För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd."

Transkript

1 I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att bestämma viialkoefficientena måste man föst beäkna gasens patitionsfunktion då iktiga målsättninga med detta kapitel P = ( F ) T och F = k B T ln Z () Z = k e ɛ k /k B T ; (4) eta vad viialutvecklingen och viialkoefficientena ä Kunna beäkna fösta temen i konfiguationsintegalen Känna till van de Waal s gasekvation och dess motivation eta hu man kan kvalitativt föstå kitiska punktens uppkomst fån van de Waals ekvation ɛ k : gasens enegitillstånd. Fö en klassisk gas med N patikla som växelveka med paväxelvekninga gälle ɛ = p 1 m + p m + + p N m + ( 1 ) + ( 1 ) ( N 1, N ) (5) = N i=1 p i m + N ij. (6) i,j=1 Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 I.1. Reella gase dä vi betecknat ij ( i j ) (7) Mandl s. 195-, se också Landau-Lifschitz S 75, 76] Den klassiska idealgasens tillståndsekvation ä P = Nk BT Denna kan betaktas som den lägsta temen i en Tayloseie- utveckling av tillståndsekvationen fö en eell gas: P ( N, T ) = Nk ( BT 1 + N ( ) N ) B(T ) + C(T ) + Denna seieutveckling kallas viialutvecklingen Koefficientena B,C,... kallas gasens viialkoefficiente. Den fösta viialkoefficienten A(T ) = 1 ge idealgaslagen, som då kan ses som en lågtäthetsappoximation fö eella gase. (1) () P.g.a. symmetiskäl gälle det också att denna potentialeenegi inte kan beo på vekton i j utan enbat dess absolutbelopp, avståndet mellan de två atomena ij = i j. Alltså Summan öve enegitillstånden esätts nu med d p 1 d 1 k ij ( i j ) = ( ij ) (8) = h Π N i=1 d p d... h d p i (π ) d p N d N h (9) Π N j=1 d j (1) Om patiklana ha identiska fysikaliska egenskape och däfö inte kan skiljas fån vaanda lede en pemutation av patiklana inte till ett skiljt fysikaliskt makotillstånd. Temofysik, Kai Nodlund 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 4

2 F id = k B T ln Z ideal (17) id integationen integeas öve alla positione fö t.ex. patiklana 1 och inklusive dem i vilka 1 och ha bytt plats. Fö att undvika dubbeläkning av patikelsystemets eneginivåe måste patitionsfunktionen däfö divideas med antalet pemutatione av N patikla: Z = 1 N! d p (π ) e p /mkb T ] N d 1...d N e ij /k B T (11) Om vi betakta detta en stund se vi att den vänsta delen baa beo på hastighetena, den höga baa på potentialenegiena. Så vi kan faktoisea detta i två dela! Dessutom ha vi tidigae på denna kus visat att d p /mkb T = ( mk BT (π ) ep π )/ (1) Dämed fås = k B T ln N N! (mk BT π )N/ (18) P = ( F ) T = +k B T N 1 N 1 = Nk BT N (19) P = Nk B T! () Temofysik, Kai Nodlund 1 5 Temofysik, Kai Nodlund 1 7 så detta kan skivas som dä vi definieat Q N kallas konfiguationsintegalen. Z = 1 N! (mk BT π )N/ } {{ } Q N (1) Z P Q N d 1...d N e ij /k B T (14) Nu se vi hu faktoiseingen fungea: Z P ä utycket fö en idealgas patitionsfunktion, vas beteende vi känne väl. Fö eella gase åtestå att bestämma Q N som beo på växelvekningana. Om man lyckas bestämma den känne man igen den eella gasens alla temodynamisk egenskape! Fö att checka att påståendet ovan stämme kan vi häleda P (, T ) fö en idealgas med ij =. Då ä Q N = d 1...d N = N (15) Z ideal = N N! (mk BT π )N/ (16) f ij ( ij ) ( ij ) I.1.1. Beäkning av konfiguationsintegalen ij ij Fö en gas vas molekyläa växelvekan ha kot äckvidd och som ä så tunn att patiklanas medelavstånd ä mycket stöe än äckvidden gälle och << 1 (1) k B T ij e ij /k B T 1 () Däigenom ä f ij = e ij /k B T 1 en liten stohet fö stoa (de flesta) -väden. Notea att detta antagande fungea ba enbat fö en gas, och dämed ä esten av detta kapitel diekt elevant baa fö gase. Temofysik, Kai Nodlund 1 6 Temofysik, Kai Nodlund 1 8

3 Man kan då utveckla konfiguationsintegalen Q N på följande sätt. i hade alltså Q N d 1...d N e ij /k B T () = d 1...d N 1 + f ij +,k<l Temena bli allt svåae att beäkna men också allt minde! f ij f kl +... () Exponenten ha alltså en otolig massa (N ) teme, och man integea öve N dimensione. Fö att komma vidae skive vi om summan som en podukt med hjälp av egeln e a+b = e a e b ): så Q N = d 1...d N e ij /k B } {{ T } =f ij +1 (4) Q N = d 1...d N (1 + f ij ) (5) Denna podukt ha givetvis lika många teme som tidigae. Men nyttan av denna opeation se man genom att aangea om temena i podukten. Summa Schema Beskivning Alla patikla utan växelvekan motsvaa idealgasen f ij : en tvåpatikelväxelvekning f ij f kl : två tvåpatikelväxelvekninga,k<l... Temofysik, Kai Nodlund 1 9 Temofysik, Kai Nodlund 1 11 Fö att se hu detta låte sig göas betakta vi nu liknande podukte fö små N explicit: N = : (1 + f ij ) = (1 + f 1 ) (6) N = : (1 + f ij ) = (1 + f 1 )(1 + f 1 )(1 + f ) (7) = 1 + f 1 + f + f 1 + f 1 f 1 + f 1 f + f 1 f + f 1 f 1 f(8) U detta se man att fö godtyckligt N kan man alltid aangea om temena i följande fom: Q N = d 1...d N {1 + (f 1 + f f N 1,N ) + (f 1 f f N,N f N 1,N ) + (f 1 f 1 f ) +...} Temofysik, Kai Nodlund 1 1 (9) I.1.. Fösta koektionen till idealgasesultatet i betakta nu de två fösta temena, idealgastemen och den fösta koektionen: Q N d 1...d N 1 + f ij = N + (1) Q N d 1...d N 1 + d 1...d N f( i, j ) () d 1...d N {f( 1, ) + f( 1, ) f( i, j ) +...} () Nu kan vi föenkla detta avsevät. Man kan plocka pa av molekyle (i, j), i < j på N(N 1)/ olika sätt. i anta vidae att alla molekyle ä av samma typ, så f( s, t ) = f( u, v ) fö alla väden på (s, t) och (u, v) (om inte, kunde man dela upp summan i dela efte molekyltypena, och efte det fotsätta som nedan). Dämed kan de olika temena i summan sammanslås och vi få Q N = N + d 1...d N(N 1) N {f( 1, )} (4) Temofysik, Kai Nodlund 1 1

4 Nu ä integanden obeoende av N, och dämed ge dessa N integale N så vi få Q N = N + 1 N(N 1) N d 1 d f( 1, ) (5) } {{ } e ( 1, )/k B T 1 i vet fån ovan ( 1, ) = ( 1 ) (6) och byte nu integationsvaiabel fån 1, till 1, dä vi definieat = 1 d = d (7) (minustecknet ä betydelselöst då vi integea öve hela D-ummet) och få Q N = N + 1 N(N 1) N d 1 d ( 1 ) ( 1 )/k B T 1] (8) } {{ } } {{ } = 4π d e ()/k B T 1] } {{ } I Temen I kallas klusteintegalen. Då integalen i dess definition ä öve det inteatomäa Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Om I ä litet - dvs. potentialen ä svag, kan vi vidae appoximea ln(1 + x) x i F och få F F id k BT N I (44) P = F = Nk BT k BT N I (45) Men och anda sidan definieade vi tidigae P som en Tayloutveckling med de två fösta temena P = Nk BT 1 + N B(T ) ] Jämföelse av dessa två ekvatione ge sambandet mellan den II viialkoefficienten och den intemolekyläa potentialen: B(T ) = I = π ] d e ()/k B T 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 15 (46) (47) avståndet och potentialen fån en atom till de anda, ä det uppenbat att I ä obeoende av N och alltså en intensiv stohet. Den ä alltså en funktion av T men inte N elle : I = I (T ) (9) I.1.. Exampel: A i betakta nu som ett paktiskt exempel viialkoektionen fö A. En vanlig potentialmodell ä Lennad-Jones-potentialen: i få vidae Q N = N ] N(N 1) I N ] N I F = k B T ln N ( ) mkb T N/ ] N N! π I (4) = k B T ln N ( ) mkb T N/ k N! π } {{ B T ln ] N I (4) } idealgasesultat! i se alltså att fia enegin bekvämt nog ä en summa av idealgasesultatet och växelvekningstemen! Temofysik, Kai Nodlund 1 14 (4) (41) () = 4ɛ {( σ )1 ( σ } )6 som fungea speciellt ba fö ädelgase. Paamete ɛ ge enegiskalan och σ avståndsskalan fö potentialen. Fö A ha konstantena expeimentellt bestämts vaa ɛ = J =.1 e och σ = m =.4 Å. Med att sätta in LJ-potential i ekvation 47 kan man beäkna viialen. Detta gå lätt att göa med numeisk integeing (lämnas som bonus-äkneövningsuppgift). Resultatet som fås ä jämföt med expeiment CRC 8nd edition sid 6-5], givet i enhete av cm /mol: Temofysik, Kai Nodlund 1 16 (48)

5 T (K) B B (LJ-beäkning) (expeiment) Detta visa alltså explicit att vid nomala tyck och tempeatue ä ädelgasena mycket näa idealgasen! Öveensstämmelsen ä alltså mycket ba! Med dessa väden kan vi nu jämföa hu mycket vekligt A avvike fån idealgaslagen. Detta ä illusteat som funktionen P ( ) N fö två tempeatue i följande bild: Temofysik, Kai Nodlund 1 17 Temofysik, Kai Nodlund 1 19 I.. an de Waal s gasekvation P (ba) 15 1 K, Idealgas K, A (B exp ) K, A (B LJ ) 1 K, Idealgas 1 K, A (B exp ) 1 K, A (B LJ ) N/ (atome/m ) Avvikelsen ä alltså mäkba, men notea att tyckena ä höga, mycket öve nomaltyck! Notea också att avvikelsen byta iktning: vid låga tempeatue ä tycket läge än fö idealgasen, vid höga höge. Temofysik, Kai Nodlund 1 18 Temofysik, Kai Nodlund 1

6 I..1. Häledning av an de Waal s gasekvation DETTA STYCKE HÖR EJ TILL KURSEN 1. i använde nu konfiguationsintegalen fö att häleda an de Waal s gasekvation. En typisk molekylä växelvekan ha en håd käna och en lång attaktiv svans. ( ij ) Fö denna appoximativa potential gälle ij En vanlig potentialmodell ä Lennad-Jones-potentialen: { () = 4ɛ ( σ )1 ( σ )6} (49) Den attaktiva delen 6 kan häledas fö oskilleande dipole både klassiskt och kvantmekaniskt. Den epulsiva delen 1 ha ingen speciell motivation, men ha visat sig ge en stak epulsion som ofta fungea ba. Denna potential kan appoximeas med { + < () v ( ) 6 (5) dä vi definieat = σ som den appoximativa potentialens minimum (inte exakt LJ-potentialens minimum som ä 1/6 σ!) I = 4π d e ()/k B T 1] (51) Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Omaangemang av temena ge = Nk B T P + N + N k B T π N πv ( πv ) = Nk B T 1 + N ] π Med att använda Taylo-seien 1/(1 + x) = 1 x åt omvända hållet kan vi skiva om detta i fomen (P + an ) = Nk B T Nb genom att definiea a = π v b = π = 1 4π (6) Ekvation 61 ä känt som an de Waals potential! i ha alltså hälett en makoskopisk tillståndsekvation fån kännedom av en mikoskopisk inteatomä potential. Detta innebä att man altenativt också kan, om man känne till gasens tillståndsekvation och att den följe ba an de Waals fom, sluta sig till mikoskopisk infomation om dess molekyles växelvekninga: v och. kan anses vaa molekyladien Temofysik, Kai Nodlund 1 (59) (6) (61) Nu kan vi dela integalen i två dela, av vilka delen fö < bli enkel ty e = : I = 4π d + d e v 6 /6 k B T 1] (5) } {{ } 1 id höga tempeatue ä v << 1 (5) k B T vilket motsvaa alltså fysikaliskt att tempeatuens kinetiska enegi-ekvivalens ä mycket stöe än potentialens minimum - mateialet ä alltså i gasfas. i hälede nu också vibationsfekvensen fö LJ-potentialen. I... Lennad-Jones potentialens vibationsfekvens i vill se på små föflyttninga fån enegiminimum, så vi måste föst bestämma vad det ä: () = 4ɛ( σ )1 ( σ )6 ] (6) = 1σ σ6 7 = (64) Dämed Alltså och dämed I 4π + 4π v 6 k B T e v 6 /6 k B T 1 + v 6 6 k B T d 6 = 4π + 4π v k B T F F id k B T N I (56) P = F = Nk B T ( = Nk B T N k B T k B T N 4π + 4π (54) (55) I (57) v ) (58) k B T Division av detta med 6σ 6 / 7 ge σ 6 6 = 1 = σ 1/6 1.1σ (65) Fö detta väde ä En liten föflyttning fån enegiminimum ä men vi vet ju edan att σ 1 ( ) = 4ɛ 4σ 1 σ ] 6 σ 6 = 4ɛ 1 = ɛ. (66) 4 ( + δ) = ( ) + δ( ) + 1 δ ( ), (67) ( ) = ɛ samt = (68) Temofysik, Kai Nodlund 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 4

7 Fö att få den anda temen använde vi Med insättning av = 1/6 σ fås och alltså = 4ɛ 1 σ σ ] 6 7 ; (69) = 4ɛ 1 1 σ1 ] 6 6 7σ 14 8 = 4ɛ 6 6 σ1 1 7 σ6 ] 6 = 4ɛ ] = 4ɛ ] 6 = 7ɛ ( + δ) = ɛ + 1 δ 7ɛ (7) = ɛ + 1 δ 7ɛ = ɛ + 1 δ 7ɛ 1/ σ (74) Alltså kan LJ-potentialen betaktas fö små vibatione king enegiminimum som en klassisk hamonisk oskillato: (7) (71) (7) = + 1 mω x (75) dä mω = 7ɛ σ (76) Detta ge ytteligae ett sambandet mellan mätbaa stohete (ω) och mikoskopiska paameta (ɛ och σ). () molekylä växelvekningspotential håd käna attaktiv svans i skall nu fundea på hu man kunde u denna fom häleda sig till koektione till idealgaslagen. i ha väsentligen två huvuddag i potentialen: en håd käna och en attaktiv svans, och vill beakta dessa på något sätt. Pga. molekylenas håda käno ä den effektiva tillgängliga volymen pe molekyl minde än. Detta kan beaktas genom att esätta med c i idealgaslagen. Paameten c ä popotionell Temofysik, Kai Nodlund 1 5 Temofysik, Kai Nodlund 1 7 I... Fenomenologisk motivation fö an de Waal s mot antalet molekyle den uteslutna volymen pe molekyl: c Nb. (78) Mandl kap. 8, Landau-Lifshitz S 84] i gö nu en fenomenologis häledning av an de Waals tillståndsekvation, som ge fysikalisk insikt i funktionsfomens betydelse. Idealgaslagen ä ju P = Nk B T. (77) Den attaktiva långdistansväxelvekan mellan molekylena minska gasens effektiva tyck, vilket kan beaktas genom att esätta P med P + P c i idealgaslagen. Koektionstemen P c ä då popotionell mot antalet molekylpa: P c 1 N N(N 1). (79) som alltså gälle fö icke-växelvekande patikla som alltså ha en växelvekningspotential (). Men vi vet att vekliga inteatomäa potentiale ha följande fom: Konventionellt skivs dä a ä en konstant. P c N a, (8) Temofysik, Kai Nodlund 1 6 Temofysik, Kai Nodlund 1 8

8 Den på detta sätt modifieade tillståndsekvationen bli (P + N a)( Nb) = Nk BT. (81) kännetecknas av att den ha en inflexionspunkt. Den kitiska punkten bestämmes av att ( P ) T = Nk BT ( Nb) + N a =, (8) ( P ) T = Nk BT ( Nb) 6N a =. (8) 4 Lösning av dessa ekvatione ge den kitiska punktens koodinate som T c = 8 a, c = Nb, P c = 1 a 7 bk B 7 b. (84) Om dessa ä expeimentellt kända, kan paametena a och b bestämmas! som ju ä an de Waals tillståndsekvation. Fö små täthete övegå an de Waals ekvation i idealgaslagen, som sig bö enligt idealgasens definition. Temofysik, Kai Nodlund 1 9 Den fysikaliska inneböden av den kitiska punkten ä att vid tempeatue höge än den existea inte gas och vätska som skilda fase. Det latenta vämet fö fastansitionen bli noll, och genom att faa omking den kitiska punkten kan man kontinueligt övegå fån vätska till gas. id T < T c kan vätska och gas existea som åtskiljbaa fase. Temofysik, Kai Nodlund 1 1 I..4. P-fasdiagammet fö an de Waals Isoteme av denna tillståndsekvation ä av följande fom (höge tempeatu höge upp): Fö övigt ä mateialets beteende kompliceat king den kitiska punkten och fluktationena king jämvikt stoa. an de Waals-lagen kan skivas i en helt allmän fom, genom att utnyttja dimensionslösa vaiable: P isotem P > : omöjligt kitisk punkt: P P = = kitisk isotem T = T T c, P = P P c ; = c. (85) Uttyckt med dimensionslösa vaiable bli an de Waals-lagen (P + )( 1) = 8T. (86) Eftesom denna lag inte ha någa ämnespaameta gälle den fö alla gase! Sådana tillstånd i olika system som ha lika väden av P,, T kallas koespondeande tillstånd. Den allmänna vesionen av an de Waals-lagen kallas däfö också lagen fö koespondeande tillstånd. an de Waals-lagen ha en kitisk isotem, som motsvaa den kitiska punkten. Denna isotem Temofysik, Kai Nodlund 1 Fö tempeatue unde den kitiska tempeatuen ha an de Waals lagens isoteme två extema, ett minimum och ett maximum. Temofysik, Kai Nodlund 1

9 Den del av en sådan isotem som ligge mellan de två extemalpunktena beskive inte ett jämviktstillstånd, ty i detta omåde voe gasens kompessibilitet negativ: F ( ) kuva = F ( 1 ) P d (89) kuva F ( ) ätlinje = F ( 1 ) ( 1 )P ; (9) κ = 1 ( P ) T. (87) Linjen bö då dagas så att ( 1 )P = 1 P d (kuva). (91) Detta innebä att ytona ovan och unde kuvan bö vaa lika stoa! I detta omåde bö an de Waals-isotemen däfö esättas med en hoisontell ät linje, som beskive jämvikt mellan vätska och gas. Temofysik, Kai Nodlund 1 Tillstånden på linjen epesentea ett system som skiljt sig i två sepaata fase (vätska och gas) i jämvikt. Fö vaje isotem ge den äta linjens vänsta ända vätskans volym och den höga ändan gasens volym. Detta beätta alltså vad volymena av de espektive fasena ä längs med fastansitionskuvan: Temofysik, Kai Nodlund 1 5 P 1 Maxwellaeona konstuktion: lika Linjen bö das så att den fia enegin vid dess ändpunkt ä obeoende av om den beäknas längs isotemen elle längs den äta linjen. i fundea nu på vad detta innebä: an de Waals-ekvationens beteende sammanfattas i följande bild: Längs en isotem ä ju dt = så df = SdT P d = P d. Alltså: F ( ) = kuva P d = P d (88) ätlinje Temofysik, Kai Nodlund 1 4 Temofysik, Kai Nodlund 1 6

10 P isotem kitisk punkt: P P = = ad ha du åtminstone lät dig i detta kapitel? Du vet vad viialutvecklingen och viialkoefficientena ä Du kan beäkna fösta temen i konfiguationsintegalen Du känne till van de Waal s gasekvation och dess motivation Du föstå kitiska punktens uppkomst fån van de Waals ekvation kitisk isotem Maxwellaeona konstuktion: lika P > : omöjligt Temofysik, Kai Nodlund 1 7 Temofysik, Kai Nodlund 1 9 I an de Waals-kuvona fö vatten Fö vatten ä T c = 74 o C,P c =.6 MPa och c =.11 cm /g = 56. cm /mol. an de Waals-konstantena fö vatten, bestämda med hjälp av T c och P c u ekvationena ovan, ä 5.57 ba L /mol samt.5 L/mol. Till vänste ä P ( ) plottat fö dessa van de Waals-konstante: Fån bilden kan man göa någa obsevatione: - c stämme inte öveens med det expeimentella vädet - Fö T < T c 1 bli hela gasekvationen uppenbat ofysikalisk: den föutspå negativa väden på P! Hämed ä det uppenbat att van de Waals tillståndsekvation baa ä en appoximation av vekligt vatten. Temofysik, Kai Nodlund 1 8

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation

Läs mer

21. Boltzmanngasens fria energi

21. Boltzmanngasens fria energi 21. Boltzmanngasens fia enegi Vi vill nu bestämma idealgasens fia enegi. F = Ω + µ; Ω = P V (1) = F = P V + µ (2) Fö idealgase gälle P V = k B T så: F = [k B T µ] (3) men å anda sidan vet vi fån föa kapitlet

Läs mer

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes

Läs mer

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m Expeimentell metodik 1. EXPERIMENTELL METODIK Stohete, mätetal och enhete En fysikalisk stohet ä en egenskap som kan mätas elle beäknas. En stohet ä podukten av mätetal och enhet. Exempel 1. Elektonens

Läs mer

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths. Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga

Läs mer

Fö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)

Fö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt

Läs mer

Sammanfattning av STATIK

Sammanfattning av STATIK Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea

Läs mer

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28

Tentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28 Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,

Läs mer

Temperaturmätning med resistansgivare

Temperaturmätning med resistansgivare UMEÅ UNIVESITET Tillämpad fysik och elektonik Betil Sundqvist Eik Fällman Johan Pålsson 3-1-19 ev.5 Tempeatumätning med esistansgivae Laboation S5 i Systemteknik Pesonalia: Namn: Kus: Datum: Åtelämnad

Läs mer

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC. villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och

Läs mer

BILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5

BILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5 LABORATIONSINSTRUKTIONER Laboationsinstuktione Fysik fö D BILDFYSIK INNEHÅLL Laboationsegle sid 3 Expeimentell metodik sid 5 Svängande fjäda och stava sid 17 Geometisk optik sid 21 Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

Företagens ekonomi Tillbakaräkning i SNI2007 NV0109

Företagens ekonomi Tillbakaräkning i SNI2007 NV0109 PCA/MFFM, ES/NS 2-4-29 (7) Föetagens ekonomi Tillbakaäkning i SNI27 NV9 Innehållsföteckning. Sammanfattning... 2 2. Bakgund... 2 2. Den nya näingsgensindelningen (SNI27)... 2 2.2 Föetagens ekonomi... 2

Läs mer

Angående kapacitans och induktans i luftledningar

Angående kapacitans och induktans i luftledningar Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns

Läs mer

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti

Läs mer

sluten, ej enkel Sammanhängande område

sluten, ej enkel Sammanhängande område POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge

Läs mer

===================================================

=================================================== min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet

Läs mer

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1, Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räta linje och plan RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linje: Låt L vaa den äta linjen genom punkten P = x, y, som ä paallell med vekton v = v, v, v ) 0. 2 3 P v Räta linjens ekvation

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN. Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b

Läs mer

===================================================

=================================================== Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte

Läs mer

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med

Läs mer

Den geocentriska världsbilden

Den geocentriska världsbilden Den geocentiska väldsbilden Planetens Mas osition elativt fixstjänona fån /4 till / 985. Ganska komliceat! Defeent Innan Koenikus gällde va den geocentiska väldsbilden gällande. Fö att föklaa de komliceade

Läs mer

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar. 3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen

Läs mer

LE2 INVESTERINGSKALKYLERING

LE2 INVESTERINGSKALKYLERING LE2 INVESTERINGSKALKYLERING FÖRE UPPGIFTER... 2 2.1 BANKEN... 2 2.2 CONSTRUCTION AB... 2 2.3 X OCH Y... 2 UNDER UPPGIFTER... 3 2.4 ETT INDUSTRIFÖRETAG... 3 2.5 HYRA ELLER LEASA... 3 2.6 AB PRISMA... 3

Läs mer

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2 LEDNINGA TILL POBLEM I KAPITEL LP Satelliten ketsa king joden oc påvekas av en enda kaft, gavitationskaften fån joden Enligt Newtons v e allänna gavitationslag ä den = G M e () v dä M oc ä jodens espektive

Läs mer

Tentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp

Tentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp UMEÅ UNIVERSIE illämpad fysik och elektonik Las Bäckstöm Åke Fansson entamen i Enegilagingsteknik 7,5 hp Datum: -3-5, tid: 9. 5. Hjälpmedel: Kusboken: hemal Enegy Stoage - systems and applications, Dince

Läs mer

r r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass:

r r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass: Innehållsföteckning 2 Innehåll 3 Mina matematiska minnen 4 Kosod - Lodätt - Vågätt 5 Chiffe med bokstäve 6 Lika med 8 Fomel 1 10 Konsumea mea? 12 Potense 14 Omketsen 16 Lista ut mönstet 18 Vilken fom ä

Läs mer

Vi kan printlösningar

Vi kan printlösningar Pintlösninga Vi kan pintlösninga l en l i t n e Väg e a t a sm iljö m a v i sk UTMANINGARNA Fågona hopa sig fö dig som ansvaa fö pint Va femte skivae som säljs i Sveige komme fån Dustin. Vi ä väl medvetna

Läs mer

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel. Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på

Läs mer

Granskningsrapport. Projektredovisning vid Sahlgrenska Universitetssjukhuset fördjupad granskning

Granskningsrapport. Projektredovisning vid Sahlgrenska Universitetssjukhuset fördjupad granskning Pojektedovisning vid Sahlgenska Univesitetssjukhuset födjupad ganskning Ganskningsappot 2008-03-06 Pe Settebeg, Enst & Young, Pojektledae Chistina Selin, Enst & Young, Aukt. eviso Patik Bjökstöm, Enst

Läs mer

Inlämningsuppgifter till 21/2 2003

Inlämningsuppgifter till 21/2 2003 Inlämningsuppgifte till / 003. Föenkla µ / µ / Lena A.,9,0,7,83 Niklas E.,5,,73,8 My E. 9,3,,7,9 Sanda F. 8,33a,3,7,9. Skiv om följande uttyck utan ottecken i nämnaen: x + x 3. Skiv om utan ottecken i

Läs mer

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Mekanik 2010 05 28 Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, 2010 05 28 Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten

Läs mer

1(5) & nt s. MrLJösÄKRtNG INNENALLER. MILJöPOLICY. och. ARBETSMILJöPOLIGY. K:\Mallar

1(5) & nt s. MrLJösÄKRtNG INNENALLER. MILJöPOLICY. och. ARBETSMILJöPOLIGY. K:\Mallar 1(5) & nt s MLJösÄKRtNG INNENALLER MILJöPOLICY ch ARBETSMILJöPOLIGY K:\Malla MILJOPOLICY 2(5) # nt s Denna miljöplicy gälle Elcente. Syfte Elcente ska följa aktuell miljölagstiftning, egle, kav ch nme

Läs mer

Föreläsning 7 Molekyler

Föreläsning 7 Molekyler Föeläsning 7 Molekyle Joniska bindninga Kovalenta bindninga Vibationsspektum Rotationsspektum Fyu0- Kvantfysik Kovalenta och joniska bindninga Atomena få en me stabil odning av elektonena i de yttesta

Läs mer

Boverket. Energideklarat LL_. IOfl DekLid: 195073. Byggnadens ägare - Kontaktuppgifter. Byggnadens ägare - Övriga

Boverket. Energideklarat LL_. IOfl DekLid: 195073. Byggnadens ägare - Kontaktuppgifter. Byggnadens ägare - Övriga Smhusenhet, -...-. Boveket Enegideklaat Vesion 15 IOfl DekLid: 195073 Byggnadens ägae - Kontaktuppgifte Ägaens namn Pesonnumme/Oganisationsnumme Utländsk adess Adess Postnumme Postot Mötvätsvägen 21 62449

Läs mer

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Finansiell ekonomi Föreläsning 2 Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid

Läs mer

ing. Hösten 2013 konsoliderades även en del nya flöden in till Göteborg. Flytten av delar av lagerverksamheten

ing. Hösten 2013 konsoliderades även en del nya flöden in till Göteborg. Flytten av delar av lagerverksamheten Byggmax miljöappot Inledning Unde 2009 påböjade Byggmax sitt miljöabete genom att skapa en miljöpolicy med miljömål. Som en följd av detta policyabete ha en miljöappot uppättats och ett kontinueligt föbättingsabete

Läs mer

10. Kinetisk gasteori

10. Kinetisk gasteori 10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för

Läs mer

A.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden

A.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden A.Uppgifte om stödmottagae Namn och adess Enköpings Biodlae c/o Mattias Blixt Kykvägen 3 749 52 GRILLBY Jounalnumme 2012-1185 E-postadess mattias.blixt@enviotaine.com B.Uppgifte om kontaktpesonen Namn

Läs mer

FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.

FYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets. FYSIKÄVINGEN KVAIFICERINGS- OCH AGÄVING 5 febuai 1998 ÖSNINGSFÖRSAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDE 1. Den vanliga modellen nä en kopp glide på ett undelag ä att man ha en fiktionskaft som ä popotionell mot nomalkaften

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Sammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn

Sammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn Eic Sandstöm Diekt telefon 044-781 46 29 E-post:eic.sandstom@fuuboda.se 2003-10-20 Till Folkbildningsådet Sammanfattande edovisning av ådslag/konfeens om Folkbildningens famsyn 1. Fakta om seminaiet/ådslaget

Läs mer

Ta ett nytt grepp om verksamheten

Ta ett nytt grepp om verksamheten s- IT ä f f A tem, sys knik & Te Ta ett nytt gepp om veksamheten Vå övetygelse ä att alla föetag kan bli me lönsamma, me effektiva och me välmående genom att ha ätt veksamhetsstöd. Poclient AB gundades

Läs mer

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd

Lösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd Lösninga till övningsuppgifte Impuls och öelsemängd G1.p m v ge 10,4 10 3 m 13 m 800 kg Sva: 800 kg G. p 4 10 3 100 v v 35 m/s Sva: 35 m/s G3. I F t 84 0,5 Ns 1 Ns Sva: 1 Ns G4. p 900. 0 kgm/s 1,8. 10

Läs mer

7 Elektricitet. Laddning

7 Elektricitet. Laddning LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva

Läs mer

NU-SJUKVÅRDEN. EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Granskning ur ett ledningsperspektiv

NU-SJUKVÅRDEN. EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Granskning ur ett ledningsperspektiv NU-SJUKVÅRDEN EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Ganskning u ett ledningspespektiv Ganskning genomföd på uppdag av Västa Götalandsegionens evisoe Vilhelm

Läs mer

Analys av mätdata för beräkning av noggrannhet i fordonsklassificering och hastighetsregistrering. Rapport 01

Analys av mätdata för beräkning av noggrannhet i fordonsklassificering och hastighetsregistrering. Rapport 01 Analys av mätdata fö beäkning av noggannhet i sklassificeing och hastighetsegisteing Rappot 01 Mätning i Klett nov 2011 och Amsbeg januai 2012 Kund Tafikveket Mottagae Pe Melén, Dennis Andesson Vesion

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyning, MSN320/TMS070 Lödag 2006-12-16, klockan 14.00-18.00 Examinato: Holge Rootzén Jou: Jan Rolén, tfn: 0708-57 95 48 Betygsgänse GU: G: 12-21.5,

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Föreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.

Föreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1. 1 Föeläsning 5 Motsvaa avsnitten 4.4, 5.1 5., 8.1.1 i Giffiths Linjäa dielektikum (Kap. 4.4) Ett dielektikum ä ett mateial dä polaisationen P induceas av ett elektiskt fält. Om det pålagda fältet inte

Läs mer

Novenco Radialfläktar CAL

Novenco Radialfläktar CAL Novenco Radialfläkta CAL Poduktfakta Podukt Kaftigt byggd adialfläkt av medeltyckstyp, avsedd fö dift i aggessiv miljö. Användningsomåden Fö pocessluft i komposteingsanläggninga och anda installatione

Läs mer

Ingenjörsmetodik IT & ME 2007. Föreläsare Dr. Gunnar Malm

Ingenjörsmetodik IT & ME 2007. Föreläsare Dr. Gunnar Malm Ingenjösmetodik IT & ME 2007 Föeläse D. Gunn Mlm 1 Dgens föeläsning F10 Mtemtisk modelle v föänding Ex tillväxten v fökylningsvius elle studieskuld Populät kllt äntetl 2 Inledning mtemtisk modelle Kn nvänds

Läs mer

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.

och/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen. 9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.

Läs mer

Lösningsförslag nexus B Mekanik

Lösningsförslag nexus B Mekanik Lösningsföslag 1 Mekanik 101. Stenen falle stäckan s. s gt 9,8 1, 6 m 1,6 m Sva: 1 m 10. Vi kan använda enegipincipen: mv mgh v gh Hastigheten vid nedslaget bli då: v gh 9,85 m/s 6 m/s Sva: 6 m/s 10. a)

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Solenergi. Clearline. en introduktion. Solenergi. Solenergi En introduktion (v1.0) Warm-Ec Scandinavia AB Box 110 671 23 Arvika

Solenergi. Clearline. en introduktion. Solenergi. Solenergi En introduktion (v1.0) Warm-Ec Scandinavia AB Box 110 671 23 Arvika En intoduktion (v1.0) en intoduktion En intoduktion (v1.0) Innehåll 1.0 Olika fome av solenegi... 3 1.1 Passiv solinvekan...3 1.2 Solfångae...3 1.3 Solcelle...3 1.4 Koncentation av solljuset...4 2.0 Hu

Läs mer

Geometrisk optik reflektion och brytning

Geometrisk optik reflektion och brytning Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

Potentialteori Mats Persson

Potentialteori Mats Persson Föeläsning 3/0 Potentilteoi Mts Pesson Bestämning v elektiskt fält Elektosttikens ekvtione: Det elektisk fältet E bestäms v lddningsfödelningen ρ vi Guss sts E d = ρdv elle uttyckt på diffeentilfom V E

Läs mer

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper: Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def

Läs mer

Nivåmätning Fast material Flytande material

Nivåmätning Fast material Flytande material Nivåmätning Fast mateial Flytande mateial Nivåmätning fö pocessindustin Nivåkontoll fö: Övefyllnadsskydd Batchkontoll Poduktmätning Lagekontoll Säkehetslam Skiljeyto Industie: Koss o Asfalt Olja o Gas

Läs mer

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation

Innehållsförteckning. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation Innehållsförteckning Notera: denna förteckning uppdateras under kursens lopp, men stora förändringar är inte att vänta. I. Introduktion och första grundlagen I.1. Överblick och motivation I.1.1. Vad behandlar

Läs mer

Heureka Fysik 2, Utgåva 1:1

Heureka Fysik 2, Utgåva 1:1 Heueka Fysik, 978-91-7-5678-3 Utgåva 1:1 Sidan Va Rättelse 30 Rad 6 neifån 1 gt ska esättas med 1 gt 78 Lösning, ad 3 N -6 ska esättas med N 88 Rad 8 neifån e ev ska esättas e ev och v ska esättas med

Läs mer

Statsupplåning. prognos och analys 2004:1. Statens lånebehov. Finansiering. Aktuellt. Marknadsinformation

Statsupplåning. prognos och analys 2004:1. Statens lånebehov. Finansiering. Aktuellt. Marknadsinformation 2004:1 Statsupplåning pognos oh analys Statens lånebehov Åspognosen fö 2004 3 Lånebehovet justeat fö tillfälliga betalninga 4 Jämföelse med anda lånebehovspognose 5 Månadspognose 5 Statsskulden 5 Finansieing

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

1 Etnicitet i rekryteringssammanhang -En jämförelse mellan privat och offentlig sektor

1 Etnicitet i rekryteringssammanhang -En jämförelse mellan privat och offentlig sektor 1 Etnicitet i ekyteingssammanhang -En jämföelse mellan pivat och offentlig sekto Chistina Ekdahl Madelene Gustafsson Elin Spaman Maia Svedbeg Pojektabete 5 poäng Våteminen 2002 Handledae: Staffan Nilsson

Läs mer

find your space find your space Plantronics Bluetooth -headset Upplev friheten Vår/sommar 07

find your space find your space Plantronics Bluetooth -headset Upplev friheten Vår/sommar 07 find you space find you space Plantonics Bluetooth -headset Upplev fiheten Vå/somma 07 Med Plantonics sotiment av tådlösa headset med Bluetooth-teknik innebä mobil vekligen att du ä ölig hela vägen fån

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Kapitel I Introduktion och första grundlagen Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal

Läs mer

Kunskapskatalogen. Allt arbetsmiljöarbete. En sund arbetsmiljö. hos chefen! Coca-Cola arbetsmiljöutbildar sina chefer. Sid 4

Kunskapskatalogen. Allt arbetsmiljöarbete. En sund arbetsmiljö. hos chefen! Coca-Cola arbetsmiljöutbildar sina chefer. Sid 4 Kunskapskatalogen utbildninga & inom abetsmiljö hösten 2012 Allt abetsmiljöabete stata med BAM! Den ekända gundutbildningen inom abetsmiljö. Sid 8 En sund abetsmiljö böja hos chefen! Coca-Cola abetsmiljöutbilda

Läs mer

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer:

KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R 3. En kurva i R 3 beskrivs anges oftast på parameter form med tre skalära ekvationer: Amin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kuvo på pmeefom KURVOR OCH PÅ PARAMETER FORM KURVOR I R En kuv i R beskivs nges ofs på pmee fom med e sklä ekvione: x = f, y = f, z = f, D R * Fö vje få vi en punk på kuvn

Läs mer

Priserna anger pris utan moms och frakt. Vid skolstarten har vi skolstartspriser på de flesta av räknarna. Begär offert!

Priserna anger pris utan moms och frakt. Vid skolstarten har vi skolstartspriser på de flesta av räknarna. Begär offert! Pisena ange pis utan moms och fakt. Vid skolstaten ha vi skolstatspise på de flesta av äknana. Begä offet! TI 106 TI 106 ä en mycket vanlig äknae i hela gundskolan. Den ha plasttangente och löstagbat skyddslock.

Läs mer

Vågräta och lodräta cirkelbanor

Vågräta och lodräta cirkelbanor Vågäta och lodäta cikelbano Josefin Eiksson Sammanfattning fån boken Ego fysik 13 septembe 2012 Intoduktion Vi ska studea koklinjig öelse i två dimensione - i ett plan. Våätt plan och lodätt plan Exempel

Läs mer

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser

Kapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är

Läs mer

A.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden

A.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden A.Uppgifte om stödmottagae Namn och adess Ängsövägen-Västeås c/o Ängsö GK Box 1007 721 26 VÄSTERÅS Jounalnumme 2010-2587 E-postadess kiste.fost@jkf.se B.Uppgifte om kontaktpesonen Namn och adess Kiste

Läs mer

XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E.

XV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E. XV. lektiska fält Fö tillfället vet vi av baa fya olika fundamentala kafte i univesum. Dessa ä: Gavitationskaften Bekant fån mekanikenkusen Den elektomagnetiska kaften Detta kapitels ämne, osaken till

Läs mer

Vänersborgs kommun. Fördjupad granskning av Samhällsbyggnadsnämnden

Vänersborgs kommun. Fördjupad granskning av Samhällsbyggnadsnämnden Vänesbogs kommun Födjupad ganskning av Samhällsbyggnadsnämnden Götebog 2005-12-14 Enst & Young AB Vilhelm Rundquist 1 Sammanfattning Enst & Young ha fått i uppdag av evisoena i Vänebogs kommun att genomföa

Läs mer

GEHRMANS MUSIKFÖRLAG MEPP: 6JAFFAN \5&ÄC\C

GEHRMANS MUSIKFÖRLAG MEPP: 6JAFFAN \5&ÄC\C GEHRMANS MUSIKFÖRLAG MEPP: 6JAFFAN \5&ÄC\C Mateialet B Ett musikaliskt och tekniskt genomtänkt, koncenteat och stimuleande mateial som klinga väl och ä gjot fö gehösundevisning. Så hä fungea det B Läaen

Läs mer

Termodynamik och inledande statistisk fysik

Termodynamik och inledande statistisk fysik Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från

Läs mer

X. Repetitia mater studiorum

X. Repetitia mater studiorum X. Repetitia mater studiorum Termofysik, Kai Nordlund 2012 1 X.1. Termofysikens roll Den statistiska fysikens eller mekanikens uppgift är att härleda de fysikaliska egenskaperna hos makroskopiska system

Läs mer

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar

Repetition. Termodynamik handlar om energiomvandlingar Repetition Termodynamik handlar om energiomvandlingar Termodynamikens första huvudsats: (Energiprincipen) Energi kan inte skapas och inte förstöras bara omvandlas från en form till en annan!! Termodynamikens

Läs mer

Fördjupningsrapport om simuleringar av bombkurvan med Bolins och Eriksson matematisk modell

Fördjupningsrapport om simuleringar av bombkurvan med Bolins och Eriksson matematisk modell 1 Föjupningsappot o siuleinga av bobkuvan e Bolins och Eiksson ateatisk oell Av Peh Bjönbo Rappoten ge en bakgun so beskive Bolin och Eiksson (1959), speciellt eas ateatiska oell fö att siulea ängen aioaktiv

Läs mer

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien

Läs mer

Ditt nya drömboende finns här. I Nykvarn. 72 toppmoderna hyresrätter 1-4 rum och kök i kv. Karaffen.

Ditt nya drömboende finns här. I Nykvarn. 72 toppmoderna hyresrätter 1-4 rum och kök i kv. Karaffen. Ditt nya dömboende finns hä. I Nykvan. 72 toppmodena hyesätte 1-4 um och kök i kv. Kaaffen. Fötätning i centalt läge. Kaaffen bestå av två punkthus om sex våninga samt två tevånings vinkelhus, samtliga

Läs mer

Projekt sent anmälda barn

Projekt sent anmälda barn 2013-03-04 Pjekt sent anmälda ban Bakgund I Åsappt 2012 fö Kvalitetsegiste CPUP anges syftet vaa: Gunden fö CPUP ä att alla ban med CP identifieas ch ebjuds deltagande så snat CP-liknande symtm ses, dvs.

Läs mer

ENERGIDEKLARATION. 160 kwh/m2 och år. Krav vid uppförande av. ny byggnad [jan 2012]: Radon mätning: Inte utförd. Har lämnats

ENERGIDEKLARATION. 160 kwh/m2 och år. Krav vid uppförande av. ny byggnad [jan 2012]: Radon mätning: Inte utförd. Har lämnats sammanfattning av ENERGIDEKLARATION DENNA BYGGNADS ENERGIKLASS 160 kwh/m2 och å ny byggnad [jan 2012]: Inte utföd Ha lämnats.... 2025-02-12 www. boveket.se/enegideklaation (2007:4) om enegideklaation fö

Läs mer

Strategier vid generationsskifte - Ekonomiska implikationer för olika intressenter

Strategier vid generationsskifte - Ekonomiska implikationer för olika intressenter Stategie vid geneationsskifte - Ekonomiska implikatione fö olika intessente Osca Stampe ndeas an SLU, Depatment of Economics Tesis No 518 Degee Tesis in usiness dministation Uppsala, 8 D-level, 3 ECTS

Läs mer

Föräldrabarometer 2013

Föräldrabarometer 2013 Föbundet Hem och Skola i Finland Föäldabaomete 2013 Cilla yman (ed.) Innehåll Föod... 2 1 Inledning... 3 2 Undesökningens genomföande... 4 2.1 Föäldabaomete 2013... 4 2.2 De svaandes bakgundsuppgifte...

Läs mer

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp Elekto- och yteteknik Elektika akine och effektelektonik Stefan Ötlund 7745 Tentaen i EJ Eleffektyte, 6 hp Den juni, 4.-9. Räknedoa, foelaling och ateatik handbok (eta) få använda. Tentaen kan ge axialt

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen Kapitel I Introduktion och första grundlagen Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler,...) i vilka temperaturen

Läs mer

Instuderingsfrågor Energilagringsteknik 7,5 hp, vt 2012

Instuderingsfrågor Energilagringsteknik 7,5 hp, vt 2012 Instudeingsfågo Enegilagingsteknik 7,5 hp, vt 1 Vämeöveföing och skiktning 1. Ge 6 skäl till vafö vatten ä så populät som lagingsmedium vid sensibel vämelaging.. Föklaa två viktiga skillnade i dimensioneingen

Läs mer

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar

Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar Exempel på statistisk fysik Svagt växelverkande partiklar I kapitlet om kinetisk gasteori behandlades en s k ideal gas där man antog att partiklarna inte växelverkade med varandra och dessutom var punktformiga.

Läs mer

Termodynamik Föreläsning 4

Termodynamik Föreläsning 4 Termodynamik Föreläsning 4 Ideala Gaser & Värmekapacitet Jens Fjelstad 2010 09 08 1 / 14 Innehåll Ideala gaser och värmekapacitet TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 3.6 3.11 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner

Läs mer

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)

Läs mer

Longitudinell dynamik. Fordonsdynamik med reglering. Longitudinell dynamik: Luftmotstånd. Longitudinell dynamik: Krafter

Longitudinell dynamik. Fordonsdynamik med reglering. Longitudinell dynamik: Luftmotstånd. Longitudinell dynamik: Krafter Lonitudinell dynamik Fodonsdynamik med elein Modell med kaftjämvikt i lonitudinell led F tot = ma Jan Åslund jaasl@isy.liu.se Associate Pofesso Dept. Electical Enineein Vehicula Systems Linköpin Univesity

Läs mer

Kartläggning av brandrisker

Kartläggning av brandrisker Bandskyddsbeskivning v4.3 y:\1132 geby 14 mfl\dokumentation\1132 pt 199.doc Katläggning av bandiske : Revidead: - Uppdagsansvaig: Håkan Rönnqvist - Bandingenjö : - Bandingenjö Kungsgatan 48 B 411 15 Götebog

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15

Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15 Tentmen i Mtemtik, HF9 7 jn, kl 8:5-:5 Eminto: Amin Hlilovi Unevisne läe: Feik Begholm, Jons Stenholm, Elis Si Fö gokänt etg kävs v m poäng Betgsgänse: Fö etg A, B, C, D, E kävs, 9,, espektive poäng Kompletteing:

Läs mer

... !rlt{; I Å L. Sammanfattning av energideklaration Operan 12 2010-09-06

... !rlt{; I Å L. Sammanfattning av energideklaration Operan 12 2010-09-06 I I :Iti 'xni hi[^]t ;:N!lt{; I Å L Sammanfattning av enegideklaation Opean 12 2010-09-06 lndependia Enegi AB nu godkänt och skickat in e enegideklaation till Boveket Vi skicka en kopia på deklaationbn

Läs mer

Surveysektionens årsmöte 20 oktober 2004.

Surveysektionens årsmöte 20 oktober 2004. uvesektonens åsmöte oktobe 4. åga aspekte på anals av suvedata av Lennat odbeg, CB ----------------------------------------------------------------- Anals av suve-data kan betda allt mölgt...tll eempel:

Läs mer