8 SVARTKROPPS- 8.1 Tillståndet för en foton. Planck-fördelningen. elektriska fältet där E = (E x, E y, E z ) och

Transkript

1 Planck-födelningen 8 8 SARTKROPPS- STRÅLNING 8. Tillståndet fö en foton Låt oss betakta elektomagnetisk stålning i jämvikt i en volym vas vägga hålls vid konstant tempeatu T. I denna situation komme fotone ständigt att adsobeas och emitteas av atomena i väggana. Det ä m h a denna mekanism som stålningen i behållaen komme i jämvikt med och beo av behållaens tempeatu. i behöve dock inte undesöka den fullständiga mekanismen vilken lede till temisk jämvikt, eftesom det gundläggande postulatet i statistisk mekanik äcke fö att beskiva situationen. Låt oss betakta stålningen som en samling fotone. Dessa måste betaktas som identiska patikla. Totala antalet fotone i behållaen ä inte fixt, utan beo på vägganas tempeatu T. Tillståndet fö vaja foton kan specificeas av beloppet och iktningen av dess öelsemängd, och av polaisationen av fotonens elektiska fält. Stålningsfältet vilket ä i jämvikt ä fullständigt givet om vi vet medelantalet fotone n i vaje tillstånd, och denna ges av Planck-födelningen n = e βɛ dä ɛ ä enegin fö en enskild foton i tillståndet. Låt oss undesöka hu tillståndet fö en foton definieas. Det elektomagnetiska fältet i vakuum satisfiea Maxwells ekvatione E + B c t = B = B E c t = E = dä E och B ä de elektiska och magnetiska fälten espektive. Löse vi ut t ex det magnetiska fältet B få vi en vågekvation fö det elektiska fältet dä E = E x, E y, E z ) och E x c E x t = och motsvaande fö y och z-komponentena. Det magnetsika fältet satisfiea samma ekvation. Lösningen till denna vågekvation ge vågo vilka utbede sig i ymden med ljushastigheten c. En explicit lösning ges av s k plana vågo E = A k exp{ik ωt)} ) dä A k ä vågens amplitud. Sätte vi in ) i vågekvationen se vi att vi få en lösning om den s k vågvekton k och vinkelfekvensen ω = πν satisfiea villkoet k = ω c, k = k = π λ dä λ beteckna våglängden, vilken även ges av fekvensen ν via ν = c/λ. Nä det elektomagnetiska fältet kvantiseas i fotone, beskivs vaje foton som en elativistisk patikel med vilomassan m noll, dvs sambandet mellan fotonens enegi ɛ och öelsemängd p ges av ɛ = pc) + m c ) = pc Kvantiseingen ge vidae dvs ɛ = hω = hν = h c λ p = hω c = h λ = hk Röelsemängd och vågvekto ä alltså elateade via p = hk. Enegin ges också av ɛ = cp = c hk. Eftesom en elektomagnetisk våg satisfiea Maxwells ekvation E =, följe att k E =, dvs E ä vinkelät mot vågens utbedningsiktning, vilken ges av vågvekton k. Fö vaje k finns det alltså två möjliga polaisationsiktninga av E, och fö vaje vågvekto k finns det alltså två möjliga fotone motsvaande dessa iktninga.

2 Planck-födelningen 8 Med ett tillstånd fö fotonen mena vi alltså dels fotonens öelsemängd elle dess vågvekto, samt dess polaisation vilket motsvaa spinnet fö en patikel. i kan alltså välja = k x, k y, k z, σ), dä σ beskive polaisationsiktningen. i se att enegiena ɛ = hck = hc kx + ky + kz inte beoo av σ utan endast av k x, k y och k z. 8. Randvillko Fö att få en fullständig beskivning av fotonen behöve vi också veta vilka enegie elle vågvektoe som ä möjliga. Detta ges av andvillkoen på liknande sätt som fö en patikel i en låda. anligen buka man behandla plana vågo som i ) med s k peiodiska andvillko. i låte helt enkelt vå volym uppepas i alla iktninga så att vi fylle hela ummet enligt figuen. i vill nu att den elektomagnetiska vågen skall pogagea i hela ummet och detta kan vi åstadkomma genom att låta den uppepa sig peiodiskt i alla iktninga, dvs med kantlängden L ha vi Ex, y, z, t) = Ex + L, y, z, t) Ex, y, z, t) = Ex, y + L, z, t) Ex, y, z, t) = Ex, y, z + L, t) Dessa andvillko ge nu villko på möjliga vågvektoe, och vi få t ex exp{ik x x} = exp{ik x x + L} och motsvaande i y och z-led. detta ge villkoen k x = πn x L, k y = πn y L, k z = πn z L dä n x, n y och n z ä heltal vilka kan anta vädena, ±, ±,.... Motsvaande enegiegenväden bli nu ɛ = hc π L n x + n y + n z och på motsvaande sätt bli öelsemängden p = hk kvantisead. Om volymen elle kantlängden ä sto komme de möjliga vädena på vågvekton att ligga mycket tätt. Avståndet mellan två näliggande väden bli k = π/l. i kan inföa ett vågvektoum med k x, k y, k z ) som koodinate. I detta um motsvaa vaje tillstånde en punkt, och avståndet mellan två näliggande punkte längs någon av axlana ä alltså π/l. Låt oss nu betakta ett litet volymselement i detta k-um med sido dk x etc, dä dk x k. Det finns nu väldigt många tillstånd fö fotonen, dvs många möjliga väden på n x, motsvaande längden dk x. Antalet möjliga väden n x fö n x nä k x ligge mellan k x och k x + dk x bli n x = L π dk x Antalet tillstånd Dk)d 3 k i ett litet volymselement d 3 k bli = Dk)d 3 k = n x n y n z = L 3 π) 3 dk xdk y dk z == π) 3 d3 k ) i få alltså tillståndstätheten i k-ummet som Dk) = /π) 3, vilken alltså ä konstant. Fån detta uttyck kan vi nu beäkna tillståndstätheten fö anda vaiable. Ta vi öelsemängden p = hk behöve vi baa esätta vågvekton, vilket ge Dp)d 3 p = d 3 p π) 3 h 3 = h 3 d3 p Detta innebä att antalet tillstånd i en liten volym d 3 d 3 p i fasummet ä D, p)d 3 d 3 p = d3 d 3 p h 3

3 Planck-födelningen 8 3 Om vi alltså i det klassiska fallet dela in fasummet i celle dä vaje cell ymme ett tillstånd ha denna volymen h 3, och vi få det koekta antalet tillstånd fö systemet. Flea anda elatione kan häledas fån ). i kan inföa sfäiska koodinate i k- ummet och betakta antalet tillstånd i ett sfäiskt skal mellan k och k + dk detta ge tillståndstätheten Dk)dk = π) 3 4πk dk = π k dk Tillståndstätheten Dk) bli i detta fall Dk) = /π )k. i kan också uttycka vågvekton i enegin elle som i fallet med fotone i fekvensen, detta ge tillståndstäthetena Dɛ)dɛ = dk kɛ) π dɛ dɛ dä Dɛ)dɛ ä antalet tillstånd i enegiintevallet ɛ och ɛ + dɛ. Fö en fotongas ha vi k = ɛ/ hc vilket diekt ge Dɛ). i skall hä använda vinkelfekvensen ω och sambandet k = ω/c vilket ge antalet tillstånd i intevallet ω, ω + dω) Dω)dω = ω π dω 3) c3 8.3 Enegifödelning i kan nu få fam hu enegin i en fotongas i jämvikt ä födelad på de olika fekvensena. Låt fk)d 3 k vaa medelantalet fotone med en given polaisation och vas vågvekto ligge mellan k och k + d 3 k. Detta få vi genom att multiplicea medelantalet fotone i vaje tillstånd, vilket ges av Planck-födelningen, med antalet tillstånd i detta intevall dvs, fk)d 3 k = n k Dk)d 3 k Det finns nu två polaisationsiktninga, så fö att få det totala antalet fotone måste vi multiplicea med en fakto två vaje foton ha en enegi ɛ = hω, dvs vi få totala enegin fö dessa fotone genom att multiplicea med hω. Esätte vi vågvekton med fekvensen och använde 3) ge detta fö enegitätheten u = U/ uttycket uω, T )dω = hωn k Dω)/ dω = h ω 3 = π c 3 e β hω dω 4) Uttyckt i den dimensionslösa stoheten η = hω/k B T ge detta uω, T )dω = h ) kb T 4 η 3 π c 3 h e η dη 5) Enegitätheten gå alltså som T 4 multipliceat med en given funktion η 3 /e η ) som skala med vaiabeln η. Denna funktion ha ett maximum vid η max 3, och det finns en enkel skalningsegenskap. Om maximat vid en tempeatu T finns vid fekvensen ω och vid en annan tempeatu T vid ω så ä elle η max = hω k B T = hω k B T ω = ω T T Detta ä Wien s föskjutningslag, och den säge att födelningen skifta mot höge fekvense då tempeatuen öka. i kan altenativt uttycka födelningen i våglängden. Fån sambandet ω = πν = πc/λ ha vi dω = πc/λ dλ. Medelenegin fö fotongasen få vi genom att integea enegitätheten öve alla fekvense, dvs U, T ) = = h kb T π c 3 h Integalen ovan ges av ) 4 uω, T )dω = η 3 π4 e η dη = 5 vilket ge Stefan-Boltzmanns lag U, T ) = π k B T ) 4 5 hc) 3 η 3 e η dη

4 Planck-födelningen Tyck och entopi i kan beäkna tycket fån fotongasen på följande sätt. Fån tillståndssumman ha vi P = ln Z = β = { β = e βɛ ɛ e βɛ = = n ɛ ) ) } ln e βɛ = Det sista ledet visa att tycket fån en foton i tillståndet ges av ɛ / ). Fö att beäkna deivatan av enegin m a p volymen använde vi att L 3 = och ɛ = hω = hck = hc kx + ky + kz = = π hc L n x + n y + n z dvs ɛ = C/ /3 dä C ä en konstant. Detta ge ɛ = C 3 4/3 = ɛ 3 vilket ge tycket P = n ɛ 3 = U 3 Tycket ges alltså diekt av enegitätheten. Entopin kan diekt fås fån tillståndssumman och medelenegin. i kan också använda den temodynamiska elationen T ds = du + P d med U = u = a T 4 och P = u/3 = at 4 /3 dä a = π k 4 B /5 hc)3. du = at 4 d + 4a T 3 dt, dvs T ds = at 4 d + 4a T 3 dt + a 3 T 4 d = = 4a 3 T 4 d + 4a T 3 dt och ds = 4a 3 T 3 d + 4a T dt = 4a ) T 3 d 3 S = 4a 3 T 3 = 4π 45 k 4 B hc) 3 T 3 9 ÄRMEKAPACITET FÖR FASTA ÄMNEN 9. Fomuleing av det statistiska poblemet Betakta ett fast ämne dä de N atomena sitte odnade i ett gitte. i beteckna l a gevekton fö den i:te atomen med massan m i med i och dess motsvaande Catesiska komponente med x i, x i, x i3. i beteckna jämviktläget fö atomen nä den inte opåvekas av någa kafte fån omgivande atome med ) i. aje atom sitte och vibea king sitt jämviktsläge och vid låga tempeatue ä amplituden på dessa vibatione elativt liten. i kan däfö inföa avcvikelsen få jämviktläget u i = i ) i Den kinetiska enegin fö dessa vibatione bli K = N i= m iv i = N i= m iṙ i = N i= m i u i Den potentiella enegin,,..., N ) kan utvecklas i en Tayloseie eftesom vi anta att föskjutningana u i ä småḋetta ge =,..., N ) = = ) + u,..., ) ) N + u N = N 3 ) = + u iα + x i= α= iα + N N 3 3 ) u iα u jγ + x i= j= α= γ= iα x jγ )

5 Planck-födelningen 8 5 Deivatona beäknas alla vid jämviktslägena fö atomena dvs med x iα = x ) iα fö alla i och α. Dessa deivato ä däfö konstante. Den fösta temen ä den potentiella enegin nä atomena sitte i sina jämvikktslägen. Eftesom potentialen måste ha ett minimum i detta jämviktsläge ä / x iα ) = dvs kaften på vaje atom måste vaa noll. i infö den konstanta matisen ) A iα,jγ = 7) x iα x jγ och vi finne då till kvadatisk odning i föskjutningen u = + A iα,jγ u iα u jγ 8) ij Den totala enegin elle Hamiltonfunktionen f vibationena hos atomena i gittet kan alltså skivas N H = + m i u i + A iα,jγ u iα u jγ i= ij αγ 9) Den potentiella enegin ge hä komplikatione, eftesom den innehålle alla möjliga podukte av de olika koodinatena. Detta åtespegla natuligtvis baa det faktum att att atomena växelveka med vaanda så att de inte kan betaktas som obeoende patikla. Ett sätt att lösa detta poblem ä att inföa nya koodinate. Matisen A ovan ä en symmetisk eell matis, och den kan däfö diagonaliseas. Detta svaa mot att vi otea våt koodinatsystem och välje nya koodinataxla längs matisen A s egenvektoe. Detta eliminea alla kospodukte i den potentiella enegin. i gö alltså tansfomationen u iα = αγ B iα, q och välje koefficientena B iα, så att H educeas till den enkla fomen H = + ) q + ω q ) Koefficientena ω ä positiva konstante och ä elateade till egenvädena fö matisen A. De nya koodinatena q kallas nomala koodinate fö systemet. Uttyckt i dessa koodinate bli Hamiltonfunktionen en enkel summa av 3N obeoende teme, dä vaje tem endast beo på en vaiabel q. i se att..) ä identisk med Hamiltonfunktionen föt 3N obeoende en-dimensionella hamoniska oscillatoe, dä oscillaton med koodinat q ha vinkelfekvensen ω. Koodinatttansfomationen ha alltså educeat det kompliceade poblemet med N stakt växelvekande atome, till ett ekvivalent poblem med 3N icke-växelvekande hamoniska oscillatoe. i kalla dessa oscillatoe fö kvasi-patikla elle fonone. Dessa fonone epesentea kollektiva oscillatione fö hela systemet och motsvaas fö långa våglängde av vanliga ljudvågo phono = ljud). id låga tempeatue epesentea dessa fonone de elementäa excitationena fån systemets gundtillstånd. Liknande kollektiva excitatione finns i anda system vid låga tempeatue, t ex magnone elle spinnvågo i en feomagnet, otone i supaflytande He 4, ipplone på en yta etc. Fö en en-dimensionell hamonisk oscillato H = ) q + ωq ha vi endast en vaiabel q. De möjliga kvanttillstånden fö denna oscillato beskivs av kvanttalen n dä n =,,,.... Motsvaande enegie ges av ɛ = n + ) hω Kvanttillståndet fö hela systemet specificeas av de 3N kvanttalen {n, n,..., n 3N dä vat och ett kan anta vädena i.. ). Motsvaande totala enegi bli summan av de endimensionella oscillatoenas enegie, dvs E n,...,n 3N = + hω n + )

6 Planck-födelningen 8 6 vilket kan skivas dä E n,...,n 3N = Nɛ + Nɛ = + hω hω n ä en konstant vilken ä obeoende av kvanttalen n. i obsevea att Nɛ epesentea den lägsta möjliga enegin fö atomena, om vi mäte enegin i föhållande till ett efeenstillstånd dä de ä sepaeade fån vaanda. ɛ ä bindningsenegin pe atom fö det fasta ämnet vid T =. Beäkningen av tillståndssumman ge nu Z = hωn = ) n,...,n 3N e β Nɛ+ = e βnɛ /sum n =e β hωn ) dvs Z ä podukten av tillståndssumman fö 3N endimensionella hamoniska oscillatoe vilka ges av en geometisk seie Z = e βnɛ ln Z = βnɛ = βnɛ e β hω 3) ) ln e β hω = 4) ln e β hω) Dω)dω 5) dä Dω) ä tätheten av nomala mode med fekvensen ω. Medelenegin ges av U = ln Z β = 6) = Nɛ + hω e β hω Dω)dω7) ämekapaciteten vid konstant volym bli C = ) U T ) U = k B β β 8) dvs e β hω C = k B e β hω ) β hω) Dω)dω 9) Det statistiska poblemet ä alltså i pincip ganska enkelt. Man måste lösa ett mekaniskt poblem fö att finna egenfekvensena fö gittet fö att bestämma funktionen Dω) fö det fasta ämnet vi betakta. Obeoende av den exakta fomen hos Dω) kan vi finna allmänna esultat fö höga tempeatue. Den signifikanta dimensionslösa paameten ä β hω/k B T. Låt ω max beteckna den maximala fekvensen hos de mode vilka kan fotplanta sig i gittet, dvs Dω) = ω > ω max Om tempaatuen T ä så hög att β hω max så ä β hω i helka integationsomådet så att vi kan skiva e β hω = + β hω N C = k B Dω)dω = k B = 3Nk B ) vilket ä den s k Dulon-Petits lag. i se att detta esultat följe av ekvipatiotionsteoemet fö 3N klassiska oscillatoe. 9. Einstein-modellen Fö låga tempeatue komme..) inte att gälla. i kan få ett appoximativt uttyck fö C fö alla tempeatue genom att göa antagandet att alla atomena i gittet vibea med samma vinkelfekvens ω E. I detta fall ä Dω) = vilket ge hωe C = 3Nk B k B T δω ω ) = 3Nδω ω E ) ) e hω E/k B T e hω E /k B T ) ) = ) θe e θ E/T = 3Nk B T e θ E /T ) )

7 Planck-födelningen 8 7 dä vi inföt den s k Einstein-tempeatuen θ E = hω E /k B. Denna tempeatu epesentea en kaakteistik tempeatu fö vaje fast ämne. Fö k B T hω E elle T θ E, få vi ) θe C 3Nk B e θ E/T T ämekapaciteten gå alltså exponentiellt mot noll då T i denna modell. Expeimentellt finne man dock avv C gå mot noll mycket långsammae än detta esultat, och man ha C T 3 fö T. Anledningen till denna avvikelse ä den gova appoximationen att alla atomena vibea med samma kaakteistiska fekvens. I vekligheten ä detta inte fallet. Anledningen ä att vaje atom inte vibea obeoende av de öviga atomena i omgivningen, som om dessa atome voe stationäa. Istället finns det många olika mode av vibatione i vilka olika guppe av atome vibea i fas med samma fekvens. Det ä klat att även om T ä ganska låg, så finns det alltid någa svängningsöelse med en fekvens så låg att hω k B T. Dessa kollektiva mode komme att ge ett väsentligt bidag och föhinda att C minska så snabbt som i..). Einstein-appoximationen visa att det finns en kaakteistisk paamete θ E vilken beo av egenskapena hos det mateial man betakta. Fö ett håt fast ämne med lätta atome, dvs med litem massa m och sto kaftkonstant k bli ω E = k /m sto och detta innebä att θ E ä sto. 9.3 Debye-appoximationen Beäkningen av antalet mode Dω) ä ett kompliceat poblem. Debye använde en appoximation dä han antog att det fasta ämnet fö vibatione med små fekvense kunde appoximeas med ett elastiskt kontinueligt medium. aje egenmod hos vibationena hos detta elastiska medium kaakteisea med en våglängd λ. Låt a beteckna medelavståndet mellan atomena i gittet. Om λ a komme näliggande atome att föskjutas ungefä lika mycket. I detta fall ä det faktum att atomena sitte på ett ändligt avstånd fån vaamnda inte så viktigt, och vi fövänta oss att egenmodena fö vibationena hos det elastiska mediet ä ungefä desamma som hos det vekliga gittet. På motsvaande sätt fövänta vi oss att om λ a komme näliggande atome att svänga u fas, och den disketa natuen hos gittet bli betydelsefull. I detta fall komme egenmodena hos gittet att skilja sig fån de fö ett elsatiskt medium. Egenmode med lång våglängd λ a motsvaa låga fekvense, och fö sådana bli tätheten D e ω) fö ett kontinueligt elastiskt medium ungefä detsamma som Dω) fö det aktuella gittet. Låt u e, t) beteckna föskjutningen fö en punkt i det elastiska mediet fån dess motsvaande jämviktsläge. Föskjutningen kan delas upp i sina longitudinella och tansvesella komponente dä u e, t) = u l, t) + u t, t) u t = u l = ektoena u l och u t satisfiea vågekvationena u l = c l u l t 3) u t = c t u t t 4) Hä ä c l och c t de longitudinella och tansvesella ljudhastighetena, vilka kan uttyckas i espektive elastika konstante. Ekvation..) ha lösninga i fom av plana vågo u l, t) = A l e ik l ωt) k l = ω/c l 5) u t, t) = A t e ikt ωt) k t = ω/c t 6) 7)

8 Planck-födelningen 8 8 Fån..) ge detta k l u l = och k t u t =, vilket innebä att de longitudinella vågona ä paalelle med utbedningsiktningen medan de tansvesella vågona ä vinkeläta mot utbedningsiktningen. Fö popageande vågo anta vi peiodiska andvillko så att ux + L x, y, z, t) = ux, y, z, t) ux, y + L y, z, t) = ux, y, z, t) ux, y, z + L z, t) = ux, y, z, t) k x = πn x L x ; k y = πn y L y ; k z = πn z L z med n x,y,z =, ±, ±,.... På vanligt sätt få vi antalet mode i ett sfäiskt skal med adie och tjocklek d som Dk)dk = vilket med k lt = ω/c lt ge π) 3 4πk dk Deω)dω l = π c 3 ω dω 8) l Deω)dω t = π c 3 ω dω 9) t dä vi tagit hänsyn till att det finns två tansvesella polasiationsiktninga genom fakton oven. Det totala antalet egenmode i det elastiska mediet bli alltså ) D e ω)dω = Deω) l + Deω) t dω 3) = 3 π c 3 ω dω 3) s d vi intoduceat en effektiv ljudhastighet c s via 3 c 3 = s c 3 + ell c 3 t Debye-appoximationen bestå av att appoximea Dω) med D e ω) inte baa fö låga fekvense dä de bode vaa nästan identiska, utan fö alla 3N modena fö mediet. Debye gjode alltså antagandet { De ω), ω ω D D ω) = D 3), ω > ω D dä Debyefekvensen ω D väljs så att D D ω) innehålle koekt antal mode dvs elle 3 π c 3 s D D ω)dω = ωd ωd D e ω)dω = 3N ω dω = π c 3 ωd 3 = 3N s ω D = c s 6π N ) /3 ) /3 = c s 6π n Debye-fekvensen beo alltså endast på ljudhastigheten fö mediet och på antalet atome pe volymsenhet dvs tätheten. Motsvaande våglängd λ D = πc s /ω D bli av stoleksodningen det inteaomäa avståndet a /N) /3 //n) /3. Eftesom c s 5 5 cm/s och a 8 cm bli ω D 4 s en typisk mfekbvens inom det infaöda omådet. Med Debye-appoximationen få vi nu vämekapaciteten C = k B ωd e β hω β hω) 3 e β hω ) π c 3 ω dω 33) s Med vaiabelsubstitutionen x = β hω ge detta β hωd 3 e x C = k B π c s β h) 3 e x ) x4 dx 34) i kan nu inföa Debye-tempeatuen θ D = hω D /k B och använda elationen vilket ge = 6π N ) 3 cs ω D C = 3Nk B f D θd T ) 35)

9 Planck-födelningen 8 9 dä Debye-funktionen ges av f D y) = 3 y 3 y e y e y ) 3 x4 dx id höga tempeatue dä T θ D elle y = θ D /T kan vi utveckla exponentialfunktionena ovan, vilket ge f D y) = 3 y 3 y x 4 x dx = Det mest intessanata fallet ä låga tempeatue. I detta fall ä θ D /T och hω/k B T då ω ω D. Fysikaliskt betyde detta att endast vågo med låga fekvense ω ä temiskt exciteade i någon omfattning och ge ett bidag till vämekapaciteten. I detta fall ä f D y) = 3 y 3 vilket ge e y e y ) 3 x4 dx = 4π4 5y 3 ) C = π4 T 3 5 Nk B θ D Det faktum att vämekapaciteten fö fasta ämnen gå som T 3 vid låga tempeatue ha veifieats expeimentellt, även om man i vissa fall måste gå till ganska låga tempeatue T <.θ D.