2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

Transkript

1 Tentamen i Matematik HF9 (H9) feb Läae:Amin Halilovic Tid: Hjälpmedel: Fomelblad (Inga anda hjälpmedel utöve utdelat fomelblad.) Fullständiga lösninga skall pesenteas på alla uppgifte. Betygsgänse: Fö betyg A, B, C, D, E kävs, 9,, espektive 9 poäng. (Gamlakuse: Fö betyg 5,,, kävs, espektive 9 poäng. ) Kompletteing: 8 poäng på tentamen ge ättt till kompletteing (betyg F) F. Vem som ha ätt till kompletteing famgå av betyget F på MINA SIDOR. Om kompletteing ä godkänd appoteas betyg E, annas appoteas F Böja vaje ny uppgift på ettt nytt blad,, detta gö att ättningen bli säkae. Skiv endast på en sida av pappeet. Skiv namn och pesonnumme på vaje blad. Inlämnade uppgifte skall makeas med kyss på omslaget Denna tentamenslapp få ej behållas efte tentamenstillfället utan lämnas inn tillsammans med läsninga.. (p) a) Fö vilka väden på k ä vektoena a (,, ) och b (, k+, k ) vinkeläta? b) Fö vilka väden på s och t ä vektoena a ( t,, 8) och b (, s,) paallella?? (p). (p) a) Lös matisekvationen med avseende påå X B C XA då A, B och C.. (p) Beäkna följande integale: a) d + 8 b) c) ln d. cos( 7 + ) d

2 . (p) Fö vilka väden på paameten a ha systemet ( med avseende på, y och z) + y + z + y + az + y + z a) eakt en lösning b) ingen lösning c) oändligt många lösninga? 5. (p) Bestäm eventuella etempunkte och asymptote och däefte ita gafen till funktionen y + +. (p) Beäkna volmen av den pyamid som ha hön i punktena A(,,), B(,,), C(,,) och D(,,). 7. (p) Beäkna volymen av den otationskopp som uppstå då omådet som definieas av /,, otea king -aeln. 8. (p) Beäkna följande gänsväden a) b) (p) sin() > 5 5 (cos ) acsin > ( + ) sin. Lycka till!

3 Lösningsföslag. (p) a) Fö vilka väden på k ä vektoena a (,, ) och b (, k+, ) vinkeläta? b) Fö vilka väden på s och t ä vektoena a ( t,, 8) och b (, s,) paallella? (p) a) Vektoena a och b ä vinkelätta om deas skaläpodukt ä a b + k + + k / b) Vektoena a och b ä paallella om det finns ett tal så att a pb ( med anda od, koodinate i a och b popotionella ) Detta ge te skaläa ekvatione: t p, sp, 8 p Häav p8, t8 och s/ Sva a) k / b) t8 och s/. (p) a) Lös matisekvationen med avseende på X B C XA då A, B och C. B C XA XA C B Matisen A ä inveteba eftesom det(a). Anmäkning: Om hjälp av fomeln I våt fall däfö gälle och skyld fån beäknas invesen med.

4 Dämed 9 Sva: 9. (p) Beäkna följande integale: a) d + 8 b) cos( 7 + ) d c) ln d. Sva: : a) ln( ) ln( ) + C 7 b) sin( + ) + C 7 c) ln( ) + C. (p) Fö vilka väden på paameten a ha systemet ( med avseende på, y och z) + y + z + y + az + y + z a) eakt en lösning b) ingen lösning c) oändligt många lösninga? Lösning; Koefficientmatisen A a ge

5 det A a a. DetA a a a) Däfö eakt en lösning om ii) O m a ha använde vi Gausseination och få + y + z + y + z ~ + y + z + y + z ~ y y + y + z ~ y Systemet ä lösbat med två ledande vaiable ( och y) och en fi vaiabel ( i våt fal z). (Lösbat system och fia vaiable) ( oändligt många lösninga) Sva: a) Eakt en lösning om b) Fallet ingen lösning kan inte föekomma. c) Oändligt många lösninga om. 5. (p) Bestäm eventuella etempunkte och asymptote och däefte ita gafen till funktionen y + + i) ASYMPTOTER: Nämnaen + kan inte vaa. Funktionen ä definiead och kontinuelig fö alla och däfö ha funktionen INGEN vetikal ( lodät) asymptot. Vi undesöke om funktionen ha någon hoisontell ( vågätt) asymptot: samma esultat fö Med anda od ä en hoisontell asymptot då gå mot ( Dämed ha funktionen INGEN sned asymptot ) ±. 5

6 Alltså ha funktionen en hoisontell asymptot y då gå mot m ± y + ) ( om. Med hjälp av föstadeivatans tecken Fösta deivatans tecken: se vi att funktionen ha maimum om. fma om + Gafen till y : +. (p) Beäkna volmen av den pyamid som ha hön i punktena A(,,), B(,,), C(,,) och D(,,). AB (,,), AC (,,), AD (,,). Volymen av pyamiden ABCD kan beäknas med hjälp av fomeln

7 V ( AB AC) AD 5 5 Sva: Pyamidens volymen 5/ v. e. 7. (p) Beäkna volymen av den otationskopp som uppstå då omådet som definieas av /,, otea king -aeln. Volymen Sva: / / / 8. (p) Beäkna följande gänsväden a) b) (p) sin() > 5 5 (cos ) acsin > ( + ) sin. a) sin() > 5 [" " L Hospital ] cos() > 5 b) 5 (cos ) acsin > ( + ) sin ( Vi dela poblemet i två dela dä fösta fakto beäknas diekt och anda med hjälp av L' Hospitals egel ) 5 (cos ) acsin > ( + cos ) > sin > cos Sva: a) 5 b) 7