För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.
|
|
- Gösta Blomqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att bestämma viialkoefficientena måste man föst beäkna gasens patitionsfunktion då iktiga målsättninga med detta kapitel P = ( F ) T och F = k B T ln Z () Z = k e ɛ k /k B T ; (4) eta vad viialutvecklingen och viialkoefficientena ä Kunna beäkna fösta temen i konfiguationsintegalen Känna till van de Waal s gasekvation och dess motivation eta hu man kan kvalitativt föstå kitiska punktens uppkomst fån van de Waals ekvation ɛ k : gasens enegitillstånd. Fö en klassisk gas med N patikla som växelveka med paväxelvekninga gälle ɛ = p 1 m + p m + + p N m + ( 1 ) + ( 1 ) ( N 1, N ) (5) = N i=1 p i m + N ij. (6) i,j=1 Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 I.1. Reella gase dä vi betecknat ij ( i j ) (7) Mandl s. 195-, se också Landau-Lifschitz S 75, 76] Den klassiska idealgasens tillståndsekvation ä P = Nk BT Denna kan betaktas som den lägsta temen i en Tayloseie- utveckling av tillståndsekvationen fö en eell gas: P ( N, T ) = Nk ( BT 1 + N ( ) N ) B(T ) + C(T ) + Denna seieutveckling kallas viialutvecklingen Koefficientena B,C,... kallas gasens viialkoefficiente. Den fösta viialkoefficienten A(T ) = 1 ge idealgaslagen, som då kan ses som en lågtäthetsappoximation fö eella gase. (1) () P.g.a. symmetiskäl gälle det också att denna potentialeenegi inte kan beo på vekton i j utan enbat dess absolutbelopp, avståndet mellan de två atomena ij = i j. Alltså Summan öve enegitillstånden esätts nu med d p 1 d 1 k ij ( i j ) = ( ij ) (8) = h Π N i=1 d p d... h d p i (π ) d p N d N h (9) Π N j=1 d j (1) Om patiklana ha identiska fysikaliska egenskape och däfö inte kan skiljas fån vaanda lede en pemutation av patiklana inte till ett skiljt fysikaliskt makotillstånd. Temofysik, Kai Nodlund 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 4
2 F id = k B T ln Z ideal (17) id integationen integeas öve alla positione fö t.ex. patiklana 1 och inklusive dem i vilka 1 och ha bytt plats. Fö att undvika dubbeläkning av patikelsystemets eneginivåe måste patitionsfunktionen däfö divideas med antalet pemutatione av N patikla: Z = 1 N! d p (π ) e p /mkb T ] N d 1...d N e ij /k B T (11) Om vi betakta detta en stund se vi att den vänsta delen baa beo på hastighetena, den höga baa på potentialenegiena. Så vi kan faktoisea detta i två dela! Dessutom ha vi tidigae på denna kus visat att d p /mkb T = ( mk BT (π ) ep π )/ (1) Dämed fås = k B T ln N N! (mk BT π )N/ (18) P = ( F ) T = +k B T N 1 N 1 = Nk BT N (19) P = Nk B T! () Temofysik, Kai Nodlund 1 5 Temofysik, Kai Nodlund 1 7 så detta kan skivas som dä vi definieat Q N kallas konfiguationsintegalen. Z = 1 N! (mk BT π )N/ } {{ } Q N (1) Z P Q N d 1...d N e ij /k B T (14) Nu se vi hu faktoiseingen fungea: Z P ä utycket fö en idealgas patitionsfunktion, vas beteende vi känne väl. Fö eella gase åtestå att bestämma Q N som beo på växelvekningana. Om man lyckas bestämma den känne man igen den eella gasens alla temodynamisk egenskape! Fö att checka att påståendet ovan stämme kan vi häleda P (, T ) fö en idealgas med ij =. Då ä Q N = d 1...d N = N (15) Z ideal = N N! (mk BT π )N/ (16) f ij ( ij ) ( ij ) I.1.1. Beäkning av konfiguationsintegalen ij ij Fö en gas vas molekyläa växelvekan ha kot äckvidd och som ä så tunn att patiklanas medelavstånd ä mycket stöe än äckvidden gälle och << 1 (1) k B T ij e ij /k B T 1 () Däigenom ä f ij = e ij /k B T 1 en liten stohet fö stoa (de flesta) -väden. Notea att detta antagande fungea ba enbat fö en gas, och dämed ä esten av detta kapitel diekt elevant baa fö gase. Temofysik, Kai Nodlund 1 6 Temofysik, Kai Nodlund 1 8
3 Man kan då utveckla konfiguationsintegalen Q N på följande sätt. i hade alltså Q N d 1...d N e ij /k B T () = d 1...d N 1 + f ij +,k<l Temena bli allt svåae att beäkna men också allt minde! f ij f kl +... () Exponenten ha alltså en otolig massa (N ) teme, och man integea öve N dimensione. Fö att komma vidae skive vi om summan som en podukt med hjälp av egeln e a+b = e a e b ): så Q N = d 1...d N e ij /k B } {{ T } =f ij +1 (4) Q N = d 1...d N (1 + f ij ) (5) Denna podukt ha givetvis lika många teme som tidigae. Men nyttan av denna opeation se man genom att aangea om temena i podukten. Summa Schema Beskivning Alla patikla utan växelvekan motsvaa idealgasen f ij : en tvåpatikelväxelvekning f ij f kl : två tvåpatikelväxelvekninga,k<l... Temofysik, Kai Nodlund 1 9 Temofysik, Kai Nodlund 1 11 Fö att se hu detta låte sig göas betakta vi nu liknande podukte fö små N explicit: N = : (1 + f ij ) = (1 + f 1 ) (6) N = : (1 + f ij ) = (1 + f 1 )(1 + f 1 )(1 + f ) (7) = 1 + f 1 + f + f 1 + f 1 f 1 + f 1 f + f 1 f + f 1 f 1 f(8) U detta se man att fö godtyckligt N kan man alltid aangea om temena i följande fom: Q N = d 1...d N {1 + (f 1 + f f N 1,N ) + (f 1 f f N,N f N 1,N ) + (f 1 f 1 f ) +...} Temofysik, Kai Nodlund 1 1 (9) I.1.. Fösta koektionen till idealgasesultatet i betakta nu de två fösta temena, idealgastemen och den fösta koektionen: Q N d 1...d N 1 + f ij = N + (1) Q N d 1...d N 1 + d 1...d N f( i, j ) () d 1...d N {f( 1, ) + f( 1, ) f( i, j ) +...} () Nu kan vi föenkla detta avsevät. Man kan plocka pa av molekyle (i, j), i < j på N(N 1)/ olika sätt. i anta vidae att alla molekyle ä av samma typ, så f( s, t ) = f( u, v ) fö alla väden på (s, t) och (u, v) (om inte, kunde man dela upp summan i dela efte molekyltypena, och efte det fotsätta som nedan). Dämed kan de olika temena i summan sammanslås och vi få Q N = N + d 1...d N(N 1) N {f( 1, )} (4) Temofysik, Kai Nodlund 1 1
4 Nu ä integanden obeoende av N, och dämed ge dessa N integale N så vi få Q N = N + 1 N(N 1) N d 1 d f( 1, ) (5) } {{ } e ( 1, )/k B T 1 i vet fån ovan ( 1, ) = ( 1 ) (6) och byte nu integationsvaiabel fån 1, till 1, dä vi definieat = 1 d = d (7) (minustecknet ä betydelselöst då vi integea öve hela D-ummet) och få Q N = N + 1 N(N 1) N d 1 d ( 1 ) ( 1 )/k B T 1] (8) } {{ } } {{ } = 4π d e ()/k B T 1] } {{ } I Temen I kallas klusteintegalen. Då integalen i dess definition ä öve det inteatomäa Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Om I ä litet - dvs. potentialen ä svag, kan vi vidae appoximea ln(1 + x) x i F och få F F id k BT N I (44) P = F = Nk BT k BT N I (45) Men och anda sidan definieade vi tidigae P som en Tayloutveckling med de två fösta temena P = Nk BT 1 + N B(T ) ] Jämföelse av dessa två ekvatione ge sambandet mellan den II viialkoefficienten och den intemolekyläa potentialen: B(T ) = I = π ] d e ()/k B T 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 15 (46) (47) avståndet och potentialen fån en atom till de anda, ä det uppenbat att I ä obeoende av N och alltså en intensiv stohet. Den ä alltså en funktion av T men inte N elle : I = I (T ) (9) I.1.. Exampel: A i betakta nu som ett paktiskt exempel viialkoektionen fö A. En vanlig potentialmodell ä Lennad-Jones-potentialen: i få vidae Q N = N ] N(N 1) I N ] N I F = k B T ln N ( ) mkb T N/ ] N N! π I (4) = k B T ln N ( ) mkb T N/ k N! π } {{ B T ln ] N I (4) } idealgasesultat! i se alltså att fia enegin bekvämt nog ä en summa av idealgasesultatet och växelvekningstemen! Temofysik, Kai Nodlund 1 14 (4) (41) () = 4ɛ {( σ )1 ( σ } )6 som fungea speciellt ba fö ädelgase. Paamete ɛ ge enegiskalan och σ avståndsskalan fö potentialen. Fö A ha konstantena expeimentellt bestämts vaa ɛ = J =.1 e och σ = m =.4 Å. Med att sätta in LJ-potential i ekvation 47 kan man beäkna viialen. Detta gå lätt att göa med numeisk integeing (lämnas som bonus-äkneövningsuppgift). Resultatet som fås ä jämföt med expeiment CRC 8nd edition sid 6-5], givet i enhete av cm /mol: Temofysik, Kai Nodlund 1 16 (48)
5 T (K) B B (LJ-beäkning) (expeiment) Detta visa alltså explicit att vid nomala tyck och tempeatue ä ädelgasena mycket näa idealgasen! Öveensstämmelsen ä alltså mycket ba! Med dessa väden kan vi nu jämföa hu mycket vekligt A avvike fån idealgaslagen. Detta ä illusteat som funktionen P ( ) N fö två tempeatue i följande bild: Temofysik, Kai Nodlund 1 17 Temofysik, Kai Nodlund 1 19 I.. an de Waal s gasekvation P (ba) 15 1 K, Idealgas K, A (B exp ) K, A (B LJ ) 1 K, Idealgas 1 K, A (B exp ) 1 K, A (B LJ ) N/ (atome/m ) Avvikelsen ä alltså mäkba, men notea att tyckena ä höga, mycket öve nomaltyck! Notea också att avvikelsen byta iktning: vid låga tempeatue ä tycket läge än fö idealgasen, vid höga höge. Temofysik, Kai Nodlund 1 18 Temofysik, Kai Nodlund 1
6 I..1. Häledning av an de Waal s gasekvation DETTA STYCKE HÖR EJ TILL KURSEN 1. i använde nu konfiguationsintegalen fö att häleda an de Waal s gasekvation. En typisk molekylä växelvekan ha en håd käna och en lång attaktiv svans. ( ij ) Fö denna appoximativa potential gälle ij En vanlig potentialmodell ä Lennad-Jones-potentialen: { () = 4ɛ ( σ )1 ( σ )6} (49) Den attaktiva delen 6 kan häledas fö oskilleande dipole både klassiskt och kvantmekaniskt. Den epulsiva delen 1 ha ingen speciell motivation, men ha visat sig ge en stak epulsion som ofta fungea ba. Denna potential kan appoximeas med { + < () v ( ) 6 (5) dä vi definieat = σ som den appoximativa potentialens minimum (inte exakt LJ-potentialens minimum som ä 1/6 σ!) I = 4π d e ()/k B T 1] (51) Temofysik, Kai Nodlund 1 1 Omaangemang av temena ge = Nk B T P + N + N k B T π N πv ( πv ) = Nk B T 1 + N ] π Med att använda Taylo-seien 1/(1 + x) = 1 x åt omvända hållet kan vi skiva om detta i fomen (P + an ) = Nk B T Nb genom att definiea a = π v b = π = 1 4π (6) Ekvation 61 ä känt som an de Waals potential! i ha alltså hälett en makoskopisk tillståndsekvation fån kännedom av en mikoskopisk inteatomä potential. Detta innebä att man altenativt också kan, om man känne till gasens tillståndsekvation och att den följe ba an de Waals fom, sluta sig till mikoskopisk infomation om dess molekyles växelvekninga: v och. kan anses vaa molekyladien Temofysik, Kai Nodlund 1 (59) (6) (61) Nu kan vi dela integalen i två dela, av vilka delen fö < bli enkel ty e = : I = 4π d + d e v 6 /6 k B T 1] (5) } {{ } 1 id höga tempeatue ä v << 1 (5) k B T vilket motsvaa alltså fysikaliskt att tempeatuens kinetiska enegi-ekvivalens ä mycket stöe än potentialens minimum - mateialet ä alltså i gasfas. i hälede nu också vibationsfekvensen fö LJ-potentialen. I... Lennad-Jones potentialens vibationsfekvens i vill se på små föflyttninga fån enegiminimum, så vi måste föst bestämma vad det ä: () = 4ɛ( σ )1 ( σ )6 ] (6) = 1σ σ6 7 = (64) Dämed Alltså och dämed I 4π + 4π v 6 k B T e v 6 /6 k B T 1 + v 6 6 k B T d 6 = 4π + 4π v k B T F F id k B T N I (56) P = F = Nk B T ( = Nk B T N k B T k B T N 4π + 4π (54) (55) I (57) v ) (58) k B T Division av detta med 6σ 6 / 7 ge σ 6 6 = 1 = σ 1/6 1.1σ (65) Fö detta väde ä En liten föflyttning fån enegiminimum ä men vi vet ju edan att σ 1 ( ) = 4ɛ 4σ 1 σ ] 6 σ 6 = 4ɛ 1 = ɛ. (66) 4 ( + δ) = ( ) + δ( ) + 1 δ ( ), (67) ( ) = ɛ samt = (68) Temofysik, Kai Nodlund 1 Temofysik, Kai Nodlund 1 4
7 Fö att få den anda temen använde vi Med insättning av = 1/6 σ fås och alltså = 4ɛ 1 σ σ ] 6 7 ; (69) = 4ɛ 1 1 σ1 ] 6 6 7σ 14 8 = 4ɛ 6 6 σ1 1 7 σ6 ] 6 = 4ɛ ] = 4ɛ ] 6 = 7ɛ ( + δ) = ɛ + 1 δ 7ɛ (7) = ɛ + 1 δ 7ɛ = ɛ + 1 δ 7ɛ 1/ σ (74) Alltså kan LJ-potentialen betaktas fö små vibatione king enegiminimum som en klassisk hamonisk oskillato: (7) (71) (7) = + 1 mω x (75) dä mω = 7ɛ σ (76) Detta ge ytteligae ett sambandet mellan mätbaa stohete (ω) och mikoskopiska paameta (ɛ och σ). () molekylä växelvekningspotential håd käna attaktiv svans i skall nu fundea på hu man kunde u denna fom häleda sig till koektione till idealgaslagen. i ha väsentligen två huvuddag i potentialen: en håd käna och en attaktiv svans, och vill beakta dessa på något sätt. Pga. molekylenas håda käno ä den effektiva tillgängliga volymen pe molekyl minde än. Detta kan beaktas genom att esätta med c i idealgaslagen. Paameten c ä popotionell Temofysik, Kai Nodlund 1 5 Temofysik, Kai Nodlund 1 7 I... Fenomenologisk motivation fö an de Waal s mot antalet molekyle den uteslutna volymen pe molekyl: c Nb. (78) Mandl kap. 8, Landau-Lifshitz S 84] i gö nu en fenomenologis häledning av an de Waals tillståndsekvation, som ge fysikalisk insikt i funktionsfomens betydelse. Idealgaslagen ä ju P = Nk B T. (77) Den attaktiva långdistansväxelvekan mellan molekylena minska gasens effektiva tyck, vilket kan beaktas genom att esätta P med P + P c i idealgaslagen. Koektionstemen P c ä då popotionell mot antalet molekylpa: P c 1 N N(N 1). (79) som alltså gälle fö icke-växelvekande patikla som alltså ha en växelvekningspotential (). Men vi vet att vekliga inteatomäa potentiale ha följande fom: Konventionellt skivs dä a ä en konstant. P c N a, (8) Temofysik, Kai Nodlund 1 6 Temofysik, Kai Nodlund 1 8
8 Den på detta sätt modifieade tillståndsekvationen bli (P + N a)( Nb) = Nk BT. (81) kännetecknas av att den ha en inflexionspunkt. Den kitiska punkten bestämmes av att ( P ) T = Nk BT ( Nb) + N a =, (8) ( P ) T = Nk BT ( Nb) 6N a =. (8) 4 Lösning av dessa ekvatione ge den kitiska punktens koodinate som T c = 8 a, c = Nb, P c = 1 a 7 bk B 7 b. (84) Om dessa ä expeimentellt kända, kan paametena a och b bestämmas! som ju ä an de Waals tillståndsekvation. Fö små täthete övegå an de Waals ekvation i idealgaslagen, som sig bö enligt idealgasens definition. Temofysik, Kai Nodlund 1 9 Den fysikaliska inneböden av den kitiska punkten ä att vid tempeatue höge än den existea inte gas och vätska som skilda fase. Det latenta vämet fö fastansitionen bli noll, och genom att faa omking den kitiska punkten kan man kontinueligt övegå fån vätska till gas. id T < T c kan vätska och gas existea som åtskiljbaa fase. Temofysik, Kai Nodlund 1 1 I..4. P-fasdiagammet fö an de Waals Isoteme av denna tillståndsekvation ä av följande fom (höge tempeatu höge upp): Fö övigt ä mateialets beteende kompliceat king den kitiska punkten och fluktationena king jämvikt stoa. an de Waals-lagen kan skivas i en helt allmän fom, genom att utnyttja dimensionslösa vaiable: P isotem P > : omöjligt kitisk punkt: P P = = kitisk isotem T = T T c, P = P P c ; = c. (85) Uttyckt med dimensionslösa vaiable bli an de Waals-lagen (P + )( 1) = 8T. (86) Eftesom denna lag inte ha någa ämnespaameta gälle den fö alla gase! Sådana tillstånd i olika system som ha lika väden av P,, T kallas koespondeande tillstånd. Den allmänna vesionen av an de Waals-lagen kallas däfö också lagen fö koespondeande tillstånd. an de Waals-lagen ha en kitisk isotem, som motsvaa den kitiska punkten. Denna isotem Temofysik, Kai Nodlund 1 Fö tempeatue unde den kitiska tempeatuen ha an de Waals lagens isoteme två extema, ett minimum och ett maximum. Temofysik, Kai Nodlund 1
9 Den del av en sådan isotem som ligge mellan de två extemalpunktena beskive inte ett jämviktstillstånd, ty i detta omåde voe gasens kompessibilitet negativ: F ( ) kuva = F ( 1 ) P d (89) kuva F ( ) ätlinje = F ( 1 ) ( 1 )P ; (9) κ = 1 ( P ) T. (87) Linjen bö då dagas så att ( 1 )P = 1 P d (kuva). (91) Detta innebä att ytona ovan och unde kuvan bö vaa lika stoa! I detta omåde bö an de Waals-isotemen däfö esättas med en hoisontell ät linje, som beskive jämvikt mellan vätska och gas. Temofysik, Kai Nodlund 1 Tillstånden på linjen epesentea ett system som skiljt sig i två sepaata fase (vätska och gas) i jämvikt. Fö vaje isotem ge den äta linjens vänsta ända vätskans volym och den höga ändan gasens volym. Detta beätta alltså vad volymena av de espektive fasena ä längs med fastansitionskuvan: Temofysik, Kai Nodlund 1 5 P 1 Maxwellaeona konstuktion: lika Linjen bö das så att den fia enegin vid dess ändpunkt ä obeoende av om den beäknas längs isotemen elle längs den äta linjen. i fundea nu på vad detta innebä: an de Waals-ekvationens beteende sammanfattas i följande bild: Längs en isotem ä ju dt = så df = SdT P d = P d. Alltså: F ( ) = kuva P d = P d (88) ätlinje Temofysik, Kai Nodlund 1 4 Temofysik, Kai Nodlund 1 6
10 P isotem kitisk punkt: P P = = ad ha du åtminstone lät dig i detta kapitel? Du vet vad viialutvecklingen och viialkoefficientena ä Du kan beäkna fösta temen i konfiguationsintegalen Du känne till van de Waal s gasekvation och dess motivation Du föstå kitiska punktens uppkomst fån van de Waals ekvation kitisk isotem Maxwellaeona konstuktion: lika P > : omöjligt Temofysik, Kai Nodlund 1 7 Temofysik, Kai Nodlund 1 9 I an de Waals-kuvona fö vatten Fö vatten ä T c = 74 o C,P c =.6 MPa och c =.11 cm /g = 56. cm /mol. an de Waals-konstantena fö vatten, bestämda med hjälp av T c och P c u ekvationena ovan, ä 5.57 ba L /mol samt.5 L/mol. Till vänste ä P ( ) plottat fö dessa van de Waals-konstante: Fån bilden kan man göa någa obsevatione: - c stämme inte öveens med det expeimentella vädet - Fö T < T c 1 bli hela gasekvationen uppenbat ofysikalisk: den föutspå negativa väden på P! Hämed ä det uppenbat att van de Waals tillståndsekvation baa ä en appoximation av vekligt vatten. Temofysik, Kai Nodlund 1 8
VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser
I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Läs mer21. Boltzmanngasens fria energi
21. Boltzmanngasens fia enegi Vi vill nu bestämma idealgasens fia enegi. F = Ω + µ; Ω = P V (1) = F = P V + µ (2) Fö idealgase gälle P V = k B T så: F = [k B T µ] (3) men å anda sidan vet vi fån föa kapitlet
Läs merVI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel
VI. Reella gaser Viktiga målsättningar med detta kapitel Veta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation
Läs mer18. Fasjämvikt Tvåfasjämvikt T 1 = T 2, P 1 = P 2. (1)
18. Fasjämvikt Om ett makroskopiskt system består av flere homogena skilda komponenter, som är i termisk jämvikt med varandra, så kallas dessa komponenter faser. 18.0.1. Tvåfasjämvikt Jämvikt mellan två
Läs mer1 Två stationära lösningar i cylindergeometri
Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes
Läs merStorhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m
Expeimentell metodik 1. EXPERIMENTELL METODIK Stohete, mätetal och enhete En fysikalisk stohet ä en egenskap som kan mätas elle beäknas. En stohet ä podukten av mätetal och enhet. Exempel 1. Elektonens
Läs mer6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER
Kvantstatistik fö ideala gase 6 6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER 6. Fomuleing av det statistiska poblemet Vi betakta en gas av identiska patikla inneslutna i en volym V vilken befinne sig i ämvikt vid
Läs merFöreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.
Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga
Läs merFö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)
Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs merSammanfattning av STATIK
Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28
Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,
Läs merTemperaturmätning med resistansgivare
UMEÅ UNIVESITET Tillämpad fysik och elektonik Betil Sundqvist Eik Fällman Johan Pålsson 3-1-19 ev.5 Tempeatumätning med esistansgivae Laboation S5 i Systemteknik Pesonalia: Namn: Kus: Datum: Åtelämnad
Läs merI ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0
Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten 3. 3.2.4, 3.3.2 3.4 i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde
Läs merTvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.
villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och
Läs merTENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel
Kus: HF9, Matematik, atum: juni 9 Skivtid :-: TENTAMEN moment TEN (analys Eaminato: Amin Halilovic, tel. 79 Fö godkänt betyg kävs av ma poäng. Betygsgänse: Fö betyg A, B, C,, E kävs, 9, 6, espektive poäng.
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs mer2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)
Tentamen i Matematik HF9 (H9) feb Läae:Amin Halilovic Tid:.5 7.5 Hjälpmedel: Fomelblad (Inga anda hjälpmedel utöve utdelat fomelblad.) Fullständiga lösninga skall pesenteas på alla uppgifte. Betygsgänse:
Läs merFöretagens ekonomi Tillbakaräkning i SNI2007 NV0109
PCA/MFFM, ES/NS 2-4-29 (7) Föetagens ekonomi Tillbakaäkning i SNI27 NV9 Innehållsföteckning. Sammanfattning... 2 2. Bakgund... 2 2. Den nya näingsgensindelningen (SNI27)... 2 2.2 Föetagens ekonomi... 2
Läs mer=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räta linje och plan RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linje: Låt L vaa den äta linjen genom punkten P = x, y, som ä paallell med vekton v = v, v, v ) 0. 2 3 P v Räta linjens ekvation
Läs mersluten, ej enkel Sammanhängande område
POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge
Läs merAngående kapacitans och induktans i luftledningar
Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns
Läs merBILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5
LABORATIONSINSTRUKTIONER Laboationsinstuktione Fysik fö D BILDFYSIK INNEHÅLL Laboationsegle sid 3 Expeimentell metodik sid 5 Svängande fjäda och stava sid 17 Geometisk optik sid 21 Lunds Tekniska Högskola
Läs merKap.7 uppgifter ur äldre upplaga
Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti
Läs mer2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
1 Föeläsning 11 9.1-9.2.2 i Giffiths Randvillko (Kap. 7.3.6) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O
LEDIGAR TILL ROLEM I KAITEL 8 L 8. Vi anta föst att den givna bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påveka öesen och dämed också O intängningsdjupet. Men veka ingen kaft i öeseiktningen? Fastän man
Läs merMatematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF0, juni 0 Matematisk statistik Kuskod HF0 Skivtid: 8:-: Läae och examinato : Amin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat fomelhäfte ("Fomle och tabelle i statistik ") och miniäknae av vilken typ
Läs mer===================================================
min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet
Läs merSkineffekten. (strömförträngning) i! Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten!
14 15 Stömma alsta magnetfält." Magnetfältet fån en lång ak stömföande tåd: (stömfötängning i B Fältet bilda cikla unt tåden, oienteade enligt högehandsegeln B = i 2" 16 J 17 Stömfötängningen beo av fekvensen
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean
Läs merIdealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.
Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell
Läs merx=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 904 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskivninga av svaens innehåll och oängsättninga som ges hä ä inte bindande
Läs mer===================================================
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektofält - Föeläsningsanteckninga Chistian Fossén, Institutionen fö fysik, Chalmes, Götebog, Sveige Oct 16, 2018 11. Elektomagnetiska fält och Maxwells ekvatione Vi stata med
Läs merUPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E
UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 4: Geometriska transformationer och plottning av figurer
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV166 2017 Chalmes tekniska högskola Datolaboation 4 Eaminato: Ton Stillfjod TMV166 Linjä algeba fö M Datolaboation 4: Geometiska tansfomatione och plottning av figue Allmänt Vi
Läs merLE2 INVESTERINGSKALKYLERING
LE2 INVESTERINGSKALKYLERING FÖRE UPPGIFTER... 2 2.1 BANKEN... 2 2.2 CONSTRUCTION AB... 2 2.3 X OCH Y... 2 UNDER UPPGIFTER... 3 2.4 ETT INDUSTRIFÖRETAG... 3 2.5 HYRA ELLER LEASA... 3 2.6 AB PRISMA... 3
Läs merREDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK
Chiste Nbeg REDVISNINSUIFT I MEKANIK En civilingenjö skall kunna idealisea ett givet vekligt sstem, göa en adekvat mekanisk modell och behandla modellen med matematiska och numeiska metode I mekaniken
Läs merr r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass:
Innehållsföteckning 2 Innehåll 3 Mina matematiska minnen 4 Kosod - Lodätt - Vågätt 5 Chiffe med bokstäve 6 Lika med 8 Fomel 1 10 Konsumea mea? 12 Potense 14 Omketsen 16 Lista ut mönstet 18 Vilken fom ä
Läs merDen geocentriska världsbilden
Den geocentiska väldsbilden Planetens Mas osition elativt fixstjänona fån /4 till / 985. Ganska komliceat! Defeent Innan Koenikus gällde va den geocentiska väldsbilden gällande. Fö att föklaa de komliceade
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15
Kus: HF9 Matematik Moment TEN Linjä Algeba Datum: 8 augusti 5 Skivtid 8:5 :5 Examinato: Amin Halilovic Undevisande läae: Elias Said Fö godkänt betyg kävs av max poäng Betygsgänse: Fö betyg A B C D E kävs
Läs mer1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på
Läs merVi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.
3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2
LEDNINGA TILL POBLEM I KAPITEL LP Satelliten ketsa king joden oc påvekas av en enda kaft, gavitationskaften fån joden Enligt Newtons v e allänna gavitationslag ä den = G M e () v dä M oc ä jodens espektive
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning
Läs merUpp gifter. c. Finns det fler faktorer som gör att saker inte faller på samma sätt i Nairobi som i Sverige.
Upp gifte 1. Mattias och hans vänne bada vid ett hoppton som ä 10,3 m högt. Hu lång tid ta det innan man slå i vattnet om man hoppa akt ne fån tonet?. En boll täffa ibban på ett handbollsmål och studsa
Läs merTentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp
UMEÅ UNIVERSIE illämpad fysik och elektonik Las Bäckstöm Åke Fansson entamen i Enegilagingsteknik 7,5 hp Datum: -3-5, tid: 9. 5. Hjälpmedel: Kusboken: hemal Enegy Stoage - systems and applications, Dince
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl
Tentamen i Matematik, HF9, septembe, kl 8.. Hjälpmedel: Endast fomelblad (miniäknae ä inte tillåten) Fö godkänt kävs poäng av 4 möjliga poäng (betygsskala ä A,B,C,D,E,FX,F). Betygsgänse: Fö betyg A, B,
Läs merTK051B Bt2 (Högskoleingenjör i Bioteknik, Åk 2) eller motsvarande
Fysikalisk Kemi Povmoment Ladokkod: Tentamen ges fö: TentamensKod: 7,5 högskolepoäng Tentamen TK051B Bt2 (Högskoleingenjö i Bioteknik, Åk 2) elle motsvaande Tentamensdatum: 27/10/2015 Tid: 09:00 13:00
Läs merLösningar till tentamen i tillämpad kärnkemi den 10 mars 1998 kl
Lösninga till tentamen i tillämpad känkemi den 10 mas 1998 kl 0845-145 Ett öetag ha köpt natuligt uan ö 10 k/. Konveteing till UF 6 kosta 60 k/ tillvekad UF 6. I en gascentiugbasead anikningsanläggning
Läs merGranskningsrapport. Projektredovisning vid Sahlgrenska Universitetssjukhuset fördjupad granskning
Pojektedovisning vid Sahlgenska Univesitetssjukhuset födjupad ganskning Ganskningsappot 2008-03-06 Pe Settebeg, Enst & Young, Pojektledae Chistina Selin, Enst & Young, Aukt. eviso Patik Bjökstöm, Enst
Läs merGravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar
Gavitation och planetöelse: Keples 3 laga (YF kap. 13.5) Johannes Keple (1571-1630) utgick fån Copenicus heliocentiska väldsbild (1543) och analyseade (1601-1619) data fån Tycho Bahe, vilket esulteade
Läs merUpp gifter. 3,90 10 W och avståndet till jorden är 1, m. våglängd (nm)
Upp gifte 1. Stålningen i en mikovågsugn ha fekvensen,5 GHz. Vilken våglängd ha stålningen?. Vilka fekvense ha synligt ljus? 3. Synligt ljus täffa ett gitte. Vilka fäge avböjs mest espektive minst?. Bestäm
Läs merInlämningsuppgifter till 21/2 2003
Inlämningsuppgifte till / 003. Föenkla µ / µ / Lena A.,9,0,7,83 Niklas E.,5,,73,8 My E. 9,3,,7,9 Sanda F. 8,33a,3,7,9. Skiv om följande uttyck utan ottecken i nämnaen: x + x 3. Skiv om utan ottecken i
Läs merBoverket. Energideklarat LL_. IOfl DekLid: 195073. Byggnadens ägare - Kontaktuppgifter. Byggnadens ägare - Övriga
Smhusenhet, -...-. Boveket Enegideklaat Vesion 15 IOfl DekLid: 195073 Byggnadens ägae - Kontaktuppgifte Ägaens namn Pesonnumme/Oganisationsnumme Utländsk adess Adess Postnumme Postot Mötvätsvägen 21 62449
Läs merUppgift 1. I Tallinn i Estland finns ett unikt sångarstadion, Lauluvaljak.
2D1574 Medieteknik gk Tentamen 2 Ljud lösninga Sida 1 av 5 Uppgift 1. I Tallinn i Estland finns ett unikt sångastadion, Lauluvaljak. Den gigantiska scenen ä 73 mete bed, 32 mete djup, och ymme femton tusen
Läs merFinansiell ekonomi Föreläsning 2
Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid
Läs merFöreläsning 7 Molekyler
Föeläsning 7 Molekyle Joniska bindninga Kovalenta bindninga Vibationsspektum Rotationsspektum Fyu0- Kvantfysik Kovalenta och joniska bindninga Atomena få en me stabil odning av elektonena i de yttesta
Läs merVi kan printlösningar
Pintlösninga Vi kan pintlösninga l en l i t n e Väg e a t a sm iljö m a v i sk UTMANINGARNA Fågona hopa sig fö dig som ansvaa fö pint Va femte skivae som säljs i Sveige komme fån Dustin. Vi ä väl medvetna
Läs mer1(5) & nt s. MrLJösÄKRtNG INNENALLER. MILJöPOLICY. och. ARBETSMILJöPOLIGY. K:\Mallar
1(5) & nt s MLJösÄKRtNG INNENALLER MILJöPOLICY ch ARBETSMILJöPOLIGY K:\Malla MILJOPOLICY 2(5) # nt s Denna miljöplicy gälle Elcente. Syfte Elcente ska följa aktuell miljölagstiftning, egle, kav ch nme
Läs merLaborationsregler. Förberedelser. Laborationen. Inlämning av skriftlig redovisning. Säkerhet. Missade laborationstillfällen. Laborationsredovisning
Laboationsegle Föbeedelse Läs (i god tid föe laboationstillfället) igenom laboationsinstuktionen och de teoiavsnitt som laboationen behandla. Till vaje laboation finns ett antal föbeedelseuppgifte. Dessa
Läs merMekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,
KTH Mekanik 2010 05 28 Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, 2010 05 28 Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten
Läs merFYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.
FYSIKÄVINGEN KVAIFICERINGS- OCH AGÄVING 5 febuai 1998 ÖSNINGSFÖRSAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDE 1. Den vanliga modellen nä en kopp glide på ett undelag ä att man ha en fiktionskaft som ä popotionell mot nomalkaften
Läs mering. Hösten 2013 konsoliderades även en del nya flöden in till Göteborg. Flytten av delar av lagerverksamheten
Byggmax miljöappot Inledning Unde 2009 påböjade Byggmax sitt miljöabete genom att skapa en miljöpolicy med miljömål. Som en följd av detta policyabete ha en miljöappot uppättats och ett kontinueligt föbättingsabete
Läs merNU-SJUKVÅRDEN. EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Granskning ur ett ledningsperspektiv
NU-SJUKVÅRDEN EN ÖVERGRIPANDE RISKBEDÖMNING ANVÄNDBAR UR SÅVÄL REVISIONS- SOM LEDNINGSPERSPEKTIV Ganskning u ett ledningspespektiv Ganskning genomföd på uppdag av Västa Götalandsegionens evisoe Vilhelm
Läs merElektriska Drivsystems Mekanik (Kap 6)
Elektiska Divsystems Mekanik (Kap 6) Newtons ana lag! En av e mea viktiga ynamiska ekvationena fö elektiska maskine. L ä beteckna vinkelhastigheten och kallas töghetsmoment. och L beteckna ivane moment
Läs mer10. Kinetisk gasteori
10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för
Läs merUppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt
Kontollskivning 8 sep 7 VRSION A Tid: 8:5- Kus: HF6 Linjä algeba och anals (algebadelen) Läae: ik Melande, Nicklas Hjelm, Amin Halilovic aminato: Amin Halilovic Fö godkänt kävs 5 poäng Godkänd KS ge bonus
Läs merA.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden
A.Uppgifte om stödmottagae Namn och adess Enköpings Biodlae c/o Mattias Blixt Kykvägen 3 749 52 GRILLBY Jounalnumme 2012-1185 E-postadess mattias.blixt@enviotaine.com B.Uppgifte om kontaktpesonen Namn
Läs merTa ett nytt grepp om verksamheten
s- IT ä f f A tem, sys knik & Te Ta ett nytt gepp om veksamheten Vå övetygelse ä att alla föetag kan bli me lönsamma, me effektiva och me välmående genom att ha ätt veksamhetsstöd. Poclient AB gundades
Läs merTvå system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan
Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten
Läs merRelationsalgebra. Relationsalgebra består av en mängd operatorer som tar en eller två relationer som input och producerar en ny relation som resultat.
Database: Relationsalgeba 2-11 Relationsalgeba Relationsalgeba bestå av en mängd opeatoe som ta en elle två elatione som input och poducea en ny elation som esultat. De fundamentala opeationena ä unäa
Läs merÖvning 3 Fotometri. En källa som sprider ljus diffust kallas Lambertstrålare. Ex. bioduk, snö, papper.
Övning 3 Fotometi Lambetstålae En källa som spide ljus diffust kallas Lambetstålae. Ex. bioduk, snö, pappe. Luminansen ä obeoende av betaktningsvinkeln θ. Om vinkeln ändas ändas I v men inte L v. L v =
Läs merTentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan
Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyning, MSN320/TMS070 Lödag 2006-12-16, klockan 14.00-18.00 Examinato: Holge Rootzén Jou: Jan Rolén, tfn: 0708-57 95 48 Betygsgänse GU: G: 12-21.5,
Läs mer1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att
MEKANIK KTH Föslag till lösninga vid tentamen i 5C92 Teknisk stömningsläa fö M den 26 augusti 2004. Kaftekvationens pojektion i plattans nomaliktning ge att : F ṁ (0 cos α) F ρv 2 π 4 d2 cos α Med givna
Läs merLösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd
Lösninga till övningsuppgifte Impuls och öelsemängd G1.p m v ge 10,4 10 3 m 13 m 800 kg Sva: 800 kg G. p 4 10 3 100 v v 35 m/s Sva: 35 m/s G3. I F t 84 0,5 Ns 1 Ns Sva: 1 Ns G4. p 900. 0 kgm/s 1,8. 10
Läs meri) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?
TENTAMEN 7-Dec-8, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjä lgeb, hp, skiftlig tentmen Kuse: Anls och linjä lgeb, HF8, Linjä lgeb och nls HF6 Klsse: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plts: Cmpus Flemingsbeg Läe: Nicls
Läs merScenario 1: Vi får bidrag och ca 10 kommuner. Scenario 2: Vi får bidrag och ca 20 kommune r
Ange kommun: Ange namn: Skulle ni vaa intesseade av att delta i en kemikalieådgivningsfu nktion fö nas medabetae? Till exempel specifika kemikaliefågo i upphandling och inköp,veksamhete (föskolo, skolo,
Läs mer7 Elektricitet. Laddning
LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva
Läs merMagnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av
Magnetism Magnetiskt fält king stömföande ledae. Kaften på en av de två ledana ges av F k l ewtons 3:e lag säge att kaften på den anda ledaen ä lika sto men motiktad. Sva: Falskt. Fältets styka ges av
Läs merAnalys av mätdata för beräkning av noggrannhet i fordonsklassificering och hastighetsregistrering. Rapport 01
Analys av mätdata fö beäkning av noggannhet i sklassificeing och hastighetsegisteing Rappot 01 Mätning i Klett nov 2011 och Amsbeg januai 2012 Kund Tafikveket Mottagae Pe Melén, Dennis Andesson Vesion
Läs merLösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00
EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:
Läs merNovenco Radialfläktar CAL
Novenco Radialfläkta CAL Poduktfakta Podukt Kaftigt byggd adialfläkt av medeltyckstyp, avsedd fö dift i aggessiv miljö. Användningsomåden Fö pocessluft i komposteingsanläggninga och anda installatione
Läs merFöreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.
1 Föeläsning 5 Motsvaa avsnitten 4.4, 5.1 5., 8.1.1 i Giffiths Linjäa dielektikum (Kap. 4.4) Ett dielektikum ä ett mateial dä polaisationen P induceas av ett elektiskt fält. Om det pålagda fältet inte
Läs merIngenjörsmetodik IT & ME 2007. Föreläsare Dr. Gunnar Malm
Ingenjösmetodik IT & ME 2007 Föeläse D. Gunn Mlm 1 Dgens föeläsning F10 Mtemtisk modelle v föänding Ex tillväxten v fökylningsvius elle studieskuld Populät kllt äntetl 2 Inledning mtemtisk modelle Kn nvänds
Läs merSammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Läs meroch/eller låga temperaturer bildar de vätskor, nåt som inte händer för Dieterici-modellen, och virialexpansionen.
9. Realgaser ermodynamiska potentialer (ermo 2): Krister Henriksson 9. 9.. Introduktion Realgaser uppvisar beteende som idealgasen saknar. Speciellt vid höga tryck och/eller låga temperaturer bildar de
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.
Läs merSolenergi. Clearline. en introduktion. Solenergi. Solenergi En introduktion (v1.0) Warm-Ec Scandinavia AB Box 110 671 23 Arvika
En intoduktion (v1.0) en intoduktion En intoduktion (v1.0) Innehåll 1.0 Olika fome av solenegi... 3 1.1 Passiv solinvekan...3 1.2 Solfångae...3 1.3 Solcelle...3 1.4 Koncentation av solljuset...4 2.0 Hu
Läs merSammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn
Eic Sandstöm Diekt telefon 044-781 46 29 E-post:eic.sandstom@fuuboda.se 2003-10-20 Till Folkbildningsådet Sammanfattande edovisning av ådslag/konfeens om Folkbildningens famsyn 1. Fakta om seminaiet/ådslaget
Läs merTentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik
Tentamen i Mekanik I del Statik och patikeldynamik TMME8 0-0-, kl 4.00-9.00 Tentamenskod: TEN Tentasal: Examinato: Pete Schmidt Tentajou: Pete Schmidt, Tel. 8 7 43, (Besöke salana ca 5.00 och 7.30) Kusadministatö:
Läs merBilaga 2. Diarienummer: :251. Dokumentdatum: Dnr: :251
Bilaga 2 Dokumentatum: 2018-04-13 Dn: 5.1.3-2017:251 Kalibeingsappot fö unesökningen av ett antal målguppes eltagane i och uppfattning av Skolvekets skolutvecklingsinsatse inom e nationella skolutvecklingspogammen
Läs merTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats
Läs mer8 SVARTKROPPS- 8.1 Tillståndet för en foton. Planck-fördelningen. elektriska fältet där E = (E x, E y, E z ) och
Planck-födelningen 8 8 SARTKROPPS- STRÅLNING 8. Tillståndet fö en foton Låt oss betakta elektomagnetisk stålning i jämvikt i en volym vas vägga hålls vid konstant tempeatu T. I denna situation komme fotone
Läs merPotentialteori Mats Persson
Föeläsning 3/0 Potentilteoi Mts Pesson Bestämning v elektiskt fält Elektosttikens ekvtione: Det elektisk fältet E bestäms v lddningsfödelningen ρ vi Guss sts E d = ρdv elle uttyckt på diffeentilfom V E
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merLösningsförslag nexus B Mekanik
Lösningsföslag 1 Mekanik 101. Stenen falle stäckan s. s gt 9,8 1, 6 m 1,6 m Sva: 1 m 10. Vi kan använda enegipincipen: mv mgh v gh Hastigheten vid nedslaget bli då: v gh 9,85 m/s 6 m/s Sva: 6 m/s 10. a)
Läs merGRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def
Läs merGeometrisk optik reflektion och brytning
Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:
Läs mer