien b och vinkelhastigheten ω. Fö en liten vinkelhastighet kan fiktionskaften hålla kva koppen. Fö en tilläckligt sto vinkelhastighet anta fiktionskaften sitt maximala väde f = µ. Det ä detta gänsfall som skall studeas. Fö cikelöelse spela det ingen oll om man använde det natuliga koodinatsystemet elle cylindekoodinate. Hä välje vi det föa. Pojicea kaftekvationen F = m a på tangential- nomal- och binomaliktningen: : ms = F t () : m s F n ρ = (3) e b : = F b (4) Om vinkelhastigheten öka mycket långsamt ä ṡ = och ekv () visa att det inte kävs någon kaft F t. Insättning i (3) och (4) ge : mbω = sin + µ cos (5) e b : = cos + µ sin (6) Ekv (6) ge = cos + µ sin (7) µ Insättning i (5) ge mbω = sin + cos cos + µ sin Efte föenkling fås esultatet (8) bω ( cos + µ sin )= sin + µ cos g (9) µ = gsin + bω cos gcos bω sin

24 LP 7.45 b l Unde en viss tid då vinkelhastigheten ä konstant beskive vaje ban en cikelöelse i ett hoisontalplan. anet påvekas av tyngdkaften och tådkaften. estäm vinkelhastigheten då linan bilda vinkeln med vetikalen. Kaftekvationen F = ma bli pojicead på det natuliga koodinatsystemets basvektoe: e b ms = Ft m s = Fn ρ = Fb Insättning ge ms = mb ( + lsinω ) = sin = cos Ingen kaft i tangentialiktningen betyde att faten s = b+ lsinω ä konstant. Kökningsadien ρ ä densamma som cikelns adie. Om tådkaften elimineas genom att (3) insättes i () fås ekvationen Vinkelhastigheten ä = mb+ lsinω ω = g tan b+ lsin sin cos ω = g tan b+ lsin

25 LP 7.46 e b h O e n Pulkan med banet beskive en cikelöelse i ett hoisontalplan. ystemet påvekas av tyngdkaften, nomalkaften och tådkaften.estäm nomalkaften då vinkelhastigheten fö tåden ä = ω. Infö hjälpstoheten som vinkeln mellan tåden och hoisontalplanet. Kaftekvationen F = ma bli pojicead på det natuliga koodinatsystemets basvektoe: ms = Ft m s = F ρ = Fb n ms = m v = cos = + sin () (3) Ingen kaft i tangentialiktningen betyde att faten ṡ= v = ω ä konstant. Kökningsadien ρ ä densamma som cikelns adie. Om tådkaften elimineas genom att (3) insättes i () fås ekvationen m ω = cos sin mω tan = = mω tan Men vinkeln bestäms u sambandet tan = h. Insättning ge = mhω

26 LP 7.53 y f De ytte kafte som veka på mannen ä tyngdkaften och nomalkaften i vetikal iktning samt fiktionskaften f i kausellens plan. f e e f x Kaftekvationen F = m a ä i planpoläa koodinate skivs allmänt m ( )= F m ( + )= F (1-) Antag att fiktionskaften ha komponentena f och f. u vet vi fån poblemtexten att ṙ = v ; = (3) = α; = ω = αt (4) Insättning ge m( vt ( αt) )= f m ( α + vαt)= f f = 3 mvα t f = m α + vαt Tiden kan elimineas eftesom vi vet att v t = m f = α v f = 3mα 3 (3) Vinkeln mellan fiktionskaften och adialiktningen ges av tan = f tan = 3 v f α Kommenta: Minustecknet säge att fiktionskaften egentligen bilda en tubbig vinkel med adialiktningen, eftesom den adiella komponenten ä iktad inåt. Det behövs ju en centipetalkaft inåt fö att ge en acceleation inåt.

27 LP 7.55 Kaftekvationen F = m a ä i cylindekoodinate y H m ( )= F v m F e e ( + )= (1-3) mz = Fz = egynnelsevillkoet ä t = = x Tyngdkaft och kontaktkaft ä de enda kaftena. Det finns ingen kaft i öets iktning. Kontaktkaften som hä baa ä en nomalkaft eftesom öet ä glatt kan uppdelas i en hoisontell och en vetikal komposant. Insättning i kaftekvationen ge m ( )= m ( ω )= (1' ) m ( + )= H m ω = H (' ) mz = V = V ( 3') Ekv ( ) och (3 ) används fö att bestämma nomalkaftens komposante. ankuvans ekvation bode då kunna bestämmas med ekv : ω = (4) Vi gö en ansats, dvs vi gissa att ekvationen satisfieas av tidsfunktionen ω = A + e ωt (5) dä A och ä (integations-) konstante. Fö att kunna utnyttja begynnelsevillkoet tidsdeiveas ansatsen: ωt ωt ṙ = ω( Ae e ) (6) egynnelsevillkoet ge nu med (6) och (7) = A + (8) = ω( A ) (9) Vilket betyde att = A= ωt ωt Lösningen ä alltså = ( e + e ) (11) Eftesom vinkelhastigheten ä konstant så ä ωt = och bankuvans ekvation kan skivas = ( e + e ) elle = cosh